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2019-2020学年怀柔区第二学期适应性练习
数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷 1至 2页、第Ⅱ卷 3至 4页,共 150分.考试时长 120分钟.考
生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题 共 40分)
一、选择题(共 10小题,每小题 4分,共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)
1.已知集合 {1, 2}A , { 0 2}B x x ,则 A B
A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{ 0 2}x x
2.若复数 z满足 i 1 iz ,则 z
A.1 i B.1 i C. 1 i D. 1 i
3.函数22cos 1y x 的最小正周期为
A.2
B. C. 2 D. 4
4.函数 2logy x 的图象是
A. B. C. D.
5.在等差数列{ }na 中,若 4 5 6 15a a a ,则 2 8a a
A.6 B.10 C.7 D.5
6.已知圆 C与圆(x-1)2+y2=1关于原点对称,则圆 C的方程为
A.x2+y2=1 B.x2+(y+1)2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+y2=1
7.已知 1a
,则“ ( )a a b rr r ”是“ 1a b
”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
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2
8.如图,网格纸上小正方形的边长均为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为
A.23
B.43
C.3 D.32
9.已知 0a b ,则下列不等式成立的是
A. 1ba B. 2 2a b C.
1 1a b D. 2a ab
10.“割圆术”是我国古代计算圆周率 的一种方法.在公元 263年左右,由魏晋时期的数学家刘徽发明.其
原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积,进而求 .当时刘微就是利用这种方法,把
的近似值计算到3.1415和3.1416之间,这是当时世界上对圆周率 的计算最精确的数据.这种方法
的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的,用有限的来逼近无穷的.为此,刘微把
它概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”.这种方法极其
重要,对后世产生了巨大影响,在欧洲,这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”,若用正
二十四边形来估算圆周率 ,则 的近似值是(精确到0.01)
(参考数据 sin15 0.2588o )
A.3.05 B.3.10
C.3.11 D.3.14
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第二部分 (非选择题 共 110分)
二、填空题(共 5小题,每小题 5分,共 25分.)
11.已知抛物线 2 2y px 的焦点与双曲线2
2 14x y 的右顶点重合,则抛物线的焦点坐标为 ;
准线方程为 .
12. 7( 1)x 的展开式中 3x 的系数是 .
13.在 ABC 中, 60ABC , 2 2BC AB , E为 AC的中点,则 AB BE
.
14.某网店“五一”期间搞促销活动,规定:如果顾客选购商品的总金额不超过 600元,则不享受任何折扣优
惠;如果顾客选购商品的总金额超过 600元,则超过 600元部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下
表累计计算.
如果某人在网店所购商品获得的折扣优惠金额为 30元,则他实际所付金额为 元.
15.若函数 ( ) (cos )xf x e x a 在区间 ( , )2 2
上单调递减,则实数 a的取值范围是 .
三、解答题(共 6小题,共 85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)
16.(本题满分 14分)
已知在 ABC 中, 2a , 2b ,同时还可能满足以下某些条件:
1π4
A ;② B A ;③ sin sinB A ;④ 4c .
(Ⅰ)直接写出所有可能满足的条件序号;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 B及 c的值.
17.(本题满分 14分)
如图,四棱锥P ABCD 的底面 ABCD是正方形,PA底面 ABCD, ,E F分别是 ,BC PC的中点,
2AB AP .
(Ⅰ)求证:BD平面 PAC;
(Ⅱ)求二面角 E AF C 的大小.
18.(本题满分 14分)
某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试,测试成绩满分为100分,规定测试成绩在
[85,100]之间为“体质优秀”,在[75,85)之间为“体质良好”,在[60,75)之间为“体质合格”,在[0, 60)之间
为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取 7名学生,测试成绩如下:
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过 500元的部分 5%超过 500元的部分 10%
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学生编号 1 2 3 4 5 6 7高一年级 60 85 80 65 90 91 75高二年级 79 85 91 75 60 m n
其中 ,m n是正整数.
(Ⅰ)若该校高一年级有 280学生,试估计高一年级“体质优秀”的学生人数;
(Ⅱ)若从高一年级抽取的7名学生中随机抽取2人,记 X 为抽取的2人中为“体质良好”的学生人数,求 X的分布列及数学期望;
(Ⅲ)设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等,当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时,
写出 ,m n的值.(只需写出结论)
19.(本小题 15分)
已知函数 ( ) ln , ( ) xf x x g x e .
(Ⅰ)求 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程;
(Ⅱ)当 0x 时,证明: ( ) ( )f x x g x ;
(Ⅲ)判断曲线 ( )f x 与 ( )g x 是否存在公切线,若存在,说明有几条,若不存在,说明理由.
20.(本小题满分 14分)
已知椭圆 :C2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的短半轴长为 2 ,离心率为22
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设 ,A B是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且点 A在第一象限,AE x 轴,垂足为 E,连接 BE并
延长交椭圆于点D,证明: ABD 为直角三角形.
21.(本小题满分 14分)
已知数列 , ,n n na b c ,且 1 1, ( )n n n n n nb a a c b b n N .若 nb 是一个非零常数列,则
称 na 是一阶等差数列,若 nc 是一个非零常数列,则称 na 是二阶等差数列.
(Ⅰ)已知 1 11, 1, 1na b c ,试写出二阶等差数列 na 的前五项;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,证明:2 22n
n na ;
(Ⅲ)若 na 的首项 21 a ,且满足 )(23 11
Nnabc n
nnn ,判断 na 是否为二阶等差数列.
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参考答案及评分标准一、选择题(共 10小题,每小题 4分,共 40分).
二、填空题(共 5小题,每小题 5分,共 25分.)
11. ( 2 , 0 ) ; 2x ; 12. 35; 13. 1 ;
14. 1120; 15. [ 2, ) .
三、解答题(共 6小题,共 85分.)
16.(本题满分 14分)
解:(Ⅰ)①,③.-------------------------------------------------------4分
(Ⅱ)由sin sina bA B 得
2 2sinsin
4B
--------------------------6 分
22 sin 2 14 2sin2 22
B
-----------------------8分
2 26
a b A B B --------------------------9分
解法一:7 6 2sin sin( ( )) sin12 4
C A B
由
6 22sin 4 3 1sin sin sin 2
2
a c a CcA C A
.----------------14 分
解法二: 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 ( 2) 2 22
a b c bc A c c 由
解得 3 1c 或 3 1c (舍).-----------------------------------------14分
17.(本题满分 14分)
(Ⅰ)证明:连接 BD -------------------------------1分
四边形 ABCD为正方形
BDAC ,------------------------2分
PA 又 底面 ,ABCD BD ABCD平面 ,
BDPA ,------------------------4分
PA AC C而
PACBD 平面 --------------------5分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A C B D B D C D A C
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6
(Ⅱ)解: ABCDPA 平面 , ADAB ---------------------------------------------------------------6分
以 A为原点、 AB 为 x轴、 AD为 y轴、 AP 为 z轴,建立空间直角坐标系---------7分
则 )0,0,0(A , )0,0,2(B , )0,1,2(E , (0, 2,0)D , )1,1,1(F , (2,1,0)AE
, (1,1,1)AF
--------9分
设 AEF平面 的一个法向量为 ),,( zyxn
0
0
n AE
n AF
,即
002
zyxyx
--------------------------------10分
令 1x ,则 1,2 zy )1,2,1( n ------------------------11分
由(Ⅰ)知 )0,2,2(BD 为 ACF平面 的法向量------------12分
3cos ,2| || |
n BDn BDn BD
--------------------------------13分
所以,二面角 E AF C 的大小为6
.--------------------------14分
18.(本题满分 14分)
解:(Ⅰ)高一年级随机抽取的 7名学生中,“体质优秀”的有 3人,优秀率为37,将此频率视为概率,估
计高一年级“体质优秀”的学生人数为3 280 1207 人.---------------------3 分
(Ⅱ)高一年级抽取的 7名学生中“体质良好”的有 2人,非“体质良好”的有 5人。所以 X 的可能取值
为0,1,2 ------------------------------------------------------------------------------------5 分
所以0 2 1 1 2 02 5 2 5 2 52 2 27 7 7
10 10 1( 0) , ( 1) , ( 2)21 21 21
C C C C C CP X P X P XC C C
--------8 分
所以随机变量 X 的分布列为:
10 10 1 12 4( ) 0 1 221 21 21 21 7
E X --------------------------------------------------------11分
(Ⅲ) 78m n .--------------------------------------------------------------------------------------------14分
19.(本小题 15分)
解:(Ⅰ) ( ) lnf x x 的定义域 (0, ) -----------------------------------1 分
1( ) (1) 1f x k fx
由 -------------------------------------2分
X 0 1 2
P 1021
1021
121
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又 (1) 0f --------------------------------------------------------------3 分
所以 y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为: 1y x .--------------------4 分
(Ⅱ)设 ( ) ( ) ln ( 0)h x f x x x x x ,
1 1'( ) 1 0 1xh x xx x
由 ,
'( ), ( )h x h x x随 变化如下:
x (0,1) 1 (1, )
'( )h x 0
( )h x ↑ 极大值 ↓
max( ) (1) ln1 1 1 0h x h
( )f x x -------------------------------------------------------------7 分
设 ( ) ( ) '( ) 1 0 (0, ), xx s xs x x g x xx e e 在则 上恒成立,
(0,( ) )xs x 在 上单调递减
( ) (0) 1 0 ( )s x s x g x -----------------------------------9 分
综上 f x x g x ----------------------------------------------------10 分
(Ⅲ)曲线 ( )f x 与 ( )g x 存在公切线,且有 2条,理由如下:---------------------11分
由(Ⅱ)知曲线 ( )f x 与 ( )g x 无公共点,设 1 2,l l 分别切曲线 ( )f x 与 ( )g x 于 21 1 2( , ln ), ( , )xx x x e ,则
2 21 1 2 2
1
1: ln 1; : (1 )x xl y x x l y e x e xx
,若 1 2l l ,即曲线 ( )f x 与 ( )g x 有公切线,则
2
2
2
1 2 2
1 2
1(1 ) 1 0
ln 1 (1 )
xx
x
ex e x xx e x
令 ( ) (1 ) 1xh x e x x ,则曲线 ( )f x 与 ( )g x
有公切线,当且仅当 ( )h x 有零点,
'( ) 1xh x xe ,
0 '( ) 0, ( ) ( ,0)x h x h x 当 时, 在 单调递增,
0 ''( ) ( 1) 0, '( ) (0, )xx h x x e h x 当 时, 在 单调递减,
'(0) 1 0, '(1) 1 0h h e 又 ,
00 0 0(0,1) '( ) 1 0xx h x x e 存在 使得 ,
0(0, ) '( ) 0, ( )x x h x h x 且 时, 单调递增, 0( , ) '( ) 0, ( )x x h x h x 时, 单调递减,
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0max 0 0 0 0 0
0
1( ) ( ) (1 ) 1 (1 ) 1 0xh x h x e x x x xx
,
2 2( 2) 3 1 0, (2) 3 0h e h e 又 ,
0 0( ) ( 2, ), ( , 2)h x x x 在 内各存在有一个零点,
故曲线 ( )f x 与 ( )g x 存在 2条公切线。------------------------------------------15分
另解:曲线 ( )f x 与 ( )g x 存在公切线,且有 2条,理由如下:
设 l是曲线 ( )f x 与 ( )g x 的公切线,切点分别为 21 1 2 1 2( , ln ), ( , )( )xx x x e x x ,则
21 2
1
1'( ) , '( ) xx xx
f g e
2
2
11 1 1
1
1 2 1
1
( 1) ln 1( )ln 1
x
x
ex
x x xx ex x x
当 1 1 ,( )x 时 不成立 ,
11 1 1
1 1 1
1 2 21 ,( ) ln 1 ln 11 1 1
xx x xx x x
时
分别做出2ln 1,1
y x yx
的图象,如图,图象有二个交点,
11
2ln 11
xx
有二个根,
故曲线 ( )f x 与 ( )g x 存在 2条公切线。(酌情给分)
20.(本题满分 14分)
解:(Ⅰ)依题意可得22,2
cba
-----------------------------------2 分
2 2 2 2
2 2 2
2 12
c a b aa a a
,得 2a -----------------------4 分
所以椭圆的方程是2 2
14 2x y
.----------------------------------5 分
(Ⅱ)解法一: 设 1 1,B x y , 2 2,D x y ,则 1 1,A x y , 1,0E x ------6 分
设 1
1
=2BD BEyk k kx
,则 1
1
=2AByk kx
----8 分
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9
2 22 1 2 1 2 1
2 22 1 2 1 2 1
AD BDy y y y y yk kx x x x x x
------------------9 分
1 1,B x y , 2 2,D x y 在椭圆上
2 2 2 22 1 2 12 2 2 22 1 2 1
1=24 2 4 2AD BD
y y y yk kx x y y
-----------11分
1=2ADk k
, -------------------------------------------------------12分
= 1AB ADk k ------------------------------------------------------13分
AB AD ,即 ABD 是直角三角形.--- ---------------------------14分
解法二: 设 1 1,B x y , 2 2,D x y ,则 1 1,A x y , 1,0E x -------------6 分
设直线 BD的方程为 y kx m ----------------------------------------------7 分
与2 2
14 2x y
联立得 2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m -------------9 分
1 2 2
41 2kmx xk
------------------------------------------10分
2 12 1
2 1 2 1 1 2
2 12AD
kx m kx my y mk kx x x x x x k
------------11分
1
12BEyk kx
, 1
1
=2AByk kx
-----------------------------------------------------12分
= 1AB ADk k ---------------------------------------------------------------------------13分
AB AD ,即 ABD 是直角三角形. -----------------------------------------------14分
21.(本小题满分 14分)
解:(Ⅰ) 11 a , 22 a , 43 a , 74 a , 115 a . ---------------------3 分
(Ⅱ) 1 1, 1,2,3,n n nb b c n
1
11
1 1n
n ii
b c b n n
-------------------------------------------------5 分
又 1 , 1, 2,3,n n na a b n n
21
11
( 1) 212 2
n
n ii
n n n na b a
.-------------------------------9 分
(Ⅲ) na 不是二阶等差数列.理由如下:
数列 na 满足 )(23 11
Nnabc n
nnn
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10
又 nnn aab 1 , nnn bbc 1 ( Nn )
由1 1 1
1 1 13 2 4 2 2 4( 2 )n n n nn n n n n n nc b a a a a a
数列 nna 2 是首项为 421 a ,公比为 4的等比数列
12 4 4 4 4 2n n n n nn na a ---------------------------------------12分
9 4 2n nnc ,显然 nc 非常数列
na 不是二阶等差数列.--------------------------------------------------------------14分
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