คณิตศาสตร์ 5 - satreephuket.ac.th · ค32101 คณิตศาสตร์3 อัตราส่วนตรีโกณมิติ ครูเณริศา

ค32101 คณตศาสตร3 อตราสวนตรโกณมต ครเณรศา พรหมวลย ชอ.................................ชน ม.5/.......เลขท...........

=======================================================================================================

19

คณตศาสตร3

ค32101 ชนมธยมศกษาป�ท 5 ภาคเรยนท 1

ชอ........................................ชน ม.5/.......เลขท…….

ครเณรศา พรหมวลย

โรงเรยนสตรภเกต

==================================================================================================


=======================================================================================================

20

ความหมายของเลขยกกาลง

นยามเลขยกกาลง an หมายถง aaaa … a n ตว เมอ a เป�นจานวนใด ๆ และ n เป�นจานวนเตมบวก

เรยก an วาเลขยกกาลง ทม a เป�น ฐาน และ n เป�นเลขชกาลง เชน 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625

คณสมบตเลขยกกาลง เมอ a, b ≠ 0 และ m, n เป�นจานวนเตมทไมเทากบ 0 จะได 1. nmnm aaa +=⋅

ลองคดด 1. 53 22 × =…………………………………………………

2. 58xx − =…………………………………………………

3. )cab)(cba( 72262 =…………………………………………………

4. 3n41n2 xx ++ =…………………………………………………

2. nmn

ma

aa −=

ลองคดด 1. 53 22 ÷ =…………………………………………………

2. 5

8

xx− =…………………………………………………

3. =53

72262

ba)cab)(cba( …………………………………………………

4. 1n3

3n41n2

xxx−−

++

=…………………………………………………

==================================================================================================


=======================================================================================================

21

3. nn

a1a =−

ลองคดด 1. 12− =…………………………………………………………………

2. 551− =…………………………………………………………………

3. 23

532

zxyzyx −−−

=…………………………………………………………………

4. 1n3

3n41n2

zyx−−

−−−−

=……………………………………………………………………

4. mnnm a)a( =

ลองคดด 1. 53 )2( =…………………………………………………………………

2. 22 )x( =…………………………………………………………………

3. 2253

324

)z(y)x()y(y =…………………………………………………………………

4. 11n3

33n4

)z()y(−−−

−−

=…………………………………………………………………

5. nnn ba)ab( =

ลองคดด 1. 53 )32( × =…………………………………………………………………

2. 232 )yx( =…………………………………………………………………

3. 223

3234

)zy(x)yx()xy( =…………………………………………………………………

4. 11n3

33n41n2

)z()yx(

−−−

−−−

=…………………………………………………………………

6. n

nn

ba

ba

=

==================================================================================================


=======================================================================================================

22

ลองคดด 1. 53

52

=……………………………………………………………………

2. 2

2

2

yx

−

=………………………………………………………………

3. 3

223

323

)zy()yx(

=………………………………………………………………

4. 1

11n3

33n41n2

)x()xx(

−

−−−

−−−

=……………………………………………………………

7. 1a0 =

ลองคดด 1. 07 =……………………………………………………………………

2. 05 )xy( =…………………………………………………………………

3. 2

o

2

yx

−

=…………………………………………………………………

4. 3

203

023

)zy()yx(

=……………………………………………………………………

แบบฝ�กหด.

1. จงทา 4035 )zyx( −−− เป�นรปอยางงายและมเลขชกาลงเป�นจานวนเตมบวก )yx( 1220

2. จงทา 3743

4305

cba2cba4

−−−

−−−

เป�นรปอยางงายและมเลขชกาลงเป�นจานวนเตมบวก )c2ba( 77

44

3. จงทา 2

533

404

yx8yx2

−

−−

−

เป�นรปอยางงายและมเลขชกาลงเป�นจานวนเตมบวก

26

10

yx2

==================================================================================================


=======================================================================================================

23

4. จงทา 2421

3312

)cba3()cba(−−−

−−

เป�นรปอยางงายและมเลขชกาลงเป�นจานวนเตมบวก

17

4

cba9

5. กาหนดให x และ y เป�นจานวนจรงบวก และ n เป�นจานวนเตมบวก

จงทา 5n24n

3n2n3

yxyx

−+

+−

เป�นรปอยางงาย )yx( n86n2 −−

6. กาหนดให n เป�นจานวนเตมบวก จงทา n2n223n33n

n2n4n4

2)4(1

44)4(2

−+−

−

×⋅

เป�นรปอยางงาย (1)

7. ถา n เป�นจานวนเตม จงหาผลลพธของ 1n

3n

1n

2n

52

156

+

+

−−

+−

⋅ (864)

==================================================================================================


=======================================================================================================

24

==================================================================================================


=======================================================================================================

25

8. กาหนดให n เป�นจานวนเตมบวก จงทา 4n2n

1n2n

444411++

+−

−+⋅ เป�นรปอยางงาย

−

2565

9. จงทาแตละขอตอไปนใหเป�นรปอยางงายแลมเลขชกาลงเป�นบวก เทคนคการคดเรว ใหคณดวยเลขยกกาลงทมเลขชกาลงต�าสดโดยเปลยนเลขยกกาลงเป�นบวกของแตละตวแปร ทงเศษและสวน

1. 11

11

yxyx−−

−−

−+ 2. 21

21

b2ab3a4−−

−−

−+

เลขชกาลงของ x ทต�าสดคอ............ เลขชกาลงของ a ทต�าสดคอ............ เลขชกาลงของ y ทต�าสดคอ............. เลขชกาลงของ b ทต�าสดคอ............. ดงนนตองคณดวย .................ทงเศษและสวน ดงนนตองคณดวย .................ทงเศษและสวน

3. 12

1221

abbaba

−−

−−−−

−− 4. 1221

2112

yx3yxx3yx2y−−−−

−−−−

−−−

เลขชกาลงของ a ทต�าสดคอ............ เลขชกาลงของ x ทต�าสดคอ............ เลขชกาลงของ b ทต�าสดคอ............. เลขชกาลงของ y ทต�าสดคอ............. ดงนนตองคณดวย .................ทงเศษและสวน ดงนนตองคณดวย .................ทงเศษและสวน

==================================================================================================


=======================================================================================================

26

10. จงทา 12

12

xx21x4x4

−−

−−

−+− เป�นรปอยางงายและมเลขชกาลงเป�นจานวนเตมบวก (2 – x)

11. จงทา bcacabcbcaba xx11

xx11

xx11

−−−−−− +++

+++

++ เป�นรปอยางงายและมเลขชกาลง

เป�นจานวนเตมบวก (1)

==================================================================================================


=======================================================================================================

27

จานวนจรงในรปกรณฑ คอ จานวนจรงทเขยนไวในรป n x เมอ x เป�นจานวนจรง เชน 3 , 4 8 , 3 8− เป�น

ตน

สมบตของรากทสองทไมเป�นลบ

1. ถา 0x ≥ และ 0y ≥ แลว xyyx =⋅

2. ถา 0x ≥ และ 0y > แลว yx

yx=

เชน 32 ⋅ =……………………………… 57 ⋅ =………………………………

8

16 =………………………………. 945 =………………………………

สมบตของรากท n

1. ถา x และ y มรากท n แลว nnn xyyx =⋅

จานวนจรงในรปกรณฑ

ทบทวนกนหนอย 1. รากทสองของ 16 คอ.......... 2. รากทสองของ 4 คอ........... 3. 16 =…………… 4. 4 =…………….. 5. 4− =…………… 6. - 4 =…………….. จากททบทวน ถามวา รากทสองของ 16 คอ........................................

กรณฑอนดบสอง , รากท 2

ระวง!! ** 1. 32 −⋅− หาคาไดหรอไม ตอบ ……………………………………………………

2. )3)(2( −− หาคาไดหรอไม ตอบ ……………………………………………………

3. 8

16−− หาคาไดหรอไม ตอบ ……………………………………………

4. 8

16−− หาคาไดหรอไม ตอบ ……………………………………………

5. 2)5(− หาคาไดหรอไม ตอบ ……………………………………………

==================================================================================================


=======================================================================================================

28

2. ถา x และ y มรากท n และ แลว 0y ≠ แลว nn

n

yx

yx=

จากสมบตทกลาวมาขางตน อาจใชสมบตเหลานทาใหกรณฑอยในรปอยางงายขน ตวอยางท 1 จงเปลยนจานวนทตดกรณฑตอไปนใหอยในรปอยางงาย 1. 8 วธทา แยกตวประกอบของจานวนทอยภายในกรณฑ

กอนและ aa2 = 8 =……………………………….. =……………………………….. =………………………………..

2. 32 วธทา 32 =……………………………….. =……………………………….. =………………………………..

3. 24− วธทา 24− =……………………………….. =……………………………….. =………………………………..

4. 160− วธทา 160− =……………………………….. =……………………………….. =………………………………..

แบบฝ�กทกษะ จงเปลยนจานวนทตดกรณฑตอไปนใหอยในรปอยางงาย 1. 28 5. 125− 2. 50 6. 250− 3. 75 7. 300− 4. 128 8. 294−

การเปลยนจานวนทตดกรณฑใหอยในรปอยางงาย เป�นการเปลยนจานวนทเหลออยในกรณฑใหเป�น

จานวนทนอยทสด โดยอาศยสมบต aa2 =

กรณฑอนดบสองในรปอยางงาย

==================================================================================================


=======================================================================================================

29

9. 384−

เฉลยแบบฝ�กทกษะ 1. 72 2. 25 3. 35 4. 28 5. 55− 6. 105− 7. 310− 8. 67− 9. 68−

กรณฑอนดบสามในรปอยางงาย ตวอยางท 2 จงเปลยนจานวนทตดกรณฑตอไปนใหอยในรปอยางงาย 1. 3 81 วธทา แยกตวประกอบของ 81

333381 ×××= จะได 3 81 =…………………………………….. =…………………………………….. =……………………………………..

2. 3 625− วธทา 3 625− =…………………………………….. =…………………………………….. =……………………………………..

แบบฝ�กทกษะ

จงเปลยนจานวนทตดกรณฑตอไปนใหอยในรปอยางงาย 1. 3 128 5. 3 135− 2. 3 192 6. 3 250− 3. 3 432 7. 3 686−

การเปลยนจานวนทตดกรณฑใหอยในรปอยางงาย เป�นการเปลยนจานวนทเหลออยในกรณฑใหเป�นจานวน

ทนอยทสด โดยอาศยสมบต aa3 3 =

ทาแบบฝกทกษะเสรจแลว

ตรวจคาตอบในหนาถดไป

==================================================================================================


=======================================================================================================

30

4. 3 135 8. 3 162−

เฉลยแบบฝ�กทกษะท 2

1. 3 24 2. 3 34 3. 3 26 4. 3 53 5. 3 53− 6. 3 25− 7. 3 27− 8. 3 63−

ตวอยางท 3 จงเปลยนจานวนทตดกรณฑตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1. 405

วธทา 405 =……………………………………

=…………………………………… =……………………………………

2. 126−

วธทา 126− =……………………………………

=…………………………………… =……………………………………

3. 3 163 วธทา 3 163 =…………………………………… =…………………………………… =……………………………………

แบบฝ�กทกษะ จงเปลยนจานวนทตดกรณฑตอไปนใหอยในรปอยางงาย 1. 325− 5. 3 814 2. 276 6. 3 6255 −− 3. 1254 7. 3 12812 −

ทาแบบฝกทกษะเสรจแลว

ตรวจคาตอบในหนาถดไป

==================================================================================================


=======================================================================================================

31

4. 1085− 8. 3 1927−

เฉลยแบบฝ�กทกษะ 1. 220− 2. 318 3. 520 4. 330− 5. 3 312 6. 3 525 7. 3 248− 8. 3 328−

แบบฝ�กทกษะเพมเตม จานวนจรงในรปของกรณฑ จงหาผลลพธของคาทกาหนดใหตอไปน

1. จงหาผลลพธของ 203457 + 2. จงหาผลลพธของ 52

31

+ (ทาตวสวนไมตด

กรณฑ) 3. จงหาผลลพธของ 333 19237581 −+ 4. จงทาใหเป�นผลสาเรจ 2793 ×× 5. จงทาใหเป�นผลสาเรจ )3418(32 + 6. จงทาใหเป�นผลสาเรจ )52)(25( −+

==================================================================================================


=======================================================================================================

32

**7. จงทาใหเป�นผลสาเรจ 22222 )ba3ba2( +−+

==================================================================================================


=======================================================================================================

33

จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปทสวนไมตดกรณฑ

1. 12483 2.

5645367

++

3. 523

1+−

4. กาหนดให เป�นจานวนจรงบวก จงหาคาของ 3 246ba64

6. x48x32x3x12

x1 5

23 ++ เมอ x เป�นจานวนจรงบวก

7. จงหาผลลพธของ 323332

32323

−+

++− โดยตวสวนไมตดกรณฑ

==================================================================================================


=======================================================================================================

34

==================================================================================================


=======================================================================================================

35

บทนยาม ถา n เป�นจานวนเตมบวกทมากกวา 1 และ a เป�นจานวนจรงทมรากท n แลว nn1

aa =

เชน 21

2 =………………………….. 41

3 =………………………………………………….

31

2 =………………………….. 31

)2(− =……………………………………………

51

)3(− =………………………….. **ระวง 21

)2(− =……………………………เพราะ..................................

บทนยาม ให m, n เป�นจานวนเตมโดยท n >0 ถา a เป�นจานวนจรงททาใหหาคา n1

a ได จะไดวา mn1

nm

)a(a = โดยท 0a ≠

เชน 32

8 =………………………….. 32

)64(− =…………………………..

43

)81( =………………………….. **ระวง 43

)81(− =………………………เพราะ.......................................

แบบฝ�กหด

จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปเลขยกกาลง

1. 3 = …………………………… 2. 3 2x2 = …………………………….. 3. 5 23yx3 =…………………………..

4. 4 2yx5 = …………………………… 5. 6 5x7 = …………………………….. 6. 7 35yx19 =…………………………..

จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

1. 21

8 = …………………………… 2. 43

5 =…………………………………. 3. 57

7 =……………………………………..

4. 32

)xy3( = …………………… 5. 53

2 )yx4( =…………………..……… 6. 52

34 )yx13( =………………………..

การหาคาเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเป�นเศษสวน

ถาตองการใหหา () nm

แกโดยการจด ใหเป�นเลขทมเลขชกาลงเป�น n สมมตให =∆n จะได

() nm

= (∆n ) nm

= ∆m เชน 32

8 =………………………………… 32

)64(− =………………………………..

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเป�นจานวนตรรกยะ

==================================================================================================


=======================================================================================================

36

จงหาคาของเลขยกกาลงตอไปน

1. 23

425

2. 3

2

6427 −

3. 52

32243 −

− 4.

21

31

425

81 −

5. 32

232

21

0

271)2)(8()25.0(5

−−

−++ 6.

992

31

445

23

)ba3(

)ba9(

**7. 21

1n1n2

1n21n3

2222

++

++

++

(ขอนตองใชการดงตวรวม ชวยการหาคา)

==================================================================================================


=======================================================================================================

37

พจารณา ( ) 222 )y(xy2)x(yx +±=± = yxy2x +± = ( ) xy2yx ±+

นามาเปรยบเทยบกบ b2a ± จะไดวา xyb,yxa =+=

วธคด

1. ตองทาใหสมประสทธหนาเครองหมายรากเป�น 2 2. หาตวเลข 2 ตว (ใหเป�น x และ y ) ทคณกนได b (ตวเลขในเครองหมายราก) และบวกกนได a (ตวเลขนอกเครองหมายราก)

3. yxb2a ±=± โดยท yx > สาหรบเครองหมายลบ

ตวอยาง 23625 ±=±

34482193819 −=−=− ** อยาลมเปลยนหนา b เป�นเลข 2**

จงหารากทสองโดยใชสตร yxb2a ±=± โดยท yx > สาหรบเครองหมายลบ

1) 722+22

2) 54215 +

3) 101238 − 4) 71267 −

5) 61230 −

6) 151257 +

การหาคาของ b2a ±

==================================================================================================


=======================================================================================================

38

7) 3628 −

8) 206 −

จงทาใหรปแบบอยางงาย

1) 40718202853 −−+−+

2) 2822932721419 −−−++

3) 223125232 ++++

==================================================================================================


=======================================================================================================

39

==================================================================================================


=======================================================================================================

40

ใชหลกดงนคอ 1. สมการทอยในรป bax =+ แกสมการโดยการยกกาลงสอง 2. สมการทอยในรป cbxax =+++ แกสมการโดยการเปลยนเป�น bxcax −−=+ แลวจงยกกาลงสอง 3. สมการทอยในรป cxbxax +=+++ แกสมการโดยการยกกาลงสอง 2 ครง เพอกาจด เครองหมายราก

4. สมการทอยในรป rq)cbxax(p)cbxax( 22 =+++++++ แกสมการโดยการสมมตให Acbxax2 =++ แลวแกสมการหาคา A กอน

จงหาเซตคาตอบของสมการ

1) x = 3x2 + 2) 0x233x25 =−−+

3) 03x5x22x =+++−+

การแกสมการทตดเครองหมายราก

**หมายเหต การแกสมการทมเครองหมายราก ถามการยกกาลงสองทกครง จะตองตรวจคาตอบเสมอ

==================================================================================================


=======================================================================================================

41

4) 11x16x5x −=−−+

5) 25x28x2 =+−+ \

6) 025x10x532x20x2 22 =+−++−

7) 1x6x21x3x 22 ++=−+

==================================================================================================


=======================================================================================================

42

ความหมายของตรโกณมต ตรโกณมต หมายถง วทยาศาสตรวเคราะห (Analytic Science) จดเรมตนของวชานเรมในศตวรรษท 17 หลงจากไดพฒนาสญลกษณของพชคณต ตรโกณมต หมายถง เรขาคณตทเกยวกบดาราศาสตร ซงเกยวกบการวดมม ตนกาเนดวชานอาจจะขนอยทผลงานของ ฮปพารคส (Hipparchus) ตรโกณมต หมายถง การวดรปสามเหลยมตนกาเนดวชานอาจมมานานราว 2,000 ป�กอนครสตศกราช

อตราสวนรปสามเหลยม

ชาวอยปตโบราณทาการวดฐานของพระมดโดยการแบงเสนเชอกออกเป�น 12 สวนเทาๆกน แลวทาเชอกใหเป�นปมตรงสวนทแบงนน แลวดงใหตงเป�นรปสามเหลยม ดวยอตราสวนของดาน 3 : 4 : 5 และมมทอยตรงขามกบดานทยาวทสดจะเป�นมมฉากเสมอ จงเป�นทนาเชอไดวาทฤษฎป�ทาโกรสเป�นทรจกกนมาแพรหลายแลว ทฤษฎบทป�ทาโกรส ในรปสามเหลยมมมฉาก ดานตรงขามมมฉากยกกาลงสองมคาเทากบผลบวกของกาลงสองของอกสองดาน พจารณา รปสามเหลยมมมฉาก ABC B c a A C b C

อตราสวนตรโกณมต

สตร c2 = a2 + b2

a แทนความยาวของดานตรงขามมม A

b แทนความยาวของดานตรงขามมม B c แทนความยาวของดานตรงขามมม C

==================================================================================================


=======================================================================================================

43

==================================================================================================


=======================================================================================================

44

แบบฝ�กทกษะท 1 ผลการเรยนร นาความรเรองทฤษฎบทป�ทาโกรสมาใชแกป�ญหาได

คาชแจง 1. กาหนดอตราสวนของดานของรปสามเหลยมดงรป ใหพจารณาวารปใดเป�นรปสามเหลยมมมฉาก

1.1 ) 8 : 12 : 10 1.2 ) 12 : 13 : 5 1.3) 6 : 10 : 8 ……………………………………. ………………………………… ……………………………. ……………………………………. ………………………………… ………………………………. ……………………………………. ………………………………… ………………………………. ……………………………………. ………………………………… ………………………………. ……………………………………. ………………………………… ………………………………. 2. จากรปสามเหลยมทกาหนดให โดยมความยาวดงรป จงหาความยาวของดานทเหลอ 2.1) 2.2) 2.3) 7.5 x y 1 3 z 6 4 3 ……………………………………. ………………………………… ………………………………. ……………………………………. ………………………………… ………………………………. ……………………………………. ………………………………… ………………………………. ……………………………………. ………………………………… ………………………………. ……………………………………. ………………………………… ……………………………….

==================================================================================================


=======================================================================================================

45

บทนยาม สามเหลยมคลาย คอ สามเหลยมสองรป ทมมมเทากนสามมม คณสมบตของสามเหลยมคลาย “ ถาสามเหลยม 2 รป คลายกนแลว อตราสวนของดานทอยตรงขามมมทเทากน จะเทากน” ตวอยาง จากรป AE = 6 หนวย , EB = 9 หนวย , BC = 27 หนวย จงหาความยาวของดาน DC วธทา ABC ~ DBE ( มมมเทากน 3 มม )

..................CD

DBCBCD

..................DB

927

DB15

EDCA

BEBC

DBAB

=∴

−=

=∴

=

==

C

D

B A E

27

6 9

E

D

F

x

/ B C

A x

/

สามเหลยมคลาย

==================================================================================================


=======================================================================================================

46

คณสมบตของสามเหลยมคลาย สามารถนาไปคานวณความสง หรอระยะทางของวตถทอยหางไกล ยากแกการวดได

เชน ความสงของตก ความกวางของแมน�า เป�นตน ตวอยางท 1 นายเบรดสง 1.80 เมตร อยากรเสาธงสงเทาไร เขาจงวดเงาตวเองได 2.40 เมตร และวดเงาของเสาธงได 25.6 เมตร อยากทราบวาเสาธงสงเทาไร

∴ ∆ ABC ~ ∆DEF โดย DE เป�นความสงของเสาธง

∴BCEF

ABDE

=

=8.1

DE …………………………………………

DE =……………………………………….

ตวอยางท 2 ถา ∆ JKH ~ ∆ WTR จงหา KH และ TR

วธทา TRKH

WTJK

=

A

F E

D

B C

J

K

H

X+2 4

W R

T

12 2x+5

==================================================================================================


=======================================================================================================

47

ตวอยางท 3 จากรป จงหาวาเครองบนอยเหนอพนดนประมาณกเมตร เมอจด A คอ สถานสงสญญาณการบนอยหางจากเสาไฟฟา 100 เมตร เมอเสาไฟฟาสง 80 เมตร เครองบนอยเหนอตก ซงอยหางจากสถานสงสญญาณการบน 400 เมตร วธทา ∆ AFE ~ ∆ACB

CABAFE)1∧∧

= ( มมรวม )

2) .........................................................

3) .........................................................

จากรป AFAC

EFBC

=

............................................................. ∴ เครองบนบนอยเหนอพนดนประมาณ................................เมตร ตวอยางท 4 จากรป A และ B คอ ยอดเขา 2 ลก ซงสง 2000 เมตร และ 1450 เมตร ตามลาดบ ถา DE = 2200 เมตร จงหาวาระยะ DC ยาวเทาไร

วธทา ................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

A

C

B

E D

2200

1450 ม. 2000 ม.

400 ม .

B

A F

C

E

80 ม .

100 ม.

x

==================================================================================================


=======================================================================================================

48

อตราสวนตรโกณมตเป�นอตราสวนทเกยวกบดานและมมของรปสามเหลยมมมฉากทเป�นมมแหลม กาหนดให ABC เป�นรปสามเหลยมมมฉากทมม ACB เป�นมมฉาก ดงรป B

เรยกวา ดานตรงขามมมฉาก มความยาว c

a a เรยกวา ดานตรงขามมม A มความยาว a

A b C

เรยกวา ดานประชดมม A มความยาว b

ไซน (sin) ของมม A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของมมมAดานตรงขาความยาวของ

= ca

ไซนของมม A เขยนวา sine A หรอเขยนยอวา sin A เชน ไซนของมม °60 เขยนวา sine °60 หรอเขยนยอวา sin °60

โคไซน (cos) ของมม A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

มมAดานประชดความยาวของ =

cb

ไซนของมม A เขยนวา cosine A หรอเขยนยอวา cos A เชน โคไซนของมม °45 เขยนวา cosine °45 หรอเขยนยอวา cos °45

แทนเจนต (tan) ของมม A = มมAดานประชดความยาวของ

มมมAดานตรงขาความยาวของ =

ba

แทนเจตของมม A เขยนวา tangent A หรอเขยนยอวา tan A เชน แทนเจนตของมม °45 เขยนวา tangent °45 หรอเขยนยอวา tan °45

อตราสวนตรโกณมต (Trigonometric ratios)

sinA= ……..

คาจา

cosA= ……..

tanA= ……..

==================================================================================================


=======================================================================================================

49

ตวอยางท 1 A

sin A = ........ , cos A = ........ , tan A = ........

5 sin B = ........ , cos B = ........ , tan B = ........ C 4 B

ตวอยางท 2 C 7 sin A = ........ , cos A = ........ , tan A = ........ sin B = ........ , cos B = ........ , tan B = ........ B A 25

แบบฝ�กทกษะท 2

ผลการเรยนรทคาดหวง หาอตราสวนตรโกณมตของมมทกาหนดได

คาชแจง ใหหาอตราสวนตรโกณมต เมอกาหนดรปสามเหลยมและความยาวของดานดงตอไปน 1. B 10 sin A = ………. , cos A = …….. , tan A = ………... A 8 sin B = ……… , cos B = ……… , tan B = ………... C 2. B 2 1 sin A = ………. , cos A = …….. , tan A = ………... A C sin B = ……… , cos B = ……… , tan B = ………...

3

24

6

3

==================================================================================================


=======================================================================================================

50

นอกจากอตราสวนตรโกณมตทง 3 อตราสวนทกลาวมาแลวยงมอตราสวนตรโกณมตอก 3 อตราสวน ซงกาหนดโดยนยามดงน นยาม

1. โคเซแคนตของมม A เขยนวา cosecant A หรอ เขยนยอวา cosec A หรอ csc A

csc A คอ สวนกลบของ sin A เมอ sin A ≠ 0

csc A = Asin

1 เมอ sin A ≠ 0 cosecA = ……….

2. เซแคนตของมม A เขยนวา secant A หรอ เขยนยอวา sec A

sec A คอ สวนกลบของ cos A เมอ cos A ≠ 0

sec A = Acos

1 เมอ cos A ≠ 0 secA = …………

3. โคแทนเจนตของมม A เขยนวา cotangent A หรอ เขยนยอวา cot A

cot A คอ สวนกลบของ tan A เมอ tan A ≠ 0

cot A = Atan

1 เมอ tan A ≠ 0 cotA = ………….

โจทยเพมเตม

1. กาหนด 135Acos =

ใชความรเรองป�ทาโกรสหาความยาวดานทเหลอดงน

จงหา sinA =……………… tanA=……………………….

cosecA=……………… sec =………………… cotA=………………….

2. กาหนด 31Btan =

ใชความรเรองป�ทาโกรสหาความยาวดานทเหลอดงน จงหา sinB =……………… cosB=……………………….

cosecB=……………… secB =………………… cotB=………………….

==================================================================================================


=======================================================================================================

51

3. กาหนด 7

24Ccot =

ใชความรเรองป�ทาโกรสหาความยาวดานทเหลอดงน จงหา sinC =……………… cosC=………………….

tanC=………………………. cosecC=……………… secC =…………………

4. สามเหลยมมมฉาก ABC ซงมมม B เป�นมมฉาก และ sinA=0.6 จงหาคาของ 2tanA + 3secA

(ตอบ 421 )

5. สามเหลยม ABC มมม C เป�นมมฉาก กาหนดให secA =2 จงหาคาของ ecAcos3Acot2 +

(ตอบ 37 )

==================================================================================================


=======================================================================================================

52

จากรป สามเหลยม ABC ตามทฤษฎบทป�ทาโกรส จะได AC2 = AB2 + BC2 AC2 = 12 + 12 = 2 AC = 2 (ความยาวของดานมคาเป�นบวกเทานน)

กาหนดให ABC เป�นรปสามเหลยมดานเทารปหนง ตามสมบตรปสามเหลยมดานเทาจะไดดงรป A B 1 D 1 C จากรปสามเหลยม ABD จะไดอตราสวนตรโกณมตดงน

sin °30 = ……. sin °60 = …….

cos °30 = ……. เป�นคาทควรจา cos °60 = …….

tan °30 = ……. tan °60 = …….

กาหนดให ABC เป�นรปสามเหลยมมมฉากทมม ABC เป�นมมฉาก ดาน AB = CB = 1 หนวย มม CAB = มม ACB = 45 องศา ดงรป C 2 1

A B จากรปสามเหลยม ABC ไดอตราสวนตรโกณมตดงน sin 45o = …….

เป�นคาทควรจา cos 45o = …….

tan 45o = …….

จากรป สามเหลยม ABC ตามทฤษฎบทป�ทาโกรส จะได AB2 = BD2 + AD2 AD2 = AB2 – BD2 AD2 = 22 - 12 = 3 AD = 3 (ความยาวของดานมคาเป�นบวกเทานน)

45o

45o

1

600

300

2 2

3

การหาอตราสวนตรโกณมตของมม °30 และมม °60 โดยอาศย ทฤษฎป�ทาโกรส

การหาอตราสวนตรโกณมตของมม 45O โดยอาศยทฤษฎบทป�ทาโกรส

==================================================================================================


=======================================================================================================

53

b

ในการอตราสวนตรโกณมตนอกจากหาความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉากแลวยงสามารถหาความสมพนธของดานและมมไดดงน B จากรป จะได sin A = ………….. = cos B c a cos A = …………… = sin B a tan A = ………….. หรอ ซงเทากบ cotB A C B จากรป มม A และ มม B มความสมพนธกนดงน

c a A = 90o - B และ B = 90o - A a A C จาก sin A = cos B จะได sin A = cos )A90( −°

cos A = sin B จะได cos A = sin )A90( −°

tan A = Btan

1 จะได tan A = cot )A90( −°

ตวอยางเชน sin °30 = cos )3090( °−° = cos °60

cos °30 = ………………………… = ……………………

tan °30 = ………………………… = …………………… จากความสมพนธทกลาวมา จะสามารถหาความสมพนธระหวางอตราสวนตรโกณมตทงสามไดคอ

tan A = Acos

Asin เมอ cos A ≠ 0

b

1. ความสมพนธของดาน

2. ความสมพนธระหวางมม

==================================================================================================


=======================================================================================================

54

1. แบมอซายของเราขนมาใหนวโปงแทนมม 0o ,นวชแทนมม 30o,นวกลางแทนมม 45o, นวนางแทนมม 60o และนวกอยแทนมม 90o

2. เกบนวทตองการหาคามม ตวอยางเชนตองการหาคา cos30o ใหเกบนวชไว

3. ใหจนตนาการวาใส ไวเหนอมอและใหใส /2 ไวในองมอ

4. ถาตองการหาคา sin ใหอานคาซายมอ แตถาหาคา cos ใหอาคาขวามอเชน

จากภาพจะหาคา sin30o = 21 =………. = 0.5 และ cos30o =

23

ในกรณหาคา tan ใหอานคาซายหารดวยขวาไดเลย tan30o = ............31=

การหาคา sin cos tan โดยใชมอซาย

==================================================================================================

คณตศาสตร3 ค32101 ม. 5 ครเณรศา พรหมวลย ชอ..................................................ม.5/........... เลขท...........

============================================================================================================

0

แบบฝ�กทกษะท 3

ผลการเรยนร หาอตราสวนตรโกณมต ไซน โคไซน แทนเจนต โคเซแคนต เซแคนต และ โคแทนเจนต ของมม 30o 45o 60o ได

คาชแจง จงหาคาอตราสวนตรโกณมตของมมทกาหนดใหตอไปน (ใชหลกการสวนกลบ)

1. sin 30o = ……………… 2. cos 30o = …………… 3. tan 30o = …………… 4. csc 30o = ……………… 5. sec30o = …………… 6. cot 30o = ………….. 7 sin 45o = ……………… 8. cos 45o = …………… 9. tan 45o = …………… 10. csc 45o = ……………… 11. sec45o = …………… 12. cot 45o = ………….. 13. sin 60o = ……………… 14. cos 60o = …………… 15. tan 60o = …………… 16. csc 60o = ……………… 17. sec60o = …………… 18. cot 60o = ………….. .

====================================================================================


============================================================================================================

1

โจทยเพมเตม จงหาคาของ 1. oooo 45tan30sin60tan30cos ⋅+⋅ (2) 2. ooooo 30eccos45cot60sec30tan60sin +⋅ (3)

3. oo

oo2

60sec30cos360cos445cot710 + (

3310 )

====================================================================================


============================================================================================================

2

ในการวดระยะทางและความสง วชาตรโกณมตจะใหประโยชนอยางมากมาย เพราะไมจาเป�นจะตอง ทาการวดจรง เพยงแตทราบมมทเกยวของเรากสามารถหาระยะทางและความสงของสงตางๆ ได เชน ภเขา อาคาร เสาธง เป�นตน เพยงแตเรายดเสนระดบสายตา (horizontal line) จะไดมมสาคญสองชนดคอ มมยกขน หรอมมเงย (Angle of Elevation) และมมกดลงหรอมมกม (Angle of Depression) ซงมลกษณะดงน

1. มมยกขนหรอมมเงย (Angle of Elevation) ให A เป�นจดสงเกต และ B เป�นยอดของตก มมยกขนหรอมมเงยของยอดตก B เมอสงเกตทจด A คอ มมซงเสนตรง AB ทากบเสนระดบสายตาทจด A ดงรป B มมยกขน A

2. มมกดลงหรอมมกม (Angle of Depression) ให A เป�นจดสงเกต และ B เป�นจดซงเรอทอดสมออย มมกดลงของเรอ B เมอสงเกตทจด A คอมมซงเสนตรง AB ทากบเสนระดบสายตาทจด A ดงรป A เสนระดบสายตา มมกดลง B

เสนระดบสายตา

การนาอตราสวนตรโกณมตไปใชในการแกป�ญหา

====================================================================================


============================================================================================================

3

ตวอยางท 4 นายแดงยนหางจากเสาธง 10 เมตร เขามองไปยงยอดเสาธงโดยทามมเงยกบยอดเสาธง เป�นมม 60 องศา จงหาความสงของยอดเสาธง ถานายแดงสง 170 เซนตมตร ( ≈ 19.02 เมตร) วธทา พจารณาอตราสวนตรโกณ ดงรป x ตวอยางท 5 จากยอดอนเสาวรยสง 100 ฟต มมกดลงของวตถทงสองอนบนพนดนซงอยทางทศตะวนตกเทากบ 45o และ 30o วตถทงสองหางกนประมาณกฟต ( ≈ 73 ฟต) วธทา พจารณาอตราสวนตรโกณมตได ดงรป E A ยอดอนเสาวรย 30 o 45o 100 ฟต

B C วตถ 1 วตถ 2 D

====================================================================================


============================================================================================================

4

แบบฝ�กทกษะ

ผลการเรยนรทคาดหวง นาอตราสวนตรโกณมตไปใชในการแกโจทยป�ญหาได

คาชแจง ใหนกเรยนแสดงวธการหาคาตอบจากโจทยตอไปน 1. จากรปตนไมสงเทาไร

…………………………………………………………………. ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ……………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………………

…………………………………………………………………

18 ฟต 2. จากรป จงหาความยาวระยะทางทเหลอ

…………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 13 กม. ………………………………………………………… ……………………………………………………….. 84 กม. ………………………………………………………...

3. จากรป จงหาคาของ x ……………………………………………………. ……………………………………………………

3 ฟต ………………………………………………… ……………………………………………………

30o …………………………………………………… x ฟต ……………………………………………………

30 ฟต

====================================================================================


============================================================================================================

5

ตวอยางท 1 มารศรนอนราบอยบนหลงคาตก 3 ชน สง 11 เมตร มองเหนวาวลอยอยในอากาศ เป�นมมเงย 300 หากระยะทางจากตกถงจดทวาวลอยอยหางกน 30 เมตร วาวสงจากพนกเมตร วธทา

แบบฝ�กทกษะโจทยทาทาย

1. รป ∆ ABC ม 120C,45B ==∧∧

และ 40a = เซนตเมตร

จงหาสวนสงของ ∆ ABC วธทา ∴ สวนสงของ ABC =

450 a = 40

45o

x

ระยะความสงทตองการหาคอ BC + 11 เมตร จากรป ∆ มมฉาก ABC จะได tan 300 = ……………………….

3

1 = 30BC

BC = ………………….. = ………………….. = …………………. ∴ วาวอยสงจากพน = 11 + ……….. = ………เมตร

1200

C

A

B

x

300 A B

C

30 เมตร

11 เมตร

โจทยทาทาย

====================================================================================


============================================================================================================

6

2 จากยอดหนาผาซงสงเทากบระดบน�าทะเล 150 ฟต มองลงมาทามมกดลงเหนเรอสองลา ซงอยทางทศใตของผมองเหน 150 และ 750 ตามลาดบ จงหาวาเรอทง 2 หางกนเทาไร ( กาหนดให cot 150 32+= และ 3275cot 0 −= )

วธทา 3 นกสารวจคนหนงตองการวดความกวางของแมน�า โดยใชการวดความยาวของสะพาน ณ.จดสารวจทเขายนอยหางจากปลายสะพานดานหนง 40 ฟต เขามองไปยงปลายสะพานอกดานหนงทอยตรงกนขาม ทามม 600 จงหาความยาวของสะพาน วธทา

A

D C 150 B

a x

1500

150

750

750

====================================================================================


============================================================================================================

7

4 สมศกดยนอยทขอบสนามฟตบอลของโรงเรยนมองไปยงยอดเสาธงของโรงเรยน จากระดบสายตาเป�นมมเงย 300 ถาขอบสนามอยหางจากเสาธง 15 เมตร และสมศกดสง 1.75 เมตร จงหาวาเสาธงสงกเมตร วธทา 5. จากรปกาหนดให BC ยาว 12 m จงหาความยาวของ AB

60°

30°D

A B

C

E

====================================================================================


============================================================================================================

8

6. จากรป จงหา 1) sin20osec70o

2) tan20ocot20o

7. นายพลสง 6 ฟต ยนหางจากเสาไฟฟา เหนเงาของตวเขาทอดยาวไป 36 ฟต จงหาวานายพลมองดวงไฟทอยยอดเสาไฟฟาเป�นมมเงยกองศา (30องศา)

20o

70o

====================================================================================


============================================================================================================

9

8. กาหนดให ABC เป�นสามเหลยมหนาจว โดยทมม ACB = 120o และดาน AC=BC ดงรป ลากเสนจาก A มาตงฉากกบดาน BC ทตอออกไปทจด D ถา AD ยาว 3 หนวยแลว จงหาความยาวเสนรอบรปของสามเหลยม ABC ( 346+ )

120.0°

A

C B

9. กาหนดสามเหลยม ABC เป�นรปสามเหลยมทมพนทเทากบ 15 ตารางหนวยและมมม C เป�นมมฉาก ถา sinB = 3sinA แลว ดาน AB ยาวเทากบเทาใด (10 หนวย)

====================================================================================

Documents

คณิตศาสตร์ 5 - satreephuket.ac.th · ค32101 คณิตศาสตร์3 อัตราส่วนตรีโกณมิติ ครูเณริศา