ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝcw.mech.ntua.gr/ml23065/lecture_pdfs/DYNI-PDFs/2... · θεωρία ομογενών γραμμικών

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

έκδοση DΥΝI-FV1DOFS-2016b

http://www.google.gr/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwj1r8_wn83OAhWEchQKHRFEDbsQjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fforum.4x4.ee%2Fviewtopic.php%3Ft%3D38055&bvm=bv.129759880,d.d24&psig=AFQjCNGn9IToH32LmY_P5Lg5rkeCFbiv1g&ust=1471687988197032�

Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα.

Copyright © Ε.Μ.Π. - 2016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών – Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών – κτ. Μ – αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.

Πληροφορίες ________________________________________________ Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, [email protected], 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, [email protected], 210-7722332

mailto:[email protected]�


Σύστημα 1 Β.Ε. υπό ελεύθερη ταλάντωση

http://www.google.gr/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwihh5-Un83OAhWDWBQKHc4SDEIQjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.unioviedo.es%2FDCIF%2FIITransportes%2F_borders%2FInvestigacion%2FMcPherson.htm&bvm=bv.129759880,d.d24&psig=AFQjCNGn9IToH32LmY_P5Lg5rkeCFbiv1g&ust=1471687988197032�

http://www.google.gr/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwju7bng-M3OAhWGbhQKHZsAD68QjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fdice.cyfronet.pl%2Fprojects%2Fdetails%2FMapper-files%2Ftutorial_1&bvm=bv.129759880,d.d24&psig=AFQjCNEPOorTO4ycMtX7gVBFP64SNyMe_w&ust=1471712006643548�

m

c k

F(t) x(t)

Σύστημα 1 Β.Ε.: Γραμμικό μονοβάθμιο μηχανικό σύστημα m-k-c

m

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος

F(t)

Fc(t) Fk(t)

+

Μηχανικό σύστημα 1 Β.Ε.

Εξίσωση κίνησης (Νόμος Νεύτωνα) με

τατό

πιση

( )m x c x k x F t+ + =

Fm(t) Γραμμική διαφορική

εξίσωση 2ης τάξης

Δυναμική ισορροπία εξωτερικής διέγερσης & εσωτερικών δυνάμεων

Δυν.

αδρ

άνει

aς

Δυν.

ελα

στικ

ίτητ

ας

Δυν.

από

σβεσ

ης

Εξω

τ. δ

ιέγε

ρση


( )m x c x k x F t+ + =


Μαθηματική λύση

Ομογενής λύση (homogeneous solution)

Μερική λύση (partial solution)

• ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ συστήματος • Δεν ασκείται εξωτερική διέγερση

F(t)=0

( )m x c x k x F t+ + = 0

• ΜΟΝΙΜΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ συστήματος • Ασκείται εξωτερική διέγερση

Αρχικές συνθήκες

μετατόπισης

ταχύτητας


Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση μηχανικού συστήματος m-k-c

( )m x c x k x F t+ + = 0 /m

nncritical m

cmc

kmc

cc ζω

ωζ 2

22=⇒===λόγος απόσβεσης

φυσική συχνότητα mk

mk

nn =⇒= 2ωω

0)()(2)( 2 =⋅+⋅⋅⋅+ txtxtx nn ωωζ

⇒

⇒

θεωρία ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης

λύση

sth

sth

sth

essxtxessxtx

άsesxtx

⋅⋅=

⋅⋅=

=⋅=

2)()()()(

,)()(

σταθερ ⇒


0)()2(0)()(2)(

22

22

=⋅+⋅+

⇒=⋅+⋅⋅+⋅⋅st

nn

stn

stn

st

esxssesxessxessx

ωζω

ωζω

Χαρακτηριστικό πολυώνυμο συστήματος

0)( ≠⋅ stesxγια μη τετρημένη λύση, δηλ.

το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει 2 μιγαδικές ιδιοτιμές (πόλοι): και 1s 2s

122

22

2,1 −±−=−

±−= ζωζω nnm

kmc

mcs



Επομένως, η γενική ομογενής λύση είναι της μορφής:

⇒⋅+⋅= tstsh esxesxtx 21 )()()( 21

όπου οι σταθερές και προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες για

Asx =)(1 Bsx =)(2

0=t

tstsh eBeAtx 21)( ⋅+⋅=

Η συμπεριφορά του συστήματος καθορίζεται ανάλογα με την περιοχή τιμών του συντελεστή απόσβεσης ζ:

0 < ζ < 1 ζ = 1 ζ > 1

Υποκρίσιμη απόσβεση (under-damped system)

Κρίσιμη απόσβεση (critically damped system)

Υπερκρίσιμη απόσβεση (over-damped system)


ζ = 0 Ταλάντωση χωρίς απόσβεση

ζ < 0 Ασταθές δυναμικό σύστημα

❷

❶

❹

❸

❺


Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση

0 < ζ < 1

Υποκρίσιμη απόσβεση (under-damped system) Tο σύστημα ταλαντώνεται με τέτοιο τρόπο, ώστε το πλάτος της ταλάντωσης διαρκώς να μειώνεται


⇒ 21, ssϑϑϑ sincos ⋅±=± ie i

Euler formula

Αντικατάσταση

)]1sin()1cos([)( 22 ttetx nnt

hn ζωβζωαζω −⋅+−⋅= −

BA+=α)( BAi −=β

21 ζωω −= ndόπου και για ... συχνότητα αποσβενόμενων ταλαντώσεων

⇒ πραγματικές σταθερές *

)]sin()cos([)( ttetx ddt

hn ωβωαζω ⋅+⋅= −⇒


α & β πραγματικές σταθερές ⇔ Α & Β μιγαδικές συζυγείς*

BA+=α)( BAi −=β ⇒

2/)( βα ⋅+= iA2/)( βα ⋅−= iB

* Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση



Υπολογισμός α & β από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

0=tγια oxx =)0(oVVx == )0()0(

⇒=⋅⋅+⋅⋅== −oddh xetx n )]0sin()0cos([)0( 0 ωβωαζω

ox=α⇒

011


+⋅+⋅

⋅= −

dtttdetx ddt

hn

)]sin()cos([)( ωβωαζω

⇒⋅⋅+⋅+−

dtedtt

t

dd

n )()]sin()cos([ζω

ωβωα

και

−⋅⋅+⋅⋅⋅= − )]cos()sin([)( ttetx ddddt

hn ωωβωωαζω

)]sin()cos([ tte ddt

nn ωβωαωζ ζω ⋅+⋅⋅⋅⋅− −

0=tγια

⇒

ondh Vx =⋅⋅−⋅= ωζαωβ)0(

ox=ακαι

⇒ ⇒ d

ono xVωωζβ ⋅⋅+

=




hn ωβωαζω ⋅+⋅= −

ox=αd


=

επομένως

και ⇒

)]sin()()cos([)( txVtxetx dd

onodo

th

n ωωωζωζω ⋅

⋅⋅++⋅= −

Τελι

κή Λ

ύση

καθορίζει ρυθμό χρονικής απόσβεσης

αποσβενόμενη ιδιοπερίοδος (εξαρτάται από μάζα & ακαμψία συστήματος, αμελητέα εξάρτηση από απόσβεση)



Εναλλακτική μορφή λύσης:

βαβαβα sincoscossin)sin( ⋅±⋅=±ισχύει:

t⋅= ωα ϕβ =θέτουμε: και ⇒

)sin(cos)cos(sin...)sin( ttt ⋅⋅⋅Χ+⋅⋅⋅Χ==+⋅⋅Χ ΜΜΜ ωϕωϕϕω

α β


hn ωβωαζω ⋅+⋅= −συγκρίνοντας με:

⇒

ϕα sin⋅Χ= Μ

ϕβ cos⋅Χ= Μκαι ⇒ )(tantan

cossin 1

βαϕϕ

ϕϕ

βα −=⇒==



)(tan 1

βαϕ −=

ox=αd


=και ⇒ )(tan 1

ono

do

xVx

⋅⋅+⋅

= −

ωζωϕ

ϕα 222 sin⋅Χ= Μ

MΧ=+ 22 βακαι ⇒

επίσης

ισχύει ϕϕ 22 cossin1 +=

ϕβ 222 cos⋅Χ= Μ

ϕα sin⋅Χ= Μκαι ⇒ ox=α ϕsin

ox=ΧΜ

d


=και

⇒



2

22 )()(

d

onodo xVxω

ωζω ⋅⋅++⋅=ΧΜ

)sin(cos)cos(sin...)sin( ttt ⋅⋅⋅Χ+⋅⋅⋅Χ==+⋅⋅Χ ΜΜΜ ωϕωϕϕω

α β


hn ωβωαζω ⋅+⋅= −συγκρίνοντας με:

και

)sin()()(

)( 2

22

ϕωω

ωζω ζω +⋅⋅⋅⋅++⋅

= − texVx

tx dt

d

onodoh

n

Ενα

λλακ

τική

Λ

ύση




χρήσιμες παρατηρήσεις ...

iis λ≡όπου ...



Αύξηση της ιδιοσυχνότητας ωn ⇒ αυξάνει η ταχύτητα της απόκρισης (για ζ σταθερό) ταχύτερη απόκριση

|| x



Μείωση λόγου απόσβεσης ζ ⇒ αυξάνει η ταχύτητα της απόκρισης (για ωn σταθερό) εντονότερες ταλαντώσεις βραδύτερη απόκριση μεγαλύτερη υπερακόντηση

|| x


ζ = 1

Κρίσιμη απόσβεση (critical damped system)

Σύστημα 1 Β.Ε.: Κρίσιμη απόσβεση

Περιγράφει ταλάντωση με άπειρη περίοδο ταλάντωσης κάτι το οποίο, τεχνικά, δεν επιτυγχάνεται ποτέ.

0)2( 22 =+⋅+ nn ss ωζω

2 ΙΔΙΕΣ πραγματικές & αρνητικές ιδιοτιμές (πόλοι): και 1s 2s

το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

έχει :

nnn ss ωζωζω −=⇒−±−= 2,12

2,1 1

η μορφή της λύσης (θεωρία διαφορ. εξισ.) είναι:

tstsh etBAetsxsxtx ⋅⋅ ⋅⋅+=⋅⋅+= ][])()([)( 21

τα Α & Β υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες:



Υπολογισμός Α & Β από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

0=tγια oxx =)0(

oVVx == )0()0(.

oos

h xAxBAetx =⇒=⋅+== ]0[)0( 001

και η παράγωγος είναι:

tstsh etBAsBe

dttBAdtx ⋅⋅ ⋅⋅+⋅+=⋅⋅+

= ]}[{][)(

0=tγια

ooos

h xsVBVeBAsBtx ⋅−=⇒=⋅⋅+⋅+== ⋅0]}0[{)0(



Τελική Λύση

oxA =

oo xsVB ⋅−=

ns ω−=2,1

επομένως

⇒

)]([)( onoot

h xVtxetx n ⋅+⋅+⋅= ⋅− ωω

... ΜΟΝΟ μαθηματικό ενδιαφέρον


ζ > 1

Υπερκρίσιμη απόσβεση (over-damped system) Tο σύστημα δεν ταλαντώνεται. Όσο μεγαλύτερο το ζ τόσο μεγαλύ-τερο χρονικό διάστημα χρειάζεται το σύστημα για να επανέλθει σε κατά-σταση ισορροπίας.

Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση

0)2( 22 =+⋅+ nn ss ωζω

2 ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ πραγματικές & αρνητικές ιδιοτιμές (πόλοι): και 1s 2s


έχει :

...)()()( 2121 ⇒⋅+⋅= tsts

h esxesxtx

tstsh eBeAtx 21)(... ⋅+⋅=⇒

122,1 −±−= ζωζω nns


⇒ )()( 21 sxsxA +=

)()( 12 sxsxB −=



)()( 11 22 ttth

nnn eBeAetx ⋅−⋅⋅−⋅−⋅− ⋅+⋅= ⋅ ζωζωωζ⇒ ισχύουν οι τριγωνομετρικές σχέσεις:

2cosh

ϑϑ

ϑ−+

=ee

2sinh

ϑϑ

ϑ−−

=ee

⇒ ϑϑϑ sinhcosh +=e

tt dn ⋅=⋅−⋅= ωζωϑ 12θέτουμε

⇒

)]sinh()cosh([)( tBtAetx ddt

hn ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅− ωωωζ⇒

τα Α & Β υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες ...



Υπολογισμός Α & Β από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

0=tγια oxx =)0(

oVVx == )0()0(.

⇒=⋅⋅+⋅⋅== ⋅⋅−oddh xBAetx n )]0sinh()0cosh([)0( 0 ωωωζ

oxA =⇒

01 1


https://www.google.gr/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiV6K297bHPAhUOahoKHUYaCgAQjRwIBw&url=https%3A%2F%2Fcommons.wikimedia.org%2Fwiki%2FFile%3ASinh_cosh.svg&bvm=bv.134052249,d.d24&psig=AFQjCNHUfr88Nr9i-1re-lfe9g2LjTrInw&ust=1475144976332177�



+⋅⋅+⋅⋅

= ⋅⋅−

dttBtAdetx ddt

hn

)]sinh()cosh([)( ωωωζ

⇒=⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−

...)()]sinh()cosh([dt

edtBtAt

dd

nωζ

ωω

−⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅⋅− )]cosh()sinh([)( tBtAetx dddt

hn ωωωωζ

)]sinh()cosh([ tBtAe ddt

nn ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅− ⋅⋅− ωωωζ ωζ

0=tγια

oxA = ⇒… ⇒⋅⋅+=⋅ onod xVB ωζω

d

ono xVBωωζ ⋅⋅+

=0)( Vtxh =



Τελι

κή Λ

ύση

oxA =

επομένως

⇒ d

ono xVBωωζ ⋅⋅+

=


hn ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅− ωωωζ

)]sinh()cosh([)( txVtxetx dd

onodo

th

n ⋅⋅⋅⋅+

+⋅⋅= ⋅⋅− ωωωζωωζ

... το μηχανικό σύστημα δεν ταλαντώνεται



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

t [sec]

x(t)

[mm

]

ζ > 1

Tο σύστημα δεν ταλαντώνεται. Όσο μεγαλύτερο το ζ τόσο μεγαλύτερο χρονικό διάστημα χρειάζεται το σύστημα για να επανέλθει σε κατάσταση ισορροπίας.



Εναλλακτική μορφή λύσης 1: βαβαβα sinhcoshcoshsinh)sinh( ⋅±⋅=±ισχύει:

td ⋅= ωα ϕβ =θέτουμε: και

)sinh(cosh)cosh(sinh...)sinh( ttt ddd ⋅⋅⋅Χ+⋅⋅⋅Χ==+⋅⋅Χ ΜΜΜ ωϕωϕϕω

α β

συγκρίνοντας με:

ϕα sinh⋅Χ= Μ

ϕβ cosh⋅Χ= Μκαι ⇒ )(tanhtanh

coshsinh 1

βαϕϕ

ϕϕ

βα −=⇒==


hn ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅− ωωωζ



)(tanh 1

βαϕ −=

ox=αd


=και ⇒ )(tanh 1

ono

do

xVx

⋅⋅+⋅

= −

ωζωϕ

ϕα 222 sinh⋅Χ= Μ

και ⇒

επίσης

ϕβ 222 cosh⋅Χ= Μ

ϕα sinh⋅Χ= Μκαι ⇒ ox=α ϕsinh

ox=ΧΜ

d


=και

⇒

=+ 22 βα

)2cosh(2 ϕMΧ=



)2cosh()(

2

22

ϕωωζ

⋅⋅⋅++

=d

onooM

xVxX

)sinh(cosh)cosh(sinh...)sinh( ttt ddd ⋅⋅⋅Χ+⋅⋅⋅Χ==+⋅⋅Χ ΜΜΜ ωϕωϕϕω

α β

συγκρίνοντας με: )]sinh()cosh([)( tBtAetx dd

th

n ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅− ωωωζ

και

Ενα

λλακ

τική

Λ

ύση

1

)sinh()2cosh(

)()( 2

22

ϕωϕω

ωζ ωζ +⋅⋅⋅⋅

⋅⋅++= ⋅⋅− texVxtX d

t

d

onooh

n



Εναλλακτική μορφή λύσης 2:

⇒⋅+⋅= tstsh esxesxtx 21 )()()( 21



ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

0=tγια oxx =)0(

oVVx == )0()0(.

⇒

BxAxeBeAtx oss

h −=⇒=⋅+⋅== ...)0( 000 21⇒

1 1




otsts

h VeBseAstx =⋅⋅+⋅⋅= 2121)( 0=t

⇒

oVBsAs =⋅+⋅ 21

BxA o −=⇒

21

1

ssVxsB oo

−−⋅

=

και … BxA o −= ⇒ 21

121 )(ss

VxsssxA ooo

−+⋅−−⋅

=

...)()( 21

21

1

21

121 ⇒⋅−−⋅

+⋅−

+⋅−−⋅= ⋅⋅ tsootsooo

h ess

Vxsess

Vxsssxtx

επομένως



)]()([1)( 212112

21

tstso

tstsoh eeVesesx

sstx ⋅⋅⋅⋅ −⋅+⋅+⋅−⋅⋅

−=

122,1 −±−= ζωζω nnsμε ...

Εναλλακτική Λύση 2



Αύξηση φυσικής συχνότητας ωn ⇒ μείωση χρόνου κατάληξης συστήματος (για ζ σταθερό) σε ισορροπία

με αρχικές συνθήκες μη μηδενικές ...



Αύξηση λόγου απόσβεσης ζ ⇒ αύξηση χρόνου κατάληξης συστήματος (για ωn σταθερό) σε ισορροπία

με αρχικές συνθήκες μη μηδενικές ...



Αύξηση λόγου απόσβεσης ζ ή ⇒ αύξηση χρόνου κατάληξης συστήματος μείωση φυσικής συχν. ωn σε ισορροπία (πιο αργή απόκριση)

με αρχικές συνθήκες μηδενικές ...


Ειδική περίπτωση: ζ = 0 Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση

• Υπολογίζεται πολύ πιο εύκολα. Επίσης, σε αντίθεση με την ιδιοσυχνότητα, η οποία είναι δυνατόν να προσδιοριστεί πειραματικά, ο λόγος απόσβεσης ζ δεν είναι εύκολα πειραματικά μετρήσιμος.

• Αφορά μία δυσμενέστερη κατάσταση. Συνεπώς, εάν η σχεδίαση

είναι ασφαλής έναντι της δυσμενέστερης κατάστασης, τότε είναι ασφαλής και έναντι της πραγματικής κατάστασης.

Σε τέτοιες περιπτώσεις λέμε ότι ‘η σχεδίαση βρίσκεται από την ασφαλή πλευρά (on the safe side)’, ή, ισοδύναμα, ‘η σχεδίαση είναι συντηρητική’.

Από την άποψη του Μηχανικού, αυτή η ειδική περίπτωση, αν και δεν συναντάται στη φύση, έχει ιδιαίτερη αξία.

Πλεονεκτήματα ζ = 0 έναντι 0 < ζ < 1


https://www.google.gr/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjiiaCeq6_PAhVD2xoKHbk1AlEQjRwIBw&url=https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FVibration&psig=AFQjCNHfRp8xpnBoErB-G147jUVQh3vKNQ&ust=1475058288023188�


η απόκριση προκύπτει λύνοντας την ομογενή διαφορική εξίσωση ζ = 0 c = 0

1−=i

0)( 22 =+ ns ω

2 φανταστικές ιδιοτιμές (πόλοι): και 1s 2s


έχει :

nis ω⋅±=2,1 όπου :

0...0 =⋅+⇒=⋅+⋅ xxxkxm nω




tstststsh eBeAesxesxtx ⋅⋅⋅⋅ ⋅+⋅=⋅+⋅= 211 ...)()()( 2

21

ϕϕϕ sincos ⋅+=⋅ ieiκαι

ϕϕϕ sincos ⋅−=⋅− ie i

θέτουμε tn ⋅= ωϕ

⇒

⇒ )sin()cos()( tttx nnh ⋅⋅+⋅⋅= ωβωα

όπου: Β+Α=α )( Β−Α⋅= iβκαι:

μιγαδικοί συζηγείς αριθμοί

τα α & β υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες ...



ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

0=t oxx =)0(

oVVx == )0()0(

ox=α)sin()cos()( tttx nnh ⋅⋅+⋅⋅= ωβωακαι

⇒

0=t

n

oVω

β =)sin()cos()( tttx nnh ⋅⋅+⋅⋅= ωβωακαι

⇒



ox=α

)sin()cos()( tttx nnh ⋅⋅+⋅⋅= ωβωα

⇒

n

oVω

β =

)sin()cos()( tVtxtx nn

onoh ⋅⋅+⋅⋅= ω

ωω⇒ Τελική

Λύση

πραγματικοί αριθμοί



Εναλλακτική μορφή λύσης:

)sin()cos()( tttx nnh ⋅⋅+⋅⋅= ωβωαισχύει:

)cos(sincos 22 ϕθβαθβθα −⋅+=⋅+⋅ισχύει η τριγωνομετρική σχέση:

αβϕ =tanόπου:

θέτουμε: ox=αn

oVω

β =και

⇒

)cos()( 22

αβωβα −⋅⋅+= ttx nh⇒

⇒



)cos()( 2

22

on

on

n

ooh x

VtVxtx⋅

−⋅⋅+=ω

ωω

Εναλλακτική Λύση

ιδιοπερίοδος

αρχι

κή

κατά

στασ

η

on TT ≡...


https://www.google.gr/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjiiaCeq6_PAhVD2xoKHbk1AlEQjRwIBw&url=https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FVibration&psig=AFQjCNHfRp8xpnBoErB-G147jUVQh3vKNQ&ust=1475058288023188�

Σύστημα 1 Β.Ε.: Ασταθές δυναμικό σύστημα

Ασταθές σύστημα

Ευσταθές σύστημα

Εφαρμογές: Αιωρούμενα καλώδια, στα οποία είναι δυνατόν η αεροελαστική τους αστάθεια να οδηγήσει σε απορρόφηση

ενέργειας από την ροή του αέρα, όταν, προφανώς, φυσά άνεμος. Ενεργητική ανάρτηση των αυτοκινήτων. Αντί του κλασσικού συστήματος (παθητικής) ανάρτησης («μπουκάλα

με υγρό»), χρησιμοποιούνται ηλεκτροκινητήρες, με τους οποίους επιχειρείται τυπικά η ανάπτυξη δύναμης σε αντίθετη αναλογία με την κατακόρυφη ταλάντωση του οχήματος (Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου).

ζ < 0 Ιδιαίτερη περίπτωση. Ρίζες (πόλοι) του συστήματος: 2 πραγματικοί θετικοί αριθμοί Από την άποψη του Μηχανικού, η συγκεκριμένη κατηγορία αφορά

δυναμικά συστήματα, στα οποία υφίσταται κάποια μορφή αστάθειας (π.χ. μη γραμμικοί ταλαντωτές) και επιτυγχάνεται πρόσδοση ενέργειας στο σύστημα (αντί καταστροφή αυτής).


Σύστημα 1 Β.Ε.: Ρίζες συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο







❷Υπερκρίσιμη απόσβεση (ζ > 1)

❹Υποκρίσιμη απόσβεση (0 < ζ < 1) φθάνει σε ηρεμία πιο αργά από ❶ ❸Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση (ζ = 1)

❶ Κρίσιμη απόσβεση (ζ = 1) φθάνει σε ηρεμία πιο γρήγορα από ❷

ισορροπία σε t ~ 3/ωn


Σύστημα 1 Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης

Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση και 0<ζ<1 και αρχικές συνθήκες xo & Vo.

Απόκριση μηχανικού συστήματος

)sin()( ϕωωζ +⋅⋅⋅Α= ⋅⋅− tetx nt

hd


https://www.google.gr/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiJtqO5urTPAhUHbhQKHaIaAgwQjRwIBw&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DRMw6G0lwzIo&psig=AFQjCNG8HBcWaYbyrO-S7IZ2UrXgQpyFvw&ust=1475234335821400�


μία μέγιστη τιμή της απόκρισης καλείται πλάτος ταλάντωσης

το πλάτος ταλάντωσης μειώνεται από κύκλο σε κύκλο σύμφωνα με την απόσβεση nx

1x

dt ω

πο

⋅+ 2

οx

οt

dωπ⋅=Τ 2

d

nt ωπ

ο⋅⋅+ 2

nxκάθε νέο μέγιστο θα εμφανίζεται



)sin()( ϕωωζο +⋅⋅⋅Α= ⋅⋅−

odt tetx on

))(sin()( )(1 ϕωωζ ++⋅⋅⋅Α= +⋅⋅− Ttetx od

Tton

οt

Ttt += ο1

))(sin()sin(

)()(

)(1 ϕω

ϕωωζ

ωζ

++⋅⋅⋅Α+⋅⋅⋅Α

= +⋅⋅−

⋅⋅−

Ttete

txtx

odTt

odt

oon

on

τη χρονική στιγμή το πλάτος της απόκρισης είναι:

τη χρονική στιγμή το πλάτος της απόκρισης είναι: ⇒

⇒

Μέτρο απόσβεσης Ζ ή δ ])()(

ln[1 tx

txo=δ



...]))(sin(

)sin(ln[ )( ⇒

++⋅⋅⋅Α+⋅⋅⋅Α

=⇒ +⋅⋅−

⋅⋅−

ϕωϕω

δ ωζ

ωζ

Ttete

odTt

odt

on

on

⇒= ])()(

ln[1 tx

txoδ

πω ⋅=⋅ 2Td

212)ln(...

ζω

πωζωζδ ωζ

−⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅==⇒ ⋅⋅

n

nnT Te n

d

n

ωωζπ

ζ

ζπδ⋅⋅⋅

=−

⋅⋅=

2

12

2

21 ζωω −⋅= ndισχύει

⇒

⇒



d

n

ωωζπ

ζ

ζπδ⋅⋅⋅

=−

⋅⋅=

2

12

2

και <<<ζ

⇒ ζπδ ⋅⋅≈ 2

πειραματικός προσδιορισμός ζ

212

ζ

ζπ

−

⋅⋅== ]

)()(

ln[1 tx

txoδ ⇒ . . . 2()

πδ

δπ

δζ⋅

≈+⋅

=24 22⇒ . . .

η αρνητική ρίζα απορρίπτεται

ndnd ωωζωω ≈⇒−⋅= 21για

<<<ζ



))(sin()sin(

)()(

)( ϕωϕω

ωζ

ωζ

+⋅+⋅⋅⋅Α+⋅⋅⋅Α

= ⋅+⋅⋅−

⋅⋅−

Tntete

txtx

odTnt

odt

n

oon

on

Για συντελεστής απόσβεσης πολύ μικρό, ο ρυθμός με τον οποίο αποσβένει η ταλάντωση είναι πολύ αργός και η ακρίβεια του αποτελέσματος επηρεάζεται σημαντικά από την

ακρίβεια με την οποία προσδιορίζονται τα δύο διαδοχικά πλάτη ταλάντωσης.

Για την διατήρηση ικανοποιητικής ακρίβειας είναι επιθυμητό ο λόγος των πλατών να βασίζεται σε κορυφές οι οποίες απέχουν αρκετούς κύκλους ταλάντωσης.

d

nnnω

ωζπ

ζ

ζπδ⋅⋅⋅⋅

=−

⋅⋅⋅=

2

12

2


Visualizing free and forced harmonic oscillations http://www.maplesoft.com/applications/view.aspx?SID=3926&view=html

ΑΝΑΦΟΡΕΣ

Dampers for earthquake protection https://www.youtube.com/watch?v=xp2pGxFzrzI

MDOF system forced vibration https://www.youtube.com/watch?v=OaXSmPgl1os

Damped Vibration https://www.youtube.com/watch?v=bDa8Ghm9aRw

Animation of an Harmonic oscillator (mechanics, physics) https://www.youtube.com/watch?v=py3EWLKQaMs

EN4: Dynamics and Vibrations http://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/notes_old/Dampedvibes/Dampedvibes.html

Free vibration of singe DOF systems http://slideplayer.com/slide/3471922/

Undamped free vibration http://slideplayer.com/slide/8815182/


Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών

Δρ. Αντωνιάδης Ι. . . . . [email protected] Δρ. Γιακόπουλος Χ. . . . [email protected]

Ευχαριστώ για την προσοχή σας!










































http://www.google.gr/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwinvOTToc3OAhUFWxQKHUVeDpkQjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.autodiagnosis.com.gr%2F&bvm=bv.129759880,d.d24&psig=AFQjCNGn9IToH32LmY_P5Lg5rkeCFbiv1g&ust=1471687988197032�

Documents

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝcw.mech.ntua.gr/ml23065/lecture_pdfs/DYNI-PDFs/2... · θεωρία ομογενών γραμμικών