Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс3.1. 2-й закон Ньютона и принцип недостижимости скорости света.

Релятивистская масса

Ньютон Исаак 1643 –1727

2-й закон Ньютона

Σ

a

Ньютон Исаак 1643 – 1727

i

iFam

Принцип существования предельной скорости материальных объектов

Фундаментальный закон природы:

существует предельная скорость движения материальных объектов, она одинакова во всех ИСО и численно равна скорости света в вакууме.

v

t

c

m → ∞

v → c, a → 0.

a = F/m.

Согласно этому принципу при разгоне тела какой-либо силой скорость может лишь приближаться к скорости света.

Из этого следует, что ускорение в конце концов будет стремиться к нулю:

Но согласно 2-му закону Ньютона:

И поскольку сила не равна нулю, то в этих условиях необходимо, чтобы масса разгоняемого тела

v

t

c

m → ∞

2

2

0

1cv

mm

v → c, a → 0,

Этому условию удовлетворяет зависимость массы тела от его скорости:

масса покоя

релятивистская (полная) масса

Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс

3.2. Кинетическая энергия, полная энергия, энергия покоя.

Закон сохранения энергии.

;

1 2

2

0

cv

mm

;0mm ?0 mm

Tсmm 20 - кинетическая

энергия тела

2mсE - полная энергия

200 сmE - энергия

покоя

Кинетическая энергия: 0EЕТ

222 /)/( смкгсмкгE )(джоульДж

Очевидно, что разность масс связана с движением тела. Будучи умноженной на скорость света в квадрате, она составляет энергию движения, или кинетическую энергию:

Размерность энергии:

Закон сохранения энергии

В изолированной системе тел (частиц) сумма их энергий со временем не меняется:

constEN

ii

1

constmN

ii

1

constmN

ii

10 !!!

(фундаментальный закон природы)

2mсE

Или: При этом:

Пример несохранения массы покоя: рождение двух фотонов за счет аннигиляции электрона и позитрона

2 ее

2

2

0 1c

vmm

Доказательство того, что фотон обладает массой: отклонение световых лучей (потока фотонов) от прямой вблизи Солнца за счет гравитации.

2 ее

2

2

0 1c

vmm

v=c,

00 m

02 0 em (!!!)

Пример несохранения массы покоя: рождение двух фотонов за счет аннигиляции электрона и позитрона

Но поскольку скорость фотона

то его масса покоя

Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс

3.3. Импульс.

Закон сохранения импульса

Импульс тела:

Фундаментальный закон природы - закон сохранения импульса:

vmp

i i

iii constvmp

i i

ii const

c

v

vm

2

2

0

1

или

т v

p

рi

2

2

0

1cv

vm

для замкнутой (изолированной) системы тел

Импульс и полная масса тела – аддитивные величины. Масса покоя – неаддитивна!

i i

i

cv

m22

0

1

Доказательство.

Полная масса системы тел:

22

0

1 cV

MM

iim

В системе отсчета, связанной с системой тел в целом (V' = 0):

i i

i

cv

mMM

22

00

1

внутi

i EcmM

2

00- энергия внутреннего

движения системы

i

imM 00

vi'

V

Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс

3.4. Энергия и импульс.

Кинетическая энергия при малых скоростях

2mсE

TEЕ 0

mvp 2c

v

E

p ;

2

E

pcv

2

2

20

1cv

сmE

;1 02

2

Ec

vE 022

42

1 EcE

cpE

20

222 EcpE 20

22 EcpE

;1 2

02 EE

cp (Т – кинетическая энергия)

)2(1

0ETTc

p

С другой стороны:

Найдём связь полной энергии тела и его импульса.

- связь импульса с кинетической энергией тела

;mvp

)2(1

0ETTc

p

;cv ;12

2

0 c

vmm 00 mmmm

0EЕТ 20 cmm ;2cm

0.. EТет

02 2

1TET

c

~ 0

mT2

С другой стороны: mTvm 222

2

2mvT )( cvпри

Кинетическая энергия при малых скоростях

221

Tmcc

(пренебрегаем бесконечно малой величиной второго порядка)

Кинетическая энергия:

Импульс:

Т

При v << c обе зависимости совпадают.

Зависимость кинетической энергии частицы Tот скорости v в релятивистской модели (a)

и классической модели (b).

Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс

3.5. Изменение импульса со временем.

Сила как мера воздействия

Импульс тела:

2

2

0

1c

v

vmvmp

т v

p

Для свободной частицы: constp

Для несвободной частицы:

0..,

t

pет

0dt

pd

Т.е. величина скорости изменения импульса может служить мерой воздействия на данное тело со стороны других физических объектов: t

pF

F – сила воздействия. 2

1

с

мкг

сс

мкгF )(ньютонН

Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции): FF

ii

Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс

3.6. Изменение энергии со временем.

Мощность силы

F

20

222 EcpE ,20

2 Ecpp 22 0cos pppp

?dt

dE

222 cdt

pdp

dt

dEE

2mc vm

cosFvvFdt

dE

20

22 EcpE

22 cFvmdt

dEmc

Пусть энергия тела меняется со временем. Определим, чему равна скорость её изменения, т.е. определим производную энергии по времени:

В §3.4 нами получена связь энергии и импульса:

поскольку

Возьмём производную слева и справа:

cosFvvFdt

dE

F

vα WvF

- мощность силы

dt

dEW сДжW )(ваттВт

;0ETE ;dt

dТ

dt

dE

dt

dТW Т – кинетическая

энергия тела

поскольку энергия покоя constE 0

Таким образом, мощность силы равна скорости изменения

кинетической энергии тела:

Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс

3.7. Работа силы

;vFWdt

dT

;..dt

rdF

dt

dTет

rdFdT

x

y

rdr

F

α

1

2

2

1

12

r

r

rdFTTT

r1

r2

cosdrF

;dt

rdvтеласкорость

откуда элементарное приращение кинетической энергии тела:

dArdF

- элементарная работа силы F на перемещении dr .

Изменение кинетической энергии тела на участке 1 – 2 :

Скорость изменения кинетической энергии тела:

S

2

1

12

r

r

rdFTTT

2

1

r

r

rdFA

- работа силы участке 1–2

Работа силы идет на приращение кинетической энергии тела: TA

Частный случай: constconstF , F

drα

S

rdFA

S

drF cos cos SF SFА

S

drF cos

Изменение кинетической энергии тела на участке 1 – 2 :

x

y

rdr

F

α

1

2

r1

r2

Графическое определение работы

x

F(x)

x1x2

F(x)

xF=F(x)

x1 x2

dxxFdA )(

dx

2

1

x

x

FdxA

dx

Тема 3. Динамика материальной точки. Энергия. Импульс

3.8. Уравнение Ньютона-Эйнштейна.

Решение основной задачи динамики

)()(

tFdt

tpd – уравнение

Ньютона-Эйнштейна

N

ii tF

dt

tpd

1

)()(

– при наличии нескольких воздействий

constFt

p

p

t

Начальные условия: пусть при t0=0 v0=0, p0=0

1 ?)( tp

tFp

F p(t)

Ускорение частицы постоянной силой

Ftp

c

cmFt

cmFt

v2

0

0

)(1

2 ?v

;1 22

0 Ftcv

vmp

222222

0 1 cvtFvm

;222

22222

0 tFc

vtFvm

22220

2222

tFcm

сtFv

;222

2220

2 tFc

tFmv

c

cm

Ft

cm

Ft

v2

0

0

)(1

;F

cmt o at

m

Ftv

0

;F

cmt o

cv

p

t

v

t

c

1) 1cm

Ft

o

2) ;1cm

Ft

o

atv

Только при малых скоростях: v << c