Элементы молекулярно-кинетической теории идеального газа

Элементы Элементы молекулярно-молекулярно-кинетической кинетической

теории теории идеального газаидеального газа

Основная задача Основная задача молекулярно-кинетической молекулярно-кинетической

теории:теории:• вывести законы поведения макросистем из законов

движения и взаимодействия их структурных элементов (атомов и молекул);

• выразить макроскопические наблюдаемые величины через микроскопические параметры (массу, размеры, скорость молекул и т.п.)

Давление идеального газаДавление идеального газа(вывод основного уравнения (вывод основного уравнения

МКТ)МКТ)• Давление идеального газа на

стенки сосуда – результат упругих соударений молекул со стенками.

• Величина давления численно равна импульсу, передава-емому молекулами единице площади стенки за единицу времени.Вычислим этот импульс!


МКТ)МКТ)

Молекула массой mi, движущаяся со скоростью vi, при абсолютно упругом ударе о стенку под углом αi к нормали передаёт стенке импульс Δpi= 2mivi┴=2mivi cosi


МКТ)МКТ) Средняя сила, с которой

молекула действует на стенку:

fi=Δpi /τi ;

τi – время между двумя последовательными ударами молекулы о стенку;

τi= ℓi /vi =2R cosαi /vi

таким образом,fi=mivi

2 /R.


МКТ)МКТ)Давление, оказываемое всеми N молекулами газа на стенки сосуда

(S=4πR2 – площадь стенки сферического сосуда, V=4πR3/3 – объём):

,32

32

3

2

41

31

2

1 EnVEN

V

E

R

vm

S

fP

N

ii

N

iii

N

ii

<E> – средняя кинетическая энергия молекул; n=N/V – число молекул в единице объёма (концентрация молекул).

Мы получили основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа, выражающее макроскопический параметр (давление) через микроскопические параметры (концентрацию молекул и их среднюю кинетическую энергию).

Основное уравнение Основное уравнение МКТ:МКТ:

EnP32

Молекулярно-кинетический Молекулярно-кинетический смысл температурысмысл температуры

Перепишем уравнение состояния идеального газа так, чтобы была видна зависимость давления от концентрации молекул. m0 – масса одной молекулы газа; N – общее количество молекул; NA – число молекул в 1 моле (число Авогадро).

;0

0 RTNmNmPV

A ;T

NR

VNP

A;RT

MmPV

)молекулияконцентрац(чтоВспоминая, nVN

и обозначая kNR

A (постоянная Больцмана; k=1,38·10-23Дж/К),

P=nkT.

окончательно получаем


Сравнивая два выражения для давления идеального газа:

EnP32

и P=nkT,видим, что средняя кинетическая энергия молекул

при их хаотическом движении пропорциональна абсолютной температуре газа.

Иными словами, температура есть мера

средней кинетической энергии молекул.


EnP32

P=nkT,kTE

23

Мы рассматривали молекулы идеального газа как материальные точки, т.е. учитывали только поступательное движение.

Больцман доказал теорему о равнораспределении энергии теплового движения по степеням свободы:

kTiE2

Основные понятия теории Основные понятия теории вероятностейвероятностей

1.1. Вероятность дискретной случайной величины

;NNXP i

i

Xi – одно из k возможных значений случайной величины;Ni – количество выпадений этого значения в серии из N испытаний

k

iiNN

1

Для равномерного распределенияk

XP i1)(


1.2. Среднее значение дискретной случайной величины (математическое ожидание)

k

i

iii N

XNXMX1

k

iiiXP

1


2.1. Плотность вероятности непрерывной случайной величины

Вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю!P(xo) =

0Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал значений растёт вместе с протя-жённостью этого интервала!xxfxxxP )();( 000

f(x) – плотность вероятности случайной величины

Для равномерного распределения const1)(

ab

xf


2.1. Плотность вероятности непрерывной случайной величины [продолжение]

Вероятность попадания случайной величины в конечный интервал значений:

2

1

)();( 21

x

x

dxxfxxP


2.2. Среднее значение (математическое ожидание) непрерывной случайной величины:

b

a

dxxfxx )((f(x)dx – вероятность попадания случайной величины в интервал [x; x+dx))

Среднеквадратичное значение непрерывной случайной величины:

b

aêâñð dxxfxxxx )(; 222

..

Распределение Распределение БольцманаБольцмана

Барометрическая формула: ;e)( 0RTMgz

z

учитывая, что ρ=m0n, M=m0NA, R=NAk,получим

.e)(0

0kT

gzm

nzn

m0gz=EП ; m0gh=E;

Число молекул, находящихся выше некоторого уровня h:

h h

kTghm

kTgzm

gmkTndzndxzn

hzN

;ee)(

)(00

0

00

kTE

Ï EEN

e~)(



Больцман показал, что независимо от рода потенциального поля

концентрация частиц экспоненциально зависит от их потенциальной энергии:

.)()( 21

1

2 kTEE

eEnEn

Распределение Распределение МаксвеллаМаксвелла

При соударениях молекул (~109 раз в секунду при н.у.!):• сохраняется полная кинетическая энергия;• сохраняется распределение молекул по скоростям

(количество молекул, скорости которых лежат в произвольно выбранном интервале).

Из общих соображений следует, что в состоянии динамического равновесия:

• все направления движения молекул равновероятны;• доля покоящихся молекул крайне мала;• доля очень быстрых молекул также очень мала…


,)( 22

20

kTvm

eAvvf

.2

423

0

kTmA


Характерные скорости молекул:1. Наиболее вероятная скорость:

;0âåðvdvdf ;2

0mkTvâåð

2. Средняя (средняя арифметическая) скорость:

;)(0

dvvfvv ;8

0mkTv

3. Среднеквадратичная скорость:

;2.. vv êâñð ;)(

0

22

dvvfvv .3

0.. m

kTv êâñð


vве

р

<v>

<v> ≈ 1.13vвер ;

vср.кв.

vср.кв.

≈1,22vвер .


Documents

Элементы молекулярно-кинетической теории идеального газа