[สรุปสูตร] สรุปสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม456 1

DekTalent.com เอกสารสรปสตร คณตศาสตรพนฐาน รวม ม.4-5-6 สรปโดยพโต

เรยนคณตศาสตร ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลนไดท www.dektalent.com หนา 1

ÊÒÃºÑÞ ÊÃØ»ÊÙµÃ¤³ÔµÈÒÊµÃ�¾×é¹°Ò¹ Á.4/Á.5/Á.6

เรอง หนา

ม.4 เทอมตน

บทท 1 เซต 2

บทท 2 การใหเหตผล 3

บทท 3 จานวนจรง 4

บทท 4 เลขยกกาลง 6

ม.4 เทอมปลาย

บทท 5 ฟงกชน 7

บทท 6 อตราสวนตรโกณมต 9

ม.5 เทอมตน

บทท 7 ลาดบและอนกรม 10

บทท 8 ความนาจะเปน 11

ม.5 เทอมปลาย

บทท 9 สถตและขอมล 12

บทท 10 การวเคราะหขอมลเบองตน 12

ม.6 ไมมเนอหาคณตศาสตรพนฐาน

¤íÒá¹Ð¹íÒ : เอกสารนเปนสรปสตรวชาคณตศาสตรพนฐาน รวม ม.4-5-6 ทาแจกสาหรบ

นองๆ สมาชก Dektalent.com เรยนเรองไหนสามารถเลอกพมพเฉพาะเรองทตองการไดเลย



º··Õè 1 à«µ ความรเบองตนเรองเซต

1) เซตเปนคาอนยาม สงทอยในเซตเรยก “สมาชก” สมาชกแตละตวคนดวยเครองหมายคอมมา

2) สญลกษณ ∈ แทนการเปนสมาชกของเซต / สญลกษณ ∉ แทนการไมเปนสมาชกของเซต

3) วธการเขยนเซต ม 2 แบบ (แบบบอกเงอนไข / แบบแจกแจงสมาชก)

4) เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชก สญลกษณ { } หรอ φ

5) เซตจากด คอ เซตทบอกจานวนสมาชกไดวามกตว

6) เซตอนนต คอ เซตทไมใชเซตจากด หรอ เซตทมสมาชกมากมายนบไมถวน เชน เซตของจานวนนบ

7) เซตทเทากน คอ เซตทมจานวนสมาชกเหมอนกนทกตว แตถาเปนเซตทมจานวนสมาชกเทากน จะเรยก “เซต

เทยบเทากน”

สบเซต

1) สญลกษณ ⊂ แทน การเปนสบเซต เชน A เปนสบเซต B เขยนแทนดวย A ⊂ B

2) สญลกษณ ⊄ แทน การไมเปนสบเซต

3) เซตวางเปนสบเซตของทกเซต

4) จานวนสบเซตทงหมด = 2𝑛𝑛 โดย n คอ จานวนสมาชกของเซต

5) จานวนสบเซตแท = สบเซตทกตวยกเวนตวมนเอง = 2𝑛𝑛 − 1 ( n คอ จานวนสมาชกของเซต)

เพาเวอรเซต

1) เพาเวอรเซต คอ เซตของสบเซต สญลกษณ P(A) แทน เพาเวอรเซต A

2) เวลาเขยนเพาเวอรเซต ใหเขยนสบเซตใหหมดทกตวกอน แลวเขยน ปกกา คลมหวทายกจะไดเพาเวอรเซตแลว

3) φ ∈ P(A) เซตวางเปนสมาชกของเพาเวอรเซตเสมอ

4) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซต คอ จานวนสบเซตทงหมด

การกระทาของเซต

1) ม 4 แบบ ยเนยน /อนเตอรเซคชน/ ผลตาง/ คอมพลเมนต

2) ยเนยน คอ เอาสมาชกมารวมกน สญลกษณ ∪

3) อนเตอรเซคชน คอ เอาสมาชกทซากน สญลกษณ ∩

4) ผลตาง คอ เอามาลบกน โดยดตวตงเปนหลก สญลกษณ เครองหมายลบ (-)

5) คอมพลเมนท คอ ไมเอา เชน A′หมายถง ไมเอาสมาชกทอยใน A สญลกษณ ( ′ ) โจทยปญหาเรองเซต

1) อานโจทยแลววาดรปกอน

2) สตรสาหรบ 2 เซต n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

3) สตรสาหรบ 3 เซต n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)–n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C) +n(A∩B∩C)



º··Õè 2 ¡ÒÃãËŒàËµØ¼Å การใหเหตผล

การใหเหตผลทางคณตศาสตรทสาคญม 2 วธ

1) การใหเหตผลแบบอปนย 2) การใหเหตผลแบบนรนย

การใหเหตผลแบบอปนย

1) เปนการใหเหตผลโดยยดความจรงจากสวนยอยทพบเหน ไปสความจรงทเปนสวนรวม

2) วธการสรปผลในการคนหาความจรงจากการสงเกตหรอทดลองหลายครงจากกรณยอยๆแลวนามาสรป

เปนความรแบบทวไป

การใหเหตผลแบบนรนย

เปนการนาความรพนฐานซงอาจเปนความเชอ ขอตกลง กฎ หรอ บทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและ

ยอมรบวาเปน จรง เพอหาเหตผลนาไปสขอสรป

ขอความทใชในการอางเหตผล

มอย 6 แบบ คอ

ขอความ รปวาด

1) สมาชกของ A ทกตวเปนสมาชกของ B

ตวอยาง สตวเลยงลกดวยนมทกตวเปนสตวเลอดอน

2) ไมมสมาชกของ A ตวใด เปนสมาชกของ B

ตวอยาง ไมมงตวใดทมขา

3) สมาชกบางตวของ A เปนสมาชกของ B

ตวอยาง รถโดยสารบางคนเปนรถปรบอากาศ

4) สมาชกของ A บางตวไมเปนสมาชกของ B

ตวอยาง รถโดยสารบางคนไมไดเปนรถปรบอากาศ

5) มสมาชก A หนงตวทเปนสมาชกของ B

ตวอยาง สนขของฉนเปนสนขพนธไทยแท

6) มสมาชกของ A หนงตวไมเปนสมาชกของ B

ตวอยาง สนขของแตงไมใชสนขพนธไทยแท

B A

A B

B A

B A

B A

B A



º··Õè 3 ¨íÒ¹Ç¹¨ÃÔ§ โครงสรางของระบบจานวนจรง จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ

เปรยบเทยบจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ ไดตามตารางดานลาง

การเปลยนเศษสวนเปนทศนยม และการเปลยนทศนยมเปนเศษสวน

1) การเปลยนเศษสวนเปนทศนยมใชวธการตงหาร จะหารสน หรอ หารยาวกไดตามใจเลย

2) การเปลยนทศนยมเปนเศษสวน

- ถาเปนทศนยมธรรมดา กสามารถทาไดเลย เชน 0.2 = 2

10

- ถาเปนทศนยมซา เชน 0. 4 = 49 , 0.23 = 23−2

90= 21

90 , 0. 31 = 31

99 เปนตน

การแกสมการ

1) แกสมการดวยวธการแยกตวประกอบของพหนาม (มกจะใชการแยกตวประกอบแบบ 2 วงเลบ)

- การดงตวรวม - การแยกตวประกอบสองวงเลบ

- กาลงสองสมบรณ - ผลตางกาลงสอง

- ผลบวก หรอ ผลตางกาลงสาม - วธเพมเขา-ลบออก

- จบค ดงตวรวม - การหารสงเคราะห

2) หรอใชสตรสาหรบแกสมการกาลงสอง ทอยในรป 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 0 ดงน

จานวนตรรกยะ คอ จานวนทสามารถเขยนใหอยในรป

เศษสวน ab

ได เมอ a, b เปนจานวนเตมและ b ≠ 0

จานวนอตรรกยะ คอ จานวนจรงทไมสามารถเขยนใหอยใน

รปเศษสวนของจานวนเตมได

𝑎𝑎 =−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐

2𝑎𝑎



ชวง (Interval)

กาหนดให a,b เปนจานวนจรง และ a < b

1) ชวง แบงเปน 4 แบบ ชวงปด ชวงเปด ชวงครงเปด และ ชวงอนนต

2) ชวงปด สญลกษณ [a,b] ถาวาดกราฟจะเปนวงกลมทบ

3) ชวงเปด สญลกษณ (a,b) ถาวาดกราฟจะเปนวงกลมโปรง

4) ชวงครงเปด ม 2 แบบ สญลกษณ คอ [a, b) หรอ [a, b) ถาวาดกราฟตรงทเปนวงเลบ [, ] จะเปนวงกลมทบ

และถาเปน (,) จะเปนวงกลมโปรง

5) ชวงอนนต ม 2 แบบ สญลกษณ คอ (a, ∞) หรอ (-∞, a)

6) การเขยนชวงอนนต ดานทเปนตวอนฟนตเปนชวงเปดเสมอ

การแกอสมการ

1) ขนตอนการแกอสมการ ม 3 สวนคอ แยกตวประกอบ ตเสนจานวน และ เลอกชวงของคาตอบ

2) ถายายจานวนทตดลบ ไปคณหรอหาร เครองหมาย >, <, ≥ และ ≤ ของอสมการจะตองเปลยนเปนเครองหมาย

ตรงกนขาม เชน -2x < 6 เอา -2 หารตลอด จะได x > - 3

คาสมบรณ (Absolute value)

1) คาสมบรณของจานวนจรง a ใดๆ หมายถง ระยะหางระหวาง 0 (ศนย) กบจด a บนเสนจานวน

2) คาสมบรณเปนบวกเสมอ เพราะเปนระยะหาง

3) สมบตของคาสมบรณ

• เสมอ

• xx −=

• xyyx −=−

• 222 xxx ==

• yxxy =

• yx

yx=

• yxyx +≤+

• yxyx −≥−

4) การแกสมการคาสมบรณ ม 3 วธ ดงน

4.1 แปลตามนยาม 4.2 ยกกาลงสอง 4.3 แปลคาทละคาสมบรณ

5) การแกอสมการคาสมบรณ

ทฤษฎบท เมอ a เปนจานวนจรงบวก จะได

- ถา |x| < a หมายถง –a < x < a - ถา |x| ≤ a หมายถง –a ≤ x ≤ a

- ถา |x| > a หมายถง x < -a หรอ x > a - ถา |x| ≥ a หมายถง x ≤ -a หรอ x ≥ a

0≥x



º··Õè 4 àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ สมบตของเลขยกกาลง

1) สมบตของเลขยกกาลง

• 𝑎𝑎m ∙ 𝑎𝑎n = 𝑎𝑎m+n

• 𝑎𝑎m ÷ 𝑎𝑎n = 𝑎𝑎m−n

• 𝑎𝑎0 = 1

• 𝑎𝑎−n = 1𝑎𝑎n

• (𝑎𝑎m )n = 𝑎𝑎mn

• (𝑎𝑎𝑏𝑏)m = 𝑎𝑎m𝑏𝑏m

• (𝑎𝑎𝑏𝑏

)m = 𝑎𝑎m

𝑏𝑏m

• 𝑎𝑎mn = √𝑎𝑎mn

การหารากทสองของจานวนอตรรกยะ

1) ( ) ( ) ( )2222 bbaaba ++=+ abba 2++=

2) ( ) ( ) ( )2222 bbaaba +−=− abba 2−+=

การแกสมการทตดเครองหมายราก

1) การแกสมการทมเครองหมายราก โดยทวไปใชวธยกกาลง และจะตองตรวจคาตอบดวยวาคาตอบทไดมานนใชได

ทกคาหรอไม



º··Õè 5 ¿˜§¡�ªÑ¹ คอนดบ

นยาม คอนดบ (a , b) = (c , d) กตอเมอ a = c และ b = d

ผลคณคารทเชยน

นยาม ผลคณคารทเชยนของเซต A และเซต B คอ เซตของคอนดบ (a , b) ทงหมด โดยท a ∈ A และ b ∈ B

สญลกษณ A×B เชน A = {1,2} , B = {3,4,5} จะได AxB = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}

สมบตทสาคญของผลคณคารทเชยน

1) ถา A มสมาชก m ตว และ B มสมาชก n ตว ∴ A×B มสมาชก mn ตว

2) A × B = φ กตอเมอ A = φ หรอ B = φ

3) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

4) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

5) A × (B – C) = (A × B) – (A × C)

6) A × B ≠ B × A

ความสมพนธ

นยาม r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r ⊂ A × B ถา A × B มสมาชก n ตว

เราสามารถสรางความสมพนธจาก A ไป B ได 2n วธ

การหาโดเมน และ การหาเรนจ

จากความสมพนธ r

- เรยก เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r วา โดเมน

- เรยก เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r วา เรนจ

ฟงกชน

นยาม 𝑓𝑓 จะเปนฟงกชน กตอเมอ 𝑓𝑓 เปนความสมพนธ ซงมเงอนไขวา ถา (𝑎𝑎 ,𝑦𝑦1) ∈ 𝑓𝑓 และ

(𝑎𝑎 ,𝑦𝑦2) ∈ 𝑓𝑓 แลว 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦2

สรปงายๆ วา ถาสมาชกตวหนาของคอนดบใดๆ เหมอนกนแลว สมาชกตวหลงตอง เหมอนกนดวย

วธตรวจสอบวาเปนฟงกชนโดยใชกราฟ คอ ถาลากเสนตรงขนานแกน y แลวตดกราฟ 1 จด แปลวาเปนฟงกชน

การหาโดเมน มหลกการคด ดงน

- จดรปสมการ ใหอยในรป y ในเทอม x

- พจารณาเทอมของ x วา คา x มขอยกเวนใดหรอไมโดยดจาก

1. ถาเปนรปเศษสวน ∴สวนตอง ≠ 0

2. ถาตดเครองหมายรากเลขค

∴ภายในเครองหมายรากตอง ≥ 0

การหาเรนจ มหลกการคด ดงน

- จดรปสมการ ใหอยในรป x ในเทอม y

- พจารณาเทอมของ y วา คา y มขอยกเวนใดหรอไมโดยดจาก

1. ถาเปนรปเศษสวน ∴สวนตอง ≠ 0

2. ถาตดเครองหมายรากเลขค

∴ภายในเครองหมายรากตอง ≥ 0



ฟงกชนทควรรจก

ฟงกชนเชงเสน รปสมการทวไป คอ 𝐴𝐴𝑎𝑎 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 หรอ 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑐𝑐

ฟงกชนคาสมบรณ รปสมการทวไป คอ 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎|𝑎𝑎 − 𝑏𝑏| + 𝑐𝑐

ฟงกชนขนบนได เปนฟงกชนทเปนฟงกชนคงทเปนชวงๆ กราฟของฟงกชน

มรปคลายขนบนได เชน อตราคาไฟฟา

ฟงกชนกาลงสอง รปสมการทวไป 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑐𝑐

ฟงกชนพหนาม รปสมการทวไป 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎1𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑎𝑎2𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎3𝑎𝑎𝑛𝑛−2 + ⋯

เชน 𝑦𝑦 = 2𝑎𝑎3 − 5𝑎𝑎 + 2

ฟงกชนทเปนคาบ เปนฟงกชนทไมใชฟงกชนคงตว เชน ฟงกชนตรโกณมต



º··Õè 6 ÍÑµÃÒÊ‹Ç¹µÃÕâ¡³ÁÔµÔ สามเหลยมมมฉาก

จากรปจะได ฉาก2 = ขาม

2 + ชด

2

อตราสวนดานของ ∆ มมฉากทควรจา

1) 3 : 4 : 5

2) 5 : 12 : 13

3) 7 : 24 : 25

4) 8 : 15 : 17

อตราสวนตรโกณมต

ม 6 อตราสวนสาคญ ดงน

1) sin𝐴𝐴 = ขามฉาก

4) cot𝐴𝐴 = ชดขาม

2) cos𝐴𝐴 = ชดฉาก

5) sec𝐴𝐴 = ฉากชด

3) tan𝐴𝐴 = ขามชด

6) cosec𝐴𝐴 = ฉากขาม

สตรพนฐาน 8 สตร

1. sin𝐴𝐴 cosec𝐴𝐴 = 1 2. cos 𝐴𝐴 sec𝐴𝐴 = 1

3. tan𝐴𝐴 cot𝐴𝐴 = 1 4. sin2𝐴𝐴 + cos2𝐴𝐴 = 1

5. sec2𝐴𝐴 − tan2𝐴𝐴 = 1 6. cosec2𝐴𝐴 − cot2𝐴𝐴 = 1

7. tan𝐴𝐴 = sin 𝐴𝐴cos 𝐴𝐴

8. cot𝐴𝐴 = cos 𝐴𝐴sin 𝐴𝐴

อตราสวนตรโกณมตของมม 30° , 45° และ 60°



º··Õè 7 ÅíÒ´ÑºáÅÐÍ¹Ø¡ÃÁ ลาดบ

1) ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทมผลตางของพจนท n+1 กบพจนท n เปนคาคงตว

พจนทวไป dnaan )1(1 −+= เมอ d คอ ผลตางรวม, 𝑎𝑎1 คอ พจนท 1

2) ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทมอตราสวนของพจนท n+1 ตอพจนท n เปนคาคงตว

พจนทวไป 11

−= nn raa เมอ r คอ อตราสวนรวม, 𝑎𝑎1 คอ พจนท 1

อนกรม

1) สญลกษณแทนการบวก ( ∑ อานวา ซกมา )

สมบตของ ∑

2) อนกรมเลขคณต (Arithmetic Series)

สตรผลบวก [ ]dnanSn )1(22 1 −+= หรอ [ ]nn aanS += 12

ม 2 สตร ตองจาไดเลอกใชตามสะดวกเลยจา

3) อนกรมเรขาคณต (Geometric Series)

สตรผลบวก 1

)1(1

)1( 11

−−

=−−

=rra

rraS

nn

n

∑∑∑===

−=−N

ii

N

ii

N

iii yxyx

111)(.4

cNcccccN

N

i=++++=∑

= ....1

1

∑∑==

=N

ii

N

ii xccx

11.2

∑ ∑∑= ==

+=+N

i

N

iii

N

iii yxyx

1 11)(.3

(ดงคาคงทไปอยหนา ∑ ได)

(∑ ผลบวก สามารถกระจายได)

(∑ ผลลบ สามารถกระจายได)

2)1(...321.5

1

+=++++=∑

=

nnnin

i

6)12)(1(...321.6 2222

1

2 ++=++++=∑

=

nnnnin

i

22

1

3333

1

3

2)1(...321.7

+

=

=++++= ∑∑

==

nninin

i

n

i



º··Õè 8 ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹ กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

กฎขอ 1

ในการทางาน 2 อยาง โดยทงานอยางแรกสามารถทาได n1 วธ และในแตละวธของงานอยางแรก

สามารทางานอยางทสองไดอก n2 วธ

∴จานวนวธการทางานทง 2 อยาง = n1⋅n2 วธ

กฎขอ 2

ในการทางาน k อยาง ถางานอยางแรก มวธทาได n1 วธ ในแตละวธ ของงานอยางแรก สามารถทางานท 2 ไดอก n2

วธและในแตละวธของงานอยางแรกและงานอยางท 2 สามารถทางานอยางท 3 ไดอก n3 วธ เปนเชนนไปเรอยๆ

∴จานวนวธการทางานทง k อยาง = n1⋅n2⋅n3⋅ … ⋅nk วธ

ความนาจะเปน

1) การทดลองสม คอ การทดลองหรอการกระทาททราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกไดอยาง

แนนอนวา ในแตละครงททดลองนนผลจะเกดเปนอะไร เชน การโยนเหรยญ, การทอดลกเตา

2) แซมเปลสเปซ(S) คอ เซตของผลลพธทอาจเปนไปไดทงหมดจากการทดลองสม

3) เหตการณ(E) คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ

4) สตรความนาจะเปนของเหตการณ

ความนาจะเปนของเหตการณ E )()()(

SnEnEP ==

สมบตของความนาจะเปน

1) 0 ≤ P(E) ≤ 1

2) ถา P(E) = 0 แสดงวา E = φ นนคอ เหตการณนนไมมโอกาสเกดขนเลย

3) ถา P(E) = 1 แสดงวา E = S นนคอ เหตการณนน เกดขนแนนอน

4) P(E′) = 1 – P(E)

5) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

6) P(A∪B) = P(A) + P(B) เมอ A และ B เปนเหตการณทไมเกดรวมกน

7) P(A - B) = P(A) – P(A∩B)



º··Õè 9-10 Ê¶ÔµÔáÅÐ¢ŒÍÁÙÅ áÅÐ¡ÒÃÇÔà¤ÃÒÐË�¢ŒÍÁÙÅàº×éÍ§µŒ¹ สถตเบองตน

1. ความหมายของสถต

สถต หมายถง ตวเลขทบอกขอเทจจรงตางๆ ซงตวเลขนจะอยในลกษณะ รวบยอดทไดมาจากการวเคราะหการเปรยบเทยบ หรอ

การคานวณ หรอ หมายถง ศาสตรทเปนทงวทยาศาสตรและศลปะ ซงเกยวของกบ กระบวนการ 4 ขนตอน ดงน

1.1 การเกบรวบรวมขอมล 1.2 การนาเสนอขอมล 1.3 การวเคราะหขอมล 1.4 การตความหมายของขอมล

2. การเกบรวบรวมขอมล

ขอมลสถต หรอ ขอมล หมายถง ขอความจรงในเรองใด เรองหนงท เราสนใจศกษา ซงอาจเปนตวเลข หรอขอความกได ขอสาคญ

ขอมลเพยงหนวยเดยวไมถอเปนขอมลสถต

ประเภทของขอมล ถาจาแนกตามวธการเกบรวบรวมขอมล แบงได 2 ประเภท คอ

1) ขอมลปฐมภม คอ ขอมลทเกบรวบรวมจากผใหขอมล หรอ สงเกตจากแหลงขอมลโดยตรง

เชน ดช. วกจ สารวจสวนสงของเพอนในชนเรยนโดยการเดนถามทละคน

2) ขอมลทตยภม คอ ขอมลทไดจากขอมลทผอ นเกบรวบรวมไวแลว

เชน จากรายงานตางๆ ของหนวยงานราชการ องคการ หรอ เอกชน บทความจากหนงสอพมพ วารสาร เปนตน

ลกษณะของขอมล แบงเปน 2 ลกษณะ คอ

1) ขอมลเชงปรมาณ เปนขอมลทใชแทนขนาด หรอ ปรมาณ ซงสามารถ ชง ตวง วด ออกมาเปนตวเลขไดโดยตรง

2) ขอมลเชงคณภาพ เปนขอมลทไมสามารถวดออกมาเปนตวเลขไดโดยตรง แตวดออกมาโดยอาศยคณลกษณะของสงนนๆแตใน

บางกรณ ขอมลเชงคณภาพวดออกมาเปนตวเลขได แตตวเลขเหลานนไมสามารถนามาหาคาเฉลยได เชน เบอรเสอ เบอรรองเทา

วธการเกบรวบรวมขอมล มวธเกบไดหลายวธ คอ

1) จากทะเบยนประวต เปนการเกบรวบรวมจากฝายทะเบยนตางๆ เชน ฝายทะเบยนของโรงเรยน เขต โรงพยาบาล หนวยงานของ

รฐ การเกบรวบรวมโดยทาการคดลอกซงขอมลทไดมความเชอถอคอนขางสง ประหยดเวลาและคาใชจาย

2) จากการสารวจ บางครงขอมลจากทะเบยนประวตมไมครบตามทตองการ หรอไมไดเกบรวบรวมไวจงจาเปนตองใชวธสารวจเอง

โดยใชแบบสอบถาม หรอ การสมภาษณ

3) จากการสงเกต ขอมลบางประเภทใชแบบสอบถามหรอ สมภาษณ อาจไมไดขอเทจจรง กตองใชวธแอบดหรอสงเกตเอง

4) จากการทดลอง สวนใหญเปนการเกบรวบรวมขอมลทางวทยาศาสตร เปนขอมลทถกตองและ เชอถอไดมาก ถาไมเกดความ

คลาดเคลอนจากการวด หรอ การวางแผนการทดลอง

3. การนาเสนอขอมล

การนาเสนออยางไมเปนแบบแผน เชน

- การนาเสนอในรปขอความ คอ การนาขอมลมาเสนอเปนสวนหนงของขอความ

- การนาเสนอในรปกงตาราง คอ การนาเสนอขอมลโดยแยกตวเลขออกจากขอความ

การนาเสนอขอมลอยางเปนแบบแผน เชน

- การนาเสนอดวยตาราง แผนภม หรอ แผนภาพ กราฟเสน

4. การวเคราะหขอมลเบองตน

- ตารางแจกแจงความถ

- ฮสโตแกรม

- รปหลายเหลยมของความถ

- เสนโคงความถ

- เสนโคงความถสะสม



สญลกษณแทนการบวก ( ∑ อานวา ซกมา)

สมบตของ ∑

คากลางของขอมล

คากลางของขอมล ขอมลไมแจกแจงความถ ขอมลแจกแจงความถ

1) คาเฉลยเลขคณต (��𝑎)

• คาเฉลยเลขคณต

• คาเฉลยเลขคณตแบบถวง

นาหนก

• คาเฉลยเลขคณตรวม

��𝑎 =∑𝑎𝑎𝑁𝑁

��𝑎 =𝑤𝑤1𝑎𝑎1 + 𝑤𝑤2𝑎𝑎2 + ⋯+ 𝑤𝑤𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑤𝑤1 + 𝑤𝑤2 + ⋯+ 𝑤𝑤𝑛𝑛

��𝑎 =𝑁𝑁1𝑎𝑎1 + 𝑁𝑁2𝑎𝑎2 + ⋯+ 𝑁𝑁𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑁𝑁1 + 𝑁𝑁2 + ⋯+ 𝑁𝑁𝑛𝑛

��𝑎 =∑𝑓𝑓𝑎𝑎𝑁𝑁

หรอ ��𝑎 = 𝐴𝐴 + �∑𝑓𝑓𝑓𝑓𝑁𝑁� 𝐼𝐼

-

-

2) มธยฐาน (Median = Med.)

1) เรยงขอมลจากนอยไปหามาก

2) ขอมลทอยตรงกลางคอ มธยฐาน 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑓𝑓. = 𝐿𝐿 + �𝑁𝑁2 − ∑𝑓𝑓𝐿𝐿𝑓𝑓𝑚𝑚

� 𝐼𝐼

3) ฐานนยม (Mode = Mo.) ขอมลทซากนมากทสด คอ ฐานนยม 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑓𝑓𝑀𝑀 = 𝐿𝐿 + �𝑓𝑓1

𝑓𝑓1 + 𝑓𝑓2� 𝐼𝐼

4) คากงกลางพสย (Mid - range)

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑓𝑓 − 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑛𝑛𝑟𝑟𝑀𝑀 =

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑀𝑀𝑛𝑛2

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑓𝑓 − 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑛𝑛𝑟𝑟𝑀𝑀 =ขอบบน + ขอบลาง

2

5) คาเฉลยฮารโมนก

(Harmonic Mean = H.M.)

𝐻𝐻.𝑀𝑀. =𝑁𝑁

1𝑎𝑎1

+ 1𝑎𝑎2

+ ⋯+ 1𝑎𝑎𝑁𝑁

-

6) คาเฉลยเรขาคณต (Geometric

Mean = G.M.)

𝐺𝐺.𝑀𝑀. = �𝑎𝑎1 ∙ 𝑎𝑎2 ∙ … ∙ 𝑎𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁 -

∑∑∑===

−=−N

ii

N

ii

N

iii yxyx

111)(.4

cNcccccN

N

i=++++=∑

= ....1

1

∑∑==

=N

ii

N

ii xccx

11.2

∑ ∑∑= ==

+=+N

i

N

iii

N

iii yxyx

1 11)(.3

(ดงคาคงทไปอยหนา ∑ ได)

(∑ ผลบวก สามารถกระจายได)

(∑ ผลลบ สามารถกระจายได)



การวดตาแหนงทของขอมล

การวดตาแหนงทของขอมล ขอมลไมแจกแจงความถ ขอมลแจกแจงความถ

1) ควอไทล(แบง 4 สวน)

1)เรยงขอมลจากคานอยไปหาคามาก

2)หาตาแหนง สตร

3)เทยบคะแนนจาก

คะแนน = คาของขอมลทตรงกบตาแหนง

+ (เศษ x ชวงหางของขอมล)

1)สรางชองความถสะสมของขอมลท

กาหนดให


3)เทยบคะแนน สตร

𝑄𝑄𝑟𝑟 = 𝐿𝐿 + �𝑁𝑁𝑟𝑟4 − ∑𝑓𝑓𝐿𝐿𝑓𝑓𝑚𝑚

� 𝐼𝐼

2) เดไซล (แบง 10 สวน)

1)เรยงขอมลจากคานอยไปหาคามาก

2) หาตาแหนง สตร








𝐷𝐷𝑟𝑟 = 𝐿𝐿 + �𝑁𝑁𝑟𝑟10 − ∑𝑓𝑓𝐿𝐿

𝑓𝑓𝑚𝑚� 𝐼𝐼

3) เปอรเซนไทล (แบง 100 สวน) 1)เรยงขอมลจากคานอยไปหาคามาก

2) หาตาแหนง สตร








𝑃𝑃𝑟𝑟 = 𝐿𝐿 + �𝑁𝑁𝑟𝑟100 − ∑𝑓𝑓𝐿𝐿

𝑓𝑓𝑚𝑚� 𝐼𝐼

เมอ 𝐿𝐿 คอ ขอบลางของชนท Qr, Dr, Pr อย

∑𝑓𝑓𝐿𝐿 คอ ความถสะสมของชนทอยกอนจะถงชนท Qr, Dr, Pr อย

𝑓𝑓𝑚𝑚 คอ ความถของอนตรภาคชนท Qr, Dr, Pr อย

𝐼𝐼 คอ ความกวางของอนตรภาคชนท Qr, Dr, Pr อย

𝑛𝑛 คอ จานวนขอมลทงหมด

rNQr ×+

=4

)1(

rNDr ×+

=10

)1(

rNPr ×+

=100

)1(

rNQr ×=4

rNDr ×=10

rNPr ×=100



การวดการกระจายของขอมล

การวดการกระจายสมบรณ การวดการกระจายสมพทธ

1) พสย

( ขอมลไมแจกแจงความถ) พสย

( ขอมลแจกแจงความถ) พสย = ขอบบนชนสงสด – ขอบลางชนตาสด

1) สมประสทธของพสย

2) สวนเบยงเบนควอไทล

2) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล

3) สวนเบยงเบนเฉลยสวนเบยงเบนเฉลย

( ขอมลไมแจกแจงความถ)

( ขอมลแจกแจงความถ)

3) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย

4) สวนเบยงเบนมาตรฐาน

( ขอมลไมแจกแจงความถ)

หรอ

( ขอมลแจกแจงความถ)

หรอ

4) สมประสทธของการแปรผน

ความแปรปรวน (𝑆𝑆2)

1) ความแปรปรวน

( )22222

2 )(x

Nx

Nx

Nx

Nxx

S −=

−=

−= ∑∑∑∑

2) ความแปรปรวนรวม 2

21

21

21

22

21

++

−++

= ∑ ∑∑ ∑NN

xxNN

xx

minmax xx −=minmax

minmax

xxxx

+−

=

2.. 13 QQDQ −=

13

13

QQQQ

+−

=

N

xxDM i∑ −=.

N

xxfDM

i∑ −=.

N

xxDS

N

ii∑

=

−= 1

2)(..

22

..

−= ∑∑

Nx

Nx

DS

N

xxfDS

N

iii∑

=

−= 1

2)(..

22

..

−= ∑∑

Nfx

Nfx

DS

xDM ..

=

xDS ..

=

Documents

[สรุปสูตร] สรุปสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม456 1