Тема №4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ИЗМЕНЕНИЯ Тема №4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗАСОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

4.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ4.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ Большое значение для теоретических исследований и для Большое значение для теоретических исследований и для

прикладных работ имеют следующие процессы: изохорный, прикладных работ имеют следующие процессы: изохорный, протекающий при постоянном объеме, изобарный – при постоянном протекающий при постоянном объеме, изобарный – при постоянном давлении, изотермический – при постоянной температуре, давлении, изотермический – при постоянной температуре, адиабатный – без теплообмена с окружающей средой. Кроме того, адиабатный – без теплообмена с окружающей средой. Кроме того, существуют еще политропные процессы, которые при существуют еще политропные процессы, которые при определенных условиях могут переходить во все определенных условиях могут переходить во все вышеперечисленные процессы.вышеперечисленные процессы.

Для всех процессов устанавливается следующий общий метод Для всех процессов устанавливается следующий общий метод исследования.исследования.

1. Выводится уравнение кривой процесса в pv и Ts координатах.1. Выводится уравнение кривой процесса в pv и Ts координатах. 2. Устанавливается соотношение между основными параметрами 2. Устанавливается соотношение между основными параметрами

состояния рабочего тела в начале и в конце процесса.состояния рабочего тела в начале и в конце процесса. 3. Определяется изменение внутренней энергии по формуле3. Определяется изменение внутренней энергии по формуле

(4.1)(4.1)

или при постоянной теплоемкости или при постоянной теплоемкости

(4.2)(4.2)

10

20

12

122

1

tctcdtcuuut

v

t

v

t

t

v

1212 ttcuu v

4. Определяется работа изменения объема газа4. Определяется работа изменения объема газа

.(4.3).(4.3)

5. Находится удельное количество теплоты, участвующее в 5. Находится удельное количество теплоты, участвующее в процессепроцессе

..

6. Находится изменение удельной энтропии по формулам6. Находится изменение удельной энтропии по формулам

ассматриваемые процессы считаются обратимыми.ассматриваемые процессы считаются обратимыми.

2

1

2

1

v

v

v

v

dvvfpdvl

10

20

21

122

1

tctcdtcqt

x

t

x

t

t

x

.lnln

;lnln

1

2

1

212

1

2

1

212

p

pR

T

Tcss

v

vR

T

Tcss

p

v

4.2. ИЗОХОРНЫЙ ПРОЦЕСС4.2. ИЗОХОРНЫЙ ПРОЦЕСС Изохорным называется процесс, проходящий при постоянном Изохорным называется процесс, проходящий при постоянном

объеме. Кривая процесса называется изохорой (рис. 4.1, 4.2).объеме. Кривая процесса называется изохорой (рис. 4.1, 4.2). Уравнение процесса v=const или dv=0.Уравнение процесса v=const или dv=0. Соотношение параметров. Для процесса 1–2 запишем уравнение Соотношение параметров. Для процесса 1–2 запишем уравнение

состояния газа в точках 1 и 2 . состояния газа в точках 1 и 2 .

Разделив первое уравнение на второе, получим известный закон Разделив первое уравнение на второе, получим известный закон ШарляШарля

,, т.е. при изохорном процессе изменение абсолютных давлений т.е. при изохорном процессе изменение абсолютных давлений

прямо пропорционально изменению абсолютных температур.прямо пропорционально изменению абсолютных температур.

22,1212,11 , RTvpRTvp

2

1

2

1

T

T

p

p

Изменение внутренней энергии. Для процесса 1–2 запишем Изменение внутренней энергии. Для процесса 1–2 запишем уравнение первого закона термодинамики .уравнение первого закона термодинамики .

Так как Так как dvdv=0, то .=0, то .

Интегрируя последнее уравнение, получимИнтегрируя последнее уравнение, получим

.(4.4) .(4.4)

pdvdudq vv dTсdudq vvv

1212

2

1

uuTTcdTcq v

T

T

vv

Работа изменения объема газа. Ввиду того, что dv=0, работа Работа изменения объема газа. Ввиду того, что dv=0, работа dl=pdv=0. То есть работа в изохорном процессе равна нулю, и вся dl=pdv=0. То есть работа в изохорном процессе равна нулю, и вся теплота, подводимая (отводимая) к рабочему телу, идет на теплота, подводимая (отводимая) к рабочему телу, идет на изменение внутренней энергии. Удельная располагаемая работа изменение внутренней энергии. Удельная располагаемая работа ll0 0 определяется по формулеопределяется по формуле

..

Удельное количество теплоты определяется по формуле (4.4).Удельное количество теплоты определяется по формуле (4.4). 6.6. Изменение удельной энтропии найдем из уравнений первого Изменение удельной энтропии найдем из уравнений первого

и второго законов термодинамики. Запишем уравнение первого и второго законов термодинамики. Запишем уравнение первого начала в виденачала в виде

.. Разделив обе части этого уравнения на Т, получимРазделив обе части этого уравнения на Т, получим .(4.5).(4.5)

Из уравнения состояния идеального газа следует, чтоИз уравнения состояния идеального газа следует, что .(4.6).(4.6)

Подставляя (4.6) в (4.5), найдемПодставляя (4.6) в (4.5), найдем

120

2

1

ppvvdplp

p

pdvdTcdq v

dvT

p

T

dTc

T

dqv

v

R

T

p

dvv

R

T

dTc

T

dqv

Так как , то .Так как , то .

Интегрируя последнее соотношение, будем иметьИнтегрируя последнее соотношение, будем иметь

.(4.7).(4.7)

Так как в изохорном процессе , то . Так как в изохорном процессе , то .

ТогдаТогда

Изображение термодинамического процесса в Ts координатах Изображение термодинамического процесса в Ts координатах имеет ряд удобств. Как уже указывалось выше, площадью под имеет ряд удобств. Как уже указывалось выше, площадью под кривой процесса определяется количество теплоты. Кроме кривой процесса определяется количество теплоты. Кроме того, используя кривую изохорного процесса в Ts того, используя кривую изохорного процесса в Ts координатах, можно определить значение истинной координатах, можно определить значение истинной теплоемкости степлоемкости сv v . .

Tdqds dvv

R

T

dTcds v

1

2

1

212 lnln

v

vR

T

Tcsss v

21 vv 0ln 12 vv

1

212 ln

T

Tcsss v

4.3. ИЗОБАРНЫЙ ПРОЦЕСС4.3. ИЗОБАРНЫЙ ПРОЦЕСС Изобарными называются процессы, протекающие при постоянном Изобарными называются процессы, протекающие при постоянном

давлении. Кривые процессов называются изобарами (рис. 4.4, 4.5).давлении. Кривые процессов называются изобарами (рис. 4.4, 4.5).

1. 1. Уравнение процессаУравнение процесса pp=const или dp=0.=const или dp=0. 2. 2. Соотношение параметровСоотношение параметров. Для процесса 1–2 запишем уравнение . Для процесса 1–2 запишем уравнение

состояния в точках 1 и 2 состояния в точках 1 и 2

Разделив первое уравнение на второе, получим известный закон Гей-Разделив первое уравнение на второе, получим известный закон Гей-ЛюссакаЛюссака

..

3. 3. Изменение внутренней энергииИзменение внутренней энергии. Уравнение первого закона . Уравнение первого закона термодинамики для изобарного процесса имеет видтермодинамики для изобарного процесса имеет вид

.(4.8).(4.8)

222,1112,1 ; RTvpRTvp

2

1

2

1

T

T

v

v

pdvdudq p

Рис. 4.4. Рис. 4.5.

p

vv1 v2

21p1,2

T

s

1T1

T2

s2s1

qp

22'

Таким образом, в изобарном процессе часть теплоты, подведенной к Таким образом, в изобарном процессе часть теплоты, подведенной к рабочему телу, расходуется на изменение внутренней энергии, а рабочему телу, расходуется на изменение внутренней энергии, а оставшаяся часть идет на совершение внешней работы. Для оставшаяся часть идет на совершение внешней работы. Для определения долей теплоты, затрачиваемой на изменение определения долей теплоты, затрачиваемой на изменение внутренней энергии и на совершение работы, разделим уравнение внутренней энергии и на совершение работы, разделим уравнение (4.8) на dq(4.8) на dqpp. Отсюда . . Отсюда .

Если принять Если принять kk=1,4, что соответствует двухатомным газам, то=1,4, что соответствует двухатомным газам, то ..

Следовательно, 28,5% всей подведенной к рабочему телу теплоты в Следовательно, 28,5% всей подведенной к рабочему телу теплоты в изобарном процессе для двухатомного газа расходуется на изобарном процессе для двухатомного газа расходуется на совершение внешней работы, а 71,5% – на изменение внутренней совершение внешней работы, а 71,5% – на изменение внутренней энергии.энергии.

Запишем уравнение первого закона термодинамики через энтальпиюЗапишем уравнение первого закона термодинамики через энтальпию

Так как Так как dp=0dp=0, то , то ..(4.9)(4.9)

pp dq

dl

dq

du1

kc

c

dTc

dTc

dq

du

dq

dl

p

v

p

v

pp

11111

715,0а,285,0 pp dq

du

dq

dl

vdpdidq

dTcdidq p

Или при Или при cpcp==constconst. . Следовательно, в изобарном процессе теплота, подведенная к Следовательно, в изобарном процессе теплота, подведенная к

рабочему телу, идет на увеличение энтальпии. Количество рабочему телу, идет на увеличение энтальпии. Количество теплоты, подведенное к рабочему телу в изобарном процессе, теплоты, подведенное к рабочему телу в изобарном процессе, измеряется площадью под кривой процесса (рис. 4.5).измеряется площадью под кривой процесса (рис. 4.5).

4. 4. Работа в изобарном процессеРабота в изобарном процессе будет dl = pdv, или будет dl = pdv, или

Располагаемая работа , т.к. Располагаемая работа , т.к. dpdp=0.=0. 5.5. Удельное количество теплоты Удельное количество теплоты определяется по уравнениям (4.8), определяется по уравнениям (4.8),

(4.9).(4.9). 6. 6. Изменение удельной энтропииИзменение удельной энтропии найдем из формулы (4.7), используя найдем из формулы (4.7), используя

соотношение параметров изобарного процесса соотношение параметров изобарного процесса

Так как по уравнению Майера , тоТак как по уравнению Майера , то

1212 TTciiq p

12

2

1

vvpdvplv

v

00 vdpl

1212 TTvv

1

2

1

2

1

212 lnlnln

T

TRc

T

TR

T

Tcss vv

pv cRc

1

212 ln

T

Tcss p

Из уравнения Майера следует, что ср > cv. Из уравнения Майера следует, что ср > cv. Поэтому изменение энтропии при изобарном процессе будет Поэтому изменение энтропии при изобарном процессе будет

больше, чем при изохорномбольше, чем при изохорном

..

Из сопоставления рис. (4.3) и (4.6) следует, что изобара 1–2 (рис. 4.5) Из сопоставления рис. (4.3) и (4.6) следует, что изобара 1–2 (рис. 4.5) при одинаковых температурах Т1 и Т2, более пологая кривая, чем при одинаковых температурах Т1 и Т2, более пологая кривая, чем изохора 1 – 2'. изохора 1 – 2'.

vp ccR

vp ssss 1212

4.4. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС4.4. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС ИзотермическимИзотермическим называется процесс, протекающий при называется процесс, протекающий при постоянной постоянной

температуретемпературе. Кривая процесса называется . Кривая процесса называется изотермой изотермой (рис. 4.5, 4.6).(рис. 4.5, 4.6).

1. 1. Уравнение процессаУравнение процесса T=const или dT=0. T=const или dT=0.

2. 2. Соотношение параметровСоотношение параметров. Уравнение состояния идеального газа . Уравнение состояния идеального газа в точках 1 и 2 изотермического процесса будет в точках 1 и 2 изотермического процесса будет

Поделив первое уравнение на второе, получимПоделив первое уравнение на второе, получим ,или .(4.10),или .(4.10)

Отсюда получаем еще одно уравнение изотермического процессаОтсюда получаем еще одно уравнение изотермического процесса ..

Из соотношения (4.10) следует, что объем газа изменяется обратно Из соотношения (4.10) следует, что объем газа изменяется обратно пропорционально его давлению (закон Бойля – Мариотта). пропорционально его давлению (закон Бойля – Мариотта).

2,1222,111 ; RTvpRTvp

122

11 vp

vp

2

1

1

2

v

v

p

p

constpv

3. 3. Изменение внутренней энергииИзменение внутренней энергии. Запишем уравнение первого . Запишем уравнение первого закона термодинамики в виде .закона термодинамики в виде .

Так как Так как dTdT=0, то =0, то (4.11)(4.11) Отсюда следует, что вся теплота, подведенная к рабочему телу в Отсюда следует, что вся теплота, подведенная к рабочему телу в

изотермическом процессе, идет на совершение работы. Изменение изотермическом процессе, идет на совершение работы. Изменение внутренней энергии .внутренней энергии .

4. 4. Работа в изотермическом процессеРабота в изотермическом процессе находится по формуле (4.11). находится по формуле (4.11). Интегрируя это соотношение, получимИнтегрируя это соотношение, получим

..

pdvdTcdq v

dlpdvdq

0 dTcdu v

2

1

v

v

pdvl

Так как из уравнения состояния идеального газа , тоТак как из уравнения состояния идеального газа , то

илиили

Удельная располагаемая работа находится по формулеУдельная располагаемая работа находится по формуле

Таким образом, в изотермическом процессе идеального газа работа Таким образом, в изотермическом процессе идеального газа работа изменения объема изменения объема ll, располагаемая работа , располагаемая работа ll0 и удельное количество 0 и удельное количество теплоты равны между собой . теплоты равны между собой .

Теплоемкость в изотермическом процессе ,Теплоемкость в изотермическом процессе ,

так как так как dTdT=0. Отсюда следует, что теплоемкость в =0. Отсюда следует, что теплоемкость в изотермическом процессе не может быть определена.изотермическом процессе не может быть определена.

vRTp

2

1 2

111

1

212 lnlnlnln

v

v p

pvp

v

vRTvvRT

v

dvRTl

1

222

1

211 lnln

v

vvp

v

vvpl

2

11111

110 ln

2

1

2

1

2

1p

pvp

p

dpvpdp

p

vpvdpl

p

p

p

p

p

p

qll 0

dT

dqcT

5. 5. Удельное количество теплотыУдельное количество теплоты, участвующее в , участвующее в изотермическом процессе, будет dq=Tds. Интегрируя, получим изотермическом процессе, будет dq=Tds. Интегрируя, получим

..

6. 6. Изменение удельной энтропии Изменение удельной энтропии в изотермическом процессе в изотермическом процессе определяется отношением .определяется отношением .

Отсюда , Отсюда ,

..

Интегрируя, получим Интегрируя, получим

12 ssTq

Tdqds

pdvTdsdq

pdvTds 1

1

212 ln

1 2

1

2

1v

vRdv

v

Rpdv

Tss

v

v

v

v

4.5. АДИАБАТНЫЙ ПРОЦЕСС4.5. АДИАБАТНЫЙ ПРОЦЕСС Адиабатным называется процессАдиабатным называется процесс, протекающий без , протекающий без теплообменатеплообмена с с

окружающей средойокружающей средой. Кривая этого процесса называется . Кривая этого процесса называется адиабатойадиабатой

(рис. 4.7, 4.8).(рис. 4.7, 4.8).

Рис. 4.7. Рис. 4.8. Рис. 4.7. Рис. 4.8. 1. 1. Уравнение адиабатного процессаУравнение адиабатного процесса dq=0 и, следовательно, dq=0 и, следовательно,

..

2. 2. Соотношение параметровСоотношение параметров. Из уравнений первого закона . Из уравнений первого закона термодинамики при dq=0 имеемтермодинамики при dq=0 имеем

..

0T

dqds

0и0 pdvdTcvdpdTc vp

Разделив первое уравнение на второе, Разделив первое уравнение на второе, получим ,получим ,

илиили .(4.12).(4.12) Интегрируя последнее уравнение при Интегрируя последнее уравнение при kk=const, cp =const и cv =const, =const, cp =const и cv =const,

будем иметьбудем иметь .. Отсюда . Отсюда .

Последнее соотношение является еще одним уравнением Последнее соотношение является еще одним уравнением

адиабатного процесса.адиабатного процесса. 3. 3. Изменение внутренней энергии и работа в адиабатном процессеИзменение внутренней энергии и работа в адиабатном процессе

определяются из уравнения первого закона термодинамики при dq=0определяются из уравнения первого закона термодинамики при dq=0 ..

Интегрируя, получимИнтегрируя, получим .. Таким образом, в адиабатном процессе работа совершается за счет Таким образом, в адиабатном процессе работа совершается за счет

убыли внутренней энергии.убыли внутренней энергии. Работа в адиабатном процессеРабота в адиабатном процессе может также определяться по может также определяться по

следующей формулеследующей формуле , где ., где .

pdv

vdp

dTc

dTc

v

p

p

dp

v

dvk

constpvk lnln

constpv k

dTcdldu v

2121 TTcluu v

211TT

k

Rl

vck

R

1

Так как из уравнения состояния , то Так как из уравнения состояния , то

формула для работы примет вид .формула для работы примет вид .

Вынося за скобки, получимВынося за скобки, получим

Учитывая, что и , Учитывая, что и ,

получим ;получим ;

Располагаемая работаРасполагаемая работа находится по формуле . находится по формуле .

При обратимом адиабатном процессе располагаемая работа будет При обратимом адиабатном процессе располагаемая работа будет в k раз больше удельной работы расширения газа и противоположна в k раз больше удельной работы расширения газа и противоположна ей по знаку.ей по знаку. Для доказательства преобразуем соотношение (4.12) к Для доказательства преобразуем соотношение (4.12) к виду . виду .

Отсюда или (4.12а) Отсюда или (4.12а)

RvpTRvpT 222111 ,

22111

1vpvp

kl

1

211 11 T

T

k

vpl

12112

kvvTT kkppTT 11212

1

2

111 11

k

v

v

k

vpl

kk

p

p

k

vpl

1

1

211 11

2

1

0

p

p

vdpl

kpdvvdp

kdldl 0 kll 0

4. 4. Изменение энтропии в адиабатном процессе Изменение энтропии в адиабатном процессе dsds=0. Отсюда . То =0. Отсюда . То есть, обратимый адиабатный процесс одновременно является есть, обратимый адиабатный процесс одновременно является изоэнтропным (при постоянной энтропии).изоэнтропным (при постоянной энтропии).

Рис. 4.9.Рис. 4.9.

4.6. ПОЛИТРОПНЫЙ ПРОЦЕСС4.6. ПОЛИТРОПНЫЙ ПРОЦЕСС ПолитропнымПолитропным называется процесс, в котором называется процесс, в котором удельная удельная

теплоемкостьтеплоемкость остается остается постоянной величинойпостоянной величиной, а линию процесса , а линию процесса называют называют политропойполитропой. Политропы – это кривые, описывающие . Политропы – это кривые, описывающие газовые процессы, в которых происходит изменение всех газовые процессы, в которых происходит изменение всех термодинамических параметров.термодинамических параметров.

11. . Уравнение политропного процессаУравнение политропного процесса. Удельное количество . Удельное количество теплоты, участвующее в политропном процессе, определяется по теплоты, участвующее в политропном процессе, определяется по формуле ,(4.13)формуле ,(4.13)

где с – теплоемкость политропного процесса.где с – теплоемкость политропного процесса. Подставляя (4.13) в уравнения первого закона термодинамики (2.2) и Подставляя (4.13) в уравнения первого закона термодинамики (2.2) и

(2.7), получим(2.7), получим

Разделим второе уравнение на первое Разделим второе уравнение на первое ..

Обозначая , получим .Обозначая , получим .

cdTdqTTcq и12

.

;

vdpdTccdTdq

pdvdTccdTdq

p

v

pdv

vdp

cc

cc

v

p

ncc

cc

v

p

p

dp

v

ndv

После интегрирования найдем .(4.14)После интегрирования найдем .(4.14) Полученное уравнение является уравнением политропного процесса, Полученное уравнение является уравнением политропного процесса,

где п показатель политропы.где п показатель политропы. Показатель политропы п изменяется в пределах от -∞ до +∞. В Показатель политропы п изменяется в пределах от -∞ до +∞. В

частных случаях, когда п принимает определенные значения, частных случаях, когда п принимает определенные значения, политропный процесс может переходить в любой из рассмотренных политропный процесс может переходить в любой из рассмотренных выше процессов. Например–при п=±∞ из уравнения (4.14), записанного выше процессов. Например–при п=±∞ из уравнения (4.14), записанного в виде , следует, что в виде , следует, что vv==constconst, т.е. получаем , т.е. получаем изохорный процесс. При изохорный процесс. При nn=0 согласно (4.14) получим изобарный =0 согласно (4.14) получим изобарный процесс; п=1 – изотермический и при n=k – адиабатный.процесс; п=1 – изотермический и при n=k – адиабатный.

Таким образом, политропный процесс является обобщающим для Таким образом, политропный процесс является обобщающим для всех рассмотренных выше процессов.всех рассмотренных выше процессов.

2. 2. Соотношение параметровСоотношение параметров. Так как уравнение политропы . Так как уравнение политропы аналогично уравнению адиабаты, то, заменив показатель адиабаты аналогично уравнению адиабаты, то, заменив показатель адиабаты показателем политропы, можно записать следующие уравнения, показателем политропы, можно записать следующие уравнения, связывающие основные термодинамические параметрысвязывающие основные термодинамические параметры

constpvconstpvn n илиlnln

constvp n 1

.

;

;

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

n

n

n

n

v

v

T

T

p

p

T

T

v

v

p

p

3. Работа в политропном процессе3. Работа в политропном процессе. По аналогии с выражениями для . По аналогии с выражениями для работы в адиабатном процессе, заменяя k на работы в адиабатном процессе, заменяя k на nn, получим следующие , получим следующие выражения для определения работы в политропном процессевыражения для определения работы в политропном процессе

Аналогично, располагаемая работа будет .(4.14а)Аналогично, располагаемая работа будет .(4.14а) Таким образом, располагаемая работа в политропном процессе в п Таким образом, располагаемая работа в политропном процессе в п

раз больше работы расширения.раз больше работы расширения. ТеплоемкостьТеплоемкость в политропном процессе определяется по формуле в политропном процессе определяется по формуле

.(4.15).(4.15)

.11

;11

;1

1

;1

1

1

211

1

2

111

2211

21

n

n

n

p

p

n

vpl

v

v

n

vpl

vpvpn

l

TTn

Rl

nll 0

1

n

kncc v

4. 4. Изменение энтропииИзменение энтропии в политропном процессе определяется по в политропном процессе определяется по формуламформулам

Подставляя значение теплоемкости из (4.15) в соотношениеПодставляя значение теплоемкости из (4.15) в соотношение , получим ., получим .

После интегрирования находим .После интегрирования находим .

Учитывая уравнение (4.14) и соотношениеУчитывая уравнение (4.14) и соотношение , получим ,, получим ,

или . или .

.lnln

;lnln

;lnln

1

2

1

212

1

2

1

212

1

2

1

212

v

vc

p

pcss

p

pR

T

Tcss

v

vR

T

Tcss

pv

p

v

T

dTc

T

dqds

T

dT

n

kncds v 1

1

212 ln

1 T

T

n

kncsss v

ncc

cc

v

p

2

112 ln

v

vkncss v

1

212 ln

p

p

n

kncss p