ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Aristotle University of Thessalonikiusers.auth.gr/.../Notes/EfAnPaDi/3-transformations.pdf · 2011. 2. 16. · ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ∆ιασποράς- Μετασχηµατισµοί Μεταβλητών 1

Μωυσιάδης Πολ.-Τµήµα

Μαθηµατικών ΑΠΘ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Μωυσιάδης Χρόνης

6o Εξάµηνο Μαθηµατικών



2Ποιοτικές Μεταβλητές ως προβλέπουσες

Τι συµβαίνει αν κάποια (ή κάποιες) Χi είναι ποιοτική ;

Προϋπόθεση : Προβλέπουσες µεταβλητές ποσοτικές (µετρήσιµες)

0 1 1 2 2 k kY X X Xβ β β β ε= + + + + +

όπου

Έστω Χ ποιοτική προβλέπουσα µε ν κατηγορίες. Τότε

αντικαθίσταται µε ν-1 βωβές µεταβλητές τις:

Xi Z1 Z2 Z3 ....... Zν-1

1

2

...

ν-1

ν

1

0

...

0

0

0

1

...

0

0

0

0

...

0

0

...

...

...

...

...

0

0

...

1

0

1η κατηγορία

2η κατηγορία

...

(ν-1)-στή κατηγορία

ν-στή κατηγορία

Ζ1, Ζ2, …, Ζν-1δείκτριες

µεταβλητές




3Παράδειγµα

Α, Β, C ποικιλίες από γαλοπούλες

Χ ηλικία (σε εβδοµ.)

Υ βάρος (σε pounds)

∆ιαφέρουν οι

ποικιλίες;

0.767

0.967

1.333

1.533

1.4

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

11.5

14.2

15.4

13.1

13.8

21

27

29

23

25

-0.35

-1.417

-0.217

-0.75

-0.967

-0.833

-0.45

-1.017

Α

Α

Α

Α

Β

Β

Β

Β

13.3

8.9

15.1

10.4

13.1

12.4

13.2

11.8

28

20

32

22

29

27

28

26

Ποικ.YXΠοικ.YX ˆY Yε = − ˆY Yε = −



4Παλινδροµήσεις (ανά ποικιλία)

30 31Y β β X ε= + +

Α Β Γ

-1.5

-0.5

0.5

1.5Μοντέλο

Y 1.98 0.4167X= +

( )ˆ( ) 4.450, 0.591, 0.824s β ′ =2

0.6647R =

(1)

0 1Y β β X ε= + +

Y -0.979 0.506 X= +

20 21Y β β X ε= + +

(για την ποικιλία Γ)

(για την ποικιλία Β)

(για την ποικιλία Α)

Χ Υ

28

20

32

22

13.3

8.9

15.1

10.4

10 11Y β β X ε= + +




5Με βωβές µεταβλητές

Χ Υ Ποικ. Z1 Z2

28

20

32

22

29

27

28

26

21

27

29

23

25

13.3

8.9

15.1

10.4

13.1

12.4

13.2

11.8

11.5

14.2

15.4

13.1

13.8

Α

Α

Α

Α

Β

Β

Β

Β

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0.158

-0.348

0.011

0.179

-0.255

0.018

0.332

-0.095

-0.153

-0.374

-0.147

0.474

0.200

ˆˆ Yε =Υ −

2 0.9794R =

1 2ˆ 1.92 2.19Y 1.43 0.49X= + − Ζ − Ζ

0 1 1 1 2 2Y β β X α +α ε= + + Ζ Ζ +

(2)

(για την Γ)

(για την Β)

(για την Α)

Y -0.7610 0.4868X= +

Y 1.4309 0.4868X= +

Y -0.4875 0.4868X= +



6Οπτικός έλεγχος του µοντέλου

Υπόλοιπα

ανά ποικιλία

Παλινδρόµηση

ανά ποικιλία

Α Β Γ

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

15 20 25 30 358

10

12

14

16ΑΒ

Γ




7ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Οι ποικιλίες Α, Β, Γ διαφέρουν;

Η0 :

Η1 : όχι η Η0

1 2 0α α= =20 0 2β β α= +επειδή

30 0β β=

10 0 1β β α= +Η0 :

Η1 : όχι η Η0

10 20 30β β β= =

SSR = 38.60575

SSRΠ=26.20192

s2=0.09013

το (1) είναι περιορισµένο του

(2) που είναι το πλήρες

( )38.60575 26.20192 / 268.81

0.09013F

−⇒ = =

Άρα για α=0.05 η Η0 ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ

ή δεν αρκεί το µοντέλο (1) να περιγράψει το Y

Όµως F2,9;0.05=9.43



8ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ (συν.)

Οι ποικιλίες Α, Β είναι όµοιες

αλλά διαφέρουν από τη Γ;

Η0 :

Η1 : όχι η Η0

1 2 0α α= ≠Η0 :

Η1 : όχι η Η0

10 20 30β β β= ≠⇒

Τώρα περιορισµένο είναι το:

µε πλήρες το:0 1 1 1 2 2Y β β X α +α ε= + + Ζ Ζ +

0 1 1 2( )Y Xβ β α ε= + + Ζ + Ζ +

2

( ) /1 38.60575 38.454421.56

0.09013

SSR SSRF

s

Π− −⇒ = = =

Άρα για οποιοδήποτε α η Η0 ∆ΕΝ ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ

ή δεν ισοδύναµα έχουµε δύο ποικιλίες τις Α,Β και τη Γ.

Όµως

F1,10;0.10=3.29




9ΤΕΛΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ

(3)1 2

ˆ 1.620833 0.4791667 2.04375( )Y X= + − Ζ + Ζ

Γραφικές παραστάσεις

2 0.9525iε =∑

Σφάλµατα0.306, -0.26, 0.19, 0.281, -0.373, -0.115, 0.206, -0.235, -0.183, -0.358, -0.117, 0.458, 0.2

µε (παράβαλε 13.215 στο (1), 0.8112 στο (2) )

R2=0.9758 και s2=0.09525

Α Β Γ

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

15 20 25 30 358

10

12

14

16

Α ή Β

Γ



10Με αλληλεπίδραση

2 0.982R =

1 2 1 2ˆ 3.454 2.775 0.061 0.025Y 2.475 0.445X X X= + − Ζ − Ζ + Ζ + Ζ

0 1 1 1 2 2 1 1 2 2Y β β X α +α X + γ Xγ ε= + + Ζ Ζ + Ζ Ζ + (4)

(για την Γ)

(για την Β)

(για την Α)

Y -0.3 0.47X= +

Y 2.475 0.445X= +

Y -0.979 0.506 X= +

οι αλληλεπιδράσεις

15 20 25 30 358

10

12

14

16 Α

Β

Γ




11ΑΛΛΑ ΠΙΘΑΝΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

2

0 1 22 2

0 1 2 1 0 1 2 22

0 1 2 1 2

( ) ( )

( )( )

Y β β X β X

X X + X X

X X +

γ γ γ δ δ δζ ζ ζ ε

= + + ++ + + Ζ + + Ζ ++ + + Ζ Ζ +

(7)

0 1 1 1 2 1 1 2( ) ( )Y β β X α + X +γ ε= + + Ζ Ζ + Ζ Ζ + (5)

2

0 1 2 1 1 2 2 1 22

3 1 2

( ) ( )

( )

Y β β X β X α + a X +

a X + ε= + + + Ζ Ζ + Ζ Ζ

+ Ζ Ζ + (6)

Πιο πολύπλοκο µοντέλο

Στο τελευταίο µοντέλο είναι k=11. Έτσι απαιτείται να είναι το n-k-1 τουλάχιστον 1, δηλαδή n≥13.

Το µοντέλο (3) µε αλληλεπιδράσεις

Με δευτεροβάθµιες σχέσεις και αλληλεπιδράσεις



12Άλλες βωβές Μεταβλητές

Είναι οι µεταβλητές W1,…,W5 κατάλληλες να

αντικαταστήσουν το Χ µε 6 κατηγορίες;

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

Χ W1 W2 W3 W4 W5

1

2

3

4

5

6

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

Συγκρί-

νουµε µε

τις µετα-

βλητές

Ζk

1 1

2 2 1

3 3 2

4 4 3

5 5 4

Z W

Z W W

Z W W

Z W W

Z W W

== −= −= −= −

1 1

2 1 2

3 1 2 3

4 1 2 3 4

5 1 2 3 4 5

W Z

W Z Z

W Z Z Z

W Z Z Z Z

W Z Z Z Z Z

== += + += + + += + + + +

καιΙσχύουν

άρα µπορούν οι Wk να χρησιµοποιηθούν αντί των Zk




13ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ (άσκηση 3.1)

x y x1 x2 z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

10

10

11

13

14

14

16

16

15

16

16

17

17

17

18

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9

9

9

9

9

9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

3

4

5

6

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

x διαδοχικά έτη

y ζήτηση σε τόνους

Στο 9ο έτος ένα ανταγωνιστικό

προϊόν αναβαθµίστηκε

Θέτουµε

Περίοδος Ι τα έτη 1 έως 9

Περίοδος ΙΙ τα έτη 9 έως 15

Παρατηρούµε

x1 αυξάνει στην Ι, σταθερό στην ΙΙ

x2 αυξάνει στην ΙΙ, σταθερό στην Ι

x1+x2=x,

x3 είναι δείκτρια της ΙΙ



14Το µοντέλο

1 2 3 )0 1 2 3

Y β β X β X β X ε= + + + +

ˆ 11.428572 0.4285714 , 9Y X X= + >

Για x>9 είναι x=x2+9, x1=9, x3=1, οπότε:

(3)

ˆ( ) (0.375, 0.0743, 0.0909, 0.4981)s β ′ =

1 2 3ˆ 0.9761905 0.4285714 2.107143Y 8.607143 X X X= + + −

και SSR=92.7857όπου

(1)

ˆ 0.9761905 , 9Y 8.607143 X X= + <

Για x<9 είναι x=x1, x2=0, x3=0, οπότε:

(2)




15Γραφική παράσταση των µοντέλων

5 10 15

10

12

14

16

18

περ. I

περ. IΙ



16Υποθέσεις

Η0 :

Η1 : όχι η Η0

1 2 3 0β = β , β ≠

2

92.7857 87.7476221.75

0.2316

SSR SSRF

s

Σ− −= = =

και F1,12;0.05=4.75

⇒ ∆ΕΝ ΕΊΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΟΙ ΓΡΑΜΜΕΣ

Η0 :

Η1 : 03β ≠

03β = 2.1074.23

0.4981T−= =−

αλλά t11;0.95=-1.796 ⇒ ∆ΕΝ ΤΑΥΤΙΖΟΝΤΑΙ ΟΙ ΓΡΑΜΜΕΣ

που είναι συµπτυγµένο του πλήρους

1 2 3( ) )0 1 3

Y β β X X β X ε= + + + +ελέγχεται µε το µοντέλο




17ΕΤΕΡΟΣΚΕ∆ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

Αναγκαίες προϋποθέσεις εφαρµογής γραµµικού µοντέλου

2

( ) 0

( )

E

V

ε

ε σ

=

= Ι

ˆ , i

iys

ε

ή

οπτικός έλεγχος

Σχηµατίζουµε

τα γραφήµατα

2(0, )ε σΝ Ι∼

, i

ixs

ε



18Σχόλια

Υπάρχει συστηµατικό λάθος.

Το µοντέλο υπερ-εκτιµά την πραγµατικότητα στις µικρές τιµές του x

(ή ŷ ανάλογα) και την υπο-εκτιµά στις µεγάλες τιµές.

Πιθανή βελτίωση µε προσθήκη σταθερών όρων ή γραµµικά

συσχετισµένων µεταβλητών.

Υπάρχει αύξηση της διασποράς κατά τον άξονα x ή ŷ ανάλογα.

Πιθανή βελτίωση: Να θεωρηθεί . Τότε

προφανώς και το µοντέλο Y = β0+β1 X + ε

γράφεται Y/Χ = β1+β0 (1/X) + (ε/Χ) ή W = α0+α1 Z + e

που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις

2( / )i iVar x kε =

2 2( )i iVar k xε =

Υπάρχει συστηµατικό λάθος.

Πιθανή βελτίωση µε προσθήκη δευτεροβάθµιων όρων.

(4)

(1)

(2)

(3)

σύµφωνα µε προϋποθέσεις




19ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ (παρ. 3.3)

α/α x y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

294

247

267

358

423

311

450

534

438

697

688

630

709

627

615

999

1022

1015

700

850

980

1025

1021

1200

1250

1500

1650

30

32

37

44

47

49

56

62

68

78

80

84

88

97

100

109

114

117

106

128

130

160

97

180

112

210

135

x = πλήθος εργατών

y = πλήθος εξεταστών

Μοντέλο 0 1 εY β β X= + +

µε R2=0.776

x

sta

ndard

ized r

esid

uals

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

-2-1

01

Θέτουµε z=1/x και w=y/x

ˆ 14.448 0.105

(9.56) (0.011)

Y X= +



20µε το µετασχηµατισµό

α/α z w

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

0.00340

0.00405

0.00375

0.00279

0.00236

0.00322

0.00222

0.00187

0.00228

0.00143

0.00145

0.00159

0.00141

0.00159

0.00163

0.00100

0.00098

0.00099

0.00143

0.00118

0.00102

0.00098

0.00098

0.00083

0.00080

0.00067

0.00061

0.10204

0.12955

0.13858

0.12291

0.11111

0.15756

0.12444

0.11610

0.15525

0.11191

0.11628

0.13333

0.12412

0.15470

0.16260

0.10911

0.11155

0.11527

0.15143

0.15059

0.13265

0.15610

0.09500

0.15000

0.08960

0.14000

0.08182

Νέο Μοντέλο W=α0+α1Z+e

ˆ 0.121 3.803

(0.009) (4.57)

W Z= +µε R2=0.027

1/x

sta

ndard

ized r

esid

uals

0.001 0.002 0.003 0.004

-10

1

ˆ 3.803 0.121Y X= +

Οι τελευταίοι συντελεστές δεν είναι αξιόπιστοι




21Σύγκριση των δύο γραµµών

x

y

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

50

10

01

50

20

0

y=14.448+0.105 xy=3.803+0.121 x



22Μέθοδος Σταθµισµένων ε.τ.

ισχύουν:Y X β+ ε=

Ας υποθέσουµε ότι στο µοντέλο

2

( ) 0

( )

E

V V

ε

ε σ

=

=

ή

( )( )

( ) ( )

1 1

1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 1 1 2

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

( )

f P P

V f E f E f f E f E f f

P P P P P V P

P V P P P P P

ε ε

εε εε ε

σ σ σ

− −

− − − − − −

− − − −

Ε =Ε = Ε =

′ ′= − − = =

′ ′= Ε = Ε = =

= = = Ι

Επειδή V θ.ο. πίνακας ∃ πάντα µη=ιδιάζων συµµετρικός πίνακας P ώστε:

2(0, )Vε σΝ∼

Θέτοντας:

2P P P P P V′ = = =

1f P ε

−= ⇒




23Εκτίµηση συντελεστών µε σταθµ. ε.τ.

στο οποίο ικανοποιούνται οι

γνωστές προϋποθέσεις

1 1ˆ )-1β= (X V X ) (X V Y− −′ ′

Άρα 1 1 1Y X β+ ε P Y P X β+ P ε− − −= ⇒ =

άρα

Q Z β+ f=

οπότε

ˆ )-1β= (Z Z) (Z Q′ ′ ⇒

1 1 1 1ˆ )-1β= (X P P X ) (X P P Y− − − −′ ′ ⇒



24Για ασυσχέτιστες προβλέπουσες

1

2-1

3

n

ω 0 0 00 ω 0 0

V 0 0 ω 0

0 0 0 ω

⇒ =

ji i

i

X Y x y ′ = ∑

όπου

2

12

22 2

3

2

n

σ 0 0 0

0 σ 0 0(ε) = Vσ 0 0 σ 0

0 0 0 σ

V

=

Παρατηρούµε

2

i 2

i

σω =

σ

1

iω

ji i

i

X V Y x y− ′ = ∑

ji ki

i

X X x x ′ = ∑1

iω

ji ki

i

X V X x x− ′ = ∑

ενώ

ενώ

∆ηλαδή τα ωi λειτουργούν ως συντελεστές στάθµισης




25ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ (το προηγούµενο)

Φαίνεται από το σχήµα

2 2

i(ε ) σ iVar x=Στο µοντέλο ε0 1Y β β X= + + υποθέτουµε

1

2

27

y

yY

y

=

1

2

27

11

1

x

xX

x

=

0

1

ββ

β =

1

2

27

εεε

ε

=

όπου:Y X β+ ε=

Ισοδύναµα

2

12

2 2

2

0 0

0 0( )

0 0n

x

xV

x

ε σ

=

και

1 1

1

ˆ )

0.00010467 0.0465041534 0.006024740.0465041534 27 3.44360728

3.8030.121

-1β= (X V X ) (X V Y− −

−

′ ′ =

= = =

δηλαδή προέκυψε

πάλι το ίδιο µοντέλο



26ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ Durbin - Watson

υποθέσουµε ότι

( )n

2

t t-1

t=2

n2

t

t=2

ε - ε

ε

d =∑

∑

ανεξάρτητη των

1 ... ε0 1 k kY β β X β X= + + + +

t t-1 tρε ε η= +

Αν στο µοντέλο

2

tη (0,σ )N∼όπου

s

sρ ρ=είναι τότε ο συντ. συσχ. των σφαλµάτων

tηκαι

ελέγχει την υπόθεση

t -1 t-2 t-1 t-2ε , ε , ..., η , η ,...

Το στατιστικό

Η0 : ρ=0

Η1 : ρ>0

Η0 : ρ=0

Η1 : ρ<0

Η0 : ρ=0

Η1 : ρ≠0ήή

Από πίνακες υπολογίζονται για διάφορα α οι τιµές dL, dU, και συγκρίνουµε µε

την τιµή του d.

i i+sε , ε




27Σχηµατικός έλεγχος DW τεστ

H0 : ρρρρ = 0

θετική αυτοσυσχέτιση

H1 : ρρρρ > 0

0 dL du 2

ΑΠΟΡ.

H0 δεν απορ.

δεν αποφ.

DW

(d)4-du 4-dL 4

δεν αποφ.

ΑΠΟΡ.

H0

H0 : ρρρρ = 0

αρνητική αυτοσυσχέτιση

H1 : ρρρρ < 0

δεν απορ.

H0 : ρρρρ = 0

H1 : ρρρρ ≠ 0



28Παράδειγµα

Στο τελευταίο παράδειγµα

βρίσκουµε:

( )n

2

k k-1

k=2

n2

k

k=2

ε - ε

2.579

ε

d = =∑

∑

Από πίνακες βρίσκουµε ότι για k=1 (προβλέπουσες µεταβλητές) και n=27,

και για α=0.05 τα όρια είναι dL=1.316, και dU=1.469

0 dL du 2 4-du 4

2.6841.316 1.469

2.579

4-dL

2.531

⇒ ∆εν µπορούµε να αποφασίσουµε




29Όρια του στατιστικού D-W



30Όρια του στατιστικού D-W (συν.)




31Θέµατα (1)

Ο διπλανός πίνακας περιέχει εξαµηνιαίες

µετρήσεις των πωλήσεων µιας επιχείρησης.

Είναι γνωστό ότι οι πρώτες 5 µετρήσεις έχουν

µια γραµµική σχέση, οι επόµενες 4 έχουν µια

άλλη γραµµική σχέση, όπως φαίνεται οπτικά κι

από το σχήµα. Το ερώτηµα είναι κατά πόσον

αυτές οι γραµµικές σχέσεις είναι ίδιες ή

διαφορετικές. Κάναµε δύο παλινδροµήσεις και

πήραµε τα παρακάτω µοντέλα πρόβλεψης

(1) ,

µε SSR=128.18, SST=132.62

(2) ,

µε SSR=131.51

α) Να βρεθούν οι γραµµικές σχέσεις στα διαστήµατα x≤5 και x≥5, και να

παρασταθούν γρα-φικά.

β) Εξετάστε αν οι δύο γραµµές ταυτίζονται (να

διατυπωθεί η υπόθεση την οποία θα ελέγξετε)

ˆ 1.5361 1.4617y x= + ⋅

1 2ˆ 9.8714 1.9238 0.9995y x x= + ⋅ + ⋅

x Ηµεροµηνία x1 x2 y

1 Μάρ. 1970 -4 0 2.3

2 Σεπ. 1970 -3 0 3.8

3 Μάρ. 1971 -2 0 6.5

4 Σεπ. 1971 -1 0 7.4

5 Μάρ. 1972 0 0 10.2

6 Σεπ. 1972 0 1 10.5

7 Μάρ. 1973 0 2 12.1

8 Σεπ. 1973 0 3 13.2

9 Μάρ. 1974 0 4 13.6



32Θέµατα (2)

Σε µια µελέτη της σχέσης των µισθών µε το κοινωνικο-οικονοµικό-εκπαιδευτικό

επίπεδο των εργαζοµένων ο ερευνητής χώρισε τα 55 άτοµα που συµµετείχαν σε τρεις

κατηγορίες 1=χαµηλό, 2=µέσο και 3=υψηλό. Κατέγραψε τους µηνιαίους µισθούς τους

Y σε € την εµπειρία τους X σε έτη.

Στη συνέχεια όρισε βωβές µεταβλητές Ζ1 µε τιµή 1 για τα άτοµα χαµηλού επιπέδου και

0 για τα άλλα και Ζ2 µε τιµή 1 για τα άτοµα µεσαίου επιπέδου και 0 για τα άλλα.

Συµβόλισε τέλος W1=X⋅Z1 και W2=X⋅Z2 τις µεταβλητές που συνδυάζουν την εµπειρία

µε το επίπεδο του εργαζοµένου. Όρισε τέλος και τις µεταβλητές U1=Z1+Z2 και

U2=X⋅(Z1+Z2)=W1+W2.

Μεταβλητές στο µοντέλο Αθροίσµατα, Συντελεστές

(Χ) SST=1588000, SSR=456000, (β0,β1)=(496.1, 18.4).

(Χ,Ζ1,Ζ2,W1,W2) SSR=1521000, (β0, β1, γ1, γ2, δ1, δ2)=(684.3, 18.4,-300.3,-239.6,-1.3,-1.4)

(Χ,U1,U2) SSR=1497000, (β0, β1, ε1, ε2)=(684.3, 18.3,-261.3,-3.8)

Προκειµένου να βρεθεί ένα µοντέλο πρόβλεψης του µισθού σε κάθε επίπεδο των

εργαζοµένων έγινε µια σειρά από παλινδροµήσεις, ορισµένα από τα αποτελέσµατα των

οποίων δίνονται στον πίνακα. Στο σχήµα δίνονται γραφικά οι τρεις γραµµές

παλινδρόµησης.




33Θέµατα (2 συν.)

x

y

5 10 15 20

40

05

00

60

07

00

80

09

00

10

00

11

1

11

1

11

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

22

222

2

22

2

2

2

22

3

3

3

3

33

33

33

33

3

3

3

333

3

Στο σχήµα δίνονται γραφικά οι τρεις γραµµές παλινδρόµησης.

α) Βρέστε συνδυάζοντας

κατάλληλα τις πληροφορίες

του πίνακα, τα µοντέλα

πρόβλεψης του µισθού από

την εµπειρία σε κάθε επίπεδο

και σηµειώστε τα στο σχήµα.

β) Ποια µηδενική υπόθεση

ελέγχει το εάν οι τρεις ευθείες

ταυτίζονται; ∆ιατυπώστε την

υπόθεση µε τρόπο που να

αφορά τις παραµέτρους ενός

µοντέλου και στη συνέχεια

κάντε τον έλεγχο.



34Θέµατα (3)

Χ1 Χ2 Χ3 Y

10.0 27.0 12.8 28.0

10.0 27.0 12.5 24.5

10.0 28.5 10.7 28.0

10.0 28.5 11.6 28.0

10.0 30.0 11.7 31.5

11.6 34.5 12.6 52.5

11.6 27.0 11.7 49.0

11.6 27.0 12.8 49.0

11.6 25.5 12.7 45.5

11.6 27.0 12.0 38.5

11.6 28.5 13.3 42.0

11.6 30.0 12.0 52.5

12.4 36.0 12.6 98.0

12.4 33.0 12.6 63.0

12.4 34.5 12.6 63.0

12.4 36.0 13.3 66.5

12.4 36.0 13.3 70.0

15.0 40.5 12.8 147.0

15.0 40.5 12.7 129.5

15.0 37.5 13.0 129.5

15.0 30.0 13.1 52.5

Εικοσιµία παρατηρήσεις της µεταβλητής Υ για δοσµένες

τιµές των Χ1, Χ2 και Χ3 δίνονται στο διπλανό πίνακα.

µεταβλητές SSR

(1) 18498.0

(2) 19429.6

(3) 4052.3

(1 , 2) 22083.3

(1 , 3) 18602.0

(2 , 3) 19528.7

(1 , 2 , 3) 22206.2

Προκειµένου να βρεθεί το καλύτερο µοντέλο που

εκτιµά τις τιµές της Υ από αυτές των Χ1, Χ2 και Χ3

έγιναν όλες οι δυνατές παλινδροµήσεις της Υ µε τις Χk,

k=1,2,3. ∆ίνεται ότι SST=25348.2, και ότι το SSR για τα

διάφορα µοντέλα είναι:

όπου οι αριθµοί στις παρενθέσεις δηλώνουν ποιες µεταβλητές

είναι στο µοντέλο.




35Θέµατα (3 συν.)

α) Βρέστε το καλύτερο και το αµέσως καλύτερο µοντέλο µε το κριτήριο

R2. Να αποδειχθεί ο ισχυρισµός σας µε κατάλληλο έλεγχο.

β) Παρατηρώντας ότι η µεταβλητή Χ1 έχει τέσσερις κατηγορίες, ορίσαµε

τρεις βωβές µεταβλητές τις Ζ1, Ζ2 και Ζ3 που παίρνουν την τιµή 1 όταν η

Χ1 είναι αντίστοιχα 10, 11.6 και 12.4 και 0 αλλού. Στη συνέχεια κάναµε

παλινδρόµηση θεωρώντας το µοντέλο

Υ=β0+β2Χ2+β3Χ3+α1Ζ1+α2Ζ2+α3Ζ3+ε, και πήραµε R2=0.8896, ενώ οι

συντελεστές παλινδρόµησης ήταν αντίστοιχα:

(β0,β2,β3,α1,α2,α3)=(−40.18, 4.99, −2.37, −44.52, −25.64, −32.44).

Βρέστε το µοντέλο πρόβλεψης της Υ για τις 4 κατηγορίες της Χ1 και

δείξτε ότι τα τέσσερα αυτά µοντέλα ταυτίζονται αν ισχύει α1=α2=α3=0.

Στη συνέχεια, κάντε τον έλεγχο αν τα τέσσερα µοντέλα ταυτίζονται.

Documents

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Aristotle University of Thessalonikiusers.auth.gr/.../Notes/EfAnPaDi/3-transformations.pdf · 2011. 2. 16. · ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ