Παρουσίαση Νο. 2

Παρουσίαση Νο. Παρουσίαση Νο. 22

ΔισδιάσταταΔισδιάστατα ΣήματαΣήματα καικαι Συστήματα #1Συστήματα #1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση ΕικόναςΑνάλυση Εικόνας

Ακαδημαϊκό Έτος 2007-8Ακαδημαϊκό Έτος 2007-8

ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 2

Βασικοί ορισμοί Βασικοί ορισμοί (1)(1)

Κάθε εικόναΚάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο είναι ένα δισδιάστατο σήμασήμα..

Αναλογική εικόνα:Αναλογική εικόνα:

Ψηφιακή εικόνα:Ψηφιακή εικόνα:

2121 , ,, ttttx

1 2 1 1 2 2, [ , ],x n n Q x n T n T

21212121 ,,, , , TTnnRTTZnn


Βασικοί ορισμοί Βασικοί ορισμοί (2)(2)

Ένα δισδιάστατο (2-Ένα δισδιάστατο (2-D) D) σήμα έχει την μορφή σήμα έχει την μορφή πίνακα και στην γενική πίνακα και στην γενική του μορφή δηλώνεται του μορφή δηλώνεται ως:ως:

Συνήθως όμως το Συνήθως όμως το πεδίο ορισμού είναι πεδίο ορισμού είναι πεπερασμένο:πεπερασμένο:

Γραφική απεικόνιση δισδιάστατου Γραφική απεικόνιση δισδιάστατου σήματοςσήματος

2121 , ,, nnnnx

221121 0 ,0 ,, NnNnnnx


Σημαντικές ακολουθίες Σημαντικές ακολουθίες (1)(1)

Μοναδιαίος Μοναδιαίος (κρουστικός) (κρουστικός) παλμός:παλμός:

Μοναδιαίο βήμα:Μοναδιαίο βήμα:

Εκθετική Εκθετική ακολουθία:ακολουθία:

αλλού ,0

0, ,1, 21

21

nn

nn

αλλού ,0

0, ,1, 21

21

nn

nnu

2121 , ,, 21 nnbannx nn


Σημαντικές ακολουθίες Σημαντικές ακολουθίες ((22))

μοναδιαίος παλμόςμοναδιαίος παλμός

μοναδιαίο βήμαμοναδιαίο βήμα

παλμός στήληςπαλμός στήλης

παλμός γραμμήςπαλμός γραμμής

δ(n1)

n1

n2

δ(n1,n2)

n1

n2

δ(n2)

n1

n2

u(n1,n2)

n1

n2


Ειδικές περιπτώσεις Ειδικές περιπτώσεις (1)(1)

Διαχωρίσιμες ακολουθίες:Διαχωρίσιμες ακολουθίες: μία μία 2-D 2-D ακολουθία ονομάζεται ‘ακολουθία ονομάζεται ‘διαχωρίσιμη’διαχωρίσιμη’ εάν μπορεί να γραφεί ωςεάν μπορεί να γραφεί ως

Προφανώς έχει λιγότερους βαθμούς Προφανώς έχει λιγότερους βαθμούς ελευθερίαςελευθερίας

Ο μοναδιαίος παλμός και το μοναδιαίο Ο μοναδιαίος παλμός και το μοναδιαίο βήμα είναι διαχωρίσιμες ακολουθίες.βήμα είναι διαχωρίσιμες ακολουθίες.

2121, ngnfnnx

2121, nnnn 2121, nununnu



Περιοδικά σήματα:Περιοδικά σήματα: Μία Μία 2-D 2-D ακολουθία ονομάζεται ‘ακολουθία ονομάζεται ‘ορθογώνια ορθογώνια περιοδική’περιοδική’ με περίοδο Ν με περίοδο Ν11xxΝΝ22 εάν ισχύει εάν ισχύει

Το παραλληλόγραμμο [0,ΝΤο παραλληλόγραμμο [0,Ν11))xx[[0,N0,N22) είναι η ) είναι η στοιχειώδης περίοδος.στοιχειώδης περίοδος.

Η ορθογώνια περιοδικότητα είναι απλή Η ορθογώνια περιοδικότητα είναι απλή αλλά δυστυχώς δεν μπορεί να καλύψει αλλά δυστυχώς δεν μπορεί να καλύψει όλες τις περιπτώσεις περιοδικών 2όλες τις περιπτώσεις περιοδικών 2-D-D σημάτων.σημάτων.

22121121 ,,, NnnxnNnxnnx



Γενικός ορισμός Γενικός ορισμός περιοδικών σημάτων:περιοδικών σημάτων:

Μία Μία 2-D 2-D ακολουθία ακολουθία ονομάζεται ονομάζεται ‘‘περιοδική’περιοδική’ εάν εάν ισχύει:ισχύει: 1 2 1 11 12 2 21 22, ,x n n x n kN mN n kN mN

Έτσι ορίζεται περιοδική επέκταση σε οποιεσδήποτε Έτσι ορίζεται περιοδική επέκταση σε οποιεσδήποτε κατευθύνσεις όχι κατ’ ανάγκην ορθογώνιες. κατευθύνσεις όχι κατ’ ανάγκην ορθογώνιες.

Η βασική περίοδος είναι το παραλληλόγραμμο που Η βασική περίοδος είναι το παραλληλόγραμμο που ορίζεταιορίζεται

από τα διανύσματα από τα διανύσματα 1 2[ ]T

i i iN N N


Μετασχηματισμοί στο πεδίο Μετασχηματισμοί στο πεδίο των συχνοτήτων των συχνοτήτων

Συνήθεις μετασχηματισμοί: Συνήθεις μετασχηματισμοί: DFT, DCTDFT, DCT

Γιατί οι μετασχηματισμοί είναι χρήσιμοι στην Γιατί οι μετασχηματισμοί είναι χρήσιμοι στην επεξεργασία εικόνας;επεξεργασία εικόνας;

Επεξεργασία στο πεδίο των συχνοτήτων.Επεξεργασία στο πεδίο των συχνοτήτων.– Φιλτράρισμα, αφαίρεση θορύβου, κυκλική Φιλτράρισμα, αφαίρεση θορύβου, κυκλική

μετατόπιση, συμπίεση, περιγραφή σχήματοςμετατόπιση, συμπίεση, περιγραφή σχήματος

Πλεονεκτήματα: μικρότερη υπολογιστική Πλεονεκτήματα: μικρότερη υπολογιστική πολυπλοκότητα / εναλλακτική ερμηνείαπολυπλοκότητα / εναλλακτική ερμηνεία


Δισδιάστατος Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Μετασχηματισμός FourierFourier (1)(1)

Ο μετασχηματισμός Ο μετασχηματισμός Fourier Fourier δισδιάστατων σημάτων υπάρχει όταν η δισδιάστατων σημάτων υπάρχει όταν η συνάρτηση είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη συνάρτηση είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη και ορίζεται ως:και ορίζεται ως:

FTFT::

IFTIFT::

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2( , ) ( , ) exp( )F f t t i t i t dt dt¥ ¥

- ¥ - ¥

W W = - W - Wò ò

1 2 1 2 1 1 2 2 1 22

1( , ) ( , ) exp( )

4f t t F i t i t d d

p

¥ ¥

- ¥ - ¥

= W W W + W W Wò ò



Στην περίπτωση διακριτών σημάτων Στην περίπτωση διακριτών σημάτων χρησιμοποιείται ο διακριτός χρησιμοποιείται ο διακριτός FTFT..

FT FT διακριτού σήματος:διακριτού σήματος:

IFT IFT διακριτού σήματος:διακριτού σήματος:

1 2

1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) exp( )n n

F f n n i n i nw w w w¥ ¥

=- ¥ =- ¥

= - -å å

1 2 1 2 1 1 2 2 1 22

1( , ) ( , ) exp( )

4f n n F i n i n d d

p p

p p

w w w w w wp

- -

= +òò



Έστω μία ακολουθία Έστω μία ακολουθία x(nx(n11, n, n22))

πεπερασμένης χωρικής επέκτασης. Τότε οπεπερασμένης χωρικής επέκτασης. Τότε ο 2-D DFT 2-D DFT αυτής δίνεται από τις σχέσεις:αυτής δίνεται από τις σχέσεις:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 11 1 2 2

1 2 1 20 0 1 2

1 11 1 2 2

1 2 1 20 01 2 1 2

2 2( , ) ( , ) exp( )

2 21( , ) ( , ) exp( )

N N

n n

N N

k k

n k n kX k k x n n i i

N N

n k n kx n n X k k i i

N N N N

p p

p p

- -

= =

- -

= =

= - -

= +

å å

å å



Η σχέση του Η σχέση του DFT DFT με τον με τον FT FT είναι η είναι η εξής:εξής:

Ο υπολογισμός του Ο υπολογισμός του DFT DFT μπορεί να γίνει μπορεί να γίνει γρήγορα (γρήγορα (FFT) FFT) με την μέθοδο των με την μέθοδο των γραμμών-στηλώνγραμμών-στηλών..

όπουόπου

( ) ( ) 1 21 2

1 2

2 21 2 1 2 ,, , k k

N N

X k k X p pw w

w w= =

=

2

2 2

2

2

1

1 1

1

1

1

1 2 1 20

1

1 2 1 20

, ,

, ,

Nn k

Nn

Nn k

Nn

G n k x n n W

X k k G n k W

δηλαδή ο δηλαδή ο DFT DFT είναι μία είναι μία δειγματοληψία του δειγματοληψία του FT FT πάνω στον διπλό πάνω στον διπλό μοναδιαίο κύκλο.μοναδιαίο κύκλο.

iN N

iWi

2exp


Δισδιάστατος Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Μετασχηματισμός Fourier Fourier (5)(5)

Σημαντικές ιδιότητες του 2-Σημαντικές ιδιότητες του 2-D DFTD DFT1.1. ΓραμμικότηταΓραμμικότητα

2.2. Κυκλική μετατόπισηΚυκλική μετατόπιση

3.3. Διαχωρίσιμη ακολουθίαΔιαχωρίσιμη ακολουθία

4.4. Θεώρημα Θεώρημα ParsevalParseval

5.5. ΑυτοσυσχέτισηΑυτοσυσχέτιση

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , ,x n n a v n n b w n n X k k a V k k b W k k= × + × « = × + ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2, , , exp ,x n n v n m n m X k k ik m ik m V k k= + + « = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2, ,x n n x n x n X k k X k X k= « =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 20 0 0 01 2

1, , , ,

N N N N

n n n n

x n n y n n X k k Y k kN N

- - - -* *

= = = =

=å å å å

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , ,xyC k k X k k Y k k*=


Δισδιάστατος Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Μετασχηματισμός

Συνημίτονου Συνημίτονου (1)(1)

DCT DCT διακριτού σήματος:διακριτού σήματος:

IDCT IDCT διακριτού σήματος:διακριτού σήματος:

μεμε

( ) ( )1 2

1 2

1 11 1 2 2

1 2 1 20 0 1 2

2 1 2 1( , ) 4 ( , ) cos cos

2 2

N N

n n

n k n kC k k x n n

N N

p p- -

= =

+ += å å

( ) ( )1 2

1 2

1 11 1 2 2

1 2 1 1 2 2 1 20 01 2 1 2

2 1 2 11( , ) ( ) ( ) ( , ) cos cos

2 2

N N

k k

n k n kx n n w n w n C k k

N N N N

p p- -

= =

+ += å å

11 ,1

0 ,2/1

1Nk

kw

i

ii

Ο μετασχηματισμός Ο μετασχηματισμός DCTDCT είναι διαχωρίσιμος. είναι διαχωρίσιμος.


Δισδιάστατος Δισδιάστατος Μετασχηματισμός Μετασχηματισμός

Συνημίτονου Συνημίτονου (2)(2) Υπολογισμός κατά γραμμές και στήλεςΥπολογισμός κατά γραμμές και στήλες

Υπολογισμός μέσω του Υπολογισμός μέσω του DFTDFT της της y(ny(n11,n,n22) ) η οποία η οποία προκύπτει απόπροκύπτει από κατοπτρική επέκταση της κατοπτρική επέκταση της x(nx(n11,n,n22) ) σε περιοχή 2Νσε περιοχή 2Ν11x2Nx2N22

όπουόπου

( )2

2

12 2

1 2 1 20 2

2 1( , ) 2 ( , ) cos

2

N

n

n kG n k x n n

N

p-

=

+= å

1 2

1 2

2 21 2 2 2 1 2( , ) ( , )k k

N NC k k W W Y k k=

( )1

1

11 1

1 2 1 20 1

2 1( , ) 2 ( , ) cos

2

N

n

n kC k k G n k

N

p-

=

+= å

iN N

iWi

2exp


Η μορφή της εικόνας στο Η μορφή της εικόνας στο πεδίο των συχνοτήτων πεδίο των συχνοτήτων (1)(1)

Συχνοτικό περιεχόμενο του Συχνοτικό περιεχόμενο του DFT DFT (συγκέντρωση ενέργειας (συγκέντρωση ενέργειας γύρω από το (0,0)γύρω από το (0,0)))

lennalenna Λογαριθμική απεικόνιση Λογαριθμική απεικόνιση του πλάτους του του πλάτους του DFTDFT



Παραδείγματα Παραδείγματα συγκέντρωσης συγκέντρωσης της ενέργειας της ενέργειας

πάνω σε πάνω σε συγκεκριμένες συγκεκριμένες

διευθύνσειςδιευθύνσεις



Συχνοτικό περιεχόμενο του Συχνοτικό περιεχόμενο του DCT DCT (συγκέντρωση ενέργειας (συγκέντρωση ενέργειας στη μία γωνία)στη μία γωνία)

lennalenna Γραμμική απεικόνιση του Γραμμική απεικόνιση του πλάτους του πλάτους του DCTDCT


Δισδιάστατα Συστήματα Δισδιάστατα Συστήματα (1)(1)

Ένα δισδιάστατο διακριτό σύστημα Ένα δισδιάστατο διακριτό σύστημα μετασχηματίζει ένα μετασχηματίζει ένα 2-D 2-D διακριτό σήμα διακριτό σήμα εισόδουεισόδου σε ένα σε ένα 2-D 2-D διακριτό σήμα διακριτό σήμα εξόδουεξόδου . .

Γραμμικό σύστημα:Γραμμικό σύστημα:

Χωρικά αμετάβλητο σύστημα:Χωρικά αμετάβλητο σύστημα:

T

21,nnx 21,nny

2121 ,, nnxTnny

2121 xbTxaTbxaxT

22112211 ,, mnmnxTmnmny

Θα μας απασχολήσουν κυρίως γραμμικά και χωρικά αμετάβλητα Θα μας απασχολήσουν κυρίως γραμμικά και χωρικά αμετάβλητα συστήματασυστήματα



Τα συστήματα ορίζονται από την Τα συστήματα ορίζονται από την κρουστική τους απόκριση. Η σχέση κρουστική τους απόκριση. Η σχέση εισόδου-εξόδου είναιεισόδου-εξόδου είναι

FIRFIR σύστημα: σύστημα: ηη έχει περιορισμένη έχει περιορισμένη περιοχή υποστήριξης περιοχή υποστήριξης

IIR IIR σύστημα: η σύστημα: η έχει άπειρη έχει άπειρη περιοχή υποστήριξης.περιοχή υποστήριξης.

Διαχωριζόμενο σύστημα:Διαχωριζόμενο σύστημα:

212121 , ,, nnhnnxnny

21,nnh

2211 0,0 NnNn

21,nnh

2121, nhnhnnh



BIBO (Bounded Input Bounded BIBO (Bounded Input Bounded Output) Output) συστήματα:συστήματα:

Ευσταθή συστήματα:Ευσταθή συστήματα:

Τα Τα FIR FIR είναι εξ ορισμού ευσταθή είναι εξ ορισμού ευσταθή συστήματα.συστήματα.

BnnyBBnnxnn 212121 , : , ,,

Snnhn n1 2

21,


Συνέλιξη στις δύο Συνέλιξη στις δύο διαστάσειςδιαστάσεις(1)(1)

Η συνέλιξη είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην Η συνέλιξη είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην επεξεργασία εικόνας (πχ φιλτράρισμα).επεξεργασία εικόνας (πχ φιλτράρισμα).

Κυκλική συνέλιξη:Κυκλική συνέλιξη: Γραμμική συνέλιξη:Γραμμική συνέλιξη:

με περιοχή υποστήριξηςμε περιοχή υποστήριξης με περιοχή υποστήριξηςμε περιοχή υποστήριξης

Η γραμμική συνέλιξη είναι:Η γραμμική συνέλιξη είναι:

Η έξοδος έχει περιοχή υποστήριξης την Η έξοδος έχει περιοχή υποστήριξης την 2,1 ,1 iQPL iii

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , ,Cw n n x n n y n n X k k Y k k= * * «

21,nnx 21 ,0,021

PPR PP 21,nny 21 ,0,0

21QQR QQ

1

0

1

022112121

1

1

2

2

,,,Q

m

Q

mL mnmnxmmynnw

1 2 1 20, 0,L LR L L


Συνέλιξη στις δύο Συνέλιξη στις δύο διαστάσειςδιαστάσεις(2)(2) Έστω ότι επιλέγουμε περιοχή υποστήριξης με επέκταση Έστω ότι επιλέγουμε περιοχή υποστήριξης με επέκταση

NN11xNxN22 , , όπου όπου NiNi LiLi , και επεκτείνουμε με μηδενικά τις , και επεκτείνουμε με μηδενικά τις

ακολουθίες ακολουθίες x(nx(n11,n,n22) ) καικαι yy((nn11,n,n22 )) ώστε να ορίζονται σε όλη

την περιοχή με διαστάσεις NN11xNxN22 ..

Τότε μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι η κυκλική συνέλιξη και η κυκλική συνέλιξη και η

γραμμική συνέλιξη των γραμμική συνέλιξη των xx και και yy , ταυτίζονται., ταυτίζονται.

Όταν έχουμε συνέλιξη ακολουθίας Όταν έχουμε συνέλιξη ακολουθίας x(nx(n11 ,n,n22) ) με κρουστική με κρουστική

απόκρισηαπόκριση h(nh(n11,n,n22)) που είναι διαχωρίσιμη τότε η συνέλιξη που είναι διαχωρίσιμη τότε η συνέλιξη

αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη μέθοδο γραμμών-αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη μέθοδο γραμμών-

στηλών. στηλών.

Συνήθως τα 2-Συνήθως τα 2-D D συστήματα είναι μη-αιτιατά.συστήματα είναι μη-αιτιατά.

Documents

Παρουσίαση Νο. 2