Δυναμική Μηχανών I

Διάλεξη 5

Χειμερινό Εξάμηνο 2013

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

1

Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών-Ηλεκτρικών-Υδραυλικών-Θερμικών Συστημάτων

• Επανάληψη: – Εξισώσεις Lagrange σε συστήματα N Β.Ε.

• Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών & Υδραυλικών Συστημάτων – Διακριτά στοιχεία, μεταβλητές ισχύος, ενέργεια & ισχύς

– Μεταβλητές σθένους και ροής

– Τετράεδρα κατάστασης

• Πηγές και Καταβόθρες Ισχύος

• Εφαρμογή: Copenhagen Wheel 2

Ανακοινώσεις

• Όποιος ενδιαφέρεται να συμμετάσχει στο μάθημα MATLAB/simulink για την επίλυση των εξισώσεων κίνησης δυναμικών συστημάτων να στείλει email:

• Office Hours:

– Δευτέρα 1-3 ή Παρασκευή 1-3μμ

• Το web site του μαθήματος λειτουργεί κανονικά

– Διαλέξεις, σημειώσεις, βιβλιογραφία

http://cw.mech.ntua.gr/ml23065

DMmeche2013@gmail.com

3

Copenhagen Wheel

4

Επανάληψη: Εξισώσεις Langrange

5

Εξισώσεις Lagrange (Κλασσική Μορφή)

• Υπολογισμός κινητικής 𝑇 & δυναμικής ενέργειας 𝑉 ως συνάρτηση των 𝐪, 𝒒 .

• Για κάθε B.E., η αντίστοιχη εξίσωση κίνησης είναι:

– όπου η γενικευμένη δύναμη 𝜉𝑗 είναι:

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑇 𝐪, 𝒒

𝜕𝑞 𝑗−𝜕𝑇 𝐪, 𝒒

𝜕𝑞𝑗+𝜕𝑉 𝐪

𝜕𝑞𝑗= 𝜉𝑗 , 𝑗 = 1,2,… ,𝑁

𝜉𝑗 = (𝜕𝒓𝐹𝑖𝜕𝑞𝑗

)𝑇∙ 𝑭𝑖

𝑁𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒

𝑖=1

+ (𝜕𝝎𝑖

𝜕𝑞𝑗)𝑇∙ 𝚻𝑖

𝑁𝑇𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

𝑖=1

j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού 𝑱F𝑖(𝒒) της θέσης 𝒓𝐹𝑖(𝒒) όπου ασκείται η δύναμη 𝑭𝑖 ως προς τους Β.Ε. 𝒒

j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού πίνακα 𝑱𝛚𝑖(𝒒) της γωνιακής ταχύτητας του σώματος που ασκείται η ροπή 𝚻𝑖 6

Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή)

• Υπολογισμός των μητρώων μάζας 𝚳, ελαστικότητας 𝚱

• Αντί παραγώγισης ως προς κάθε Β.Ε. 𝑞𝑗 ξεχωριστά,

παραγώγιση ως προς το διάνυσμα 𝒒 των Β.Ε.

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑇

𝜕𝒒 −𝜕𝑇

𝜕𝒒+𝜕𝑉

𝜕𝒒= 𝝃

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑇

𝜕𝑞 1…

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑇

𝜕𝑞 Ν

𝜕𝑇

𝜕𝑞1…𝜕𝑇

𝜕𝑞Ν

𝜕𝑉

𝜕𝑞1…𝜕𝑉

𝜕𝑞Ν

𝜉1…𝜉𝑁

Δυνάμεις βαρύτητας

Μη γραμμικές δυνάμεις

Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές

Δυνάμεις αδράνειας

Δυνάμεις ελαστικότητας

Δυνάμεις απόσβεσης

7

Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή Μορφή)

𝚳 𝐪 ∙ 𝒒 + 𝐂 𝒒 ∙ 𝒒 + 𝑲 ∙ 𝒒 = 𝝃𝑔𝑟𝑎𝒗 + 𝝃𝑛𝑜𝑛𝑙𝑖𝑛 + 𝑱𝑖𝑇 ∙ 𝑭𝑖

𝑁𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒

𝑖=1

+ 𝑱𝑇,𝑖𝑇 ∙ 𝚻𝑖

𝑁𝑇𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

𝑖=1

Δυνάμεις βαρύτητας

Μη γραμμικές δυνάμεις

Εξωτερικές δυνάμεις Εξωτερικές

ροπές Δυνάμεις αδράνειας

Δυνάμεις ελαστικότητας

Δυνάμεις απόσβεσης

𝝃𝑛𝑜𝑛𝑙𝑖𝑛 𝒒, 𝒒 = −𝑑𝚳 𝐪

𝑑𝑡∙ 𝒒 +

1

2

𝜕(𝒒 𝑇 ∙ 𝚳(𝐪) ∙ 𝒒 )

𝜕𝒒

𝝃𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑦 = −𝜕𝑉𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑦 𝐪

𝜕𝒒

8

Σχετική θέση ακροδεκτών ελατηρίου/αποσβεστήρα

• Έστω «1» και «2» οι ακροδέκτες ενός ελατηρίου/αποσβεστήρα

• Η σχετική θέση των ακροδεκτών μπορεί να επιλεγεί με δύο τρόπους – Επιλογή επιρεάζει την φορά των αντίστοιχων δυνάμεων

𝑓𝑐 = 𝑐 ∙ 𝑢1 − 𝑢2 = 𝑐 ∙ 𝑥 1 − 𝑥 2

𝑢1

𝒇𝑐 𝒇𝑐

m2 m1

𝑐

𝑢2

m2 m1

𝛿𝑟𝑐 = 𝑥1 − 𝑥2

𝒇𝑐

𝑐

𝒇𝑐

𝑓𝑐 = 𝑐 ∙ 𝑢2 − 𝑢1 = 𝑐 ∙ 𝑥 2 − 𝑥 1

𝒇𝑐 𝒇𝑐 m2 m1

𝛿𝑟𝑐 = 𝑥2 − 𝑥1

𝒇𝑐

𝑐

𝒇𝑐

Επιλογή 1 Επιλογή 2

1 2 1 2

9

Μοντελοποίηση Μηχανικών, Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων

10

Μηχανικά Συστήματα (Μεταφορική Κίνηση)

• Μεταβλητές ισχύος 𝑃 = 𝐸 = 𝑭 ∙ 𝒖

– Δύναμη 𝑭, ταχύτητα 𝒖 = 𝒙

• Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας

– Μάζα 𝑚:

– Ελαστικότητα (γραμμική) 𝑘:

• Στοιχεία καταστροφής ενέργειας

– Απόσβεση (γραμμική) 𝑐

𝑭 = 𝑚 ∙ 𝒖

𝑭 = −𝑘 ∙ 𝒙

𝐸(𝑭) = 𝑉 =1

2𝑭(𝒙)𝑇 ∙ 𝒙 =

1

2∙ 𝑘 ∙ 𝒙 2 =

1

2∙ 𝑘−1 ∙ 𝑭 2

𝑭 = −𝑐 ∙ 𝒖

𝐸(𝒖) = 𝑇 =1

2𝑳(𝒖)𝑇 ∙ 𝒖 =

1

2∙ 𝑚 ∙ 𝒖 2

11

Μηχανικά Συστήματα (Περιστροφική Κίνηση)

• Μεταβλητές ισχύος 𝑃 = 𝐸 = Τ ∙ 𝜔

– Ροπή Τ, γωνιακή ταχύτητα 𝜔 = 𝜃

• Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας

– Ροπή αδράνειας Ι:

– Ελαστικότητα (γραμμική)𝑘𝑇:

• Στοιχεία καταστροφής ενέργειας

– Απόσβεση (γραμμική) 𝑐𝑇

Τ = Ι ∙ ω

Τ = −𝑘𝑇 ∙ 𝜃

𝐸(Τ) = 𝑉 =1

2𝑇(𝜃) ∙ 𝜃 =

1

2∙ 𝑘𝑇 ∙ 𝜃

2 =1

2∙ 𝑘𝑇

−1 ∙ 𝑇2

𝑇 = −𝑐𝑇 ∙ 𝜔

𝐸(𝜔) = 𝑇 =1

2𝐻(𝜔) ∙ 𝜔 =

1

2∙ Ι ∙ ω2

12

Ηλεκτρικά Συστήματα

• Μεταβλητές ισχύος 𝑃 = 𝐸 = i ∙ 𝑉

– Διαφορά τάσης V, ένταση ρεύματος i = 𝑞

• Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας

– Eπαγωγέας (πηνίο) L:

– Πυκνωτής 𝐶:

• Στοιχεία καταστροφής ενέργειας

– Αντίσταση 𝑅

V = L ∙ i

𝑉 = 𝐶−1 ∙ 𝑞

𝐸 𝑉 =1

2∙ 𝐶−1 ∙ 𝑞2 =

1

2∙ 𝐶 ∙ 𝑉2

𝑉 = 𝑅 ∙ 𝑖

𝐸(𝑖) =1

2∙ L ∙ i2

13

Υδραυλικά Συστήματα

• Μεταβλητές ισχύος 𝑃 = 𝐸 = Q ∙ 𝑃

– Διαφορά πίεσης P, παροχή Q = 𝑉

• Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας

– Αδράνεια L:

– Πυκνωτής 𝐶:

• Στοιχεία καταστροφής ενέργειας

– Αντίσταση 𝑅

P = L ∙ Q

𝑃 = 𝐶−1 ∙ 𝑉

𝐸 𝑃 =1

2∙ 𝐶−1 ∙ 𝑉2 =

1

2∙ 𝐶 ∙ 𝑃2

𝑃 = 𝑅 ∙ 𝑄

𝐸(𝑄) =1

2∙ L ∙ Q2

14

Σύγκριση Απλών Συστημάτων

• Μηχανικό σύστημα

– Κοινή ταχύτητα 𝑢

– Ισορροπία δυνάμεων: 𝐹 𝑡 = 𝐹𝑘 + 𝐹𝑚 + 𝐹𝑐

• Ηλεκτρικό σύστημα

– Κοινό ρεύμα 𝑖

– Νόμος Kirchoff: 𝑉 𝑡 = 𝑉𝐶 + 𝑉𝐿 + 𝑉𝑅

• Υδραυλικό σύστημα

– Κοινή παροχή Q

– Πτώση πίεσης: 𝑃𝑝𝑢𝑚𝑝 𝑡 = 𝑃𝐶 + 𝑃𝐿 + 𝑃𝑅

15

Αντιστοιχία Συστημάτων

Mηχανικό σύστημα Ηλεκτρικό σύστημα

Υδραυλικό σύστημα

Β. Ε. Θέση 𝒙 Φορτίο 𝑞 Όγκος 𝑉

«Ροή» Ταχύτητα 𝒖 = 𝒙 Ένταση i = 𝑞 Παροχή Q = 𝑉

«Σθένος» Δύναμη 𝑭 Διαφορά δυναμικού V

Διαφορά πίεσης P

Στοιχείο Αδράνειας / «Κινητική ενέργεια»

Μάζα 𝑚 𝐅 = 𝑚 ∙ 𝒖

𝐸(𝒖) =1

2∙ 𝑚 ∙ 𝒖 2

Επαγωγέας L V = 𝐿 ∙ 𝑖

𝐸(𝑖) =1

2∙ L ∙ i2

Aδράνεια L P = 𝐿 ∙ 𝑄

𝐸(𝑄) =1

2∙ L ∙ Q2

Στοιχείο Ελαστικότητας / «Δυναμική ενέργεια»

Γραμμικό ελατήριο 𝑘 𝑭 = 𝑘 ∙ (𝒙1 − 𝒙2)

𝐸(𝑭) =1

2∙ 𝑘 ∙ 𝒙 2

Πυκνωτής 𝐶 𝑉 = 𝐶−1 ∙ 𝑖

𝐸 𝑞 =1

2∙ 𝐶−1 ∙ 𝑞2

Πυκνωτής 𝐶 𝑃 = 𝐶−1 ∙ 𝑄

𝐸 𝑉 =1

2∙ 𝐶−1 ∙ 𝑉2

Στοιχείο Απόσβεσης

Γραμμικός αποσβεστ. 𝑐 𝑭 = 𝑐 ∙ (𝒖𝟏 − 𝒖𝟐)

Aντίσταση R V = 𝑅 ∙ 𝑖

Aντίσταση R P = 𝑅 ∙ 𝑄

«Τετράεδρα Κατάστασης»

• Σχηματοποίηση κάθε επιμέρους υποσυστήματος (μηχανικό, ηλεκτρικό, υδραυλικό) ενός συστήματος

17

Σθένος 𝐹

Ροή u

Μετατόπιση x

Ορμή 𝐿

Αδράνεια 𝑚

Ελαστικότητα𝑘

Απόσβεση 𝑐

u

F

𝑑𝑑𝑡

𝑑𝑑𝑡

Μετασχηματιστές & Αναστροφείς

• Στοιχεία που ενώνουν διαφορετικά υποσυστήματα

– Περιγράφουν αλληλεπιδράσεις υποσυστημάτων

• Αντιστοιχούν σε περιορισμούς μεταξύ των μεταβλητών ισχύος των υποσυστημάτων

• Μετασχηματιστής

• Αναστροφέας

18

Τ Σύστημα

2 Σύστημα

1

G

F1 F2

u1 u2

F1 F2

u1 u2

Σύστημα 2

Σύστημα 1

Μετασχηματιστές & Αναστροφείς

• Ιδανικοί μετασχηματιστές & αναστροφείς: όχι απώλεια ισχύος

– Μετασχηματιστής

– Αναστροφέας

19

Τ

G

F1 F2

u1 u2

F1 F2

u1 u2

Σύστημα 2

Σύστημα 1

Σύστημα 2

Σύστημα 1

F2u2

=𝑇 00 𝑇−1

∙F1u1

F2u2

=0 𝐺𝐺−1 0

∙F1u1

Σταθερά μεταχηματιστή

Σταθερά αναστροφέα

Μετασχηματιστές: Παραδείγματα

• Κύληση τροχού χωρίς όλίσθηση (Γραμ. Μηχ ↔ Περ. Μηχ.)

• Γρανάζια σε επαφή (Περ. Μηχ. ↔ Περ. Μηχ)

20

R R F𝑥 𝐺

= 𝑅−1 00 𝑅

∙𝑇𝜃

R1

R2

R1

R2

𝑥 𝐺

𝜃

𝜃 1

𝜃 2

T1

T2

𝑇2𝜃 2

=

𝑅2𝑅1

0

0𝑅1𝑅2

∙𝑇1𝜃 1

Μετασχηματιστές: Παραδείγματα

• Υδραυλικό έμβολο/αντλία θετικής μετατόπισης (Υδραυλικό ↔Γραμ. Μηχ)

• Ηλεκτρικός μετασχηματιστής (Ηλεκτρικό ↔ Ηλεκτρικό)

21

F𝑥 =

𝐴 00 𝐴−1

∙𝑃𝑄

𝑉2𝑖2

=𝑇 00 𝑇−1

∙𝑉1𝑖1

Α

𝑥 𝐹 𝑄

𝑃

i1 i2 V1 V2

+ +

− −

Αναστροφείς: Παραδείγματα

• Αντλία/υδροστρόβιλος (Υδραυλικό ↔Περιστρ. Μηχ)

• Ηλεκτροκινητήρας/γεννήτρια (Ηλεκτρικό ↔ Περιστρ. Μηχ)

22

Τ𝜃

=0 𝐾𝐾−1 0

∙P𝑄

Τ𝜃

=0 𝑘𝑇𝑘𝑇−1 0

∙V𝑖

𝑉

+

−

𝑖

𝜃

T

𝑃

+

−

𝑄

𝜃

T

Γενικευμένες Εξισώσεις Lagrange

• Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων σε συστήματα που περιέχουν μηχανικά,ηλεκτρικά&υδραυλικά υποσυστήματα

• Χρήση γενικευμένης κινητικής και δυναμικής ενέργειας

23

𝑇𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 = 𝑇𝑚𝑒𝑐ℎ + 𝑇𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟 + 𝑇ℎ𝑦𝑑𝑟 =1

2∙ 𝑚 ∙ 𝑥 2 +

1

2∙ L ∙ 𝑞 2 +

1

2∙ L ∙ 𝑉 2

𝑉𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 = 𝑉𝑚𝑒𝑐ℎ + 𝑉𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟 + 𝑉ℎ𝑦𝑑𝑟 =1

2∙ 𝑘 ∙ 𝑥2 +

1

2∙ 𝐶−1 ∙ 𝑞2 +

1

2∙ 𝐶−1 ∙ 𝑉2

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑇𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚

𝜕𝑞 𝑗−𝜕𝑇𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚

𝜕𝑞𝑗+𝜕𝑉𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚

𝜕𝑞𝑗= 𝜉𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑁

Βαθμοί ελευθερίας μπορεί να είναι θέσεις/γωνίες (μηχανικά συστήματα), ηλεκτρικά φορτία (ηλεκτρικά συστήματα), ή όγκοι (υδραυλικά συστήματα).

Πηγές/Καταβόθρες Ενέργειας

24

Πηγές/Καταβόθρες Ισχύος

• Κάθε υποσύστημα έχει σημεία εισόδου/παροχης ισχύος (πηγές) και εξόδου/κατανάλωσης ισχύος (καταβόθρα)

• Μηχανικά υποσυστήματα

– Θερμικές μηχανές, ηλεκτρικοί κινητήρες, στρόβιλοι, υδραυλικά έμβολα

– Μηχανικά φορτία, αντλίες/συμπιεστές, γεννήτριες

• Ηλεκτρικά υποσυστήματα

– Μπαταρίες, ηλεκτρικές γεννήτριες

– Ηλεκτρικοί κινητήρες, μπαταρίες

• Υδραυλικά υποσυστήματα

– Αντλίες, συμπιεστές

– Στρόβιλοι, υδραυλικοί κύλινδροι 25

Πηγές/Καταβόθρες Ισχύος

• Toyota Hybrid System (Hybrid Synergy Drive)

26

Πηγές Ισχύος

• Πηγές περιγράφονται από «χαρακτηριστική καμπύλη» που περιγράφει σχέση μεταξύ μεταβλητών ισχύος – Κάθε πηγή μπορεί να παρέχει πεπερασμένη ισχύς

27

Καμπύλη ροπής-στροφών ηλεκτροκινητήρα συνεχούς

Καμπύλη ροπής-στροφών μονοφασικού ηλεκτροκινητήρα εναλλασόμενου

Πηγές Ισχύος

• Πηγές περιγράφονται από «χαρακτηριστική καμπύλη» που περιγράφει σχέση μεταξύ μεταβλητών ισχύος – Κάθε πηγή μπορεί να παρέχει πεπερασμένη ισχύς

28

Καμπύλη ροπής-στροφών κινητήρα diesel

Καμπύλη πίεσης-παροχής αντλίας

Πηγές/Καταβόθρες Ισχύος

• Αναλυτικά μοντέλα που μοντελοποιούν την συμπεριφορά πηγών ισχύος

1. Μοντέλο Thevenin

– Ιδανική πηγή σθένους σε σειρά με αντίσταση

2. Μοντέλο Norton

– Ιδανική πηγή ροής παράλληλα με αντίσταση

29

𝑉𝐴𝐵 𝑖 = 𝑉𝑡ℎ − 𝑅𝑡ℎ ∙ i

𝑖𝐴𝐵 𝑉 = 𝑖𝑁𝑜 − 𝑅𝑁𝑜−1 ∙ 𝑉

Εφαρμογή: Copenhagen Wheel

30

Εξαρτήματα

31

Ροπόμετρο (torque sensor)

• Ένα στρεπτικό ελατήριο σταθεράς k .

• Στρεπτικό ανάλογο του strain gauge

• Δύο άτρακτοι συνδέονται σε κάθε άκρο του

• Η ροπή Τ που περνά διαμέσω του ελατηρίου εκτιμάται μέσω της γωνιακής παραμόρφωσης δθ του ροπόμετρου

32

Τ = k ∙ 𝛿𝜃

Άξονας

33

Μη περιστρεφόμενος άξονας

Έδρανο Έδρανο

Αισθητήρας ροπής

Γρανάζι πεταλιού

Περιστρεφόμενος άξονας

Ρόδα

Κινητήρας

Ροπές στην Άτρακτο

• Πηγές ισχύος στην άτρακτο

– Ροπή T𝑝𝑒𝑑𝑎𝑙 που παρέχει ο ποδηλάτης (ευθεία κίνηση καστάνιας)

– Ροπή T𝑚 που παρέχει ο κινητήρας (όταν ενεργοποιηθεί)

• Καταβόθρες ισχύος από την άτρακτο

– Ροπή φορτίου T𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 = 𝑅𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 ∙ 𝐹𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 λόγω της δύναμης 𝐹𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 που ασκείται από το έδαφος στο λάστιχο (μέσω τριβής)

– 𝐹𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 ισούται με την απαιτούμενη δύναμη για:

• Υπερνίκηση αντιστάσεων (ροπή κύληση, αεροδυναμική αντίσταση)

• Αδρανειακών δυνάμεων (επιτάχυνση)

34

Μοντέλο Kίνησης Ατράκτου

35

Ι1 Ι2 c1 c2

θ1 θ2

𝑘

T𝑚 T𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 T𝑝𝑒𝑑𝑎𝑙

𝑇 =1

2𝐼1θ1

2+1

2𝐼2θ2

2=1

2𝒒 Τ

𝐼1 00 𝐼2

𝒒 ⟹ 𝑴 =𝐼1 00 𝐼2

𝒒 =θ1θ2

V =1

2𝑘(𝜃1 − 𝜃2)

2=1

2𝒒Τ

𝑘 −𝑘−𝑘 𝑘

𝒒 ⟹𝑲 =𝑘 −𝑘−𝑘 𝑘

δW = δ𝜃1 ∙ (𝑇𝑚 − 𝑇𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 − 𝑐1 ∙ 𝜃 1) + δ𝜃2 ∙ (𝑇𝑝𝑒𝑑𝑎𝑙 −𝑐2∙ 𝜃 2)

𝐼1 00 𝐼2

𝜃 1𝜃 2

+𝑘 −𝑘−𝑘 𝑘

𝜃1𝜃2

=10

𝑇𝑚 − 𝑇𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 − 𝑐1𝜃 1 +01

(𝑇𝑝𝑒𝑑𝑎𝑙 − 𝑐2𝜃 2)

Μοντέλο Kίνησης Ατράκτου

36

Ι1 Ι2 c1 c2

θ1 θ2

𝑘

T𝑚 T𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 T𝑝𝑒𝑑𝑎𝑙

𝐼1 00 𝐼2

𝜃 1𝜃 2

+𝑐1 00 𝑐2

𝜃 1𝜃 2

+𝑘 −𝑘−𝑘 𝑘

𝜃1𝜃2

=𝑇𝑚 − 𝑇𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙

𝑇𝑝𝑒𝑑𝑎𝑙

Εδώ η ροπή του κινητήρα Τ𝑚 θεωρείται είσοδος στο μηχανικό περιστροφικό σύστημα της ατράκτου. H ροπή όμως αυτή εξαρτάται από το ρεύμα i που περνά από το ηλεκτρικό κύκλωμα του κινητήρα

Η τάση στους ακροδέκτες του κινητήρα V𝑖𝑛 ισούται με την πτώση τάσης στα πηνεία του κινητήρα λόγω αυτεπαγωγής 𝑉𝐿 , συν την πτώση τάσης 𝑉𝑅 λόγω ωμικών αντιστάσεων, στην την ΑΗΕΔ στον κινητήρα 𝑉𝐵𝐸𝑀𝐹 λόγω της περιστροφής της

ατράκτου 𝜃 1 (νόμος Kirchoff) Ο βαθμός ελευθερίας του συστήματος είναι το φορτίο q που μετατοπίζεται στο σύστημα

Μοντέλο Κινητήρα

37

V𝑖𝑛 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 + 𝑉𝐵𝐸𝑀F ⟹ V𝑖𝑛 = 𝑅𝑖 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑉𝐵𝐸𝑀𝐹

V𝑖𝑛 𝑒 = k𝑇𝜃

𝑖 =𝑑𝑞

𝑑𝑡 ⟹ V𝑖𝑛 = 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝐿

𝑑2𝑞

𝑑𝑡2+ 𝑉𝐵𝐸𝑀𝐹

T𝑚 𝜃 1

Μοντέλο Κινητήρα

38

𝑇𝑚𝜃 1

=0 𝑘𝑇𝑘𝑇−1 0

∙𝑉𝐵𝐸𝑀𝐹𝑖

V𝑖𝑛 𝑒 = k𝑇𝜃

H ΑΗΕΔ 𝑉𝐵𝐸𝑀𝐹 και η ροπή στην άτρακτο 𝑇𝑚 συνδέονται μέσω των εξισώσεων (αντιστροφέας) του κινητήρα

T𝑚 𝜃 1

Συνολικό Ηλεκτρομηχανικό Σύστημα

39

Ι1 Ι2 c1 c2

θ1 θ2

𝑘

T𝑚 T𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙 T𝑝𝑒𝑑𝑎𝑙

V𝑖𝑛

𝐼1𝐼2

𝐿

∙

𝜃 1𝜃 2𝑞

+

𝑐1 −𝑘𝑇𝑐2

𝑘𝑇 𝑅

∙

𝜃 1𝜃 2𝑞

+𝑘 −𝑘−𝑘 𝑘 ∙

𝜃1𝜃2𝑞

=

−𝑇𝑤ℎ𝑒𝑒𝑙𝑇𝑝𝑒𝑑𝑎𝑙𝑉𝑖𝑛

𝑒 = k𝑇𝜃

T𝑚 𝜃 1

Η ροπή που παρέχει ο ποδηλάτης. Ελέγχεται από τον ποδηλάτη

Η τάση που ασκείται στους ακροδέκτες του κινητήρα. Καθορίζεται από τον υπολογιστή του συστήματος ως συνάρτηση της μέτρησης του ροπόμετρου (ανάλογη

της 𝜃1 − 𝜃2) και της ταχύτητας της ρόδας 𝜃 1

“Φορτίο”: ροπή λόγω αντίστασης στην κίνηση/επιτάχυνση ποδηλάτου