1

第 3章 函数逼近与曲线拟合

2

3.1 函数逼近的基本概念

3.1.1 函数逼近与函数空间

： 1. 数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数；

2. 当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式 .

问题

这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题 .

],[ ba

3

插值法就是函数逼近问题的一种 .

记作 ，Axf )(),(xf

本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 中给定的函数A

中求函数 ，Bxp )(B 使 与 的误差在某种度量)(xp )(xf

要在另一类简单的便于计算的函数类

意义下最小” . 函数类 通常是区间 上的连续函数，记作 ， A ],[ ba ],[ baC

称为连续函数空间 .

4

函数类 通常为 次多项式，有理函数或分段低次多项式等 .

B n

数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间 .

与数的乘法构成实数域上的线性空间， 例如将所有实 维向量组成的集合，按向量加法及向量n

称为 维n记作 ，nR

向量空间 .

5

类似地 , 记 为具有 阶连续导数的函数空间 .],[ baC p p

记作 .],[ baC

所有定义在 上的连续函数集合，按函数加法和 ],[ ba

数与函数乘法构成数域 上的线性空间，R

按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域 称为多项式空间 .用 表示，nH上一个线性空间，R

对次数不超过 ( 为正整数 )的实系数多项式全体，n n

6

定义 1,,,1 Sxx n

设集合 是数域 上的线性空间，元素S P

如果存在不全为零的数 ，Pn ,,1

,011 nnxx （ 1.1）

则称 线性相关 .nxx ,,1

否则，若等式 (1.1) 只对 成立，021 n

则称 线性无关 .nxx ,,1

使得

7

},,,{ 1 nxxspanS

系数 称为 在基n ,,1 x并称空间 为 维空间，nS

若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的， S nnxx ,,1

即对 都有 Sx,11 nnxxx

则 称为空间 的一组基，nxx ,,1 S 记为

nxx ,,1 下的坐标， ).,,( 1 n 记作

如果 中有无限个线性无关元素 则称 ,,,,1 nxx SS

为无限维线性空间 .

8

,)( 10n

nxaxaaxp （ 1.2）

它由 个系数 惟一确定 . 1n ),,,( 10 naaa

考察次数不超过 次的多项式集合 ，n nH

它是 的一组基，nH 是线性无关的，nxx ,,,1

},,,,1{ nn xxspanH

且 是 的坐标向量， 是 维的 .),,,( 10 naaa )(xpnH 1n

nHxp )( 表示为其元素

故

9

使误差

对连续函数 ，它不能用有限个线性无关的],[)( baCxf

函数表示，故 是无限维的，但它的任一元素 ],[ baC )(xf

均可用有限维的 逼近，nHxp )(

)()(max xpxfbxa

( 为任给的小正数 )， 这就是著名的魏尔斯特拉斯定理 .

10

使 定理 1 总存在一设 ，],[)( baCxf 则对任何 ，0个代数多项式 ，)(xp

)()( xpxf

在 上一致成立 .],[ ba

伯恩斯坦 1912 年给出的证明是一种构造性证明 .

他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式

,)()(),(0

n

kkn xP

n

kfxfB （ 1.3）

11

为二项式展开系数，并证明了!

)1()1(

k

knnn

k

n

)(),(lim xfxfBnn

在 上一致成立；]1,0[

若 在 上 阶导数连续，则)(xf ]1,0[ m

其中 ,)1()( knk

k xxk

nxP

).(),(lim )()( xfxfB mmn

n

这个结果不但证明了定理 1，而且由 (1.3) 给出了 的一个逼近多项式 .

)(xf

n

kkn xP

n

kfxfB

0

)()(),( （ 1.3）

12

与拉格朗日插值多项式

n

k

n

kkkkn xlxlxfxL

0 0

1)(),()()(

相似， 当 时也有关系式1)( xf

n

k

knkn

kk xx

k

nxP

00

.1)1()( （ 1.4）

这只要在恒等式

n

k

knkn yxk

nyx

0

)(

中令 就可得到 . xy 1

对 ，),( xfBn

13

但这里当 时 , ]1,0[x

1)()(00

n

kk

n

kk xPxP

是有界的，因而只要 对任意 成立，)(xf ]1,0[x

n

kk

xn xPxfxfB

010

)()(max),(

有界，故 是稳定的 .),( xfBn

,0)( xPk还有 于是

则

虽然多项式 有良好的逼近性质，但它收敛太慢，),( xfBn

比三次样条逼近效果差得多，所以实际中很少被使用 .

14

更一般地，可用一组在 上线性无关的函数集合 ],[ baC

来逼近 ，],[)( baCxf nii x 0)(

可表示为

],[)}(,),(),({)( 10 baCxxxspanx n

).()()()( 1100 xaxaxax nn （ 1.5）

此时元素

函数逼近问题就是对任何 ，],[)( baCxf

找一个元素 ，)(* x 使 在某种意义下最小 .)()( * xxf

在子空间Φ中

15

3.1.2 范数与赋范线性空间

为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是 空间中向量长度概念的直接推广 . nR

16

定义 2

（ 1） 当且仅当 时， （正定性） ,0x 0x ;0x

（ 2） (齐次性 )R;, xx

（ 3） ( 三角不等式 ) .,, Syxyxyx

则称‖·‖为线性空间 上的范数， 与‖·‖一起称为赋范线性空间，记为

S S

.X

设 为线性空间， ，S Sx

‖·‖，满足条件：若存在惟一实数

17

例如，在 上的向量 三种常用范数为

nR ,R),,( T1

nnxxx

称为 范数或最大范数， ,max1

inixx

称为 1- 范数， ,1

1

n

iixx

称为 2- 范数 . ,)(1

2

12

2

n

iixx

18

而满足‖·‖1 =1 的向量 则为对角线长

度为 1 的菱形 .

121 xx

实际上任何向量的实值函数，只要满足上述三个条件，就可以定义成一种向量范数 .

在 中，满足‖·‖2 =1 ，即 的向量

为单位圆 .

2R 12

2

2

1 xx

满足‖·‖∞ =1 ，即 的向量为单位正

方形 .

1},max{ 21 xx

19

所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同，

结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的 .

20

类似地，对连续函数空间 ，若 ,],[ baC ],[)( baCxf

称为 范数， ,)(max xffbxa

称为 1- 范数， ,)(1

dxxffb

a

称为 2- 范数 . ,))(( 2

12

2 b

adxxff

可以验证这样定义的范数均满足定义 2中的三个条件 .

可定义三种常用范数如下：

21

3.1.3 内积与内积空间

.),( 11 nn yxyxyx

在线性代数中， 中两个向量 及nR T1 ),,( nxxx

T1 ),,( nyyy 的内积定义为

若将它推广到一般的线性空间 ，则有下面的定义 . X

22

定义 3

;,,),(),((1) Xvuuvvu

;,,K),,(),((2) Xvuvuvu

;,,),,(),(),((3) Xwvuwvwuwvu

.0),( 0,0),((4) uuuuu 时，当且仅当

则称 为 X上 与 的内积 . ),( vu u v

,, Xvu

X 是数域 K(R 或 C) 上的线性空间，对有 K中一个数与之对应，记为 ，它满足),( vu

以下条件：

23

定义中（ 1）的右端 称为 的共轭 .),( vu ),( vu

当 K为实数域 R时 . ),(),( uvvu

如果 ，则称 与 正交，这是向量相互垂直概念的推广 .

0),( vu u v

定义了内积的线性空间称为内积空间 .

24

定理 2 对 有,, Xvu

).,)(,(),(2

vvuuvu （ 1.6）

称为柯西 -施瓦茨 (Cauchy-Schwarz) 不等式 .

证明 当 时（ 1.6）式显然成立 .0v

).,(),(2),(),(0 2 vvvuuuvuvu

现设 ，0v 则 ，0),( vv 且对任何数 有

取 ，),/(),( vvvu

设 X为一个内积空间，

代入上式右端，得

25

即得 时 , 0v

).,)(,(),(2

vvuuvu

,0),(

),(

),(

),(2),(

22

vv

vu

vv

vuuu

26

定理 3

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

21

22221

11211

nnnn

n

n

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

G （ 1.7）

称为格拉姆 (Gram)矩阵，

则 非奇异的充分必要条件是 线性无关 .nuuu ,,, 21 G

,,,, 21 Xuuu n 设 X为一个内积空间，

矩阵

27

证明

n

jjkjk

n

jjj uuuu

11

),(),(

只有零解；

nn

n

jjj uuuu

22111

0),(01

n

jjj

n

jjj uu

.,,2,1 nk

（ 1.9）

,0),(0

k

n

jjj uu

G非奇异等价于 ，其充要条件是齐次

0det G

方程组

,0 （ 1.8）nk ,,2,1

而

0

28

从以上等价关系知，

而后者等价于从（ 1.9 ）推出 ,021 n

即 线性无关 . nuuu ,,, 21

,021 n

在内积空间 X上，可以由内积导出一种范数，即对于

,Xu

.),( uuu （ 1.10）

0det G 等价于从（ 1.8）推出

记

n

jjkjk

n

jjj uuuu

11

),(),( （ 1.8）nk ,,2,1 ,0

nn

n

jjj uuuu

22111

0

29

两端开方即得三角不等式

.vuvu （ 1.11）

利用222 2)( vvuuvu

),(),(2),( vvvuuu

,),(2

vuvuvu

30

例 1 与 的内积 .nR nC

设

,R, nyx ,),,( T1 nxx x ,),,( T

1 nyy y

,),(1

n

iii yxyx （ 1.12）

向量 2- 范数为

.)(),( 2

1

1

22

1

2

n

iixxxx

31

相应的范数为

,),(1

n

iiii yxyx （ 1.13）

若给定实数 ),,,2,1(0 nii 称 为权系数，}{ i

当 时，),,2,1(1 nii

.)( 2

1

1

2

2

n

iiixx

nR 上的加权内积为

（ 1.13 ）就是前面定义的内积 .

32

如果 ，nC, yx

,),(1

n

iiii yxyx （ 1.14）

这里 仍为正实数序列， 为 的共轭 . }{ i iyiy

在 上也可以类似定义带权内积 . ],[ baC

带权内积定义为

33

定义 4 设 是有限或无限区间，在 上的非负],[ ba ],[ ba

函数 满足条件：)(x

（ 1） 存在且为有限值b

a

k xxx d)( );,1,0( k

（ 2） 对 上的非负连续函数 ，如果],[ ba )(xg

b

axxxg ,0d)()(

则称 为 上的一个权函数 .)(x ],[ ba

.0)( xg则

34

例 2

设 ],,[)(),( baCxgxf )(x 是 上给定的权函数 ,],[ ba

b

axxgxfxxgxf .d)()()())(),(( （ 1.15）

由此内积导出的范数为

2

1

2))(),(()( xfxfxf

称（ 1.15）和（ 1.16）为带权 的内积和范数 . )(x

],[ baC 上的内积 .

则可定义内积

（ 1.16）.d)()(2

1

2

b

axxfx

35

常用的是 的情形，即 1)( x

b

axxgxfxgxf .d)()())(),((

.d)()(2

1

2

2

b

axxfxf

36

若 是 中的线性无关函数族，n ,,, 10 ],[ baC

},,,,{ 10 nspan

),,,( 10 n GG

.

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

10

11101

01000

nnnn

n

n

（ 1.17）

根据定理 3可知 线性无关的充要条件是 n ,,, 10

.0),,,(det 10 n G

它的格拉姆矩阵为记

37

3.2 正交多项式

3.2.1 正交函数族与正交多项式

定义 5

b

axxgxfxxgxf ,0d)()()())(),(( （ 2.1）

则称 与 在 上带权 正交 . ],[ ba )(x)(xf )(xg

若 ],,[)(),( baCxgxf

上的权函数且满足

)(x ],[ ba为

38

若函数族 满足关系 ),(,),(),( 10 xxx n

b

a kjkj xxxx d)()()(),(

则称 是 上带权 的正交函数族 . )}({ xk ],[ ba )(x

若 ，则称之为标准正交函数族 . 1kA

（ 2.2）

,,0

.,0

kjA

kj

k

39

三角函数族

,2sin,2cos,sin,cos,1 xxxx

就是在区间 上的正交函数族 . ]π,π[

定义 6 设 是 上首项系数 的 次多)(xn ],[ ba 0na n

项式， 为 上权函数，)(x ],[ ba

满足关系式 (2.2) ，则称多项式序列 为在 上0)}({ xn ],[ ba

带权 正交，称 为 上带权 的 次正交多项式 .

)(x )(xn ],[ ba )(x n

0)}({ xn如果多项式序列

b

a kjkj xxxx d)()()(),(

（ 2.2）

.,0

.,0

kjA

kj

k

40

,1)(0 x

)())(),((

))(,()(

1

0

xxx

xxxx j

n

j jj

jn

nn

（ 2.3）).,2,1( n

只要给定区间 及权函数 ，均可由一族线性无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 ：

],[ ba )(x

},,,,,1{ nxx

0)}({ xn

41

（ 1） 是具有最高次项系数为 1的 次多项式 . )(xn n

得到的正交多项式序列有以下性质：

（ 2） 任何 次多项式 均可表示为 nnn HxP )( ),(0 x

)(,),(1 xx n 的线性组合 .

,0))(),(( xx kj （ 3） 当 时，jk

与任一次数小于 的多项式正交 .k

)(xk且

42

其中

,1)(0 x ,0)(1 x

)),(),(/())(),(( xxxxx nnnnn

)),(),(/())(),(( 11 xxxx nnnnn

这里 .d)()())(),(( 2b

a nnn xxxxxxx

)()()()( 11 xxxx nnnnn

（ 2.4）),,1,0( n

（ 4） 成立递推关系

.,2,1 n

43

（ 5） 设 是在 上带权 的正交多项式0)}({ xn ],[ ba )(x

序列，则 的 个根都是在区间 内的单重 )1)(( nxn n ),( ba

实根 .

44

3.2.2 勒让德多项式

罗德利克 (Rodrigul ）给出了简单的表达式

,)( 1P0 x

（ 2.5）),,2,1( n

}){(!

)( nn

n

nn xxn

x 1d

d

2

1P 2

当区间为 ，权函数 时，]1,1[ 1)( x

并用 表示 . ),(,),(),( xxx nPPP 10

正交化得到的多项式就称为勒让德 (Legendre)多项式，

},,,,1{ nxx由

45

由于 是 次多项式，nx )1( 2 n2 所以对其求 阶导数后得n

,)())((!

)( 01

111222

1P axaxnnn

nx n

nn

nn

最高项系数为 1的勒让德多项式为

].)1[(d

d

)!2(

!)(

~ 2 nn

n

n xxn

nxP （ 2.6）

于是得首项 的系数nx .)!(2

)!2(2n

na

nn

46

勒让德多项式重要性质：

性质1

,

,)()(

12

20

dPP1

1

n

xxx mn

;nm

.nm （ 2.7）

证明 令 ，nxx )1()( 2

0)1()( k ).1,,1,0( nk

设 是在区间 上 阶连续可微的函数，由分部积分知

)(xQ n]1,1[

正交性

则

47

1

1

1

1d

2

1dP xxxQ

nxxQx n

nn )()(!

)()( )(

1

1

)1( d)()(!2

1xxxQ

nn

n

下面分两种情况讨论 :

.d)()(!2

)1( 1

1

)(

xxxQn

nn

n

（ 1） 若 是次数小于 的多项式，)(xQ n ,0)()( xQ n则 故得

48

则

1

1

222

1

1

2 d12

21dP xx

n

nxx n

n

n )()!(

)!()()(

1

1

222

.d)1()!(2

)!2(xx

n

n nn

,!

)!()()( )()(

n

nxxQ

nn

nn

2

2P

（ 2） 若 )()( xxQ nP

m.nxxx mn 当,)()( 0dPP1

1

)(!2

1 )( xn

nn

,)!(2

)!2(2

nn

xn

n

于是

49

由于

2π

0

121

0

2 dcosd)1( ttxx nn

故

.)(12

2dP

1

1

2

n

xxn

,)12(31

)2(42

n

n

50

性质 2

).()()( xx nn

n P1P （ 2.8）

由于 是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故 为偶数时 为偶函数， 为奇数时 为奇函数，于是（ 2.8）成立 .

nxx )1()( 2

)(xnP n )(xPn

n

奇偶性

51

性质 3

考虑 次多项式1n ),(xx nP

).()()()( xaxaxaxx nnn 111100 PPPP

两边乘 并从 -1 到 1积分，),(xPk

1

1

21

1dPdPP .)()()( xxaxxxx kkkn

递推关系

它可表示为

得

.0ka故得当 时，2nk 次数小于等于 ，)(xx kP 1n

为 0，

上式左端积分

52

当 时，nk

.0na

),()()( xaxaxx nnnnn 1111 PPP

其中

1

1 11 d)(P)(P2

12xxxx

na nnn

,1214

2

2

122

n

n

n

nn

1

1 11 d)(P)(P2

32xxxx

na nnn

,12

1

)32)(12(

)1(2

2

32

n

n

nn

nn

左端积分仍为 0，故

于是

)(xx n2P 为奇函数，

53

由 ,)(,)( xxx 10 P1P

,2/)13()(P 22 xx

从而得到以下的递推公式

)(P)(P)12()(P)1( 11 xnxxnxn nnn （ 2.9）),,2,1( n

利用上述递推公式就可推出

,2/)35()(P 33 xxx

,8/)33035()(P 244 xxx

,8/)157063()(P 355 xxxx

,16/)5105315231()(P 246

6 xxxx

54

图 3-1

图 3-1 给出了 的图形 . )(),(),(),( xxxx 3210 PPPP

55

在区间 内有 个不同的实零点 . )(xnP ]1,1[ n性质 4

56

3.2.3 切比雪夫多项式

当权函数 ，区间为 时，由序

列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫

(Chebyshev) 多项式 .

21

1)(

xx

]1,1[

},,,,1{ nxx

它可表示为

),arccoscos()( xnxTn .1x （ 2.10）

若令 ，cosx .π0,cos)( nxTn则

57

性质 5)()(2)( 11 xTxxTxT nnn ),,2,1( n

切比雪夫多项式有很多重要性质：

这只要在三角恒等式

)1cos(coscos2)1cos( nnn )1( n

中，令 即得 .cosx

,1)(0 xT

递推关系

（ 2.11）.)(1 xxT

58

由（ 2.11 ）可推出

,12)( 22 xxT

的函数图形见图 3-2. )(),(),(),( 3210 xTxTxTxT

,34)( 33 xxxT

,188)( 244 xxxT

,52016)( 355 xxxxT

,1184832)( 246

6 xxxxT

)()(2)( 11 xTxxTxT nnn

59

图 3-2

由递推关系（ 2.11 ）还可得到 的最高次项系数是)(xTn

).1(2 1 nn

)()(2)( 11 xTxxTxT nnn

60

性质 6

,π

,2

π,0

1

d)()(1

1 2x

xxTxT mn

;mn

;0mn

.0mn

（ 2.12）

令 ，cosx 则 ， dsind x

π

0

1

1 2dcoscos

1

d)()( mnx

xxTxT mn

切比雪夫多项式 在区间 上带权 )}({ xTk ]1,1[

21/1)( xx 正交，且

于是;mn

;0mn

.0mn

,π

,2

π,0

61

可以用 的线性组合表示 ， )(,),(),( 10 xTxTxT n nx

,π2

12cos

n

kxk

.,,2,1 nk

性质 8 )(xTn 在区间 上有 个零点]1,1[ n

性质 7 只含 的偶次幂，)(2 xT k x )(12 xT k 只含 的奇次幂 .x

这个性质由递推关系可直接得到 .

其公式为

62

时的结果如下：6,,2,1 n

),(1 0 xT

.)(22

02

1

n

kkn

nn xTk

nx （ 2.13）

这里规定 .1)(0 xT

),(1 xTx

)),()((2

120

2 xTxTx

63

)),()(3(4

131

3 xTxTx

)),()(4)(3(8

1420

4 xTxTxTx

)),()(5)(10(16

1531

5 xTxTxTx

)).()(6)(15)(10(32

16420

6 xTxTxTxTx

64

3.2.4 其他常用的正交多项式

区间 及权函数 不同，则得到的正交多项式也不同 .

],[ ba )(x

除上述两种最重要的正交多项式外，下面是三种较常用的正交多项式 .

1. 第二类切比雪夫多项式

在区间 上带权 的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式 .

]1,1[ 21)( xx

65

表达式为

.1

]arccos)1sin[()(

2x

xnxU n

（ 2.14）

令 ，cosx

1

1

π

0

2 d)1sin()1sin(d1)()( mnxxxUxU mn

,,2

π,,0

nm

nm

即 是 上带权 的正交多项式族 . )}({ xU n ]1,1[ 21)( xx

可得

66

递推关系

,2)(,1)( 10 xxUxU

).,2,1( n),()(2)( 11 xUxxUxU nnn

67

2. 拉盖尔多项式

在区间 上带权 的正交多项式称为拉盖尔 (Laguerre) 多项式 .

),0[ xx e)(

其表达式为

).e(d

de)(L xn

n

nx

n xx

x （ 2.15）

正交性质

,,)!(

,,0d)(L)(Le 20 nmn

nmxxx mn

x

68

递推关系

,1)(L,1)(L 10 xxx

).,2,1( n

),(L)(L)21()(L 12

1 xnxxnx nnn

69

表达式

),e(d

de)1()(H

22 xn

nxn

n xx （ 2.16）

正交关系

,,π!2

,,0d)(H)(He

2

nmn

nmxxx nmn

x

在区间 上带权 的正交多项式称为埃尔米特多项式 .

),( 2

e)( xx

3. 埃尔米特多项式

70

递推关系

,2)(H,1)(H 10 xxx

).,2,1( n

),(H2)(H2)(H 11 xnxxx nnn

71

3.3 最佳一致逼近多项式

3.3.1 基本概念及其理论

设 ],,[ baCf 在 中求多项式},,,1{ nn xxspanH

),(* xPn

)()(max ** xPxfPf nbxa

n

这就是最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题 .

使其误差

.min nHP

Pfnn

72

显然 ，0),( nPf

记为 ，)},({ nPf

定义 7

nn PfPf ),(

为 与 在 上的偏差 . )(xf )(xPn ],[ ba

若记集合的下确界为

)},({inf nHP

n PfEnn

则称之为 在 上的最小偏差 . )(xf ],[ ba

],,[)(, baCxfHP nn 设 称

其下界为 0.

),( nPf 的全体组成一个集合，

（ 3.1）)()(max xPxf nbxa

（ 3.2）,)()(maxinf xPxf nbxaHP nn

73

定义 8

,),( *nn EPf （ 3.3）

则称 是 在 上的最佳一致逼近多项式nn HxP )(* )(xf ],[ ba

定理 4 则总存在 ，nn HxP )(*

.)()( *nn ExPxf

这个定理是最佳逼近多项式的存在性定理 .

],,[ baCf 假定 nn HxP )(*若存在 使得

简称最佳逼近多项式 .

],,[ baCf 若 使

或最小偏差逼近多项式，

74

定义 9 ,)( nHxP 若在 上有0xx

,)()(max)()( 00

xfxPxfxPbxa

就称 是 的偏差点 . 0x )(xP

若 ,)()( 00 xfxP 称 为“正”偏差点 .0x

若 ,)()( 00 xfxP 称 为“负”偏差点 .0x

,)()( 00 xfxP

所以说 的偏差点总是存在的 . )(xP

],,[ baCf 设

由于函数 在 上连续，)()( xfxP ],[ ba

在一个点 ],,[0 bax

因此，至少存使

75

要证明的是

,)()()1()()(

xfxPxfxP kkk

这样的点组称为切比雪夫交错点组 .

证明

假定在 上有 个点使（ 3.4）成立，],[ ba 2n

定理 5

即有 个点 ，bxxxa n 221 2n“负”的偏差点，

在 上至少有 个轮流为“正”、)(xP ],[ ba 2n

是 的最佳逼近多项式nHxP )( ],[ baCf

的充分必要条件是

使

是 在 上的最佳逼近多项式 .)(xf ],[ ba)(xP

只证充分性 .

（ 3.4）,1

76

用反证法，若存在 ，)()(,)( xPxQHxQ n

,)()()()(

xPxfxQxf

由于 )]()([)]()([)()( xfxQxfxPxQxP

故 也在 个点上轮流取“ +”、“ -”号 .)()( xQxP 2n

使

由连续函数性质，它在 内有 个零点，但因 ],[ ba 1n

0)()( xQxP 是不超过 次的多项式，n

不能超过 .n所以它的零点个数

在点 上的符号与221 ,,, nxxx )2,,1)(()( nkxfxP kk

一致，

77

这说明假设不对， 故 就是所求最佳逼近多项式 . )(xP

必要性证明略 .

推论 1 若 ，],[ baCf

充分性得证 .

则在 中存在惟一的最佳逼近nH

多项式 .

78

证明

)(2

1)(

1xTx nnn

)(max2

1)(max

11111xTx n

xnnx

且点 是 的切比雪夫交错点组， ),,1,0(πcos nkn

kxk )(T xn

定理 6 在区间 上所有最高次项系数为 1的 次多]1,1[ n

项式中， )(T2

1)(

1xx nnn 与零的偏差最小， .

2

11n其偏差为

由于

),(*1 xPx n

n

,2

11

n

79

由定理 5可知，

即 是与零的偏差最小的多项式 .)(xn

区间 上 在 中最佳逼近多项式]1,1[ nx 1nH

),(*1 xPn为 定理得证 .

80

.min)()(max *2

11

xPxf

x

由定理 6可知，

)(2

1)()( 3

*2 xTxPxf

多项式 与零偏差最小，)()( *2 xPxf

解

由题意，所求最佳逼近多项式 应满足)(*2 xP

当

时，

xx2

32 3

故

例 3 求 在 上的最佳 2 次逼122)( 23 xxxxf ]1,1[

近多项式 .

81

)(2

1)()( 3

*2 xTxfxP

就是 在 上的最佳 2 次逼近多项式 . )(xf ]1,1[

12

72 xx

82

3.3.2 最佳一次逼近多项式

定理 5给出了 的特性，这里讨论具体求法 . )(xP

先讨论 的情形 .1n

假定 ],,[2 baCf 且 在 内不变号，)(xf ),( ba

根据定理 5可知 , 至少有 3个点 ,321 bxxxa

)()(max)1()()( 11 xfxPxfxPbxa

kkk

).3,2,1,1( k

求最佳一次逼近多项式 .xaaxP 101 )(

我们要

使

83

,0)()()( 2122 xfaxfxP

即 . 12 )( axf

由于 在 上不变号，)(xf ],[ ba 故 单调，

)(xf 1)( axf

在 内只有一个零点，记为 ，),( ba 2x

另外两个偏差点必是区间端点，即 且 ,, 21 bxax

)()()()( 11 bfbPafaP

由此得到

于是

满足

)].()([ 221 xfxP

84

解出

代入（ 3.5）得

).()()(

);()(

210210

1010

xaaxfafaaa

bfbaaafaaa （ 3.5）

),()()(

21 xfab

afbfa

（ 3.6）

这就得到最佳一次逼近多项式 ，其几何意义如图 3-3. )(1 xP

.2

)()(

2

)()( 220

xa

ab

afbfxfafa

（ 3.7）

85

直线 与弦MN平行，且通过MQ的中点 D， )(1 xPy

).2

()]()([2

1 212

xaxaxfafy

图 3-3

其方程为

86

由（ 3.6）可算出

例 4 求 在 上的最佳一次逼近多项式 .21)( xxf ]1,0[

解

,414.0121 a

又 ,1

)(2x

xxf

,4551.02

122

x

由（ 3.7），得

,121 2

2

2 x

x故 解得

.0986.11)( 222 xxf

.2

)()(

2

)()( 220

xa

ab

afbfxfafa

（ 3.7）

),()()(

21 xfab

afbfa

（ 3.6）

87

,414.0955.0)(1 xxP

即

;10,414.0955.01 2 xxx （ 3.8）

误差限为

.045.0)(1max 12

10

xPx

x

于是得 的最佳一次逼近多项式为 21 x

,955.022

112

1

22

0

x

ax

a

88

在（ 3.8）中若令 ,1a

bx

.414.0955.022 baba

则

.414.0955.012

a

b

a

b

从而可得一个求根式的公式;10,414.0955.01 2 xxx （ 3.8）

89

3.4 最佳平方逼近

90

3.4.1 最佳平方逼近及其计算

对 及 中的一个子集],[)( baCxf ],[ baC

)},(,),(),({ 10 xxxspan n

若存在 ，使)(* xS

2

2)(

2

2

* )()(min)()( xSxfxSxfxS

,d)]()()[(min 2

)(

b

axSxxSxfx

（ 4.1）

则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数 .

)(* xS )(xf ],[ baC

91

由（ 4.1 ）可知该问题等价于求多元函数

b

a

n

jjjn xxfxaxaaaI d])()()[(),,,( 2

010 （ 4.2）

的最小值 .

是关于 的二次函数，),,,( 10 naaaI naaa ,,, 10

0

ka

I ),,,1,0( nk

即

b

a k

n

jjj

k

xxxfxaxa

Id)(])()()[(2

0

),,,1,0( nk

利用多元函数求极值的必要条件 2

2)(

2

2

* )()(min)()( xSxfxSxfxS

.d)]()()[(min 2

)(

b

axSxxSxfx

（ 4.1）

92

于是有

))(),(())(),((0

xxfaxx k

n

jjjk

).,,1,0( nk （ 4.3）

这个关于 的线性方程组，称为法方程 . naaa ,,, 10

由于 线性无关，故)(,),(),( 10 xxx n

.0),,,(det 10 nG

于是方程组（ 4.3 ）有惟一解 ),,,1,0(* nkaa kk

).()()( *0

*0

* xaxaxS nn

从而得到

93

即对任何 ,)( xS 下面证明 满足（ 4.1 ），)(* xS

.d)]()()[(d)]()()[( 22* b

a

b

axxSxfxxxSxfx

（ 4.4）

为此只要考虑

b

a

b

axxSxfxxxSxfxD d)]()()[(d)]()()[( 2*2

b

adxxSxfx 2* )]()()[(

b

adxxSxfxSxSx .)]()()][()()[(2 **

有

2

2)(

2

2

* )()(min)()( xSxfxSxfxS

.d)]()()[(min 2

)(

b

axSxxSxfx

（ 4.1）

94

由于 的系数 是方程（ 4.3 ）的解，)(* xS *ka

0d)()]()()[( * b

a k xxxSxfx ),,,1,0( nk

从而上式第二个积分为 0，

,0d)]()()[( 2* b

axxSxSxD

故（ 4.4）成立 .

这就证明了 是 在 中的最佳平方逼近函数 . )(* xS )(xf

故

于是 ))(),(())(),((0

xxfaxx k

n

jjjk

).,,1,0( nk （ 4.3）

b

a

b

axxSxfxxxSxfx d)]()()[(d)]()()[( 22*

（ 4.4）

95

若令 ),()()( * xSxfx

))()(),()(()( **2

2xSxfxSxfx

))(),(())(),(( * xfxSxfxf

,)( **1

*0

* nnxaxaaxS

（ 4.5）.))(),(()(

0

*2

2

n

kkk xfxaxf

则平方误差为

若取 ],1,0[)(,1)(,)( Cxfxxx kk

中求 次最佳平方逼近多项式n

nH则要在

96

此时 ,

1

1d))(),((

1

0

jkxxxx jk

kj

若用 表示 对应的矩阵， H ),,,1( nn xxGG

)12/(1)2/(1)1/(1

)2/(13/12/1

)1/(12/11

nnn

n

n

H （ 4.6）

称为希尔伯特 (Hilbert) 矩阵 .

.d)())(),((1

0 kk

k dxxxfxxf

即

97

记 ,),,,(d),,,( T10

T10 nn dddaaa ,a

dHa （ 4.7）

的解 即为所求 . ),,1,0(* nkaa kk

则

98

例 5 设 ,1)( 2xxf

解

1

0

20 d1 xxd

1

0

21 d1 xxxd

得方程组

,609.0

147.1

3/12/1

2/11

1

0

a

a

求 上的一次最佳平方]1,0[

逼近多项式 .

利用（ 4.7），得

,147.12

2)21ln(

2

1

3

122 ,609.0

1

0

2/32 )1(3

1x

dHa （ 4.7）

99

解之 ,426.0,934.0 10 aa

故 .426.0934.0)(*

1 xxS

平方误差

))(),(())(),(()( *1

2

2xfxSxfxfx

01

1

0

2 934.0426.0d)1( ddxx 最大误差

.066.0)(1max)( *1

2

10

xSxx

x

.0026.0

100

3.4.2 用正交函数族作最佳平方逼近

设 ],,[)( baCxf )},(,),(),({ 10 xxxspan n

若 是满足条件 (2.2) 的正交函数族， )(,),(),( 10 xxx n

.,0))(),(( jixx ji

而 ,0))(),(( xx jj

故法方程（ 4.3 ）的系数矩阵 ))(,),(),(( 10 xxx nn GG

则))(),(())(),((

0

xxfaxx k

n

jjjk

).,,1,0( nk （ 4.3）

b

a kjkj xxxx d)()()(),(

（ 2.2）

.,0

.,0

kjA

kj

k

101

))(),(())(),((0

xxfaxx k

n

jjjk

).,,1,0( nk （ 4.3）

为非奇异对角矩阵 ,

))(),(/())(),((* xkxxfa kkkk

).,,1,0( nk

（ 4.8）

于是 在 中的最佳平方逼近函数为 ],[)( baCxf

n

kk

k

k xx

xxfxS

02

2

* ).()(

))(),(()(

（ 4.9）

且方程（ 4.3 ）的解为

102

由（ 4.5）可得均方误差为

2

*

2)()()( xSxfx nn

.)(

))(),(()(

2

1

0

2

2

2

2

n

k k

k

x

xxfxf

（ 4.10）

由此可得贝塞尔 (Bessel)不等式

.)())((2

21

2

2

* xfxan

kkk

（ 4.11）

))()(),()(()( **2

2xSxfxSxfx

))(),(())(),(( * xfxSxfxf （ 4.5）

.))(),(()(0

*2

2

n

kkk xfxaxf

103

若 ，],[)( baCxf 按正交函数族 展开，)}({ xk

,)(0

*

kkk xa （ 4.12）

称这个级数为 的广义傅里叶 (Foureir)级数，)(xf

讨论特殊情况 . 设 是正交多项式， 可由 正交化得到，则有下面的收敛定理 .

)}(,),(),({ 10 xxx n

)},(,),(),({ 10 xxxspan n ),,1,0)(( nkxk

nxx ,,,1

得级数系数

),1,0(* kak 按（ 4.8）计算，

*ka系数

称为广义傅里叶系数 .

它是傅里叶级数的直接推广 .))(),(/())(),((* xkxxfa kkkk

).,,1,0( nk

（ 4.8）

104

定理 7 设 ],,[)( baCxf

.0)()(lim2

*

xSxf nn

考虑函数 ],1,1[)( Cxf

),(P)(P)(P)( *1

*10

*0

* xaxaxaxS nnn （ 4.13）

)(xf 的最佳平方逼近多项式，

)(* xS 是由（ 4.9 ）给出的},,1,0),({ nkxk 其中

是正交多项式族，则有

)}(P,),(P),(P{ 10 xxx n 展开，由 (4.8) ， (4.9) 可得按勒让德多项式

n

kk

k

k xx

xxfxS

02

2

* ).()(

))(),(()(

（ 4.9）

105

根据均方误差公式 (4.10) ，平方误差为

.12

2d)()(

0

2*1

1

22

2

n

kkk a

kxxfx （ 4.15）

由定理 7可得

.0)()(lim2

*

xSxf nn

其中

))(P),((

))(P),(()(*

xxP

xxfxa

kk

kk

（ 4.14）

1

1.d)(P)(

2

12xxxf

kk

2

*

2)()()( xSxfx nn

.)(

))(),(()(

2

1

0

2

2

2

2

n

k k

k

x

xxfxf

（ 4.10）

106

如果 满足光滑性条件 , 还有 一致收敛于 的结论 .

)(xf *nS )(xf

.)()( *

nxSxf n

公式 (2.6) 给出了首项系数为 1的勒让德多项式 ，nP~

定理 8则对任意 和]1,1[x ,0 当 充分大时有n

],1,1[)( 2 Cxf设 )(* xSn 由 (4.13) 给出，

它具有以下性质 .

),(P)(P)(P)( *1

*10

*0

* xaxaxaxS nnn （ 4.13）

].)1[(d

d

)!2(

!)(P

~ 2 nn

n

n xxn

nx （ 2.6）

107

1

0

),(P~

)(P~

)(n

kkknn xaxxQ

证明

定理 9

勒让德多项式 在 上与零的平方误差最小 . )(P~

xn ]1,1[

在所有最高次项系数为 1的 次多项式中，n

设 是任意一个最高次项系数为 1的 次)(xQn n

多项式，它可表示为

108

于是

))(),(()(2

2xQxQxQ nnn

1

0

2 ))(P~

),(P~

())(P~

),(P~

(n

kkkknn xxaxx

当且仅当 时等号才成立，0110 naaa

))(P~

),(P~

( xx nn

2

2)(P

~xn

即当)(P

~)( xxQ nn 时平方误差最小 .

1

1

2 d)( xxQn

109

例 6 求 在 上的三次最佳平方逼近多项式 .

xxf e)( ]1,1[

解

1

10 de))(P),(( xxxf x

1

11 de))(P),(( xxxxf x

1

1

22 de)

2

1

2

3())(P),(( xxxxf x

))(P~

),(( xxf k).3,2,1,0( k先计算

;3504.2e

1e

;7358.0e2 1

;1431.0e

7e

1

1

33 de)

2

3

2

5())(P),(( xxxxxf x .02013.0e5

e

137

110

由傅里叶系数计算公式 (4.14) 得

,1752.12/))(P),(( 0*0 xxfa

,1036.12/))(P),((3 1*1 xxfa

,3578.02/))(P),((5 2*2 xxfa

.07046.02/))(P),((7 3*3 xxfa

代入 (4.13) 得三次最佳平方逼近多项式

.1761.05367.09979.09963.0)( 32*3 xxxxS

))(P),(P(

))(P),(()(*

xx

xxfxa

kk

kk

（ 4.14）

1

1.d)(P)(

2

12xxxf

kk

),(P)(P)(P)( *1

*10

*0

* xaxaxaxS nnn （ 4.13）

111

最大误差

.0112.0)(e)( *3

xSx x

n

如果 求 上的最佳平方逼近多项式， ],,[)( baCxf ],[ ba

22

abt

abx

),11( t

均方误差

2

*32

)(e)( xSx xn

.0084.0

1

1

3

0

2*2

12

2de

kk

x ak

x

做变换

112

于是

),22

()(ab

tab

ftF

在 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 ]1,1[ ),(* tSn

从而得到区间 上的最佳平方逼近多项式 ],[ ba

)).2(1

(* baxab

Sn

113

nnxaxaaxS 10

* )(

直接通过解法方程得到 中的最佳平方逼近多项式是一致的 .

nH

只是当 较大时法方程出现病态，计算误差较大，不能使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题，因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式 .

n

由于勒让德多项式 是在区间 上由

)}(P{ xk ]1,1[

},,,,1{ kxx 正交化得到的，因此利用函数的勒让德展

开部分和得到最佳平方逼近多项式与由

114

3.5 曲线拟合的最小二乘法

3.5.1 最小二乘法及其计算

在函数的最佳平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据 的曲线拟合 .

],,[)( baCxf )(xf

},,1,0,{ mixi

},,1,0),,{( miyx ii

115

记误差

,,,1,0,)(* miyxS iii

则 的各分量分别为 个数据点上的误差 .T10 ),,,( m δ m

问题为利用 求出一个函数,,,1,0),( mixfy ii

)(* xSy 与所给数据 拟合 .},,1,0),,{( miyx ii

116

设 是 上线性无关函数族，)(,),(),( 10 xxx n ],[ baC

在 中找一函数 ，)}(,),(),({ 10 xxxspan n )(* xS

使误差平方和

m

iii

m

ii yxS

0

2*

0

22

2])([δ

,])([min0

2

)(

m

iii

xSyxS

（ 5.1）

这里 )()()()( 1100 xaxaxaxS nn ).( mn

（ 5.2）

117

这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的最小二乘法 .

用最小二乘求拟合曲线时 ,首先要确定 的形式 .)(xS

确定 的形式问题不仅是数学问题 , 还与问题的实际背景有关 .

)(xS

通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图 ,确定 的形式 , 然后通过实际计算选出较好的结果 .)(xS

118

为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考虑加权平方和

)()()()( 1100 xaxaxaxS nn )( mn （ 5.2）

,])()[(0

22

2

m

iiii yxSx （ 5.3）

这里 是 上的权函数，它表示不同点 处的数据比重不同 .

0)( x ],[ ba ))(,( ii xfx

就是 次多项式 .)(xS n 若 是 次多项式，)(xk k

的一般表达式为（ 5.2 ）表示的线性形式 . )(xS

119

这样，最小二乘问题就转化为求多元函数

),,,( 10 naaaI

m

i

n

jiijji xfxax

0 0

2)]()()[( （ 5.4）

的极小点 问题 . ),,,( **1

*0 naaa

用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如 (5.2) 的 中求一函数 ，)(xS )(* xSy

由求多元函数极值的必要条件，有

m

i

n

jikiijji

k

xxfxaxa

I

0 0

0)()]()()[(2

).,,1,0( nk

使（ 5.3 ）取得最小 .

)()()()( 1100 xaxaxaxS nn )( mn （ 5.2）

.])()[(0

22

2

m

iiii yxSxδ （ 5.3）

120

若记

,)()()(),(0

m

iikijikj xxx （ 5.5）

k

m

iikiik dxxfxf

0

)()()(),(

).,,1,0( nk

上式可改写为

k

n

jjjk da

0

),( ).,,1,0( nk （ 5.6）

这个方程称为法方程，可写成矩阵形式

121

其中 ,),,,(,),,,( T10

T10 nn dddaaa da

.

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

10

11101

01000

nnnn

n

n

G （ 5.7）

,dGa

要使法方程 (5.6) 有惟一解，就要求矩阵 非奇异，G

而 在 上线性无关不能推出)(,),(),( 10 xxx n ],[ ba

矩阵 非奇异，必须加上另外的条件 . G k

n

jjjk da

0

),( ).,,1,0( nk （ 5.6）

122

显然 在任意 个点上满足哈尔条件 . nxx ,,,1 )( nmm

哈尔条件，则法方程 (5.6) 的系数矩阵 (5.7) 非奇异，

如果 在 上满足],[)(,),(),( 10 baxxx n mix 0}{

函数 的最小二乘解为)(xf

定义 10 设 的任意线],[)(,),(),( 10 baxxx n

性组合在点集 上至多只有 个)}(,,1,0,{ nmmixi n

不同的零点，则称 在点集

)(,),(),( 10 xxx n

},,1,0,{ mixi 上满足哈尔 (Haar)条件 .

.,,1,0,* nkaa kk 方程 (5.6) 存在惟一的解 从而得到

于是

k

n

jjjk da

0

),( ).,,1,0( nk （ 5.6）

123

,)]()()[()]()()[(0

2

0

2*

m

iiii

m

iiii xfxSxxfxSx

这样得到的 ，)(* xS 对任何形如 (5.2) 的 ，)(xS

).()()()( *1

*10

*0

* xaxaxaxS nn

都有

故 确是所求最小二乘解 . )(* xS

)()()()( 1100 xaxaxaxS nn )( mn （ 5.2）

124

一般可取 ，但这样做当 时，},,,1{ nxxspan 3n

通常对 的简单情形都可通过求法方程（ 5.6）得到 1n

).(* xS

给定 的离散数据 ，},,1,0),,{( miyx ii )(xf

例如， ，bxaxS e)(

,ln)(ln bxaxS

求解法方程（ 5.6）将出现系数矩阵 为病态的问题，G

有时根据给定数据图形，其拟合函数 表面上)(xfy

不是（ 5.2 ）的形式，但通过变换仍可化为线性模型 . 若两边取对数得

k

n

jjjk da

0

),( ).,,1,0( nk （ 5.6）

)()()()( 1100 xaxaxaxS nn )( mn （ 5.2）

125

例 7

11312

5.8865.44

54321

i

i

i

f

x

这样就变成了形如（ 5.2 ）的线性模型 .

此时，若令

则

,,ln),(ln)( bBaAxSxS

,)( BxAxS

已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线 .

126

解

从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，

将所给数据在坐标纸上标出，见图 3-4.

图 3-4

127

令 ,)( 101 xaaxS

,8),(4

000

ii

,22),(),(4

00110

iiix

,74),(4

0

211

iiix

,47),(4

00

iii ff

.5.145),(4

01

iiii fxf

,1)(,1,4 0 xnm 这里故 ,)(1 xx

128

.5.1457422

,47228

10

10

aa

aa

解得 .13.1,77.2 10 aa

.13.177.2)(*1 xxS

由（ 5.6）得方程组

于是所求拟合曲线为k

n

jjjk da

0

),( ).,,1,0( nk （ 5.6）

129

关于多项式拟合， Matlab 中有现成的程序 ),,(polyfit myxa

其中输入参数 为要拟合的数据， 为拟合多项式的次数，yx, m

输出参数 为拟合多项式的系数 .a

利用下面的程序，可在 Matlab 中完成上例的多项式拟合 .

130

x=[1 1 2 3 3 3 4 5];

f=[4 4 4.5 6 6 6 8 8.5];

aa=poly(x,f,1);

y=polyval(aa,x);

plot(x,f,’r+’,x,y,’k’)

xlabel(‘x’);

ylabel(‘y’);

gtext(‘y=s1(x)’ ）

131

结果如下：

132

例 8 设数据 由表 3-1 给出，)4,3,2,1,0)(,( iyx ii

,ebxay 用最小二乘法确定 及 . a b

46.845.753.679.510.5

00.275.150.125.100.1

43210

i

i

y

x

i

13表

解

,ln ii yy 表中第 4行为 通过描点可以看出数学模型为

它不是线性形式 .

,ebxay用给定数据描图可确定拟合曲线方程为两边取对数得

133

若令 ,ln,ln aAyy

先将 转化为),( ii yx ),,( ii yx为确定 ，bA,

根据最小二乘法，取 ,1)(,)(,1)( 10 xxxx

.lnln bxay

}.,1{, xbxAy 则得数据表见表 3-1.

得,5),( 00

,5.7),(4

010

iix

,875.11),(4

0

211

iix

135.2008.2876.1756.1629.1

46.845.753.679.510.5

00.275.150.125.100.1

43210

i

i

i

y

y

x

i

13表

134

.422.14),(4

01

iii yxy

,404.9),(4

00

iiyy

故有法方程

.422.14875.1150.7

,404.950.75

bA

bA

解得 .071.3e,505.0,122.1 AabA

.e071.3 505.0 xy

于是得最小二乘拟合曲线为

135

利用下面的程序，可在 Matlab 中完成曲线拟合 .

x=[1.00 1.25 1.50 1.75 2.00]; y=[5.10 5.79 6.53 7.45 8.46];y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1); b=exp(aa(2));y2=b*exp(a*x);plot(x,y,’r+’,x,y2,’k’)xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);gtext(‘y=a*exp(bx))’;

136

结果如下：

137

3.5.2 用正交多项式做最小二乘拟合

如果 是关于点集)(,),(),( 10 xxx n

,0

,0)()()(),(

0 k

m

iikijikj Axxx

,kj

,kj （ 5.8）

用最小二乘法得到的法方程组（ 5.6），其系数矩阵 是病态的 . G

带权 正交的),,1,0(}{ mixi ),,1,0()( mixi

函数族，即

k

n

jjjk da

0

),( ).,,1,0( nk （ 5.6）

138

m

iiki

m

iikii

kk

kk

xx

xxfxf

a

0

2

0*

)()(

)()()(

),(

),(

).,,1,0( nk

（ 5.9 ）

则方程（ 5.6）的解为

且平方误差为

.)(0

2*2

2

2

2

n

kkk aAf

k

n

jjjk da

0

),( ).,,1,0( nk （ 5.6）

139

接下来根据给定节点 及权函数 mxxx ,,, 10 ,0)( x

构造带权 正交的多项式 .)(x )}({ xPn

注意 ，用递推公式表示 ，即mn )(xPk

)()()()(

),()()(

,1)(

111

011

0

xPxPxxP

xPxxP

xP

kkkkk

).1,,2,1( nk

（ 5.10）

这里 是首项系数为 1的 次多项式，)(xPk k 根据 的)(xPk

正交性，得

140

),(

),(

11 kk

kk

PP

PP

（ 5.11 ）

).1,,2,1( nk

m

iiki

m

iiki

k

xPx

xPx

0

21

0

2

)()(

)()(

m

iiki

m

iikii

k

xPx

xPxx

0

2

0

2

1

)()(

)()(

下面用归纳法证明这样给出的 是正交的 . )}({ xPk

))(),((

))(),((

xPxP

xPxxP

kk

kk

),(

),(

kk

kk

PP

PxP

141

),(),(),( 0010010 PPxPPPP

假定 对 及)(0),( slPP sl 1,,1,0 ls ,,,1,0 kl

要证 对 均成立 . 0),( 1 sk PP ks ,,1,0

由（ 5.10）有 ),(),)((),( 111 skkskksk PPPPxPP

由（ 5.10）第二式及（ 5.11 ）中 的表达式，有 1

),(),(

),(),( 00

00

0000 PP

PP

PxPxPP .0

nk 均成立，

（ 5.12 ）).,(),(),( 11 skkskksk PPPPPxP

)()()()(

),()()(

,1)(

111

011

0

xPxPxxP

xPxxP

xP

kkkkk

).1,,2,1( nk

（ 5.10）

)()()()(

),()()(

,1)(

111

011

0

xPxPxxP

xPxxP

xP

kkkkk

).1,,2,1( nk

（ 5.10）

142

而 ，11 ks

,0),(),( sksk xPPPxP

于是由（ 5.12 ），当 时， 2ks .0),( 1 sk PP

另外， 是首项系数为 1的 次多项式，它可由)(xxPs 1s

由归纳法假定，当 时20 ks

,0),( sl PP .0),( 1 sk PP

110 ,,, sPPP 的线性组合表示 .由归纳法假定又有

),(),)((),( 111 skkskksk PPPPxPP （ 5.12 ）).,(),(),( 11 skkskksk PPPPPxP

143

由假定有

),(),( 11 kkkk xPPPxP

再考虑

（ 5.13 ）

),,(),(),(),( 1111111 kkkkkkkkkk PPPPPxPPP

),(1

0

k

jjjkk PcPP ).,( kk PP

利用（ 5.11 ）中 表达式及以上结果，得 k

),(),(),( 11111 kkkkkkk PPPxPPP

.0),(),( kkkk PPPP ),(

),(

11

kk

kkk PP

PP

144

),(),(),(),( 111 kkkkkkkkkk PPPPPxPPP

至此已证明了由（ 5.10）及（ 5.11 ）确定的多项式 )}({ xPk

组成一个关于点集 的正交系 .}{ ix

用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合，)}({ xPk

只要根据公式（ 5.10）及（ 5.11 ）逐步求 的同时，)(xPk

相应计算出系数 *ka

.0),(),(

),(),( kk

kk

kkkk PP

PP

PxPPxP

最后，由 和 的表达式（ 5.11 ）有 kk

),(

),(

11

kk

kkk PP

PP

),(

),(1

kk

kkk PP

PxP

145

),(

),(*

kk

kk PP

Pfa ),,,1,0( nk

并逐步把 累加到 中去，最后就可得到所求的 )(* xPa kk )(xS

).()()()( *1

*10

*0 xPaxPaxPaxSy nn

用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式，并且当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数加 1，其余不用改变 .

这里 可事先给定或在计算过程中根据误差确定 . n

)()(

)()()(

2

0

0

ik

m

ii

m

iikii

xPx

xPxfx

拟合曲线

146

3.6 最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换

当 是周期函数时，显然用三角多项式逼近 比用代数多项式更合适，本节主要讨论用三角多项式做最小平方逼近及快速傅里叶变换，简称 FFT 算法 .

)(xf )(xf

147

3.6.1 最佳平方三角逼近与三角插值

设 是以 为周期的平方可积函数，用三角多

项式

)(xf π2

nxbnxaxbxaaxS nnn sincossincos2

1)( 110

（ 6.1 ）作为最佳平方逼近函数 . 由于三角函数族

kx,kx,,x,x,, sincossincos1

在 上是正交函数族，于是 在 上的最小平方三角逼近多项式 的系数是

]π2,0[ ]π2,0[)(xf

)(xSn

148

称为傅里叶系数 . kk ba ,

函数 按傅里叶系数展开得到的级数 )(xf

1

0 )sincos(2

1

kkk kxbkxaa （ 6.3 ）

就称为傅里叶级数 .

π2

0dcos)(

π

1xkxxfak ),,,1,0( nk

（ 6.2 ）),,,1,0( nk

π2

0dsin)(

π

1xkxxfbk

149

只要 在 上分段连续，则级数（ 6.3 ）一致收敛到 .

)(xf ]π2,0[

)(xf

对于最佳平方逼近多项式（ 6.1 ）有

.)()()()(2

2

2

2

2

2xSxfxSxf nn

由此可以得到相应于（ 4.11 ）的贝塞尔不等式

.d)]([π

1)(

2

1 π2

0

2

1

2220

xxfbaan

kkk

因为右边不依赖于 ，左边单调有界，所以级数 n

1

0 )sincos(2

1

kkk kxbkxaa （ 6.3 ）

nxbnxaxbxaaxS nnn sincossincos2

1)( 110

（ 6.1 ）

.)())((2

21

2

2

* xfxan

kkk

（ 4.11 ）

150

当 只在给定的离散点集 )(xf

1,,1,0,

π2Njj

Nx j

上已知时，则可类似得到离散点集正交性与相应的离散傅里叶系数 .

下面只给出奇数个点的情形 .

1

2220 )(

2

1

kkk baa

收敛，并有 .0limlim

kk

kk

ba

151

12

π2

m

jx j ),2,,1,0( mj

可以证明对任何 成立 mlk ,0

令

.,0,0sincos

;0,12

,02

12,,0

coscos

;0,2

12,0,,0

sinsin

2

0

2

0

2

0

mjkkxlx

klm

klm

kl

kxlx

klm

klklkxlx

m

jjj

m

jjj

m

jjj

152

这表明函数族 在点集}sincossincos1{ mxmx,,x,x,,

}12

π2{

m

jx j

上正交 .

若令 ),2,,1,0()( mjxff jj

,),sincos(2

1)(

10 mnkxbkxaaxS

n

kkkn

其中

则 的最小二)(xf

乘三角逼近为

),,,1,0(12

π2cos

12

2 2

0

mkm

jkf

ma

m

jjk

153

当 时 mn

,)2,,1,0()( mjfxS jjm

于是

（ 6.4）).,,1(

12

π2sin

12

2 2

0

nkm

jkf

mb

m

jjk

m

kkkm kxbkxaaxS

10 )sincos(

2

1)(

就是三角插值多项式，系数仍由（ 6.4）表示 .

154

由于

),1i,1,,1,0()sin(i)cos(ei Njjxjxjx

所以函数族 在区间 上是正交的 . }e,,e,1{ )1(ii xNx ]π2,0[

一般情形，假定 是以 为周期的复函数，给定 )(xf π2

在 个等分点 上的值)1,,1,0(π2

NjjN

x j ,π2

jN

ff jN

.)e,,e,1( T)1(

π2i

π2i

N

Nj

Nj

j φ

函数 在等距点集 上的值jxie )1,,1,0(π2

NkkN

xk

kjxie 组成的向量记作

155

1

0

2πi

2πi

l ee),(N

k

kN

skN

l

sφφ

当 时， 个复向量 具有如下正交性：

1,,1,0 Nj 110 ,,, Nφφφ N

1

0

2π)i(

eN

k

kN

sl

（ 6.5）

.,

;,0

slN

sl

156

事实上，令 ,eπ2

)(iN

slr

,0)1(,10 sNNl

于是 ,1)1( NslN

即

;111

1

N

N

N

sl

N

N

若 ,0 sl

.1e π2)(i slNr

,1,0 Nsl若 则有

,1r则 从而

157

于是

1

0l ),(

N

k

ks rφφ

r

r N

1

1.0

若 ,sl

1

0

),(N

k

kss rφφ

这就证明了（ 6.5）成立 . 即 是正交的 . 110 ,,, Nφφφ

,1r则 于是

.N

因此， 在 个点 上的最小二乘傅里叶逼近为

)(xf )}1,,1,0(π2

{ NjjN

x j N),( l sφφ （ 6.5）

.,

;,0

slN

sl

158

,,e)(1

0

i NncxSn

k

kxk

（ 6.6）

其中

.1,,1,0,e1 1

0

π2i-

nkfN

cN

j

Nkj

jk （ 6.7）

在（ 6.6）中，若 ，Nn 则 为 在点)(xS )(xf

)1,,1,0( Njx j 上的插值函数，

于是由（ 6.6）得

),()( jj xfxS 即

.1,,1,0,e1

0

π2i

NjcfN

k

jN

k

kj （ 6.8）

159

而（ 6.8）是由 求 的过程，称为反变换 .}{ kc }{ jf

（ 6.7）是由 求 的过程，}{ jf }{ kc 称为 的离散)(xf

傅里叶变换 . 简称 DFT ，

.1,,1,0,e1 1

0

π2i-

nkfN

cN

j

Nkj

jk （ 6.7）

.1,,1,0,e1

0

π2i

NjcfN

k

jN

k

kj （ 6.8）

160

3.6.2 快速傅氏变换（ FFT）

不论是按（ 6.7）式由 求 ，}{ jf }{ kc

由 求 ，}{ kc }{ jf

,1,,1,0,1

0

NjwxcN

k

kjkj （ 6.9 ）

其中 ( 正变换 ) )/π2iexp( Nw 或 (反变换 ) ，)/π2iexp( Nw

,, kk ba还是由（ 6.4）计算傅里叶逼近系数都可归结为计算

)1,,1,0}({ Nkxk 是已知复数序列 .

或是按（ 6.8）

m

jjk m

jkf

ma

2

0 12

π2cos

12

2

（ 6.4）

m

jjk m

jkf

mb

2

0 12

π2sin

12

2

161

当 较大且处理数据很多时，就是用高速的电子计算机，很多实际问题仍然无法计算，

N

如直接用（ 6.9 ）计算 ，需要 次复数乘法和 次jc N N

复数加法，称为 个操作，计算全部 共要 个操作 . N jc 2N

直到 20 世纪 60年代中期产生了 FFT 算法，大大提高了运算速度，从而使傅氏变换得以广泛应用 .

FFT 算法的基本思想就是尽量减少乘法次数 .

,1,,1,0,1

0

NjwxcN

k

kjkj （ 6.9 ）

162

用（ 6.9 ）计算全部 ，jc 表面看要做 个乘法，2N

实际上所有 中，1,,1,0,),/π2iexp( NkjNkj 只有 个不N

,,,, 110 Nwww 同的值 特别当 时，只有 个不同的值 .pN 2 2/N

因此可把同一个 对应的 相加后再乘 ，这就能大量减少乘法次数 .

rw kxrw

,1,,1,0,1

0

NjwxcN

k

kjkj （ 6.9 ）

163

设正整数 除以 后得商 及余数 ，Nm q r 则 ，rqNm

称为 的 同余数，以 表示 . r m N rmN

由于 ,1),/π2iexp( π2i ewNw N

因此计算 时可用 的 同余数 代替 ，从而推出FFT 算法 .

mw w N r m

以 为例 . 说明 FFT 的计算方法 . 32N

由于 则（ 6.9 ）的和是 ,121,0 3 Njk

.7,,1,0,7

0

jwxck

kjkj （ 6.10）

.)( rrqNm wwww 故有

164

将 用二进制表示为 jk,

),(222 0120

01

12

2 kkkkkkk

其中 只能取 0或 1. )2,1,0(, rjk rr

例如 ).110(20226 022

根据 表示法，有jk,

).(),( 012012 kkkxxjjjcc kj

公式（ 6.10）可表示为

);(222 0120

01

12

2 jjjjjjj

,7

0

k

kjkj wxc （ 6.10）

165

1

0

1

0

1

0

)222)((012012

0 1 2

00

11

22012)()(

k k k

jjjkkkwkkkxjjjc （ 6.11 ）

.)( )00(1

0

)0(1

0

1

0

)(012

02

0

011

1 2

0120 kj

k

kkj

k k

kkkj wwwkkkx

若引入记号 ),()( 0120120 kkkxkkkA

,)()(1

0

)00(01020123

0

02

k

kjwjjkAjjjA

（ 6.12 ）

,)()(1

0

)(01200011

2

0120

k

kkkjwkkkAjkkA

,)()(1

0

)0(00110102

1

011

k

kkjwjkkAjjkA

166

则（ 6.11 ）变成 ).()( 0123012 jjjAjjjc

它说明利用 同余数可把计算 分为 步，用公式（ 6.12 ）计算 .

N jc p

每计算一个 只用 2次复数乘法，计算一个 用 qA jc p2

次复数乘法，计算全部 共用 次复数乘法 .jc pN2

若注意 公式（ 6.12 ）还可进一步简化为

,)1(2/2 01

0 jNjj wwp

167

1

0

)(01200011

2

0120)()(k

kkkjwkkkAjkkA

),1()0()0( 010010011 kkAkkAkkA

)0(2010

)0(010

0102

0010 )1()0( kkjjkkj wwkkAwkkA

,)]1()1()0([ )0(010010

0100 kkjj wkkAkkA

.)]1()0([)1( )0(010010011

01kkwkkAkkAkkA

将这表达式中二进制表示还原为十进制表示：

,22)0( 00

1101 kkkkk

168

),2()()2( 2001 kAkAkA

).3,2,1,0(

)]2()([)12( 2001

k

wkAkAkA k

（ 6.13 ）

同样（ 6.12 ）中的 也可简化为 2A

,)]1()1()0([)( )00(0010010102

011 kjj wjkAjkAjjkA

即 ),1()0()0( 001001002 jkAjkAjkA

即 得,3,2,1,0k

169

.)]1()0([)1( )00(000001002

0kwjkAjkAjkA

把二进制表示还原为十进制表示，得

),22()2()2( 211

22 jkAjkAjkA

).1,0;1,0(

)]22()2([)22( 2211

22

jk

wjkAjkAjkA k

（ 6.14）

同理（ 6.12 ）中 可简化为 3A

),1()1()0()( 01201201232 jjAjjAjjjA j

即

170

),1()0()0( 012012013 jjAjjAjjA

表示为十进制，有

).1()0()1( 012012013 jjAjjAjjA

),2()()( 2223 jAjAjA （ 6.15）

).3,2,1,0(

)2()()2( 222

23

j

jAjAjA

171

根据公式 (6.13) ， (6.14) ， (6.15) ，由

7,,1,0 k,)()(0 kxkxkA

),7,,1,0()(3 jcjA j逐次计算到 见表 3-2(略） .

上面推导的 的计算公式可类似地推广到 的情形 .

32N pN 2

根据公式 (6.13) ， (6.14) ， (6.15) ，一般情况的 FFT

计算公式如下：

172

（ 6.16）

,)]22()2([ 1211111qkpqqqq wjkAjkA

),22()2()2( 11111 pqqqqqq jkAjkAjkA

其中 .12,,1,0;12,,1,0;,,1 1 qqp jkpq

从 出发， 由 到 算到 )1,,1,0)((0 NmmA q 1 p

一组 占用 个复数单元，计算时需给出两组单元，qA N

)22( 1 qqq jkA

qA 括号内的数代表它的位置，在计算机中代表存放数的地址 .

),1,,1,0()( NjcjA jp 即为所求 .

173

这个计算公式除了具有不倒地址的优点外，计算只有两重循环，

计算过程中只要按地址号存放 则最后得到的 ,qA )( jAp

就是所求离散频谱的次序 .

外循环 由 计算到 ，内循环 由 计算到q 1 p k 0 ,12 qp

由 计算到j 0 ,12 1 q 更重要的是整个计算过程省计算量 .

由公式看到算一个 共做 次复数乘法，qA 2/22 1/ Nqqp

而最后一步计算 时，由于pA

kNk ww p )( 2/2 1 k)1( 1)1( 0

174

当 时比值是 它比一般 FFT 的计算量（ 次乘法）也快一倍 .

102N ,1:2305.4:1024

pN

（注意 时 故 ），因此，总共要算pq ,012 qp 0k

次复数乘法，它比直接用（ 6.9 ）需 次乘法2/)1( Np 2N

.2/)1(: pN快得多，计算量比值是

我们称（ 6.16）的计算公式为改进的 FFT算法 .

175

3.7 有 理 逼 近

3.7.1 有理逼近与连分式

有理函数逼近是指用形如

)(

)()(

xQ

xPxR

m

nnm

的函数逼近 ).(xf

与前面讨论一样，如果 最小就可得到最佳有理一致逼近 .

)()( xRxf nm

（ 7.1 ）

m

k

kk

n

k

kk

xb

xa

0

0

176

如果 最小则可得到最佳有理平方逼近函数 .

2)()( xRxf nm

本节主要讨论利用函数的泰勒展开获得有理逼近函数的方法 .

对函数 用泰勒展开得 )1ln( x

].1,1[,)1()1ln(1

1

xk

xx

k

kk （ 7.2 ）

取部分和

n

k

kkn

k

xxS

1

1)1()( ).1ln( x

177

另一方面 , 若对（ 7.2 ）式用辗转相除可得到 的)1ln( x

一种连分式展开

52

4

23

12

11

)1ln(

2

2

xx

xx

xx

（ 7.3 ）

.5

2

4

2

3

1

2

1

1

22

xxxxx

].1,1[,)1()1ln(1

1

xk

xx

k

kk （ 7.2 ）

178

.6120540840420

25260630420)(

432

432

44xxxx

xxxxxR （ 7.4）

（ 7.3 ）右端为 的无穷连分式的前 5项，最后式子)1ln( x

若取（ 7.3 ）的前 2 ， 4， 6， 8项，则可分别得到 的以下有理逼近 :

)1ln( x

是它的紧凑形式 .

,2

2)(11

x

xxR

,

66

36)(

2

2

22xx

xxxR

,3369060

116060)(

32

32

33xxx

xxxxR

179

若用同样多项的泰勒展开部分和 逼近 )(2 xS n )1ln( x

并计算 处的值 及 ，计算结果见表 3-2.1x )1(2nS )1(nnR

00000076.069314642.0058.0634.04

000025.0693122.0076.0617.03

00084.069231.011.058.02

026.0667.019.050.01

)1()2ln()1()1()2ln()1(

2

22 nnRnnnsn RRSSn

3表

2ln ,69314718.0 的准确值为 从表 3-1 可以看出，

,69314642.0)1(44 R ,634.0)1(8 S

180

但它们的计算量是相当的，这说明用有理逼近比多项式逼近好得多 .

由此看出 的精度比 高出近 10 万倍，)1(44R )1(8S

例 9

,40915721

15111353381452)(

23

234

43

xxx

xxxxxR

用辗转相除法将它化为连分式并写成紧凑形式 .

解

给出有理函数

用辗转相除可逐步得到

181

40915721

28464432)(

23

2

43

xxx

xxxxR

本例中用连分式计算 的值只需 3 次除法， 1次乘法和 7次加法 .

)(43 xR

7116)9(6

5

432

2

xxx

xx

98

7

65

432

xx

xx

.9

8

7

6

5

432

xxxx

182

若直接用多项式计算的秦九韶算法则需 6次乘法和 1次除法及 7次加法 .

可见将 化成连分式可节省计算乘除法次数 . )(xRnm

对一般的有理函数 ,（ 7.1 ）可转化为一个连分式

.)()(1

21

l

lnm dx

c

dx

cxPxR

它的乘除法运算只需 次 .),max( nm

而直接用有理函数（ 7.1 ）计算乘除法次数为 次 . mn

183

3.7.2 帕德逼近

利用函数 的泰勒展开可以得到它的有理逼近 . )(xf

设 在 的泰勒展开为 )(xf 0x

.)!1(

)()0(

!

1)( 1

)1(

0

)(

N

NN

k

kk xN

fxf

kxf

（ 7.5）

它的部分和记作

N

k

kk xfk

xP0

)( )0(!

1)( （ 7.6）.

0

N

k

kk xc

184

定义 11 设 ,),,()( 1 mnNaaCxf N

mm

nnnm

xbxb

xaxaaxR

1

10

1)(

其中 无公因式，且满足条件)(),( xQxP mn

),,,1,0()0()0( )()( NkfR kknm （ 7.8）

则称 为函数 在 处的 阶帕德逼近，)(xRnm )(xf 0x ),( mn

记作 , 简称 的帕德逼近 .),( mnR ),( mnR

如果有理函数

（ 7.7）,)(

)(

xQ

xP

m

n

185

根据定义，若令 ),()()()( xPxQxPxh nm

则满足条件（ 7.8）等价于

.,,1,0,0)0()( Nkh k

即

.,,1,0,0))()()(()0(0

)()( NkxPxQxPhx

knm

k

由于 应用莱布尼茨求导公式得 ,!)0()(k

kn akP

k

k

jjkjx

knm akbckxPxQxP !!))()()((

00

)(

,,,1,0 Nk

,0

),,,1,0()0()0( )()( NkfR kknm （ 7.8）

186

这里 是由（ 7.6）得到的，)0(!

1 )( jj f

jc 上式两端除 ，!k

并由 可得 ),(0,10 时当 mjbb j

nkcbca k

k

jjkjk ,,1,0,

1

0

（ 7.9 ）

及

mnnkcbc k

k

jjkj

,,1,

1

0

（ 7.10）

注意当 时mj ,0jb 故（ 7.10）可写成

N

k

kk xfk

xP0

)( )0(!

1)( （ 7.6）.

0

N

k

kk xc

187

,

,

,

1122

21122

11211

mnmnmnmn

nnnmmn

nnnmmn

cbcbcbc

cbcbcbc

cbcbcbc

（ 7.11 ）

其中 时 ，0j ,0jc 若记

,

12

12

11

mnmnn

nnmn

nnmn

ccc

ccc

ccc

H （ 7.12 ）

,),,,( T11 bbb mm b .),,,( T

21 mnnn ccc c

188

则方程组（ 7.11 ）的矩阵形式为 .cbH

定理 10

（ 7.7）的有理函数 是 的 阶帕德逼近的

)(xRnm )(xf ),( mn

充分必要条件是多项式 的系数 )(),( xQxP mn naaa ,,, 10

及 满足方程组（ 7.9 ）及（ 7.11 ） . mbbb ,,, 10

,),,()( 1 mnNaaCxf N 设 则形如

189

)4,4()3,4()2,4()1,4()0,4(4

)4,3()3,3()2,3()1,3()0,3(3

)4,2()3,2()2,2()1,2()0,2(2

)4,1()3,1()2,1()1,1()0,1(1

)4,0()3,0()2,0()1,0()0,0(0

43210

3-3

n

m

表

根据定理 10, 求 的帕德逼近时，)(xf

首先要由（ 7.11 ）解出 的系数 ，)(xQm mbbb ,,, 10

再由（ 7.9 ）直接算出 的系数 .)(xPn naaa ,,, 10

的各阶帕德逼近可列成一张表，称为帕德表（见表3-3 ） .

)(xf

,

,

,

1122

21122

11211

mnmnmnmn

nnnmmn

nnnmmn

cbcbcbc

cbcbcbc

cbcbcbc

（ 7.11 ）

),,1,0(1

0

nkcbca k

k

jjkjk

（ 7.9 ）

190

例 10 求 的帕德逼近 及 . )1ln()( xxf )2,2(R )3,3(R

解 由 的泰勒展开)1ln( x

432

4

1

3

1

2

1)1ln( xxxxx

得 .,4

1,

3

1,

2

1,1,0 43210 ccccc

当 时，由（ 7.11 ）得 2mn

.4

1

3

1

2

1

,3

1

2

1

12

12

bb

bb

求得 ,6

1,1 21 bb 再由（ 7.9 ）得

191

,2

1,1,0 210 aaa

于是得

2

2

22

61

1

21

)(xx

xxxR

当 时，由（ 7.11 ）得 3mn

,6

1

5

1

4

1

3

1

,5

1

4

1

3

1

2

1

,4

1

3

1

2

1

123

123

123

bbb

bbb

bbb

.66

362

2

xx

xx

192

代入（ 7.9 ）得

.60

11,1,1,0 3210 aaaa

解得

.20

1,

5

3,

2

3321 bbb

于是得

32

32

33

201

53

23

1

6011

)(xxx

xxxxR

.

3369060

11606032

32

xxx

xxx

193

为了求帕德逼近 的误差估计，由 (7.9) 及 (7.11)求得的 系数 及 ，直接代入则得

)(xRnm

)(),( xQxP mn naaa ,,, 10 mbbb ,,, 10

,)()()()(0 0

11 l

l

m

kklmnk

mnnm xcbxxPxQxf

将 除上式两端，即得 )(xQm

可以看到这里得到的 及 与 的前面 )(22 xR )(33 xR )1ln( x

连分式展开得到的有理逼近（ 7.4）结果一样 .

194

,)(

)()( 0

1

xQ

xrxxRxf

m

l

ll

mn

nm

（ 7.13 ）

其中 .0

1

m

kklmnkl cbr

当 时可得误差近似表达式 1x

.,)()(0

101

0

m

kkmnk

mnnm cbrxrxRxf