แบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตรแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร

เรองเรอง ทฤษฎจ านวนเบองตนทฤษฎจ านวนเบองตน

((ชด ชด 11 การหารลงตว)การหารลงตว) รายวชาคณตศาสตรรายวชาคณตศาสตร GGPP11

ภาคเรยนท ภาคเรยนท 11 ปการศกษา ปการศกษา 22555577

ผลการเรยนร นกเรยนเขาใจสมบตของจ านวนเตม และน าไปใชในการใหเหตผล

เกยวกบการหารลงตวได

ศกษาผลการเรยนร และเนอหากอนดกวา

2

1.1 การหารลงตว (Exact Division)

บทนยาม

ให a และ b เปนจ านวนเตม โดยท b 0 b หาร a ลงตว กตอเมอ มจ านวนเตม c ทท าให a = bc เรยก b วาเปน ตวหาร

(divisor) ของ a และเรยก a วาเปน พหคณ (multiple) ของ b

ใชสญลกษณ b/a แทน “b หาร a ลงตว

ศกษาตวอยางกอนนะครบ

แลวคอยท าแบบฝก

3

ตวอยางท 1 จงแสดงวา 3/12, -4/12, 9/54, 7/0, -11/-121, 5/-25, -3/0

3/12 เพราะ 12 = 3(4)

-4/12 เพราะ 12 = -4(3)

9/54 เพราะ 54 = 9(6)

7/0 เพราะ 0 = 7(0)

-11/-121 เพราะ -121 = -11(11)

5/-25 เพราะ -25 = 5(-5)

-3/0 เพราะ 0 = -3(0)

ตวอยางท 2 จงแสดงวา - 3/12, 4/-12, -9/54, - 7/0, 11/-121, -5/-25, 2/0

-3/12 เพราะ 12 = -3(-4)

4/-12 เพราะ -12 = 4(-3)

-9/54 เพราะ 54 = -9(-6 )

-7/0 เพราะ 0 = - 7(0)

11/-121 เพราะ -121 = 11(-11)

-5/-25 เพราะ -25 = -5(5)

2/0 เพราะ 0 = 2(0) ศกษาตวอยางแลว ท าแบบฝก ดวยความมนใจนะครบ

4

แบบฝกหด 1.1 การหารลงตว

1. จงแสดงวา -6/12 , 8/-16 , 5/25 , -9/0 , 10/-100 , -25/-25 , -2/0 ,

4/0 , -11/0 , -1/1

1.1) -6/12 เพราะ 12 = -6(……)

1.2) 8/-16 เพราะ -16 = 8(……)

1.3) 5/25 เพราะ 25 = 5(…… )

1.4) -9/0 เพราะ 0 = - 9(……)

1.5) 10/-100 เพราะ -100 = 10(…..)

1.6) -25/-25 เพราะ -25 = -25(……)

1.7) -2/0 เพราะ 0 = -2(……)

1.8) 4/0 เพราะ 0 = 4(……)

1.9) -11/0 เพราะ 0 = -11(……)

1.10) -1/1 เพราะ 1 = -1(……)

2. จงแสดงวา 12/0 , -8/-32 , -5/125 , -91/0 , 100/-1,000 , -125/-250

1) 12/0 เพราะ ……………………..

2) -8/-32 เพราะ ……………………..

3) -5/125 เพราะ ……………………..

4) -91/0 เพราะ ……………………..

5) 100/-1,000 เพราะ ……………………..

6) -125/-250 เพราะ ……………………..

5

1.2 ทฤษฎบทการหารลงตว

ทฤษฎบท 1

ให a, b และ c เปนจ านวนเตม โดยท a 0 และ b 0 ถา a/b และ b/c

แลว a/c

พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = by ดงนน c = (ax)y c = a(xy) และ xy เปนจ านวนเตม

ดงนน a/c

6

ทฤษฎบท 2

ให a และ b เปนจ านวนเตมบวก ซง a/b แลว a ≤ b

พสจน สมมต a/b จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax

เนองจาก a และ b เปนจ านวนเตมบวก จะได x เปนจ านวนเตมบวก ดงนน x ≥ 1 จะได ax ≥ a (เพราะ a เปนจ านวนเตมบวก) ดงนน b ≥ a

เชน 3/12 จะเหนวา 3≤12

3/3 จะเหนวา 3=3

7

ทฤษฎบท 3

ให a, b และ c เปนจ านวนเตม โดยท a/b และ a/c

แลว a/(bx + cy) เมอ x และ y เปนจ านวนเตมใดๆ

พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม d ทท าให b = ad และมจ านวนเตม e ทท าให c = ae ดงนน bx + cy = (ad)x + (ae)y เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = a(dx + ey) เนองจาก dx + ey เปนจ านวนเตม

จะได a/(bx + cy) นพจนในรป bx + cy เรยกวา ผลรวมเชงเสน ของ b และ c

8

ศกษาตวอยางกนดกวา นะครบ ตวอยาง 1

ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ b/c แลว

a/(b+c)

พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = by ดงนน b + c = ax + by เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax + (ax)y เพราะ b = ax = a(x+xy) เนองจาก x + xy เปนจ านวนเตม

จะได a/(b + c)

ศกษาตวอยางตอ นะครบ

แลวคอยท าแบบฝก

9

ตวอยาง 2

ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ b/c แลว

a/(b - c)

พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = by ดงนน b - c = ax - by เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax - (ax)y เพราะ b = ax = a(x-xy) เนองจาก x - xy เปนจ านวนเตม

จะได a/(b - c)

ศกษาตวอยางตอ นะครบ

แลวคอยท าแบบฝก

10

ตวอยาง 3

ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(2x – 3y) และ

a/(4x – 3y) แลว a/y

พสจน สมมต a/(2x – 3y) และ a/(4x – 3y) จะมจ านวนเตม n ทท าให 2x – 3y = an

และมจ านวนเตม m ทท าให 4x – 3y = am ให 2x – 3y = an ……….(1) 4x – 3y = am ………..(2) (1)×2 จะไดสมการเปน 4x – 6y = 2an ……….(3) (2)- (3) จะได 4x – 3y - 4x + 6y = am – 2an 3y = a(m-2n)

y = 3

2n)-a(m

เนองจาก 3

2n)-(m เปนจ านวนเตม

จะได a/y

ศกษาตวอยางกอนนะครบ

แลวคอยท าแบบฝก

ศกษาตวอยางกอนนะครบ

แลวคอยท าแบบฝก

11

ตวอยาง 4

ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(3x – 4y) และ

a/(6x – 2y) แลว a/x

พสจน สมมต a/(3x – 4y) และ a/(6x – 2y) จะมจ านวนเตม n ทท าให 3x – 4y = an

และมจ านวนเตม m ทท าให 6x – 2y = am ให 3x – 4y = an ……….(1) 6x – 2y = am ………..(2) (2)×2 จะไดสมการเปน 12x – 4y = 2am ……….(3) (1)- (3) จะได 3x – 4y - 12x + 4y = an – 2am -9x = a(n-2m)

x = 9-

2m)-a(n

เนองจาก 9-

2m)-(n เปนจ านวนเตม

จะได a/x

ศกษาตวอยางตอดกวานะครบ

แบบฝกหดนะครบ แลวคอยท าแบบฝก

12

แบบฝกหด 1.2

ตอนท 1

ค าชแจง จงเตมค าตอบในชองวางใหถกตอง

1. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ a/c แลว a/(bc)

พสจน สมมต a/b และ a/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (…..)y ดงนน bc = ax( ……. ) เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax….. = a(xay) เนองจาก ............... เปนจ านวนเตม

จะได a/(bc)

งายจงเลยคะ ท าขอ

ตอไปเลยดกวา

ศกษาตวอยางแลวท าแบบฝกหดนะครบ

แลวคอยท าแบบฝก

13

2. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ a/c แลว a 2 /(bc)

พสจน สมมต a/b และ a/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (…..)y ดงนน bc = ax( ……. ) เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax….. = a 2 (xy) เนองจาก ............... เปนจ านวนเตม

จะได a 2 /(bc)

3. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ b/c แลว a/(b - c)

พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (…..)y ดงนน ………. = ax- by เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = …………. = a(x - xy) เนองจาก ............... เปนจ านวนเตม

จะได a/………..

งายจงเลยนะครบ ท าขอตอไปดกวา

14

ตอนท 2

ค าชแจง จงพสจน

1. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ b/c แลว a/(b+c) พสจน………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

งายจงเลยคะ ท าขอ

ตอไปเลยดกวา

15

2. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(2b-3c ) และ a/(b-2c)

แลว a/c พสจน……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

งายจงเลยนะครบ ท าขอตอไปดกวา

16

3. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(-4b+3c ) และ a/(3b-2c)

แลว a/b พสจน……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

จบแลวคะ แลวพบกนใหมชด 2 จ านวนเฉพาะ

17

เฉลยแบบฝกหด 1.1 การหารลงตว

1. จงแสดงวา -6/12 , 8/-16 , 5/25 , -9/0 , 10/-100 , -25/-25 , -2/0 ,

4/0 , -11/0 , -1/1

1.3) -6/12 เพราะ 12 = -6( -2)

1.4) 8/-16 เพราะ -16 = 8( -2)

1.3) 5/25 เพราะ 25 = 5( 5 )

1.4) -9/0 เพราะ 0 = - 9(0)

1.5) 10/-100 เพราะ -100 = 10(-10)

1.6) -25/-25 เพราะ -25 = -25(1)

1.7) -2/0 เพราะ 0 = -2(0)

1.8) 4/0 เพราะ 0 = 4(0)

1.9) -11/0 เพราะ 0 = -11(0)

1.10) -1/1 เพราะ 1 = -1(-1)

2. จงแสดงวา 12/0 , -8/-32 , -5/125 , -91/0 , 100/-1,000 , ) -125/-250

1) 12/0 เพราะ 0 = 12(0)

2) -8/-32 เพราะ -32 = -8(4)

3) -5/125 เพราะ 125 = -5(-25)

4) -91/0 เพราะ 0 = -91(0)

5) 100/-1,000 เพราะ -1,000 = 100(-10)

6) -125/-250 เพราะ -250 = -125(2)

18

เฉลยแบบฝกหด 1.2

ตอนท 1

1. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ a/c แลว a/(bc)

พสจน สมมต a/b และ a/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (a)y ดงนน bc = ax( ay ) เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = axay = a(xay) เนองจาก xay เปนจ านวนเตม

จะได a/(bc)

งายไหมคะ ดขอ

ตอไปเลยดกวา

19

2. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ a/c แลว a 2 /(bc)

พสจน สมมต a/b และ a/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (a)y ดงนน bc = ax( ay ) เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = axay = a 2 (xy) เนองจาก xy เปนจ านวนเตม

จะได a 2 /(bc)

3. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ b/c แลว a/(b - c)

พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = (b)y ดงนน b-c = ax- by เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax - axy = a(x - xy) เนองจาก x - xy เปนจ านวนเตม

จะได a/(b - c)

งายจงเลยนะครบ ดขอตอไปดกวา

20

ตอนท 2

ค าชแจง จงพสจน

1. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/b และ b/c แลว a/(b+c)

พสจน สมมต a/b และ b/c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax และมจ านวนเตม y ทท าให c = by ดงนน b+c = ax+ by เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = ax + axy = a(x + xy) เนองจาก x + xy เปนจ านวนเตม

จะได a/(b + c) .

ดเฉลยขอ ตอไปเลยดกวา

21

2. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(2b-3c ) และ a/(b-2c)

แลว a/c

พสจน สมมต a/(2b – 3c) และ a/(b-2c) จะมจ านวนเตม n ทท าให 2b – 3c = an

และมจ านวนเตม m ทท าให b - 2c = am ให 2b – 3c = an ……….(1) b - 2c = am ………..(2) (2)×2 จะไดสมการเปน 2b - 4c = 2am ……….(3) (1)- (3) จะได 2b – 3c - 2b + 4c = an – 2am c = a(n-2m) เนองจาก n-2m เปนจ านวนเตม

จะได a/c

งายจงเลยนะครบ

22

3. ก าหนดให a, b, c, x และ y เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ถา a/(-4b+3c ) และ a/(3b-2c)

แลว a/b

พสจน สมมต a/(-4b + 3c) และ a/(3b-2c) จะมจ านวนเตม n ทท าให -4b + 3c = an

และมจ านวนเตม m ทท าให 3b - 2c = am ให -4b + 3c = an ……….(1) 3b - 2c = am ………..(2) (1)×2 จะไดสมการเปน -8b + 6c = 2an ……….(3) (2)×3 จะไดสมการเปน 9b - 6c = 3am ……….(4) (3)+ (4) จะได -8b + 6c + 9b - 6c = 2an + 3am b = a(2n+3m) เนองจาก 2n+3m เปนจ านวนเตม

จะได a/b

แลวพบกนใหม นะครบ จ านวนเฉพาะ

ชด 2 จ านวนเฉพาะ

23

24