https://bohdan-books.com/catalog/book/101083/

Від аВтора

З2008­горокускладаннязовнішньогонезалежногооцінювання(даліЗНО)стаєобов’язковимдлябажаючихвступитидовищихна­вчальнихзакладів,хочавипускнетестуваннязапровадилинабагатораніше.Відсамогопочаткуіпо2009­йріквключноябравучастьуперевірці третьоїчастиниЗНОяквякості експерта, так і вякостістаршогоінструктораі,навіть,вякостікуратора.Томуспецифікуза­вданьітематикуЗНОзнаю,яктокажуть,зсередини.Структураза­вданьбулатрирівневою.Першачастинамістилазавданнянавибірправильноївідповіді,ікожнезавданняоцінювалосьв1бал.Другачастинамістилазавдання,доякихуспеціальновідведеніклітинкибланку відповідей треба було вписати числове значення відповіді;кожнезавданняцієїчастиниоцінювалосьу2бали.Третячастинамістилазавдання,доякихабітурієнтмавнадатидетальніпояснен­ня.Оцінювалисьзавданняцієїчастинивід4­охдо7­мибалів,вза­лежностівідрівняскладності,іперевірялисьфахівцями,щозалуча­лисьцентрамимоніторингуякостіосвітизчисланайдосвідченішихвикладачів.

З2009­горокудержававідмовиласьвідтакоїструктуриЗНО.Пер­шачастиназалишиласьтакоюж,ікількістьбалівзакожнезавданнянезмінилась.Другачастинасталаміститизавданнянавстановлен­нявідповідностіміжзапитаннями(1-4)тавідповідямидоних(А-Д).Кожнезавданняцієїчастиниоцінювалосьвід0до4балів,взалеж­ності від кількості наведених правильних відповідностей. Третяжчастинаміститьзавдання,докожногозякихабітурієнтмаєвписа­тиубланквідповідейчисловезначеннярозв’язку.Оцінказакожнуправильнозаписанувідповідь—2бали.Особливістюцьоготестуван­ня є те,щобланквідповідейперевіряєтьсялишекомп’ютером, беззалученняфахівців.Можецейнакраще,боекономлятьсядержавнікошти,якітребабулобзаплатитифахівцям,щоперевірялибтре­тючастину.Але,якнамене,втраченотворчийпідхіддоперевіркискладнихзавдань.

Якбитамнебуло,аленасьогоднішнійденьрезультатиЗНОєосновнимчинникомвступудовищихнавчальнихзакладів.Пропра­цювавши6роківусистемідовузівськоїпідготовкиврамкахінститу­тудовузівськоїпідготовкипринаціональномутехнічномууніверси­тетіУкраїни«КПІ»,апотімприфізико­технічномуінституті(одинз

4 Від автора

факультетівНТУУ«КПІ»), створиввласну, більшгнучкупрограмукурсовоїдовузівськоїпідготовкиабітурієнтів,івжечотирирокиви­пускникимоїхкурсівстовідсоткововступаютьдорізнихвищихна­вчальнихзакладівУкраїнинабюджетнуформунавчання!

Посібник,передусім,адресованоучнямвипускних 11-их класівза­гальноосвітніхшкіл,ліцеїв,коледжів, гімназійтощо,випускникамминулих років, що складатимуть ЗНО з математики; викладачамсистемидовузівськоїпідготовки,атакожпризначенодляфакульта-тивних занять.Посібникмістить16тематичнихрозділіві17­йроз­діл—повторення.Кожнатемазавершуєтьсятематичнимтестом,щоєзворотнимзв’язкомміжслухачамикурсівпідготовкитавикладачем.Тематичнітестирозробленіудвохваріантахісхожі,заструктурою,натестиЗНО.Всівони,які17­йвипускнийтест(пробнетестування)містятьсяудодатку«Тести.Додатокдопосібника“Повнийкурспід­готовкидоЗНОзматематики”».17­йтестподаноудвохваріантах:«Зошит1»і«Зошит2».Алесімнадцятий(випускний)тестіснуєу8­ми(!)варіантах,замовитиякіможнававторазаелектронноюадресоюafrica91@ukr.net,якііншітематичнітести.ВсівонинабраніуWord­ііготовідодрукууформатіА4набудь­якомупринтері,якийєсьо­годнічиневкожнійсім’ї.Цемаєзацікавитивикладачів, що ведуть курсову довузівську підготовку.

Чотирирічнапрактикапоказала,що,займаючисьтричінатиж­деньпотриакадемічнігодининадень,зжовтняпоквітеньвключно,252­тигодиндостатньодлятого,щобвичитативсюпрограмукурсо­воїпідготовки.

До всіх 1548­ми задач посібника наведено відповіді. До тематич­них тестів і до двох варіантів випускного тесту відповіді наведено вРозв’язнику,якийвиданоокремо.Вінбудекориснимдляучнів,щонемаютьзмогувідвідуватикурсипідготовки,бовньомунаданорозв’язкивсіхключовихзадачзбіркитазадачпідвищеноїскладності.

Необхідну теоретичну складову в посібнику розміщено, як пра­вило,напочаткутеми.Вонадаєзмогунезалучатидопідготовчогопроцесу інші збірники та підручники. В кінці видання компактнозібранодовідниковийматеріал.

УпосібникунаведенозавданняЗНОзматематикизвідповідямиза2010­й,2011­йта2012­йроки.

Бажаю Вам успіху, шановний читачу, здійснення мрій і праг­нень!

тема 1

Відсотки. ЧислоВі та алгебраїЧні Вирази

Заняття №1-3

Відсотки

Знаходження відсотка від числаЩобзнайтивідсотоквідчисла,требачислопомножитинацейвід­

соток.Длязручностівідсотокможнаперевестиудесятковийдріб.Задача 1.1. Змолока одержують 10% сиру.Скільки сиру одержать зі

40лмолока?

Відсоткове відношення чиселЩобзнайтивідсотковевідношеннячисел,требаоднечислоподі­

литинаіншеіїхнючасткупомножитина100%.Задача 1.2. З 20 учнів класу 3 відмінники. Який відсоток усіх учнів

класускладаютьвідмінники?

Знаходження числа за його відсоткомЩобзнайтичислозайоговідсотком,требавідомечислорозділити

навідповіднийвідсоток,переведенийудесятковийдріб.Задача 1.3. Укіоскувпершийденьпродали38%усіхзошитів,удру­

гийдень55%усіхзошитів,автретій—решту126зошитів.Скількиразомзошитівпродаливкіоскузатридні?

6 тема 1. Відсотки. Числові та алгебраїчні вирази

Складні відсотки

nk

1100

+

a ,

деn—початковасума,k—кількістьроківкористуваннядепозитомбанку,a—банківськийдепозитнийвідсоток.Задача 1.4. Зарплатуробітникупідвищилиспочаткуна15%,апотімче­

резрік—щена20%.Наскількивідсотківпідвищиласьзарп­латаробітникавпорівняннізпочатковою?

Задача 1.5. ВкладниквнісвОщадбанк3000грн.Ощадбанкнараховуєщорічно12%відсумивнеску.Якоюстанесуманарахункувкладникачерез4роки?

Властивості степенів та арифметичні дії з ними

ab a bn n n( ) = ⋅ . ab

ab

n n

n

= . a a am n m n⋅ = + .

a a am n m n: = - . a am n mn( ) = . a amnmn= .

a a0 1 0= ≠, . aa

nn

- =1 .

Знайдіть значення числових виразів (1.6-1.9):

1.6. -

-23

2

. 1.7. 142 7

15

13 14⋅.

1.8. 342 17

7 214

10

11 12

6 7

8⋅⋅: . 1.9. 16 25

2 5

4 2

8

23

15

23 1 6

12 1

3123

19

12

⋅

⋅

⋅

-

-

,.

Запишіть вирази у вигляді степеня з основою х (1.10-1.13):

1.10. -( ) ⋅x x2 3 . 1.11. x x3 4⋅ -( )- . 1.12. x

x6

7

-

. 1.13. x xn n n2 24- -: .

Формули скороченого множення. Тотожні перетворення алгебраїчних виразів

a b a b a b2 2- = -( ) +( ) . a b a ab b±( ) = ± +2 2 22 .

a b a b a ab b3 3 2 2± = ±( ) +( ) .

Заняття №154-156 105

Вписані та описані кола. Теорема Птолемея

У чотирикутнику, вписаному в коло, добутокдіагоналей дорівнює сумі добутків протилежнихсторін,d d ac be1 2 = + (рис.11.14).

У чотирикутнику, описаному навколо кола,сумипротилежнихсторінрівні.

Знайдіть довжину кола, описаного навколо (11.57-11.64):11.57.квадратазістороноюа.11.58.прямокутниказісторонамиaіb.11.59.правильноготрикутниказістороноюа.11.60.прямокутноготрикутниказкатетамиaіb.11.61.прямокутноготрикутниказкатетомаіпротилежнимкутомa.11.62.рівнобедреноготрикутниказосновоюаівисотоюh,проведе­ноюдооснови.11.63.рівнобедреноготрикутниказосновоюаібічноюстороноюb.11.64.прямокутниказістороноюаігостримкутомaміждіагоналями.

Знайдіть довжину кола, вписаного (11.65-11.72):11.65.уквадратзістороноюа.11.66.урівностороннійтрикутникзістороноюa.11.67.урівнобедренийпрямокутнийтрикутникзгіпотенузоюс.11.68.упрямокутнийтрикутникзгіпотенузоюс ігостримкутомa.11.69. упрямокутнийтрикутникзкатетома іприлеглимдоньогокутомa.11.70.урівнобедренийтрикутникзбічноюстороноюаікутомa,про­тилежнимоснові.11.71.урівнобедренийтрикутникзкутомa приосновіівисотоюh,опущеноюнаоснову.11.72.урівнобедренутрапеціюзбільшоюосновоюаігостримкутомa.

Розв’яжіть задачі (11.73-11.76):11.73. Обчисліть площу рівнобедреної трапеції, описаної навколоколазрадіусомr,якщовідомо,щоїїбічнасторонадорівнюєс.11.74. Колодотикаєтьсядобільшогокатетапрямокутноготрикутника,проходитьчерезвершинупротилежногогострогокута імаєцентрнагіпотенузі.Знайдітьйогорадіус,якщокатетидорівнюють3смі4см.

106 тема 11. планіметрія

11.75.Навколоколазрадіусомrописанорівнобедренийтрикутникізкутом120º.Знайдітьйогосторони.11.76. Основа трикутника дорівнює 12 см, а сума бічних сторін—20см.Знайдітьдовжинувисотитрикутника,проведеноїдооснови,абиприцьомуйогоплощабуланайбільшою.

Заняття №157-159

Практикум з розв’язування задач

Розв’яжіть задачі (11.77-11.80):11.77. На рис. 11.15 зображено прямокутнийтрикутникАВС, гіпотенуза якого дорівнює 6, агострий кут—60°.На гіпотенузіАВ побудованорівностороннійΔABD,анакатетіСВ—рівносто­роннійΔCBE.Установіть відповідністьміжпло­щамизаданихфігур(1-4)ічисловимизначення­ми(А-Д).

Площа Числове значення

1 ПлощатрикутникаАВС

2 ПлощатрикутникаСВЕ

3 ПлощафігуриADBC

4 ПлощатрикутникаАDС

А 27 32

Б 9 32

В 9 34

Г 12 3Д 9 3

11.78. На рис. 11.16 зображено трикутникАВС. Установіть відповідність між тригоно­метричнимифункціямизаданихкутів(1-4)іїхнімичисловимизначеннями(А-Д).

Довідник 227

8. duu

u Ccos2 = +∫ tg .

9. duu

u Csin2 = - +∫ ctg .

10. duu

u Csin

ln= +∫ tg2

.

11. duu

u Ccos

ln= +

+∫ tg

2 4p .

12. dua u

ua

C2 2-

= +∫ arcsin .

13. duu a

u u a C2 2

2 2

±= + ± +∫ ln .

14. dua u a

ua

C2 21

+= +∫ arctg .

Комбінаторика

1. Розміщення:

A n n n n m n mnm = -( ) -( ) - -( )( ) - -( )( )1 2 2 1... , або A n

n mnm =

-!

( )!.

2. Перестановки: P n nn = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅! ...1 2 3 .

3. Комбінації: C nm n mn

m =⋅ -( )

!! !

.

4. Біном Ньютона: x a C x C ax C a x C a x C an

nn

nn

nm m n m

nn n

nn n+( ) = + + + + + +- - - -0 1 1 1 1... ... .

5. Формула загального члена розкладу бінома Ньютона:

T C a x nm n m

a xm nm m n m m n m

+- -= =

⋅ -1!

! ( )!.

228 Довідник

Властивості комбінаторики

1. C nm n m

C nn m m

C Cnm

nn m

nm

nn m=

⋅ -( )=

-( )⇒ =- -!

! !, !

! !.

2. Якщо m = n, то A Pnm

n= .

3. При m = n, A Pnm

n= , nn n

n n n!( )!

!, !!

!,-

= = ⇒0

0! = 1.

Формули теорії ймовірностей

1. Ймовірність події P mn

= , де m — кількість очікуваних подій, n —

кількість усіх можливих подій.2. Формула Бернуллі: P C p q q pm n n

m m n m, ,= = -- 1 .

Використана література 229

Використана література

1. Апостолова Г.В. Хитромудрий модуль. К.: «Поліграфсервіс», 2001.2. Апостолова Г.В., Ясінський В.В. Перші зустрічі з параметром. —

К.: ФАКТ, 2004.3. Гальперина А.Р. Математика. Типові тестові завдання. — К.: Лі-

тера ЛТД, 2012.4. Дуда О.Д., Романюк В.Я., Балінська Л.А. Алгебра. Завдання для

підготовки до екзамену в 9-их класах. — Львів: ВНТЛ, 1999.5. Дуда О.Д., Романюк В.Я., Балінська Л.А. Геометрія. Завдання

для підготовки до екзамену в 9-их класах. — Львів: ВНТЛ, 1999.6. Истер А.С. 200 вариантов вступительного экзамена по математи-

ке. — Каменец-Подольский: АБЕТКА, 2001.7. Істер О.С. Комбінаторика, біном Ньютона та теорія ймовірностей

у школі. — К.: ФАКТ, 1997.8. Литвиненко Г.М., Федченко Л.Я., Швець В.О. Збірник завдань

для екзамену з математики на атестат про середню освіту. Части-на ІІ. Геометрія. Л.: ВНТЛ, 1997.

9. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. М.: Просвещение, 1990.

10. Сканаві М.І. Збірник задач з математики для вступників до вту-зів. — К.: Вища школа, 1992.

11. Титаренко О.М. 5770 задач з математики з відповідями. — Х.: Тор-сінг Плюс, 2005.

12. Український центр оцінювання. Зовнішнє незалежне оцінювання, 2008. Тест із математики.

13. Український центр оцінювання. Зовнішнє незалежне оцінювання, 2009. Тест із математики.

14. Український центр оцінювання. Зовнішнє незалежне оцінювання, 2010. Тест із математики.

15. Український центр оцінювання. Зовнішнє незалежне оцінювання, 2011. Тест із математики.

16. Український центр оцінювання. Зовнішнє незалежне оцінювання, 2012. Тест із математики.

17. Ясінський В.В. Математика. Навчальний посібник для слухачів ФДП НТУУ «КПІ». — К.: ІДП НТУУ «КПІ», 2005.

Зміст

Від автора ...............................................................................................3Тема 1. Відсотки. Числові та алгебраїчні вирази ......................5Тема 2. Алгебраїчні рівняння .........................................................12Тема 3. Рівняння з параметрами ...................................................20Тема 4. Системи алгебраїчних рівнянь з двома змінними ....28Тема 5. Нерівності та їх системи ...................................................34Тема 6. Ірраціональні рівняння, нерівності та їх системи ....41Тема 7. Функції, їх властивості та графіки ................................45Тема 8. Прогресії. Ціла та дробова частини числа ..................51Тема 9. Тригонометричні функції, їх графіки та властивості ......................................................................................56Тема 10. Показникова та логарифмічна функції .....................80Тема 11. Планіметрія ........................................................................90Тема 12. Декартові координати. Вектори .................................108Тема 13. Стереометрія ....................................................................118Тема 14. Похідна та її застосування ...........................................132Тема 15. Первісна та інтеграл ......................................................140Тема 16. Комбінаторика. Теорія ймовірностей. Математична статистика ...............................................................144Тема 17. Повторення .......................................................................154Відповіді .............................................................................................184

Тема 1. Відсотки. Числові та алгебраїчні вирази .....................184Тема 2. Алгебраїчні рівняння .....................................................185Тема 3. Рівняння з параметрами ...............................................186Тема 4. Системи алгебраїчних рівнянь з двома змінними .....188Тема 5. Нерівності та їх системи .................................................189Тема 6. Ірраціональні рівняння, нерівності та їх системи ......191

Зміст 231

Тема 7. Функції, їх властивості та графіки ...............................191Тема 8. Прогресії. Ціла та дробова частини числа ...................197Тема 9. Тригонометричні функції, їх графіки та властивості ................................................................................198Тема 10. Показникова та логарифмічна функції .....................202Тема 11. Планіметрія ...................................................................204Тема 12. Декартові координати. Вектори ..................................205Тема 13. Стереометрія .................................................................206Тема 14. Похідна та її застосування ...........................................207Тема 15. Первісна та інтеграл ....................................................208Тема 16. Комбінаторика. Теорія ймовірностей. Математична статистика .....................................................................................209Тема 17. Повторення ....................................................................209

До ЗНО-2010. Зошит 13 ...............................................211До ЗНО-2011. Зошит 13 ...............................................211До ЗНО-2012. Зошит 13 ...............................................211

Довідник .............................................................................................212Формули скороченого множення ................................................212Елементарні перетворення графіків функцій ..........................212Основні формули тригонометрії .................................................214Основні співвідношення між оберненими тригонометричними функціями .................................................216Властивості степенів ....................................................................219Властивості логарифмів ..............................................................220Трикутники ...................................................................................220Чотирикутники .............................................................................222Площа трикутника .......................................................................222Декартові координати ..................................................................222Вектори ..........................................................................................224Похідні елементарних функцій та правила їх обчислення ....225Таблиця основних невизначених інтегралів ............................226Комбінаторика ..............................................................................227Властивості комбінаторики .........................................................228Формули теорії ймовірностей ......................................................228

Використана література ................................................................229