kckaiiii.files.wordpress.com · สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารย์POP – 1 – สรุปสูตร

สรปสตรคณตศาสตร PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารยPOP

– 1 –

สรปสตร

เซต (Set)

1. เซตแบงไดเปน 2 ประเภท คอ 1) เซตจ ากด หมายถง เซตทสามารถนบจ านวนสมาชกได

2) เซตอนนต หมายถง เซตทมจ านวนสมาชกมากจนไมสามารถนบจ านวนสมาชกทแนนอนได

2. วธเขยนเซตม 2 ประเภท คอ

1) แบบแจกแจงสมาชก ตวอยางเชน A = { A, B, C } , B = { 1, 2, 3, 4 }

2) แบบบอกเงอนไข ตวอยางเชน A = { x Ix และ x + 2 = 0 }

3. การเทากนของเซต หมายถง เซตทงสองมจ านวนสมาชกทเทากนและจ านวนสมาชกเหมอนกนทกตว และใชสญลกษณ A = B แทนเซต A เทากบ เซต B

4. เซตยอย (Sub set) หมายถง เซตทมสมาชกอยในเซตทเราสนใจแตมขนาดเลกกวาหรอเทากน เราจะใชสญลกษณ

a A จ านวนสบเซตทงหมดของ A เทากบ )(2 An

5. คณสมบตเกยวกบการเทากนของเซตและการเปนสบเซต : ก าหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ จะไดวา 1) ถา A = B แลว B = A 4) A

2) ถา A = B และ B = C แลว A = C 5) A A

3) A = B กตอเมอ A B และ B A 6) ถา A B และ B C แลว A C

6. การด าเนนการบนเซต

1) A U B = {x U x A หรอ x B} 3) A - B = {x U x A แต x B}

2) A ∩ B = {x U x A และ x B} 4) cA หรอ A´ = {x U x A }

7. คณสมบตเกยวกบพชคณตของเซต : ก าหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ จะไดวา 1) A U A = A

A ∩ A = A 2) A ∩ B = B ∩ A

A U B = B U A

3) A U (B U C) = (A U B) U C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

4) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

5) A ∩ = และ A U = A 6) A ∩ A´ = และ A U A´ = U

7) (A ∩ B)´= B´ U A´ 8) ( A´ )´ = A และ ´ = U และ U´ =

9) (A U B)´= B´ ∩ A´ 10) A - B = A ∩ B´

8. เพาเวอรเซต (Power set) คอ เซตของสบเซตทงหมด เขยนแทนดวย P(A) ตวอยางเชน A = {1, 2, 3} จะไดเพาเวอรเซตของเซต A คอ { , {1}, {2}, {3}, {1 , 2}, {1 , 3}, {2 , 3}, { 1 , 2 , 3}}

9. จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

1) กรณม 2 เซต n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

2) กรณม 3 เซต n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩ C)

10. คณสมบตเกยวกบพชคณตของเซต


– 2 –

ก าหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ จะไดวา 1. P(A)

2. A P(A)

3. n(A) = m กตอเมอ n(P(A)) = 2m ; m = 0, 1, 2, 3, …

ตรรกศาสตร (Logic)

1. ประพจน คอ ประโยคบอกเลาทมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ อยางใดอยางหนงเพยงอยางเดยว 2. การหาคาความจรงของประพจนทมตวเชอม

p q อานวา “p และ q”, p q อานวา “ p หรอ q” , pq อานวา “ถา p แลว q” , pq อานวา “p กตอเมอ q”

~p อานวา “นเสธของ p”

3. สจนรนดร คอ ประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณในตารางคาความจรง 4. ประพจนทสมมลกน , ใชสญลกษณ “” แทนประพจนทสมมลกน

5. ประพจนทสมมลกน

5.1 pqqp 5.2 pqqp

5.3 )rq(prq)p( 5.4 r)q(prq)p(

5.5 r)q(prq)p( 5.6 )rp()qp()rq(p

5.7 )rp()qp()rq(p 5.8 )rp()qp()rq(p

5.9 )rp()qp()rq(p 5.10 )pq()qp(qp

5.11 qp~p~q~qp 5.12 ~(~p) p

5.13 q~p~)qp(~ 5.14 q~p~)qp(~

6. คาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณ 1 ตว 6.1 )]x(P[x มคาความจรงเปนจรง เมอ น าคา x ทกตวใน U ไปแทนใน P(x) แลวท าให P(x) เปนจรง 6.2 )]x(P[x มคาความจรงเปนจรง เมอ น าคา x อยางนอย 1 ตวใน U ไปแทนใน P(x) แลวท าให P(x) เปนจรง

7. คาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณ 2 ตว 7.1 )]y,x(P[yx มคาความจรงเปนจรง เมอ น าคา x และ y ทกคใน U ไปแทนใน P(x,y) แลวท าให P(x,y)

เปนจรง 7.2 )]y,x(P[yx มคาความจรงเปนจรง เมอ แตละคา x จบ y อยางนอย 1 ตวใน U ไปแทนใน P(x,y) แลวท าให

P(x,y) เปนจรง 7.3 )]y,x(P[yx มคาความจรงเปนจรง เมอ แตน าคา x อยางนอย 1 ตวใน U ไปแทนใน P(x,y) แลวท าให

P(x,y) เปนจรงส าหรบทกๆ คา y ใน U

7.4 )]y,x(P[yx มคาความจรงเปนจรง เมอ น า x และ y อยางนอย 1 คใน U ไปแทนใน P(x,y) แลวท าให P(x,y) เปนจรง

8. การใชหลกและเหตผล : ใหเชอมเหตเขาดวยกนโดยใช “ ” และใหเชอมเหตไปหาผลโดยใช “”

p q p q p q pq pq

T T T T T T

T F F T F F

F T F T T F

F F F F T T

p ~p

T F

F T


– 3 –

ความสมพนธ (Relation)

1. ผลคณคารทเชยน คอ เซตทมสมาชกเปนคอนดบ ซงสมาชกตวหนาของคอนดบมาจากเซตหนาเครองหมาย และ สมาชก

ตวหลงของคอนดบมาจากเซตทอยหลงเครองหมาย เขยนแทนดวย AB = {(x , y) x A และ y B}

2. คณสมบตทส าคญ

1. ถา A มสมาชก m ตวและ B มสมาชก n ตว แลว AB จะมจ านวนสมาชก mn ตว

2. A(B U C) = (AB) U (AC)

3. AB = Ø กตอเมอ A = Ø หรอ B = Ø 4. A(B ∩ C) = (AB) ∩ (AC)

5. ถา AB = AC แ ละ A Ø แลว B = C 6. A(B - C) = (AB) - (AC)

3. ความสมพนธ คอ เซตของคอนดบ เขยนแทนดวย r เปนความสมพนธจาก A ไป B เมอ r AB สงทควรร

1) Ø เปนความสมพนธ 2) ให n(AB) เปนจ านวนสมาชกของ AB จะไดวา สบเซตของ AB จะม 2

n(AB) สบเซต หรออาจกลาวไดวา

ความสมพนธจาก A ไป B ม 2 n(AB)

ความสมพนธ 3) ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป A แลว จะกลาววา r เปนความสมพนธใน A

4. โดเมน (Domain, Dr) คอ เซตของสมาชกตวหนาของทกคอนดบทอยใน r เขยนแทนดวย Dr = { x (x , y) r}

เรนจ (Range, Rr) คอ เซตของสมาชกตวหนาของทกคอนดบทอยใน r เขยนแทนดวย Rr = { y (x , y) r} 5. การหาโดเมนและเรนจ

1) ก าหนดเงอนไขเบองตน (Initial Condition) 2) การหาโดเมน ใหจด y ในเทอมของ x 3) การหาเรนจ ใหจด x ในเทอมของ y

4) น าค าตอบทไดมาอนเตอรเซคกบเงอนไขเบองตน

6. อนเวอรสของความสมพนธ (Inverse of relation) ใชสญลกษณเปน r-1

1) ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B จะไดวา r -1 เปนความสมพนธจาก B ไป A เขยนแทนดวย r -1 = {(y , x)

(x , y) r }

2) หลกในการหาอนเวอรสของความสมพนธ 2.1 สลบทกนระหวางสมาชกตวหนา และสมาชกตวหลงของคอนดบ กลาวคอเปลยนจาก (x , y) เปน (y , x) สวน

เงอนไขของความสมพนธคงเดม

2.2 คงคอนดบ (x , y) เหมอนเดม แตเปลยนเงอนไขของความสมพนธโดยสลบตวแปรจาก x เปน y และ y เปน x

ฟงกชน (Function)

1. ฟงกชน คอ ความสมพนธ f ซงถาม (x , y) f และ (x , z) f แลว y = z ใชสญลกษณ f

2. ฟงกชนจากA ไปB ใชสญลกษณ f: A B f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนทม Df = Aและ Rf B

3. ถาเรนจใชสมาชกใน B หมดจะกลาววา f เปนฟงกชนจาก A ไป B แบบทวถง ใชสญลกษณ f: A B

4. ถาเรนจใชสมาชกใน B ไมหมดจะกลาววา f เปนฟงกชนจาก A ไป B แบบไมทวถง ใชสญลกษณ f: A B In to

On to


– 4 –

5. วธตรวจสอบกราฟของฟงกชน

1) ลากเสนขนานแกน y ตดกราฟ 1 จด กลาววาเปนฟงกชน (แตถาลากเสนขนานแกน y ตดกราฟมากกวา 1 จด กลาววาไมเปนฟงกชน)

2) ลากเสนขนานแกน x ตดกราฟ 1 จด กลาววาเปน 1-1 function (แตถาลากเสนขนานแกน x ตดกราฟมากกวา 1 จด กลาววาเปน many-1 function)

6. พชคณตของฟงกชน คอ การน าฟงกชนมา บวก ลบ คณและหารกน

1) f + g = {(x , y) y = f (x) + g(x)} โดยท Df+g = Df ∩ Dg

2) f – g = {(x , y) y = f (x) + g(x)} โดยท Df–g = Df ∩ Dg

3) f . g = {(x , y) y = f (x)

. g(x)} โดยท Df.g = Df ∩ Dg

4) g

f = {(x , y) y =

)(

)(

xg

xf} โดยท

g

fD = Df ∩ Dg – { x g(x) = 0}

7. ฟงกชนคอมโพสต (Composite Function)

นยาม: ให f และ g เปนฟงกชนทม Rf ∩ Dg ≠ Ø ไดฟงกชนคอมโพสตของ f และ g เขยนแทนดวย g o f โดยท g o f =

g(f(x)) ส าหรบทก x ซง f (x) Dg

8. อนเวอรสของฟงกชน (Inverse of relation) ใชสญลกษณเปน f -1

ให f เปนฟงกชนจาก A ไป B จะไดวา f -1 เปนฟงกชนจาก B ไป A เขยนแทนดวย f -1 ={(y , x) (x , y) f }

จ านวนจรง(Real Number)

โครงสรางของระบบจ านวนจรง

1. จ านวนจรง คอ จ านวนทเปนจ านวนตรรกยะหรอจ านวนอตรรกยะ

2. สมบตของราก

6.1 ||2 aa 6.2 nnn baba

x y = f(x) z = g(y) = g(f(x))

A

f

g

B

C

g o f


– 5 –

6.3 n

nn

b

a

b

a 6.4 nn aa

1

3. คณสมบตของจ านวนจรง ให a, b, c เปนจ านวนจรงใดๆ แลว

คณสมบต การบวก การคณ

1 คณสมบตปด (Closure Property) a+b เปนจ านวนจรง a b เปนจ านวนจรง

2 คณสมบตการเปลยนกลม (Commutative Property) (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)

3 เอกลกษณ (Identity) a + 0 = a a 1 = a

4 อนเวอรส (Inverse) a + (-a) = 0 a a-1

= 1

5 คณสมบตการสลบท (Associative Property) a+b = b+a a b = b a

6 คณสมบตการแจกแจง (Distributive Property) a (b+c) = (a b) + (a c)

4. ชวง แบงเปนชวงจ ากดและชวงอนนต 5. คณสมบตของคาสมบรณ

1. x 0 2. x = x

3. x = a กตอเมอ x = a หรอ x = – a 4. x = a กตอเมอ x = a หรอ x = – a

5. x < a กตอเมอ – a < x < a

x a กตอเมอ – a x a

6. x > a กตอเมอ x < – a หรอ x > a

x a กตอเมอ x – a หรอ x a

7. x y = x y 8. y

x =

y

x เมอ y 0

9. x2 = x

2 10. 2x = x

11. x + y x + y 12. x y x y

6. สตรทางพชคณตทควรทราบ

13.1 222 2)( bababa 13.5 ))(( 2233 babababa

13.2 222 2)( bababa 13.6 ))(( 2233 babababa

13.3 ))((22 bababa 13.7 32233 33)( babbaaba

13.4 bcacabcbacba 222)( 2222 13.8 32233 33)( babbaaba

7. สมการก าลงสอง(Quadratic Equation) สมการ 02 cbxax เมอ a, b, c เปนคาคงตวและ 0a

การแกสมการโดยใชสตร a

acbbx

2

42 โดยมเงอนไขดงน

ถา acb 42 = 0 ค าตอบของระบบสมการจะม 1 ค าตอบ

ถา acb 42 > 0 ค าตอบของระบบสมการจะม 2 ค าตอบ

ถา acb 42 < 0 จะไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง


– 6 –

PQ = x2 x1 2

y2 y1 2

x1 x2

2

y1 y2

2

mx1 nx2

m n

my1 ny2

m n

y2 y1

x2 x1

y = m x + c

(y – y1) = m (x- x1)

ถา L1 // L2 จะไดวา m1 = m2

ถา L1 L2 จะไดวา m1 m2 = -1

เรขาคณตวเคราะห (Analytic Geometry)

1. การหาระยะทางระหวางจด 2 จด : ก าหนด จด P(x1 , y1) และ จด Q (x2 , y2) เปนจดในระนาบ xy

P

Q

(x1, y1)

(x2, y2)

2. การหาจดกงกลางระหวางจด 2 จด : ก าหนด จด P(x1 , y1) และ จด Q (x2 , y2) เปนจดในระนาบ xy

P

Q

(x1, y1)

(x2, y2)

M (x, y)

3. การหาจดแบงภายในระหวางจด 2 จด : ก าหนด จด P(x1 , y1) และ จด Q (x2 , y2) เปนจดในระนาบ xy และใหจด

R(x, y) เปนจดแบงภายในทท าให PM : MQ = m : n จะไดวา

P

Q

(x1, y1)

(x2, y2)

R (x, y)

mn

4. การหาความชนระหวางจด 2 จด : ก าหนด จด P(x1 , y1) และ จด Q (x2 , y2) เปนจดในระนาบ xy จะไดวาความชน

ระหวาง 2 จด คอ

P

Q

(x1, y1)

(x2, y2)

6 y

6 x 5. การหาสมการเสนตรง

P

Q

(x1, y1)

(x2, y2)

6 y

(0, c)

X6 x

Y

6. เสนขนานและเสนตงฉาก

ก าหนด จด เสนตรง L1 มสมการเปน y = m1 x + c1 และ เสนตรง L2 มสมการเปน y = m2 x + c2

L1: A1x+B1y+C=0

X

Y

L2: A2x+B2y+C=0

L1: A1x+B1y+C=0

X

Y

L2: A2x+B2y+C=0

จดกงกลาง M (x, y) =

จดกงกลาง R (x, y) =

m =

ก าหนด จด P(x1 , y1) และ จด Q (x2 , y2) เปนจดในระนาบ xy การหาสมการเสนตรง ท าไดดงน

1. หาความชนระหวางจด 2 จด

2. แทนคาจด 1 จดเพอหาจดตดแกน y (Y-Intercept)


– 7 –

Ax1 By1 C

A2

B2

C2 C1

A2

B2

x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 y1

7. การหาระยะจากจดไปยงเสนตรง ก าหนด จด P(x1 , y1) และ เสนตรง L1 มสมการเปน Ax +B y + C = 0 จะไดวาระยะจากจด P ไปยงเสนตรง L1 คอ

L1: Ax+By+C=0

X

Y

P(x1, y1)

d

8. การหาระยะระหวางเสนตรง 2 เสนทขนานกน ก าหนด เสนตรง L1 มสมการเปน Ax +B y + C1 = 0 และ เสนตรง L2 มสมการเปน Ax +B y + C2 = 0

เปนเสนตรง 2 เสนทขนานกน จะไดวาระยะระหวางเสนตรง 2 เสนทขนานกน คอ

L1: Ax+By+C1=0

X

Y

L2: Ax+By+C2=0

d

9. การหาพนทระยะจด 3 จด : ก าหนด จด P(x1 , y1) จด Q (x2 , y2) และ จด R (x3 , y3) เปนจดในระนาบ xy คอ

P

Q

(x1, y1)

(x2, y2)

X

Y

R (x3, y3)

ภาคตดกรวย(Conic Section)

1. วงกลม คอ เซตหรอทางเดนของจดซงอยหางจากจดคงทจดหนงดวยระยะทางคงทคาหนง สมการทวไปของวงกลมคอ x2

+y2+Ax+By+C = 0 เมอ A, B, C เปนคาใดๆ

เมอเราจดรปสมการทวไปเราจะไดสมการมาตรฐานของวงกลม คอ

(x – h)2 + (y – k)

2 = r

2

โดยท (h , k) คอ จดศนยกลาง r คอ รศม

(h , k)

x

y

r

(o , o)

d =

d =

พนทระหวางจด 3 จด = 2

1


– 8 –

V (h , k)

(o , o)

V (h , k)

(o , o)

2. พาราโบลา คอ เซตหรอทางเดนของจดซงอยหางจากจดคงทจดหนงเทากบระยะหางจากเสนตรงคงทเสนหนง กรณกราฟพาราโบลาออมแกน y

สมการทวไปของพาราโบลา คอ Ax2+Dx+Ey+F = 0 เมอ A, D, E , F เปนคาใดๆ

เมอเราจดรปสมการทวไปเราจะไดสมการมาตรฐานของพาราโบลา คอ

(x – h)2 = 4c(y – k)

โดยท (h , k) คอ จดยอดของพาราโบลา c คอ ระยะโฟกสของพาราโบลา

พจารณาสมการ y ก าลงหนง ดงนนกราฟออมแกน y ถา 4c > 0 กราฟหงาย จดยอดกจะเปนจดต าสด ถา 4c < 0 กราฟคว า จดยอดกจะเปนจดสงสด

กรณกราฟพาราโบลาออมแกน x

สมการทวไปของพาราโบลา คอ By2+Dx+Ey+F = 0 เมอ B, D, E , F เปนคาใดๆ

เมอเราจดรปสมการทวไปเราจะไดสมการมาตรฐานของพาราโบลา คอ

(y – k)2 = 4c(x – h)

โดยท (h , k) คอ จดยอดของพาราโบลา c คอ ระยะโฟกสของพาราโบลา

พจารณาสมการ x ก าลงหนง ดงนนกราฟออมแกน x

ถา 4c > 0 กราฟตะแคงขวา ถา 4c < 0 กราฟตะแคงซาย 3. วงร คอ เซตหรอทางเดนของจดซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ในเซตไปยงจดคงท 2 จดมคาคงทเทากบ 2a

กรณกราฟวงรออมแกน x

สมการทวไปของพาราโบลา คอ Ax2

+By2 +Dx +Ey +F = 0 เมอ A, B, D, E , F เปนคาใดๆ

เมอเราจดรปสมการทวไปเราจะไดสมการมาตรฐานของวงร คอ

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

โดยท (h , k) คอ จดศนยกลางของวงร 2a คอ ความยาวแกนเอก 2b คอ ความยาวแกนโท

ให a ยาวสด สวน b กบ c ใครยาวกวากนกได a2 = b

2 + c

2 พจารณาสมการ a อยกบ x ดงนน กราฟออมแกน x

ความกวาง ณ จด โฟกสของวงร หรอ ลาตสเรกตม (Latusrectum) มคาเทากบ a

b22

X'

Y'

Directrix

. (h , k+c)

x

y

y = k - c

F

X'

Y'

Directrix

. (h+c , k)

x

y

x=h-c

F

4c > 0

กราฟหงาย

4c > 0

กราฟตะแคงขวา

a อยกบ x

กราฟออมแกน x

(h , k) X'

Y'

. (h+c, k)

x

y

(o , o)

F V F' V'

O

B

B'

. (h-c, k)

(h , k+b)

(h , k-b)

(h+a, k) (h-a, k)


– 9 –

4. ไฮเพอรโบลา คอ เซตหรอทางเดนของจดซงผลตางของระยะทางจากจดใดๆในเซตไปยงจดคงท2จดมคาคงทเทากบ2a

กรณกราฟไฮเพอรโบลาออมแกน x

สมการทวไปของไฮเพอรโบลา คอ Ax2

+By2 +Dx +Ey +F = 0 เมอ A, B, D, E , F เปนคาใดๆ

เมอเราจดรปสมการทวไปเราจะไดสมการมาตรฐานของไฮเพอรโบลา คอ

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

โดยท (h , k) คอ จดศนยกลางของไฮเพอรโบลา 2a คอ ความยาวแกนตามขวาง 2b คอ ความยาวแกนสงยค

ให c ยาวสด สวน a กบ b ใครยาวกวากนกได

c2 = a

2 + b

2 พจารณาสมการ a อยกบ x ดงนน กราฟออมแกน x

ความกวาง ณ จด โฟกสของไฮเพอรโบลา หรอ ลาตสเรกตม (Latusrectum) มคาเทากบ a

b22

เสนก ากบ (Asymtote) มสมการ คอ xa

by

ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล (Exponential Function)

f = { (x, y) R R+

y = xa , a > 0 , a 1 }

เปนฟงกชน 1- 1 จาก R ไปทวถง R+ โดยสมบตการเปนฟงกชน 1-1 จะไดวา ax

= ay กตอเมอ x = y

1. สมบตของเลขยกก าลง

1.1 nmnm aaa 1.6 mnnm aa )(

1.2 nmnm aaa เมอ 0a 1.7 nnn baab )(

1.3 10 a เมอ 0a 1.8

n

nn

b

a

b

a

เมอ 0b

1.4 n

n

aa

1 เมอ 0a

1.9 nn aa

1

1.5 nn

aa

1

เมอ 0a 1.10

n mn

m

aa

2. สตร nmmnnm 2)(

ฟงกชนลอการทม (Logarithm Function)

f -1

= { (y, x) R+ R / y = a

x , a > 0 , a 1 }

= { (x, y) R+ R / x = a

y , a > 0 , a 1 }

= { (x, y) R+ R / y = loga x , a > 0 , a 1 }

a อยกบ x

กราฟออมแกน x

(h , k) X'

Y'

. (h+a, k)

x

y

(o , o)

V F V' F'

O

B

B'

. (h-a, k)

(h , k+b)

(h , k-b)

(h+c, k) (h-c, k)


– 10 –

1. คณสมบตทส าคญของลอการทม

1.1 loga MN = loga M + loga N 1.6 loga x = a

x

b

b

log

log เมอ b > 0 , b 1

1.2 logaN

M = loga M loga N 1.7

xaalog

= x

1.3 pa Mlog = ploga M 1.8 xa log = axlog

1.4 Mqalog = q

1 loga M เมอ q 0

1.9 โดยสมบตของฟงกชน 1-1 จะไดวา loga x = loga y กตอเมอ x = y

1.5 loga a = 1

loga 1 = 0 1.10 xalog =

axlog

1

จ านวนเชงซอน (Complex Number)

1. เซตของจ านวนเชงซอน เปนการยเนยนกนระหวางเซตของจ านวนจรงและเซตของจ านวนจนตภาพ

z = (a, b) = a + bi เมอ i = 1- โดย aคอสวนจรงหรอจ านวนจรง, bคอสวนจนตภาพและ biคอจ านวนจนตภาพ

2. สงทควรทราบ : ii 1 , -11-22 i , iiii 23 , 1224 iii

3. ให biaz 1 และ dicz 2 เปนจ านวนเชงซอน 2 จ านวน

3.1 21 zz กตอเมอ a = c และ b = d 3.4 ibcadbdaczz )()(21 3.2 idbcadbcazz )()(),(21

3.5 2

1

z

z=

22

)()(

dc

iadbcbdac

3.3 Rkkbikakz ; 4. คณสมบตของ z ให biaz และคอนจเกตของ z คอ z = bia จะไดวา 5.1 zz 5.3 2121 zzzz

5.2 222bazzz 5.4 2121 zzzz

5. คาสมบรณของจ านวนเชงซอน z คอ 22 baz

6.1 zzzz 6.4 nn zz

6.2 2121 zzzz 6.5

2

1

2

1

z

z

z

z

6.3 2121 zzzz 6. การเขยนจ านวนเชงซอนในรปของพกดเชงขว (Polar form)จากรป จะไดวา cosza และ sinzb

7.1 sinicoszezzz i

สตรของเดอมวร

7.2 )sin(cos ninzznn

7.3 )2

sin2

(cos

1

n

ki

n

kzzz nnn

(a , b)

x (แกนจรง)

y (แกนจนตภาพ)

22 ba b

a O


– 11 –

เวคเตอร (Vector)

1. เวคเตอร คอ ปรมาณทประกอบดวยขนาดและทศทาง

2. เวกเตอร 1 หนวย คอ เวกเตอรทมความยาวหรอขนาดเทากบ 1 หนวย โดย เวกเตอร 1 หนวยของ u คอ u

u

3. ให u = jbia

และ v = jdic

3.1 22 bau

3.4 vu

= jdbica

3.2 u

= v กตอเมอ ca และ db 3.5 vu

= jdbica

3.3 นเสธของ u

= u = jbia

= jbia

4. ผลคณสเกลาร (Dot Product) ให u = jbia

และ v = jdic

ผลคณสเกลารของ u และ v คอ

vu = bdac = cosvu

โดย เปนมมระหวาง u และ v

ทฤษฎบทท1 ถา u และ v ตางไมเทากบ 0 แลว u ขนานกบ v กตอเมอมจ านวนจรง a ทไมเทากบศนย ทท าให vau

ทฤษฎบทท2 ถา u และ v ตางไมเทากบ 0 แลว u ไมขนานกบ v กตอเมอ 0

vbua โดยท 0a และ 0b

5. การตงฉากของเวกเตอร ให u และ v ตางไมเทากบ 0 และเปนเวกเตอรใดๆ ในระนาบ

5.1 ถา vu = 0 แลว u ตงฉากกบ v 5.2 ถา u ตงฉากกบ v แลว vu

= 0

6. เวกเตอรในปรภม 3 มต

ก าหนดให เวกเตอร OA= kcjbia

7.1 ขนาดของ OA คอ 222 cbaOA

7.2 ผลคณเวคเตอร (Cross Product)

ให u = kcjbia

และ v = kfjeid

จะได vu

= fed

cba

kji

อตราสวนตรโกณมต(Trigonometry)

1. เอกลกษณตรโกณมต

1.1 1cossin 22 AA 1.2 AA 22 tan1sec

1.3 AA 22 cot1csc

2. ฟงกชนของผลบวกหรอผลตาง 2.1 sin(A+B) = sinA

. cosB + cosA

. sinB 2.2 sin(A-B) = sinA

. cosB - cosA

. sinB

u

v

vu

u

v

vu

รปท2 u

v

uv

รปท3 รปท1

u

v

cba ,, z

y

A

B

O

kcjbia

j

i

x

k


– 12 –

2.3 cos(A+B) = cosA . cosB - sinA

. sinB 2.4 cos(A-B) = cosA

. cosB + sinA

. sinB

2.5 )tan( BA = BA

BA

tantan1

tantan

2.6 )tan( BA =

BA

BA

tantan1

tantan

2.7 )cot( BA = AB

BA

cotcot

1cotcot

2.8 )cot( BA =

AB

BA

cotcot

1cotcot

3. การแปลงผลคณใหเปนผลบวกหรอผลตาง 3.1 2 sinA

. cosB = sin(A+B) + sin(A-B) 3.2 2 cosA

. sinB = sin(A+B) - sin(A-B)

3.3 2 cosA . cosB = cos(A+B) + cos(A-B) 3.4 2 sinA

. sinB = cos(A-B) - cos(A+B)

4. การแปลงผลบวกหรอผลตางใหเปนผลคณ

4.1 BA sinsin =

2cos

2sin2

BABA 4.2 BA sinsin =

2sin

2cos2

BABA

4.3 BA coscos =

2cos

2cos2

BABA 4.4 BA coscos =

2sin

2sin2

BABA

5. สตร มม 2 เทา , 3 เทา และมมครง

5.1 A2sin = AA cossin2 =A

A

2tan1

tan2

5.2 A2cos = AA 22 sincos = 1cos2 2 A

= A2sin21 = A

A

2

2

tan1

tan1

5.3 A2tan = A

A

2tan1

tan2

5.4 A2cot =

A

A

cot2

1cot 2

5.5 A3sin = AA 3sin4sin3 5.6 A3cos = AA cos3cos4 3

5.7 A3tan = A

AA

2

3

tan31

tantan3

5.8 A3cot =

1cot3

cot3cot

2

3

A

AA

5.9

2sin2

A =

2

cos1 A 5.10

2tan2

A =

A

A

cos1

cos1

=

A

A

sin

cos1

= A

A

cos1

sin

5.11

2cos2

A =

2

cos1 A

6. กฎของไซนและกฎของโคไซน กฎของไซน: kc

C

b

B

a

A

sinsinsin

กฎของโคไซน: a2 = b

2 + c

2 – 2bc cosA

7. ฟงกชนอนเวอรสของตรโกณมต

7.1 โดเมนและเรนจของฟงกชนอนเวอรส

7.1.1 y = arc sin x เมอ x [-1 , 1] และ y

2,2

7.1.2 y = arc cos x เมอ x [-1 , 1] และ y [ 0, ]

7.1.3 y = arc tan x เมอ x R และ y

2,2

7.1.4 y = arc cot x เมอ x R และ y ( 0, )


– 13 –

7.1.5 y = arc sec x เมอ x (- , -1] U [1 , ) และ y

,22

,0

7.1.6 y = arc cosec x เมอ x (- , -1] U [1 , ) และ y

2,00,

2

สถต (Statistic)

1. สถต หมายถง ตวเลข หรอหมายถงกระบวนการทางสถต 4 ขนตอนไดแก การเกบรวบรวมขอมล การน าเสนอขอมล วเคราะหขอมล และการตความหมายขอมล

2. ตารางแจกแจงความถ

2.1 พสย คอ ความแตกตางของขอมลทมากทสดกบขอมลทนอยทสด กลาวคอ พสย = Max – Min

2.2 ความกวางของอนตรภาคชน = ขอบบน – ขอบลาง

2.3 จดกงกลางชน = 2

1 (ขอบบน + ขอบลาง)

3. คาเฉลยเลขคณต x

กรณขอมลไมแจกแจงเปนตาราง N

xx

กรณขอมลแจกแจงเปนตาราง x = N

xfN

i

ii1 ; xi คอ คากงกลางของอนตรภาคชน

กรณมขอมล 2 กลม : การหาคาเฉลยเลขคณตรวม tx ระหวางขอมล 2 กลม

tx = 21

2211

NN

xNxN

4. คามธยฐาน ใชอกษรยอ Med หรอ Me หมายถง คาทมต าแหนงอยตรงกงกลางของขอมลทงหมด ขนตอนการหามธยฐาน

1. ตองหาต าแหนงของมธยฐานกอน จากสตร 2. ค านวณคามธยฐานจากสตร

Med = If

fN

LM

L

2

L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนทมธยฐานอย fL คอ ผลรวมของความถในอนตรภาคชนทมคาต ากวาอนตรภาคชนทมธยฐานอย fM คอ ความถของอนตรภาคชนทมธยฐานอย I คอ ความกวางของอนตรภาคชนทมธยฐานอย

5. ฐานนยม ใชอกษรยอ Mo หมายถง คาของขอมลทมความถสงสด


– 14 –

ฐานนยม = Idd

dL

21

1

L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนทฐานนยมอย d1 คอ ผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทมความถสงสดกบความถของอนตรภาคชนทมคาต ากวาทอยถดไป

d2 คอ ผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทมความถสงสดกบความถของอนตรภาคชนทมคาสงกวาทอยถดไป

I คอ ความกวางของอนตรภาคชนทฐานนยมอย

6. สวนเบยงเบนเฉลย(Mean deviation) M.D. = N

xxN

i

i

1

7. สวนเบยงเบนมาตรฐาน(Standard deviation)

S.D. =

N

xxN

i

i

1

2

= 21

2

xN

xN

i

i

8. การหาสวนเบยงเบนมาตรฐานรวมระหวางขอมล 2 กลม กรณ 21 xx , N1 ≠ N2

s2 =

2

21

2121

21

222

211

NN

xxNN

NN

sNsN

9. การวดการกระจายสมพทธ

9.1 คาสมประสทธของพสย = minmax

minmax

xx

xx

9.2 คาสมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล = 13

13

QQ

QQ

9.3 คาสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย = x

MD

9.4 คาสมประสทธการแปรผน(C.V.) = %100x

s

10. คามาตรฐาน (Z-score) z = s

xxi

11. คณสมบตของคามาตรฐาน

11.1 z = 0

11.2 sz = 1

11.3 z = 0

11.4 z2 = N

Z= –3

x x +s x s x +2s x +3s x 2s x 3s

Z=1

Z=2

Z=3

68.27%

95.45%

99.73%

Z= –1 Z= –2 Z=0


– 15 –

ความนาจะเปน (Probability)

1. ความนาจะเปน หมายถง จ านวนทแสดงใหทราบวาเหตการณใดเหตการณหนงมโอกาสเกดขนมากนอยเพยงใด

2. ความนาจะเปนของเหตการณ = ดารณทงหมจ านวนเหตก

สนใจารณทเราจ านวนเหตก

หรอ )(

)()(

Sn

EnEP เมอ )(EP = ความนาจะเปนของเหตการณ

)(En = จ านวนเหตการณทเราสนใจ

)(Sn = จ านวนเหตการณทงหมด 3. ทฤษฎความนาจะเปน

ถา S แทนแซมเปลสเปซ E แทนเหตการณใดๆ ในแซมเปลสเปซ จะไดวา 3.1 1)(0 EP

3.2 1)( EP เมอ )()( SnEn

3.3 0)( EP แสดงวา เหตการณนนไมเกดขน

4. หลกเกยวกบการนบ

4.1 แตละขนตอน ใหคณกน

4.2 แตละกรณ ใหบวกกน

5. แฟกทอเรยล (Factorial) สตร n! = n(n 1)(n 2)(n 3)… 3.2

.1

6. การเรยงสบเปลยน (Permutation) ถามของ n สงตางๆ กนน าของ r สงจาก n สงมาจดเรยงเปนแถวตามล าดบ จ านวน

วธทจะกระท าได คอ Pn,r = )!(

!

rn

n

7. การจดหม (Combination) ถามของ n สงตางๆ กน เลอกมา r สง จ านวนวธทจะกระท าได คอ

Cn,r = !)!(

!

rrn

n

8. การเรยงสบเปลยนสามารถแบงไดเปน 3 แบบ คอ

8.1 สบแบบเสนตรง ถามของ n สง น ามาสบไปมาแบบเสนตรง จะได n! วธ 8.2 สบแบบวงกลม ถามของ n สง น ามาสบไปมาแบบวงกลม จะได (n – 1)! วธ

8.3 สบแบบลกประค า ถามของ n สง น ามาสบไปมาแบบเสนตรง จะได 2

)!1( n วธ

9. สตรของซ า ถาม สงของ n สง แบงเปน r กลม กลม 1 ม 1n สง กลม 2 ม 2n สง … กลม r ม rn สง โดยท n = 1n +

2n + 3n +…+ rn จะไดวธสบแบบของซ า คอ !!...!!

!

321 rnnnn

n

เมตรกซ (Matrix)

1. เมตรกซ หมายถง คอ กลมของจ านวนซงถกเขยนเรยงเปนแถวๆ ละเทาๆ กน โดยเขยนในวงเลบ [ ] หรอ ( ) 2. การเทากนของเมตรกซ : เมตรกซ A และ B จะเทากนกตอเมอ A และ B มมตเทากน และสมาชกทอยในต าแหนงเดยวกนม

คาเทากนทกต าแหนง


– 16 –

3. ชนดของเมตรกซ 1) เมตรกซสลบเปลยน (Transpose Matrix)คอเมตรกซทเกดจากการน าสมาชกในเมตรกซ A มาเปลยนจากแถวเปนหลกตามล าดบ

คณสมบตเกยวกบเมตรกซสลบเปลยน : ถา c เปนคาคงตว และ BA, เปนเมตรกซมต nn จะไดวา

1. ttt BABA )( 2. ttt ABAB )(

3. AA tt )( 4. tt cAcA )( 2) เมตรกซจตรส (Square Matrix) คอ เมตรกซทมจ านวนแถวและหลกเทากน

3) เมตรกซศนย (Zero Matrix) ใชสญลกษณ nm 00 คอ เมตรกซทมสมาชกทกตวเปนศนยหมด

4) เมตรกซเอกลกษณ (Identity Matrix) ใชสญลกษณ I คอ เมตรกซจตรสทมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลกจากซายบนลงมาขวาลางเปน 1 หมด แตสมาชกทไมอยในแนวเสนทแยงมมหลกจะเปน 0 ทกตว

4. การบวกเมตรกซ : ถา A และ B เปนเมตรกซทมมตเดยวกน BA คอ เมตรกซทสมาชกแตละตวเกดจากสมาชกทอยในต าแหนงเดยวกนของ A และ B บวกกน

5. การคณเมตรกซดวยสเกลาร : ถา c เปนจ านวนจรงใดๆ แลว cA คอเมตรกซทเกดจากการน า c คณเขาไปในสมาชกทกตวของเมตรกซ

6. การคณเมตรกซดวยเมตรกซ : ถา nmij

aA

และ rnij

bB

แลว ABBA = เมตรกซ rmij

cC

โดยท jnnijijiij bababac 2211

7. ดเทอรมแนนต (Determinant) : กฎ 9 ขอของดเทอรมแนนต

1. ถา

2221

1211

aa

aaA โดย 22211211 ,,, aaaa เปนจ านวนจรง แลว ดเทอรมแนนตของ A = det (A) =

2221

1211

aa

aa = 12211211 aaaa

2. ก าหนดเมตรกซ nnij

aA

โดยท Raij และ n เปนจ านวนเตมทมากกวา 2 แลว ไมเนอรของ ija เขยน

แทนดวย )(AM ij คอ ดเทอรมแนนตของเมตรกซทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ของเมตรกซ A ออกไป

3. ก าหนด nnij

aA

โดยท Raij และ n เปนจ านวนเตมทมากกวา 2 แลว โคแฟกเตอรของ ija เขยนแทน

ดวย )(ACij โดยท )()1( AMC ijji

ij

4. ก าหนด nnij

aA

โดยท Raij และ n เปนจ านวนเตมทมากกวา 2 แลว ดเทอรมแนนตของ A = det (A)

หรอ A =

nnnnn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

321

2232221

1131211

=

)()()(

)()()(

)()()(

2211

2211

1112121111

ACaACaACa

ACaACaACa

ACaACaACa

jnjnjjjj

niniiiii

nn

5. ถา A มสมาชกในแถวใดแถวหนง (หรอหลกใดหลกหนง) เปนศนยทกตวแลว 0)det( A

6. ถาสลบทกนระหวางแถวสองแถว (หรอหลกสองหลก)ใดๆของ A แลวดเทอรมแนนตของเมตรกซใหมคอ )det(A

+

–


– 17 –

7. ถา A มสมาชกสองแถว (หรอสองหลก)ใดเหมอนกนแลว 0)det( A

8. ถาคณสมาชกทกตวในแถวใดแถวหนง (หรอหลกใดหลกหนง) ของ A ดวยคาคงตว c แลว ดเทอรมแนนตของเมตรกซใหมคอ )det(Ac

9. ถาเปลยนแถวใดแถวหนง (หรอหลกใดหลกหนง) ของ A โดยใชคาคงตวทไมใช 0 คณสมาชกทกตวในแถวใดแถวหนง(หรอหลกใดหลกหนง)ของ A แลวน าไปบวกกบสมาชกในแถว(หรอหลก)ทตองการเปลยนนน โดยบวกสมาชกในล าดบเดยวกนเขาดวยกน แลวใชผลบวกนนแทนทสมาชกเดม ดเทอรมแนนตของเมตรกซใหมจะเทากบ det (A)

8. อนเวอรสการคณของเมตรกซ : ให A เปนเมตรกซจตรสมต nn เมอ 2n จะได 1. A เปนเมตรกซเอกฐาน (Singular Matrix) กตอเมอ det(A) = 0

2. A เปนเมตรกซไมเอกฐาน (Non-singular Matrix) กตอเมอ 0)det( A

3. เมตรกซผกพน (Adjoint Matrix) ของ A คอ tij AC )]([ กลาวคอ nn

tij ACAadj )]([)(

ทฤษฎบท ให A เปนเมตรกซจตรสมต nn เมอ 2n จะได 1. IAAAadjAadjA )det()()(

2. A มตวผกผนการคณกตอเมอ A เปนเมตรกซไมเอกฐาน ในกรณ 0)det( A จะไดวา )()det(

11 AadjA

A

3. )det()det( tAA 4. )det()det()det( BAAB

5. RkAkkA n ,)det()det( 6. RkAkkAkA tntt ,)det()det()det(

7. )det(

1)det( 1

AA 8. )det()1()det( AA n

9. RkAk

kA

,1

)( 11 10. 111)( ABAB

9. กฎของคราเมอร บทนยาม : ถา A เปนเมตรกซมต nn โดยท 0)det( A แลวระบบสมการทเขยนในรปสมการเมตรกซ BAX

เมอตวไมทราบคาคอ nxxxx ,,,, 321 และ nbbbb ,,,, 321 เปนคาคงตว

ค าตอบคอ )det(

)det( 11

A

Ax ,

)det(

)det( 22

A

Ax , … ,

)det(

)det(

A

Ax nn

เมอ iA คอ เมตรกซทไดจากการแทนหลกท i ของ A ดวยหลกของ B

ล าดบและอนกรม (Sequencies and series)

1. ล าดบเลขคณต (Arithmetic Sequence) คอ ล าดบซงผลตางระหวางสองพจนทอยตดกนมคาคงตวเสมอ และเราเรยกคาคงตววา ผลตางรวม ( common difference)

ถาให a1 เปนพจนแรก และ d เปนผลตางรวม ล าดบเลขคณตจะมลกษณะดงน

a1, a1 + d , a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d, …, a1 + (n-1)d, …

ล าดบพจนท n an = a1 + (n-1)d

2. ล าดบเรขาคณต (Geometric Sequence) คอ ล าดบซงอตราสวนของสองพจนทอยตดกนมคาคงตวเสมอ และเราเรยกคาคงตววา อตราสวนรวม ( Common Ratio)


– 18 –

n(n + 1)

2 n(n + 1)(2n+1)

6

a (r n - 1)

r - 1

a .

1- r

ถาให a1 เปนพจนแรก และ r เปนอตราสวนรวม ล าดบเรขาคณตจะมลกษณะดงน

a1, a1 r, a1 r2, a1 r

3, a1 r

4, …, a1 r

n-1, …

ล าดบพจนท n an = a1 r n-1

3. ลมตของล าดบ นยาม = L กตอเมอมจ านวนเตมบวก m ท n ≥ m แลวยงม > 0 ทท าให | an− L | <

ทฤษฎบทของลมต ก าหนดให c เปนคาคงตว

1.

xn n

1lim = 0 , x > 0 2. n

nx

lim = 0 , −1< x < 1

3. n

nx

lim =

4. lim

nn =

4. อนกรม(Series) อนกรม คอ ผลบวกของทกพจนในล าดบทก าหนด ใชสญลกษณ แทนการบวก

5. ทฤษฎเกยวกบการบวก

5.1

n

i

c

1

= nc , c เปนคาคงตว

5.2

n

i

ica

1

=

n

i

iac

1

5.3

n

i

ii ba

1

=

n

i

i

n

i

i ba

11

6. สตร 6.1 n = 1 + 2 + 3 + … + n =

6.2 n2 = 12 + 2

2 + 3

2 + … + n

2 =

6.3 n3 = 13 + 2

3 + 3

3 + … + n

3 = n2

=

7. อนกรมเลขคณต (Arithmetic Series)

Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d)+ (a1 + 4d) + …+ [a + (n−1)d]

= 2

n [a1 + an] =

2

n[2a + (n−1)d]

8. อนกรมเรขาคณต (Geometric Series)

Sn = a + a r + a r2 + a r

3 + a r

4 + …+ a r

n-1

กรณ | r | >1:

Sn =

9. อนกรมอนนตเรขาคณต

กรณ | r | <1: เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

S∞ =

lim an

n ∞

0 …… x = 0

1 …… x >0

n(n + 1)

2

2


– 19 –

แคลคลส (Calculus)

1. ลมตของฟงกชน : )(lim xfax

= L กตอเมอ > 0 ซง | x- a | < ทท าให | f (x)- L | < โดยท 0 < <

คาของลมต )(lim xfax

จะหาคาไดกตอเมอ )(lim xfax

= )(lim xfax

ทฤษฎบทของลมต : ก าหนดให c เปนคาคงตว 1. c

axlim = c 2. x

axlim = a

3. )(lim xcfax

= )(lim xfcax

4. n

axx

lim = na

5. )]()([lim xgxfax

= )(lim xfax

)(lim xgax

6. )]()([lim xgxfax

= )(lim xfax

)(lim xgax

7.

)(

)(lim

xg

xf

ax =

)(lim

)(lim

xg

xf

ax

ax

8. nax

xf )(lim

= n

axxf

)(lim

9. n

axxf )(lim

= n

axxf )(lim

2. ความตอเนองของฟงกชน : ให a เปนจ านวนจรงใดๆ ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองทจด x = a กตอเมอ

1. f (a) หาคาได

2. )(lim xfax

หาคาได

3. )(lim xfax

= f (a)

3. อตราการเปลยนแปลงโดยเฉลย = x

xfxxf

)()(

4. อนพนธ คอ อตราการเปลยนแปลงของ f (x) เทยบกบ x ขณะ x ใดๆ , dx

dy

x

xfxxf

x

)()(lim

0

5. สตรทใชหาอนพนธของฟงกชน : ก าหนดให u และ v เปนฟงกชนพชคณต และ Rn

1. dx

dc = 0 2.

dx

dx = 1

3. dx

dun =

dx

dunun 1 4. vu

dx

d =

dx

dudx

dv

5. dx

dcu= c

dx

du 6. vudx

d =

dx

duv

dx

dvu

7.

v

u

dx

d =

2v

dx

dvu

dx

duv

8. ถา )(ufy และ )(xgu จะได

dx

du

du

dy

dx

dy

6. ความชนของเสนโคง )(xfy ทจด ),( ba คอ )(af หรอ dx

dy

7. ฟงกชนเพมและฟงกชนลด : ก าหนดให f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวง (a , b) จะไดวา f เปนฟงกชนเพม เมอ f'(x) > 0 นนคอ ถา x เพมแลว y เพม เราจะเรยกวา ฟงกชนเพม


– 20 –

f เปนฟงกชนลด เมอ f'(x) < 0 นนคอ ถา x เพมแลว y ลด เราจะเรยกวา ฟงกชนลด

8. จดสงสดสมพทธ จดต าสดสมพทธ จดสงสดสมบรณและจดต าสดสมบรณ

ทฤษฏบท : ก าหนดให f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวง (a , b) ใดๆ และ c เปนคาวกฤตของ f ซง f'(c) = 0 พบวา 1. ถา f ˝(c) > 0 แลว f(c) เปนคาต าสดสมพทธ

2. ถา f ˝(c) < 0 แลว f(c) เปนคาสงสดสมพทธ

9. ปรพนธ (Integrate) ,ใชสญลกษณ F(x) หรอ dxxf )(

นยาม : ฟงกชน F เปนปฎยานพนธของ f เมอ F′(x) = f (x) ส าหรบทกคาของ x ทอยในโดเมนของ f 10. สตรทใชหาปฏยานพนธของฟงกชน : เมอ k และ c เปนคาคงตว

1. kdx = ckx 2. dxxn = c

n

xn

1

1

เมอ 1n

3. dxxkf )( = dxxfk )( 4. dxxgxf )]()([ = dxxf )( dxxg )(

11. อนทเกรตจ ากดเขต : เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a , b] และถา F เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a , b] โดยท

F′(x) = f (x) แลว dxxf

b

a

)( = )()()( aFbFxFb

a

12. พนททปดลอมดวยเสนโคง นยาม : เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a , b] และ A เปนพนททปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก x = a ถง x = b จะไดวา

12.1 ถา f (x) > 0 ส าหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a , b] แลว A จะเปนพนทเหนอแกน x และ A = dxxf

b

a

)(

12.2 ถา f (x) < 0 ส าหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a , b] แลว A จะเปนพนทใตแกน x และ A = – dxxf

b

a

)(

ขอคณตคดส าเรจดวยเหตผล หากผอนปรนตามอารมณเปนลมเหลว

ตา จองมองแผนพน กระดานด า ด วธครท า จดไว ห ผงสดบรบส า- เนยงอรรถ ฟง พจนก าหนดให ถองแทแลเหน นง แชเยนเชาอย ท าไม พนจ นกตรกไป จวบแจง คณต ศาสตรมาตรยากไข ไมสด คดหา

แน แนววดเหวยงแวง ถกเปาเขาวน

Documents

kckaiiii.files.wordpress.com · สรุปสูตรคณิตศาสตร์ PAT1 Pinnacle 0–2251–8326 โดยอาจารย์POP – 1 – สรุปสูตร