Դ պ ր ո ց ո ւ մ

О—IСк—IС

° 1 =■ ! 5 ■§== i i5 ^ 3

^ 3 1 _a ct jo ^ 3 3 3 g ­

? 3 flL| | 1

£ snr C. -C- гг j d"

Q

оCM

оCO,

LO

@

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐՎ. Ի. ԱռնոլդՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՆ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ ԺԱՄԱՆԱԿԱԿԻՑ Ա ՇԽ Ա ՐՀՈ ՒՄ .......................................................... 3

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆԱր աքսյա Մկր տչյանՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ԳԻՏԵԼԻՔՆԵՐՆ ՈՒ ԿԱՐՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ. «ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ» ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԱՈԱՐԿԱՅԻ ՉԱՓ ՈՐՈՇՉՈՒՄ ԵՎ Օ ՐԱ ԳՐՈ ՒՄ ........................................................................................ 9

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ Սոնա ՍարգսյանԲԱՆԱՎՈՐ ՀԱՐՑՈՒՄԸ ՈՐՊԵՍ ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՏԵԱԱԿ...................... 31

ՄԻՋԱՈԱՐԿԱՅԱԿԱՆՏաթև ԳրիգորյանԲԱԶՄԱՆԻՄՏԵՐԸ ՄԵՐ ԿՅԱ ՆՔՈՒՄ .................................................... 42

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ Ա.Ս. ՄիքայելյանՄԻ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅԱՆ Պ Ա ՏՄ ՈՒԹ ՅՈՒՆ ....................................... 54

Խ մ բ ա գ ր ա կ ա ն խ ո ր հ ո ւ ր դ

Հւսմլետ Միքա յելյա ն գլխավոր խմբագիր

Սա րիբեկ Հա կոբյա ն գլխավոր խմբագրի տեղակալ, պատասխանատու քարտուղար

Խ ո ր հ ր դ ի ա ն դ ա մ ն ե ր

Աբրահամյան Արսւմ Այվազյան էդվարդ Առաքելյւսն Կորյուն Բաղդասարյան Գևորգ Զաքարյան Վանիկ Հարությունյան Հայկունի Ղուկասյան Նորայր Ղուշչյան Ալեքսանդր Միքայելյան Օնիկ Մովսիսյան Յուրա Նավասարդյան Հայկազ Աաֆարյան Գրիգոր Աեդրակյան Նաիրի

Ն կ ա ր ի չ

Վ. Հ. Միքայելյան

Հ ա մ ա կ ա ր գ չ ա յ ի նձ և ա վ ո ր ո ւ մ ը

Գոհար Խաչատրյանի

Տիգրան Մեծի 67, սենյակ 401 375005 Երևան 5 Tigran Metsi 67, Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

« Մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա ն դ պ ր ո ց ո ւ մ »գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն ա մ ս ա գ ի ր №5 , 2011 թ.

Լրատվական գործունեություն իրականացնող' « Կ ր թ ո ւ թ յ ա ն ա զ գ ա յ ի ն ի ն ս տ ի տ ո ւ տ » ՓԲԸ

Հասցեն՜ Երևան, Տիգրան Մեծի 67, վկայական՛ N 01 Ա 044424,տրվա ծ 16.02.1999թ.

Ամսագրի թողարկման պատասխանատու՝ գ լխ ա վ ո ր խ մ բ ա գ ի ր Հ ամ լ ե տ Միք այ ել յ ան

Հա նձնվա ծ է տպագրության 25.10.2011 թ: Տպա քա նա կը' 2010, ծա վա լը ' 4 մամուլ: Թուղթ' օֆսեթ: Չա փ սը' 70x100 V i6:

Գինը' 840 դրամ:

Հանրակրթական դպրոցներին հատկացվում է ա ն վ ճ ա ր

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

Կ ր թ ա կ ա ն բ ա ր ե փ ո խ ո ւ մ ն ե ր

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՆ Ե4 ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈԻԹՅՈԻՆԸ ԺԱՄԱՆԱԿԱԿԻՑ ԱՇ1սԱՐ^ՈԻՄ

Վ. Ի Աոեոլդ

"No star wars — no mathematics", ասում են ամերիկացիները: Այն տխուր փաստր, որ ռազմական հակամարտությունների դադարեցումով դադարեցվեցին ֆինանսավորվել մաթեմատիկան և բոլոր հիմնարար գիտություններդ ժամանակակից քաղաքակրթության համար ամոթն Է, քաղաքակրթություն, որն րնդունում Է միայն “կիրառական” գիտություն֊ ներր (տես [1]) և իրեն պահում Է րնկուզենու տակ գտնվող խոզի նման:

Իրականում, ինչպես նշել Է հարյուր տարուց ավելի առաջ Լուի Պսւստերր (որին դժվար Է կասկածել մարդկությանր ոչ անհրաժեշտ բաներով զբաղվելու մեջ), որևէ կիրառական գիտություն գոյություն չունի և երբևէ գոյություն չի ունեցել: համաձայն Պաստերի, գոյություն ունեն միայն գիտության կիրառություններ:

Սաթի և կատվի մորթու հետ կատարվող փորձերր անօգուտ թվացին 18 ֊ր դ դարի կառավարողներին և զորավարներին: Բայց հենց նրանք փոխեցին մեր աշխարհր այն բանից հետո, երբ Ֆարադեյր և Մաքսվելր գրեցին էլեկտրամագնետիզմի տեսության հավասարումներր: Ֆունդա­մենտալ գիտության այդ նվաճումներր փոխհատուցեցին նրա վրա կա­տարված ծախսերր հարյուրավոր տարիների համար: Այդ նպատակների համար ծախսերից ժամանակակից կառավարողների հրաժարվելր զար­մանալիորեն անհեռատես քաղաքականություն է, որի համար համա­

*Լուի Պաստեր - ֆրանսիացի գիտնական, ժամանակակից միկրոբիոլոգիայի և իմունոլո- գիսւյի հիմնադիրր (Z-Մ.)

3

Կ Ր Թ Ա Կ Ա Ն Բ Ա Ր Ե Փ Ո Խ Ո Ւ Մ Ն Ե Ր

պատասխան երկրեերը, անկասկած, կպատժվեն տեխնոլոգիական և,

հետևաբար, տնտեսական ու ռազմական հետամնացությամբ:Ողջ մարդկությունն է վճարելու (չէ՞ որ մալթուսականության

ճգնաժամի պայմաններում նրա առջև կանգնած է գոյատևման դժվարսւ-

գույն խնդիրր) առանձին երկրների վարած անհեռատես և էգոիստական

քաղաքականության գինր:

Մաթեմատիկական րնկերակցությունր կրում է պատասխանատ­

վության իր բաժինր այն բանի համար, որ ամենուրեք կառավարություն­

ների և ողջ հասարակության կողմից նկատվում է ճնշում մաթեմատիկա­

կան մշակույթի' որպես յուրաքանչյուր մարդու մշակութային պաշարի

կարևոր բաղադրիչի, և առանձնապես, մաթեմատիկական կրթության

ոչնչացման ուղղությամբ:

Մաթեմատիկայի' կենդանի բովանդակությունից զրկված և ձևա­

կանացված դասավանդումր բոլոր մակարդակներում, դժբախտաբար,

ստացել է համակարգված բնույթ: Աճել է պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոս­

ների և մաթեմատիկայի ուսուցիչների ամբողջ մի սերունդ, որն ունակ է

կատարելու միայն դա և չի պատկերացնում մաթեմատիկայի դասավանդ­

ման մի այլ հնարավորություն:

Ձևականացված դասավանդման ամենաբնորոշ հատկանիշներ են

չպատճառաբանված, չփաստարկված սահմանումների և անհասկանալի

(թեպետ և տրամաբանորեն ճշգրիտ) ապացուցումների առատությունր:

Օրինակների բացակայությունր, սահմանային դեպքերի և մաթեմատի­

կական տեսության կիրառման սահմաննների վերլուծման բացակայու-

թյունր, գծագրերի և նկարների բացակայությունր մաթեմատիկական

տեքստերի համար նույնքան մշտական թերություն են, ինչքան և մաթե­

մատիկայից դուրս կատարվող կիրառությունների և մաթեմատիկական

հասկացությունների պատճառաբանթյունների բացակայությունր:

Դեռ Պուանկարեն է նկատել, որ գոյություն ունի կոտորակներր սովո­

րեցնելու երկու եղանակ - կտրատել (թեկուզ և մտովի) կամ կարկանդակր

կամ խնձորր: Մնացած բոլոր եղանակներով ուսուցանելու դեպքում աշա-

կերտներր նախրնտրում են համարիչր գումարել համարիչին, հայտա-

րարր' հայտարարին:

4

Կ Ր Թ Ա Կ Ա Ն Բ Ա Ր Ե Փ Ո Խ Ո Ւ Մ Ն Ե Ր

Մաթեմատիկան նույնպես փորձարարական գիտություն է և բոլոր այդ գիտությունների դասավանդման հիմնական սկզբունբներր կիրառելի են նաև մաթեմատիկայի համար; Խիստ տրամաբանված դատողություն կատարելու արվեստր և այդ ճանապարհով հուսալի արտածումներ ստա­նալու հնարավորությունր չպետբ է մնան որպես Շերլոկ ^ոլմսի մենսւ- շնորհություններ. յուրաքանչյուր դպրոցական պետք է ունենա այդ ունա­կությունն երր: Իրական կյանքի իրադրությունների մոդելավորման ունա­կության ձեավորումր պետք է կազմի մաթեմատիկական կրթության անբաժանելի մասր: ^սւջողությունր գափս է ոչ այնքան պատրաստի դեդատոմսերի կիրառումից, ինչքան իրական աշխարհի երևույթների հանդեպ մաթեմատիկական մոտեցում ցուցաբերելիս: հաշվարկումների սոցիալական հսկայական նշանակությամբ հանդերձ (ներառյալ' computer science), մաթեմատիկայի ուժր դրանցում չէ, և մաթեմատիկայի դասա- վանդումր չպետք է հանգի հաշվարկային դեդատոմսերի կիրառման:

Ռուսաստանի պատմության մեջ եղել է մաթեմատիկական կրթությամբ պրեմիեր-մինիստր, որն ավարտել է Սանկտ-Պետերբուրգի համալսարսւնր' մաթեմատիկայի գծով (Չեբիշևի դպրոց): Ահա թե ինչպես է նա տարբե­րում փափուկ և կոշտ մաթեմատիկական մոդելավորումներր (տես [2]):

Մաթեմատիկոսների մեջ կան երկու սեռի մարդիկ.1) մաթեմատիկոսներ-փիլիսոփաներ, բարձր մաթեմատիկական մտածո­

ղությամբ մարդիկ, որոնց համար թվերր և հաշվարկներր արհեստ են: Այդ սեռի մաթեմատիկոսների համար թվերր և հաշվարկներր ոչ մի արժեք չունեն: Նրանց հետաքրքրում են ոչ թե թվերն ու հաշվարկներր, այլ մաթեմատիկական գաղափարներր: Մի խոսքով, դրանք այսպես ասած' զուտ փիլիսոփայական մաթեմատիկայի մարդիկ են:

2) րնդհակառակր, կան այնպիսի մաթեմատիկոսներ, որոնց մաթեմա­տիկայի իմաստասիրությունր, մաթեմատիկական զաղափարներր չեն հուզում, որոնք մաթեմատիկայի ողջ իմաստր տեսնում են հաշվարկ­ների, թվերի և բանաձևերի մեջ...

Մաթեմատիկոս-փիլիսոփսւներր, որոնց թվին եմ պատկանում նաև ես, միշտ արհամարանքով են վերաբերվում մաթեմատիկոս-հաշ- վարկողներին, իսկ մաթեմատիկոս-հաշվարկողներր, որոնց մեջ կան շատ հանրահայտ գիտնականներ, մաթեմատիկոս-փիլիսոփաներին նա­յում են որպես “խփնվածների”:

5

Կ Ր Թ Ա Կ Ա Ն Բ Ա Ր Ե Փ Ո Խ Ո Ւ Մ Ն Ե Ր

Այժմ մենք գիտենք, որ 4իտտի նկարագրած տարբերություններր ունեն ֆիզիոլոգիական ծագում: Մեր ուղեղր կազմված է երկու կիսա­գնդերից: Ձախ կիսազունդր պատասխանում է բազմանդամների բազմա­պատկման, լեզուների, շախմատի, ինտրիգների և սիլլոգիզմերի հաջոր­դականությունների համար, իսկ աջր' տարածական կողմնորոշման, ին­տուիցիայի և իրական կյանքում անհրաժեշտ ամեն ինչի: “Մաթեմսւ- տիկոս-հաշվարկոդների” ձախ կիսազունդր, 4իտտի տերմինալոզիայով, գերաճած է' սովորաբար աջի թերզարգացվածության հաշվին: Այդ հի- վանդությունր նաև նրանց ուժն է (£իշեք Նաբոկովի “Լուժինի պաշտ- պանությունր”): Աակայն նման տիպի մաթեմատիկոսների գերիշխանու­թյունն էլ հանգեցրեց աքսիոմատիկական-սխոլաստիկական մաթեմատի­կայի տիրապետության, հատկապես դասավանդման մեջ (այդ թվում' նաև միջնակարգ դպրոցում), ինչի նկատմամբ հասարակությունր բնակա­նաբար և օրինականորեն կտրուկ բացասաբար է արձագանքում: Ար- դյունքր եղավ այն, որ մենք ամենուրեք նկատում ենք վանում մաթեմա­տիկայից և բոլոր կառավարողների ձզտումր լուծելու իրենց վրեժր դպրո­ցում կրած սեփական նվաստացման և ոչնչացման համար:

Փափուկ մոդելավորումր պահանջում է ուղեղի երկու կիսագնդերի ներդաշնակ աշխատանք: ^ամալսարանր ավարտելուց հետո 4իտտր իր մասնագիտությամբ աշխատանք չգտավ և րնդունեց ^արավ-Արևմտյան երկաթգծի ուղղեմասի պետ դառնալու' մասնավոր րնկերության առա- ջարկր: Այդ պաշտոնր ստանձնելու համար նա ստիպված եղավ մեկական շաբաթ աշխատել և ստաժավորվել իր ապագա ենթականերից յուրա­քանչյուրի պաշտոնում (սլաքավարի, ճանապարհային ուղեպահի, ուղե- բեռերի հանձնողի, տոմսերի գանձապահի, հնոցապանի, մեքենավարի, կայարանապետի), ինչր անգնահատելի փորձառություն եղավ նաև ապա­գա պրեմիեր-մինիստրի համար:

Մի անգամ Ղրիմ ուղևորվող կայսրական գնացքր 4իտտի ուղղե- մասում' նրա հրամանով դանդաղեցրեց րնթացքր: Չնայած Ալեքսանդր երրորդի զայրույթին, գնացքի մեքենավարր ենթարկվեց ոչ թե նրա, այլ ուղղեմասի պետի հրամանին: Իսկ երբ գնացքն անցավ հաջորդ ուղղե- մաս, որր չէր ենթարկվում 4իտտին, նրա արագությունր բնականաբար բաձրացվեց: Շուտով կայսրական զնացքր գծերից դուրս եկավ և շրջվեց (տեղի ունեցավ աղետ Բորոկ կայարանի մոտ): Կայսրր հիշեց նախորդ ուղղեմասի անհնազանդ պետի անունր, և 4իտտր նշանակվեց մինիստրի

6

Կ Ր Թ Ա Կ Ա Ն Բ Ա Ր Ե Փ Ո Խ Ո Ւ Մ Ն Ե Ր

պաշտոնում (կարծես' ճանապարհային հաղորդակցության), իսկ հետա­գայում դարձավ նաև պրեմիեր-մինիստր: Նրա անվան հետ է կապված “Ռուսաստանում կապիտալիզմի զարգացման” ողջ հսկայական ժամսւ- նակաշրջանր, այդ թվում' առ այսօր գործող երկաթուղային ճանապարհ­ների գործող ցանցի կառուցումր:

Իսկ 4իտտր ավելի լավ էր կողմնորոշվում իրական կյանքում և տնտեսության ու տեխնիկայի հարցերում, բան քաղաքական խարդա­վանքներում (որոնց մեջ մեծ տաղանդ ունեն ձախաուղեղ մարդիկ): Ռասպուտինի նման մարդկանց իշխանության գալուց հետո նա անցավ հանգստի: 4իտտր նորից կանչվեց իշխանության քաղաքագետների ստեղծած կրիտիկական վիճակր վերացնելու համար, ինչր ստեղծվել էր ռուս-ճապոնական պատերազմի և 1905 թվի հեղափոխության հետևան­քով: Ես նույնիսկ կարծում եմ, որ եթե 4իտտր մնար Ռուսաստանի ղեկին հաջորդ տասնամյակի րնթացքում, ապա մեր պատմությունր կլիներ բոլորովին այլ. չէր լինի ոչ համաշխարհային պատերազմր, ոչ հեղա- փոխությունր, և մենք կապրեինք այնպես, ինչպես Ֆինլանդիան ու Շվեդիան...

Իհարկե, 4իտտի ուժր ոչ թե ինչ-որ մաթեմատիկայի (“հաշվի”) կիրառման մեջ էր, այլ մտածողության այն եղանակի, ինչր նա անվանում է “մաթեմատիկա-փիփսոփայություն” և որր ստիպում է մաթեմատիկա­կան կրթություն ստացած մարդուն շրջակա աշխարհի բոլոր իրողու­թյունների մասին մտածել փափուկ մոդելավորման միջոցով (գիտակցա­բար կամ առանց գիտակցելու):

Նման մտածողության անհրաժեշտությունր տնտեսական կամ արդյունաբերական ցանկացած գործունեության (բացառությամբ, թերևս, քաղաքական ինտրիգների) մեջ հաջողության հասնելու համար շատ լավ հասկացվել էր դեռ հարյուր տարի առաջ (տես [3]): Մաթեմատիկական սիմվոլիկա չօգտագործելու դեպքում մարդկային տրամաբանությունր հաճախ շփոթվում է բառային սահմանումներում, որի հետևանքով հե­տագայում անում է սխալ եզրակացություններ: Իսկ բառերի երաժշտու­թյան հետևում այդ սխալների բացահայտումր երբեմն պահանջում է հսկայական աշխատանք և անվերջ, հաճախ' անպտուղ վեճեր:

Դժբախտաբար, ներկայումս նույնպես ակտուալ են մնում մաթե­մատիկական տնտեսագիտության դասական Պարեթոյի խոսքերր. մաթե­մատիկա չիմացող տնտեսազետներր գտնվում են այն մարդկանց վիճա­

7

Կ Ր Թ Ա Կ Ա Ն Բ Ա Ր Ե Փ Ո Խ Ո Ւ Մ Ն Ե Ր

կում, որոնք ցանկանում են լուծել հավասարումների համակարգ, բայց չգիտեն ինչ է դա իրենից ներկայացնում, չգիտեն նույնիսկ ինչ է իրենից ներկայացնում այն կազմող մեկ հավասարումր (տես [4]):

հետնություններ. Ֆունդամենտալ գիտությունների, մասնավորա­պես' մաթեմատիկայի հանդեպ իրականացվող ճնշումր, որ կատարվում է բոլոր երկրներում, մարդկությանր և առանձին երկրների կբերի այն­պիսի վնաս, որր կարելի է համեմաել արևմտյան միջնադարյան ինկ­վիզիցիայի խարույկների բերած վնասի հետ:

Մաթեմատիկական կրթությունր պետք է դառնա յուրաքանչյուր դպրոցականի մշակությային պաշարի անքակտելի մասր: Բայց ոչ մի դեպքում այն չպետք է հանգի դեղատոմսերի (լինի դա բազմապատկման աղյուսակ կամ Windows 95):

Մաթեմատիկական կրթության հիմնական նպատակր պետք է լի­նի իրական աշխարհի երևույթներր մաթեմատիկորեն հետազոտելու ունակության դաստիարակումր, ունակություններ, որոնք այնքան լավ է նկարագրել 4իտտր “’մաթեմատիկոս-փիլիսոփաներին” բնութագրելիս և այնքան փայլուն է օգտագործել ոչ մաթեմատիկական իր գործունեության մեջ: Փափուկ մաթեմատիկական մոդելներ կազմելու և հետազոտելու ար- վեստր նման ունակության կարևորագույն բաղկացուցիչ մասն է:

Գրականություն

Լ Непрекращающееся финансирование псевдоспиритических наук вроде парапсихологии и антиисторического вздора академика А. Т. Фоменко (в 1997 году зам. академика-секретаря отделения математики РАН) еще ждет своего объяснения.

2. С. Ю. Витте. Воспоминания, т. 3, гл. 5.3. В. Ф. Арнольд. Политико-экономические этюды. Одесса, изд. Распопова,

1904.4. V. Pareto. Anwendung der Mathematik auf Nationalokonimie. Encyclopedie der

Mathematischen Wissenschaften, Band I, Heft 7, S. 1114

Թարզմսւնությունր' Լ. Մ.

8

Գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն

ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ԳԻՏԵԼԻՔՆԵՐՆ ՈՒ ԿԱՐՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ,

«ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ» ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԱՈԱՐԿԱՅԻ ՉԱՓՈՐՈՇՉՈՒՄ ԵՎ ԾՐԱԳՐՈՒՄ

Արաքսյա Մկրտչյաե1ս. Արոփսւնի անվան 2;ՊՄ2; դասախոս

հարցադրումը

Ժամանակակից կրթական հայեցակարգերում ընդգծվում է կրթության բովանդակության մեջ երկրաչափության բաղադրիչի ընդլայնման կարևորու­թյունը: Այդպիսի մոտեցման համար հիմք է ծառայում այն վիթխարի ներուժը, որ ունի երկրաչափությունը4 որպես ճանաչողական և կիրառական լայն գործա­ռույթներ ունեցող գիտության, որպես մշակութային առանձնահատուկ երևույթի:

Երկրաչափությունը անձի մտավոր, ստեղծագործական և հաղորդակցա­կան կարողությունների զարգացման մեծ ներուժ ունի:

Երկրաչափական մտածելակերպը, մի կողմից, իր մեջ կրում է աշխարհի ճանաչողության մեթոդները, և այդ առումով այն ունի բնագիտական բնույթ, իսկ մյուս կողմից' չի կառչում շրջապատող աշխարհի ֆիզիկական ձևերին և առնչու­թյուններին, այլ դիտարկում է իդեալական պատկերներ և տարածական ձևեր: Արդյունքում, երկրաչափական հետազոտության օբյեկտները դիտվում են, մի կողմից' որպես առարկայորեն տեսանելի և ընկալելի պատկերներ, իսկ մյուս կողմից' որպես մտքի վերացական առարկաներ, որոնց հատկությունների բա­ցահայտումը կատարվում է զուտ տրամաբանական միջոցներով: Երկրաչափու­թյունը բացառիկ և կատարյալ միջոց է, որով տրամաբանական մտածողության ընթացքը ուղեկցվում է դրան համապատասխանող պատկերային ընկալմւսմբ: Ի

9

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

տարբերություն մյուս ուսումեակաե բեագավառեերի, որոնցում ա]ս կամ սւ]ե չափով նույնպես օգտագործվում են պատկերներ' միջնորդված ձևով դիտողա­կանություն ապահովելու համար, երկրաչափության մեջ պատկերներն ուղղա­կիորեն համապատասխանում են նյութի բովանդակությանն ու տրամաբա­նական կառուցվածքին: Այդպիսով, երկրաչափության միջոցով կարգավորվում է սովորողի մտավոր գործունեությունը, զարգանում է նրա երևակայությունը և, հետևապես, զարգանում է նաև ստեղծագործական կարողությունը, քանի որ առհասարակ ստեղծագործական գործընթացի հիմքում ընկած է հենց երևա­կայությունը:

Մաթեմատիկայի ուսուցման բովանդակությունը կարգավորվում է երեք հիմնական փաստաթղթերով' պետական ու առարկայական չափորոշիչներով և առարկայական ծրագրով: Արդյո՞ք միմյանց համապատասխանում են դրանցով սովորողներին ներկայացված որակական պահանջները, պետական չափորոշչով ներկայացված պահանջներն ինչպե՞ս են որոշակիացվել առարկայական չափո- րոշչում, առարկայական չափորոշչում ամրագրված պահանջներն արդ)ո±ք լիա­կատար արտացոլվել են առարկայական ծրագրում: Մենք արդեն քննության ենք առել տարրական և միջին դպրեցների «Մաթեմատիկա», 7-9-րդ դասարանների «հանրահաշիվ», ավագ դպրոցի «հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր» ուսումնական առարկաների չափորոշիչներում և ծրագրերում տրամա­բանական մտածողության զարգացմանն առնչվող գիտելիքների ու կարողու­թյունների ներկայացման հարցերը: Մտորև վերոհիշյալ փաստաթղթում տրամա­բանությանը վերաբերող գիտելիքների ու կարողությունների ընդգրկման համե­մատական վերլուծություն կկատարենք հիմնական դպրոցի 7-9-րդ և ավագ դպրոցի 10-12-րդ դասարանների «Երկրաչափություն» ուսումնական առարկայի համար:

1. Պետական չափորոշչով ներկայացված պահանջներր

ձանրակրթության պետական չափորոշչում ուսումնական բնագավառնե­րից յուրաքանչյուրը, այդ թվում և մաթեմատիկան ներկայացվում է կրթության բովանդակության հետևյալ երեք բաղադրիչների միջոցով' գիտելիքների համա­կարգ, կարողություններ և հմտություններ, արժեքային համակարգ:

Միջին դպրոցի ծրագրի «Մաթեմատիկա» ուսումնական բնագավառը նպատակաուղղված է'

• սովորողների կողմից ինքնուրույն կշռադատություններ կատարելու ձգտմանը, մտքի ճշգրտության, ճկունության կարևորմանր.

• տարաբնույթ խնդիրների լուծման ժամանակ ստեղծագործական մոտեցման ցուցարերմանր.

10

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

• համագործակցային մեթոդներով աշխատելու կարևորմանը, սովորողի մտավոր ունակություններր զարգացնելու, շրջապատի և աոօրյա կյանքի տարբեր երևույթներր մոդելավորելու, հիմնավոր դատողություններ կատա­րելու գիտելիքների կարողությունների և հմտությունների զարգացմանը:

Ա]ս եպատակեերի իրակաեացումը եեթադրում է, որ զուտ մաթեմատի­կական գիտելիքների ու կարողությունների հետ մեկտեղ անհրաժեշտ են նաև տրամաբանական բնույթի գիտելիքներ ու կարողություններ: Չափորոշչում մի­ջին և ավագ դպրոցներին նվիրված բաժնում երկրաչափության տարրերի կողքին ձևակերպված են նաև պահանջներ, որոնք ուղղակիորեն առնչվում են տրամա­բանությանը վերաբերող գիտելիքներին ու կարողություններին: Թվարկենք ալդ պահանջները:

ՀԻՍՆԱԿԱՆ (ՄԻԶԻՆ) ԴՊՈՑԻ ՇՐԶԱՆԱ4ԱՐՏԻՆ ՆԵՐ4Ա ՅԱ Ց4Ո Ղ

ԸՆԴՀԱՆՐԱԿԱՆ ՊԱՀԱՆՋՆԵՐԸ

Հիմնական (միջին) դպրոցի շրջանավարտը պետք է' ունենա մաթեմատի­կական գրագիտություն ու մտածողություն, կայուն գիտելիքներ և ճանաչողական ու կիրառական ունակություններ բնական գիտությունների ոլորտում

• կարողանա նկարագրել շրջապատի և առօրյա կյանքի տարբեր երևույթներ, կատարի դրանց վերաբերյալ հստակ դատողություններ, փաստարկների վրա հենվելով կարողանա կատարել հիմնավորումներ,

• կարողանա նկատել տարբեր երևույթների միջև առկա կապերը, երևույթ­ների առանձնահատկությունները, օրինաչափությունները և ներկայացնի դրանք բառերով ու սիմվոլներով,

• առօրյա պարզ իրավիճակների վերաբերյալ տվյալներ հավաքել ու դրանց օգնությամբ աղյուսակներ, դիագրամներ կազմել,

• կարողանա կատարել պարզագույն կառուցումներ, գծագրեր և դրանք գործ­նականում կիրառել,

• պատկերացում ունենա երկրաչափական հասկացությունների, դրանց տարրերի, հատկությունների մասին,

• ունենա մեծությունների վերաբերյալ գիտելիքներ և կարողանա կիրառել դրանք գործնական պարզ իրադրություններում,

• ունենա առօրյա գործունեության հետ կապված խնդիրների լուծման կարո­ղություն (ծախսերի պլանավորում, գնումների կատարում, առօրյա իրավի­ճակներին վերաբերող հաշվարկների կատարում և այլն),

11

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

• ուեեեա հետազոտակաե պարզ աշխատանքներ կատարելու տարրական կարողություններ և հմտություններ,

• տիրապետի գիտական ճանաչողության մեթոդների, կարողանա դրանք կիրառել կոնկրետ իրավիճակներում,

• բացահայտի և պարզաբանի առանձին երևույթների պատճառահետևան- քափն կապերը:

Ավագ դպրոցի ծրագրի «Մաթեմատիկա» ուսումնական բնագավառը ևպատակաուղղված է'

• սովորողների կողմից որպես գիտության համրնղհսւնուր լեզու և երևույթ­ների ու պրոցեսների մողելսւվորման միջոց մաթեմատիկայի ղերի, հասա­րակության զարգացման մեջ մաթեմատիկայի պատմական դերի և նշանա­կության արժևորմանր.

• սովորողների տրամաբանական մտածողության և տարածական պատկե­րացման զարգացմանը, ալգորիթմակ ան և քննական մտածողության ձևա­վոր մանր, տարաբնույթ խնղիրներ մողելավորելու և վերլուծություններ կատարելու, ավալների հետ աշխատելու, հետագա կրթության և մասնագի­տական գործունեության համար կարողությունների զարգացմանր:

ՄԻՋՆԱԿԱՐԳ (Ա4ԱԳ) ԴՊՈ8Ւ ՇՐՋԱՆԱ4ԱՐՏՒՆ ՆԵՐ4ԱՅԱ84ՈՂ ԸՆԴՀԱՆՐԱԿԱՆ ՊԱՀԱՆՋՆԵՐԸ

Միջնակարգ (ավագ) դպրոցի շրջանավարտը պետք է' ունենա տրամա­բանական զարգացած մտածողություն, ճանաչողական, ստեղծագործական ու կիրաոական ունակություններ' մաթեմատիկայի ու բնական գիտությունների ոլորտում'

• տիրապետի ապացուցման մեթոդների, իրականացնի հետազոտական աշ­խատանք,

• կարողանա տարբեր երևույթների վերաբերյալ կատարել վերլուծություններ, ապացուցման եղանակներ կիրառելով կատարի հիմնավորումներ,

• տվյալները վերլուծելով և համադրելով կարողանա կատարել ճիշտ հե­տևություններ,

• կարողանա բացահայտել օբյեկտների տարրերի միջև գոյություն ունեցող կապերը, երևույթների առանձնահատկությունները, օրինաչափությունները և տալ դրանց մեկնաբանությունը,

12

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

• կարողաեա վերլուծել, մեկեաբաեել և ներկայացնել երևույթների պատճսւ- ռահետևաևքայիև կապերր,

• կարողանա վերլուծություններ կատարելով կառուցի մաթեմատիկական մոդելներ, գրաֆիկներ, գծապատկերներ,

• ունենա կիրառական խնդիրներ լուծելու կարողություն,• տիրապետի գիտական ճանաչողության մեթոդներին, կարողանա մոդելա­

վորել, վարկածներ առաջադրել և փորձնական ճանապարհով ստուգել, ստացված արդյունքներն րնդհանրացնել, կատարել եզրահանգումներ և կանխատեսումներ:

Թվարկված այս պահանջներր կոնկրետացման, որոշակիացման և առավել հանգամանալի ներկայացման կարիք ունեն, ինչն արված է առարկայական չափորոշչում:

2. Առարկայական չափորոշչով ներկայացված պահանջները

Քանի որ կրթական գործունեության համար բարձրագույն արժեքր մարդն է, իսկ գլխավոր նպատակր նրա ներդաշնակ գարգացումր, այդ պատճառով ներկայումս դասընթացի գլխավոր նպատակը աշակերտներին ոչ միայն երկ­րաչափություն սովորեցնելն է, այլև երկրաչափություն ուսումնասիրելու միջոցով աշակերտների ունակությունների գարգացումր:

Օրինակ, մտավոր զարգացման տեսանկյունից գլխավոր նպատակ է դիտ­վում ոչ թե այս կամ այն թեորեմի ապացուցումր սովորեցնելր, այլ ապացուցում­ներ կատարելու կարողությունների ձևավորումն ու գարգացումր: Առաջին հա­յացքից կարող է թվալ, թե որևէ պնդման ապացուցումն իմանալր առանձնապես չի տարբերվում ապացուցել կարողանալուց: Սակայն, բանն այն է, որ մի դեպ­քում ակտիվ դերում է հիշողությամբ րնկալումր, իսկ մյուս դեպքում' ճանաչո­ղական, հետազոտական, ստեղծագործական գործրնթացր: Առաջինր անկայուն է, կիրառելի է միայն ծանոթ իրադրություններում, մինչդեռ երկրորդն ավելի կայուն է, կիրառելի է նաև աևծաևոթ իրադրություևևերում: Նույևր վերաբերում է խևդիրևեր լուծելուև առհասարակ: Այսպես, կրթակաև առումով առաևձևապես մեծ չէ որևէ խևդրի լուծումև իմաևալու ևշաևակություևր: Այևիևչ, խևդրի պարա­գայում կրթակաև հիմևակաև ևպատակև է գիտելիքևերի օգտագործմաև միջոցով խևդրի արտահայտած իրադրություևր վերլուծելու, լուծմաև ուդիևեր որոևելու, կողմևորոշվելու, վարկածևեր առաջադրելու, կաևխատեսումևեր աևելու, վճիռ-

13

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

եեր կայացնելու, գործողությունների պլան մշակելու, արդյունքները ստուգելու, գնահատելու, անհրաժեշտ ճշգրտումներ կատարելու, հետեսւնքներր վերլուծելու և ա]լ կարողությունների ու հմտությունների զարգացումր:

Երկրաչափության դասրնթացի արդյունավետությունր մեծապես կախված է լինելու երկու էական զուգակցումներից. 1) երկրաչափական ուսումնասիրու­թյունների րնթսւցքում զուգակցվելու են ինտուիտիվ' պատկերային րնկալում- ներր և տրամաբանական արտահայտչսւձևերր, արտածումներր, հիմնավորում- ներր, դրա շնորհիվ ապահովվում է նյութի մատչելիությունր և ճշգրտությունր,2) երկրաչափության հիմունքների հետազոտումր ուղեկցվելու է երկրաչափա­կան պատկերների և մարմինների դիտարկմամբ. սւ]դ դեպքում պատկերներր, մարմիններր և դրանց մոդելներր յուրահատուկ հենարանի դեր են կատարում տարածության մեջ «կախված» կետերի, ուղիղների, հարթությունների փոխդա­սավորությունների և դրանց հետ կապված հասկացությունների ու առնչություն­ների հետազոտման համար:

1) Հիմնական դպրոցի երկրաչափության դասընթացի նպատակն է.

Հարթության վրա երկրաչափական պատկերների հատկությունների և առնչությունների համակարգված ուսումնասիրման և տարածական պատկեր­ների ծանոթացման միջոցով զարգացնել սովորողների պատկերային ընկալում­ները, ճանաչողական ունակությունները, տրամաբանական և ւսլգորիթ ման ական մտածողությունը, կյանքի տարբեր իրադրություններում հանդիպող կիր աոական խնդիրներ լուծելու, գծապատկերներից, պայմանանշաններից, երկրաչափության լեզվից օգտվելու կարողությունները, ինչպես նաև հարակից ուսումնական բնա­գավառներն ուսումնասիրելու, հետագա կրթությունը շարունակելու, ինքնա­կրթությամբ զբաղվելու, աոօրյաիրադրություններումկողմնորոշվելու և գործնա­կան աշխատանքներ կատարելու համար անհրաժեշտ գիտելիքներն ու հմտու­թյունները, նպաստել նրանց արժեքային համակարգի ձևավորմանն ու սոցիա­լական հմտությունների զարգացմանը:

Ստորև ներկայացնենք երկրաչավաւթյան տրամաբանական հիմունքների բովանդակային միջուկր հիմնական դպրոցի համար.

Սահմանում, աքսիոմ, թեորեմ, հետևանք թեորեմից: Անհրաժեշտ և բավա­րար պայմաններ: Ուղիղ և հակադարձ թեորեմներ: Ապացուցում և հերքում Ուղղակի և անուղղակի ապացուցումներ, ապացուցումհակաոակից: Անալոգիա: Երկրաչափության աքսիոմների մասին: Էվկլիդեսի 5-րդ պոստուլատը և նրա պատմությունը: Տեղեկություն ոչ էվկլիդյան երկրաչափության մասին:

14

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Առարկայական չափորոշչում տրամաբանությանը վերաբերող գիտելիքնե­րը, կարողություններն ու հմտությունները հիմնական դպրոցում սովորողի հա­մար ներկայացված են հետևյալ պահանջներով.

Ա խումբ (նվազագույն պահանջներ)

Գործնական և ուսումնական խնդիրներ լուծելիս կարողանա աշխատել ինքնուրույն և համագործակցել խմբում, գաղափար ունենա հասկացության, դա­տողության, մտահանգման, ապացուցման և հերքման մասին, կարողանա նկա­րագրել կատարված քայլերն ու գործողությունները, դրանց վերաբերյալ տալ պարզաբանումներ և հիմնավորումներ, օգտվել տեղեկատվության աղբյուրներից, կատարել համեմատություններ, վերլուծություններ, ստուգումներ և ճշգրտումներ, հաղորդակցվել երկրաչափության լեզվի և պայմանանշանների օգտազործմամբ:

Բ խումբ (ավելանում է Ա խմբի պահանջներին)

Հասկանա ինչ է սահմանումը, աքսիոմը, թեորեմը, ապացուցումը, հերքումը, կարողանա բերել օրինակներ, որոշել մի քանի պարզ դատողություններրից կազմված պնդումների ճշմարիտ կամ կեղծ լինելը, կատարել անմիջական և ոչ բարդ միջնորդավորված մտահանգումներ, ըստ անհրաժեշտության բերել փաստարկներ, կատարել անհրաժեշտ վերլուծություններ, տարբեր եղանակնե­րով ստուգումներ և ճշգրտումներ, երկրաչափության լեզվի և պայմանանշան­ների օգտազործմամբ արտահայտվել հստակ և հասկանալի:

Գ խումբ (ավելանում է Ա և Բ պահանջներին)

Հասկանա երկրաչափության աքսիոմատիկ կառուցման իմաստը, իմանա ուղղակի և անուղղակի ապացուցումների եղանակները, կարողանա ապացուց­ման խնդիրներ լուծելիս բերել անհրաժեշտ և բավարար փաստարկներ, պահ­պանել մտահանգման կանոնները, գրավոր և բանավոր արտահայտվել ճշգրիտ և հստակ' տեղին օգտագործելով երկրաչափության հասկացությունները, գծա­պատկերները, պայմանանշանները:

Արժեքսւյին համակարգը

Ներկայացվող պահանջներն արտահայտվում են սովորողի' որպես անձի և քաղաքացու ցուցաբերած վերաբերմունքի, դիրքորոշման, վարքի և գործելակեր­պի միջոցով: Երկրաչափության ուսումնասիրման շնորհիվ սովորողը պետք է'

15

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

• գիտակցի ճշգրիտ գիտելիքների կսւրևորությունր, առօրյա կյանքում դրանց

կիրառության արդյունավետութլունր,

• կարևորի խոսքի հստակութլունր և հսւկիրճությունր, գիտակցի ոչ խոսքային

միջոցների' գծապատկերների, նշանների և պայմանանշանների դերր հա­

ղորդակցման մեջ,

• համոզմունքներ ունենալիս կարևորի փաստերի և փաստարկների առկա-

յութլունր, հետևությունների հիմնավորվածությունր,

• զգա համաչափ ու ներդաշնակ պատկերների գեղեցկությունր, ձգտի ստեղ­

ծագործական աշխատանքների միջոցով գեղագիտական հաճույք ստանալ,

• գիտակցի մշակութային արժեքների ստեղծման մեջ երկրաչափական պատ­

կերացումների դերր, ձգտի ալդ արժեքներր րնկալել, պահպանել և կաւոա­

րելագործել,

• գնահատի ճշտապահութլունր, ազնվությունր, պարտաճանաչությունր, ցու­

ցաբերի դրանք պաշտպանելու պատասխանատվություն,

• կարևորի ուշադիր և կենտրոնացած աշխատանքր, իրատեսական նպա­

տակներ և խնդիրներ դնելր, ձգտի նպատակին հասնելու համար զործադրել

թույլատրելի միջոցներ:

2) Ավագ դպրոցի ընղհանուր հոսքի երկրաչավաւթյաե դասընթացի նպատակն է.

Տարածության մեջ երկրաչափական պատկերների ու մարմինների հատ­

կությունների և առնչությունների համակարգված ուսումնասիրման միջոցով

զարգացնել սովորողների տարածական պատկերացումները, պատկերային և

տրամաբանական մտածողությունը, ճանաչողական ունակությունները, կյան­

քի տարբեր իրադրություններում ծագող կիրաոական խնդիրներ լուծելու,

գործողությունների պլան մշակելու, գծապատկերներով և պայմանանշան­

ներով կողմնորոշվելու, երկրաչափության լեզվի գործածմամբ հաղորդակց­

վելու կարողությունները, ինչպես նաև հարակից ուսումնական բնագավառ­

ներն ուսումնասիրելու, մասնագիտություն ընտրելու, հետագա կրթությունը

շարունակելու, ինքնակրթությամբ զբաղվելու, աշխատանքային և աոօրյա

իրադրություններում կիրառելու համար անհրաժեշտ գիտելիքներն ու հմտու­

թյունները, նպաստել նրանց սոցիալականացմանն ու արժեքային համակարգի

ձևավորմանը:

16

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Առարկայական չափորոշչում տրամաբանությսւնր վերաբերող գիտե|իքևե- րը, կարողություններն ու հմտությունները ավագ դպրոցի րնդհանուր հոսքումսովորողի համար ներկայացված են հետնյալ պահանջներով.

Ա խումբ

Աշխատանքային և ուսումնական իրադրություններում կարողանա գործել ինքնուրույն և համագործակցել խմբում, գաղափար ունենա հասկացության, սահմանման, դասակարգման, մտահանգման, ապացուցման և հերքման մասին, կարողանա նկարագրել կատարած քայլերն ու գործողություններդ դրանց վերաբերյալ տալ պարզաբանումներ և հիմնավորումներ, օգտվել տեղեկատվու­թյան աղբյուրներից, կատարել վերլուծություններ, րնդհանրացումներ, ստու­գումներ և ճշգրտումներ, հաղորդակցվել' երկրաչափության լեզվի և պայմանա­նշանների օգտագործմամբ:

Բ խումբ

Իմանա ինչ են դեդուկտիվ և ինդուկտիվ մտահանգումներր, համանմանու­թյունդ ուղղակի և անուղղակի ապացուցումն ու հերքումր, կարողանա որոշել րնդհանուր և մասնավոր դատողություններից կազմված պնդումների ճշմարիտ կամ կեղծ լինելը, ձևակերպել դրանց հակառակր (տրամաբանական ժխտումր), գործնական և ուսումանկան խնդիրներ լուծելիս օգտվել տեղեկատվության աղ­բյուրներից, կատարել անհրաժեշտ վերլուծություններ և րնդհանրացումներ, տարբեր եղանակներով ստուգումներ և ճշգրտումներ, բերել փաստարկներ, օգ­տագործելով երկրաչափության լեզուն, պայմանանշաններ և տեխնիկական միջոցներ' արտահայտվելով հստակ և հասկանալի:

Գ խումբ

Գիտենա ինչ կապ կա տարածաչափության և հարթաչափության աքսիոմ­ների միջև, իմանա և պահպանի սահմանման և դասակարգման հիմնական կանոններր, գիտենա մտահանգումների, ապացուցման և հերքման տարբեր եղանակներ և կարողանա դրանք կիրառել րստ անհրաժեշտության, լուծել ապա­ցուցման խնդիրներ' բերելով անհրաժեշտ և բավարար փաստարկներ, գրավոր և բանավոր արտահայտվել ճշգրիտ, որոշակի և հակիրճ' տեղին օգտագործելով երկրաչափական հասկացություններ, գծապատկերներ, պայմանանշաններ, ոչ խոսքաափն միջոցներ:

17

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Արժեքսցին համակարգը

Երկրաչափության ուսումնասիրման շնորհիվ սովորողր պետք է'• գիտակցի ճշգրիտ գիտելիքների կսւրևորությունր, դրանց կիրառության

արդյունավետությունը առօրյա կյանքում և աշխատանքում,• կարևորի գրավոր և բանավոր խոսքի հստսւկությունր, ճշգրտությունր, հա-

կիրճությունր, մատչելիությունը,• գիտակցի գծապատկերների, նշանների, պայմանանշանների դերր հաղոր­

դակցման մեջ, ձգտի րնդլսւյնել արտահայտման ոչ խոսքային միջոցների գործածման շրջանակր,

• ճնիհի դյուրահավատ' կարևորի փաստերի հավաստիությունր և փաստարկ­ների անհրսւժեշտությունր, չցուցաբերի ավելորդ կասկածամտություն' կարևորի փաստարկների բավարսւրությունր և հետևությունների հիմնա- վորվածությ ունր,

• զգա համաչափ ու ներդաշնակ պատկերների գեդեցկությունր, մտածողու­թյան կարգավորված րնթացքի նրբագեղությունր, ձգտի գործել' գեղագիտա­կան հաճոցք վերապրելով,

• գիտակցի համամարդկային և ազգային մշակութային արժեքների ստեղծ­ման մեջ երկրաչափական պատկերացումների դերր, ձգտի այդ արժեքներր րնկալել, պահպանել, կատարելագործել, ժառանգել,

• գնահատի ճշմարտությունր, արդարությունր, ազնվությունր, արժանա- պատվությունր, ցուցաբերի դրանք պաշտպանելու վարքագիծ, անկանխա­կալ տեսակետ հայտնելու պատասխանատվություն,

• գնահատի ստեղծագործական երևակայությունր, ձգտի կապեր հաստատել երևակայական պատկերացումների և իրականության միջև, առօրյա կյանքում մերժի գորշ իրապաշտությունր,

• կարևորի իրատեսական նպատակներ և խնդիրներ դնելր, բարեխիղճ և կենտրոնացած աշխատանքր, ձգտի նպատակին հասնելու համար գործա- դրել թույլատրելի միջոցներ:

3. Չափորոշչային պահանջների արտացոլումը առարկայականծրագրում

Երկրաչափության առարկայական ծրագրերր մշակվել են առարկայական չափորոշչին համապատասխան և ծառայելու են որպես հիմանական փաս-

18

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

տսւթուդթ' չափորոշիչեերի վրա հիմնված ուսուցում իրականացնելու համար: Ծրագրերում հիմնական և ավագ դպրոցների համար րստ դասարանների պլա­նավորված է ուսումնական նյութն այնպես, որ դրա հաջորդական ուսումնասի- րությունր սովորողների համար հնարավորություն է րևձեռում'

• ապահովել չավտրոշչսւյին գիտելիքների իմսւցությունր,

• զարգացնել տրամաբանական և ստեղծագործական ունսւկություններր,

գիտելիքներր կիրառելու, ինքնուրույն գործունեություն իրականացնելու

կարողություններն ու փորձր,

• նպաստել սւրժեքսւյին համակարգի ձևավորմանր և սոցիալական հմտու­

թյունների գարգացմանր:

Ավագ դպրոցի րնդհանուր հոսքի և տարբերակված հոսքերի համար նա­

խատեսված են առանձին ծրագրեր, որոնցում հաշվի են առնված համապա­

տասխան հոսքերի չավտրոշչսւյին պահանջներր և հենքային ուսումնական պլա­

նով նախատեսված ժամաքանակի բաշխումր: Այդ ծրագրերի միջև էական տար-

բերություևր վերաբերում է ուսումևակաև ևյութի բովաևդակությաև ոչ այևքաև

ծավալիև, որքաև խորությաևր, րևդ որում' տարբերակված 1-իև (հաևրակրթա-

կաև) հոսքի համար բարդ արտածումևեր և բագմաքայլ ապացուցումևեր պահաև-

ջող բաևաձևերև ու թեորեմևերր ևերկայացվում եև, հիմևակաևում, ևկարագրա-

կաև բևույթի փաստարկմաև, պարգաբաևմաև, օրիևակևերի վրա լուսաբաևմաև

միջոցով, և դիտարկվում եև համեմատաբար ավելի պարզ խևդիրևեր, իսկ 3-րդ

հոսքի համար' հակառակր, ևյութր ևերկայացվում է ապացուցումևերով, բազմա-

կողմաևի հիմևավորումևերով, և դիտարկվում եև ևաև բարդ խևդիրևեր:

հիմնական դպրոց, «Երկրաչափություն»

Կրթական ընդհանուր խնդիրներն ըստ դասարանների

7-րդ դասարան

Ձևավորել երկրաչափակաև լեզվի զործածմաև, գծապատկերմաև կարողու-

թյուևևեր, ևպաստել պատկերայիև մտածողությաև զարգացմաևր, հասկացու -

թյուևևեր սահմաևելու, եզբակացություևևեր կատարելու, թեորեմևեր ապացու­

ցելու, գործողություևևերի պլաև մշակելու, հետևաևքևերր վերլուծելու, կռահում-

ևեր կատարելու կարողություևևերի զարգացմաևր:

19

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

8-րդ դասարան

Զարգացնել ինքնուրույն և համագործակցայիև աշխատանքներ կատարե­լու, կառուցումներ, դիտարկումներ, համեմատություններ, դասակարգումներ, վերլուծություններ, րնդհանրացումներ անելու, վարկածներ առաջադրելու, ապացուցումներ և արտածումներ կատարելու, դրանց արտահայտման համար երկրաչափության լեզուն գործածելու կարողություններ:

9-րդ դասարան

Շարունակել զարգացնել երկրաչափական կառուցումներ, ապացուցումներ կատարելու, խնդրի լուծման պլան մշակելու, րստ անհրաժեշտության տեղե­կատվության աղբյուրներից օգտվելու, երկրաչափության լեզվով հաղորդակց­վելու կարողություններ:

Կրթության ընդհանուր խնդիրներն ըստ թեմաների

Թեմա 7-1. Երկրաչափական սկզբնական հասկացություններ: ՉափումներՆպաստել պատկերային մտածողության զարգացմանր, նախապատրաս­

տել և ծանոթացնել հասկացություններ սահմանելու, եզբակացություններր հիմ­նավորելու տրամաբանական հնարքների:

Թեմա 7-2. Եռանկյուն: Երկրաչափական կառուցումներՁևավորել թեորոմներ ապացուցելու հմտություններ' եռանկյունների հա­

վասարության բացահայտման և հավասարությունից բխող հետևանքների վեր­լուծության միջոցով, երկրաչափական կառուցումների միջոցով նպաստել գիտե­լիքների ամրապնդմանր, պատկերային, տրամաբանական և ալգորիթմական մտածողության զարգացմանր:

Թեմա 7-3. Առնչություններ ուղիղների, եռանկյան անկյունների և կողմերի միջև Ցույց տալ, թե ինչպես են կիրառվում աքսիոմներն ու ապացուցված թեո-

րոմներր խնդիրներ լուծելիս և հատկապես ոչ ակնհայտ փաստեր բացահա]- տելիս, զարգացնել տարածական պատկերացումներր' քառանիստի դիտարկ­ման միջոցով:

Թեմա 8-1. ԲազմանկյուններԶարգացնել տարածական պատկերացումներր' դիտարկելով բազմա-

նիստերի տարբեր տեսակներ, ձևավորել տարածական պատկերների գծապատ-

20

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

կերմաե կարողություններ, հաշվման, ապացուցման և կառուցման խնդիրներ լուծելու միջոցով ձևավորել վարկածներ առաջարկելու, եզրակացություններ կատարելու, գնահատելու և դրանց արտահայտման համար երկրաչափության լեզուն գործածելու կարողություններ:

Թեմա 8-2. ՇրջանագիծՇարունակել տարածական պատկերացումների զարգսւցումր' դիտար-

կելով պտտման մարմիններր, պարզաբանելով դրանց տարրերի միջև ակնառու

հարաբերություններր, զարգացնել ինքնուրույն կառուցումներ, դիտարկումներ,

համեմատություններ, դասակարգումներ, վերլուծություններ և րնդհանրացում-

ներ կատարելու, երկրաչափական լեզվի գործածման և գծապատկերման կարո֊

ղություններր:

Թեմա 9-2. Նմանություն: Եռանկյունաչափական առնչություններԶարգացնել տարածական րնկսւլումներր' ծանոթություն տալով պատկեր­

ների նմանության մասին, զարգացնել երկրաչափական կառուցումներ, ապացու­

ցումներ կատարելու, խնդրի լուծման պլան մշակելու կարողություններ:

Թեմա 9-2. Երկրաչափական մեծությունների հաշվումներՁևավորել և զարգացնել գործնական հմտություններ տարածական պատ­

կերներին վերաբերող մեծություններ հաշվելու համար, զարգացնել երկրաչա­

փական խնդիրներ լուծելիս րստ անհրաժեշտության տեղեկատվության աղբյու­

րից օգտվելու, թվաբանության, հանրահաշվի և սւ]լ բնագավառների գիտելիքներր

կիրառելու կարողություններ:

Ավագ դպրոցի ընդհանուր հոսքի երկրաչափության ծրագիր Կրթության ընդհանուր խնդիրներն ըստ դասարանների

10-րդ դասարան

Ձևավորել և զարգացնել տարածական պատկերների' հարթության վրա

գծապատկերման, գծագրերի միջոցով կողմնորոշվելու, երկրաչափության լեզվի

օգտագործմամբ հաղորդակցվելու, հասկացություններ սահմանելու, կատարած

գործողություններն ու քսղլերր հիմնավորելու, բանաձևեր արտածելու, թեորեմ­

ներ ապացուցելու կարողություններ:

21

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

11-րդ դասարան

Զարգացնել երկրաչափակաե պատկերեերի հատկությունների հիման վրա բանաձևեր արտածելու, կիրառական խնդիրներ լուծելու, երկրաչափական գիտելիքների հետ մեկտեղ հանրահաշվական և եռանկյունաչափական գիտելիք­ներ օգտագործելու, երկրաչափական լեզվի և պայմանանշանների գործածու­թյամբ հաղորդակցվելու, վարկածներ առաջարկելու, եզրակացություններ կա­տարելու, կատարած քսղլերր պարզաբանելու և հիմնավորելու կարողություններ:

12-րդ դասարան

Շարունակել զարգացնել գործնական աշխատանքներում գիտելիքներր բազմակողմանիորեն կիրառելու, տեղեկատվության աղբյուրներից վարժ օգտվե­լու, տարբեր իրադրություններում գործողությունների պլան մշակելու, կանխա­տեսումներ, կռահումներ, ստուգումներ, գնահատումներ կատարելու, համագոր­ծակցելու, երկրաչափության լեզվով և պայմանանշաններով հաղորդակցվելու

կարողություններ և հմտություններ:

Կրթական հիմնական խնդիրներն ըստ թեմաների

Թեմա 10-1. Ուղիղները և հարթությունները տարածության մեջՁևավորել ու զարգացնել տարածաչափական հիմնական տարրերի, դրանց

առնչությունների ու հատկությունների մասին պատկերացումներր' զուգակ­ցելով ինտուիտիվ րնկալումներր և տրամաբանական արտահայտման ձևերր:

Թեմա 11-1. Պտտական մարմիններՊտտական մարմինների տարբեր հատույթների և տարբեր համակցում­

ների ուսումնասիրման միջոցով զարգացնել տարածական պատկերացումներր, ճանաչողական և գրաֆիկական կարողություններդ

Թեմա 11-2. Վեկտորները և կոորդինատներր տարածության մեջՇարունակել զարգացնել գծապատկերումներ և նշանակումներ կատա­

րելու, երկրաչափական լեզվի գործածությամբ հաղորդակցվելու, վարկածներ առաջարկելու և եզրակացություններ կատարելու կարողություններ:

Թեմա 12-1. Մարմինների ծավալներՇարունակել զարգացնել գործնական աշխատանքներում գիտելիքներր

կիրառելու, տեղեկատվության աղբյուրներից օգտվելու, տարբեր իրադրություն-

22

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Սերում գործողությունների պլան մշակելու, վերլուծություններ, կանխատեսում­ներ, ստուգումներ, գնահատումներ և ճշգրտումներ կատարելու կարողություն­ներն ու հմտություններր:

Ավագ դպրոցի ծրագրերում րնդգրկված թեմաների բովանդակության մեջ զուտ տրամաբանությանր վերաբերող հարցեր չեն հիշատակվում: Սակայն սւ]դ թեմաների կրթական հիմանական խնդիրների և չափորոշչային ակնկալիքների հանգամանալի վերլուծությունր ցույց է տալիս, որ տրամաբանական գիտե- լիքներր դրսևորվում են կիրառությունների ձևով:

4. Տարբերակված հոսքերի չափորոշչային պահանջների տարբերությունները

Ավագ դպրոցի հանրակրթական-տարքերակված հոսքի երկրաչափության դասընթացի նպատակն է.

Տարածության մեջ երկրաչափական պատկերների ու մարմինների հատ­կությունների և առնչությունների ուսումնասիրման ու ծանոթացման միջոցով զարգացնել սովորողների տարածական պատկերացումները, պատկերային և տրամաբանական մտածողությունը, ճանաչողական ունակությունները, կյանքի տարբեր իրադրություններում ծագող կիրառական խնդիրներ լուծելու, գոր­ծողությունների պլան մշակելու, գծապատկերներով և պայմանանշաններով կողմնոբոշվելու, երկրաչափության լեզվի գործածմամբ հաղորդակցվելու կարո­ղությունները, ինչպես նաև հարակից ուսումնական բնագավառներն ուսումնա­սիրելու, հետագա կրթությունը շարունակելու, ինքնակրթությամբ զբաղվելու, աշխատանքային և առօրյա իրադրություններում կիրառելու համար անհրաժեշտ գիտելիքներն ու հմտությունները, նպաստել նրանց սոցիալականացմանն ու սւրժեքային համակարգի ձևավորմանը:

Ավագդսըացի խորացված ուսուցման հոսքի երկրաչափության դասընթացի նպատակն է.

Տարածության մեջ երկրաչափական պատկերների ու մարմինների հատ­կությունների և առնչությունների համակարգաված, հիմնավոր և բազմակողմա­նի ուսումնասիրման միջոցով զարգացնել սովորողների տարածական պատկե­րացումները, պատկերային և տրամաբանական մտածողությունը, ճանաչողա­կան ունակությունները, կյանքի տարբեր իրադրություններում ծագող կիրառա­

23

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

կան խնդիրներ լուծելու, գործողությունների պլան մշակելու, գծապատկերներով և պայմանանշաններով կոդմնորոշվելու, երկրաչափության լեզվի գործածմամր հաղորդակցվելու կսւրողությունները, ինչպես նաև հարակից ուսումնական բնագավառներն ուսումնասիրելու, հետագա կրթությունը շարունակելու, ընտ­րած մասնազիտությանր նախապատրաստվելու, հետագա կրթությունր շարու­նակելու, ինքնակրթությամբ զբաղվելու, աշխատանքային և առօրյա իրադրու­թյուններում կիրառելու համար անհրաժեշտ գիտելիքներն ու հմտություններր, նպաստել նրանց սոցիալականացմանն ու արժեքային համակարգի ձևավոր- մսւնր:

Տարբերակված հոսքերի երկրաչափության դասրնթացների նպատակների համեմատական վերլուծությունից կարելի է տեսնել, որ տարբերակված հոսքերում ուսումնական նյութի բովանդակություններր միմյանցից տարբերվում են ոչ այնքան ծավալով, որքան խորությամբ: Բացի դրանից խորացված հոսքում նշվում է նաև րնտրած մասնազիտությանր նախապատրաստվելու մասին:

Առարկայական չափորոշչում տրամաբանությսւնր վերաբերող գիտե|]ւք- ները, կարողություններն ու հմտությունները ավագ դպրոցի հանրակրթական֊ տարբերակված հոսքում սովորողի համար ներկայացված են հետևյալ պահանջ­ներով.

Ա խումբ

Աշխատանքային և ուսումնական իրադրություններում կարողանա գործել ինքնուրույն և համագործակցել խմբում, дищшфшр ունենա հասկացության, սահմանման, դասակարգման, մտահանգման, ապացուցման և հերքման մասին, կարողանա նկարագրել կատարած քայլերն ու գործողություններդ դրանց վերաբերյալ տալ պարզաբանումներ և հիմնավորումներ, օգտվել տեղեկատ­վության աղբյուրներից, կատարել վերլուծություններ, րնդհանրացումներ, ստու­գումներ և ճշգրտումներ, հաղորդակցվել' երկրաչափության լեզվի և պայմա­նանշանների օգտագործմամբ:

Բ խումբ

Գաղափար ունենա դեդուկտիվ և ինդուկտիվ մտահանգումների, համա­նմանության, ուղղակի և անուղղակի ապացուցման ու հերքման մասին, կարո­ղանա որոշել րնդհանուր և մասնավոր դատողություններից կազմված պնդում­ների ճշմարիտ կամ կեղծ լինելը, ձևակերպել դրանց հակառակր (տրամաբանա-

24

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

կաե ժխտումը), գործնական և ուսումնական խնդիրներ լուծելիս օգտվել տեղե­կատվության աղբյուրներից, կատարել անհրաժեշտ վերլուծություններ և րնդ- հանրացումներ, տարբեր եղանակներով ստուգումներ, բերել փաստարկներ, օգտագործելով երկրաչափական լեզուն, պայմանանշաններ և տեխնիկական միջոցներ' արտահայտվել հստակ և հասկանալի:

Գ խումբ

Իմանա և պահպանի սահմանման ու դասակարգման հիմնական կանոն- ներր, գիտենա մտահանգումների, ապացուցման և հերքման տարբեր եղանակ­ներ և կարողանա դրանք կիրառել րստ անհրաժեշտության, լուծել ապացուցման ոչ բարդ խնդիրներ' բերելով անհրաժեշտ և բավարար փաստարկներ, գրավոր և բանավոր արտահայտվել ճշգրիտ, որոշակի և հակիրճ' տեղին օգտագործելով երկրաչափական հասկացություններ, գծապատկերներ, պայմանանշաններ, ոչ

խոսքային միջոցներ:

Առարկայական չափորոշչում տրամաբանությսւնր վերաբերող գիտելիքնե­րը, կարողություններն ու հմտությունները ավագ դպրոցի խորացված ուսուցմանհոսքում սովորողի համար ներկայացված են հետնյալ պահանջներով.

Ա խումբ

Աշխատանքային և ուսումնական իրադրություններում կարողանա գործել ինքնուրույն և համագործակցել խմբում, գաղափար ունենա հասկացության, սահմանման, դասակարգման, մտահանգման, ապացուցման և հերքման մասին, կարողանա նկարագրել կատարած քայլերն ու գործողություններդ դրանց վերաբերյալ տալ պարզաբանումներ և հիմնավորումներ, օգտվել տեղեկատվու­թյան աղբյուրներից, կատարել վերլուծություններ, րնդհանրացումներ, ստու­գումներ և ճշգրտումներ, հաղորդակցվել' երկրաչափության լեզվի և պայմանա­նշանների օգտագործմամբ:

Բ խումբ

Իմանա ինչ են դեդուկտիվ և ինդուկտիվ մտահանգումներր, համանմա­նությունդ ուղղակի և անուղղակի ապացուցումն ու հերքումր, կարողանա որո­շել րնդհանուր և մասնավոր դատողություններից կազմված պնդումնեի ճշմա­րիտ կամ կեղծ լինելը, ձևակերպել դրանց հակառակր (տրամաբանական

25

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

ժխտումը), գործնական և ուսումնական խնդիրներ լուծելիս օգտվել տեղեկատ­վության աղբյուրներից, կատարել անհրաժեշտ վերլուծություններ և րնդհանրա- ցումներ, տարբեր եղանակներով ստուգումներ և ճշգրտումներ, բերել փաստարկ­ներ, օգտագործելով երկրաչափության լեզուն, պայմանանշաններ և տեխնիկա­կան միջոցներ' արտահայտվել հստակ և հասկանալի:

Գ խումբ

Գիտենա ինչ կապ կա տարածաչափության և հարթաչափության աքսիոմ­ների միջև, գաղափար ունենա աքսիոմների համակարգի անհակասականությսւն և անկախության մասին, իմանա և պահպանի սահմանման և դասակարգման հիմնական կանոններր, գիտենա մտահանգումների, ապացուցման և հերքման տարբեր եղանակներ և կարողանա դրանք կիրառել րստ անհրաժեշտության, լուծել ապացուցման խնդիրներ' բերելով անհրաժեշտ և բավարար փաստարկ­ներ, գրավոր և բանավոր արտահայտվել ճշգրիտ, որոշակի և հակիրճ' տեղին օգտագործելով երկրաչափության հասկացություններ, գծապատկերներ, պայ­մանանշաններ, ոչ խոսքային միջոցներ:

համեմատելով առարկայական չափորոշչում տրամաբանությսւնր վերաբե­րող գիտե|իքևերի, կարողությունների ու հմտությունները երկու տարբերակված հոսքերում սովորողների համար ներկայացված պահանջներր, նկատում ենք, որ Ա և Բ մակարդակներում էական տարբերություններ չեն նկատվում, մինչդեռ Գ մակարդակում խորացված հոսքի պահանջների մեջ ավելանում են նաև աքսիոմատիկ տեսության մասին գիտելիքներ:

Ավագ դպրոցի տարբերակված-հանրակրթական հոսքի

երկրաչափության ծրագիր

Կրթության ընդհանուր խնդիրներն ըստ դասարանների

10-րդ դասարան

Ձևավորել և զարգացնել տարածական պատկերների' հարթության վրա գծապատկերման, գծագրերի միջոցով կողմնորոշվելու, երկրաչափության լեզվի օգտագործմամբ հաղորդակցվելու, հասկացություններ սահմանելու, եզրակա­ցություններ կատարելու, կատարած գործողություններն ու քայլերր նկարա­գրելու և պարզաբանելու կարողություններ:

26

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

11-րդ դասարան

Զարգացնել երկրաչափակաե պատկերեերի հատկությունների հիման վրա կիրառական խնդիրներ լուծելու, երկրաչափական գիտելիքների հետ մեկտեղ

հանրահաշվական և եռանկյունաչափական գիտելիիքներ օգտագործելու, երկ­րաչափական լեզվի և պայմամանշանների գործածությամբ հաղորդակցվելու,

եզրակացություններ կատարելու, կատարած քայլերր հիմնավորելու կարողու­թյուններ:

12-րդ դասարան

Շարունակել զարգացնել գործնական աշխատանքներում գիտելիքներր կի­

րառելու, տեղեկատվության աղբյուրներից օգտվելու, գործողությունների պլան մշակելու, կռահումներ, ստուգումներ, գնահատումներ կատարելու, համագոր­ծակցելու, երկրաչափության լեզվով և պայմանանշաններով հաղորդակցվելու

կարողություններ և հմտություններ:

Կրթական հիմնական խնդիրներն ըստ թեմաների

Թեմա 10-1. Ուղիղները և հարթությունները տարածության մեջՁևավորել ու զարգացնել տարածաչափական հիմնական տարրերի,

դրանց առնչությունների ու հատկությունների մասին պատկերացումներր' զուգակցելով ինտուիտիվ րնկալումներր և տրամաբանական արտահայտման

ձևերր

Թեմա 11-1. Պտտական մարմիններՊտտական մարմինների պարզ հատույթների ուսումնասիրման միջոցով

զարգացնել տարածական պատկերացումներր, ճանաչողական և գրաֆիկական կարողությ ուններր:

Թեմա 11-2. Վեկտորներր և կոորդինատներր տարածության մեջՇարունակել զարգացնել գծապատկերումներ և նշանակումներ կատարե­

լու, երկրաչափական լեզվի գործածությամբ հաղորդակցվելու, վարկածներ առա- ջարկելու և եզրակացություններ կատարելու կարողություններ:

Թեմա 12-1. Մարմինների ծավալներՇարունակել զարգացնել գործնական աշխատանքներում գիտելիքներր

կիրառելու, տեղեկատվության աղբյուրներից օգտվելու, տարբեր իրադրություն-

27

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Սերում գործողությունների պլան մշակելու, վերլուծություններ, կանխատեսում­

ներ, ստուգումներ, գնահատումներ և ճշգրտումներ կատարելու կարողություն­ներն ու հմտություններր:

Ավագ դպրոցի խորացված ուսուցման հոսքի երկրաչափության ծրագիր

Կրթական ընդհանուր խնդիրներն ըստ դասարանների

10-րդ դասարան

Ձևավորել և զարգացնել տարածական պատկերների' հարթության վրա

գծապատկերման, գծագրերի միջոցով կողմնորոշվելու, երկրաչափության լեզվի

օգտագործմամբ ազատ հաղորդակցվելու, հասկացություններ սահմանելու,

կատարած գործողություններն ու քայլերր հիմնավորելու, բանաձևեր արտա­

ծելու, թեորեմներ ապացուցելու կարողություևևեր:

11-րդ դասարան

Ջարգացևել երկրաչափակաև պատկերևերի հատկություևերի հիմաև վրա

բաևաձևեր արտածելու, կիրառակաև և տեսակաև բևույթի խևդիրևեր լուծելու,

երկրաչափակաև գիտելիքևերի հետ մեկտեղ հաևրահաշվակաև և եռաևկյուևսւ-

չափակաև գիտելիքևեր օգտագործելու, երկրաչափակաև լեզվի և պայմաևա-

ևշաևևերի արդյուևավետ գործածությամբ ազատ հաղորդակցվելու, վարկածևեր

առաջարկելու, եզրակացություևևեր կատարելու, կատարած քայլերր պարզաբա-

ևելու և հիմևավորելու կարողություևևեր:

12-րդ դասարան

Շարունակել զարգացնել գործևակաև և հետազոտակաև աշխատաևքևե-

րում գիտելիքևերր կիրառելու, տեղեկատվությաև աղբյուրևերից օգտվելու,

տարբեր իրադրություևևերում գործողություևևերի պլաև մշակելու, կաևխատե-

սումևեր, կռահումևեր, ստուգումևեր, գևահատումևեր կատարելու, համագոր­

ծակցելու, երկրաչափությաև լեզվով և պայմաևաևշաևևերով ազատ հաղորդակց­

վելու կարողություևևեր և հմտություևևեր:

համեմատելով տարբերակված հոսքերի համար 10-րդ դասարաևի կրթա­

կաև րևդհաևուր խևդիրևերր' ևկատում եևք, որ եթե հաևրակրթակաև հոսքում

28

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

խեղիր էր դրված նկարագրել և պարզաբանել կատարած գործողություններն ու

քսցլերր, ապա խորացված ուսուցման հոսքում սդդ ամենր պետք է հիմնավորել,

բանաձևեր արտածել, սովորել թեորեմներ ապացուցելու կարողություն:

11-րդ դասարանի կրթական հիմնախնդիրների համեմատական վերլու­

ծությունից տեսնում ենք, որ ի տարբերություն հանրակրթական հոսքի, խորաց­

ված հոսքի խնդիրներից են' բանաձևեր արտածելր, տեսական բնույթի խնդիր­

ների լուծումր, վարկածներ առաջարկելր, կատարած քսցլերր պարզաբանելն ու

հիմնավորելր:

12-րդ դասարանի տարբերակված հոսքերի կրթական խնդիրների միջև

նկատվում են, որ խորացված հոսքում ոչ միայն գործնական աշխատանքներում,

այլև հետազատական աշխատանքներում պետք է կիրառել գիտելիքներր,

կատարել կանխատեսումներ:

Կրթական հիմնական խնդիրներն ըստ թեմաների

Թեմա 10-1. Ուղիղները և հարթությունները տարածության մեջ

Ձևավորել ու զարգացնել տարածաչափական հիմնական տարրերի, դրանց

առնչությունների ու հատկությունների մասին պատկերացումներր' զուգակցե­

լով ինտուիտիվ րնկալումներր և տրամաբանական (աքսիոմների միջոցով)

արտահայտման ձևերր:

Թեմա 11-1. Պտտական մարմիններ

Պտտական մարմինների տարբեր հատույթների և տարբեր համակցում­

ների ուսումնասիրման միջոցով զարգացնել տարածական պատկերացումներր,

ճանաչողական և գրաֆիկական կարողություններդ

Թեմա 11-2. Վեկտորներր և կոորդինատներր տարածության մեջ

Շարունակել զարգացնել գծապատկերումներ և նշանակումներ կատա­

րելու, երկրաչափական լեզվի գործածությամբ հաղորդակցվելու, վարկածներ

առաջարկելու և եզրակացություններ կատարելու կարողություններ:

Թեմա 12-1. Մարմինների ծավալներ

Շարունակել զարգացնել գործնական աշխատանքներում գիտելիքներր կի­

րառելու, տեղեկատվության աղբյուրներից օգտվելու, տարբեր իրադրություն­

ներում գործողությունների պլան մշակելու, վերլուծություններ, կանխատեսում-

29

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Սեր, ստուգումեեր, գեահատումեեր և ճշգրտումեեր կատարելու կարողություն֊

եերե ու հմտություններդ

Օգտագործված գրականություն

1. ձաերակրթութ] աե պետակաե չափորոշիչ:2. Մաթեմատիկա, հաերակրթակաե հիմեակաե դպրոցի առարկայական չափո-

րոշիչ և ծրագիր, Եր., «Աետարես», 2007 թ.3. հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր: Երկրաչափություն,

Ավագ դպրոցի չափորոշիչե ծրագիր, «Տիգրան Մ եծ», 2009թ.4. Մ. է. Հակոբյան, Երկրաչափություն 7-9. Ուսուցչի ձեռնարկ, «Զանգակ 9 7 » ,

2011թ., Երկրաչափություն 10-12. Ուսուցչի ձեռնարկ, «Տիգրան Մ եծ», 2009թ.5. Ա. Տ. Մկրտչյան. Տրամաբանական գիտելիքներն ու կարողություններր

«հանրահաշիվ» ուսումնական առարկայի չափորոշչում և ծրագրում, «Մաթեմատիկան դպրոցում» N3, 2011թ.: Տրամաբանական գիտելիքներն ու կարողություններր «հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր» ուսումնական առարկայի չափորոշչում և ծրագրում, «Մաթեմատիկան դպրոցում» N4, 2011 թ.

6. Програмно-методические материалы: математика 5-11 кл.: Сборник норма­тивных документов /сост. Г.М.Кузнецова.-М.: Дрофа, 2000.

30

Մ ե թ ո դ ա կ ա ն

ԲԱՆԱՎՈՐ ՀԱՐՑՈՒՄԸ ՈՐՊԵՍ ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՏԵԱԱԿ

Սոնա ՍարգսյանԿԱԻ-ի գնահատման համակարգերի ներդրման բաժնի մասնագետ

Տարրական դպրոցի II - IV դասարաններում սովորողների գիտելիքների,

կարողությունների, հմտությունների ստուգումն ու գնահատումն ուսումնական

գործընթացի կարևոր մաս է:

Մաթեմատիկայից ուսումնառության արդյունքները միավորային գնահւստ-

մամբ պարզելու համար ստուգումներ են կատարվում հետևյալ տեսակներից,

բանավոր հարցում, գործնական աշխատանք, թեմատիկ գրավոր աշխատանք,

կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանք: Կարելի է օգտագործել նաև կարճ

ժամանակով տրվող թեմատիկ գրավոր աշխատանքներ, ինչպես նաև տնային

առաջադրանքներ' որպես բանավոր հարցումներ:

Բանավոր հարցումը միավորային գնահատման տեսակներից մեկն է, որի

ժամանակ աշակերտը բանավոր խոսքով ներկայացնում է յուրացրած ուսումնա­

կան նյութը' դրսևորելով ձեռք բերած գիտելիքները, կարողություններն ու

հմտությունները:

Բանավոր հարցմումը հետապնդում է մի քանի նպատակ'• նպաստում է սովորողների մտածողության, դիտողականության, ուշադրու­

թյան զարգացմանը, արագ և ճիշտ կողմնորոշվելուն, ինչպես նաև մարզում

է հիշողությունը,

• օգնում է յուրացնել տեսական շատ հարցեր,

• զարգացնում է բանավոր խոսքը, հղկում' մաթեմատիկական լեզուն, աշա­

կերտները կարողանում են հստակ և հակիրճ ձևակերպել մտքերը, բա­

նավոր խոսքում օգտագործել մաթեմատիկական հասկացությունները,

31

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

• հնարավորություն է տալիս աշակերտին արտահայտվելու, ճշգրտելու իր

իմացածը' հետագայում այն անսխալ ձևով գրավոր աշխատանքում կիրա­

ռելու համար,

• ձևավորում է լսելու կարողություն:

Բանավոր հարցման միջոցով պարզաբանվում են սովորողների ձեռքբերում­ները'

• մաթեմատիկական գիտելիքների յուրացումը,

• մաթեմատիկական խոսքը,

• լեզվամտածողությունը,

• վերարտադրման կարողությունները,

• տրամաբանությունը,

• կռահունակությունը,

• ստեղծագործական կարողությունները:

Բանավոր հարցումը կարելի է անցկացնել դասի տարբեր փուլերում:

Բանավոր հարցում ժամանակ դասարանում պետք է ստեղծել բարենպաստ

միջավայր' ապահովելով աշակերտների ակտիվ մասնակցությունը: Միջավայր,

որտեղ աշակերտը կարողանա հանգիստ արտահայտել իր մտքերը: Այդ դեպքում

աշակերտները հնարավորություն կունենան ուշադիր լսել միմյանց և սովորել

իրարից:

Բանավոր հարցման միջոցով ուսուցիչը ստուգում է, թե սովորողները ինչ­

պես են յուրացրել նյութը , ինչպիսի կարողություններ ու հմտություններ ունեն:

«Մաթեմատիկա» առարկայից մեկ կիսամյակում բանավոր հարցումների

նվազագույն քանակը պետք է լինի շաբաթական ժամաքանակին հավասար:

Մաթեմատիկայից բանավոր հարցումը իրականացվում է հետևյալ ձևերով.

1. առանձին աշակերտների բանավոր հարցում,

2. քարտային առաջադրանքներ,

3. աշակերտներին ուղղված հարցեր,

4. բանավոր հաշիվ,

5. տնային աշխատանքի ստուգում,

6. խաղային տեխնոլոգիաների կիրառում,

7. խմբային և համագործակցային աշխատանք:

1. Բանավոր հարցում' սովորողների անհատական հարցման միջոցով

Ուսուցիչը դասի ընթացքում անհատական բանավոր հարցման միջոցով

պարբերաբար ստուգում է աշակերտների գիտելիքները, կարողություններն ու

հմտությունները և գնահատում: Ինչը նրան հնարավորություն է տալիս պարգե-

լու, թե աշակերտները ինչպես են յուրացրել նյութը, ինչպիսի դժվարություններ

32

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

ունեն: Ապա ստացած տեղեկությունները վերլուծելով' քայլեր է մշակում տեղ

գտած թերությունները վերացնելու համար:

Դրանով ուսուցիչը նաև պարզում է, թե ինքն ի՞նչ հաջողությամբ է աշ­

խատել, որքանո՞վ են ճիշտ այն մեթոդական հնարները, որոնք նա կիրառում է:

Ելնելով ստուգման արդյունքներից' ուսուցիչը կարող է անհրաժեշտ փոփոխու­

թյուն մտցնել իր աշխատանքում:

2. Բանավոր հարցում' քարտային աշխատանքի միջոցով

Բանավոր հարցում կարելի է կազմակերպել նաև քարտային աշխատանքի

միջոցով: Ուսուցիչը այն աշակերտներին, որոնց ցանկանում է միավորով գնա-

հատել, տալիս է քարտեր: Նրանց տրվում է մի քանի րոպե ժամանակ մտածելու,

ապա բանավոր պատասխանելու համար:

Քարտային աշխատանքի հիմնական նպատակն է ստուգել տվյալ թեմայից

աշակերտների գիտելիքների, կարողությունների և հմտությունների մակարդա­

կը: Քարտերում տրված առաջադրանքները պետք է լինեն այնպես, որ նույնիսկ

երեք - չորս առաջադրանքի կատարման միջոցով ուսուցիչը հնարավորություն

ունենա պարզելու աշակերտի կողմից տվյալ նյութի յուրացման աստիճանը:

Ներկայացնենք քարտերի նմուշօրինակներ:

Քարտ 1

2-րդ դասարան

Թեման' Բազմապատկում

1. Որտեղ հնարավոր է գումարը փոխարինի՛ր արտադրյալով.

3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

2 + 5 + 6 =

7 + 7 +7 +7 =

2. Արտադրյալը ներկայացրո՛ւ գումարի տեսքով.

4 * 3 = 7 * 4 =

8 * 5 = 6 * 2 =3. Համեմատի՛ր.

6 * 4 ...... 6+ 6 + 6 + 6

7 * 3 ........7 * 5

4. Գտի՛ր օրինաչափությունը և ավելացրո՛ւ ևս մեկ թիվ.

6, 12, 18, 24, 30, ........

Քարտ 2

3-րդ դասարան

Թեման' Քառանիշ թվեր

1. Գտի՛ր այն թիվը, որը պարունակում է .

ա. 1 հազարյակ 6 տասնյակ

33

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

բ. 5 հազարյակ 3 տասնյակ 2 միավոր

գ. հազարավորների դասի միայն 8 միավոր:

2. 6705 թիվը ներկայացրո՛ւ կարգային գումարելիների գումարի տեսքով:

3. 1278 թվի գրառման մեջ ո՞ր նիշն է արտահայտում առավել մեծ թիվ և ո՞րը'

փոքր թիվ:

4. ճի՞շտ է արդյոք, որ յուրաքանչյուր քառանիշ թիվ մեծ է ցանկացած միանիշ,

երկնիշ և եռանիշ թվից:

Պատասխանը հիմնավորիր:

Քարտ 3

4-րդ դասարան

Թեման' Պարզ խնդիրներ ամբողջի մասը և ամբողջը իր մասով գտնելու

վերաբերյալ

1. Գտի՛ր.

ա. 1 մ-ի 1/10 մասը

բ. ՅՕկգ- ի 1/ 6 մասը

գ. 1 կմ ֊ի 1/2 մասը

դ. 1ժ-ի 1/ 3 մասը :

2. Գիրքը ունի 180 էջ: Աշակերտը կարդաց այդ գրքի երրորդ մասը: Քանի՞ էջ

կարդաց աշակերտը:

3. Ավտոմեքենան անցավ Ա և Բ քաղաքների հեռավորության վեցերորդ մասը,

որը 30 կմ է: Որքա՞ն է Ա և Բ քաղաքների հեռավորությունը:

4. Անին ունի 24 խնձոր: Խնձորների 1/3 մասը նա տվեց իր եղբորը, իսկ 1/4 մասը'

քրոջը: Քանի՞ խնձոր մնաց Անիի մոտ:

3. Բանավոր հարցում' աշակերտներին ուղղված հարցերի միջոցով

Հարցերը որոշիչ դեր ունեն ուսուցման ընթացքում աշակերտի ուսուցու­

մը խթանելու և նրա յուրացման մակարդակը գնահատելու համար: Աշակերտին

ուղղված հարցերը օգնում են ուսուցչին աշակերտների մտքին հատուկ ուղղու­

թյուն տալու, բացահայտելու նրանց կողմից նյութի յուրացման խորությունն ու

կայունությունը: Հարցադրումների միջոցով ուսուցիչը պարզում է աշակերտների

հաջողությունները, նրանց մտավոր գործունեության ակտիվությանը: Լավ

կազմված հարցերը բարձրացնում են աշակերտների հետաքրքրությունը ուսու­

ցանվող նյութի նկատմամբ: Հարցադրումների միջոցով ուսուցիչը ոչ միայն

կարող է ստուգել աշակերտի գիտելիքները, կարողությունները և գնահատել, այլ

34

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

նաև պարզել, թե ո՞ր հարցում է նա դժվարանում, և քայլեր ձեռնարկել նկատված

թերությունները վերացնելու համար:

Ուսուցչի հարցադրումները պիտք է լինեն հստակ ձևակերպված' ակնկա­

լելով ամփոփ, հակիրճ պատասխաններ: Դրանք պետք է լինեն բազմազան'

վերարտադրողականից մինչև ստեղծագործական բնույթի:

Անհրաժեշտ է հաճախ առաջադրել այնպիսի հարցեր, որոնք պահանջում

են բացատրություններ, նշի՛ր տրված արտահայտությունում գործողությունների

կատարման կարգը' 1500 - 75 • 3 : 5, կամ բացատրի՛ր, թե առանց հաշվումներ

կատարելու ինչպե՞ս համեմատել այս երկու արտահայտությունները'

18 • 12 + 24 • 12 և (18 +24) • 12 կամ համեմատի՛ր այս երկու խնդիրների լուծում­

ները և կատարի՛ր հետևություն:

Կարելի է առաջադրել նաև ոչ ստանդարտ բնույթի հարցեր:

Յուրաքանչյուր հարցադրում պահանջում է պատասխան և հետապնդում

է տարբեր նպատակներ:

Օրինակ' հարցադրումը կարող է լինել մտածողությունը ակտիվացնող

(ինչպե՞ս, ինչու՞), պատճառահետևանքային կապերը բացահայտող (ինչու՞),

ռազմավարական (ինչպե՞ս), հիշողութունն ակտիվացնող (ե՞րբ, քանի՞, ի՞նչ):

Անհրաժեշտ է նաև, որ առաջադրվեն ինչպես պարզ, այնպես էլ բարդ

հարցեր: Հարցերը պետք է տրվեն պարզից բարդ սկզբունքով:

Պարզ հարցերը տրվում են աշակերտներին ակտիվացնելու, ամբողջ դա­

սարանը ընդգրկելու նպատակով, ճիշտ պատասխան ակնկալելու նպատակով:

Օրինակ' «Քանի՞ կողմ և քանի՞ գագաթ ունի քառանկյունը»:

Ապա աստիճանաբար հարցերը պետք է բարդացնել:

Ի տարբերություն պարզ հարցերի, բարդ հարցերը տրամաբանել և

հիմնավորումներ են պահանջում:

Օրինակ'

Հնարավո՞ր է արդյոք, որ ինչ-որ 4 թվերի գումարը և արտադրյալը լինեն

կենտ թվեր: (Պատասխանը հիմնավորի՛ր)՝.Կամ'

Կարո՞ղ է արդյոք եռանկյան կողմերի երկարությունները լինեն 5 սմ, 7 սմ

և 12 սմ: (Պատասխանը հիմնավորի՛ր)՝.Մաթեմատիկայում շեշտը պետք է դնել մաթեմատիկական մտածողու­

թյան զարգացման վրա: Այսինքն' հարցերը պետք է լինեն այնպիսին, որ աշա­

կերտներին մղեն վերլուծելու, համադրելու, հիմնավորելու, առաջ քաշելու վար­

կածներ և այլն: Ուսուցիչը պետք է առաջադրի այնպիսի հարցեր, որ աշակերտ­

ները դրանց պատասխանելու համար փնտրեն և գտնեն լուծման տարբեր ճանա­

պարհներ:

Օրինակ' Ի՞նչ եղանակներով է հնարավոր գտնել 25 և 9 թվերի արտա­

դրյալը:

Հաշվի՛ր 18 և 15 թվերի գումարը հարմար եղանակով: Կամ' լուծիր

խնդիրրը մի քանի եղանակով ( եթե հնարավոր է):

35

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Ոչ խելացի ձևակերպված հարցադրումները առաջադրանքների կատա­

րումը վերածում են մեխանիկական աշխատանքի:

Բանավոր հարցման կազմակերպման գործընթացում պակաս կարևոր

չեն նաև աշակերտի կողմից արված հարցադրումները: Սրանք մշակում են հարց

ձևակերպելու կարողություն և նպաստում են հաղորդակցական կարողություն­

ների զարգացմանը: Աշակերտները կարող են հարց ուղղել իրենց ընկերներին և'

նոր ուսումնասիրած նյութի, և' անցած նյութի վերաբերյալ: Ընկերներին ուղղված

հարցերը ցույց են տալիս, թե աշակերտները հատկապես ինչն են կարևորում,

ինչի մասին են մտածում, ինչպես են դատում:

Աշակերտները հացեր առաջւսդրելիս դառնում են ավելի նախաձեռնող,

կարողանում են ճիշտ մոտենալ խնդրի լուծմանը, նոր իրադրության մեջ ավելի

արագ կողմնորոշվել:

Աշակերտների կողմից հարցերի առաջադրման հաջողությունը մեծ մա­

սամբ պայմանավորված է նրանց գիտելիքների, ունակությունների ու հմտու­

թյունների մակարդակով, բառապաշարով, գիտելիքները նոր պայմաններում

գործադրելու կարողություններով և ինքնուրույնությամբ:

Աշակերտների մեջ հարց ձևակերպելու կարողությունները ավելի դան­

դաղ են ձևավորվում, ուստի ուսուցիչը մեծ ուշադրություն պետք է դարձնի դրան,

ուղղի և շտկի նկատված թերությունները, աշակերտներին սովորեցնի ճիշտ և

հստակ ձևակերպել հարցը:

Առաջավոր փորձը ցույց է տվել, որ հարցերի օգտագործումը արդյունա­

վետ եղանակ է աշակերտներին ակտիվացնելու, անհատական մոտեցում ցու­

ցաբերելու և նրանց գիտելիքներն ու կարողությունները գնահատելու համար:

4. Բանավոր հարցում՝ բանավոր հաշվի միջոցով

Տարրական դասարանում մաթեմատիկայի գրեթե յուրաքանչյուր դասին

5 - 7 րոպե հատկացվում է բանավոր հաշվումներին: Նյութը ընտրվում է դասա­

գրքից, ինչպես նաև լրացուցիչ ուսումնաօժանդակ ձեռնարկներից: Բանավոր

հարցման մեջ ընդգրկված առաջադրանքները պետք է համապատասխանեն

թեմային, դասի նպատակին և նպաստեն նաև անցած նյութի կրկնությանը: Ընդ­

գրկված օրինակների քանակը չպետք է ձանձրացնի երեխային, հոգնեցնի նրան

և գերազանցի դրան հատկացված ժամանակը:

Առաջադրանքները պետք է առաջադրվեն պարցից դեպի բարդը սկզբուն­

քով:

Բանավոր հաշվի առաջադրանքներում պետք է ընդգրկվեն նաև խնդիր­

ներ' ոչ մեծ թվային տվյալներով, որպեսզի աշակերտը կարողանա լուծել խնդիր­

ներ' հեշտությամբ կատարելով բանավոր հաշվումներ: Կարող են լինել օրինա­

չափությունների բացահայտման, ստեղծագործական բնույթի առաջադրանքներ:

Առաջադրանքները տրվում են ամբողջ դասարանին այնպես, որ աշա­

կերտները դրանք մտապահեն կամ տեսողական հիշողությամբ (առաջադրանքը

36

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

գրվում է գրաախտակին կամ ներկայացվում աղյուսակներով կամ պաստառ­

ներով), կամ լսողական, կամ էլ և' տեսողական, և' լսողական:

Բանավոր հաշվի ժամանակ ուսուցիչը ուշադրության կենտրոնում է

պահում այն աշակերտներին,որոնց նախապես պլանավորել է գնահատել:

Առաջադրված հարցերին երեխաները կամ պատասխանում են բանավոր,

կամ էլ պատասխանները ցույց են տալիս իրենց մոտ եղած թվաքարտերով, որը

օգնում է բոլոր աշակերտներին աշխատանքի մեջ ներգրավելուն: Ուսուցիչը

միանգամից տեսնում է, թե ով ինչպես է կատարել առաջադրանքը: Եթե աշակեր­

տը սխալվել է, ապա նրան առաջարկվում է հաշվումները բարձրաձայն կատա­

րել:

Բանավոր հաշիվը ավարտից հետո այն երեխաներին, որոնց ուսուցիչը

պլանավորել էր գնահատել, գնահատում է՝ հաշվի առնելով բանավոր հաշվի

ժամանակ նրանց պատասխանները: Գնատատելիս յուրաքանչյուր երեխային

անհրաժեշտ է ապահովել հետադարձ կապ:

Բանավոր հաշվի նմուշօրինակ

2-րդ դասարան

Թեման' Բազմապատկում և բաժանում

1. Գտի՛ր 7 և 8 թվերի արտադրյալը:

2. Գտի՛ր 64 և 8 թվերի քանորդը:

3. Քանի՞անգամ է 56-ը մեծ 8-ից

4. 64 թիվը ներկայացրո՛ւ կարգային գումարելիների գումարի տեսքով:

5. Որքանո՞վ է 1մ-ը մեծ 1դմ-ից:

6. Քանի՞անգամ է 1 կգ-ը մեծ 1 գ-ից:

7. Ո՞ր թիվն է 3-ից մեծ 8 անգամ:

8. Բաժանելին 42 է, բաժանարարը' 6: Գտի՛ր քանորդը:

9. 1 ՕՕկգ խաղողից ստացան 6 կգ չամիչ: Քանի՞ կիլոգրամ խաղող է անհրաժեշտ

3 կգ չամիչ ստանալու համար:

10. 7 միատեսակ բանկաներում կար 21 լ հյութ: Որքա՞ն հյութ կա 9 այդպիսի

բանկաներում:

11. 13մ երկարության գերանը պետք է բաժանել 1մ երկարության կտորների:

Քանի՞ տեղից պետք է սղոցել գերանը:

3-րդ դասարանԹեման' Եռանիշ թվեր: Գործողություններ դրանց հետ:

1. Գտի՛ր 500 և 70 թվերի տարբերությունը:

2. Գտի՛ր 340 և 50 թվերի գումարը:

3. 720-ը փոքրացրո՛ւ 700-ով:

4. 360-ը փոքրացրու 2 անգամ:

5. 420-ը մեծացրո՛ւ 80-ով:

6. Մեծացրո՛ւ 170-ը 3 անգամ:

7. Քանիսո՞վ է 290-ը մեծ 150-ից:

37

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

8. Գտի՛ր 370 և 14 թվերի տարբերությունը:

9. Քառակուսու կողմի երկարությունը 12սմ է: Հաշվի՛ր այդ քառակուսու պարա­

գիծը և ստացված արդյունքը արտահայտի՛ր դեցիմետրով և սանտիմետրով:

10. Այգեպանը առաջին օրը հավաքեց 180 կգ տանձ, որը 3 անգամ ավելի էր

երկրորդ օրվա հավաքածից: Քանի՞ կիլոգրամ տանձ հավաքեց այգեպանը

երկրորդ օրը:

11. Հարկավոր է 21 մ երկարությամբ ցանկապատ դնել: Դրա համար յուրաքան­

չյուր Յմ-ի վրա, սկսած ցանկապատի սկցբից մինչև վերջ, պետք է սյուներ

կանգնեցնել: Քանի՞ սյուն կպահանջվի:

5. Բանավոր հարցում' տնային աշխատանքի ստուգման միջոցով

Շատ հաճախ բանավոր հարցումը ծառայում է որպես տնային առա­

ջադրանքների ստուգման միջոց' միավորային գնահատմամբ. աշակերտները

փակում են տետրերը և բաց դասագրքի օգնությամբ ներկայացնում և վերլուծում

են իրենց կատարած տնային աշխատանքները: Դրա առավելությունը կայանում

է նրանում, որ ուսուցիչը նման աշխատանք կազմակերպելիս նաև համոզվում է,

որ աշակերտը տնային հանձնարարությունը ինքնուրույն է կատարել:

Տնային աշխատանքը բանավոր ստուգելուց հետո աշակերտներին

տրվում է թեմայի վերաբերյալ մի քանի լրացուցիչ հարց կամ ուսուցչի կամ աշա­

կերտների կողմից, ապա' գնահատում:

6. Բանավոր հարցում' խաղային տեխնոլոգիաների կիրառմամբ

Խաղային տեխնոլոգիաների կիրառմումը լավագույն միջոց է տարրա­

կան դասարաններում բանավոր հարցման կազմակերպման գործում, որովհետև

խաղի ընթացքում ամենաթույլ աշակերտն անգամ ոգևորվում է, ձերբազատվում

բարդույթներից, դառնում անկաշկանդ: Կարելի է կազմակերպել բազմաթիվ դի­

դակտիկ խաղեր, որոնց ընթացքում ուսուցիչը ուշադրության կենտրոնում է պա­

հում այն երեխաներին, որոնց ցանկանում է գնահատել: Թվարկենք դրանցից

ամենատարածվածները' «Մնջիկ», «Շրջանաձև օրինակներ», «Թվաբանական

դոմինո», «Թվաբանական լոտո», «Մոգական քառակուսիներ», «Թվաբանական

սանդուղք» և այլն: Օրինակ' ստուգելու համար, թե որքանով են աշակերտները

յուրացրել երկնիշ և եռանիշ թվերի հետ կատարվող գործողությունները (գումա­

րում հանում, բազմապատկում, բաժանում) ուսուցիչը կարող է կազմակերպել

«Շրջանաձև օրինակներ» խաղը, որի ընթացքում տեսադաշտում է պահում այն

աշակերտների պատասխանները, որոնց ցանկանում է գնահատել:

38

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Խաղ' Շրջանաձև օրինակներ

2-րդ դասարան

Թեման' Թվաբանական գործողություններ երկնիշ, եռանիշ թվերի սահ­

մաններում

Նպատակը'

• աշակերտը կամրւսպնդի թվաբանական գործողությունների կատարումը

երկնիշ, եռանիշ թվերի սահմաններում,

• խաղը կնպաստի արագ և ճիշտ հաշվելու հմտությունների ձևավորմանը,

• կզարգացնի մաթեմատիկական խոսքը և ուշադրությունը, կակտիվացնի

աշակերտներին:

Անհրաժեշտ պարագաներ' Քարտեր:

Ընթացքը'

Երկնիշ, եռանիշ թվերով կազմվում են շղթայաձև օրինակներ' թվաբանա­

կան գործողություններով:

Առաջին օրինակը կարող է սկսվել ցանկացած թվով' (53 +27) : 2: Այդ

արտահայտության արժեքը պետք է լինի երկրորդ օրինակի առաջին բաղա-

դրիչը' 40 • 3 - 60, երկրորդ օրինակի պատասխանը' երրորդ օրինակի առաջին

բաղադրիչը' (60 - 16) : 4 և այդպես շարունակ: Վերջին օրինակի պատասխանը

պետք է լինի առաջին օրինակի առաջին բաղադրիչը (53): Այսպիսով' կազմվում է

շղթա, որի յուրաքանչյուր արտահայտության արժեքը չպետք է կրկնվի:

Ներկայացնենք շղթայաձև օրինակների մի տարբերակ'

3-րդ դասարան

80 - 8 *9

8 *3+7

31 - 9 *3

4 • 9 - 29

7 • 8 -50

6 • 9 - 49

5 • 9 - 36

9 • 9 -80

1 * 7 - 4

3 * 7 + 9

30 +7 • 4

58 + 6 *7

1 0 0 - 9 * 7

37+ 7 *7

86 - 7 • 5

5 1 + 6 * 6

87 - 9 *7

24 + 7* 8

Խաղն ընթանում է հետևյալ ձևով, յուրաքանչյուր արտահայտություն

ներկայացված է առանձին քարտի վրա: Առաջին արտահայտությունը գրվում է

մյուսներից տարբեր գույնով: Խաղավարը քարտերը խառնում է, ապա բաժանում

աշակերտներին: Յուրաքանչյուր աշակերտ ստանում է մեկ քարտ: Խաղն սկսում

է այն աշակերտը, որի մոտ է այլ գույնով գրված քարտը: Նա բարձրաձայն ըն­

թերցում է արտահայտությունը և ասում արտահայտության արժեքը: Մյուս աշա­

կերտներն ուշադիր պետք է լսեն, որ կարողանան շարունակել: Խաղը շարունա­

կում է այն աշակերտը, որի մոտ եղած արտահայտությունը սկսվում է այդ թվով:

Եվ այսպես շարունակվում է խաղը' մինչև ստանում են այն թիվը, որը առաջին

արտահայտության առաջին բաղադրիչն է:

39

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Խաղավարն ուշադիր հետևում է խաղի ընթացքին: Սխալ պատասխանի

դեպքում դիմում է աշակերտների օգնությանը և ուղղում սխալները:

7. Բանավոր հարցում' խմբային և համագործակցւսյին աշխատանքների

կիրառմամբ.

Խմբային և համագործակցային աշխատանքների կիրառմամբ բանավոր

հարցումների անցկացումը հետապնդում է աշակերտների հաղորդակցական,

սոցիալական և համագործակցային կարողությունները զարգացնելու նպատակ:

Օրինակ'

Դասարան' III

Թեման' Խնդիրների լուծում երկրաչափական պատկերների միջոցով:

Նպատակը' Աշակերտի տրամաբանական մտածողությունը, հաղորդակ­

ցական և համագործակցային կարողությունների զարգացում:

Աշխատանք' ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆԵՐ

Ընթացքը'1. Աշակերտներին բաժանում ենք 4 - 5 հոգանոց խմբերի:

2. Յուրաքանչյուր խմբի տրվում է քարտն իր առաջադրանքով:

3. Աշխատանքի համար տրվում է 5 - 7 րոպե:

4. Խմբերին առաջարկվում է աշխատել միասին, խնդրի լուծումը գտնել հա­

մատեղ և մշակել քառակուսիների քանակը հաշվելու քայլաշար:

5. Ուսուցիչը յուրաքանչյուր խմբից ընտրում է որևէ աշակերտ, ով գրատախտակի

վրա նախօրոք գծված քառակուսու վրա պետք է ցույց տա իրենց խմբի գտած

բոլոր քառակուսիները և ներկայացնի քայլաշարը:

Պատասխանող աշակերտն իր խմբի ներկայացուցիչն է. նրա հաջողու­

թյունը վկայում է այն մասին, թե որքանո՞վ է լավ աշխատել իր խումբը և օգնել

յուրաքանչյուրին հասկանալու խնդրի լուծումը: Պատասխանող աշակերտի միա­

վորային գնահատականը տրվում է խմբի մյուս անդամներին:

Քարտ - առաջադրանք1. Քանի՞ քառակուսի եք տեսնում ստորև բերված նկարում:

2. Գտե՛ք այնպիսի պատասխան, որի հետ համաձայն են Ձեր խմբի բոլոր ան­

դամները:

40

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

1. Համոզվե՛ք, որ Ձեր խմբի անդամներից յուրաքանչյուրը պատրաստ է

մնացած խմբերին հաղորդել ձեր պատասխանը և բացատրել, թե ինչպես եք

հանգել դրան: Առաջադրանքը կատարելուց հետո քննարկել հետևյալ

հարցերը'

ա. Ինչպե՞ս եք Ձեզ զգում խնդիրը լուծելու տարբեր փուլերի ժամանակ:

բ. Ձեր կարծիքով ինչպե՞ս օգնեց խումբը գտնել լուծումը:

գ. Լա՞վ էիք աշխատում որպես թիմ:

դ. Ո՞վ էր բոլորից ակտիվ և ո՞վ' պասիվ:

ե. Արդյոք կարծու՞մ եք, որ աշխատանքի ժամանակ խմբի անդամները տարբեր

դերեր կատարեցին:

Համագործակցային այս աշխատանքի միավորային գնահատումը կարե­

լի է իրականացնել հետևյալ կերպ, խմբի աշխատանքը ներկայացնող աշակերտի

գնահատականը տարածել խմբի յուրաքանչյուր անդամի վրա:

Այսպիսով՜բանավոր հարցումը կարելի է կազմակերպել ոչ միօրինակ, այլ

բազմազան ձևերով: Բանավոր հարցումների ճիշտ կազմակերպումը կօգնի իրա­

կանացնել չափորոշչային և ծրագրային պահանջները, մաթեմատիկայի ուսուց­

ման գործընթացը կդարձնի ավելի հետաքրքիր ու արդյունավետ:

Գրականություն

1. Սովորողների ընթացիկ գնահատման մեթոդաբանություն, Երևան 2008

2. «Մաթեմատիկա» առարկայի 1-4-րդ դասարանների առարկայական չափորո-

շիչներ և ծրագրեր, Երևան 2007

3. Վ. Պուրոկուրու, Համագործակցային ուսուցման դասախոսի ձեռնարկ ,

Երևան 2005

4. Ս. Սարգսյան, Մ. Մանուկյան, Լ. Աթոյան, Միավորային գնահատումը 2-4-րդ

դասարաններում, Երևան 2009

41

Մ ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն

Բ Ա Ջ Մ Ա Ն Ւ Ս Տ Ե Ր Ը Մ Ե Ր Կ Ց Ա Ն Ք Ո Ի ՄՏաթե Գբիգորյաե

1ս.Աբովյաեի աևվ. ՃՊՄ2,

1. Բազմաեիսաերը բնության մեջ

Բ ] ռ ւ ր եղ ե երԶարմանալիորեն բազմազան է բյուրեղների աշխարհը, որոնք բնական

բազմաեիսւռեր են: Որոշ բյուրեղներ նման են բագմանիստերի (երկաթի ծծմբբւսրի, կերակրի աղի ե այլն): Իսկ շատ բյուրեղներ էլ պարզապես ունեն բազմանիստի ձև (բվարց, շպատ, ծծմբաքար, զրանիտ):

Ցանկացած բյուրեղի արտաքին հատկանիշը նրա կանոնավոր երկրա­չափական ձևն է: Բյուրեղներն ունեն հարթ հղկված նիստեր, որոնք կանոնավոր բազմանկյուններ են: Յուրաքանչյուր բյուրեղի կողմերի և նիստերի միջև կազմված անկյունները որոշակի հաստատուն մեծություններ են: Բյուրեղները ունեն նաև ներքին կանոնավոր կառուցվածք, ինչը հաստատվել է գերմանացի գիտնական Մաքս Լսւուեի ռենտգենյան ճառագայթների միջոցով կատարված փորձերով:

Լեռնայինբյարեղապակի Նռնաքարեր: Աևղոսպխո և q/յոսու/յայւգտնված են Ցակա տխպի Ախտարաեդա գետի ջրավազանում:

42

Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն

Լեռնայինբյուրեղապակի (քվարց), որը ունի վեցանկյուն պրիզմայի կաոուցվածք

Կերւսկրի աղի բյուրեղը ունի խորանարդի տեսք, այն մտովի բաժանելով կստանանք բյուրեղի ւռարրակսւն բջիջը: Մոլեկուլյար կինետիկ տեսության տես­անկյունից, բյուրեղները ունեն անիզոտրոպություն, որը պայմանավորված է տարբեր ուղությունների մասնիկների միջև եղած հեռավորությամբ, որն էլ բերում է ւիոխսւզդեցությունների տարբերության: Բյուրեղը մի ուղղությամբ հա­մեմատաբար հեշտ է ճեղքվում, ջերմահաղորդականությունն էլ մի ուղությամբ ավելի մեծ է, քան մյուս ուղղությմաբ:

Կեր ակրի աղի բյուրեղային ցանցը Շերիտ, գտնված է Չինաստանումխորանարդաձև է

Երկրի մ ի ջ ո ւկ ը

Աշխարհի ներդաշնակության' կանոնավոր բազմանիստերի հետ կապի մա­սին հիպոթեզը առաջադրել են Պլատոնը, Կեպլերը, իսկ մոսկւխւցի ինժիներներ

43

ՄԻ Ջ ԱՌԱՐ ԿԱՅ ԱԿԱՆ

Ч- Մակսւրովե ու 4 . Մարոզովը ենթադրում են, որ երկրի միջուկն ունի կանոնա­վոր բյուրեղի ձև, որի մագնիսական դաշտի ուժագծերը ուղղված են ըստ իկոսաէդր-դոդակաէդր կառուցվածքի: Նրանց հետազոտությունները ցույց են տափս, որ շատ օգտակար հանածոներ բաշխված են այդ բյուրեղային կառուց­վածքին համապատասխան: Բացի այդ, մի շարք անհասկանալի երևույթներ բա­ցատրվում են հենց այդ բյուրեղային կառուցվածքով: Իրենց ենթադրած բազ­մանիստի 32 գագաթներն ու կողերի միջնակետները նրանք անվանում են «նշանավոր հանգույցներ», քանի որ դրանք օժտված են մի շարք երկրաչա­փական հատկություններով, որոնցով փորձում են բացատրել որոշ խորհրդավոր երևույթներ: Տեղակայելով բազմանիստը որոշակի դիրքում, նրանք կարողանում են այսպես կոչված նշանավոր հանգույցները բերել արտասովոր, երբեմն էլ' խորհրդավոր երևույթների վայրերին' Պերուին, հյուսիսային Մոնդոլիային, որտեղից դուրս են եկել բազմաթիվ զավթիչներ, Լոխ Նես լճին, Բերմուդյսւն եռանկյանը և այլն: Այդ կետերի մի մասում դիտվում են մթնոլորտային ճնշման մաքսիմումներ ու մինիմումներ, առաջանում են պտտահողմեր:

Կ ե պլ ե րի տ իե զ ե ր ա կ ա ն հ իպ ոթեզ ը

Կեպլերի ժամանակ հայտնի էին 6 մոլորակներ, որոնց միջև եղած հեռա­վորությունը արտահայտվում էր Պլատոնյան մարմինների չափերով: Այդ պատճառով Կեպլերը փորձում էր կանոնավոր բազմանիստի հատկություններով բացատրել արեգակնային համակարգի մոլորակների շարժման ուղեծրերը: Ըստ Կելտերի հիպոթեզի, մոլորակների բոլոր զույգերը արեգակի շուրջր շարժվում են այնպիսի ուդեծրերով, որոնց զույգ առ զույգ կարելի է արտագծել ու ներգծել բազմնանիստեր: Արեգակին ամենամոտիկ 'Մերկուրի մոլորակի շարժման ուղե- ծրին կարելի է արտագծել օկտսւէդր: Այդ օկտսւէդրը միաժւսմանակ կլինի ներգծված 4եներա մոլորակի շարժման ուղեծրին: 4եներւս մոլորակի շարժման ուղեծրին նա արտագծել է իկոսաէդր, որն էլ ներգծել է Երկիր մոլորակի շարժման ուղեծրին: Երկիր մոլորակի շարժման ուղեծրին արտագծել է դոդեկա- էդր, որն էլ կլինի ներգծված Մարս մոլորակի շարժման ուդեծրը: Մարս մոլորակի շարժման ուղեծրին արտագծել է տետրսւէդր, որն էլ ներգծել է Յուպիտեր մոլորակի շարժման ուղեծրին, այդ ուղեծրին էլ արտագծել է խորանարդ: Իսկ Մատուրն մոլորակի շարժման ուղեծիրը 4եպլերը ներգծել է խորանարդին:

44

ՄԻ Ջ ԱՌԱՐ ԿԱՅ ԱԿԱՆ

2. Բազմաեիստերը կենդանական աշխարհում

ՖեոդարՄիաբջիջ ֆեոդարի կմախքը իր ձևով

հիշեցեում է քսանանիստ իկոսաէդր: Մեծ թվով ֆեոդարներ ապրում են ծովի խոր­քերում, ուր կեր են դառնում մարջան ձկնե- րին: Այս պարզագույն կենդանիներր պաշտ­պանում են իրենց 12 ասեղներով, որոնք դուրս են ցցված կմախքի 12 գագաթներից: Այդ կենդանիներր նման են աստղաձև բազ­մանիստի: Միաբջիջ ֆեոդարի կմախքի ցու- ցադրումր ստեղծում է միջառարկայական կապ կենսաբանության և երկրաչափության

միջև, զարգացնում է հետաքրքրությունր կենդանական աշխարհի նկատմամբ: Նման զննականության միջոցր բարձրացում է սովորողների գիտելիքների յուրաց­ման աստիճանր: Որոշակի առանձնահատկություններով օժտված կենդանական աշխարհի կմախքները, ունենալով բազմանիստի տեսք, պրոբլեմային խնդիրներ են առաջացնում թե կենսաբանության և թե երկրաչափության տեսանկյունից:

Տաշվենք իկոսաեդրի րնդհանուր մակերեսը և ծավալը: Նույնր կատարենք նաև խորանարդի համար: ձաշվարկը ցույց է տափս, որ իկոսաեդրի լրիվ մա- կերեևույթր'

Այսինքն նույն կողի երկարության դեպքում նիստերի քանակը մեծաց­նելիս ծավալը մակերևույթի ավեյյւ փոքր մասն է կազմում՝

Այսպիսով, միևնույն թվով նիստեր ունեցող բոլոր բւսզմանիստերի մեջ իկոսաեդրն է, որ ունի մեծագույն ծավալր՛ մակերևույթի փոքրսւգույն մակերեսի դեպքում: Սա նպաստում է, որ նման մակերեսն ունեցող կենդանին հաղթահարի շերտերի ճնշումր և գոյության պայքարում ավելի երկար ժամանակ թաքնվի և պաշտպանվի մարջան ձկներից:

ճ.

45

ՄԻ Ջ ԱՌԱՐ ԿԱՅ ԱԿԱՆ

Մեղու ե

Մեղուները զարմանալի արարածներ են: Նրանց կառուցած մեղվաբջիջ­ները տարածական մանրահարթակ են, և այնպես են լցնում տարածությունն, որ ոչ մի ճեղք չի մնում: Մեղվաբջիջը ունի վեցանիստի տեսք և մեղուների համար դա ավելի հարմար է և օգտակար: Եթե մեղուները հյուսեին խորանարդի տեսքով, ւսպւս աւխլի քիչ քանակի մեղր կկուտակեին: Դա կարելի է ցույց տալ նույն չափի մեղրամոմի վրա: Ստուգենք դա, կատարելով հետյալ հաշվարկը: 4երցնենք միևնույն տրամագծի երկու շրջանագիծ, մի շրջանագծին ներգծենք վեցանկուն բազմանկյուն, իսկ մյուս շրջանագծին' քառակուսի:

Ըստ կանոնավոր բազմանկյան կողմերի համար ստացված բանաձևի'

2Rsi'yim ■ = R \ 'Հ = — "2, որտեղ d-ն արտագծված շրջանագծի տրամա- ՜ «!•գիծն է, իսկ ներգծված շրջանագծի համար

r=— cos— - t g i=2~s լ-՛fl- ~=2Rsrn 30 =2' rt 2 ծ &Իսկ քառակուսու մակերեսը Վ կամ

^ = y = 0 , S #

?■? ճ i ibqp Ք ւ VI 3 _ » .5s, = -т—յ F =՛&■- = 3d г = -иь7—— = — d -* d -» Sj = -V 3i*=— Ճ - У “t и T LTj , i s a 4-~t = T ' Sv^ = Ш

46

ՄԻ Ջ ԱՌԱՐ Կ ԱՅ ԱԿ ԱՆ

Այսպիսով, եույե բարձրությամբ բազմաեիսար կառուցելիս վեցաեիսաի մեջ ավելի շասւ քանակությամբ մեղր կտեղավորվի քաե խորանարդի մեջ: Միևնույն թվով նիսաեր ունեցող բոլոր բազմանիսաերի մեջ իկոսաեդրն է, որ ունի մեծագույն ծավալը' մակերևույթի փոքրագույն մակերեսի դեպքում: Մեղ- վաբջջի կաոուցվածքի ցուցադրումր կարող է զարգացնել աշակերաի պսւտ- կերայիև րնկալումները, ճաեաչողակսւև ուևակություեևերր, հեաաքրքրություն առաջացնել շրջապաաող աշխարհի նկաամամբ' եպասաելով արժեքային հա­մակարգի ձևավորմանը:

Բ ս ւ ց ի լ ե ե ր

Բացիլ֊բակտերիակերի գլխիկը նույնպես իկոսսւէդր է:

Բացիլը թափանցելով կենդաեի օրգաեիզմ, այնաեղ սինթեզում է մեծ քանակությամբ մոլեկուլներ և ֆերմեեաեեր: Բոլոր ֆերմեեաեերր կոդավորված եև բացիլի եուկլեեաթթվի մեջ, որի քաեակությունր սահմանափակ է: Բացիլը սեփական թաղանթի սպիաակույցների կոդավորումր կաաարում է նուկլենա- թթվի նույն հաավածը բազմաթիվ անգամ օգաագործելով: Փակ թաղանթը կազմված է միատեսակ տարրերից և կուեեեա ամեեափոքր մսւկերևույթր' տրված ծավալի դեպքում, եթե ուեեեա իկոսաեդրի տեսք: Այդ պատճառով էլ բացիլր պետք է ուեեեա իկոսաեդրի տեսք:

3. Բազմաեիստերը ճարտարապետության մեջ

Երկրաչափության կիրառական նշանակություեր միայե գործնական բնույթով չի սահմանափակվում: Տեսողական արվեստների հիմքում րնկած են երկրաչափական պատկերներն ու առնչությունները, այնպես որ համաչափու- թյաե, երկրաչափական պատկերների ներդաշնակ զուգորդման միջոցով սովո­րողների մոտ ձևավորվում է գեղագիտակաև արժեքևեր: Երկրաչափությունր այն­պիսի իրողություն է, որով մարդկային բանականությունր միտվել է կատարե­լիության' ներդաշնակելով օգտակարր, ճշմարիտր, գեղեցիկդ, արժանապատի­վը, (Եգիպտական բուրգերը, Լուվրի պատկերասրահր, Եվրոպայի դղյակներր):

47

ՄԻ Ջ ԱՌԱՐ ԿԱՅ ԱԿԱՆ

Փարիզի Լուվրի գեղարվեստի պատկերասրահ

Մարդկային մտքի թռիչքը չունի սահմաններ, այն երևում է ճար­տարապետական կառույցներում, որտեղ ներդաշնակությունր զուգակցվում է հարմարավետության հետ, համաչափությունը' գեղարվեստական վարպետու­թյան հետ: Դա առաջացնում է սեր դեպի երկրաչափությունը և արվեստը:

Մոսկվայի պետական համա/սարան Մոսկվայի կենտրոնականհւսնրախանութր

Երկրաչափությունը առաջացել է գործնական խնդիրներից, այն արտա­հայտում է իրական փաստեր և ունի բազմաթիվ կիրառություններ: Երկրաչափու­թյունը այնտեղ է, ուր պետք է որոշել մարմնի ձևն ու չափը;

Ե գ ի պտ ակ ա ն բ ո ւր գ եր

1. Բուրգի առանցքային հատույթ2. Գյյսավոր մուտք3. Անավարտ մուտք

48

ՄԻ Ջ ԱՌԱՐ ԿԱՅ ԱԿԱՆ

4. Ներքև տանող խուց5. Անավարտ գետախոր խուց6. Դուրս տանող միջանցք7. Թագուհու խուցը դուրս տանող օդամուղով8. հորիզոնական թունել9. Մեծ պատկերասրահ10. Փարավոնի խուցը օդամուղով11. Նախամուտք12. Քարանձավ

Բուրգի մուտքր Փարավոնի խուցր

Բսւզմանիստերի ընտանիքում մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում բուրգը, քանի որ աշխարհի յոթ հրաշալիքներից մեկը' Եգիպտական բուրգերը ամենահինն են ու պահպանվել են մինչ այսօր: Եգիպտական բուրգերի հիմքերը քառակուսի են: Եգիպտական ամենամեծ բուրգը Քեոփս փարավոնի բուրգն է, որի շինարարությունը տևել է ավելի քան 20 տարի ու ավարտվել մ.թ.ա. 2580 թվին: Քեոփսի բուրգը նախապես ունեցել է 146մ բարձրություն, իսկ այժմ բարձ­րությունն է 137մ, գագաթին 10մ կողմով քառակուսի հարթակ է: Բուրգի արտա­քին մակերեսը լրիվ զրկվել է երեսպատումից, այնպես որ հսկայական քարե սալերը մերկացել են ու դրանց վրայով կարելի է բարձրանալ մինչև գագաթը, իսկ այնտեղից բացվող հրաշագեղ համայնապատկերը լիովին պարգևատրում է բարձունքը հաղթահարողներին: Փարավոն Քեֆրենի բուրգը միակն է, որի գագաթի վրա պահպանվել է նախնական երեսպատումը: Իսկ նրա թոռան բուրգի բարձրությունը 66մ է: Մինչ 1500 թվականը այն դեռևս ուներ գրանիտե երեսպա­տում, որը մեր օրերին լիովին բացակայում է:

Թ ա գ ա վ ո ր ա կ ա ն դ ամբ ար ան

Եգիպտական բուրգերից բացի հնադարյան այլ ժողովուրդների մոտ նույն­պես հանդիպում են մահացածների համար կառուցված դամբարաններ' բուրգե­րի ձևով: Բուրգերի միջոցով դիակների մումիացումը շարունակվում է դարերի ընթացքում: հնադարյան մարդիկ հավաստիացել են, որ աստվածները կգան և կկենդանացնեն մահացածներին և ցանկացել են պահպանել նրանց ֆիզիկական տեսքը: Եթե դամբարանը կառուցված լիներ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի տես­քով, ապա արեգակի ճառագայթները ընկնելով ուղղահայաց' ամբողջովին կանց-

49

ՄԻ Ջ ԱՌԱՐ ԿԱՅ ԱԿԱՆ

եեիև դամբարանի մեջ: Սակայն ըստ լույսի անդրադարձման օրենքի, թեք բուր­գերի վրա ընկած ճառագսւյթներր սահելով դուրս են գալիս բուրգից' չջ երևաց­նելով այն:

Բացի դրանից թեք մակերեսր շրջհոսելի տեսք ունի և կարող է դիմակայել, քա­մուն, անձրևին, ձյսւնր:

Ալ եքս անդ րիս! ]ի փարոսը

Ալեքսանդրիայի փարոսը աշխարհի յոթ հրաշալիքներից մեկն է համարվում: Այն կառուցվել է մ.թ. III դարում: Այդ փսւրոսր կանգուն է մնացել մինչև 796 թվականը: Ալեքսանդրիայի փարոսը կազմված է եղել երեք մարմարե աշտարակներից, որոնք կանգնած էին մարմարե պատվանդանին: Փարոսի բարձրությունր 140 մ էր: Փարոսի լույսր երևում էր 60կմ~ից, երբեմն էլ' մինչև 100կմ հեռավորությունից: Ներքևի մասր քառանկյունաձև պրիզմա էր 60մ բարձ­րությամբ: Պրիզմայի հիմքր քառակուսի էր' կողմի ՅՕմ երկարությամբ: Միջին մասր ութանկյուն պրիզմա էր' երեսպատված սպիտակ մարմարով Աշտարակի տանիքր կազմված էր ութր սյուներից, որոնք պահում էին գմբեթր, իսկ գմբեթի վրա դրված էր ծովերի արքա Պովսեյդոևի արձանր ութ մետր երկարությամբ: Շինություևն անվանվել է Միջերկրական ծովի Փարոս կղզու անունով, որի վրա էլ կառուցված էր:

50

ՄԻ Ջ ԱՌԱՐ ԿԱՅ ԱԿԱՆ

4. Բազմաեիստերը արվեստում

Ալ բերտ Դ յո ւ րե ր

Նշանավոր նկարիչ Ալբերսւ Դյուրերը (1471-1528)իր հայտեի « Մելանխոլիա» կտավում պատկերել էղոդեկսւեդր

Լ եո ե ա ր դ ո Դա 4 ի ե չ ի

Օրինաչափ է վերածննդի դարաշրջանի հանճարեղ գեղանկարիչ, քան­դակագործ ու գիտնական Լեոնարդո Դա 4ինչիի (1452-1519) հետաքրքրությունը գեղեցիկ ու համաչափ առարկաների նկատմամբ, որոնցից է դոդեկաէդրը:

51

ՄԻ Ջ ԱՌԱՐ ԿԱՅ ԱԿԱՆ

Մաու րի ց Կ որ ե ե լ ի ս է շ ե ր

հոլանդացի ևկարիչ-փորագրիչ, վիմագրող Մաուրից 4որնելիս էշերը (1898-1972) իր «Չորս մարմին» փորագրությունում, փորագրել է համաչափության միևնույն առանցքն ունեցող չորս կանոնավոր բագմսւ- նիստերի' խորանարդի, օկտաէդրի, դոդեկաէդրի և իկոսաէդր հատումը: Բազմանիստերը թափանցիկ են և յուրաքանչյուր բազմանիստի միջից կարելի է տեսնել մնացած բագմանիստերը: էշերը արվեստի միջոցով ավելի է մոտենում մաթեմատիկային: Նա մի առիթով ասել է « Ե ս ավելի մոտ եմ մաթեմա­տիկոսներին, քան իմ արվեստակիցներին»:

Չորս մարմին'' փորագրված է ապակու վրա Աստղեր

«Աստղեր» փորագրության մեջ էշերր միավորել է տետրաէդրը, խորա­նարդն ու օկտաեդրը: Բագմանիստերի կենտրոնում տեղադրել է քամելիոններ, որոնք դժվարացնում են բոլոր պատկերների անմիջական րնկսդումը: Այս ամենը հիացնում է իր մաթեմատիկական ճշգրտությամբ:

«Ջրվեժ» «Կարգավորվածուբյուն և Քաոս»

52

ՄԻ Ջ ԱՌԱՐ ԿԱՅ ԱԿԱՆ

Տարածական տրամաբաեութ]սւեր հակասող աևհևարիև պատկերների թվին է պատկանում էշերի «Ջրվեժ» վիմագրությունր: Պարադոքսր այն է, որ մարդկային ուղեղր թղթի վրա ձգտում է երկչսւփ պսւտկերր ներկայացնել որպեա եռաչափի: էշերր «Ջրվեժ» վիմագրությունր պատկերել է մաթեմատիկոս Ռոջեր Պենտ րուոալի երևակայությամբ պատկերացրած եռանկյուների միջոցով: 4իմագրու- թյան մեջ երկու անհավանական եռանկյուններ միացված են մեկ անհավա­նականի մեջ: Բ՛վում է որ ջրվեժր փակ համակարգ է ու աշխատում է ինչպես հավերժական շարժիչ' հակասելով էներգայի պահպանման օրենքին: էշերի շատ ստեղծագործություններում հիմնական օժանդակ է| եմենտներ են բազմանիս- տերր: Ըստ էշերի, մի քանի տարբեր բազմանիստեր միավորելով կարելի է ստա­նալ կանոնավոր բազմանիստ, ինչպես նաև բսւզմանիստր վերածել աստղի: Դրա գեղեցիկ օրինակ է էշերի «Կարգավորվածություն և Քաոս» ստեղծագործությունր: Այստեղ աստղաձև դոդեկաէդրր գտնվում է ապակյա գնդում: Անապական գեղեցկությունր րնդգծվում է շուրջր խռնված աղբով: Գնդի վերին ձախ անկյունից լույս է թափվում աստղաձև դոդեկաէդրի վրա:

Ս ալ վ ադ որ Դալի

Աալվադոր Դափի նկարում Քրիստոսը իր աշակերտների հետ պատկեր­ված է հսկայական թափանցիկ դոդեկաէդրի ֆոնին: Ըստ հին մտածողների դոդե­կաէդրի ձև ունի տիեզերքր: Այսինքն մենք ապրում ենք մի տիրույթում, որն ունի կանոնավոր դոդեկաէդրի ձև:

53

Ա րտա դ ա ս ա րա ն ա կ ա ն

ՄԻ ԱՆ2.Ա4ԱՍԱՐՈԻԹՅԱՆ ՊԱՏՄ ՈԻԹՅՈԻՆ

Ա. Ս. ՄիքայելյանԵրևաեի թիվ 6 հիմեակաե դպրոց

Ըեթերցողի ուշադրությաեր ևերկայսւցվող հոդվածի հետագա շարաղրսւևքր հասկաեալու համար նպատակահարմար եևք համարում եախ ներկայացնել հետևյալ փաստերր.

1. Ֆունկցիայի ուռուցիկությունը և գոգավոյաւթյուեը:f (x ) ֆունկցիան իր որոշման տիրույթին պատկանող J միջակայքում կասենք ունի ուռուցիկություն (ուռուցիկ է), եթե \/хл, x 2 6 J թվերի համար ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր M (x,f{x )) կետերր, որտեղ x 6 [x,, x2], ընկած չեն A(x}, ք ( x j ) և В(х2 , f (x 2)) կետերով անցնող ուղիղի վերին կիսահարթությունում: Այլ կերպ ասած, ֆունկցիայի գրաֆիկի М (х ,/(х )) կետերր, որտեղ х £ [х,,х2], րնկած են կամ [АВ] հատվածի վրա, կամ գտնվում են նրանից ներքև: (տես գծ.1)

ճիշտ նույև կերպ' կասեևք. J միջակայքում / (х) ֆուևկցիաև ուևի գոգավո­րություն (գոգավոր է), եթե Vxu x 2 6 3 թվերի համար ֆուևկցիայի գրաֆիկի բոլոր М (х ,/(х )) կետերր, որտեղ х £ [х,,х2], րևկած եև կամ [А(х ,, / ( х 1))5 (х 2,/ ( х 2))] հատվածի վրա կամ գտևվում եև ևրաևից վերև: (տես գծ. 2)

У2 = / О շ) к в { х 2,у 2 = /Օ շ ) ) /\

УС / у 1 ^Տտ՚4տ

! » ուռուցիկA{x1, f ( x 1))

У1 [r/OO11111

Xl X Х2 գծ.(1)

54

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

ձասկաեալի է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկի սւյե մասր, որր իրենից կեերկայսւցեի, ասենք իեչ-որ [MN] հատված, ապա սւյե կարող ենք համարել ինչպես ուռուցիկ, այնպես էլ գոգավոր:

2. Ուռուցիկության և գոգավորության բնութագրիչ հատկությունը:Դիցուք' f i x ) ֆունկցիան ուռուցիկ է (գոգավոր է) J միջակայքում: Այդ

դեպքում Vx1։x 2 £ J թվերի համար ինչպիսին էլ լինի [AB] հատվածին պատ­կանող С կետր' С(х,у(х)) £ [А В] տեղի ունի у (х) > f (x ) պայմանր, եթե / (^ ) ֊ր

J -ում ուռուցիկ է, ն y(x) < f (x ) պայմանր, եթե / (^ ) ֊ր J -ում գոգավոր է (տեսА Г

գծ.1,2), DX = f {x ) ; CX = y(x): Միաժամանակ С £ [AB] => — = Л > 0, որտեղ Я-նСВ

ոչ բացասական իրական թիվ է: Թալլեսի թեորեմի համաձայն (Ах1 || Сх ||

Вх2 և Аух || Су || Ву2) կստանանք' Լ_Հւ = ձ£ = \ = L J!l = Zl-JL (տլ ս գծ.1,2)^ Х 2 - Х СВ у 2- у у у 2 4 ^ '

որտեղից էլ л: = У = Նշանակելով' а = ^ ,/? = ^ => a + թ =

= 1 ,а ,р > 0 կստանանք' х = а х1 + Р х 2, у = a f ( x {) + + P f (x 2), որտեղ'а , Р > О, և а + թ = 1: Այժմ, եթե J միջակայքում / (^ ) ֊ր ուռուցիկ է, ապաУ > f i x ) փփ a f i x {) + P f ix 2) > f i a x 1 + Px2) (1), իսկ, եթե J միջակայքում f i x ) ֆունկցիան գոգավոր է, ապա у < f i x ) փփ a f { x {) + P f ix 2) < f i a x 1 + Px2) որտեղ'

x1,x 2 £ J ; a , p > O h a + p = l (2):J միջակայքում (1) անհավասարությունր f i x ) ֆունկցիայի ուռուցիկության,

իսկ (2) անհավասարությունր f i x ) ֆունկցիայի գոգավորության անհրաժեշտ ն բավարար պայմանն է: Իսկապես x1։ x2 £ J սնեռված թվերի համար x = ax1 + +/?x2 կետերի բագմությունր շնորհիվ а > 0 ն թ = 1 — а > О թվերի, լցնում է ամբողջ [х1։х 2] հատվածր: Այդ դեպքում (1) անհավասարության առկայությունր

55

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

եշաեակում է С £ [ճ5]-ի համապատասխան ус = у(х) > f ix ) , իսկ (2)-ի դեպքում' yc = y(x) < f ix ) , որե էլ ապահովում է ֆունկցիայի գրաֆիկի M(x, / (х)) կետերի գտնվելր, կամ [/4 8] ֊ի վրա, կամ նրանից ներքև, երբ տեղի

ունի (1)-ր, իսկ (2) ֊ի դեպքում' М (х ,/ (х ))^ կետերի գտնվելր [/4 8] ֊ի վրա, կամ նրանից վերև:

3. Յեեսեեի անհավասարությունը:Դանիացի մաթեմատիկոս Իոհսւն-Լյուդվիգ Յենսենր (1859-1925թթ.) ապա­

ցուցել է, որ J միջակայքում (1) անհավասարությանր բավարարող յուրաքանչյուր ֆունկցիայի համար ճիշտ է'

« ւ /Օ ւ ) + «շ /Օ շ ) + "• + « „ / ( * „ ) > / ( « 1 * 1 + « 2 * 2 + ••• + « „ * „ ) որտեղ х1(х2 ... ,xn £ J , £կ > 0 և а ± + а 2 + — Ւ ап = 1 (3)

անհավասարությունր, իսկ (2) անհավասարությանր բավարարող յուրաքանչյուրֆունկցիայի համար ճիշտ է'

a i / O i ) + + a 2f ( x 2) + ••• + a nf ( x n) < f ( a ±x± + a 2x2 + ••• + a nxn) (4)x1։ x2 ..., xn £ J , > 0 Հ = 1..., n և + a 2 + — Ւ a n = 1 անհավասարությունր:

4. Ֆունկցիայի ուռուցիկության և գոգավորության բավարար պայմանը: Թեորեմ: Դիցուք' / (x ) ֆունկցիան կրկնակի ածանցելի է J միջակայքում:

Այժմ, եթե f ' ( x ) > 0 Vx £ J , ապա / ^ ) - ր ուռուցիկ է J -ում, իսկ եթե / " (x) < 0 Vx £ J , ապա / ^ ) - ր գոգավոր է J -ում:(Ա]ս թեորեմիայի և Յենսենի անհավասարության ապացույցի մասին րնթերցողր

կարող է տեղեկանալ ինչպես [2]-ից, այնպես էլ ա]լ աղբյուրներից):Դպրոցական ղասրնթացից մեզ հայտնի բոլոր տարրական ֆունկցիաներր,

իրենց որոշման տիրույթների առանձին մասերում (որոշ դեպքերում նաև ամբողջ տիրույթում), ունեն ինչպես ուռուցիկության, այնպես էլ գոգավորության մասեր:

Օրինակ 1: Քառակուսի եռանդամը' /(x) = ax2 + bx + с իր որոշմանտիրույթում R = (—0°, +օօ) ուռուցիկ է, եթե a > 0, և գոգավոր է, եթե a < 0 (տես [5] էջ 219 (գրաֆիկր)):Օրինակ 2: f {x ) = |#|-ը ուռուցիկ է Д-ում տես [5]էջ 219 (գրաֆիկր):Օրինակ 3: Աստիճանային ֆունկցիան' f ix ) = х л: Ուռուցիկ է J = (0, +օօ)֊ում,

եթե Л > 1 կամ Л < 0: Գոգավոր է J = (0, + со) ֊ո ւմ , եթե 0 < Я < 1 (տես [6] (էջ 131-135) գրաֆիկներր):Օրինակ 4: Ցուցչսւյին ֆունկցիան' f ix ) = a x, a > 0, а Փ 1: Ուռուցիկ է Д-ում

(տես [6] (էջ 146-147) գրաֆիկներր):Օրինակ 5: Լոգարիթմական ֆունկցիան' f {x ) = log(1 x: Գոգավոր է (0, +օօ) ֊

ում, եթե a > 1 և ուռուցիկ է, եթե 0 < a < 1 (տես [6] (էջ 169) գրաֆիկներր):

56

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Օրինակ 6: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները'ա) /(х ) = sinx-ր գոգավոր է ('JK = (2nk,n(2k + 1)) к E Z միջակայքերում և

ուռուցիկ է J ' k = (л(2к + l) ,n(2k + 2)) к E Z միջակայքերում:

[1] ֊ո ւմ առաջարկվում է լուծել հետևյալ խեդիրր:Խնդիր №1: Ապացուցել, որ եթե a-ե, b-ն, с-ե բեակաե թվեր են, ապա

— - — . — - — — -— a + b + cd a + b + c Q a+b+c С «+Ь +с > --- ----- ( 5 ) :

[2]֊ում բերված լուծումից հետևում է, որ (5) աեհավասարություեր ճիշտ է ցանկացած a, b, с, դրական թվերի համար (տես[2] Էջ151,155):Նկատի ունենալով այս հանգամանքր' Ամերիկայի 3-րդ ազգային մաթեմատի­կական օլիմպիադայում (1974թ.) առաջարկվում է լուծել հետևյալ խնդիրր.

Խնդրի №2: Ապացուցել, որ եթե a-ն, />ն, c-ն դրական թվեր են, ապաa+b+c

a a bh cc > (abc) ՜ (տես[3] Էջ140 №12):1սնդիր №2-ի լուծումր անմիջապես հետևում է (5)-ից և 4ոշու

անհավասարումից, քանի որ'

[1]-ում առաջարկվում է լուծել նաև հետևյալ խնդիրր.Խնդիր №3: Ապացուցել, որ եթե a > 0 , b > 0 , c > 0 այնպիսի ռացիոնալ թվեր են, որ յուրաքանչյուր երկուսի գումարր մեծ է երրորդից, ապա

[2]-ի էջ 151-ում հեդինակներր բերելով այս խնդիրր միաժամանակ վերացնում են ձևակերպման մեջ եղած անճշտությունդ նշելով, որ a-ն, ծ ֊ն, c-ն որևէ եռանկյան կողմեր են, և a,b,c £ Q (ռացիոնալ թվերի բազմությունն է): [2]-ի էջ 155-ում բերված լուծումր, որր հենվում է Յենսենի անհավասարության վրա, հաշվի առնելով f ( x ) = л: In х-ի ուռուցիկությունր' (6)-ր ճիշտ է դարձնում յուրաքան­չյուր а, b, с դրական թվերի համար (թեև հանուն ճշմարտության պետք է ասել, որ իրականում (6) անհավասարությունր ճիշտ է այն բոլոր իրական դրական թվերի համար, որոնց յուրաքանչյուր երկուսի գումարր փոքր չէ երրորդից):

բ) / СО = cosx-ր գոգավոր է J k = ( — + 2nk, ^ + 2nkj к E Z և ուռուցիկ է

+ 2nk, 3 + 2пк^ к £ Z միջակայքերում:

գ) / (x ) = tдх\х / (х ) = ctgx ֆունկցիաներր ուռուցիկ են J k = (n k ,^+ nkj к £ Z և

գոգավոր են J k = (~ ՜ + ո1(՛ к £ Z միջակայքերում:

(6):

57

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

ձարց է ծագում: Ի եչու (5) և (6) անհավասարություններում մասնակցող а, b, с

թվերի համար խնդիրներ 1-ում և 3-ում չի նշվում նրանց իրական դրական թիվ լինելու հանգամանքդ: Բանն ալն է, որ [1]-ում ներկայացված խնդիրներ 1-ր և 3-ր շատ ավելի հին են քան [2]֊ո ւմ տրված նրանց անդրադարձներր: Դա երևում է նաև նրանց հրապարակման տարեթվերից, ինչպես նաև ալն բանից, որ [1]-ում առկա բոլոր խնդիրներն էլ հայտնի խնդիրներ են (վերցված են տարբեր գրքերից և ամսագրերից): Մյուս կողմից, որոշ աղբյուրներ ֆունկցիայի ուռուցիկության և գոգավորության սահմանումներում' (1) և (2) անհավասարություններր փո­

խարինում են նրանց միայն a = թ = - մասնավոր արժեքով, նշելով, որ J

միջակայքում ֆունկցիան ուռուցիկ է, եթե V x1։ x2 £ J համար ^(-Xl-) (-X2-) >

> / ( ~ р ) (ւ)' և գոգավոր է, եթե /(Xl)+/(X2) < /(Ж12+Ж2) (2)': Այս դեպքում

Յենսենի (3) և (4) անհավասարություններր տեղի են ունենում միայն аг > 0 ռացիոնալ թվերի դեպքում, որտեղ а ± + а 2 + — Ւ а п = 1: (Ենթադրվում է, որ Յենսենր օգտվելով 4ոշու մեթոդից՝ո = тп-ից անցնելով ո = 2 т դեպքին, հետոո = 2ա-ից իջնում է նոր ո = 2 т — 1 դեպքին, սկդբում ապացուցում է (3) և (4)

1անհավասարություններր а г = а 2 = ••• = ап = — թվերի համար, որից հետո

անցնում է Vet,- 6 Q ռացիոնալ թվերին, որտեղ £™=լ a i = 1 (տես [2]-ր Էջ91-93):Ի դեպ (1 ) և (2 ) անհավասարություններր կարող են տեղի ունենալ ոչ միայն J -

ում, այլ նաև նրան րնդգրկող մեկ այլ բազմությունում էլ, որտեղ ֆունկցիան կարող է լինել ոչ ուռուցիկ և ոչ էլ գոգավոր: Օրինակ' / (х ) = cosx-ր գոգավոր է

[o ,|] և ուռուցիկ է [j,7rj-nul: Սակայն, եթե մենք դիտենք Е с [0,7г] բազմությունդ,

որտեղ Vx,у £ Е => х + у £ [0, п], ապա J = [ о , с Е և cosx+cosy < cos фф

cos cos (~ ~ ) < cos ՈՐԸ ճիշտ է, քանի որ

0 < ֊y ֊ < ^ փփ cos £ (0 ,1]: 4երջինս ապահովում է Յենսենի անհավասա-, . - _ ր, COSXl+COSX24---- l-cosxn _ / x i + x 24---- l-xn \րության առկալությունր Я-ում ----------------------< cos I-------------I, xL £ E

1 = l,...n, տես Բնագետ 2002թ. № 3-4 Ն. Ս. Աեդրակյան - Յենսենի անհա­վասարության րնդհանրացումր:

Միաժամանակ [2] ՜ի էջ 153-ում առաջարկվում է լուծել հետևյալ խնդիրր:/а+Ь\а+^Խնդիր N«4: Ապացուցել, որ եթե а, Ъ, с, d > 0, ապա տեղի ունի Լ - J <

< (7) անհավասարութ]ունր:(տես նաև [2] ֊ի Էջ241 №16.11 (լ ) ( յ ) < 1,

որտեղ p,q,k,l £ N և к + I > p + q): 4երջինս հանդիսանում է [1]-ի էջ 146-ի №140

58

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

s a + b + c , / „ \ Ա / и \ Ь

{ft

= 1:

խնդիրի րնդհանրացվսւծր, սդե է. Ապացուցել, որ եթե a > 0, և b > 0, ապա

f a + l \ b + 1 : Սա կարող ենք ստաեալ (7)-ից: Բավական է (7) ֊ր շրջել և րեդուեել

b = d = 1: Այնուհետև a-ե փոխարինել />ով, իսկ c-ն a-ով:Ա]ս պահին դժվար է ասել, թե ի նչն է խանգարել [2]-ի հեղինակներին (7)

անհավասարությունր րնդհանրացնել ավելացնելով' օրինակ I և / դրական

թվերր, որի դեպքում կստանանք' ) < ( ֊) 0 ) ( ֊) (7՛) անհավա֊

սարությունր, մանավանդ որ էջ 163-ում իրենց կողմից բերված լուծումր սւ]դ հնարսւվորությունր րնձեռնում է: Ա]դ դեպքում (7 )-ից որպես հետևանք կստանանք ինչպես (5)-ր, եթե վերցնենք с = d = ք = 1, այնպես էլ (6)-ր, եթե նշանակենք' a + b — с = d > 0, b + с — a = I > 0, с + a — b = ք > 0: Ա]դ

դեպքում մի կողմից' a + b + c = d + l + f , իսկ մյուս կողմից Q Щ (Q <

^ { ^ £ } а+Ь+С = г ՝ nm ճԻշտ ՔաևԻ որ ռստ (7') ՜Ի © “ (ւ)հ {j)c/ a + b + c \ a + b + c

— \ d + l + f )

Սակայն, ինչպես հաճախ է պատահում գիտության մեջ, սւ]ն ինչ աչքիդ առաջ դրված է և դու չես նկատում, նկատում է մեկ ուրիշր, որր և իրավացիորեն կարող է վերագրել իրեն: Ահավասիկ, „Математика в школе,, ամսագրի թիվ 5197 խնդիրր, որր առաջարկելէ Ն.Ն. Պետրովր Իժեվսկ քաղաքից, (տես [4] էջ 73): Խնդիր №5: Ապացուցել, որ եթե պ > 0, bt > 0, i = 1,2 ... ո իրական թվեր են, ապա

տեղի ունի'

( : i : : : : : : : i ) ai+a2+ +an ^ © ° 1 @ az - © an ® անհավասարության,(տես [4] задача 5197):Լուծում: (8) անհավասարությունր համարժեք է'

( 5 5 Տ ճ ) ՞ 1+“2+ ^ © ° 1 ՚ Й Г ՚ - ՚ ( է ) " " <8'> անհավասարությանը:(8 ) անհավասարության երկու մասերր լոգարիթմելով բնական հիմքով և հաշվի առնելով, որ f {x ) = In x-ր մոնոտոն աճող է, կստանանք'

(% + «շ + ... + an) In (է ւ է շ Հ է ) > a± In ( | ) + a2 In g§) + - + an In ( Ц փփ

-----^ -----In f ^ U ----- 22-----In ) + ••• -I-----—— In f—) < In (bl+t,2+'"+bn\Ա չ + Ա շ + • + \CL-\_/ Ա չ + Ա շ + ։ " + Ա յւ \ Ա շ / £1 լ + ՚" + £1| լ + Ա շ + ■ ■ ■ +

Այժմ / (x) = In х-ի (0, +օօ)-ա_մ գոգավորությունից (տես օրինակ 5-ր) (4)-իշնորհիվ կստանանք՝

a ia, = ----------- i = 1,2 ..., ո; а л + а? + — Ւ а„ = 1а1 + - а п ’ ’ ’ 1 2 "

59

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

---^ --- Խ ( ± ) + --- ^ --- 1ո № + - . + --- ^ ---In ( M < In ( - Հ ----^ + — 22-----£ 1 լ + ' " + £ 1 |լ \ Ա չ / Я լ + ՚ ՚ ՚ + £ 1 |լ \ Ա շ / Я լ + ՚ ՚ ՚ + £ 1 |լ \ Ա յղ / \ £ 1 լ + ՚ ՚ ՚ + Այղ Ա չ £ 1 լ + ' " + £1 |լ

ծշ ... _|_ an . fyi \ _ յո ( b1 + b2 + -- + bn\ _Cl շ £1 լ + ' " + £1| լ & T I' + £1շ + ■ ■ ■ + С1- ц /

Ի դեպ (8) անհավասարությունր նույնպես կարել]ւ է ըեդհաերացեել:1սեդիր N“6: Դիցուք f (x ) ֆուեկցիաե J = (0, R); R > 0 միջակայքում գոգավոր է և

ընդունում է դրական արժեքներ: Ա]դ դեպքում xi = — 6 J թվերի համար, որտեղa i

ել > 0, Ալ > 0, i = 1,2 ..., ո իրական թվեր են, տեղի ունի

) al + a2 + ,,, + an / \ al / \ a2 / \ an

г ( ' ( Э ) • ( ' © ) •■■■ ՝ ( ' © ) (9)անհավասարութ] ունր:

Ապացուցում: Նախ նկատենք, որ min ^ — max (^ ) i = 1.2 ■■■ ո, ապա■ f b i \ ^ ծ լ + ծ շ + ՚ ՚ ՚ + ծ^լ f b i \ с 1 i_ 1_ b i ^ b i + b j b j . .ատ — < ------------ < max — , քանի որ, եթե — < —, ապա — < ------ < — ւ Փ յ:

V a j / Աչ + ԱշՀ------h an \o - i/ щ a j 1 ալ o-t+o-j cij

հետնաբար 1Հ 1 Հ 6 J : (9)-ր համարժեք է՝

К + + a 2 + ... + an) In/ g l g ± ^ ) > % ln կ (Ճ ) j + ... + a„ In կ ( է )

фф — ^ — ln ( / ( - ) ) + •••+ an ln ( f < ln ( f ( b l+ '+bn) \а^л----han \ \<2չ/ J Աչ-l----han \ Vcin / J \ Vc^H---- Han / J

ձաշվի առնելով ln х-ի գոգսւվորությունր (4)֊ից կստանանք'

— ^ — ln (V f^V ) + ••• + — < ln (— - -------- ք № ) + ■■■ +£1լ + ՚" + £1|լ \ \0 ,չ / J £1լ + ' " + £1շ \ \C lfi' J у ^ 1 " ՚ & Ո \ Զ չ /

— ~ ---- f \ ~ ւ I — մյուս կողմից էլ րստ պայմանի J = (0,R )-ում գոգավոր էրа-^л------han Vcin / J

նաև /ОО-ր; < In f— 2 յ ^ . Ճ + . . . + — = \ n ( f ( bl+"'+bn)\ \£1լ + ՚ " + £1|լ €1չ £1լ + ' " + £1|լ &TI' J у \£1 լ + ■ ■ ■ + С1ц'

(օգտվեցինք lnx-ի մոնոտոն աճող լինելուց):Երբ /(x ) = X, կստանանք խնդիր №5-ր: (9) անհավասարությունր ճիշտ է նաև

/(х ) = хя, Я > 0 ֆունկցիայի համար, չնայած սցն բանին, որ նա գոգավոր է միայն Я £ (0 ,1] և ուռուցիկ է Я > 1: Սա չպետք է տարօրինակ թվա:

(9) անհավասարությունր ապացուցեցինք սւ]ն ֆունկցիաների համար, որոնք J = (0, /?)-ում գոգավոր են և իհարկե րնդունում են դրական արժեքներ: Սակայն սա չի նշանակում, որ նրանք ճիշտ չեն կարող լինել այնպիսի ֆունկցիաների համար, որոնք տվյալ միջակայքում միայն գոգավոր են: Այդպիսի խաբուսիկ իրավիճակ առաջանում է նաև [1]-ի էջ 149-ի №157 խնդրի լուծման ժամանակ:Այն

է- Ապացուցել, որ եթե хк > 0, ££=1 хк = 1 և Я > 0, ապա ££=1 (хк + г ֊) > J ՜ ֊ ? :\ X j l j / 71

60

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

4երջիես [2] ֊ո ւմ առաջարկվում է լուծել ինքնուրույն (տես [2] էջ 165 №11): Այստեղ Էլ/Сх) = X я , 0 < Я < 1 դեպքում, երբ х £ (0 ,1)-ում ուռուցիկ չէ (գոգավոր է): Ուստի ուղղագիծ անցում չենք կարող կատարել: Մակայն բավական է օգտվել 4ոշու անհավասարությունից'

(*1+ ՜) +",+(*ո+ ) ( / 1 NA / 1 NA^ ( ( * ւ + i ) ■ - ■ ( * » + Ձ ) ” = + Ձ ■ - ■ ( * « + Ձ ) J >

որտեղից Я > 0 թիվր «կարտաքսվի»: Մնում է օգտագործել g,(x) = In (x + ^

ֆունկցիայի ուռուցիկությունր X £ (0,1) միջակայքում (ստուգել! §-"(x) > 0),

որպեսզի Յենսենի անհավասարությունից g'<՝yi'> + > ֆ +>ո) ստա­

նանք' նախ ( y i = X i + —, i = 1,2,... ,ո), - (in (хг + —) + ■■■+ In (xn + —)) >Xj 71 \ \ Х\/ \ Хц//

> ln ^ 1+ +Xn/ 1+"+Xn]j > In (— ). Քանի որ (x, + - + xn) ■ ( i + + -1) > ո2 փփ

1о 1 ■ 0 - + — Ւ > ո2: Այնուհետև (Щ = 1 (xfc + ~ ) ) " — (~ f~ ) աևհավասսւրու-

Я ^թյունից հետո նոր կստանանք (Щ = 1 (x/t + ~ ) ) " — ^ ՛■

Խնդիր №6-ր հնարավորություն է տալիս հաստատելու հետևյալ ոչ ակնհայտ աևհավասարությ ուևևերր'

(sin30°)6 ■ (sin450)4 ■ (sin60°)3 < (sin420)13 (ա)(cos30°)6 ■ (cos450)4 ■ (cos60°)3 < (cos410)13 (բ)

(ա)-և ապացուցելու համար բավակաև է դիտարկել/ (x) = sinx-ր ^0,լ|֊ոս1,

իսկ (բ)-և ապացուցելու համար' / (x ) = cosx-ր ^0,լ|֊ոս1: (Նրաևցից յուրաքաև-

չյուրր այդ հատվածում գոգավոր է): Այդ դեպքում' ( s i n ■ (sin^ ■ ( s i n <

< (sin (т т Ш )) = (sin« ) Հ (sin42° )13 /СО = sinx-ր [o.՜] ֊ո ւմ աճող է:( ЗяЛ(բ)-ի դեպքում' (cos —) < (cos410) 13, քաևի որ cosx-ր ևվագող է: (ա)-ից և (բ)-

ից կարող եևք ստաևալ ևույևպես ոչ ակևհայտ աևհավասարություև' <

< (sin 840)13:Նկատի ուևեևալով այև փաստր, որր [2]-ր հրատարակված է ևաև ռուսերեև

լեզվով, ուստի չբացառելով, որ ապագայում էլ խևդիր №5-ի օրիևակով լիևեև այդ գրքում առկա խևդիրևերի այլ րևդաևրացումևեր, րևթերցողի ուշադրությաևև եևք հրավիրում ստորև ևերկայացվող հետևյալ երկու խևդիրևերր.

61

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

1սԽ]իր №7: Ապացուցել, որ եթե а, > 0, i = 1,2 ... ո թվերե սւյնպիսին եե, որ (կ ■ a 2 ■...- a n = 1, ապա տեղի ուեի

' + -----------------+ ••• + -------- ---------< 1 (10)-1 _ւ _ւ ._ւ t-t -_1_л _i_ t-t ~ 4 *l + d j + d 2 + " '+ ( l jJ_ J 1+(1շ + "'+ (1 յյ_ լ+ (1 յյ l + d j j + d j + '" + (lj| _ 2

աեհավասարութ] ուեր:Երբ ո = 3, ստանում ենք [2]-ի էջ 61-ի օրինակ 5.4-ր: Միաժամանակ սւ]ն [7]֊ի

էջ 20-ի №2խնդիրն է:Եթե a ,b ,c > 0, ապա (a 3 + b3 + a b c )՜1 + (Ь3 + с3 + a b c )՜1 + (с3 + а 3 +

+ a b c ) ՜1 < (a b c )՜1:4երջինս մեկ-երկու քայլով կարելի է բերել խնդիր №7-ի ո = 3 դեպքին: Եթե abc = Л3 0, ապա ապացուցվող անհավասարության երէլու մասերը

բաժանելով Я3-ի, նշանակելով ֊ = x , ; j = x2\ '- = ապա /x^-ին

փոխարինելով <^-ով i = 1,2,3 և հաշվի առնելով x1 ■ x2 ■ x3 = 1 = = \jx 1 ■ x2 ■ x3 =

= a-լ- a2 - a3 կստանանք խնդիր №7-ր ո = 3 դեպքում: ո = 2 դեպքում(10)-ր վերածվում է հավասարության:

Դիցուք՝ ո > 3: Ա]դ դեպքում ինչպիսին էլ լինեն a L > 0, i = 1 , , ռ թվերր, տված ո £ N դեպքում նրանցից յուրաքանչյուրի համար 3xt > 0 թիվ, որ а ; = x ՝ 1, i = = 1,2,..., ո և a 1 ■ а 2 ■... ■ а„ = = 1 պայմանից կստանանք x1 ■ x2 ■... ■ xn = 1-ր:(10) անհավասարությունր համարժեք է լինում'

Л + --------- ---------- +• • • + ---------- ---------- < 1 (10'): Л Ո I լ~ . 71 1 V- Ո -1 I ~ Ու V- . 71 I___լ_ ^ „71 -- \ /1+X\n+X2n+--+Xn-In 1 + X2n + ---+Xn-In + Xnn l + Xnn+Xin + --+Xn-2nանհավասարությանր, որտեղ x1 ■ x2 ■ ... ■ xn = 1:

Այժմ ապացուցենք, որ տված ո > 3 թվի համար ինչպիսին էլ, որ լինեն ծ1( bշ ,..., ծո_ ւ դրական թվերր նրանց համար ճիշտ է'b in + ь 2п + ---Ւ b n ^ " > b 1 b2 - ... ■ bn_1(b1 + b2 + ---Ւ b jj.i) (11)

անհավասարությունր: (11)-ր միաժամանակ Մյուրխեդի անհավասարության

մասնավոր օրինակ է: (տես 8 էջ 92): Իրոք (11)-ր օ - — ---- ծ,71՜ 1 +օ1+--+օո_1

+ ---- ֊ ---- ծ2ո_1 + - + --- ----- ь, , " ֊1 > Й! ■ Ь2 ■ ... ■ bn_ ! :&1 + &2 + ՚" + ծ|ւ_1 ծլ + ՛ " +ձաշվի առնելով, որ /(х ) = x™ 1 ֊ր ուռուցիկ է ո — 1 > 2 դեպքում (տես օրինակ

Յ֊ր) և Й; = ---- —---- > 0, i = 1,2,..., ո — 1Լ/ 1 ь1+-+ь„_1

թվերի համար Y,?=i a i = 1> ապա (3)-ի շնորհիվ կստանանք՝ -— -----ծ ,71՜ 1 +&! + ■■■ + & „_!

1 1֊1 ՜՜՜Ո — 1

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Քանի որ Ъг2 + ••• + Ъп_г2 > (bl+'"+l," ֊l)2 և bl+",+bn~l > {Ьг • ... • Մեզn —1 n —1

մ ն ո ւ մ է ՝ 1 + х хп + . . + х п _ х” > 1 + х х • x 2 • • x n_ x ( x x + x 2 + — Ւ x n_ x)

1 + x 2n + ••• + х п _ г п + x n n > 1 + x 2 • ... • x n _ 1x n ( x 2 + x 3 + ••• + x n _ ! + x n )

1 + x n n + x xn + ••• + x n_ 2n > 1 + x n ■ X i • ■ x n_ 2 ( x n + X i + ••• + x n_ 2)

անհավասարությունները շրջել և գումարելիս բոլոր 1-երը փոխարինել 1 = X , •

•... ■ xn֊ i ■ * Ո~ՈՎ> որպեսզի ստանանք (10 )-ը:Խնդիր №8: Ապացուցել, որ եթե պ > 0; i = 1,2 ...ո;ո + 1; ո E N, ապա տեղի

ունի'

+ ռշ + ■ ■ ■ -hdji — 0,5ll + Я^ + ■ ■ ■ + լ — 0,5ll

(ajH han)2 + 0,5n a n+ l 2 ( a n+ i+ a jH han_ i ) 2 + 0,5n a n2

+ + + ■ ■ - + d jj_2 —-\J0,5?l d jj_ j j +Й2 + ■ ■ - + —-\J0,5?l d j j

( a i + a n+jH нап_ 2 )2 + 0 ,5л a n- l 2 (քւշ+азН нап+ 1 )2 + 0,5л a j 2

> (n + 1) — 2շ’^ IJ V2n (12) անհավասարությունը:

n = 2 դեպքում ստանում ենք [2]-ի Էջ113-ի №13-ի բ)-ն: (12) անհավասարությունը ապացուցելիս կարելի է օգտվել

(ь±+ь2+ +ьп) a -----— 2 n a-------- անհավասարությունից, որտեղ(b1 + -- + bn ) 2 + 0,5n a 2 2п а + ( 2п - 1)(Ь1 + - + Ь„) 4 ' 4 1 1 J 1 »> 1 Լ

է 2 Ոbi > 0, at > 0 իրական թվեր են: 4երջինս ստացվում է՝ ~ ц ^ < 2ո+(2ո_1)է պարզ

փաստից, որտեղ է = bl+ J bn > q կամայական իրական դրական թիվ է:

հավասարության դեպքը տեղի ունի, երբ բոլոր թվերը իրար հավասար են:Ինչպես նկատում է ընթերցողը, մեր կողմից ընդհանրացված խնդիրներ 7 և 8-ը

և իրենց որակով, և լուծման բարդությամբ չեն զիջում խնդիր №5-ին: Այնպես որ նրանք որպես միանգամայն նոր խնդիրներ կարող են առաջարկվել ոչ միայն տարբեր ամսագրերում, այլ նաև տարբեր մակարդակների մաթեմատիկական օլիմպիադաներում:

Գրականություն

[1] Գ. Ա. Տոնոյան - Մաթեմատիկական ընտրովի թեորեմներ և խնդիրներ: Երևան, «Լույս» 1970թ.

[2] Ն. Մ. Մեդրակյան, Լ. Մ. Ավոյան- Անհավասարությունների ապացուցման մեթոդներ: Երևան, «Նաիրի», 1998թ.

63

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

[3] Գ. Ա. Տոեոյաե ֊ Ազգային մաթեմատիկական օլիմպիադաներ: Երևան 1986թ.[4] „Математатикка в школе,, 2011թ. №5[5] Լ. Մ. Միքսւյելյսւն - ձանրահաշիվ-9: Երևան, «էդիտ Պրինտ», 2008թ.[6] Գ. Գևորգյսւն, Ա. Մահակյսւն - հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի

տարրեր-9, 10: Երևան, «էդիտ Պրինտ», 2001թ.[7] Գ. U. Տոնոյսւե - Մաթեմաաիկակաե օլիմպիադա 2008: Երևան, «էդիա Պրիեա», 2008թ.:[8] Н. Б. Васильев և ուրիշներ - Заочные математические олимпиады - Москва

«Наука», 1986г.

64