Комплексные числаКомплексные числаМБОУ Большемаресевская СОШ МБОУ Большемаресевская СОШ

МордовияМордовияКласс: 11Класс: 11

Учебник: Алгебра и начало анализа. Учебник: Алгебра и начало анализа. Ю. М. Колягин и др. Ю. М. Колягин и др.

(профильный уровень) (профильный уровень) Учитель: Коршунов В.Ю.Учитель: Коршунов В.Ю.

Год создания: 201Год создания: 20166

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ

ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Комплексные числа. Геометрическая

интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Понятие комплексного числа

Х+А=В - недостаточно положительных чисел

А·Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на множестве рац.чиселХ²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные числа

Х+5=2

Иррациональные числа

Рациональные числа

Действительные числа

Решение квадратных уравнений

А · Х²+ В ·Х+ С =0При D<0 действительных корней

нет

Иррациональные числа

Рациональные числа

Действительные числа

+

Иррациональные числа

Рациональные числа

Действительные числа

+

Комплексные числа

Вид комплексного числа

Х²=-1Х=i -корень уравненияi- комплексное число, такое , что

i²=-1

А + В· iЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

А и В – действительные числаi- некоторый символ , такой, что

i²= -1А – действительная частьВ – мнимая частьi – мнимая единица

А + В· i

Геометрическая интерпретация

комплексного числа

Модуль комплексного числа

Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕZ= А + В· i

(Z) = Z

Комплексно сопряженные числа.

Z = A + B i= 22 ВА

Тригонометрическая форма комплексного числа

Z =rφ- аргумент аргумент комплексного числаZ=r cos φ + i Z sin φ == r (cos φ+ i sin φ)

Для Z=0 аргумент не определяется

Т.к Z =r =

22 ВА Z= А + В· i= cosφ+i sinφ

22 ВА

22 ВА

22cos

BA

A

22sin

BA

В

ABtg

Сложение и умножение комплексных чисел

Алгебраическая форма

Геометрическая форма

Сумма(A+iB) + (C+iD)=

(A+C)+(B+D)IПроизведение

Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)

Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)]

Произведение (A+iB) · (C+iD)=

(AC-BD)+(AD+BC)i

Если Z 1= Z2, то получим

Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²= r² (cos2 φ+ i sin 2φ)Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos

φ+ i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)

)sin(cos

)]sin(cos[

ninr

irZn

nn

Формула Муавра

Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n

Число Z называется корнем степени n из

числа ω (обозначается ), если (*)

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения

является корнем степени n из числа ω.

n

nZ

nZ

Z= r (cos φ+ i sin φ) ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)

Zkknn

rили

Zkгдеknиr

ininr

n

n

n

,2,

,2

)sin(cos)sin(cos

Zkknn

iknn

Z nk )],2sin()2[cos(

Вторая формула Муавра

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n

.0...

0,...,

01

11

1

числаыекопмплекснзаданныеaaгдеaZaZaZa

n

nn

nn

Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Пример:Решить уравнение:

iix

ix

iix

k

Zkkikx

rr

Zkkkтогда

Zkkikir

irxZkkik

x

31))34

3sin()

34

3(cos(2

2))32

3sin()

32

3(cos(2

31)3

sin3

(cos2

...2,1,0

)),32sin

32(cos2

28

,32

23)),2sin()2(cos(8)3sin3(cos

)sin(cos)),2sin()2(cos(88

8

3

2

1

3

3

3

Свойства сложения и умножения

Переместительное свойство:

Сочетательное свойство:

Распределительные свойство:

Z1 + Z2 = Z1 +Z2 Z1 · Z2 = Z1 ·Z2

Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3

(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3)

(Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Вычитание и деление комплексных чисел

Z+ Z2 = Z1

Вычитание – операция, обратная сложению:Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )Z= Z1 - Z2 –разность

Деление – операция, обратная умножению:Z · Z2 = Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

022

1 ZZZZ

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Примеры:Найти разность и частное

комплексных чисел iZиiZ 4354 21

Решение:

iiZZ

iiiZZ

411

4132

25165344

25164534

1)54()43(

1

2

12