Презентации Од Предавањата По ТС - Дел 2

STABILNOST

Stabilnosta mo`e da se razgleduva od gledi{te na d r du d dvlezno-izlezna relacija, no mo`e da se sledi i

asimptotskoto povedenie na sostojbata na sistemot vo okolina na ramnote`nata sostojba ili periodi~ni oscilacii.

Stabilnosta kaj linearnite sistemi ne zavisi nitu od po~etnite uslovi nitu od vozbudata taa e svojstvo na samiot sistemna samiot sistem.

Poimot stabilnost kaj linearnite sistemi ima karakter na globalno svojstvo.karakter na globalno svojstvo.

STABILNOST

Ramnote`ni sostojbi i koncept na stabilnost

CAG

B D

E FG

neutralna

STABILNOST

Za daden sistem prvoto i mnogu va`no pra{awe okolu negovite razli~ni svojstva e dali toj e stabilen, u r j jbidej}i nestabilen sistem tipi~no e beskorisen i potencijalno opasen.

Sekoj sistem na upravuvawe, bilo da e linearen ili nelinearen, vklu~uva problem na stabilnost koj treba vnimatelno da bide prou~en

Kvalitativno, eden sistem e opi{an kako stabilen

vnimatelno da bide prou~en.

Kvalitativno, eden sistem e opi{an kako stabilenako startuvaj}i go sistemot bilo kade blisku do negovata sakana rabotna to~ka podrazbira deka toj }e ostane okolu to~kata i potoaostane okolu to~kata i potoa.

STABILNOST

Naupotrebuvan i op{t priod za prou~uvawe na stabilnosta na nelinearnite sistemi na upravuvawe e r u r uteorijata vovedena vo kasnite godini na 19-iot vek od ruskiot matemati~ar Aleksandar Mihailovi~ Qapunov.

Negovata rabota, Op{tiot problem na stabilnost pri dvi`ewe publikuvana vo 1892, vklu~uva dve metodi za stabilnostna analiza,stabilnostna analiza,

t.n. linearizaciona metoda ili prva metoda na Qapunov iu

direktna ili vtora metoda na Qapunov.

STABILNOST

Linearizacionata metoda izvlekuva zaklu~oci za Linearizacionata metoda izvlekuva zaklu~oci za lokalna stabilnost na nelinearniot sistem okolu ramnote`na sostojba od stabilnostnite svojstva na negovata linearna aproksimacija.

Direktnata metoda ne e ograni~ena na lokalno dvi`ewe, a gi opredeluva stabilnostnite svojstva na nelinearniot sistem so konstruirawe na skalarnanelinearniot sistem so konstruirawe na skalarna funkcija sli~na naenergetska za sistemot i ja ispituva vremenskata varijacija (promena) na ovaa funkcija.

STABILNOST

:

( ) ) (

BIBO ) BIBO-).

k : k :

; .

STABILNOST

K

.

,

;

Z , .

Nenaru{eno, naru{eno i naru{uva~ko dvièwe. Poim za stabilnost po Qapunov

),( txhx 00 )( xx t),( 00 )(

Na sekoj vektor na po~etni uslovi od oblasta Hednozna~no soodvetstvuva edinstveno re{enie na diferencijalnata ravenka:

),,()( 00xxx

ttt Naj~esto vo SAU takvoto re{enie (dvièwe) se:j r ( )

prinudnite dvièwa za opredeleno upravuvawe, i ramnote`nite ili periodi~ni stacionarni ramnote`nite ili periodi~ni stacionarni sostojbi.


Takvoto re{enie go karakterizira dvièweto na sistemot vo kontekst na konkretna zada~a i, spored Qapunov, se narekuva nenaru{eno dvièwe ilinenaru{eno re{enie.

),,()( 0 0x*x*x ttt

S ( )Site ostanati dvièwa x(t) za po~.uslovi x0 se narekuvaat naru{eni dvièwa ili re{enija.

)()()( ttt*xxx

Definirame naru{uva~ko dvièwe:

)()()( tttxxx


Tri mo`ni varijanti na povedenie na naru{uvaweto:

(1) Kolku i da se mali po~etnite naru{uvawa 0ix(1) Kolku i da se mali po~etnite naru{uvawa

naru{enite dvièwa x(t) sekoga{ divergiraat vo odnos na nenaru{enoto dvièwe x*(t), t.e., koga ;

0xix t

(2) Moè da se najde ili postoi takva oblast na po~etni naru{uvawa makar kolku i da e mala, za koja naru{enoto dvièwe x(t) ne divergira vo odnos na

0ixnaru{enoto dvièwe x(t) ne divergira vo odnos na nenaru{enoto dvièwe x*(t), t.e., se kone~ni vo celiot interval ;

ix tt0

(3) Moè da se najde ili postoi takva oblast na po~etni naru{uvawa makar kolku i da e mala, za koja naru{enoto dvièwe x(t) konvergira kon

0ixnaru{enoto dvièwe x(t) konvergira kon nenaru{enoto dvièwe x*(t), t.e., koga 0ix t


Koncepcijata na stabilnost po Qapunov se odnesuva na jbvidot na preodnite sostojbi i karakterot na

soodvetnata stacionarna sostojba, odrazuvaj}i gi vnatre{nite dinami~ki svojstva na sistemot.

Za primena na teorijata na Qapunov za ispituvawe stabilnosta na nenaru{enoto dvi`ewe, pogodno e dinamikata na sistemot da se izrazi po naru{uva~koto dvi`ewe .

)()()( ttt* )( tx*xhx*x )()()( ttt x*xx )( tx,xhxx

)( tx*,h*x )( tx,gx 00 )( xx t)( , )( ,g 00 )( xx t

)()()( tttx*,hx,*xhx,g


Diferencijalnata ravenka za naru{uva~koto dvièwe f r j r ru uima partikularno re{enie

0)( txi bidej}i za site t vaì

0)()0()0( ttt x*,h,*xh,g

0)()0()0( ttt

,,,g

0)( x td 0 0xdt

0)( 0)( tx pretstavuva stacionarna ramnote`na sostojba za naru{uva~koto dvièwe.


Ispituvaweto na stabilnosta na nenaru{enoto u rudvièwe x*(t), vo prostorot En se sveduva na ispituvawe na stabilnosta na ramnote`nata sostojba vo koordinat-niot po~etok na prostorot za naru{uva~kotoEniot po~etok na prostorot za naru{uva~koto dvièwe

nE)(t

xRastojanieto na naru{uva~koto dvièwe odRastojanieto na naru{uva~koto dvièwe od ramnote`nata sostojba vo koordinatniot po~etok

xx )0,(r

Definicii za stabilnost po Qapunov

Definicija 1: Za eden dinami~ki sistem se veli deka e stabilen po Qapunov ako za sekoj proizvolen broj 0stabilen po Qapunov ako za sekoj proizvolen broj mo`e da se najde broj takov {to ispolnuvaweto na neravenstvoto

00)(

povlekuva ispolnuvawe na neravenkata:

)( 000 xxx

)()()( ttt xxx

za sekoe 0tt

Definicii za stabilnost po Qapunov

Definicija 2: Za eden dinami~ki sistem se veli deka easimptotski stabilen po Qapunov ako e stabilen i akoasimptotski stabilen po Qapunov ako e stabilen i akoistovremeno va`i:

0)(lim)()(lim ttt xxx pri ograni~eno naru{uvawe na po~etnite uslovi.

D f j 3 Z

)()()( tt

Definicija 3: Za eden dinami~ki sistem se veli deka e globalno asimptotski stabilen po Qapunov, ako e stabilen i ako istovremeno va`ir

pri proizvolno golemo naru{uvawe na po~etnite

0)(lim)()(lim

ttt ttxxx

pri proizvolno golemo naru{uvawe na po~etnite uslovi.

Vtora (direktna) metoda na Qapunov

Osnovnata filozofija na direktnata metoda na Qapunov e matemati~koto pro{iruvawe na fundamentalnoto fizi~ko nabquduvawe:

A j (Ako vkupnata energija na mehani~ki (ili elektri~en) sistem e kontinualno disipativna, toga{ sistemot, linearen ili nelinearen, mora

eventualno da popadne vo edna ramnote`na sostojba.

jNa toj na~in, mo`e da zaklu~ime za stabilnosta na sistem so ispituvawe na varijaciite na edin-stvena skalarna funkcija.r fu c j


Da razgledame nelinearen sistem od masa-pridu{uva~-pru`ina, ~ija dinamika e opi{ana so ravenkatar

3 0310 xkxkxxbxm Vkupnata mehani~ka energija na sistemot e:

42232 111)(1)( kkdkkVx 412020

310

2

41

21

21)(

21)( xkxkxmdkkxmxV


Vo prostor na sostojbi:

21 xx )(1 31110222

21

xkxkxbxm

x m

42232 1111 1x

411210220

310

22 4

121

21)(

21)( xkxkmxdkkmxV x


Sporeduvaj}i gi definiciite za stabilnost i mehani~kata energija, mo`e lesno da se vidat nekoi relacii pome|u mehani~kata energija i konceptot za stabilnost po Qapunov:u

nula energija korespondira na ramnote`nata sostojba;sostojba; asimptotskata stabilnost ja implicira konvergencijata na mehani~kata energija kon nula; nestabilnosta e povrzana so porastot na meha-ni~kata energija.


Vrednosta na skalarna funkcija, mehani~kata energija, indirektno ja reflektira magnitudata na vektorot na sostojba; i u{te pove}e,

S j bSvojstvata za stabilnost na sistemot mo`e da bidat okarakterizirani so varijacijata na mehani~kata energija na sistemot.

Odnosot na menuvaweto na energijata vo tekot na dvi`eweto na sistemot lesno se dobiva preku

jprviot izvod od mehani~kata energija:

311102222

3111021 )(

14412

21)( xkxkxbxmxxxkxkxVxV

ddVV

x

322

22

11102222111021

11

)(

)(42

)(

xbxbxV

mxxdt

x


.

O , ,

, .

, .


() . .

V=V(x,y,z)

. .


: V(x) :(1) V(x) ( ) ( )

0},:{ constccH hhxx

;(2) V(x) )(

xV

H - .


: V(x) ()

0>}=},


: V(x) , .

V(x) x(t) .

( )

)(x

V

V(x) , x(t) ,

x)(V ,

.

Tn VdVdV )()]([

1

xhxx Tni

i

i

gradVVdtdx

xV

dtdV

x


)(V - gradV(x) .

)( xVx

0)(),( tt 0,0hxhx (1)0)(),(,

(1)


1: (1) () V( ) ( ) V(x) () , .

)(x

V0)( xV

2: (1) ( ) ()

V(x) () asimptotski .

)(x

V


3: (1) () V(x)

j b ( ))( koj e barem () no nikako bilo koja , osven vo i ako e

0)( xV)(x

V

ispolnet uslovot

)(limx

x V

ramnote`nata sostojba e globalno asimptotski .(doka`ana od Barba{in i Krasnovskij).


4: (1)

() V(x) ()

)( xV

}:{ hcdD xx

, .

}{ h

5: (1) () V(x) od vidot

0),()()( 0 aVaVVxxx

kade e nenegativna funkcija vo proizvolna zona

)(0x

V}:{ hcdD

xx ,

.


6:

}:{ hcdD xx

D1 .

(1) V(x) )(x

V( ) ( ) : 1. V(x)>0 ;2 x D D0)( xV

0)( xV 1Dx

2. x D1 D, .

0)( xV

00 )(, xxAxx t

Qxxx T)(V , kade e

Q, .

xQAQAxQAxxQxAxxQxQxxx TTTTTTT )()( V xQAQAxQAxxQxAxxQxQxxx )()( V :

CQAQAT CQAQAT

, C , , , .

:

CQAQAQAAQQAQAC TTTTTTT )()()( C .

:

itivno elena C=I. Q, Q. Q , itivno elena C? :

n

,,,, 21 n

,0 ji

(i,j=1, 2,. . ., n), C Q C, Q .

:

x 0 xC=0 , C Q ,

nn )1(

n

CQAQAT

Documents

Презентации Од Предавањата По ТС - Дел 2