1

Министерство образования и науки республики Марий Эл

МБОУ ”Средняя общеобразовательная школа №21

с. Семеновка, г. Йошкар-Олы”

Комплексные числа Исследовательская работа

Выполнила

ученица 10A класса

Уманцева Екатерина

Руководитель

учитель математики

Тимофеева С.В.

Йошкар-Ола,

2012г.

2

Содержание

Введение

1.История возникновения комплексных чисел……………………………. . 4

1.1. Развитие понятия числа..…………..…….………………………….……4

1.2. Развитие комплексных чисел …………………………………...……….5

2. Комплексные числа……………………………………………………… .. 6

2.1.Алгебраическая запись комплексного числа…………………………….6

2.2. Геометрическое изображение комплексныхчисел……………...……...7

2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа…………………...….8

2.4. Действия над комплексными числами…………………………………..9

2.5. Формула Эйлера и Муавра ……………………………………….……. 10

2.6. Решение уравнений на множестве комплексных чисел……………....11

3. Применение комплексных чисел …………………………………….…. 13

3.1 Применение комплексных чисел в математике……………………….. 13

3.2.Применение комплексных чисел в науке………………………………16

4.Результаты социологического исследования…………………………......18

5. Заключение………………………………………………………................20

6. Литература……………….……………………………………………..…..22

3

ВВЕДЕНИЕ

В практике решения задач по физике и математике с помощью

уравнений важное место занимают задачи, решаемые с помощью квадратных

и кубических уравнений. Решение многих задач из динамики и техники

приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом и они

имеют вид 1 ba . Указанные уравнения не имеют решения на области

действительных чисел, однако эти задачи имеют вполне определённый

физический смысл.

В настоящие время комплексные числа широко используются для

математического описания и решения многих вопросов физики и техники (в

гидроаэродинамике, механике, электротехнике, атомной физике и др.)

Цель исследования:

Выяснить какие факторы повлияли на возникновение новых чисел и узнать

об использовании комплексных чисел в прикладных науках.

Задачи исследования:

1) познакомиться с историей возникновения комплексного числа;

2) рассмотреть теоретические положения, связанные с понятием

комплексного числа и его формами представления;

3) рассмотреть области применения комплексных чисел в различных

разделах математики и физики.

Объект исследования: комплексные числа.

Проблема: невозможность решения квадратных уравнений на поле

действительных чисел. Почему возникает новый вид чисел?

Гипотеза: комплексные числа - математическая модель для описания и

решения задач, неразрешимых на поле действительных чисел.

Методы исследования:

1. библиографический метод;

2. общенаучный метод (обобщение и систематизация научных положений);

3. метод моделирования и обоснования выводов;

4. метод классификации.

4

1.ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

1.1. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным

был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой

математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные

числа.

Натуральные числа (N) возникли в глубокой древности, когда возникла

необходимость счёта.

Операции, которые можно проводить с натуральными числами:

сложение, умножение, не всегда выполнимы операции вычитания, деления.

Целые числа (Z), так же возникли в глубокой древности. А в

математический обиход их ввели Михаэль Штифель (1487—1567) в книге

«Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445—1500).

Операции, которые можно проводить с отрицательными числами:

сложение, вычитание, умножение; обычное деление не определено на

множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком,

но нельзя извлекать из под корня.

Затем необходимость выполнения деления привела к понятиям дробных

чисел. Рациональные числа (Q). Впервые в Европе термин дроби употребил

Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали

только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с

шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и

действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). А десятичные

дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при

вычислениях на счётной доске.

Операции, которые можно проводить с рациональными числами:

сложение, вычитание, умножение, деление, но не во всех случаях можно

извлекать из под корня.

Рациональных чисел оказывается недостаточно для измерения длин

отрезков. Чтобы любому отрезку можно было приписать длину, необходимо

5

добавить к рациональным числам числа иррациональные. Ограничившись

рассмотрением только рациональных чисел, не возможно было бы решить

уравнение x2-2=0, так как в множестве рациональных чисел это уравнение не

имеет решений.

Множество действительных чисел (R) - в это множество входят

рациональные и иррациональные числа. Все выше перечисленные операции

выполнимы во множестве действительных чисел. Однако остались и

невыполнимые операции, например извлечение квадратного корня из

отрицательного числа.

Но и действительных чисел оказывается недостаточно для решения

алгебраических уравнений. Ведь на множестве действительных чисел не

имеет решений квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, в

том числе простейшие квадратные уравнения с натуральными

коэффициентами, например, x2 + 1=0, x

2+x+1=0. Значит, имеется потребность

в дальнейшем расширении понятия числа, в появление новых чисел,

отличных от действительных, их назвали комплексными числами (С).

Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не

вполне удачно, так как может создать представление о комплексных числах

как о чем-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа

стали употребляться ещё в 16 веке, они долго продолжали казаться даже

выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в

буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и

интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716)

принадлежат, например, такие слова: «Комплексное число - это тонкое и

поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием

и не бытием». Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме,

пожалуй, названия «мнимые числа».

6

1.2. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось

необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В

частности для решения кубических уравнений вида х3+px+q=0 используются

формулы, содержащие квадратные и кубические корни. Путь к этим корням

ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из

отрицательного числа.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в1545 г. предложил ввести числа

новой природы. Он показал, что система уравненийне имеющая решений на

множестве действительных чисел, имеет решения вида х=5± 15 , нужно

только условиться действовать над такими выражениями по правилам

обычной алгебры и считать что aa = -а .

Кардано называл такие величины "чисто отрицательными" и даже

"софистически отрицательными". В самом деле, с помощью таких чисел

нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни

изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга

итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые

правила арифметических операций над такими числами, вплоть до

извлечения из них кубических корней. Название "мнимые числа" ввел в 1637

году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из

крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать

первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения

числа 1 (мнимой единицы). Этот символ вошёл во всеобщее употребление

благодаря К. Гауссу. Термин "комплексные числа'' так же был введен

Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинскогоcomplexus) означает

связь, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое

целое.

7

2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

2.1.АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Определение. Выражение a+ bi, где а и b - действительные числа , ai –

мнимая единица, называется комплексным числом, записанным в

алгебраической форме. Число a называется действительной частью, а b–

мнимой. "Мнимые" числа составляют частный вид комплексных чисел

(когдаа=0). С другой стороны, и действительные числа являются частным

видом комплексных чисел (когда b=0). Основное свойство числа i состоит в

том, что произведение i*i = -1, т.е. i2=

-1.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из

определения этого действия. Но определения действий над комплексными

числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом,

чтобы они согласовывались с правилами действий над вещественными

числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от

действительных, а совместно с ними. Действительное числоа записывается

также в видеа+0i.

Примеры. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись -2 + 0i

означает -2. Комплексное число вида 0 + bi называется "чисто мнимым".

Запись bi обозначает то же, что 0 + bi. Два комплексных a+bi, a'+b'i

считаются равными, если у них соответственно равны действительная и

мнимая часть, т. е. Если a'=a, b=b'. В противном случае комплексные числа

не равны.

8

0 X a

M

Y

b

B A -5

3

A

-4 0 X

Y

K

5 Рис.1 Рис.2

2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ

ЧИСЕЛ

Комплексные числа можно изобразить в декартовой системе

координат. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему

координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное

число а + bi мы изображаем точкой М, абсцисса которой равна – a, т.е.

действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой.

Примеры. На рис.2 точка A с абсциссой х=3 и ординатой у=5

изображает комплексное число 3 + 5i. Точка B (-4,-5) изображает

комплексное число -4 - 5i.

Действительные числа (в комплексной форме они имеют вида+0i)

изображают точками оси ОХ, а чисто мнимые точками оси ОУ.

Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек,

симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А' на рис. 2

изображают сопряжённые числа

3 +5i и 3 -5i.

Комплексные можно изображать также отрезками или векторами,

начинающимися в точке O и оканчивающимися в соответствующей точке

числовой плоскости.

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило

определить многие понятия, связанные с функцией комплексного

переменного, расширило область их применения.

9

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где

имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости

(при изучении течения жидкости, задач теории упругости).

10

2.3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО

ЧИСЛА

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a+bi выражаются через

модуль r и аргумент q. Формулами: a=rcosq; r=a/cosq; b=rsinq; r=b/sinq.

r - длина вектора (а+bi) , q- угол, который он образует с

положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1).

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде

r(cosq+ isinq),гдеr> 0, т.е. z= a+ bi = r(cos q+ i sin q)

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой

или тригонометрической формой комплексного числа.

11

2.4. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

СРАВНЕНИЕ

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны

между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые

части).

СЛОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Определение. Суммой комплексных чисел а+ bi и a'+b'i называют

комплексное число (а+ а') + (b+ b')i. Это определение подсказывается

правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1.(-3 + 5i) + (4- 8i)=1 - 3i.

Пример 2.(2 + 0i) + (7 + 0i)=9 + 0i. Так как запись 2 + 0i обозначает то

же, что и 2 наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 +

7=9).

Для комплексных чисел справедливы переместительный и

сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того,

что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению

действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются

действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

ВЫЧИТАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Определение. Разностью комплексныхчисела+bi и а’+bi называется

комплексное число (а- а') + (b- b')i.

Пример 1. (-5 + 2i) -(3- 5i) = -8 + 7i .

Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6.

УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Определение. Произведением комплексныхчисела+bi и a'+b'i

называется комплексное число (аа' – bb') + (ab' + ba')i.

12

Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой

произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем

положить, что i2= -1

Пример. (1 - 2i)(3 + 2i)=3 - 6i + 2i - 4i2 =3 - 6i + 2i + = 7- 4i.

ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

В соответствии с определением деления действительных чисел

устанавливается следующее определение.

Определение. Чтобы разделить комплексное число a+bi на

комплексное число

а' + b'i необходимо найти такое число x+yi, которое в произведении с a’+b’

даст a+ bi

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и

умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряжённое со

знаменателем

22

)()(

))((

))(()(:)(

dc

ibcadbdac

dicdic

dicbiadicbia

Пример 1.Найти частное (7 - 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7- 4i)/(3 + 2i),домножаем её числитель и

знаменательна число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i.

Получим:

( )( )

( )( )

13

2.5 ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА И МУАВРА

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической

природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое

обоснование.Постепенно развивалась техника операций над мнимыми

числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней

n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных

чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.

Муавра (1707): (cos+isin)n=cos(n)+isin(n).

Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: eix=cosx+isinx,

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической.

С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число е в любую

комплексную степень. Любопытно, например, что еi

= -1. Таким образом

можно находить синус и косинус от комплексных чисел, вычислять

логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного

переменного.С помощью формулы Муавра выводится формула извлечения

корня из комплексного числа.

14

2.6 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НА МНОЖЕСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ

ЧИСЕЛ

Рассмотрим уравнение z2

= a, где a – заданное действительное число,

z – неизвестное.

Это уравнение:

имеет один корень, если a = 0.

имеет два действительных корня z1,2= ± a , если a> 0.

не имеет действительных корней, если a< 0, но имеет два комплексных

корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)(– a) = i2 a =i

2( a )

2, тогда уравнение

z2 = a запишется в виде:z

2 – i

2( a )

2 = 0 т.е. (z – i a )(z + i a ) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: z1,2 = ± i a

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать

корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

az2

+ bz + c = 0 по общей формуле z1,2=- b b2± - 4

2

ac

aпри этом, если

дискриминант D = b2 – 4acположителен , то уравнение az

2 + bz + c = 0

имеет два действительных различных корня, еслиD = 0, то уравнение az2

+

bz + c = 0 имеет один два равных корня, если D< 0, то уравнение az2 + bz + c

= 0 имеет два различных комплексных корня.

Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же

свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть z1,z2 – корни квадратного уравнения az2

+ bz + c = 0, a 0. Тогда

справедливы:

Теорема Виета:z1 + z2 = –b

a

z1z2 = c

a

При всех комплексных z справедлива формула

15

az2 + bz + c = a(z – z1)(z – z2)

Рассмотрим примеры.

1. Решите уравнение x2 – 2x – 8 = 0.

Решение. Найдем дискриминант

D = b2 – 4ac = (– 2)

2 – 4•1•(– 8) = 36 > 0.

Уравнение имеет два действительных корня:

2. Решите уравнение x2 + 6x + 9 = 0.

Решение. D = 62 – 4∙1∙9 = 0, уравнение имеет два равных действительных

корня:

3.Решите уравнение x2 – 4x + 5 = 0.

Решение. D = b²-4ac= 16 – 4∙1∙5 = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни:

так как √ √ | | √ | | √| | , то √ √

√

√

16

3. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

3.1. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В МАТЕМАТИКЕ

В настоящее время комплексные числа используются в математике

гораздо шире, чем действительные. Действительные числа – это только часть

множества комплексных чисел. Многие теоремы алгебры, которые раньше

приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных

чисел приобрели общность. Новыми методами пополнилось решение уже

известных задач, стала бурно развиваться одна из важнейших ветвей

математического анализа – теория функции комплексного переменного.

В качестве примера рассмотрим формулу Муавра. Она имеет большое

практическое значение в тригонометрии, потому что позволяет выражать

синусы и косинусы углов (nx), где n- любое целое число, через простые

функции sinx и cosx.

Пример 1:Выразить и через и .

Решение: запишем формулу Муавра при n = 3:

( α + α) α + α

Левую часть раскроем по формуле куба суммы:

( α + α) α + α α + α ( α) +( α)

α + α α + α α + α

α + α α α α α

( α α α) + ( α α α)

Итак,

( α α α) + ( α α α) α + α.

Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:

1) α α α α

α α ( α) α

α α α;

Получили α α α

17

2) (3 )=

3( ) = ,

3 = .

Итак , ; 3 .

В этом примере мы вывели так называемые формулы тройного аргумента.

Эти же формулы можно получить без использования комплексных чисел,

применяя формулы косинуса и синуса суммы к ( + )

( + ) и используя далее формулы для тригонометрических

функций двойного аргумента.

Так же мы хотели показать, как можно вывести формулы cos3a и sin3a без

применения комплексных чисел:

Синус тройного угла:

sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos2a-sin2a)sina =

=2sinacos2a+sinacos2a-sin3a = 3sinacos2a-sin3a = 3sina(1-sin2a)-sin3a =

= 3sina-4sin3a

Косинус тройного угла:

cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-sin2asina = (cos2a-sin2a)cosa-(2sinacosa)sina= =

cos3a-sin2acosa-2sin2acosa = cos3a-3sin2acosa = cos3a-3(1-cos2a)cosa =

=4cos3a-3cosa

Однако преимущество в этом решении состоит в том, что по той же схеме

можно получить и формулы, выражающие α и α через

соответственно α и α . Можно двигаться далее и выразить α и

α как функции от α и α, но для этого нужно уметь раскрывать

скобки в выражении ( + ) . Такая формула есть - это Бином Ньютона.

Пример2: найти сумму:

+ α + α + α + + α .

18

Решение. Как и в предыдущем примере, мы « погонимся за двумя зайцами» и

одновременно с указанной суммой будем искать и сумму + α + α +

α + + α. Первую сумму обозначим С, а вторую S .

Для комплексного числа z= + рассмотрим геометрическую

прогрессию со знаменателем z. Запишем формулу для суммы

первых n+1 членов этой прогрессии:

+ + +

.

К каждому слагаемому левой части применим формулу Муавра:

+ + + + ( + ) + ( + ) +

+ +( + ) + .

Осталось найти действительную и мнимую части дроби

а затем воспользоваться тем, что действительная часть равна С, а мнимая

часть равна S. Отсюда и получаются нужные формулы для С и S.

Сначала преобразуем знаменатель:

(

(

)

(

+

).

Значит,

=(( ( ) ) ( ) ) (

)

.

Если в числителе последней дроби раскрыть скобки и привести

подобные члены,то(после деления на знаменатель) получатся выражения для

действительной и мнимой частей всей дроби. Используя формулы синуса

разности и суммы синусов, находим:

С=( ( ) )

( )

=

19

=

( )

( ) )

=

=

(( )

)

=

( )

.

Аналогично, но по формулам косинуса разности и разности косинусов,

находим:

S=( ( ) )

( )

=

(( )

)

=

( )

.

В итоге получаем:

+ α + α + α + + α=

( )

,

+ α + α + α + + α=

( )

.

Замечание. Оба эти равенства можно доказать без применения

комплексных чисел: или методом математической индукции, или домножая

обе части на знаменатель

и преобразуя произведения

тригонометрических функций в их суммы. Но это возможно только в случае,

когда правые части равенств заранее известны. При таких подходах

совершенно не ясно, откуда, собственно, получаются выражения в правых

частях. А использование комплексных чисел и формулы Муавра позволяет

доказать сразу обе формулы и при этом объясняет сам способ получения

ответа.

20

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В НАУКЕ

Так же уже в нашем столетии комплексные числа и комплексные

функции (функции, у которых и значениями аргумента, и значениями функ-

ции являются комплексные числа) успешно применялись русскими и

советскими математиками и механиками Н. Е. Жуковским (1847 — 1921), С.

А. Чаплыгиным (1869— 1942), М. В. Келдышем (1911 — 1978) и другими в

аэродинамике. Советские математики Г. В. Колосов (1867—1936) и Н. И.

Мусхелишвили (1891 — 1976) впервые стали применять комплексные

функции в теории упругости (то есть по существу к расчетам различных

конструкций на прочность). С применением комплексных переменных в

теоретической физике связаны исследования советских ученых Н. Н.

Боголюбова (род. 1909) и В. С. Владимирова (род. 1923).

В конце прошлого столетия стали широко применять генераторы

переменного тока. Для расчета цепей переменного тока оказались

непригодными старые методы, разработанные для цепей постоянного тока и

основанные на законе Ома. В 1893 г. американский электротехник Ч. П.

Штейнмец предложил эффективный метод расчета цепей переменного тока.

Этот метод целиком основан на применении комплексных чисел.

В 20-х годах нашего столетия стала разрабатываться квантовая

механика. Для нее оказался особенно полезным аппарат комплексных чисел.

Вот что пишет об этом известный современный физик Е. Вигнер в своем

очерке «Непостижимая эффективность математики в естественных науках»:

«Для неподготовленного ума понятие комплексного числа далеко не

естественно, не просто и никак не следует из физических наблюдений. Тем

не менее, использование комплексных чисел становится почти неизбежным

при формулировке законов квантовой механики. Кроме того, не только

комплексным числам, но и так называемым аналитическим функциям сужде-

но сыграть решающую роль в формулировке квантовой теории».

Для навигаторов представляет значительный интерес способ

построения географической карты, при котором сохраняются углы между ли-

21

ниями. Такой способ называется конформной (то есть сохраняющей форму)

проекцией. Оказывается, что с помощью функций комплексного пере-

менного возможно указать бесконечно много конформных проекций.

Значительное применение нашли комплексные числа при изучении

движения естественных и искусственных небесных тел. Так например, одна

из важных задач, возникшая при подготовке запусков первых искусственных

спутников Земли, состояла в следующем: как будет двигаться спутник под

влиянием тяготения к «сплюснутому сфероиду» (такую форму имеет земной

шар, который несколько сплюснут у полюсов, его полярный диаметр

примерно на 42 километра меньше экваториального диаметра). Одним из

самых эффективных способов решения этой задачи оказался способ,

основанный на применении комплексных чисел. Он был предложен совет-

скими учеными Е. П. Аксеновым, Е. А. Гребенщиковым и В. Г. Деминым.

22

4. РЕЗУЛЬТАТЫ СОЦИОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

После проведенной нами работы, было решено провести опрос среди

учеников школы №21 для того, чтобы узнать, что они знают о комплексных

числах. Учащимся были предложены следующие вопросы:

1. Слышали ли вы о комплексных числах?

2. Где вы о них слышали?

3. Что вы можете о них сказать?

Среди 8-ых классов на вопрос: «Слышали ли вы о комплексных числах?»

Ответили: да-70%

нет-30%.

На вопрос: «Где вы слышали?»

Ответили: на уроке алгебры-62%,

на уроке информатики-2%,

при изучении биографии С.Ковалевской-2%,

нигде не слышали-34%.

На вопрос: «Что вы о них можете сказать?»

Ответили: используются при решении квадратных уравнений-5%,

не знаю-85%,

не помню-10%.

Слышали ли вы о комплексных

числах?

да

нет

Где вы слышали?

на уроке алгебры

на уроке информатики

при изучении биографии С.Ковалевской

нигде не слышал

23

Среди 11-ых классов:

на вопрос: «Слышали ли вы о комплексных числах?»

ответили: да-27%,

нет-73%,

на вопрос: «Что вы можете о них сказать?»

ответили: не знаю-71%,

попытались ответить, но не правильно-12%,

правильно ответили-15%,

не помнят-2%.

24

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность,

имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только

в математике, а также в таких науках, как физика, химия и в настоящее время

комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной

и космической индустрии. Именно поэтому нам надо расширять свои знания

о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

Думаем, что мы добились поставленной цели. Познакомились с историей

развития числа, понятием комплексного числа, формами записи

комплексныхчисел, с действиями над комплексными числами. Показали, как

с помощью комплексных чисел можно вывести некоторые формулы

тригонометрии.

Подводя итоги, мы пришли к следующему важному выводу:комплексные

числа тесно взаимосвязаны с различными науками, но при этом, как показал

опрос, уровень школьных знаний о них недостаточный, так как комплексные

числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее,

являются серьёзным разделом элементарной математики. И поэтому, я

считаю, что изучение комплексных чисел необходимо ввести в программу

элективных курсов по алгебре.

25

6. ЛИТЕРАТУРА

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др/ Алгебра и начала

анализа 10-11кл, Просвещение 2005г,

2. Колмогоров А.Н., Абрамов, Дудицин Алгебра и начала анализа 10-

11кл, Просвещение 2005г

3. Никольский С.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-

11кл, Просвещение 2005г

4. Алгебра и начало анализа.10 класс. Учебник для учащихся

общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г.

Мордковича.

ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ

1. http://www.people.su/39021

2. http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg26.html