Upload
others
View
5
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
УДК 51(075.8)ББК 22.1я73 Р98
Р е ц е н з е н т ы:кафедравысшейматематикиучрежденияобразования«Белорусскийгосударственныйуниверситетинформатикиирадиоэлектро-ники»(заведующийкафедройдокторфизико-математическихнаук,про-фессорВ.В. Цегельник);заведующийкафедройтеориифункцийБелорусско-гогосударственногоуниверситетадокторфизико-математическихнаук,профессорВ.Г. Кротов
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.
Рябушко, А. П.Р98 Высшаяматематика:теорияизадачи:учебноепосо- бие.В5ч.Ч.5.Операционноеисчисление.Элементыте-
орииустойчивости.Теориявероятностей.Математиче-скаястатистика/А.П.Рябушко,Т.А.Жур.–Минск:Вышэйшаяшкола,2018.–335с.:ил.
ISBN978-985-06-2815-2.
Этопятаячастькомплексаучебныхпособийповысшейматемати-ке,направленныхнаразвитиеиактивизациюсамостоятельной,твор-ческойработыстудентовтехническихуниверситетов.Содержатсяне-обходимыетеоретическиесведения,наборызадачдляаудиторныхииндивидуальныхдомашнихзаданий,контрольныхработ.
Длястудентовучрежденийвысшегообразованияпотехническимспециальностям.Будетполезностудентамэкономическихспециаль-ностей,атакжепреподавателямучрежденийвысшегоисреднегоспеци-альногообразования.
УДК 51(075.8)ББК 22.1я73
ISBN 978-985-06-2815-2 (ч. 5) РябушкоА.П.,ЖурТ.А.,2018ISBN 978-985-06-2764-3 Оформление.УП«Издательство “Вышэйшаяшкола”»,2018
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемыйвниманиючитателякомплексучебныхпособийподобщимназванием«Высшаяматематика:теорияизадачи»впятичастяхсодержитвсвоейосновесущественнопереработан-ныйидополненныйматериалнеоднократнопереиздававшегосякомплексаучебныхпособий«Индивидуальныезаданияповыс-шейматематике»вчетырехчастяхколлективаавторовподобщейредакциейдокторафизико-математическихнаук,профессораА.П.Рябушко(Минск,издательство«Вышэйшаяшкола»).
Вновомкомплексемногиезадачизамененыболееудачны-ми,добавленонесколькосотновыхзадач,увеличеноколичествоаудиторныхзанятий(АЗ),индивидуальныхдомашнихзаданий(ИДЗ),блочныхконтрольныхработ(БКР),дополнительныхзадачккаждойглаве,средикоторыхимеютсязадачиуровняНИРС(научно-исследовательскаяработастудентов).Номераэтихзадачпомеченызвездочкой.ВовсехАЗвыделенызадачидлясамостоятельногорешения,которыеможноиспользоватьдляпроведениянаАЗмини-контрольныхработ(МКР).Ккаж-домуИДЗдаетсяписьменнаяконсультация(решениетипово-говарианта).Чтобысэкономитьвремястудентапривыполне-нииМКР,ИДЗидругихзаданий,впособиевключенынеобхо-димыетеоретическиесведенияспоясняющимиихрешеннымипримерами.
Большинствоимеющихсявнастоящеевремяучебниковиучебныхпособий,сборниковзадачиупражненийпообщемукурсувысшейматематикидлятехническихуниверситетовнепозволяютиндивидуализироватьобучение,таккаксодержатнедостаточноеколичествооднотипныхзадачиупражнений,непредусматриваютвыдачикаждомустудентуиндивидуально-гозаданияспоследующимконтролемивыставлениемоценки.Данноепособиедаетвозможностьпереходаотпассивныхформобучениякактивнойтворческойработесостудентами,от«ва-лового»обучениякусилениюиндивидуальногоподхода,раз-витиютворческихспособностейобучаемыхпутемрасширенияихсамостоятельнойработы.Появляетсявозможностьвведенияинновационныхтехнологийвпреподаваниематематики,на-примерблочно-рейтинговойсистемыобученияиконтролязнанийиуменийстудентов(см.приложения).
Комплекснаписанвсоответствиисдействующимипро-граммамикурсавысшейматематикивобъемедо500чдля
техническихспециальностейуниверситетов,номожетбытьиспользованвучрежденияхобразованияразныхпрофилей,гдеколичествочасов,отведенноенаизучениевысшейматематики,значительноменьше(длячегоизпредлагаемогоматериаласледуетсделатьнеобходимуювыборку).Крометого,онвполнедоступенстудентамвечернихизаочныхотделений.
Авторывыражаютискреннююпризнательностьрецензен-там–коллективукафедрывысшейматематикиБелорусскогогосударственногоуниверситетаинформатикиирадиоэлектро-ники,возглавляемойдокторомфизико-математическихнаук,профессоромВ.В.Цегельником,атакжезаведующемукафедройтеориифункцийБелорусскогогосударственногоуниверситетадокторуфизико-математическихнаук,профессоруВ.Г.Крото-ву,которыедалирядполезныхсоветов,способствовавшихповышениюкачествакомплекса.
Всеотзывыипожелания,которыеавторыпримутсблаго-дарностью,просьбанаправлятьпоадресу:издательство«Вы-шэйшаяшкола»,пр.Победителей,11,220004,Минск.
Авторы
5
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Охарактеризуемструктурупособия,методикуегоиспользо-вания,организациюпроверкииоценкизнаний,навыковиуме-нийстудентов.
Весьтеоретическийматериалпокурсувысшейматематикиразделеннаглавы,вкаждойизкоторыхдаютсяосновныеопре-деления,понятия,формулировкитеорем,формулы,использу-емыеприрешениизадачивыполненииупражнений.Изложе-ниеэтихсведенийиллюстрируетсярешеннымипримерами.(Началорешенияпримеровобозначеносимволом,ако-нец–.)Затемдаютсяподборкизадачсответамидлявсехпрактическихаудиторныхзанятий(AЗ)исамостоятельных(мини-контрольных)работна10–15минвовремяэтихзанятий.И,наконец,приводятсянедельныеиндивидуальныедомашниезадания(ИДЗ),каждоеизкоторыхсодержит30вариантовисо-провождаетсярешениемтиповоговарианта(письменнаякон-сультация).ЧастьзадачизИДЗснабженаответами.Вконцекаждойглавыпомещеныдополнительныезадачиповышеннойтрудностииприкладногохарактера.Некоторыеизних(поме-ченныезвездочкой)могутслужитьтемамидлянаучно-иссле-довательскойработыстудентов.
Вприложенияхприведеныодно-идвухчасовыеконтроль-ныеработы(каждаяпо30вариантов)поважнейшимтемамкурса.
НумерацияAЗсквознаяисостоитиздвухчисел:первоеизнихуказываетнаглаву,авторое–напорядковыйномерAЗвэтойглаве.Например,шифрАЗ-18.1означает,чтоAЗотно-ситсяквосемнадцатойглавеиявляетсяпервымпосчету.
ДляИДЗтакжепринятанумерацияпоглавам.Например,шифрИДЗ-17.2означает,чтоИДЗотноситсяксемнадцатойглавеиявляетсявторым.ВнутрикаждогоИДЗпринятаследу-ющаянумерация:первоечислоозначаетномерзадачивданномзадании,авторое–номерварианта.Такимобразом,шифрИДЗ-17.2:16означает,чтостудентдолженвыполнить16-йва-риантизИДЗ-17.2,которыйсодержитзадачи1.16,2.16,3.16,4.16,5.16.ПривыдачеИДЗстудентамномеравыполняемыхвариантовможноменятьотзаданиякзаданиюпокакой-либосистемеилислучайнымобразом.Болеетого,можнопривы-дачеИДЗлюбомустудентусоставитьеговариант,комбинируяоднотипныезадачиизразныхвариантов.Например,шифр
6
ИДЗ-16.1:1.2;2.4;3.6означает,чтостудентуследуетрешатьвИДЗ-16.1первуюзадачуизварианта2,вторую–изварианта4итретью–изварианта6.Такойкомбинированныйметодвы-дачиИДЗпозволяетиз30вариантовполучитьбольшоеколи-чествоновыхвариантов.
ВнедрениеИДЗвучебныйпроцесснекоторыхтехническихуниверситетовпоказало,чтоцелесообразнеевыдаватьИДЗнепослекаждогоAЗ(которых,какправило,двавнеделю),аоднонедельноеИДЗ,включающееосновнойматериалдвухAЗданнойнедели.
Дадимнекоторыеобщиерекомендациипоорганизацииработывсоответствииснастоящимпособием.
1.Студенческиегруппыпо25человек,проводитсядваAЗвнеделю,планируютсяеженедельныенеобязательныедляпо-сещениястудентамиконсультации,выдаютсянедельныеИДЗ.Приэтихусловияхдлясистематическогоконтролясвыставле-ниемоценок,указаниемошибокипутейихисправлениямогутбытьиспользованывыдаваемыекаждомупреподавателюма-трицыответовибанклистоврешений,которыекафедрараз-рабатываетдляИДЗ(студентамониневыдаются).Еслиматри-цыответовсоставляютсядлявсехзадачизИДЗ,толистыре-шенийразрабатываютсятолькодлятехзадачивариантов,гдеважнопроверитьправильностьвыбораметода,последователь-ностидействий,навыкииуменияпривычислениях.Кафедраопределяет,длякакихИДЗнужнылистырешений.Последние(одинвариант–наодномлисте)используютсяприсамокон-тролеправильностивыполнениязаданий,взаимномстуденче-скомконтроле,ачащевсего–прикомбинированномконтро-ле:преподавательпроверяетлишьправильностьвыборамето-да,астудентполистурешений–своивычисления.ЭтиметодыпозволяютпроверитьИДЗ25студентовза15–20минсвыстав-лениемоценоквжурнал.
2.Студенческиегруппыпо15человек,проводитсядваAЗвнеделю,врасписаниедлякаждойгруппывключеныобязатель-ные2чвнеделюсамоподготовкиподконтролемпреподавате-ля.Приэтихусловияхорганизацияиндивидуальной,самосто-ятельной,творческойработыстудентов,оперативногоконтро-лязакачествомэтойработызначительноулучшается.Рекомен-дованныевышеметодыпригодныивданномслучае,однакопоявляютсяновыевозможности.НаAЗбыстреепроверяютсяиоцениваютсяИДЗ,вовремяобязательнойсамоподготовкиможнопроконтролироватьпроработкутеорииирешениеИДЗ,
выставитьоценкинекоторойчастистудентов,принятьзадол-женностипоИДЗуотстающих.
НакапливаниебольшогоколичестваоценокзаИДЗ,само-стоятельныеиконтрольныеработываудиториипозволяютконтролироватьучебныйпроцесс,управлятьим,оцениватькачествоусвоенияизучаемогоматериала.Всеэтодаетвозмож-ностьотказатьсяоттрадиционногоитоговогосеместрового(годового)экзаменапоматериалувсегосеместра(учебногогода)иввестирейтинг-блок-модульнуюсистему(РБМС)оцен-кизнанийинавыковстудентов,состоящуювследующем.Ма-териалсеместра(учебногогода)разделяетсяна2–3блока,покаждомуизкоторыхвыполняютсяAЗ,ИДЗивконцекаж-догоцикла–двухчасоваяписьменнаяколлоквиум-контрольнаяработа(блочныйэкзамен,блочнаяконтрольнаяработа–БКР),вкоторуювходит2–3теоретическихвопросаи5–6задач.УчетоценокпоAЗ,ИДЗиБКРпозволяетвывестиобъективнуюобщуюоценкузакаждыйблокиитоговуюоценкуповсембло-камсеместра(учебногогода).
Взаключениеотметим,чтоусвоениесодержащегосявпо-собииматериалаприлюбойсистемеобучениягарантируетстудентузнанияпосоответствующимразделамкурсавысшейматематики.Дляотличноуспевающихстудентовнеобходимаподготовказаданийповышеннойсложности(индивидуальныйподходвобучении!)сперспективнымипоощрительнымиме-рами.Например,можноразработатьдлятакихстудентовспеци-альныезаданиянавесьсеместр,включающиезадачиизданно-гопособияидополнительныеболеесложныезадачиитеоре-тическиеупражнения(дляэтого,вчастности,предназначеныдополнительныезадачивконцекаждойглавы).Преподавательможетвыдатьэтизаданиявначалесеместра,установитьграфикихвыполнения(подсвоимконтролем),разрешитьсвободноепосещениелекционныхилипрактическихзанятийповысшейматематикеивслучаеуспешнойработывыставитьотличнуюоценку.Этаоценкадостигается,какправило,приучастиисту-дентавНИРС.
8
17. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
17.1. Оригинал и изображение по Лапласу
Начальной функциейилиоригиналомназываютфункцию f t( )действительнойпеременнойt,удовлетворяющуюследующимусловиям:
1) f t( )= 0приt < 0;2)существуютвещественныечисла M > 0иs такие,что
f t Mest( ) ≤ приt ≥ 0; (17.1)
3) f t( )–кусочно-непрерывнаяиинтегрируемаяналюбомконечномотрезкеизменения t.
Точнаянижняягрань s0всехчиселs,длякоторыхвыпол-няетсянеравенство(17.1),называетсяпоказателем роста функ-ции f t( ).
Еслисуществуетнесобственныйинтеграл
F p f t e dtpt( ) ( ) ,= −+∞
∫0
(17.2)
гдеp a bi= + ;Re ;p a= > 0 Im ,p b= тофункциюF p( )комплекс-нойпеременнойpназываютизображением функции f t( )по Лапласу,илиее лапласовым изоб ражением,или просто изобра-жением.
Правило(17.2)полученияпозаданномуоригиналу f t( )изо-браженияF p( )называетсяпреобразованием Лапласа.
ЕслиRep a s s= ≥ > 0ивыполняетсяусловие(17.1),томож-нодоказать,чтонесобственныйинтеграл(17.2)абсолютносходитсяиопределяетаналитическуюфункциювполуплоско-сти a s> 0(рис.17.1).Приэтом
lim ( ) .Re p
F p→+∞
= 0 (17.3)
ЕслиF p( )–лапласовоизображение f t( ),тократкоэтоза-писываетсяввидеF p f t( ) ( )
�� илиF p L f t( ) { ( )}.=
Можнодоказать,чтовсякомуизображениюF p( ),удовлет-воряющемуусловию(17.3),соответствуетединственнаяначаль-наяфункция(оригинал).Принятыеобозначения: f t F p( ) ( )
��
или f t L F p( ) { ( )}.= −1
9
Р и с.17.1
Пример 1. Найтиизображениеединичнойфункции Хевисайда
σ0
0 0
0( )t
t
t=
<
≥
при ,
1 при .
Графикфункцииσ0( )t приведеннарис.17.2.
Р и с.17.2
Очевидно,чтоσ0( )t удовлетворяетвсемусловияморигиналаиs0 0= .Поформуле(17.2)имеем:
L t e dtp
ep
pt ptσ00 0
1 1( ) ,– –{ }= =− =
+∞ +∞
∫
таккак lim .Re
–
p
pte→+∞
= 0 Следовательно,L tp
σ0
1( ) ,{ }= т.е.σ0
1( ) .t
p��
Пример 2. НайтиизображениеF p( )функцииe tα ,гдеα ∈R.Имеем:
L e e e dt e dte
p pt pt t p t
p tα α α
α
α α{ }= = =−−
=−
−+∞
− −+∞ − − +∞
∫ ∫0 0 0
1( )( )
,
еслиRe .p s> =α 0
10
Следовательно,ep
tα
�
1
−.
З а м е ч а н и е. Изопределенияоригиналаследует,чтоневсякаяфункция f t( )являетсяоригиналом.Например,приневыполненииусловия(17.1)нетгарантиисходимостиинтеграла(17.2).Еслиинтеграл(17.2)расходится,тоговорят,чтофункция f t( )неявляетсяоригина-
лом.Нетруднопоказать,например,чтофункции f t t( ) ,=1/ f t et( ) ,=3
f t e t( ) /= 1 2
неявляютсяоригиналами,таккакинтеграл(17.2)длянихрасходится.
Перечислимосновные свойства оригиналов и изображений.1. Свойство линейности.ЕслиF p f tk k( ) ( ),
�� k n=1 2, , ..., ,то
c f t c F pk kk
n
k kk
n
( ) ( ),= =∑ ∑
1 1�� (17.4)
гдеck –любыедействительныеиликомплексныечисла.2.Теорема смещения. Если f t F p( ) ( ),
�� тодлялюбогоком-
плексногочислаαимеем:
e f t F p p stα α α( ) ( ), Re Re .�� − > + 0 (17.5)
3.Теорема подобия.Если f t F p( ) ( )�� иλ > 0,то
f t Fp
( ) .λλ λ��
1
(17.6)
4.Теорема о дифференцировании изображения.Если f t F p( ) ( ),��
f t F p( ) ( ),�� то
( )( )
( ).−1 nn
nnd F p
dpt f t�� (17.7)
5.Теорема о дифференцировании оригинала.Если f t F p( ) ( ),�� то
′ −
′′ − − ′
f t pF p f
f t p F p pf f
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ),
.............
��
��
0
0 02
...................................
( ) ( ) (( )f t p F p p fn n n
�� − −1 0)) ( ) ... ( ).( )− ′ − −
− −p f fn n2 10 0
(17.8)
Если f f f n( ) ( ) ... ( ) ,( )0 0 0 01= ′ = = =− то f t p F pn n( )( ) ( ).��
11
6.Теорема запаздывания.Если f t F p( ) ( ),�� тодля t0 0>
f t t e F ppt( ) ( ).− −0
0
�� (17.9)
Сверткой двух функций f t1( )и f t2( ),обозначаемой f t f t1 2( ) ( ),∗ называетсяфункция,определяемаяравенством
f t f t f f t d1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) .∗ = −−∞
∞
∫ τ τ τ
Если f t1( ), f t2( )–оригиналы,т.е. f1 0( )τ ≡ приτ > t,тоихсверткапредставимавследующемвиде:
f t f t f f t d f t f dt t
1 2 1 20
1 20
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .∗ = − = −∫ ∫τ τ τ τ τ τ (17.10)
Сверткадвухоригиналовявляетсяоригиналом.Длянеесправедливыследующиесвойства:
1) f f f f1 2 2 1∗ = ∗ (коммутативность);2)( ) ( )f f f f f f1 2 3 1 2 3∗ ∗ = ∗ ∗ (ассоциативность);3)( ) ( ) ( )c f c f f c f f c f f1 1 2 2 3 1 1 3 2 2 3+ ∗ = ∗ + ∗ (линейность).7.Теорема Бореля, или теорема свертывания.Если f t F p1 1( ) ( ),
��
f t F p2 2( ) ( ),�� то
f t f t F p F p1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ).∗ �� (17.11)
Формула(17.11)называетсяформулой умножения изображе-ний.Оначастоприменяетсядлявосстановленияоригиналапоегоизображению.
8.Теорема об интегрировании оригинала.Если f t F p( ) ( ),�� то
f dF p
p
t
( )( )
.τ τ��
0∫ (17.12)
9.Теорема об интегрировании изображения.Если f t F p( ) ( )��
иинтеграл F z dzp
( )+∞
∫ сходится,то
f t
tF z dz
p
( )( ) .
��
+∞
∫ (17.13)
10.Теорема об изображении периодической функции.Пустьf t( )–периодическаяфункцияпериодаTи f t F p( ) ( ).
�� Если
12
F p0( ) – изображение функции f t t t T( )( ( ) ( )),σ σ0 0− − т.е.
F p f t e dtptT
00
( ) ( ) ,= −∫ то
F pF p
eppT( )
( ), Re .=
−>−
0
10 (17.14)
Сцельюпроверкиправильностиполученныхрезультатоввоперационномисчислениичастоиспользуютпредельные со-отношения.
11.Теорема о предельных соотношениях.Если f t( ), ′f t( )–оригиналыи f t F p( ) ( ),
�� то
lim ( ) lim ( ),p t
pF p f t→ →∞
=0
(17.15)
lim ( ) lim ( ) ( ).Re p t
pF p f t f→+∞ → +
= =0
0 (17.16)
Соотношения(17.15)и(17.16)называютсяпредельными со-отношениями связи между изображением и оригиналом.
12.Фор мула Дюамеля. ПрирешениирядапрактическихзадачиспользуетсяформулаДюамеля
pF p F p f t f f f t dt
1 2 1 2 1 20
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,�� + ′ −∫ τ τ τ (17.17)
где f t1( )–непрерывнаяфункция; f t2( )имеетнепрерывнуюпро-изводную;F p f t1 1( ) ( );
�� F p f t2 2( ) ( ).
��
Пример 3. Найтиизображенияоригиналов f t t( ) sin= и f t t( ) cos .=
Известно,что sin te e
i
it it
=− −
2и cos .t
e eit it
=+ −
2Тогдаизсвойства1
следует:
sin ,ti p i p i i
i
p p��
1
2
1 1 1
2
2
1
1
12 2−−
+
= +
=+
cos .tp i p i
p
p
p
p��
1
2
1 1 1
2
2
1 12 2−+
+
= +
=+
Итак,sin ,tp��
1
12 +cos .t
p
p�� 2 1+
13
Пример 4.Записатьизображенияуказанныхфункций-оригиналов:sin ,βt cos ,βt sh ,βt ch .βt
Посколькуизвестныизображениядляsin t иcos ,t тоизображенияsinβt иcosβt могут быть найдены с помощью теоремы подобия(см.формулу(17.6)):
sin( )
,ββ β β
ββ
ββ
tp p p�
�1 1
1
12
2
2 2 2 2/ + ++= =
cos( )
.ββ
ββ β
ββ β
tp
p
p
p
p
p��
1
1
12 2
2
2 2 2 2
/
/ + ++= =
Далее:
sh ,ββ β
te et t
=− −
2ch .β
β β
te et t
=− −
2
Тогдаизпримера2исвойствалинейностиследует:
sh ,ββ β
ββ
tp p p�
�1
2
1 12 2−
−+
= −
ch .ββ β β
tp p
p
p��
1
2
1 12 2−
++
= −
Пример 5.Найтиизображенияоригиналовe ttα βsin иe ttα βcos .
Посколькуsin ,βββ
tp�� 2 2+
cos ,ββ
tp
p�� 2 2+
тоизтеоремысме-
щенияследует,что
e tp
tα ββα β
sin( )
,��
− +2 2 e tp
ptα β
αα β
cos( )
.��
−− +2 2
Пример 6. Найтиизображенияоригиналов: t, t n, t en tα , t tsin ,β t tcos .βИзвестно,чтоσ0 1( ) .t p
�� / Тогдапоправилудифференцирования
изображениянаходим:
td
dp p p��−
=
1 12 ,t
d
dp p p2 2
2
2 311 2
�� ( )
!,−
=
td
dp p pt
d
dp
n
p
n
pn
n n3
2
3 4
2 3 1��
��−
= −
−
=
! !, ...,
( )! ! ++1 .
14
Изтеоремысмещенияследует,что
t en
pn t
nα
�
!
( ).
− +1
Знаяизображения sinβt и cos ,βt изтеоремыoдифференцирова-нииизображенияполучаем:
t td
dp p
p
psin
( ),β
ββ
ββ�
�−+
=
+2 2 2 2 2
2
t td
dp
p
p
p p
p
p
pcos
( ) ( ).β
ββ
βββ�
�−+
=−
+ −+
=−+2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
Пример 7.Найтиизображенияоригиналов:
а)e tt−5 sin ;π б)ch cos ;2 3t t в)sin cos .5 2t t
а)Таккакsin ,πππ
tp�� 2 2+
топосвойствусмещения
e tp
t−
+ +5
2 25sin
( ).π
ππ�
�
б)Посколькуch cos ( )cos ,2 31
232 2t t e e tt t= + − тоизсвойствалиней-
ностиитеоремысмещенияследует,что
ch cos( ) ( )
.2 31
2
2
2 9
2
2 92 2t tp
p
p
p��
−− +
++
+ +
в)Таккакsin cos (sin sin ),5 21
27 3t t t t= + тоизсвойствалинейности
следует,что
sin cos .5 21
2
7
49
3
92 2t tp p�
�+
++
Пример 8.Найтиизображенияоригиналов:
а) ( ch sin ) ;e z e z dzz zt
− +∫ 5 3
0
2 4 б) ( ) .z z z z e dzzt
5 4 2 2
0
4 3 2− + −∫ а)Найдем изображение оригинала f t e t e tt t( ) ch sin .= +−5 32 4
Изсвойствaлинейностиитеоремподобияисмещенияполучаем:
15
e t e tp
p pt t− +
++ −
+− +
5 32 22 45
5 4
4
3 16ch sin
( ) ( ).
��
Тогдасогласноправилуинтегрированияоригиналаимеем:
( ch sin )( ) ( )
.e z e z dzp
p
p pz z
t− +
++ −
+− +
∫ 5 3
02 22 4
1 5
5 4
4
3 16��
б)Найдемизображениеоригинала:
t t t tp p p p
5 4 26 5 3 24 3 2
5 4 4 6 2− + − −
⋅+ −
��
! !.
Тогдапотеоремесмещения
( )!
( )
!
( ) ( ) ( ).t t t t e
p p p pt5 4 2 2
6 5 3 24 3 25
2
4 4
2
6
2
2
2− + −
−−
⋅−
+−
−−�
�
Использовавтеoремуобинтегрированииоригинала,получим:
( )z z z z e dzzt
5 4 2 2
0
4 3 2− + −∫ ��
��
1 120
2
96
2
6
2
2
26 5 3 2p p p p p( ) ( ) ( ) ( ).
−−
−+
−−
−
Пример 9. Найтиоригиналыследующихизображений:
а)1
92p p( );
+б)
1
92 2p p( );
+в)
1
2 3( ).
p+
а)Поскольку1
9
1
3
3
9
1
332 2p p
t+
=+ �� sin , топотеоремеобинте-
грированииоригинала
1
9
1
33
1
93
1
91 32
0 0p pzdz z t
t t
( )sin cos cos .
+=− = −( )∫��
б)Наоснованииформулы(17.12)сучетомрезультатов,полученныхвп.«а»,имеем:
1 1
9
1
91 3
1
9
1
33
1
9
1
332 2
0 0p p
z dz z z t tt t
+− = −
= −∫�� ( cos ) sin sin
.
16
в)Посколькуtp
23
2��
!,то
1
23
2
p
t��
!.Наоснованиитеоремысмещения
получаем:
1
2 232
2
( ) !.
pe
tt
+−
��
Пример 10.Найтиизображениефункции f tt
te t( )
cos.=
− −1 2 5
Посколькуфункция f t( )непрерывнапривсехt > 0и
lim ( ) limcos
limsin
sin ,t t
t
t
tf tt
te
t
tt e
→+ →+
−
→+
−=−
= ⋅ ⋅ =0 0
5
0
51 22 0
тоонаявляетсяоригиналом.Очевидно,что1 21
42− −+
cos .tp
p
p�� Из
правилаинтегрированияизображенияследует,что
1 2 1
4
1
42 2
−−
+
= −
+
=
+∞
→∞∫ ∫coslim
t
t z
z
zdz
z
z
zdz
p p��
β
β
= − +
=
+=
→∞ →∞lim ln ln( ) lim lnβ
β
β
β
z zz
zp p
1
24
4
2
2
=+
−+
= +
+→∞
lim ln ln ln ln .β
β
β2 2
2
4 41
4p
p
p
p
Применивтеоремусмещения,получим:
1 2 5 4
5
10 29
55
2 2− + ++
=+ +
+−cos
ln( )
ln .t
te
p
p
p p
pt
��
Пример 11.Найтиизображениеоригиналаcos( ),2t −π t ≥π/2.
Известно,чтоcos242t
p
p��
+(см.пример4).Тогданаосновании
теоремызапаздыванияполучаем:
cos( ) cos ./2 22 4
22t t ep
pp− = −
+
−ππ π
��
17
Пример 12.Найтисверткуоригиналовcos3tиsin t иизображениесвертки.
Согласноопределениюсвертки
cos sin cos sin( – ) sin( ) sin( )3 31
22 4
0 0
t t t d t t dt t
∗ = = + + −( )∫ ∫τ τ τ τ τ τ ==
= − + + −
=
1
2
1
22
1
44
0 0cos( ) cos( )t t
t tτ τ
= − + + −
=− +
1
2
1
23
1
2
1
43
1
4
1
83
1
8cos cos cos cos cos cos .t t t t t t
Следовательно,cos sin cos cos .31
83
1
8t t t t∗ =− +
Изображениеполученногооригиналанаходимсучетомсвойствалинейностиитеоремыподобия:
cos sin31
8 9
1
8 12 2t tp
p
p
p∗ −+
++
=��
=− − + +
+ +=
+ +1
8
9
9 1 9 1
3 3
2 2 2 2
p p p p
p p
p
p p( )( ) ( )( ).
Тотжерезультатможнополучитьдругимпутeм.Известно,что
cos ,392t
p
p��
+ sin t
p��
1
12 +(см.пример4).НаоснованиитеоремыБо-
реляимеем:
cos sin( )( )
.39 12 2t t
p
p p∗ + +��
Пример 13. Найтиоригинал f t( ),соответствующийизображению
F pp
p( )
( ).=
+2 24
Представимизображениеввиде
F pp
p p( ) .=
+ +2 24
1
4
Поскольку1
4
1
222p
t+ �� sin ,
p
pt2 4
2+ �� cos ,тонаоснованиифор-
мулы(17.11)
18
p
p pt t2 24
1
42
1
22
+ + ∗ =�� cos sin
= − = + − =∫ ∫1
22 2 2
1
42 2 4
0 0
cos sin( ) (sin sin( ))τ τ τ τ τt d t t dt t
= + −
= + − =
1
42
1
42 4
1
42
1
42
1
420 0
τ τsin cos( ) sin cos cost t t t t tt t
= =1
42t t f tsin ( ).
Пример 14. Найтиизображениеоригинала
f tt t
t t( )
, ,
, ,=
≤ <
− ≤ <
0 1
2 1 2
периодическипродолженногонаинтервал[ , )0 +∞ спериодомT = 2(рис.17.3).
Р и с.17.3
Посколькуоригиналпериодический,тосогласноформуле(17.14)
F pe
F ppT( ) ( ),=− −
1
1 0
гдеT = 2;F p f t e dt te dt t e dtpt pt pt0
0
2
0
1
1
2
2( ) ( ) ( ) .= = + −− − −∫ ∫ ∫Интегрируяпочастям,находим:
te dtp
te dtp
e dtpt pt pt− − −∫ ∫=− + =0
1
0
1
0
11 1
=− − =− + −− − − −1 1 1 1 12
0
1
2 2pe
pe
pe
p pep pt p p,
19
( ) ( )2 21 1
1
2
1
2
1
2
− =− − − =− − −∫ ∫t e dt tp
ep
e dtpt pt pt
= + = + −− − − − −1 1 1 1 12
1
2
22
2pe
pe
pe
pe
pep pt p p p.
Следовательно,
F pp
ep p
ep
ep
ep
ep p p p p0 2 2 2
22
1 1 1 1 1 1( )=− + − + + − =− − − − −
= − +− −1 2 12 2 2
2
p pe
pep p.
Изображениемдля f t( )будетфункция
F pe e
p e
e
p e p
e
e
p p
p
p
p
p
( )( )
( )
( )=
− +−
=−−
=−+
− −
−
−
−
−
−1 2
1
1
1
1 1
1
2
2 2
2
2 2 2 pp .
Пример 15. Найтиизображениепериодическойсистемыимпульсов,приведенныхнарис.17.4.
Р и с.17.4
Заданнуюграфическипериодическуюфункцию f t( ) cпериодомТможноспомощьюединичнойфункцииХевисайдаσ0( )t представитьаналитически:
f tA t t t
t t T( )
( ) ,
,=
≤ <
≤ <
σ0 0
0
0
0
при
при
поэтому
F p f t e dt Ae dtA
pe
A
p
Ae
ppt
Tpt
t
ptt pt
00 0 0
0 0 0
( ) ( ) .= = =− = −− − −−
∫ ∫
20
Тогдаизформулы(17.14)следует,что
f tA
p ee
A e
p epTpt
pt
pT( )( )
( )( )
( ).
��
11
1
10
0
−− =
−−−
−−
−
Пример 16.Найтиоригинал f t( )поегоизображению
F pp
p( )
( ).=
+5
4
2
2 2
ПредставимF p( )ввидепроизведения 54
1
42 2pp
p p+ +.Посколь-
куp
pt
pt2 24
21
4
1
22
+ +��
��cos , sin , топоформулеДюамеля(17.17)по-
лучим:
54
1
45 2
1
22 5 2
1
222 2
0
pp
p p
d
dtt t
d
dt
t
+ + ∗
= ⋅∫�
� cos sin cos sin (τ tt d−
=τ τ)
= ⋅ − = − − =∫ ∫5 2 25
22 2 4
0 0
cos cos ( ) (cos cos( ))τ τ τ τ τt d t t dt t
= + −
= − −
5
22
1
42 4
5
22
1
42
1
42
0
τ τcos sin( ) cos sin sint t t t t tt
=
= −
=
5
22
1
22t t t f tcos sin ( ).
Пример 17. Записатьизображениедифференциальноговыражения2 3′′ − ′ +f t f t f t( ) ( ) ( ),еслиF p f t( ) ( )
�� и f ( ) ,0 1= ′ =−f ( ) .0 1
Поформулам(17.8)имеем:
′ −f t pF p( ) ( ) ,�� 1 ′′ − +f t p F p p( ) ( ) .
�� 2 1
Тогдаизсвойствалинейностиследует,что
2 3 2 2 2 3 32′′ − ′ + − + − + + =f t f t f t p F p p pF p F p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )��
= − + − +( ) ( ) .2 3 1 2 52p p F p p
Основные свойства изображений Лапласа приведенывприл.1,наиболеечастовстречающиесяприрешениизадачоригиналыиихизображения–вприл.2.
Вматематикеиразличныхееприложениях,напримервме-ханике,электротехнике,теорииавтоматическогорегулирова-
21
ния,широкоиспользуютсятакназываемыеимпульсныефункциииихизображения.Рассмотримфункцию
σ σ σ1 0 0
10 0
1 0
0
( , ) ( ( ) ( ))
,
,t hh
t t h
t
h t h
h t
при
/ при
при
= − − =<≤ <≤ <++∞
,
график которой приведен нарис.17.5.
Еслиданнуюфункциюинтер-претироватькаксилу,действую-щуювпромежутоквремениот0доh, авостальноевремяравнуюнулю,тоочевидно,чтоимпульс
этойсилыравен σ1 1( , ) .t h dt−∞
+∞
∫ =
ПосколькуизображениефункцииХевисайдаσ( )t известно,то,пользуясьсвойствомлинейностиизображения,получаем:
σ1
1( , ) .t h
p
e
h
ph
��
−
Вмеханикечасторассматриваютсилы,действующиевоченькороткийпромежутоквремени(или,какговорят,«мгновенно»)иимеющиеконечныйимпульс,поэтомубылавведенафункцияδ σ( ) lim ( , ),t t h
h=
→01 котораяназываетсяединичной импульсной
функ циейилидельта-функцией Дирака.Изложенноевышепозволяетсчитать,чтопоопределению
δ( ) .t dt−∞
+∞
∫ =1 Последнееравенствоможнозаписатьтакжеввиде
δ( ) .t dt0
0
1∫ = Тогда
δ( ) lim lim .th
e
p p
pe
h
ph
h
ph
��
→
−
→
−−= =
0 0
1 1 1
11
ЗдесьпринахождениипределабылопримененоправилоЛо-питаля.
Рассмотримδ( )t каксилу,действующуюнаматериальнуюточкуединичноймассы.Дляэтогонайдемрешениедифферен-
Р и с.17.5
22
циальногоуравнения ′′ =s t t( ) ( ),δ удовлетворяющееначальнымусловиям s( ) ,0 0= ′ =s ( ) .0 0 Егооператорноеуравнениеp s p2 1�( ) ,=
p s p2 1�( ) ,= откуда �s pp
( ) ,=1
2 s t t( ) ,= v t( ) .=1 Такимобразом,функ-
циюδ( )t можнотрактоватькаксилу,сообщающуюматериаль-нойточкеединичноймассывмоментвремени t = 0скорость,равнуюединице.
Функциюδ( )t t e pt− −0
0
�� можносчитатьимпульснойсилой,
действующейвмоментвремениt0.Рассмотримуравнение ′′ = +s t f t t( ) ( ) ( )δ сначальнымиусло-
виямиs s( ) ( ) .0 0 0= ′ = Егооператорноеуравнение
p s p F p2 1�( ) ( ) ,= + �s pF p
p p( )
( ),= +2 2
1
откудаs t f t d tt
( ) ( )( ) .= − +∫ τ τ τ0
Очевидно,чтоктакомужере-
зультатупридем,решивуравнение ′′ =s t f t( ) ( )придругихна-чальныхусловиях:s( ) ,0 0= ′ =s ( ) .0 1
Изопределенияδ( )t следует,что
δ τ τ( ),
,d
t
t
t
−∞∫ =
−∞< <≤ <+∞
0 0
1 0
при
при
т.е.σ δ τ τ0( ) ( )t dt
=−∞∫ –единичнаяфункцияХевисайда.Диффе-
ренцируяобечастипоследнегоравенства,получаем:δ σ( ) ( ).t t= ′0Введемфункцию
δ δ1
2
2
1 0
1 2
0, ( ) ( ( ))
,
,h ht t h
h t h
h h t h
t
= − ′ =
≤ <
− ≤ <−∞<
/ при
/ при
при << ≤ <+∞
0 2, , h t
изображеннуюнарис.17.6.Длянееопределимимпульсную функ цию второго порядка δ1( )t поформулеδ δ1
01( ) lim ( ).,t t
hh=
→Функцияδ1( )t удовлетворяетследующимусловиям:
1)δ1 0( )t = приt ≠ 0;
2)δ1 0( ) ,− =−∞ δ1 0( ) ;+ =+∞
23
Р и с.17.6
3) δ τ τ δ1( ) ( ),d tt
=−∞∫ δ1 0( ) ,t dt =
−∞
+∞
∫ dt dt
−∞
+∞
−∞∫ ∫ =δ τ τ1 1( ) .
Изображениеδ1( )t находимкакпределприh→ 0изображе-нияфункцииδ1, ( ),h t котороеопределяетсяформулой
δ1 2
2
221 1 2 1
1, ( ) ( ) ,h
ph phpht
h p
e
p
e
p h pe
�� − +
= −
− −−
т.е.L th p
e ph
ph{ ( )} lim ( ) ,δ10
221
1= − =→
− δ1( ) .t p��
Найдем,например,решениедифференциальногоуравнения′′ =s t t( ) ( )δ1 принулевыхначальныхусловиях.Имеемсоответ-
ствующееоператорноеуравнение p s p p2 �( ) .= Далее �s p p( ) ,=1/ s t t( ) ( ).= >1 0 Этоозначает,чтоимпульснаясилавторогопо-рядкаδ1( )t сообщаетматериальнойточкеединичноймассымгновенноеперемещениенаединицудлиныбездальнейшегодвижения.
17.2. Нахождение оригиналов по изображениям
Впредыдущемпараграфеописанаметодикаполученияизо-бражениймногихэлементарныхфункций,т.е.установленосо-ответствиеоригиналовиихизображений,атакженапростейшихпримерахпоказано,какпоизображениюнайтиоригинал.
Следующейважнойзадачейоперационногоисчисленияявляетсянахождениефункций-оригиналовпоихизображени-ям.Вобщемслучаеэтазадачаявляетсядостаточносложной.
334
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Методические рекомендации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
17. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
17.1.ОригиналиизображениепоЛапласу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.Нахождениеоригиналовпоизображениям . . . . . . . . . . . . . 2317.3.Приложенияоперационногоисчисления. . . . . . . . . . . . . . . 3017.4.Аудиторныезанятиякгл.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5217.5.Индивидуальныедомашниезаданиякгл.17. . . . . . . . . . . . 6017.6.Дополнительныезадачикгл.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ . . . . . . . . . . . . . . 90
18.1.Постановказадачи................................... 9018.2.Определениеустойчивости.Уравнениявозмущенного
движения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9118.3.ФункцииЛяпуноваитеоремыЛяпуноваобустойчивости
инеустойчивостирешенийдифференциальныхуравнений 9518.4.Линейныеоднородныедифференциальныеуравнения
спостояннымикоэффициентамииустойчивостьихрешений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
18.5.Линейныеоднородныесистемыдифференциальныхуравненийспостояннымикоэффициентамииустойчивостьихрешений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
18.6.Исследованиерешенийсистемнаустойчивостьпопервомуприближению. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
18.7.Аудиторныезанятиякгл.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11018.8.Индивидуальныедомашниезаданиякгл.18. . . . . . . . . . . . 11318.9.Дополнительныезадачикгл.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
19. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
19.1.Некоторыепонятиякомбинаторики.Событияиихвероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
19.2.Основныеаксиомытеориивероятностей.Непосредственноевычислениевероятностейсобытий. . . 132
19.3.Теоремысложенияиумножениявероятностей.Формулаполнойвероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
19.4.ФормулыБайесаиБернулли.ЛокальнаяиинтегральнаятеоремыМуавра—Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
19.5.Случайныевеличины.Общиезаконыраспределенияслучайныхвеличин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
19.6.Числовыехарактеристикислучайныхвеличин. . . . . . . . . . 14619.7.Основныезаконыраспределенияслучайныхвеличин. . . . 15119.8.Системыслучайныхвеличиниихчисловыехарактеристики 15719.9.Аудиторныезанятиякгл.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16819.10.Индивидуальныедомашниезаданиякгл.19 . . . . . . . . . . . 18119.11.Дополнительныезадачикгл.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
20. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. . . . . . 229
20.1.Выборка.Эмпирическиезаконыраспределения. . . . . . . . . 22920.2.Числовыехарактеристикистатистическогораспределения 23220.3.Оценкачисловыххарактеристик.Методмоментов . . . . . . 24320.4.Методнаименьшихквадратов.Корреляционнаясвязь. . . 24820.5.Статистическаяпроверкагипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25520.6.Аудиторныезанятиякгл.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26420.7.Индивидуальныедомашниезаданиякгл.20. . . . . . . . . . . . 27420.8.Дополнительныезадачикгл.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Рекомендуемая литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Учебноеиздание
РябушкоАнтонПетровичЖурТатьянаАнтоновна
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Теория и задачи
Учебноепособие
ВпятичастяхЧасть5
Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика
РедакторЕ.В. МалышеваХудожественныйредакторВ.А. Ярошевич
ТехническийредакторН.А. ЛебедевичКорректорТ.В. Кульнис
КомпьютернаяверсткаМ.В. Горецкой
Подписановпечать27.06.2018.Формат84×108/32.Бумагаофсетная.Гарнитура«Ньютон».Офсетнаяпечать.Усл.печ.л.17,64.Уч.-изд.л.16,7.
Тираж400экз.Заказ2609.
Республиканскоеунитарноепредприятие«Издательство“Вышэйшаяшкола”».Свидетельствоогосударственнойрегистрациииздателя,изготовителя,
распространителяпечатныхизданий№1/3от08.07.2013.Пр.Победителей,11,220004,Минск.
e-mail:[email protected]://vshph.com
Открытоеакционерноеобщество«Типография“Победа”».Свидетельствоогосударственнойрегистрациииздателя,изготовителя,
распространителяпечатныхизданий№2/38от29.01.2014.Ул.Тавлая,11,222310,Молодечно.