第 25 章

第 2525章

介质格林函数法 (Ⅱ)Dielectric Green’s Function Method

图 25-1 三层介质镜像法

微带问题介质 Green函数问题

( / ' )r r

微带问题可以采用介质格林函数求解。

微带情况：可以看成是由空气、介质和导体三个区域。

中心导体带电荷 q，这是由于加正压所致，所以只需加三层介质的 Green函数即可。

eo

ε εo r

o

y

I

I I

I I I

h

1

一、三层介质镜像法

其中 (y － y0) 是为了不确定位置，使求解Microstrip 时更加方便。

(1-1)支配方程

Ⅰ区域

Ⅱ区域

Ⅲ区域

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

2

00

2

2

1

0

0

( ) ( )x h y y

我们仍然采用分区域求解

边界条件

x=h (25-2)

(25-3)

Ⅰ Ⅱ

Ⅰ Ⅱ

＝

x xr

x 0 0 Ⅰ Ⅱ＝

x＜ Ⅲ0 0

两个边界，三种 model，反复迭代



处理 x=h边界

第一次介质条件导体反对称条件

处理 x=0边界

处理 x=h边界

第二次介质条件


1

1

2

1

r

r

r

r

r

r

r

1

1

2

1

注意到在区域Ⅱ，Ⅲ不应有真实电荷，即应满足Laplace方程。

x=0是导体的奇对称对称轴，使≡ 0；

x=h是介质对称轴。

Case 1. 真实电荷 +1 在 Region (Ⅰ 空气0) 中。

根据前面的讨论：在求解 RegionⅠ 和 RegionⅡ时把两个区域都认为充满 0 ，已解出 :


Case 2.“真实”电荷 +1 在 RegionⅢ ，也认为全部充空气 0


求解 Region Ⅱ 求解RegionⅠ

图 25-2 +1 处于 RegionⅢ

首先要看出：［ x+(2i-1)h ］和［ x-(2i+1)h ］对于 x=h对称，只要代入即可知 2ih ，－ 2ih距离相等。全空间 (Full space)充满 0 可知

(25-4)

Ⅰ

Ⅱ

1

2

1

2 1

1

2

1

2 1

1

2 1

02

02

02

02 2

02

' ln[ ( ) ] ( )

ln[ ( ) ] ( )

ln[ ( ) ] ( )

x i h y y

x i h y y x i h y y


在边界 x=h上，Ⅰ＝Ⅱ得到

解出

也就是说：－ (2i-1)h点反映到 (2i+1)h应乘因子，而解 RegionⅠ 时应乘因子。

1 ' '

Ⅰ Ⅱ

x xr r ( ' ) '1

'

'

r

r

r

r

1

1

2

1


'

(25-5)

'

1. RegionⅠ 求解

注意真实电荷在 RegionⅠ ，只能是 +1 ，同时它应与区域 RegionⅡ 作边界拟合。


h+

h-

- h

- 3h

- 5h

- 7h

-

+

-

+

1+ε r

1+ε r

1+ε r

1+ε r

1+ε r

1+ε r

1+ε r

1+ε r

2

2

2

2

2ε r

2ε r

2ε r

2ε r

ε +r 1

ε +r 1

ε +r 1

ε r - 1

ε r - 1

ε r - 1

(

(

(

)

) 2

) 3

y

x

Regi on I


图 25-3 求解 Region Ⅰ 图 25-4 求解RegionⅡ

-

-

1+ε r

1+ε r

1+ε r

1+ε r

1+ε r

1+ε r

1+ε r

1+ε r

2

2

2

2

2

2

2

2

ε +r 1

ε +r 1

ε +r 1

ε +r 1

ε +r 1

ε +r 1

ε r - 1

ε r - 1

ε r - 1

ε r - 1

ε r - 1

ε r - 1

(

(

(

(

(

(

) 2

)

) 2

)

) 3

) 3

-

y

x

o

-

h+

3h

5h

7h

Ⅰ

1

2

2

1

1 2

1

1

02

02 2

02

r

r

rx h y y x h y yln

( ) ( )ln

( ) ( )

2

02

20

2

)()5(

1ln

1

2

1

1

)()2(

1ln

1

2

1

1

yyhx

yyhx

r

r

r

r

r

r

r

r


上式可简要写成

(25-6)

为方便起见，对第一电荷不再区分 h＋和 h－。

Ⅰ

1

2

2

1

1

2

1

1

11

1

2 1

02

02

20

20

r

r

r

r

ri

x h y y

x i h y y

ln( ) ( )

( )ln[ ( ) ] ( )


2.RegionⅡ 求解

Ⅱ

1

2

2

1

1 1

1

1

1

2

1

3

1

1

02

02 2

02

20

2 20

2

r

r

r

r

r

x h y y x h y y

x h y y x h y y

ln( ) ( )

ln( ) ( )

ln( ) ( )

ln( ) ( )

ln( ) ( )

ln( ) ( )

1

5

1

520

2 20

2x h y y x h y y


也可简要写为

(25-7)

注意到 h＋符合上述表述，它显然符合

同时，反对称组合使Ⅱ |x=0≡0得以满足。

Ⅱ

1

2

2

1

1

11

1

2 1

1

2 1

0 0

20

2 20

2

r

r

r

i

i

x i h y y x i h y y

( )

ln[ ( ) ] ( )

ln[ ( ) ] ( )

2 0Ⅱ


3. x=h处Ⅰ =Ⅱ 边界条件检验。

])(])1(2[

1ln)1(

1

1

1

2

)(

1[ln

1

2

2

1|

02

02

200

i

i

i

r

r

r

r

rhx

yyhi

yy

Ⅰ


(25-8)

Ⅱ | ( ) ln( ) ( )

ln[ ( ) ] ( )

ln( )

x h

r

r

r

i

i

i

r

r

r

r

r

ih y y i h y y

y y

1

2

2

1

1

11

1

2

1

2 1

1

2

2

1

11

1

1

1

1

0 12

02 2

02

0 0

i

i

i

x h

r r

r

r

i

i

i

i h y y

y y i h y y

02

02

0 02

12

02

11

2 1

1

2

2

1

1 2

1

1

11

1

2 1

( ) ln[ ( ) ] ( )

| ln( )

( ) ln[ ( ) ] ( )

Ⅱ

十分明显，Ⅰ |x=h=Ⅱ|x=h 。


(25-9)

4. x=h处边界条件检验

Ⅰ

x

i h

i h y yx h r

r

r

r

r

i

i

i

r

r

r

r

r

i

i

i

1

2

2

1

2

1

1

11

2 1

2 1

1

2

2

1

2

1

1

11

0 12

02

0

( )[ ( ) ]

[ ( ) ] ( )

( )

12

02

2 1

2 1

[ ( ) ]

[ ( ) ] ( )

i h

i h y y


Ⅰ Ⅱ

x xr

(25-10)

20

210

20

210

20

220

210

20

220

210

)(])1(2[

])1(2[)1(

1

1

1

2

1

2

2

1

)(])1(2[

])1(2[

1

11)1(

1

1

1

2

2

1

)(])1(2[

)1(2

)()2(

)2()1(

1

1

1

2

2

1

)(])1(2[

])12([

)()2(

])12([)1(

1

1

1

2

2

1

yyhi

hi

yyhi

hi

yyhi

hi

yyih

ih

yyhi

hix

yyih

hix

x

i

i

i

r

r

rr

r

r

i

i

i

r

r

r

i

i

i

r

r

r

hxhxi

i

i

r

r

rhx

Ⅱ

显见

Ⅰ Ⅱ

x xx h

r

x h


(25-11)

(25-12)

我们把Ⅱ写成 Green函数

二、微带问题介质 Green 函数法

G x y h y

x i h y y x i h y y

r

r

r

i

i

i

( , / , ) ( )

ln[ ( ) ] ( )

ln[ ( ) ( )

0

0 1

20

2 20

2

1

2

2

1

1

11

1

2 1

1

2 1

(25-13)

w

h

图 25-5 矩量法求解

设 (y0)是线上电荷分布

(25-14) ( ) ( , / , )y G h y h y dy VW 0 0 0 0


离散化后为

P yy W

y Wnn

n

( )00

0

1

0

V0——线上电压 ( ) ( )y P yn n

n

N

0 01

n

Wn

N

G h y h y dy Vn

( , / , )0 0 01


(25-15)

(25-16)

(25-17)

选定 m 个点，每个点都处于 Wn 中间 ( 相当于Point Matching)

(25-18)

写成 Matrix Form

其中

(25-20)

n m

Wn

N

G h y h y dy Vn

( , / , )0 0 01

l V 0

l G h y h y dymn m

Wn

( , / , )0 0


(25-19)

按照定义

即能得到

其中

(25-22)

表示归一化电荷密度，微带特性阻抗：

CQ

VC

Q

V

0 0

0 或

l

W C

0

1

1

0

'

'

V0


ZvC C0

1

(25-21)

(25-23)

PROBLEM 25

R

0

0

d

y

x

0

0 r

0

一、填充介质空间中有一半径为 R的空气柱

( ) ，离轴心 d 处的线电荷密度为，求 Region I 和Region II 电位。

o r

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