定理 4.11: 设实数 a,b 且 a<b, 则 [a,b],[a,b),(a,b],(a,b) 的基数均为 c 。

实数集 R 的基数(0,1) 到 R 的双射 f: f(x)=tg(x-/2)|R|=|(0,1)|=c线段上的点数和实数轴上的点数是一样

的整数集，非负整数集，正整数集，有理

数集它们的基数是 0

实数集为无理数集 ?

设 P 表示无理数集R=P Q,∪|Q|=0,由定理 4.10 知， 定理 4.10: 设 A 是有限集或可列集 ,B 是任一无限集 , 则 |A B|=|B|∪ 。|R|=|P Q|=|P|,∪P 的基数是。定理：两两不相交的可列个基数为 c 的集

合的并集，它的基数也是 c 。设 E1, E2,…,En,… 是两两不相交的基数为 c 的集

合 .S= ∪Ek

构造 S 到 [0,1) 之间的双射 , 也要寻找依托 .利用 Ei 与 [c,d) 存在双射来实现

在无限集中 , 有基数为 0,c, 还有其他基数吗 ?

定理 : 设 F 是 [0,1] 上一切实函数集 , 则 F的基数不是 0, 也不是 c.

证明 :(1) F 的基数不是 0

(2)F 的基数不是 c.定义 : [0,1] 上一切实函数集的基数为 f, 也

记为 2.

现在有 0, 1, 2, 能否类似于数进行比较 ?

4.4 基数的比较定义 4.6 ：设 A 和 B 是两个集合 , 若存

在从 A 到 B 的内射 , 则称 A 的基数小于或等于 B 的基数 , 记为 |A| |B|≦ 或 |B| |≧A| 。若 |A| |B|≦ 且 |A|≠|B|, 则称 A 的基数小于 B 的基数 , 记为 |A<|B| 。

定理 4.12 ：设 A,B,C 是任意集合 , 那么(1) 若 AB, 则 |A| |B|≦ 。(2) 若 |A| |B|,|B| |C|,≦ ≦ 则 |A| |C|≦ 。

推论 : 若 A 是无限集 , 则 |N| |A|≦ 。可列集是无限集中基数最小的[0,1] 是无限集，且 |[0,1]|=c0,所以 c>0

定理 4.13( 蔡梅罗 (Zermelo) 定理 ): 设 A和 B 是任意两个集合 , 那么 |A|<|B|,|B|<|A|,|A|= |B| 三者中恰有一个成立。

对于基数集，对于基数集上任一元素 |A| ，因为 AA, 则 |A| |A|≦ ，自反。

由定理 4.12(2)( 若 |A| |B|,|B| |C|,≦ ≦ 则 |A| |C|)≦知传递，

是否反对称呢？

定理 4.14( 伯恩斯坦 (F.Bernstein) 定理 ):设 A 和 B 是两个集合 , 若 |A| |B|,≦ 又 |B|

|A|,≦ 则 |A|=|B| 。由此定理知 , 基数集上的≦关系是偏序关

系 , 又由定理 4.13 知 , 任意两个集合的基数都是可比较的 , 因此还是全序关系 .

利用存在 A 到 B 的内射和 B 到 A 的内射来构造 A 与 B 之间的双射

证明基数相同的方法有：构造双射；构造内射 f:A→B, 得到 |A| |B|,≦ 再作内射 g:B→A, 得到 |B| |A|,≦ 从而得到 |A|=|B| 。

例 : 利用伯恩斯坦定理证明 |(0,1)|=|[0,1]| 。例 : 证明实数序列所组成集合 E∞ 的基数

为 c 。定理 4.15 ：设 A 是有限集 , 则 |A|<0<c

<f

定理 4.16( 康托尔定理 ): 对于任何集合 A,必有 |A|<|P (A)| 。

证明：康托尔定理告诉我们 : 任意给定一个集合

A, 总存在基数比 |A| 更大的集合 , 也就是不存在最大基数的集合。

构造可列个无限基数的集合 :N, P (N),P (P (N)),…且 |N|<|P (N)|<|P (P (N))},…左方最开始的不等式表示 0<|P (N)},以后每一个都大于它前面的一个 ,|P (N)| 是什么呢 ?

当 A 是有限集时 ,|A|=n, 则 |P (A)|=2n, 即 |P (A)|=2|A| 。

当 A 是无限集时 , 也记 |P (A)| 为 2|A| 。A 是可列集 , 则有 |P (A)|=20,|P (N)|= 20

c 与 20 之间有何关系定理 4.17 ： |P (N)|=c, 即 20=c 。0 ：所有整数 ( 或分数 ) 的数目；1=|P (N)| ：线段上所有几何点 ( 实数 ) 的

个数；2=|P (P (N))| ：所有几何曲线的个数。

0<c

康托尔早在一百年前就提出了一个猜想 :在 0 与 c 之间没有其它的基数 , 这就是著名的连续统假设。

1900 年著名数学家希尔伯脱 (Hilbet.D)在巴黎数学大会上列举了 23 个未解决的数学问题 , 向数学家们进行挑战 , 其中第一个就是“康托尔的连续统基数问题”。

(1) 康托尔的连续统基数问题。 1938 年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续

统假设与 ZF 集合论公理系统的无矛盾性。 1963 年，美国数学家科思（ P.Choen ）证明连续统假设与 ZF 公理彼此独立。因而，连续统假设不能用 ZF 公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

(2) 算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性归结为算术公理的无矛盾性 . 根茨 (G.

Gentaen,1909-1945)1936 年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

(3) 只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等 . 德思 (M.Dehn)1900 年解决

(4) 两点间以直线为距离最短线问题。 此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。 1973 年，苏联数学家波格列洛夫（ Pogleov ）宣布，在对称距离情况下，问题解决。

(5)拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。 这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一

定是李群。 1952 年，由格里森（ Gleason ）、蒙哥马利（ Montgomery ）、齐宾（ Zippin ）共同解决。 1953 年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

(6) 对数学起重要作用的物理学的公理化。 (7)某些数的无理性与超越性 (8) 素数分布问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题

等。 (9) 一般互反律在任意数域中的证明。 该问题已由日本数学家高木贞治（ 1921 ）和德国数学家 E.阿廷

（ 1927 ）解决。

(10)丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。

希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？ 1970 年，苏联的 IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。

(11) 系数为任意代数数的二次型 (12)将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域

上去 (13) 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程 的根依赖于 3 个参数 a、 b、 c ，即 x=x （ a,b,

c ）。这个函数能否用二元函数表示出来？ (14) 能否通过有限步骤判定不定方程是否存在有理整数解 即域 K 上的以 x1,x2,…,xn 为自变量的多项式 fi(i=1,…,m) ， R 为 K[x1,

…, xm] 上的有理函数 F(x1,…,xm ）构成的环，并且 F(f1,…,fm) K[x∈ 1,… ，xm],试问 R 是否可由有限个元素 F1,…,FN 的多项式生成？ 1958 年，日本数学家永田雅宜给出了反例。

(15)建立代数几何学的基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直

线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。

(16)代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中X、 Y 是 x、 y 的 n次多项式 .

(17)半正定形式的平方和表示 一个实系数 n 元多项式对一切数组 (x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于 0 ，是否都能写成平方和的形式？ 1927 年阿廷证明这是对的。

(18) 用全等多面体构造空间 (19) 正则变分问题的解是否一定解析 德国数学家伯恩斯坦（ Bernrtein ， 1929 ）和苏联数学家彼德罗夫斯

基（ 1939 ）已解决。 (20) 一般边值问题

(21)具有给定奇点和单值群的 Fuchs 类的线性微分方程解的存在性证明

已由希尔伯特本人 (1905) 和 H. 罗尔 (1957) 的工作解决。 (22) 用自守函数解析函数的单值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论 (23)变分法的进一步发展 , 这并不是一个明确的数学问

题，只是谈了对变分法的一般看法。 20世纪以来变分法有了很大的发展。

这 23 问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了 20世纪数学的发展。

新千年的 7 大数学问题 : 1. “P 与 NP” 问题 : P－问题即是可被“运行多项式时

间的”一个算法解决的问题 (多项式时间 : 运行时间最多是输入量的多项式函数 ). NP－问题即是有一个“可用多项式时间检验的”解答的问题 . 是否 P = NP ?

2．黎曼假设 (Riemann Hypothesis): 黎曼 Zeta－函数的非平凡零点的实部都是 1/2

3．庞加莱猜想 (Poincare Conjecture): 任意闭单连通3-流型同胚于 3-球 .

4．霍奇猜想 (Hodge Conjecture): 在非奇异复射影代数簇上 , 任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合 .

5． BSD 猜想 (Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture): 对有理数域上的任一椭圆曲线 , 其 L 函数在 1 的化零阶等于此曲线上有理点构成的 Abel群的秩 .

6．奈维尔－斯托克斯方程 (Navier-Stokes Equatoins): 证明或否定 3-维奈维尔－斯托克斯方程解的存在性和光滑性 ( 在合理的边界和初始条件下 ).

7．杨－米尔斯理论 (Yang-Mills Theory): 证明诸量子杨－米尔斯场存在而且有一个大缺口 .

康托尔悖论集合是由具有某些性质的元素所组成 ,

因此也可以假设集合 S 是由所有集合所组成。现在要问 :S 与 P (S) 的基数哪一个基数更大 ?

一方面由康托尔定理知道 |S|<|P (S)| 。但另一方面又因为 S 是所有集合所组成

的集合 , 所以 P (S)S, 从而 |P (S)||S|,矛盾。构成了一个悖论 , 称为康托尔悖论。

康托尔悖论涉及到基数的理论 , 当时康托尔希望与集合加以区分 , 借以排除他的悖论 , 但是他的悖论还未排除 , 罗素悖论就出现了。

数学史上的第三次危机由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，

并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

无理数的发现──第一次数学危机 无穷小是零吗？──第二次数学危机

大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为 " 四艺 " ，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上危机 " ，从而产生了第一次数学危机。

第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，

这是数学思想上的一次巨大革命！

无穷小是零吗？──第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，

大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信

正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础 -- 无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。 "牛顿在求 xn 的导数时，采取了先给 x 以增量０，应用二项式（ x+0 ） n ，从中减去 xn 以求得增量，并除以０以求出 xn 的增量与 x 的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设 x 有增量，又令增量为零，也即假设 x 没有增量。 " 他认为无穷小 dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬， "dx 为逝去量的灵魂 " 。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。

18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。 直到 19世纪 20 年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。

作业 :P7614,16,18