คณิตศาสตร์ 5 - satreephuket.ac.th · ค32102 คณิตศาสตร์4 ม.5 ภาคเรียนที่ 2 ครูเณริศา พรหมวิลัย

ค32102 คณตศาสตร4 ม.5 ภาคเรยนท 2 ครเณรศา พรหมวลย =======================================================================================

0

คณตศาสตร4

ค32102 ชนมธยมศกษาป�ท 5 ภาคเรยนท 2 ป�การศกษา 2561

ชอ........................................ชน ม.5/.......เลขท…….

ครเณรศา พรหมวลย โรงเรยนสตรภเกต

========================================================================================


1

ในการแนะนากฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบในทนจะเรมจากตวอยางสองตวอยางเพอเชอมโยงไปสความ

เขาใจกฎเกณฑดงน

ตวอยางท 1 ปรชามเสอ 4 ตวแตกตางกน มกางเกง 3 ตวแตกตางกน จงหาวาปรชาจะมวธแตงกาย จากชดท

กาหนดใหไดกวธ วธทา ให ส1, ส2, ส3, ส4 แทน เสอตวทหนงถงเสอตวทส

ก1, ก2, ก3 แทน กางเกงตวทหนงถงเสอตวทสาม

อาจใชแผนภาพตนไมแสดงการจบคเสอและกางเกง ดงน

สามารถจบคเสอและกางเกง ดงน

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จะสงเกตไดวา สามารถหาจานวนวธแตงกายจากชดทกาหนดใหไดโดยการคณ คอ นาจานวนชดของเสอคณจานวน

ชดของกางเกง จะได ................... วธ

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

========================================================================================


2

ถาสามารถทางานอยางแรกวธตางๆ ได n1 วธ และแตละวธของการทางานอยางแรกสามารถทางานอยางทสองวธตางๆ ได n2 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดทจะเลอกทางานอยางทหนงตามดวยการทางานอยางทสอง สามารถทาวธตางๆ ได n1 n2 วธ

กฎขอท 1

ตวอยางท 2 ในการเลอกรบประทานอาหารประเภทละหนงอยาง จากอาหารสามประเภท คอมแกงอย 2

อยาง มตมจดอย 3 อยาง และมขนมหวานอย 2 อยาง จะมวธเลอก รบประทานไดทงหมดกวธ วธทา ให ก1, ก2 แทน แกงอยางทหนงและอยางทสองตามลาดบ จ1, จ2, จ3 แทน ตมจดอยางทหนงถงอยางทสามตามลาดบ ข1, ข2 แทน ขนมอยางทหนงและอยางทสองตามลาดบ วธเลอกรบประทานอาหารประเภทละหนงอยาง พจารณาไดจากแผนภาพตนไม ดงน ซงจะได 12 วธ คอ ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. วธเลอกทงหมดพจารณาไดจากการทางานสามงาน คอ 1) มวธเลอกแกงได 2 วธ 2) แตละวธของการเลอกแกงจะมวธเลอกตมจดได ……………. วธ 3) แตละวธของการเลอกแกงและเลอกตมจดจะมวธเลอกขนมหวานได ……………วธ ดงนน จะมวธเลอกทงหมด เป�น ……………….= ………… วธ

========================================================================================


3

ลองทาด

1. ถามวธเดนทางจากปราจนบรไปกรงเทพมหานครได 3 วธ และมวธเดนทางจากกรงเทพมหานครไป

สมทรสาครได 4 วธ จะมวธเดนทางจากปราจนบร ผานกรงเทพมหานครไปสมทรสาครไดทงหมดกวธ

(เขยนแผนภาพตนไม)

2. มดนสอแตกตางกน 3 แทง ไมบรรทดแตกตางกน 4 อน และสมดแตกตางกน 5 เลม ถาตองการเลอก

ดนสอ ไมบรรทด และสมดอยางละ 1 เลม จะมวธเลอกตางๆ กน ไดกวธ (ใชกฎการนบ)

ถาสามารถทางานอยางแรกวธตางๆ ได n1 วธ แตละวธของการทางานอยางแรกสามารถทางานอยางท

สองวธตางๆ ได n2 วธ และแตละวธของการทางานอยางแรก และอยางทสองสามารถทางานอยางท

สามตางๆ กนได n3 วธ ... เปนเชนนถงการทางานอยางท k ซงสามารถทางานวธตางๆ กนได n

k วธ

ดงนน จานวนวธทงหมดทจะเลอกทางานอยางแรกตามดวยการทางานอยางทสอง ตามดวยการ

ทางานอยางทสาม ... จนถงการทางานอยางท k สามารถทาวธตางๆ ได n1 n

2 n

3 ...n

k วธ

กฎขอท 2

========================================================================================


4

ตวอยาง ในการทอดลกเตา 1 ลก 2 ครง (1) มกวธทผลรวมของแตมทขนทงสองลกนอยกวา 8 แตม (21 วธ) (2) มกวธทผลรวมของแตมทขนทงสองลกเป�นจานวนค (18 วธ)

.....................................................................................................................................................

แบบฝ�กหดโจทยพนฐาน …………………………………………………………………………………………………………………………………. 1. มเสนทางจากตาบล ก ไปตาบล ข อย 4 เสนทาง มเสนทางจากตาบล ข ไปตาบล ค อย 3 เสนทาง ถา

เดนทางจากตาบล ก ไปยงตาบล ค โดยผานตาบล ข จะมเสนทางการเดนทางแตกตางกนไดกวธ (12 วธ)

…

2. เพญศรมกระโปรง 4 ตว มเสออย 5 ตว และเขมขด 2 เสน จะมวธแตงตวแตกตางกนไดทงหมดกวธ

(40 วธ)

ในการทางานอยางหนงมวธการทางานได k แบบ แตละแบบทางานเสรจโดยไมตอเนองกบแบบอน

แยกกรณ

========================================================================================


5

3. มเรอขามฟากระหวางทาน�าราษฎรบรณะและทาน�าสะพานสงอย 8 ลา ถาสมนกตองการขามฟากและกลบระหวางทาน�าราษฎรบรณะและทาน�าสะพานสง โดยขากลบจะไมขนซ�าเรอลาเดยวกบขาไป สมนกจะมวธใชเรอขามฟากไดทงหมดกวธ (56 วธ)

4. บรษทผลตรถยนตแหงหนง ตองการผลตรถยนต4 แบบ แตละแบบมสอย 5 ส ถาจะจดหองแสดงรถยนตทกแบบ

ทกสอยางละหนงคน จะตองจดทจอดรถทงหมดกท (20 ท)

.

. 6. อาหารป��นโตเสนอรายการอาหาร ดงน แกง 3 ชนดแตกตางกน ตมจด 4 ชนดแตกตางกน ผดผก 2 ชนดแตกตางกน และขนมหวาน 5 ชนดแตกตางกน ถาผสงอาหารป��นโตแตละ รายเลอกแกงไดหนงอยาง ตมจดหนงอยาง ผดผกหนงอยาง และขนมหวานหนงอยาง จะมวธเลอกรายการอาหารตางๆ ไดทงหมดกวธ

( 120 วธ)

========================================================================================


6

7. มหนงสอคณตศาสตรแตกตางกน 3 เลม วทยาศาสตรแตกตางกน 4 เลม ภาษาองกฤษ แตกตางกน 6 เลม

และภาษาไทยแตกตางกน 5 เลม ในการเลอกหนงสอวางบนโตะชดหนง ซงประกอบดวย คณตศาสตรหนง

เลม วทยาศาสตรหนงเลม ภาษาองกฤษหนงเลม และภาษาไทยหนงเลม จะมวธเลอกตางๆ กนไดทงหมดกวธ

(360 วธ)

8. มวธทจดคน 8 คนใหนงเกาอทวางอยเป�นแถวจานวน 4 ตว ไดกวธ โดยในแตละวธจะมคนไมไดนงสคน

(1,680 วธ)

========================================================================================


7

1 สถาบนทดสอบความพรอมเพอเขาเรยนตอในมหาวทยาลยไดกาหนดรหสของ นกศกษาดวยอกษรภาษาไทย 1 ตว และตามดวยตวเลขสตว สถาบนจะมวธกาหนดรหสของผเขาสอบไดแตกตางกนทงหมดกวธ ถา

1) ไมมขอกาหนดใดๆ เพมเตม 2) หามออกบตรทตวเลขเป�นศนยพรอมกนทงสหลก วธทา 1) ไมมขอกาหนดใดๆ เพมเตม ดงนนการจดรหสจะเหมอนกบการทางาน 5 ขนตอน ขนทหนง มวธเลอกอกษรภาษาไทยได ………….. วธ ขนทสองถงขนทหา มวธเลอกตวเลขได ขนตอนละ …………… วธ ดงนน จะออกรหสไดทงหมด …………………………….. = ………………. วธ 2) กรณทออกบตรทตวเลขเป�นศนยพรอมกนทงสหลกมวธออกบตรได………………… = …………. วธ ดงนน กรณทออกบตรทตวเลขไมเป�นศนยพรอมกนทงสหลกจะมวธออกบตรได …………………..…………………. วธ 2 สถาบนทดสอบศกยภาพทางภาษาองกฤษของสถาบนแหงหนงมวธกาหนดรหสประจาตวของผเขาสอบดวยอกษรภาษาองกฤษ 2 ตว และตามดวยตวเลขอก 4 ตว สถาบนจะมวธกาหนดรหสของผเขาเรยนไดแตกตางกนทงหมดกวธ ถา

1. ไมมขอกาหนดใดๆ เพมเตม (6,760,000 วธ) 2. หามออกบตรทตวเลขเป�นศนยพรอมกนทงสหลก (6,759,324 วธ)

โจทยประเภทตาง ๆ

========================================================================================


8

3. ถาในการกาหนดเลขทะเบยนรถยนตจะตองใชพยญชนะนาหนา 2 ตว (ซ�ากนได) จากพยญชนะทงหมด 44 ตว และกาหนดใหมตวเลขไมเกน 4 หลก ถากาหนดปายทะเบยนเป�นสแบบดงน

1) มตวเลข 1 หลก (จาก 1 ถง 9) (17,424 ปาย) 2) มตวเลข 2 หลก (จาก 10 ถง 99) (174,240 ปาย) 3) มตวเลข 3 หลก (จาก 100 ถง 999) (1,742,400 ปาย) 4) มตวเลข 4 หลก (จาก 1000 ถง 9999) (17,424,000 ปาย) อยากทราบวา จะออกปายทะเบยนรถยนตไดแบบละกปาย

วธทา

4. บรษทแหงหนง กาหนดใหมรหสประจาตวพนกงาน ซงประกอบดวยตวอกษรภาษองกฤษ 1 ตว และเลขโดด

3 ตว ตวอยางเชน A-123 อยากทราบวารหสประจาตวของพนกงานในบรษทนจะมไดทงหมดกรหส ถารหส

ประจาตวพนกงานตองไมมเลขโดดทซ�ากน (18,720 วธ)

วธทา

5. จะออกหมายเลขโทรศพททใชตวเลข 9 ตว เมอหมายเลขตวทหนงเป�น 0 และหมายเลขตวทสองเป�นตวเลข

1 และตามดวยตวเลข 7 หลกไดกวธถา

1) ตวเลขทเหลอไมเป�นศนยพรอมกนทงเจดตว (9,999,999 วธ)

2) ตวเลขทเหลอไมใชตวเลขซ�า (604,800 วธ)

========================================================================================


9

6. หมายเลขโทรศพทซงประกอบดวยเลขโดด 9 ตว และหาตวแรกเป�น 02392 มไดทงหมดกหมายเลข (10,000 หมายเลข) 7. เดมหมายเลขทะเบยนรถยนตในกรงเทพประกอบดวยตวอกษรยอชอ จงหวด พยญชนะอก 1 ตว และเลขโดดตามหลงอก 4 ตว เชน กท.อ. 0278 จงหาวา กองทะเบยนจะใชระบบนออกทะเบยนใหรถยนตไดทงหมดกคน (สมมตวาใชพยญชนะครบทกตว) และถากองทะเบยนรถเปลยนระบบออกทะเบยนรถยนตโดยใชตวเลข 1 ถง 9 นาหนาพยญชนะ 1 ตว และตามดวยเลขโดด 4 ตว เชน 5ค-5985 โดยวธนกองทะเบยนจะออกหมายเลขทะเบยนรถยนตเพมขนจากเดมเทาไรโดยแตละแบบตองไมเป�น 0 พรอมกนหมด

(3,519,648 ทะเบยน)

========================================================================================


10

1 จานวนคบวกซงมสามหลกมทงหมดกจานวน วธทา เลขโดดทใชในการเขยนตวเลขแสดงจานวนทตองการในหลกทงสามตางกเป�นสมาชกของเซต S โดยท S = {……………………………………………………………….} การเลอกเลขโดดมาใชเขยนในหลกรอยเป�นได ............. วธ เนองจาก................................................. .................................................................................................................................................................... การเลอกเลขโดดในหลกสบเป�นได...............วธ คอจะเป�นสมาชกตวใดตวหนงของ S กได การเลอกเลขโดดมาเขยนในหลกหนวยเป�นได ..................วธ เนองจาก.................................. .......................................................................................................................................................... ดงนน จานวนคทมสามหลกมทงหมด..........................................................จานวน 2. จงหาวา 1) จานวนเตมบวกซงมหกหลกมทงหมดกจานวน (900,000 วธ) 2) จานวนเตมบวกทเป�นจานวนคซงมหกหลกมกจานวน (450,000 วธ)

3) จานวนเตมบวกซงมหกหลก และหลกหนวยเป�น 9 มทงหมดกจานวน (90,000 วธ)

3. จงหาวา จะมวธเขยนตวเลขแสดงจานวนตอไปนไดกวธโดยใช 1) เลขโดด 2 ถง 9 เขยนตวเลขแสดงจานวนคทมสามหลก (256 วธ) 2) เลขโดด 1 ถง 8 เขยนตวเลขแสดงจานวนคทมสหลก (2,048 วธ)

========================================================================================


11

4. มจานวนนบทมากกวา 400 อยกจานวนทเป�นจานวนไมเกนสหลกและแตละหลกใชเลขโดด 2, 3, 4 หรอ5 โดยไมมเลขโดดซ�า (36 จานวน)

5. จะสรางจานวนสามหลกจากเลขโดด 0, 1 , 2, 5, 7, 9 โดยทจานวนนนหารดวย 5 ลงตวไดทงหมดกจานวน

ถา

(1) ใชเลขโดดซ�ากนได (60 จานวน)

(2) หามใชเลขโดดซ�ากน (36 จานวน)

6. ถาตองการสรางจานวนเตมทมคาอยระหวาง 2,000 และ 4,000 โดยสรางจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 จะสรางไดทงหมดกจานวน ถา

(1) เลขแตละหลกซ�ากนได (431 จานวน)

(2) เลขแตละหลกไมซ�ากน (120 วธ)

(3) เป�นจานวนค (216 วธ)

========================================================================================


12

ทาความเขาใจ เกยวกบ การ โยน ทอด ทอย เหรยญหรอลกเตา แมวาจะเป�นการโยนออกจากมอพรอมกน แตผลลพธทแสดงออกมาหลงจากโยนตกถงพนไมพรอมกน (ไมเหมอนการหยบ หยบพรอมกนจะไมรลาดบกอนหลง) เชน (1) โยนลกเตา 1 ลก 2 ครง ไดผล (1, 2) หมายถงผลของครงท 1 และครงท 2 (2) โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง ไดผล (1,2) หมายถงผลของลกท 1 และ ลกท 2

1. ถาโยนลกเตาสองลก เราจะใชคอนดบแสดงหนาทแตมปรากฏของลกเตาลกทหนง และลกเตาลกทสอง เชน

(4, 2) บอกใหทราบวาลกเตาลกทหนงขนหนา 4 แตม และลกเตาลกทสอง ขนหนา 2 แตม ดงนนเมอโยน

ลกเตาสองลก จะมคอนดบแสดงหนาทปรากฏตางๆ กนทงหมดกวธ อะไรบาง

(36 คอนดบ)

2. ในการทอดลกเตาสองลกพรอมๆ กน จงหาจานวนวธทจะไดเหตการณดงน

1) ผลรวมของแตมเทากบ 8 (5 วธ)

2) ผลรวมของแตมมากกวา 7 (15 วธ)

========================================================================================


13

3. ในการทอดลกเตาสองพรอม ๆ กน จงหาจานวนวธจะไดผลลพธเหลาน 1) จานวนแตมตรงกน (6 วธ)

2) ผลรวมของแตมเทากบสบ (3 วธ) 3) จานวนแตมตางกน (30 วธ)

4) ผลรวมของแตมนอยกวาสบ (30 วธ) 3. จงหาจานวนวธทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาสามลกมากกวา 4 เมอทอดลกเตาสามลกพรอมกน

(212 วธ)

========================================================================================


14

1. โยนเหรยญ 3 เหรยญ 1 ครง จงหา 1) จานวนวธทงหมด (8) 2) จานวนวธทเหรยญขนหวมากกวากอย (4) 3) จานวนวธทขนหนาเดยวกนหมดทง 3 เหรยญ (2) 2. โยนเหรยญ 1 เหรยญและตามดวยลกเตา 2 ลก จงหา 1) จานวนวธทงหมด

2) จานวนวธทเหรยญขนหว และลกเตาทง 2 ลกขนแตมมากกวา 5 3) จานวนวธทเหรยญขนกอย และผลบวกของลกเตานอยกวา 5

ใช H หรอ ห แทน หว T หรอ ก แทน กอย

========================================================================================


15

1. หยบไพจากสารบขนมา 1 ใบ 2 ครงโดยไมใสคน มกวธท 1) ไดไพหนาโพดาทง 2 ใบ (156) 2) ไดไพสเดยวกน (1300) 2. หยบไพ 1 ใบจากสารบ จงหาวธทหยบไดไพโพแดง หรอ แตม 5 (16 วธ)

มลกบอลสแดง ฟา เขยว อยางละ 1 ลกอยในถง จงหาจานวนวธหยบลกบอลดงน 1. หยบครงละ 2 ลก พรอมกน ( 3 วธ) 2. หยบครงละ 1 ลก 2 ครงโดยใสคน (9 วธ) 3. หยบครงละ 1 ลก 2 ครงโดยไมใสคน (6 วธ)

========================================================================================


16

”

1. มถนนจากโรงเรยนสตรภเกต ถงหางเซนทรล 3 สาย และมถนนจากหางเซนทรลถงหางจงซลอน 4 สาย ถาจะขบรถไปและกลบจากโรงเรยนสตรภเกตถงหางจงซลอน จะใชเสนทางทตางกนไดทงหมดกวธ

(144 วธ)

2. จากขอ 1. ถาเดนทางไปและกลบ โดยทขากลบไมใชวธเดยวกบขาไป ไดกวธ (132 วธ)

”

1 .สนามกฬาแหงหนงมประตอย 4 ประต ถาจะเขาประตหนงแลวออกอกประตหนงไมใหซ�ากบประตทเขามา จะมวธเขาและออกจากสนามกฬาแหงนไดทงหมดกวธ (12 วธ) 2. สวนสาธารณะแหงหนงมประตเขาออก 5 ประต นาย ก,ข และ ค จะเขาและออกจากสวนสาธารณะไดกวธถา

(1) ทงสามคนจะเขาออกประตใดกได ( 56 วธ) (2) แตละคนเขาประตใดจะออกประตนนไมได ( 53x43วธ)

(3) ตอนออกไมซ�ากบตอนกบตอนเขา และทงสามจะไมใชวธเดยวกน (6,840 วธ)

========================================================================================


17

1. ตองการนาตวอกษร จากคาวา IPHONE ครงละ 3 ตวไมซ�ากน มาสรางคาใหม โดยไมคานงถงความหมาย และขนตนดวยสระ จะสรางไดกคา (60 คา)

2. ตองการนาตวอกษร จากคาวา ELENENTARY ครงละ 4 ตวไมซ�ากน มาสรางคาใหม โดยไมคานงถงความหมาย และขนตนดวยสระ จะสรางไดกคา ถาคาทสรางขนมาขนตนดวยสระและลงทายดวยพยญชนะ

(360 คา) 3. มหนงสอวชาคณตศาสตรแตกตางกน 3 เลม ภาษาองกฤษแตกตางกน 2 เลม ถานาหนงสอทงหมดขนเรยงบนชนหนงสอ โดยใหหนงสอวชาเดยวกนอยตดกนไดกวธ (24 วธ) 4. นานกเรยนชาย 3 คน นกเรยนหญง 2 คน มายนเรยงแถวหนากระดานไดกวธ ถานกเรยนชายยนสลบทกบนกเรยนหญง (12 วธ) 5. นานกเรยนชาย 3 คน นกเรยนหญง 3 คน มายนเรยงแถวหนากระดานไดกวธ ถานกเรยนชายยนสลบทกบนกเรยนหญง (72 วธ) 6. มลกเสอ 5 คน ตองจดแถวยนเรยงหนากระดานไดกวธถา 6.1) หวหนายนหวแถวเสมอ

========================================================================================


18

6.2) หวหนายนหวแถว รองหวหนายนทายแถว 6.3) หวหนายนรมแถว 7. ตองการคดพนกงาน 5 คน มาดารงตาแหนงหวหนา รองหวหนา และเลขาฯ ตาแหนงละ 1 คนไดกวธ (60 วธ) 8.นกทองเทยว 5 คน เชารถเกง 5 ทนง 1 คน จะมวธการนงไดกวธถา 2 ใน 5 คน ขบรถเป�น (48วธ)

รมแถวหมายถงหวแถวหรอทายแถวกได ตองคด 2 กรณคด 2

========================================================================================


19

1. มจดหมายทแตกตางกน 4 ฉบบ ตองการทงจดหมายทงหมดในตไปรษณย ซงมทงหมด 5 ต จะมจานวนวธทงจดหมายกวธ ถา

(1) ไมมเงอนไขเพมเตม (625 วธ) (2) จดหมายแตละฉบบตองไมซ�าตกน (120 วธ) (3) มจดหมายอยางนอย 2 ฉบบทงในตเดยวกน (505 วธ) (4) ทงตเดยวกนทง 4 ฉบบไมได (620 วธ)

========================================================================================


20

2. มหนงสอทแตกตางกน 4 เลม ตองการนาหนงสอใสกระเปาหนงสอ 5 ใบทแตกตางกน อยากทราบวา จะมวธการนาหนงสอทง 4 เลม ใสกระเปาหนงสอไดกวธ ถา

(1) หนงสอแตละเลมจะใสในกระเปาใดกได (54 วธ) (2) กระเปาแตละใบใสหนงสอไดไมเกน 1 เลม (120 วธ) (3) หนงสอทง 5 เลมอยในกระเปาใบเดยวกน ( 4 วธ) (4)*** มประเปาอย 1 ใบทใสหนงสอไดเพยงเลมเดยว (44 +44 วธ)

========================================================================================


21

4. ญาญามเพอน 5 คน ตองการเชญเพอนมารวมรบประทานอาหารไดกวธถา (1) ตองเชญเพอนอยางนอย 1 คน (2) ตองเชญเพอนอยางนอย 1 คน และจะเชญภรรยาของเพอนมาดวยกได (สมมตเพอนทกคนมภรรยาและภรรยาจะมาไดกตอเมอสามตองมาดวย) 5.นกฝงหนงม 10 ตว บนไปเกาะกงไม 7 กงไดกวธ ถา

(1) ไมมเงอนไขเพมเตม (2) ถานกหวหนาฝงเกาะกงไมใด นกตวอนจะไมเกาะกงไมนน

========================================================================================


22

6. ในวนครสตมาส ครเตรยมของขวญไว 3 ชน เพอจบฉลากใหนกเรยน 20 คนไดกวธถา (1) นกเรยนมสทธไดของขวญเกน 1 ชน (203 วธ)

(2) นกแตละคนมสทธรบรางวลไมเกน 1 ชน (6,840 วธ)

7. ถาตองการเลอกผลไม 3 ชนดจาก 5 ชนด ไดแก สม ชมพ มงคด มะมวงและนอยหนา โดยมเงอนไขวาสมและชมพ ถาถกเลอกจะตองเลอกทง 2 ชนด จะเลอกไดทงหมดกวธ (4 วธ)

ในการเลนเกมชนดหนงระหวาง ก กบ ข โดยมเงอนไขวา ถาผใดชนะกอน 2 เกมตดตอกน จะเป�นผชนะ หรอผใดชนะ 3 เกมกอน กจะเป�นผชนะ อยากทราบวา มวธการเลนไดกวธ (10 วธ)

========================================================================================


23

ความนาจะเป�น เป�นการหาวาโอกาสทเหตการณใด จะเกดขนมมากนอยเพยงใด ซงกอนหาความนาจะเป�นของเหตการณใด ผเรยนตองเขาใจความหมายของการทดลองสม แซมเป�ลสเปซ เหตการณ กอน

การทดลองสม คอ การทดลองซงทราบวาผลลพธอาจจะเป�นอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกไดอยางถกตองแนนอนวาแตละครงททดลองผลทเกดขนจะเป�นอะไรในบรรดาผลทอาจเป�นไดเหลานน ตวอยาง การทดลองสม 1. การแขงขนฟตบอลของทมโรงเรยนพานพทยาคมทจะทาการแขงขนกบทมโรงเรยนแมลาววทยาคมในสปดาหหนา ซงผลทอาจเกดขนทงหมดไดแก ชนะ แพ เสมอ (เรารวาผลทอาจเกดขนม 3 แบบน แตไมรวาถาลงแขงขนกนจรง ๆ ผลจะเป�นอยางไร) 2. การทอดลกเตาลกเดยวหนงครง ถอวาเป�นการทดลองสมเพราะสามารถบอกไดวาผลลพธทอาจเกดขนคอแตม 1, 2, 3 , 4 , 5 , 6 3. การโยนเหรยญ 2 เหรยญพรอมกน เป�นการทดลองสม เพราะสามารถบอกไดวาผลลพธทอาจเกดขนคอ หวหว , กอยกอย , หวกอย , กอยหว

ปรภมตวอยาง หรอ แซมเป�ลสเปซ (Sample space)

ตวอยาง แซมเป�ลสเปซ 1.ในการทอดลกเตาหนงลก สนใจหนาทออก แซมเป�ลสเปซ คอ S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 2.ในการทอดลกเตาสองลกพรอมกนสนใจหนาทออก แซมเป�ลสเปซ คอ S = {(1,1), (1,2) , (1,3), … , (6,4) , (6,5) , (6,6) } 3. เพศของบตรครอบครวทมบตร 2 คนเรยงตามลาดบการเกดกอนหลง แซมเป�ลสเปซ คอ S ={ชายชาย , ชายหญง , หญงชาย ,หญงหญง }

ความนาจะเป�น

การทดลองสม

ปรภมตวอยาง

บทนยาม แซมเป�ลสเปซ คอ เซตทมสมาชกเป�นผลลพธทอาจเป�นไปไดทงหมดของการทดลองสม แตละสมาชกของปรภมตวอยางหรอผลการทดลอง เรยกวา จดตวอยาง (sample point หรอ outcome)

========================================================================================


24

1. ในการตรวจสภาพของสนคาชนดหนงซงผลตจากเครองจกรโดยการหยบขนมาตรวจ 3 ชน หยบทละชนโดยไมเจาะจงถอวาเป�นการทดลองสม ถาผลลพธทสนใจคอสภาพของสนคาทง 3 ชน ทหยบขนมาวาชารดหรอไมชารด ใหสนคาทชารดแทนดวย “ช” และสนคาทไมชารดแทนดวย “ม” แซมเป�ลสเปซจะเป�นเซตซงประกอบดวยสมาชกดงน S1 = ……………………………………………………………………………….

แตถาผลลพธทสนใจคอ จานวนชนทชารดโดยไมสนใจวาเรยงลาดบอยางไร แซมเป�ลสเปซ คอ S2 = ………………………………………………………………………………

2. จงเขยนแซมเป�ลสเปซของการทดลองสมในแตละขอตอไปน

(1) ทมฟตบอล ก ลงแขงกบทมฟตบอล ข และสนใจผลการแขงขนของทม ก S1 = …………………………………………………………………

(2) โยนเหรยญหนงอนสครงและสนใจจานวนครงทขนหว S2 = …………………………………………………………………

(3) ผลตหลอดไฟฟา 5 หลอด และสนใจจานวนหลอดทเสยเมอผลตครบ 24 ชวโมง S3 = …………………………………………………………………

(4) หยบลกป�งปองหนงลกออกมาจากกลองซงมลกป�งปองสขาว สแดง และสนใจวาไดลกป�งปองสใด S4 = …………………………………………………………………

ในการทดลองสมใด ๆ แซมเป�ลสเปซเป�นเซตของผลลพธทงหมดทอาจเกดขนเกดขน แตเหตการณเป�นเซตของผลลพธทเป�นไปตามเงอนไขทสนใจ ดงนนเซตของเหตการณอาจมจานวนสมาชกมากเทาใดกไดแตจะไมเกนจานวนสมาชกของแซมเป�ลสเปซ

เหตการณ ( Events )

เหตการณ คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ

========================================================================================


25

1.ในการทอดลกเตาสองลกพรอมกนแซมเป�ลสเปซ คอ S = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , …(6,4), (6,5 , (6,6)} ถา E1 เป�นเหตการณทแตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนคทงสองจานวนแลว E1 = ………………………………………………………………………………………………

ถา E2 เป�นเหตการณทผลรวมบนหนาลกเตาเป�น 10 แลว E2 = ………………………………………………………………………………………………

ถา E3 เป�นเหตการณทแตมบนหนาลกเตาตางกน 1แลว E3 = ………………………………………………………………………………………………

ถา E4 เป�นเหตการณทแตมบนหนาลกเตาตางกน 3 แลว E4 = ………………………………………………………………………………………………

ถา E5 เป�นเหตการณทแตมบนหนาลกเตารวมกนได 8แลว E5 =………………………………………………………………………………………………..

ถา E6 เป�นเหตการณทแตมบนหนาลกเตาตางกน 10 แลว E6 = ……………………………………………………………………………………………… 2. ในการทอดลกเตาลกเดยวหนงครง ถาผลลพธทสนใจคอแตมทได แซมเป�ลสเปซ คอ S = ...................................................................................{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ถา E1 เป�นเหตการณทไดแตมซงหารดวย 3 ลงตว จะได E1 = ………………………{ 3, 6 } ถา E2 เป�นเหตการณทไดแตมต�ากวา 4 จะได E2 = ……………………….{ 1, 2, 3 } 3. ในการชงน�าหนกนกเรยนแตละคนในชน ถาแทนเซตของผลของการชงน�าหนกซงมหนวยเป�นกโลกรมดวย แซมเป�ลสเปซ S S = { w | w > 0 } ( น�าหนกของนกเรยนเป�นจานวนจรงทมากกวา 0 เสมอ ) เหตการณทสนใจอาจเป�นเหตการณทน�าหนกของนกเรยนแตละคนในชนนนเกน 60 กโลกรม และถาแทนเหตการณนดวย E1 จะได E1 = ………………………………………………{ W | W > 60 } แตถาเหตการณทสนใจคอน�าหนกของนกเรยนแตละคนในชนนนทหนกตงแต 50 กโลกรม ถง 60 กโลกรม และแทนเหตการณนดวย E2 จะได E2 = ………………………………………………{ W | 50 ≤ W ≤ 60 }

========================================================================================


26

ถา E1 และ E2 เป�นเหตการณสองเหตการณแลว ยเนยนของเหตการณ E1 และ E2 คอเหตการณซงประกอบดวยสมาชกของเหตการณ E1 หรอของเหตการณ E2 หรอของทงสองเหตการณ เขยนแทน ยเนยนของเหตการณ E1 และ E2 ดวยสญลกษณ E1 ∪ E2 ตวอยางท 1 ในการทอดลกเตาพรอมกนสองลก ถา E1 เป�นเหตการณทไดผลรวมของแตมเป�น 10 และ E2 เป�น

เหตการณทไดผลรวมของแตมหารดวย 5 ลงตว ถาผลลพธทสนใจคอ ผลรวมของแตมบนลกเตาทงสองจงหายเนยนของเหตการณ E1 และ E2

วธทา แซมเป�ลสเปซซงเป�นเซตทประกอบดวยผลรวมของแตมบนลกเตาทงสองทอาจเป�นไปไดทงหมด คอ S = ……………………………………………………………..{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } ดงนน E1 = ……………………………{ 10 } E2 = ……………………………{ 5, 10 } ดงนน E1∪ E2 = …………………{5,10}ซงกคอเหตการณทไดผลรวมของแตมเป�น 10 หรอผลรวมของแตมหารดวย 5 ลงตว =======================================================================

ถา E1 และ E2 เป�นเหตการณสองเหตการณณแลว อนเตอรเซกชนของเหตการณ E1 และ E2 คอเหตการณซงประกอบดวยสมาชกทอยทงในเหตการณ E1 และเหตการณ E2 เขยนแทน อนเตอรเซกชนของเหตการณ E1 และ E2 ดวยสญลกษณ E1 ∩ E2 ตวอยางท 2 อนเตอรเซกชนของเหตการณ E1 และ E2 ในตวอยางท 1 คอเหตการณทไดผลรวมของแตมเป�น 10

และหารดวย 5 ลงตว ดงนน E1 ∩ E2 = ………………………………{ 10 } ตวอยางท 3 ในการรบสมครเขาทางานของหนวยงานแหงหนง ถาให E1 เป�นเหตการณทผสมครจะตองมอายตงแต 20 ป�ขนไป และ E2 เป�นเหตการณทผสมครจะตองเป�นชายแลว

E1 ∩ E2 คอเหตการณทผสมครจะตองเป�นชายทมอายตงแต 20 ป�ขนไป =======================================================================

========================================================================================


27

ถา E1 และ E2 เป�นเหตการณสองเหตการณ และ E1 ∩ E2 = ∅ แลว จะเรยกเหตการณ E1 และ E2 วาเหตการณทไมเกดรวมกน ตวอยางท 4 ในการทอดลกเตาลกหนง ให E1 เป�นเหตการณทจะไดแตมเป�นจานวนค และ E2 เป�นเหตการณท

จะไดแตมเป�นจานวนค จะได E1 = ....................................{2,4,6}และ E2 = ………………………… { 1, 3, 5 } E1 ∩ E2 = ∅ ดงนน E1 และ E2 เป�นเหตการณทไมเกดรวมกน ตวอยางท 5 ในการหยบไพหนงใบจากไพทงสารบ ถา E1 เป�นเหตการณทไดโพแดง และ E2 เป�นเหตการณท

ไดดอกจก E1 และ E2 เป�นเหตการณทไมเกดรวมกน เพราะไพใบหนงจะเป�นทงโพแดงและดอกจกในขณะเดยวกนไมได =======================================================================

ถา S เป�นแซมเป�ลสเปซ และ E เป�นเหตการณทเป�นสบเซตของ S แลว คอมพลเมนตของเหตการณ E คอเหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยในแซมเป�ดสเปซ S แตไมอยในเหตการณ E เขยนแทนคอมพลเมนตของเหตการณ E ดวยสญลกษณ E′ ตวอยางท 6 คอมพลเมนตของเหตการณ E1 ในตวอยางท 5 คอ

1E′ = ……………………………………………………….{ โพดา, ดอกจก, ขาวหลามตด } ตวอยางท 8 ในการสอบวชาภาษาองกฤษซงมคะแนนเตม 10 คะแนน ถาพจารณาเฉพาะคะแนนซงเป�นจานวน

เตมเทานน แซมเป�ลสเปซ S คอ S = …………………………………………………………{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } ถาให E เป�นเหตการณทคะแนนของเดกชายกาธรเป�น 6 ขนไป กลาวคอ E = ………………………………………….…………….{ 6, 7, 8, 9, 10 } คอมพลเมนตของเหตการณ E คอ E′ = ………………………………………………………. { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } ======================================================================

========================================================================================


28

1. กลองใบหนงมลกบอลสแดง 2 ลก สขาว 2 ลก โดยทลกบอลทกลกแตกตางกน หยบลกบอลออกมา 2 ลก โดยการหยบมเงอนไขวาใหหยบทละ 1 ลก และใหคนลกแรกลงไปกอนทจะหยบลกทสอง จงหา (1) ปรภมตวอยาง S = ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (2) เหตการณทไดลกบอลทงสองลกเป�นสขาว E = ……………………………………………………………………………………….. 2. จากการทดลองโยนเหรยญหนงอน 3 ครง จงหา (1) ปรภมตวอยางของการโยนเหรยญและสนใจการขนหนาของเหรยญ S = …………………………………………………………………………………………………………………………….. (2) เหตการณทออกหวอยางนอยหนงครง E1 = ……………………………………………………………………………………….. (3) เหตการณทออกหวเพยงหนงครง E2 = ……………………………………………………………………………………….. (4) เหตการณทออกหวสามครง E3 = ……………………………………………………………………………………….. (5 เหตการณทไมออกหวเลย E4 = ……………………………………………………………………………………….. 3. การโยนเหรยญอนหนงกบทอดลกเตาลกหนง จงหา (1) เหตการณทเหรยญออกกอยและลกเตาขนแตมเป�นจานวนค E1 = ……………………………………………………………………………………….. (2) เหตการณทลกเตาขนแตมเป�นจานวนทหารดวย 3 ลงตว E2 = ……………………………………………………………………………………….. (3) เหตการณทเหรยญออกหว และลกเตาขนแตมเป�นจานวนค E3 = ……………………………………………………………………………………….. 4. โยนเหรยญ 3 เหรยญ หนงครง ผลลพธทสนใจคอ หนาของเหรยญทงสามเหรยญทขน จงหา (1) ปรภมตวอยาง S = ………………………………………………………………………………………………………………………….

(2) E1 ซงแทนดวยเหตการณทเหรยญทงสามเหรยญขนหนาเหมอนกน E1 = ………………………………………………………………………………………..

========================================================================================


29

(3) E2 ซงแทนดวยเหตการณทเหรยญขนหนาหวอยางนอย 2 เหรยญ E2 = ………………………………………………………………………………………..

(4) E3 ซงแทนดวยเหตการณทมเหรยญขนหนากอยมากกวาขนหนาหว E3 = ……………………………………………………………………………………….. (5) 21 EE ∪ =…………………………………………………………………………………………………

(6) 31 EE ∪ =…………………………………………………………………………………………………

(7) 32 EE ∪ =…………………………………………………………………………………………………

(8) 21 EE ∩ =…………………………………………………………………………………………………

(9) 31 EE ∩ =…………………………………………………………………………………………………

(10) 32 EE ∩ =…………………………………………………………………………………………………

(11) 1E′ =………………………………………………………………………………………………………….

(12) 2E′ =………………………………………………………………………………………………………….

(13) 3E′ =………………………………………………………………………………………………………….

========================================================================================


30

========================================================================================


31

ความนาจะเป�นของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E)

1.หาจานวนสมาชกในแซมเป�ลสเปซ ของการทดลองสมนน แทนดวย n(S) 2.หาจานวนสมาชกของเหตการณทสนใจ แทนดวย n (E) 3.หาความนาจะเป�นของเหตการณ จากสตรการคานวณคา P(E) ผเรยนจะพบวาตวเลขทแทนความนาจะเป�นของเหตการณจะมคามากสดเป�น 1 และมคานอยทสดเป�น 0 ถา P(E) = 1 หมายความวาเหตการณทสนใจจะเกดขนแนนอน และถา P(E) = 0 หมายความวาเหตการณทสนใจไมมโอกาสเกดขนเลย ถาเหตการณใดมโอกาสเกดขนมากความนาจะเป�นจะมคาเขาใกล 1 และเหตการณใดมโอกาสเกดขนนอยความนาจะเป�นจะมคาเขาใกล 0 ตวอยางเชน ในการทดลองลกเตาลกเดยวหนงครง ถาเหตการณทสนใจคอไดแตม 3 ในทนแซมเป�ล สเปซคอ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } สมาชกแตละตวของ S มโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กน สวนเหตการณทสนใจคอ

E = { 3 } โอกาสทเหตการณ E จะเกดขนเทากบ 6

1 ซงเป�นอตราสวนระหวางจานวนสมาชกของ E กบจานวน

สมาชกของ S พจารณาอกตวอยางหนง ในการทอดลกเตาสองลกหนงครง ถาเหตการณทสนใจคอไดผลรวมของแตมเป�น 5 แซมเป�ลสเปซเป�น 5 แซมเป�ลสเปซ S และเหตการณทสนใจ E อาจเขยนไดดงน S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } และ E = { 5 }

วธนไมถกตองเนองจากสมาชกแตละตวของ S ในทน มโอกาสเกดขนไดไมเทากน เชนการทจะไดผลรวมของแตมเป�น 2 มโอกาสทจะเกดขนไดวธเดยว คอ (1,1) แตการทจะไดผลรวมของแตมเป�น 4 มโอกาสทจะเกดขนไดถง 3 วธ คอ (1,3), (3,1), (2,2) จะเหนวาการทจะไดผลรวมของแตมเป�น 4 มโอกาสทจะเกดขนไดมากกวาการทจะไดผลรวมของแตมเป�น 2

)S(n)E(n)E(P =

========================================================================================


32

เพอใชในการคานวณหาโอกาสทจะไดผลรวมของแตมเป�น 5 จะตองพจารณาแซมเป�ลสเปซ S1 ทง 36 วธทอาจเป�นไปไดในการทอดลกเตาสองลก กลาวคอ S1 = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } ให E1 แทนเหตการณทจะไดผลรวมของแตมเป�น 5 จะได E1 = { (1, 4), (2, 3) (3, 2) (4, 1) } ดงนน โอกาสทจะไดผลรวมของแตมเป�น 5 คอ อตราสวนระหวางจานวนสมาชกใน E1 กบจานวน

สมาชกใน S1 ซงเทากบ 9

1

36

4=

ถาสมาชกของแซมเป�ลสเปซมโอกาสเกดขนเทา ๆ กนแลว เรยกอตราสวนระหวางจานวนสมาชกของเหตการณทสนใจกบจานวนสมาชกของแซมเป�ลสเปซ วา ความนาจะเป�นของเหตการณ อาจกลาวไดวา ความนาจะเป�น เป�นจานวนทบอกใหทราบวาเหตการณทเราสนใจมโอกาสเกดขนมากนอยเพยงใด กลาวคอ

ถา P (E) = 0 หมายความวาเหตการณ E ไมมโอกาสเกดขนเลย หรอเป�นไปไมไดทเหตการณ E จะเกดขน เชน ถา E เป�นเหตการณทไดเตม 7 จากการทอดลกเตาหนงลกครงเดยว ถา P (E) = 1 หมายความวาโอกาสทเหตการณ E จะเกดขนอยางแนนอน เชน ถา E เป�นเหตการณทไดแตมเป�นจานวนคหรอจานวนคจากการทอดลกเตาหนงลกครงเดยว

ถา P (E) = 2

1 หมายความวาโอกาสทเหตการณ E จะเกดหรอไมเกดมเทา ๆ กน เชน E เป�น

เหตการณทไดแตมคจากการทอดลกเตาหนงลกครงเดยว

ถา P (E1) = 5

1 และ P(E2) = 52 หมายความวาเหตการณ E2 มโอกาสทจะเกดขนมากกวาเหตการณ E1

จากทไดกลาวมาแลว อาจสรปสมบตทสาคญของความนาจะเป�นไดดงน

(1) ความนาจะเป�นของเหตการณ E ใด ๆ จะมคาตงแต 0 ถง 1 เสมอ นนคอ 0 ≤ P (E) ≤ 1 (2) ความนาจะเป�นของแซมเป�ลสเปซ S มคาเทากบ 1 นนคอ P (S) = 1 (3) ความนาจะเป�นของเหตการณทเป�นเซตวางมคาเทากบ 0 นนคอ P (∅) = 0

บทนยามทใหไวใชคานวณความนาจะเป�นของเหตการณจากแซมเป�ลสเปซทเป�นเซตจากดและสมาชกแต

ละตวมโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กน สวนการคานวณจากแซมเป�ลสเปซทเป�นเซตอนนตจะยงไมกลาวถงในชนน

วธทถกตองคอ

========================================================================================


33

ตวอยาง 1 ในการทอดลกเตาสองลกพรอมกน จงหาความนาจะเป�นท 1.แตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนเดยวกน 2.แตมบนหนาลกเตาตางกน 1 3.แตมบนหนาลกเตารวมกนได 10 4.แตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนคทงสองจานวน 5.แตมบนหนาลกเตารวมกนได 20 6.แตมบนหนาลกเตารวมกนไดคามากกวา 0 วธทา หาผลทอาจเกดขนทงหมดจากการทอดลกเตาสองลกไดดงน แซมเป�ลสเปซ คอ S = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } n(S) = ………………………………………………… 1. แตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนเดยวกน เหตการณทแตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนเดยวกน E1 =……………………………………………………. n(E1) = ……… ความนาจะเป�นททอดลกเตาสองลกแลวไดแตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนเดยวกน แทนดวย P(E1)

P(E1) = =)S(n)E(n 1 ………………………………………………………….

2.แตมบนหนาลกเตาตางกน 1 เหตการณทแตมบนหนาลกเตาตางกน 1 (E2) = …………………………………………………………n(E2)= ………… ความนาจะเป�นททอดลกเตาสองลกแลวไดแตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนตางกน 1 = P(E2)

P(E2) = =)S(n)E(n 2 …………………………………………………………………………………………………………

3.แตมบนหนาลกเตารวมกนได 10 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.แตมบนหนาลกเตาเป�นจานวนคทงสองจานวน ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

========================================================================================


34

5.แตมบนหนาลกเตารวมกนได 20 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6.แตมบนหนาลกเตารวมกนไดคามากกวา 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตวอยางท 2 กลองใบหนงบรรจลกบอลสแดง 2 ลก สขาว 3 ลก โดยทกลกตางกน ทาการหยบลกบอลออกมา 2 ลกพรอมกนจงหาความนาจะเป�นทจะหยบไดลกบอล

(1) เป�นสเดยวกน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… เป�นสตางกน ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เป�นสแดงทงสองลก ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………เป�นสแดง 1 ลก สฟา 1 ลก ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………… ตวอยางท3 ถงใบหนงบรรจลกบอลทมหมายเลขกากบตงแตหมายเลข 1 ถง 50 จงหาความนาจะเป�นท 1.หยบลกบอลขนมา 1 ลกแลวไดหมายเลขเป�นจานวนค …………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………… 2.หยบลกบอลขนมา 1 ลกแลวไดหมายเลขมากกวา 20 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.หยบลกบอลขนมา 1 ลกแลวไดหมายเลขทหารดวย 3 ลงตว ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

========================================================================================


35

4.หยบลกบอลขนมา 1 ลกแลวไดหมายเลขทเป�นจานวนเฉพาะ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………… 5.หยบลกบอลขนมา 1 ลกแลวไดหมายเลขทเป�นพหคณของ 8 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………… ตวอยางท 4 ในการซอสลากกนแบงรฐบาลทประกอบดวยเลข 6 หลก นายดาเลอกซอ หมายเลข 867532 จงหาความนาจะเป�นท 1. นายดาจะถกรางวลท 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. นายดาจะถกรางวลเลขทายสองตว ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3. จงหาความนาจะเป�นทนายดาจะถกรางวลเลขทายสามตว ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 4. จงหาความนาจะเป�นทนายดาจะถกรางวลทหา ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ตวอยางท 5 ถาสมครอบครวทมบตรสองคนมาครอบครวหนง โดยคานงถงลาดบของบตรคนท 1 และคนท 2 ถาสนใจเพศของบตร จงหาความนาจะเป�นของเหตการณทครอบครวนน

(1) มบตรคนแรกเป�นชาย บตรคนทสองเป�นหญง (2) มบตรเป�นชายอยางนอย 1 คน

========================================================================================


36

(3) ไมมบตรชายเลย (4) มบตรชาย 1 คน บตรหญง 1 คน (5) มบตรหญง 3 คน

ตการณทจะหยบไดลกแกวสขาว 1 ลก สแดง 1 ลก

========================================================================================


37

ลองคดด..??? 1. นาย ก ข ค เลนเกมทอดลกเตา 2 ลก 1ครง ซงกตกาคอ ถาลกเตาขนแตมคทงสองลก นาย ก ชนะ ถาลกเตาขนแตมคทงสองลก นาย ข ชนะ ถาลกเตาขนคและค หรอ แตมคและคอยางละลก นาย ค ชนะ ใครไดเปรยบทสด (นาย ค.ไดเปรยบทสด) 2. จงความนาจะเป�นของการชวนเพอน 5 คนไปเทยวเสมดนางช โดยจะตองมเพอนอยางนอย 1 คนไปดวย

(3231 )

3. ขอประเภท choices แตละขอม 3 ตวเลอกคอ ก, ข, ค จานวน 10 ขอและแตละขอมขอถกอยเพยงขอเดยว ถาเดกหญงเอเดาขอสอบทงหมด จงหาความนาจะเป�นทเดกหญงเอจะไดคะแนนเตม

( 1031 )

========================================================================================


38

4. เดกชายมดแดง และเพอนอก 4 คนยนเรยงแถวหนากระดาน จงหา

4.1 ความนาจะเป�นทเดกชายมดแดงยนหวแถว (51 )

4.2 ความนาจะเป�นทเดกชายมดแดงยนรม (2ขาง) (52 )

4.3 ความนาจะเป�นทเดกชายมดแดงยนตรงกลาง (51 )

========================================================================================


39

กฎขอท 1 ถา A และ B เป�นเหตการณใดๆ ทเป�นสบเซตของแซมเป�ลสเปซ S แลว P(A∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) กฎขอท 2 ถา A และ B เป�นเหตการณใดๆ ทไมเกดรวมกนแลว P(A∪ B) = P(A) + P(B) กฎขอท 3 ถา A เป�นเหตการณใดๆ ทเป�นสบเซตของแซมเป�ลสเปซ S แลว P( A′ ) = 1 - P(A) กฎขอท 4 ถา A และ B เป�นเหตการณใดๆ ทเป�นสบเซตของแซมเป�ลสเปซ S แลว P (A-B) = P(A) – P(A ∩ B) ตวอยางท 1 หมบานแหงหนงมปะชากรอาศยอย 200 ครอบครว มครอบครวทปลกขาว 100 ครอบครว ปลกขาวโพด 120 ครอบครว และปลกทงขาวและขาวโพด 40 ครอบครว จงหาความนาจะเป�นทครอบครวหนงในหมบานนนจะปลกขาวหรอขาวโพด วธทา ให 1E เป�นเซตของครอบครวทปลกขาว ให 2E เป�นเซตของครอบครวทปลกขาวโพด วธท 1 จากสงทกาหนดใหในโจทย เขยนแผนภาพแสดงจานวนสมาชกของแตละสวนของ 1E ∪ 2E ไดดงน

ดงนน ความนาจะเป�นทครอบครวหนงในหมบานนนจะปลกขาวหรอขาวโพดเทากบ .......................

========================================================================================


40

ตวอยางท 2 โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนชนมธยมศกษาป�ท 5 จานวน 80 คน นกเรยนแตละคนจะตองเรยนวชาฟ�สกส เคม หรอคณตศาสตรอยางนอยหนงวชา จากการนบจานวนนกเรยนทเลอกเรยนในแตละวชา ปรากฏวามนกเรยนทเลอกเรยนวชาฟ�สกส เคม หรอคณตศาสตรเป�นจานวน 50 ,40 และ 33 คน ตามลาดบ ในจานวนดงกลาวน มผทเลอกเรยนทงสามวชาอย 5 คน เลอกเรยนวชาคณตศาสตรอยางเดยว 10 คน เลอกเรยนวชาเคมอยางเดยว 12 คน และเลอกเรยนทงวชาเคม และวชาคณตศาสตร 13 คน จงหาความนาจะเป�นทนกเรยนคนหนงในชนนจะเรยนวชา (1) ฟ�สกสหรอเคม (0.875) (2) คณตศาสตรหรอฟ�สกส (0.850) (3) เคมหรอคณตศาสตร (0.750) วธทา ให

1E , 2E และ

3E เป�นเหตการณทนกเรยนคนหนงในชนนจะเรยนวชาฟ�สกส เคม และคณตศาสตร ตามลาดบ เขยนแผนภาพแสดงจานวนสมาชกไดดงรป

========================================================================================


41

1. เดกคนหนงมลกแกวขนาดเดยวกน 4 ลก อยในกระเปากางเกงเป�นสแดง 2 ลก สเขยวและ สเหลองอยางละ 1 ลก จงหาความนาจะเป�นทเดกคนนนลวงกระเปา หยบลกแกวขนมาหนงลก แลว (1) ไดลกแกวสแดงหรอลกแกวสเขยว (0.75) (2) ไมไดลกแกวสแดงหรอสเขยว (0.25) 2. ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน จงหา (1) ความนาจะเป�นของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน หรอ ผลรวมของแตมมากกวา 10

)92(

(2) ความนาจะเป�นของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน หรอ ผลรวมของแตมเทากบ 7 )31(

(3) ความนาจะเป�นของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาไมเหมอนกน )65(

(4) ความนาจะเป�นของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกนแตผลรวมของแตมไมมากกวา 10

)365(

========================================================================================


42

3. มสลาก 6 ใบ แตละใบเขยนกากบเลขโดดไว 1 ตวคอ 1, 2, 3, 4, 7, 8 (1) ถาสรางจานวนจากการหยบสลากมาทละ 1 ใบ 2 ครงโดยไมใสคน จงหาความนาจะเป�นทจานวนทสรางได

เป�นจานวนค (21 )

(2) ถาสรางจานวนจากการหยบสลากมาทละ 1 ใบ 2 ครง โดยหยบครงแรกแลวใสคน จงหาความนาจะเป�นท

จานวนทสรางไดมหลกหนวยเป�น 8 (61 )

4. มนกเรยนชาย 3 คน นกเรยนหญง 2 คน ยนเรยงหนากระดานถายรปจงหาความนาจะเป�นท

(1) นกเรยนชายยนสลบทกบนกเรยนหญง (101 )

(2) นกเรยนชายยนตดกน (103 )

(3) นกเรยนหญงยนตดกน (52 )

========================================================================================


43

5. ขอสอบชนดเตมเครองหมายถกผด จานวน 10 ขอ ถานกเรยนคนหนงเดาขอสอบทกขอ ความนาจะเป�นท

นกเรยนคนนทาขอสอบถกหมดเป�นเทาใด ( 1021 )

6. ในกลองใบหนงมบอล 3 ส คอ สมวง ฟา และเขยว จานวนลกแกวสมวงเทากบสฟา จานวนลกแกวสเขยวเป�น 2 เทาของสฟา หยบลกบอลมา 1 ลก จงหาความนาจะเป�นทจะไดลกบอลสมวง (0.25) 7. สมหยบสลาก 1 ใบจาก 10 ใบทกากบตวเลข 1 ถง 10 ไว ให E1 แทนเหตการณทหยบไดจานวนเฉพาะ E2 แทนเหตการณ ทหยบไดจานวนค จงหา (1) P(E1 ∪ E2) (0.6) (2) P(E1 ∩ E2) (0.3)

========================================================================================


44

1. กลองใบหนงมลกบอล 30 ลก เป�นลกบอลสแดง 10 ลก สเขยว 10 ลก และสเหลอง 10 ลก ถาหยบลกบอลครงละ 1 ลก 3 ครง โดยหยบแลวไมใสคน คงหาความนาจะเป�นทจะไดลกบอลสแดง 2 ลก และสเหลอง 1 ลก

ตามลาดบ (406

15 )

2. มคน 10 คนซงใน 10 คนน มปารมและภผาอยดวย ถาจดคน 10 คน นงเป�นวงกลมจงหาความนาจะเป�นท

ปารม และภผานงตดกน (9

2)

3. กลองใบหนงมบตร 5 ใบ ซงมหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 ถาหยบบตรจากกลองใบน 3 ใบพรอมกน จงหา

ความนาจะเป�นทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10 (51 )

4. นกเรยนชาย 4 คน นกเรยนหญง 4 คน ยนเรยงแถวหนากระดาน จงหาความนาจะเป�นทนกเรยนชายและ

นกเรยนหญงยนสลบกนคนตอคน (351 )

========================================================================================


45

5. กลองในหนงมลกแกวขนาดเดยวกน 13 ลก เป�นสแดง 6 ลก สขาว 4 ลก และสเหลอง 3 ลก โดยทลกแกวทกลกแตกตางกน ถาสมหยบลกแกวออกมา 3 ลก แลว จงหาความนาจะเป�นทจะไดลกแกวสตางกนทง 3 ลก

(14336 )

6. นกเรยนคนหนงมหนงสอคณตศาสตร 3 เลม หนงสอเคม 2 เลม และหนงสอฟ�สกส 1 เลม โดยทหนงสอทกเลมแตกตางกน ถานกเรยนคนนสมหยบหนงสอไปโรงเรยนอยางนอย 1 เลมแลว จงหาความนาจะเป�นท

1) ไดเฉพาะหนงสอคณตศาสตร (91 )

2) ไดเฉพาะหนงสอเคม (211 )

3) ไดเฉพาะหนงสอฟ�สกส (631 )

4) ไดหนงสอครบทกวชา (31 )

========================================================================================


46

7. ชายคนหนงมเสออย 5 ตวเป�นเสอสขาว 3 ตว สฟา 2 ตว และมกางเกงขายาว 4 ตว เป�นกางเกงสขาว 1 ตว สเทา 3 ตว ถาชายคนนแตงตวออกจากบานโดยไมเจาะจงแลว จงหาความนาจะเป�นทชายคนนจะสวมเสอและ

กางเกงสตางกน (2017 )

8. ตะกราใบหนงมสม มงคด และมะมวงรวมกน 10 ลก โดยทจานวนสมเป�น 2 เทาของจานวนมงคด และมมะมวงอย 1 ลก โดยทผลไมทกลกแตกตางกน ถาหยบผลไมอยางไมเจาะจงจากตะกราใบนจานวน 3 ลก จงหาความ

นาจะเป�นทจะหยบผลไมชนดละ 1 ลก (303 )

9. ถาความนาจะเป�นท นายธงชย จะสอบผานวชาคณตศาสตรและวชาภาษาองกฤษเป�น 0.6 และ 0.5 ตามลาดบ และความนาจะเป�นทผานอยางนอย 1 วชาเป�น 0.8 จงหาความนาจะเป�นทนายธงชยจะผานทงสองวชาน (0.3)

========================================================================================


47

10. มนกเรยนกลมหนงจานวน 120 คน ในจานวนนพบวา มนกเรยนทชอบเรยนวชาคณตศาสตร 60 คน มนกเรยนทชอบเรยนวชาภาษาองกฤษ 50 คน และมนกเรยนทชอบเรยนทงสองวชา 20 คน ถาสมเลอกนกเรยนจากกลมนมา 1 คน แลว จงหาความนาจะเป�นทนกเรยนคนทจะเลอกมาจะ 1) ชอบเรยนอยางนอย 1 วชา 2) ไมชอบเรยนทงสองวชา 3) ชอบเรยนวชาคณตศาสตร แตไมชอบเรยนวชาภาษาองกฤษ 4) ชอบเรยนอยางมาก 1 วชา

========================================================================================

Documents

คณิตศาสตร์ 5 - satreephuket.ac.th · ค32102 คณิตศาสตร์4 ม.5 ภาคเรียนที่ 2 ครูเณริศา พรหมวิลัย