УДК 530.1(075.8) ББК 22.3я73

К 43

Рецензенты:Кафедра «Физика» Московского государственного машиностроительного

университета (МАМИ) (зав. кафедрой доктор физико-математических наук, профессор С. Г. Каленков)

Кандидат технических наук В.А. Овчинкин

Кириченко Н. А., Крымский К. М.К43 Общая физика. Механика: учеб, пособие. - М. : МФТИ,

2013.-290 с.ISBN 978-5-7417-0446-2

Дано систематическое изложение принципов механики, изучаемых в курсе общей физики. Для всех основных формул даётся подробный вы­вод. Излагаются законы Ньютона и их следствия, законы сохранения, тео­рия столкновений, динамика вращательного движения, элементы теории колебаний и волн в механических системах. Кроме того, излагаются эле­менты механики сплошных сред — теории упругости и гидродинамики. Последняя глава посвящена теории относительности.

Пособие основано на лекциях, читавшихся авторами студентам пер­вого курса Московского физико-технического института (государствен­ного университета) и предназначено для студентов I курса технических вузов, а также для студентов и преподавателей в качестве справочного материала.

УДК 530.1(075.8) ШЖ 22.3я73

ISBN 978-5-7417-0446-2 © Кириченко Н.Л., 2013© Крымский K.M., 2013 © Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2013

ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие............................................................................................................................... 10

Глава 1. КИНЕМ АТИКА.......................................................................................................121.1. О пределения............................................................................................................ 12

1.1.1. Измерение расстояний (12). 1.1.2. Измерение времени (12).1.1.3. Система отсчёта (12). 1.1.4. Материальная точка (12). 1.1.5. Радиус-вектор (12). 1.1.6. Системы координат (13). 1.1.7. Траектория (13).1.1.8. Смещение и путь материальной точки (14). .

1.2. Скорость и ускорение материальной точки ...............................................141.2.1. Скорость (14). 1.2.2. Годограф скорости (15). 1.2.3 Ускорение (15).1.2.4. Скорость и ускорение при прямолинейном движении (15).1.2.5. Скорость и ускорение при равномерном вращении материальной точки по окружности (15). 1.2.6. Общий случай движения (16).

1.3. Кривизна траектории........................................................................................... 181.3.1. Кривизна кривой (18). 1.3.2. Кривизна кривой, заданной в парамет­рической форме (20).

1.4. Вектор площади и секториальная ск ор ость ............................................ 211.4.1. Вектор площади (21). 1.4.2. Секториальная скорость (21).

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИ Н А М И К И ..........................................................232.1. Преобразование Г алилея................................................................................... 23

2.1.1. Инерциальная система отсчёта (23). 2.1.2. Принцип относительности Галилея (23). 2.1.3. Преобразование скоростей (24).

2.2. Первый закон Н ью тона...................................................................................... 242.2.1. Состояние материальной точки и системы точек (24).2.2.2. Формулировка первого закона Ньютона (25).

2.3. Второй закон Н ью тона........................................................................................252.3.1. Импульс материальной точки (25). 2.3.2. Сила (25). 2.3.3. Второй закон Ньютона (26).

2.4. Закон сохранения импульса..............................................................................27

2.5. Третий закон Н ью тона........................................................................................272.6. Центр м асс ................................................................................................................ 282.7. Относительное движение пары материальных т о ч ек ........................... 302.8. Аддитивность м ассы ............................................................................................ 31

Глава 3. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ М А СС О Й ..................................... 32

3

3.1. Формула Ц иолковского......................................................................................32

3.2. Уравнение Мещерского. Реактивная си л а .................................................33

3.3. П рим еры ...................................................................................................................343.3.1. Изменение направления движения ракеты (34). 3.3.2. Время разворо­та ракеты (35). 3.3.3. Разворот по окружности (37). 3.3.4. Горизонтальный полёт (38).

Глава 4. ЭН ЕРГИ Я ..................................................................................................................39

4.1. Кинетическая энергия.........................................................................................394.1.1. Работа и мощность силы (39). 4.1.2. Кинетическая энергия (39).

4.2. Потенциальная энергия .................................................................................... 404.2.1. Классификация сил (40). 4.2.2. Примеры консервативных сил (40).4.2.3. Потенциальная энергия (41). 4.2.5. Некоторые выражения для потен­циальной энергии (43). 4.2.4. Связь силы с потенциальной энергией (43).

4.3. Закон сохранения эн ер ги и ................................................................................ 454.3.1. Закон сохранения при наличии только консервативных сил (45).4.3.2. Закон сохранения при наличии диссипативных сил (45).

4.4. Теорема К ёнига......................................................................................................46

Глава 5. СТОЛКНОВЕНИЯ Ч А С ТИ Ц ...........................................................................48

5.1. Упругие и неупругие столкновения ............................................................. 485.1.1. Каналы реакции (47). 5.1.2. Законы сохранения при столкнове­ниях (47).

5.2. Абсолютно упругие столкновения двух частиц........................................495.3. Абсолютно неупругое столкновение двух частиц ....................................50

5.4. Порог р еак ц и и ........................................................................................................51

5.5. Векторные диаграммы для упругого столкновения частиц............... 52

5.6. Упругое столкновение двух ш аров................................................................ 57Глава 6. МОМЕНТ И М П УЛ ЬС А ..................................................................................... 59

6.1. Основные определения....................................................................................596.1.1. Определение момента импульса (59). 6.1.2. Преобразование момента импульса при изменении начала отсчёта (59). 6 .ЬЗ. Связь секториальной скорости с моментом импульса (60).

6.2. Уравнение динамики вращательного движ ения.................................... 616.2.1. Уравнение для момента импульса (61). 6.2.2. О моменте системы сил(61). 6.2.3. Закон сохранения момента импульса (62). 6.2.4. Момент им­пульса относительно оси (62). 6.2.5. Уравнение динамики вращения отно­сительно оси (63). 6.2.6. Уравнение моментов для системы взаимодейству­ющих частиц (64). 6.2.7. Вращение относительно движущейсяточки (65).

Глава 7. ГРАВИТАЦИОННОЕ П О Л Е ...........................................................................677.1. Гравитационное взаимодействие двух материальных т о ч ек ............67

4

7.2. Теорема Г аусса.................................................................................................... 677.2.1. Гравитационное поле (67). 7.2.2. Напряжённость гравитационного поля (68). 7.2.3. Теорема Гаусса (68). 7.2.4. Примеры применения теоремы Гаусса (69). 7.2.5. Доказательство теоремы Гаусса (72).

Глава 8. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ЦЕНТРАЛЬНОМГРАВИТАЦИОННОМ П О Л Е ............................................................................75

8.1. Законы сохранения в центральном гравитационном п о л е ...................75

8.2. Законы Кеплера .....................................................................................................768.2.1. Формулировка законов (76). 8.2.2. Законы сохранения для движения небесных тел (76). 8.2.3. Первый закон Кеплера (77). 8.2.4. Типы орбит в центральном гравитационном поле (78). 8.2.5. Минимальное и максималь­ное удаление планеты от центра (79). 8.2.6. Второй закон Кеплера (80). 8.2.7. Характеристики эллиптических орбит (80). 8.2.8. Третий закон Кеплера (82). 8.2.9. Космические скорости (83). 8.2.10. Пример: времястолкновения двух тел (83).

Глава 9. ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО Т Е Л А ..................................................................... 879.1. Угловая скорость вращения твёрдого т е л а ...............................................87

9.1.1. Вектор угловой скорости (87). 9.1.2. Движение твёрдого тела (88).

9.2. Плоское движение твёрдого т е л а ...................................................................90

9.3. Момент импульса и момент инерции тела относительно о си ............919.3.1. Момент импульса относительно оси (91). 9.3.2. Момент инерции тела относительно оси (93). 9.3.3. Моменты инерции простейших тел (93). 9.3.4. Центральный момент инерции (94). 9.3.5. Теорема Гюйгенса-Штейнера (96).

9.4. Уравнение динамики вращения тела относительно о с и ......................989.4.1. Основное уравнение (98). 9.4.2. Маятник Максвелла (98).9.4.3. Скатывание тела по наклонной плоскости (100).

9.5. Кинетическая энергия вращения тела относительно о с и ..................1029.6. Момент импульса относительно произвольной т оч к и ....................... 102

9.7. Момент импульса тела (общий сл уч ай ).................................................... 1039.7.1. Тензор инерции (103). 9.7.2. Момент импульса относительно произ­вольной оси (105). 9.7.3. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции (106).

9.8. Кинетическая энергия вращения (общий случай)................................1119.9. Регулярная прецессия симметрического волчка...................................112

9.10. Вынужденная прецессия гироскопа с неподвижной точ к ой .......... 1149.10.1. Вынужденная регулярная прецессия (114). 9.10.2. Вынужденная прецессия с нутацией (116).

Глава 10. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ АХ....11810.1. Гармонические колебания............................................................................ 118" 10.1.1. Основные определения (118). 10.1.2. Геометрическая интерпретация

(118). 10.1.3. Уравнение гармонических колебаний (119).

5

10.2. Простейшие колебательные си стем ы ......................................................12010.2.1. Математический маятник (120). 10.2.2. Пружинный маятник (121).

10.3. Физический м аятник....................................................................................... 121

10.4. Фазовая плоскость и фазовая траектория..............................................123

10.5. Колебания при наличии трения..................................................................12410.6. Закон сохранения энергии в колебательных процессах....................12610.7. Логарифмический декремент и добротность ........................................127

10.7.1. Логарифмический декремент (127). 10.7.2. Добротность (127).10.7.3. Энергетический смысл добротности (128).

10.8. Комплексное представление колебаний..................................................12810.8.1. Комплексные числа (128). 10.8.2. Формула Эйлера (129).10.8.3. Решение уравнения затухающих колебаний (131).

10.9. Вынужденные колебания...............................................................................13210.9.1. Решение уравнения вынужденных колебаний (132). 10.9.2. Резонанс (134). 10.9.3. Характеристики резонанса (135).

10.10. Связанные осцилляторы ............................................................................. 13610.11. Параметрические колебания......................................................................140

10.11.1. Параметрические колебания. Качели (140).10.11.2. Параметрическая раскачка качелей (140). 10.11.3. Влияние трения на параметрическую раскачку колебаний (143).

10.12. Возбуждение осциллятора периодическими толч кам и.................. 143

10.13. Адиабатические инварианты .....................................................................14610.13.1. Понятие адиабатического инварианта (146).10.13.2. Адиабатический инвариант для пружинного маятника (147).10.13.3. Шарик между медленно двигающимися стенками (149).

10.14. Нелинейные колебания................................................................................ 15010.14.1. Зависимость ^периода колебаний от амплитуды (150).10.14.2. Колебания при наличии слабого затухания (152). 10.14.3. Фазовый портрет нелинейного осциллятора (153).

10.15. Волны в механических систем ах............................................................. 15610.15.1. Понятие волны (156). 10.15.2. Бегущая и стоячая волны (156).10.15.3. Волновое уравнение (158). 10.15.4. Уравнение поперечных колеба­ний струны (159). 10.15.5. Уравнение продольных колебаний в стержне (161). 10.15.6. Колебания в цепочке атомов (163). 10.15.7. Решения волно­вого уравнения (164).

Глава 11. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ О ТСЧЁТА....................................16511.1. Ускорение относительно неинерциальной системы отсч ёта .........165

11.2. Силы инерции.................................................................................................... 168

11.3. Проявление поступательной силы инерции ......................................... 16811.4. Проявления центробежной силы инерции............................................. 169

6

11.4.1. Отклонения груза, повешенного на нити (169). 11.4.2. Вестела (171).

11.5. Геофизические проявления силы К ориолиса...................................... 172

11.6. Отклонение траектории движения падающего тела от направленияотвеса........................................................................................................................... 17411.6.1. Падение тела с точки зрения неинерциальной системы отсчёта (174). 11.6.2. Падение тела с точки зрения инерциальной системыотсчёта (176).

11.7. Маятник Ф уко................................... ................................................................ 17811.7.1. О маятнике Фуко (1748. 11.7.2. Маятник Фуко с точки зрения инер­циальной системы отсчёта (178). 11.7.3. Маятник Фуко с точки зрения не­инерциальной системы отсчёта (179).

Глава 12. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ У П РУ Г О С Т И ..................................................... 182

12.1. Упругие и пластические деформации. Закон Г ук а ..............................18212.1.1. Определения (182). 12.1.2. Закон Гука (182). 12.1.3. Поперечные де­формации (183).

12.2. Уравнения трехосного нагружения ...........................................................184

12.3. Всестороннее и одностороннее сж атие......................................................18412.3.1. Относительное изменение объёма (184). 12.3.2. Всестороннее сжа­тие (185). 12.3.3. Одностороннее сжатие (185).

12.4. Деформация сдв и га .......................................................................................... 18612.4.1. Касательные напряжения и угол сдвига (186). 12.4.2. Сведение си­стемы касательных усилий к системе нормальных напряжений (187).12.4.3. Изменение объёма тела при сдвиге (188). 12.4.4. Модуль сдвига (188). 12.4.5. Связь упругих модулей (189).

12.5. Кручение................................................................................................................18912.5.1. Деформация кручения (189). 12.5.2. Однородные и неоднородные деформации (191).

12.6. Плотность энергии упругой деф ормации................................................ 19112.7. Деформация и зги ба .......................................................................................... 193

12.7.1. Геометрия изгиба и условие равновесия (193). 12.7.2. Уравнение линии пластины при изгибе (195). 12.7.3. Энергия изогнутой пластины (197).

12.8. Скорость распространения упругих возмущений в стер ж н е.........19812.9. П римеры ................................................................................................................199

12.9.1. Удлинение стержня под действием собственного веса (199).12.9.2. Энергия упругой деформации шара (196). 12.9.3. Деформация сфе­рической оболочки (200).

Глава 13. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРО ДИН АМ И КИ............................... 20313.1. Стационарное течение идеальной ж идкости......................................203

7

13.1.1. Определения (203). 13.1.2. Уравнение непрерывности (204).13.1.3. Уравнение Бернулли (205). 13.1.4. Формула Торричелли (206).13.1.5. Форма поверхности вращающейся жидкости (207).

13.2. В язкость ............................................................................................................... 210

13.3. Формула П уазейля...........................................................................................21113.3.1. Вывод формулы Пуазейля (211). 13.3.2. Условие применимости формулы Пуазейля (213). Примеры (214).

13.4. Ламинарное и турбулентное т еч ен и е.......................................................21613.4.1. Ламинарное и турбулентное течение (216). 13.4.2. Число Рейнольдса (217). 13 .4 .3 .0 законах подобия течений (218). 13.4.4. Формула Стокса (221).

13.5. Пограничный сл ой ...........................................................................................22213.5.1. Понятие пограничного слоя (222). 13.5.2. Оценка толщины погра­ничного слоя (223). 13.5.3. Ещё о применимости формулы Пуазейля (224).

13.6. Движение тел в жидкости (газе)................................................................. 22413.6.1. Обтекание тел движущейся жидкостью (224). 13.6.2. Эффект Маг­нуса (228). 13.6.3. Подъёмная сила крыла (231).

Глава 14. ТЕОРИЯ ОТН ОСИТЕЛЬНОСТИ............................................................. 23514.1. Истоки теории относительности................................................................235

14.1.1. Конечность скорости света (235). 14.1.2. Постоянство скорости све­та. Опыт Майкельсона (237).

14.2. Относительность одновременности..........................................................239

14.3. Интервал ..............................................................................................................24014.3.1. Определение интервала (240). 14.3.2. Инвариантность интервала (241).

14.4. Преобразования Лоренца и их следствия.............................................. 24214.4.1. Преобразования Лоренца (242). 14.4.2. Преобразование времени (243). 14.4.3. Измерение длин (244). 14.4.4. Использование световых сигна­лов для измерения промежутков времени и длин (246). 14.4.4. «Парадокс пенала» (248). 14.4.5.Релятивистское сложение скоростей (250).

14.5. (jt-0 -диаграммы ................................................................................................ 25214.6. Эффект Д оп л ер а ......................................................... 255

14.6.1. Продольный эффект Доплера (255). 14.6.2. Эффект Доплера на(х-/)-диаграмме (256). 14.6.3. Поперечный эффект Доплера (257).14.6.4. Эффект Доплера при распространении сигнала под углом к траек­тории источника (257). 14.6.5. Нерелятивистский эффект Доплера (260).14.6.6. Видимая (кажущаяся) скорость объекта (261).

14.7. Принцип относительности Э йнш тейна...................................................262

14.8. 4-мерное пространство-врем я....................................................................262

14.8.1. Метрика (262). 14.8.2. Псевдоевклидово пространство (263).14.8.3. 4-скаляры и 4-векторы (263). 14.8.4. 4-мерная скорость (265).14.9. Релятивистская динам ика ............... ............................................................265

8

14.9.1. 4-импульс (265). 14.9.2. 4-вектор силы (266). 14.9.3. Уравнение дви­жения релятивистской частицы (267).

14.10. Энергия в релятивистской м еханике..................................................... 26814.10.1. Кинетическая энергия релятивистской частицы (268).14.10.2. Полная энергия и энергия покоя (269). 14.10.3. Связь энергии и импульса (270). 14.10.4. Преобразование энергии и импульса при переходе от одной системы отсчёта к другой (270). 14.10.5. О законах сохранения энергии-импульса (271). 14 .10 .6 .0 начале отсчёта полной энергии (272).14.10.7. Система центра инерции (272).

14.11. Слипание и распад частиц. Энергия покоя части ц ы ......................273

14.12. Некоторые вопросы общей теории относительности...................... 27514.12.1. Принцип эквивалентности (275). 14.12.2. Нерелятивистский эф­фект Доплера для ускоренно движущегося наблюдателя (278).14.12.3. Время в гравитационном поле (278). 14.12.4. Гравитационное красное смещение (280). 14.12.5. Парадокс близнецов (парадокс часов) (283). 14.1.2.6. Отклонение луча света в окрестности звезды (284).

Некоторые физические постоянны е............................................................................. 288

Литература............................................................................................................................... 289

9

ПРЕДИСЛОВИЕПредлагаемое пособие представляет собой систематическое изложе­

ние принципов механики и основано на лекциях, читавшихся авторами студентам первого курса Московского физико-технического института (государственного университета).

Физика — это наука, целью которой является установление законо­мерностей, реализующихся в природе, получение качественных и количе­ственных данных о взаимодействии тел, свойствах и поведении вещества в различных условиях, предсказание того, что должно (или может) наблюдаться в различных ситуациях. Эти задачи определяют и подход к изучению природы. Физика строится в определённом смысле подобно математике: вводятся определения (задающие объекты исследования), формулируются «аксиомы» — фундаментальные законы, установленные из экспериментов, наблюдений или предположений (гипотез). Затем из этой системы исходных принципов делаются выводы. Если выводы со­гласуются с экспериментом, то используемая система допускается к даль­нейшему применению. Если же возникают противоречия между выводами теории и экспериментом, то это является указанием на неполноту учтён­ных факторов или на ошибочность исходных принципов. Но тогда теория должна быть отброшена как несоответствующая реальности видо­изменена.

Именно такой путь развития физики привёл к построению современ­ной науки, позволившей объяснить многие наблюдаемые явления от мас­штабов микромира, мира атомов, ядер, элементарных частиц до масшта­бов космических. Использование установленных закономерностей позво­лило создать разнообразнейшую технику, без которой уже трудно пред­ставить себе жизнь.

Предлагаемая книга посвящена изложению основных законов меха­ники в рамках курса общей физики. Традиционно сюда включены также элементы механики сплошных сред — теории упругости и гидродинами­ки. В последней главе книги подробно рассмотрена специальная теория относительности, а также затронуты некоторые вопросы общей теории относительности. Практически для всех важных формул дан подробиыи вывод.

Следует иметь в виду, что сколько-нибудь полное изучение физики невозможно без знания математики. И хотя уровень применяемого в книге

10

математического аппарата может иногда превышать тот, что имеется у студента в данный момент, это не должно создавать проблем — к более сложным вопросам можно вернуться позже, когда возникнет реальная необходимость изучения данного вопроса, а степень владения математи­ческим аппаратом окажется достаточной.

Нужно также отметить, что данная книга не заменяет собой курсы теоретической механики, гидродинамики и теории упругости — наша задача состояла не столько в развитии и применении тонких приёмов ре­шения задач, сколько в изложении основных принципов, подходов и ил­люстрации некоторых их применений. Разумеется, много интересных во­просов осталось за рамками книги. Для более полного изучения материала можно рекомендовать литературу, указанную в конце книги.

Отбирая материал для книги, мы ориентировались на программу кур­са общей физики, сформировавшуюся в МФТИ к настоящему моменту. Учтён также опыт проведения семинарских занятий. В результате в книгу вошло небольшое число вопросов, выходящих за рамки существующей программы, но в той или иной степени затрагиваемых на лекциях и семи­нарах, а также вызывающих интерес у студентов. При написании главы 10 (посвящённой колебаниям и волнам) частично использован материал из книг [6,7]. Глава 14 («Теория относительности») написана на основе учебного пособия [8]. Главы 5 и 12 написаны авторами совместно. Разде­лы 3.3, 10.11, 13.3.3 и 13.4.3 подготовлены К.М. Крымским. Остальные разделы подготовил Н.А. Кириченко. Отбор материала для книги и редак­тирование текста выполнено обоими авторами.

11

Глава 1. КИНЕМАТИКАРаздел механики, называемый кинематикой, рассматривает геометри­

ческое описание движения тел, оставляя в стороне причины такого движе­ния.

1.1. Определения

Прежде всего, нужно принять соглашение о способах измерения рас­стояний и промежутков времени, а также о том, как определять положение тел.

7.7.7. Измерение расстояний. Выбирается эталон — протяжённый объект («линейка»), длина которого принимается в дальнейшем за едини­цу. Все расстояния измеряются по отношению к этому эталону.

7.7.2. Измерение времени. Принимается допущение о существовании периодических, строго повторяющихся процессов. Из них выбирается эталонный процесс, на основе которого изготавливается устройство — «часы». Показания этого устройства (от начального момента до конечно­го) указывают величину промежуи<а времени. Период хода «часов» при­нимается в качестве эталонного промежутка времени Т0. Для всех других процессов время измеряется в единицах этого эталона.

7.7.5. Система отсчёта. Системой отсчёта называется произволь­ным образом выбранное в пространстве физическое тело (система тел), относительно которого (или которых) определяется положение всех про­чих объектов. *

1.1.4. Материальная точка. Материальной точкой называется физи­ческое тело, размерами и формой которого в условиях данной конкретной задачи можно пренебречь.

7.7.5. Радиус-вектор. Выбирается система отсчёта и точка ()ч жёстко связанная с этой системой. Точки О называется началом отсчёта. Вектор, соединяющий точку О с производной точкой А в пространстве: г ОЛ, называется радиус-вектором точки А (подробнее: радиус-вектором точки А относительно начала отсчёта ( М

12

/.7.6. Системы координат. Проведём из начала отсчёта три взаимно перпендикулярных вектора единичной длины, называемые ортами (рис. 1.1.1 слева):

|*| = |j| = |k| =Спроектируем радиус-вектор г на эти векторы:

(r)j = X, (r)j = у, (r)k = z.

Тройка чисел (jc, у 9 z) однозначно определяет вектор г и называется пря­моугольными (декартовыми) координатами вектора г. Соответственно записывают:

г = .xi + j>j + zk,или, если зафиксирован набор ортов,

г = (х, у, Z).

Рис. 1.1.1. Прямоугольная декартова система координат {x,y,z} (слева) и цилиндрическая система координат {р , <р, z } (справа)

Начало отсчёта и система ортов задают систему координат.Обобщёнными координатами называют любой набор чисел, одно­

значно определяющий положение тела по отношению к выбранной систе­ме отсчёта. Примером является цилиндрическая система координат {р, <р, z} (рис. 1.1.1 справа). Связь между координатами одной и той же

точки А в прямоугольной и цилиндрической системах даётся формуламиx = pcos<p, y = psir\(p,

причём координата z в обеих системах одна и та же.Кроме того, часто используется сферическая система координат, в ко­

торой положение точки задаётся тремя числами: {г, в, <р}9 указанными на рис. 1.1.2. Связь прямоугольных и сферических координат радиус-вектора даётся формулами

x = rsm0cos(p, у = rsin#sin#>, z = rcos0.1.1.7. Траектория. Положение материальной точки А в пространстве

полностью характеризуется заданием ее радиус-вектора. С течением вре­

13

мени положение точки А меняется, так что конец радиус-вектора описыва­ет в пространстве некоторую кривую г = г ( /) , называемую траекторией тонки А.

1.1.8. Смещение и путь материальной точки. Смещение матери­альной точки за время At — это изменение радиус-вектора точки за это время (рис. 1.1.3):

Дг = г(/ + At) - г ( /) . (1.1.1)

Путь S материальной точки за время А/ — это расстояние, пройден­ное точкой за это время безотносительно к направлению движения (точ­ное определение дано в разделе 1.2.1).

А

У

Рис. 1.1.2. Сферическая система координат {г, 0, (р}

Рис. 1.1.3. Начало отсчёта О, тра­ектория L материальной точки, радиус-вектор г и смещение Дг

1.2. С к ор ость и уск ор ен и е м атер и ал ьн ой точк и

7.2. /. Скорость. Средней скоростью за промежуток времени А/ назы­вается отношение смещения Дг материальной точки к времени А/, за кото­рое это смещение осуществлено (рис. 1.1.3):

г ( , . Д, ) - г ( , ) о ^ (1.2.1)р А/ A t

Мгновенной скоростью материальной точки называется предел сред­ней скорости, когда промежуток времени At стремится к нулю:

r(r + A /) -r ( /) dr /t . _чv = lim —------- -— — = — . (1.2.2)

At—>o At dtМгновенная скорость — это производная радиус-вектора по времени.

Вектор v является касательным к траектории: v = i;t , i> = |v|, т —

единичный вектор, касательный к траектории: |т| = 1.

Смещение Дг и путь S за время от момента t\ до момента t2 выража­ются через скорость формулами

14

(1.2.3)Дг = J y(t)dt = vcp(/2 ,'i

'25 = Ju(/)rf/. (1.2.4)

1.2.2. Годограф скорости. Введём начало отсчёта Ov для векторов скорости подобно началу отсчёта для радиус-векторов. Кривая, описывае­

мая концом вектора скорости, называется го­дографом скорости.

Дг 1.2.3. Ускорение. Ускорением материаль­ной точки называется величина

civ _~ А

, Дг

< |зд1.2.4. Скорость и ускорение при прямо­

линейном движении. Вектор скорости имеет постоянное направление:

v = vt , где т = const. (1.2.6)Ускорение направлено вдоль вектора скоро­сти:

civа = ят, а = — .

Л(1.2.7)

Рис. 1.2.1. Вращение точки по 1.2.5. Скорость и ускорение при равно- окружности. Сверху — измене- мерном вращении точки по окружности. ние положения точки за время п окружности равен R. Тогда, какДл снизу — изменение скоро- . « ,

видно из рис. 1.2.1, имеют место следующие соотношения1:

сти за то же время

| г(/)|= /?, | Дг |= 2/? sin

lim — = — , д/->оо д / dt

Аср

v=\\\= = coR, \ = б)хг;

А \ |= 2 y s in ^ ^ p ),

а =1 а 1= = ov = — , (1.2.8)R

,.22 V"а = о х v = -со г = — п.R

Здесь п = - г /г — единичный вектор внутренней нормали к траектории (т.е. направленный к центру окружности).

1 Всюду в этой книге мы используем символ «х» для обозначения векторного произведения с = а х Ь. В литературе также часто используется обозначение: с = [а, Ь].

15

7.2.6. Общий случай движения. В случае движения точки по произ­вольной траектории с произвольно меняющейся (по величине и направле­нию) скоростью имеем v = эт, |т| = 1, и для ускорения получаем выражение

dvа = — =

Лdv dx--X + V --.dt dt

(1 .2 .9)

Найдём производную dx/dt. Поскольку т — единичный вектор:

|т| = 1, то, как видно из рис. 1.2.2,

|Дт| = 2 |x |s in -^ = 2 s i n - ^ . (1.2.10)

При малых приращениях угла отсюда следует |Лт| = А<р. Переходя к пре­

делу бесконечно малых приращений, получаемdx dep~dt dt

( 1.2 .11)

x(t + А 0 При этом dx _L т. Внодм иск гор п нормали к траек- Ат тории: n t t dx, перепишем последнее равенство в

векторном виде:*(/)

Рис. 1.2.2. Приращение единичного вектора

drdt

r/JII. ( 1.2.12)

Имея в виду, что мри мрашении по окружности ра­диуса R угловая скорость равна со- v/R . находим

</т ГII

dt КТаким образом, соотношение (1 . . \ (М нршшмнп вид

а = аг н а,,.

dr = т -

(//и

*1 и

А'

(1.2.13)

(1.2.14)

Это значит, что ускорение содержи! .дне »о» ининющие: тангенциальную (касательную к траектории) а ги норманьную (и» рм» ндикулярную к скоро­сти) а„. Для нормального ускорения н„ мофмо нишмпъ иное выражение:

а„ мг'А’и (1.2.15)Радиус окружности R , по котором о» уш »» ih mm м:я мгновенное чистое

вращение, называется мгновенным\и\Он\, #*w t /ч^чты в рассматриваемой точке траектории.

Пример. Пусть колесо радиуса А* ьишо н им iноской поверхности с постоянной скоростью V (рис. 1.2.3) I р» п \ги м нити скорость и траекто­рию произвольной точки, находящей» и ни »»п»> и

16

Рис. 1.2.3. Колесо радиуса R катится со скоростью V по горизонтальной плоскости. С — центр колеса, R — радиус-вектор точки обода А отно­сительно центра колеса

Поскольку имеет место чистое качение (т.е. качение без проскальзы­вания), то за время dt колесо смещается на расстояние ds-Vdt. Точки обода при этом совершают вращение относительно центра. Обозначим угловую скорость вращения как со. В системе отсчёта, связанной с цен­тром колеса С, точка А проходит путь ds = coR • dt.. Приравнивая два вы­ражения для ds, находим угловую скорость вращения: co = V/R.

Для нахождения скорости точки А на ободе заметим, что её движение можно представить как вращение относительно центра, которое наклады­вается на поступательное движение вместе с центром С:

v = V + т coR,где т — единичный вектор, касательный к окружности. Отсюда получаем значение скорости:

v = y}(V + т coR)1 = sjV2 + (coRf + 2 VaR cos cp, где (p — угол между векторами т и V. Имея в виду соотношение co = V /R , перепишем данное выражение в виде

v = К^2(1 + cos (р) = 2Fcos(?>/2). (1.2.16)В условиях чистого качения выполняется равенство V = coR. Поэтому

угол, образуемый вектором v с горизонталью, равен ср/2. Отсюда нахо­дим горизонтальную и вертикальную проекции скорости:

vY = vcos((p/2) = V(\ + cos<0),(1.2.17)

v = z>sin(#>/2) = Fsin cp.Найдём траекторию точки А. Выберем неподвижное начало отсчёта О

на плоскости, по которой катится колесо (рис. 1.2.4).Пусть у — расстояние от точки А до плоскости. Эта величина связана

с углом ^равенством (рис. 1.2.4)у = R(l + cos cp) = 2R cos2 (<cp/2). (1.2.18)

Для горизонтальной координаты точки А имеем выражениех = хс +/?sin#?, (1.2.19)

Московский в я ’~ 7 У ]физико-технический институт $ § $ J(государстпенный унипеоситет) Г ;? ! ^

Рис. 1.2.4. К нахождению траек­тории точки А, расположенной на ободе колеса, катящегося со ско­ростью V по горизонтальной плоскости. Начало отсчёта О жёстко связано с плоскостью

где хс — координата центра колеса. Эта ве­личина связана с углом поворота соотноше­нием

xe =Rq>. (1.2.20)Здесь предполагается, что в начальный мо­мент центр колеса находился в точке хс = О, а точка обода А — точно над центром С:

Н . о = ° -С учётом равенств (1.2.18), (1.2.19),

(1.2.20) получаем уравнение траектории, заданное в параметрической форме (<р — параметр): х = R((o + sm(p),

^ ( 1.2.21)у = /?(l + cos#?),

Полученные равенства задают кривую, называемую циклоидой (рис. 1.2.5).

Рис. 1.2.5. Циклоида — траектория точки обода колеса, катящегося без проскальзывания

1.3. К ри в и зн а т р аек тор и и

1.3.1. Кривизна кривдй. Нахождение мгновенного радиуса кривизны траектории представляет собой одну из задач дифференциальной геомет­рии. Рассмотрим способ вычисления этой величины для плоском кривой2.

Пусть материальная точка движется вдоль кривой L (рис. 1.3.1). Бели траектория — окружность, то радиус кривизны есть просто радиус окруж­ности. В случае произвольной кривой нужно найти подходящую окруж­ность, относительно центра которой материальная точка совершает мгно­венное чистое вращение (без поступательного смещения).

Для нахождения такой окружности, проходящей через точку /I, выбе­рем на траектории еще две точки (В и С), расположенные близко к точке А , как показано на рис. 1.3.1. Как известно, через три произвольные точки можно провести единственную окружность. Будем далее двигать тчки В и С вдоль кривой L к точке А , чтобы в пределе все три точки совпали. То-

2 Кривая называется плоской, если все её точки лежат в одной плоской и

18

гда получим предельную окружность, которая касается траектории в точке А и при этом имеет максимальный радиус, проходя строго с одной сторо­ны от кривой (в малой окрестности точки А).Относительно центра этой окружности мате­риальная точка на траектории совершает мгновенное чистое вращение, и радиус этой окружности есть радиус кривизны траектории в точке А. Такая окружность является каса­тельной к траектории в точке А.

Найдём радиус кривизны траектории (рис. 1.3.1), заданной в виде уравнения

У = / ( * ) • (1.3.1)Выберем на кривой у = f ( x ) точку А

(рис. 1.3.2). Касательная к кривой в этой точ­ке имеет наклон

dy dx

Соответственно нормаль перпендикулярна к этой касательной. Осуществим бесконечно малое смещение вдоль кривой по оси абсцисс на dx. Смещение же вдоль кривой при этом составляет

ds = y]dx2 +dy2 = yjl + y '2d x . (1.3.2)

При таком смещении нормаль и касательная повернутся на одинаковый угол da,, который можно найти следующим образом:

d(y') d(tga) j da d 2y j _ „ 2 j— -— dx = — -— dx = -----— = — z-dx => da = у cos a d t.dx dx cos2 a dx2

Используя тождество

cos2 a = (l + tg2 a j = (l + / 2) ,

получаем связь дифференциалов dx и da:у*

da = —- —-dx.1 + / 2

Радиус кривизны определяется из того условия, что смещение ds можно рассматривать как вращение на тот же угол da:.

ds = R d a , (1.3.3)откуда находим

Рис. 1.3.1. Окружность, прохо­дящая через три близкие точки траектории L

кривизны кривой у -j{x)

19

(1.3.4)R = ds _ K ! )

3/2

da у "Пример. Найдём кривизну параболы

у = ах2.Поскольку / = 2ах, у ” = 2а , то по формуле (1.3.4) получаем

К = - =2 а

R (l + 4<32*2)3/2 *

(1.3.5)

1.3.2. Кривизна кривой, заданной в параметрической форме. Во многих задачах траекторию у = у(х) задают в параметрическом виде, т.е. в виде зависимостей координат от времени:

* = *(/), y = y(t). (1.3.6)

Задание траектории в такой форме позволяет определять нужные характе­ристики не только как функции точки, но и как функции времени.

Для получения кривизны кривой (1.3.6) учтём, что, -.dy _ ydt _ у

dx xdt х ’

У" Л г = ± ( У' ) Л 1 . [ 1dx2 dx ' x d t \x

y x - y x 1з ’

(1.3.7)

Здесь точка над буквой обозначает производную по времени. Подставляя эти выражения в (1.3.4), получим

у х - у х

* (y2+i2)3/2 ‘

(1.3.8)

Пример. Тело брошено под углом а к горизонту с начальной скоро­стью v0. Требуется найти радиус кривизны траектории через время / после начала полета.

Зависимость координат тела от времени даётся формуламилgtx - -v 0cosat, y = v0

Вычисляя производные, находимх = v0 cos a, y = v0s \n a - gt;x = 0, у = —g.

Подставив эти выражения в формулу (1.3.8), получаем

(1.3.9)

(1.3.10)

20

к = - = - -gvо cos а

^ | (г;0 sin а - gt)2 + cos2 a J3/2 •

Последнее выражение можно переписать в компактном виде:

к Л = .R

gvx„.3

Знак «-» означает, что выпуклость кривой направлена вверх.

(1.3.11)

(1.3.12)

1.4. В ек тор пл ощ ади и сек тор и ал ьн ая ск ор ость

1.4.1. Вектор площади. Пусть имеется некоторая малая поверхность площадью dS (рис. 1.4.1). Выберем положительное направление обхода, как показано на рисунке, и введём вектор dS, направленный по нормали к площадке в соответствии с правилом буравчика (правого винта) (рис. 1.4.1), причём |dS| = dS. Так введённый вектор dS называется векто-

Рис. 1.4.1. К определению вектора площади Рис. 1.4.2. К определению

секториальной скорости

1.4.2. Секториальная скорость. Пусть материальная точка движется по некоторой траектории (рис. 1.4.2). При этом радиус-вектор выметает некоторую площадь. Вводя вектор площади dS, выметаемой за малое вре­мя dt, определим вектор секториальной скорости:

vceKT= i | . (1.4.1)

При малом смещении точки вдоль траектории выметаемая радиус- вектором область есть треугольник со сторонами г(/) и г(t + dt). Его пло­щадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векто­рах г(/) и r(t + dt) :

dS Л |г(/)| |г(/ + dt)| sin(c/®). (1.4.2)

Вектор площади треугольника можно записать как векторное произведение:

21

( i . •!.:>)

Поскольку r(t + dt) = r(t) + dr, то последнее равенство iipiiiniMiiei пил

fiS = -r x r fr , (1.4.4)2

откуда следует выражение для вектора секториальной скорости:

VceKT=^r ><v- П .4 .5)

Равенство ( 1.4 .2) позволяет получить выражение для медичины еекто- риальной скорости. Вследствие малости угла d(p и того, что длины векто­ров г(/) и г(t + dt) отличаются на бесконечно малую величину, имеем

dS = r2(t)dq>. Вводя угловую скорость со - d(p/dt, находим

К « г = ^ г 2Ф. (1 .4 .6)

Замечание, Площадь параллелограмма с соседними сторонами и и А и углом в между ними равна Snap = absinO. Вводя векторы сторон и и h, нонучпм

Snap = |a x b |. Соответственно вектор площади параллелограмма, нанрапнеине

которого определяется правилом буравчика (вращением шима <н нериоп» юмио- жителя к второму, как показано на рис. 1.4.2), даётся формулой: NIM(, и - 1>.

dS = -- r ( /) x r ( / + dt).

22

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИПереходя к изучению законов динамики, мы будем иметь в виду нере­

лятивистский случай, т.е. движение со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света: v с. Законам релятивистской механики посвящена глава 14.

2.1. Преобразование Галилея

2 ./ ./ . Инерциальная система отсчёта. Инерциальной системой от­счёта называется такая система, относительно которой любое тело, на которое не действуют силы, движется равномерно и прямолинейно.

Если существует хотя бы одна инерциальная система отсчёта 5, то таких систем бесконечно много: таковыми являются любые системы, движущиеся равномерно и прямолинейно относительно S.

2,1.2. Принцип относительности Галилея. Выделенная роль инер­циальных систем отсчёта среди всех прочих состоит в следующем:

законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных си­стемах отсчёта.

Сформулированное утверждение называется принципом относитель­ности Галилея.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта, движущиеся относи­тельно друг друга со скоростью V = const (рис. 2.1.1). Радиус-вектор начала отсчёта О ' системы S ' относительно системы S обозначим R.

Рис. 2.1.1. Положение точки А относительно двух систем отсчёта: S и S'

Пусть в некоторый начальный момент времени t = 0 точки О и О' совпадают. Тогда в последующие моменты окажется

R = V Л (2.1.1)

23

Обозначим радиус-вектор произвольной точки А относительно начала отсчёта системы S (точки О) как г. Тогда, как видно из рис. 2.1.1, положе­ние точки А относительно начала отсчёта системы S' (точки O') будет да­ваться радиус-вектором г'. При этом г = г' + R . С учётом (2.1.1) получаем

г = г' +V /. (2.1.2)Выберем координатные оси таким образом, чтобы система 5' двига­

лась вдоль оси X'. Тогда векторное равенство (2.1.2) примет видx = x' + Vt,У = у \ z = z \ (2.1.3)t = t'.

Эти равенства называются преобразованием Галилея. Они связывают ко­ординаты произвольной точки относительно разных систем отсчёта.

В формулы (2.1.3) добавлено равенство / = /', выражающее тот экс­периментально установленный факт, что скорость течения времени не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

2.7.5. Преобразование скоростей. Продифференцируем почленно ра­венство (2.1.2) по времени:

— = — + V. (2.1.4)dt dt

Поскольку / = то величины_ d r f _ d T _ d T

У~ d t' V ” dt' “ dtпредставляют собой соответственно скорости точки А относительно си­стем S и S'. Следовательно, из (2.1.4) получаем закон преобразования ско­ростей:

v = v' + V, (2.1.5)называемый также правилом сложения скоростей.

Наличие преобразований (2.1.3) позволяет дать другую формулировку принципа относительности Галилея: *

законы механики ковариантны (не меняют своего вида) относитель­но преобразования Галилея.

2.2. Первый закон Ньютона

2.2.7. Состояние материальной точки и системы точек. Положе­ние точки в 3-мерном пространстве определяется радиус-вектором, зада­ваемым тремя числами (координатами). В частном случае это могут быть прямоугольные координаты {х,у, z).

Если имеется N точек, то нужно задать 3N чисел (координат), чтобы определить положение всех точек.

24

При известных координатах всех точек скорости этих точек могут быть различными, так что в зависимости от этих скоростей будет различ­ной и эволюция.

Опыт говорит:одновременное задание всех координат и скоростей полностью опре­

деляет дальнейшее движение частиц.Иными словами, набор координат и скоростей полностью задаёт со­

стояние системы. При этом задание этого состояния в некоторый момент времени полностью определяет состояние во все последующие моменты.

2.2.2. Формулировка первого закона Ньютона. Будем далее рассмат­ривать движение тел относительно инерциальных систем отсчёта (точнее, систем, максимально приближённых к ним по свойствам).

Опыт показывает: чем слабее воздействие, тем меньше изменяется со­стояние тела. Обобщением этого факта является утверждение:

всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямоли­нейного движения пока и поскольку оно не понуэюдается приложенными силами изменить это состояние.

Данное утверждение называется первым законом Ньютона.

2.3. Второй закон Ньютона

2.3.1. Импульс материальной точки. Импульсом тела (материаль­ной точки) называется величина

р = т \ . (2.3.1)

Коэффициент пропорциональности между импульсом р и скоростью v называется массой. Как показывает опыт классической механики, масса тела — это величина, не зависящая от его скорости: т = const.

С учётом определения (2.3.1) первый закон Ньютона можно сформу­лировать следующим образом:

в отсутствие внешних воздействий импульс тела сохраняется:р = const.

2.3.2. Сила. Силой называется всякая причина изменения импульса:

Иначе: сила есть мера интенсивности взаимодействия тел, прояв­ляющаяся в изменении их импульсов.

Изучая движение тел, можно в соответствии с определением (2.3.2) найти величину силы в разных условиях, установить её зависимость от состояния (положения и скоростей) взаимодействующих тел.

25

2.3.3. Второй закон Ньютона. Как показывает опыт, изменение ско­рости, вызываемое заданной силой, тем меньше, чем больше масса тела:

£ = - . (2-3.3)dt т

Поэтому массу называют мерой инерции тела.Равенство (2.3.3) представляет собой содержание второго закона

Ньютона:ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально прило­

женной силе, обратно пропорционально массе тела и направлено по той прямой, по которой эта сила действует.

Приведём ещё одну формулировку второго закона Ныотопа. Перепи­шем равенство (2.3.2) в следующей форме:

dp = ¥dt. (2.3.4)

Произведение Fdt называется импульсом силы за время dt. Соответствен­но равенство (2.3.4) означает, что изменение импульса тела равно импуль­су силы за то лее время.

Зная свойства силы F, мы можем найти закон движения ц*лл, i.e. его траекторию, решив дифференциальное уравнение

F

dt2 »i•'3.5)

представляющее собой уравнение движения.Если имеется система п тел (материальных ючеМ, и» лли 1ит»,мения

изменения состояния этой системы необходимо умчи, ж г «тромпие (внешние) силы F)(e), / = 1, 2,..., я, приложенные к шмелиным и-лам, а

также силы взаимодействия между самими телами F , . L А I, \ . ч

т.d 2r.I F

= V!vi I I " :A=lI .V 3.6)

(индекс «е» в обозначении силы означаем eMenial, нпешнии)Равенства (2..3.6) представляю! eoOoll пи и му н *н»|**|м j•* mihi.i n.ni.ix

уравнений второго порядка по времени, Меличина Г , н I * им •. и. iила, действующая на «-е тело со стороны А т |елл

26

2.4. Закон сохранения импульса

Фундаментальным законом природы является закон сохранения им­пульса замкнутой системы материальных тел (т.е. в отсутствие внешних сил):

р = р, + р 2 + ... = m, v, +m 2v 2 + ... = const, (2.4.1)выполняющийся в произвольной инерциальной системе отсчёта.

Данный закон есть результат обобщения опытных данных.Равенство (2.4.1) выполняется для замкнутой системы во всех случа­

ях, в том числе, и тогда, когда тела, образующие систему, взаимодейству­ют друг с другом. Поэтому отсюда следует, что одни только внутренние силы не меняют суммарный импульс всей замкнутой системы.

2.5. Т рети й закон Н ью тона

В отсутствие внешних сил для системы, состоящей из двух взаимо­действующих тел, из формулы (2.4.1) следует, что

р, + р2 = const. (2.5.1)Это равенство должно выполняться в произвольный момент времени. По­этому, продифференцировав его по времени, получим

р , + р 2 =0. (2.5.2)

В силу второго закона Ньютона р, = Fl2 — сила, с которой второе тело

действует на первое, р2 = F2I — сила, с которой первое тело действует на второе. С учётом этого из (2.5.2) находим

F21= - F l2. (2.5.3)Согласно опыту силы взаимодействия двух материальных точек

направлены вдоль одной прямой, проходящей через эти тела. Отсюда сле­дует третий закон Ньютона:

силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противополоэ/сно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Ньютон в книге «Математические начала натуральной философии» формулировал данное утверждение следующим образом:

действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга равны между собой и направлены в противоположные стороны.

Подчеркнём, что силы действия и противодействия приложены к раз­ным, но взаимодействующим между собой телам.

27

2.6. Центр масс

Запишем уравнения движения для системы п тел с парными взаимо­действиями, задаваемыми силами Fik, /,£ = 1,2,... , при наличии равно­

действующих внешних сил F)(t° , i = 1 , 2 , п , действующих на /-ю точку:

(2 -6 л >

Сложим почленно все уравнения. В результате в левой части полученного равенства будет стоять производная по времени dp/dt от полного им­пульса:

р = £ р , (2.6.2)/=1

В правую же часть будет входить суммарная внешняя сила, приложенная к системе (к телам, образующим систему),

F "’ = (2 .6 .3)/=1

пКроме того, войдёт двойная сумма ^ Fik . В силу третьего закона Ыыото-

/\А = Iна имеем Fik = -F^.. Отсюда следует, что

1 4 , - 0 ./,* = I

В качестве примера запишем последнее равенство для системы трёх к\и:F,2 + F21 + F13 + F3I + F23 + F32 = 0 ,

где оно становится очевидным.Таким образом, получаем

— = F(,,). (.‘.(>.4)dt

Отсюда, в частности, следует, что если внешних сил пет: F f > = 0 , / = 1 ,2 ,...,» , то dp/dt = 0, т.е. импульс системы не меняет» и (за­кон сохранения импульса). Мы получили утверждение, приведённое в разделе 2.4 как следствие опытных данных.

Импульс системы сохраняется и в том случае, если внешние »ииыприсутствуют, но их сумма равна нулю: F(£?) = 0 .

Обозначим1

Точка, положение которой даётся этой формулой, называется центром масс, а величина М — полной массой системы материальных точек (тел).

Поскольку аи. = const, то, дифференцируя (2.6.5) по времени, получим

М mivi = р. (2.5.6)at |-|

Вектор Vt. = dRc/dt представляет собой скорость центра масс. Следова­тельно, равенству (2.5.6) можно придать вид

p = MVc. (2.6.7)Это означает, что импульс системы равен произведению полной массы системы на скорость её центра масс.

Подстановка (2.6.7) в (2.6.4) приводит к уравнениюdV

М — - = F(t'\ (2.6.8)dt

Мы пришли к утверждению, называемому теоремой о двиэ/сении центра масс:

центр масс системы материальных точек движется как матери­альная точка с массой, равной полной массе системы, на которую дей­ствует сила, равная сумме внешних сил, приложенных к материальным точкам, образующим систему.

пВ частности, если F(t>) = = 0 , то скорость центра масс не меня-

/=Iется: V. = const.

Найдём импульс системы материальных точек относительно их цен-N

тра масс p(t) = (гДе tfc) — соответствующие скорости точек)./=i

Пусть гп / = 1,2,... — радиус-векторы точек относительно исходной си­стемы отсчёта S (которую будем называть лабораторной, или л- системой). Тогда их радиус-векторы относительно центра масс будут да­ваться формулой

i f = Г--Не­соответственно импульсы точек относительно центра масс окажутся равными

Щ*}е) = щ г,-т ,Re, R =V..Искомый импульс составит

р(с)=/ = |

29

Поскольку скорость центра масс такова, что р = MVC, то р(с) = 0.Система отсчёта, связанная с центром масс, называется системой

центра масс (СЦМ), или ц-системой.

2.7. Относительное движение пары материальных точек

Рассмотрим изолированную систему, состоящую из двух взаимодей­ствующих материальных точек (рис. 2.7.1). Запишем уравнения движения частиц:

т\ F d ^т 2 — гdr F2I, (2.7.1)

или<А = F,, d Т2 _ F,,

dt2 т\ dt1 miВычитая почленно эти уравнения, получаем

= — f,2 — — f2i = Г-2—1- Fl2 (.’.7.2)

т\

dt~ /д | mi \m\ mi J(учтено, что согласно третьему закону Нью юна F21 = - F l2). Обозначим

/771/7721 1 1— + — = - , // = - /771 /772 № m\+mi

I .*.7.3)

Величина //называется приведённой массоиИмея в виду, что вектор г, - r 2 = r ecu. ра­

диус-вектор точки 1 относительно точки 2, imuy- Рис. 2.7.1. Система, состоя- чаемщая из двух материальных точек

dt= fI2. С .7.4)

Установленное равенство называют теореМой об относите и>пом двиэ/сении материальных точек. Согласно (2.7.4) описание движения си­стемы двух взаимодействующих точек сводится к задаче о движении од­ной точки с массой, равной приведённой массе, на которую действ} »ч та­кая же сила, что и на одну точку.

Зная положение центра масс (Rc) рассматриваемой пары точек:

R = "?1Г1 + "*2Г2 с тх+т2

и радиус-вектор г = г , - г 2 точки 1 относительно точки 2, можно m.ihiii радиус-векторы точек 1 и 2 по формулам

30

г. (2.7.5)г. = + -т1

r2 = R„ - -1П\

Л77, + т2 тх -f т2При известной зависимости г(/) соотношения (2.7.5) полностью ре­

шают задачу о движении пары взаимодействующих материальных точек. Как видно из (2.7.5), траектории точек относительно центра масс подоб­ны, причём в любой момент точки находятся на прямой, проходящей че­рез центр масс по разные стороны от него.

2.8. Аддитивность массы.

Покажем, что масса, входящая в определение импульса: р = ты, яв­ляется аддитивной величиной. Это значит, что масса М составной систе­мы, образованной из нескольких частиц с массами mh равна сумме масс частиц:

М = '£ т 1. (2.8.1)/

Данное утверждение есть следствие закона сохранения импульса и принципа относительности. Действительно, рассмотрим процесс слипания частиц:

q| + а2 ■+■... —► А. (2.8.2)Предполагая, что система изолированная, запишем закон сохранения им­пульса в некоторой системе отсчёта S:

1 р , = р . или 2 > , v , = Mv. (2.8.3)/ i

Здесь М и v — масса и скорость составной частицы А.Перейдём в систему отсчёта S\ движущуюся с некоторой скоростью V

относительно S. Вследствие принципа относительности закон сохранения импульса в 5 'для того же процесса (2.8.2) имеет тот же вид:

Z p / = р’> или /

С другой стороны, в системе S’ имеем

Z wiv/ = A/v'. /

(2.8.4)

vj = V; - V, v' = v - V . (2.8.5)Подставляя эти равенства в (2.8.4), получаем

£m,.(v,.-V) = M (v-V) => X X V/ - = M v - M V .i i i

Используя соотношение (2.8.3), приходим ввиду произвольности V к утверждению (2.8.1).

31

Глава 3. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ

В классической механике при изучении движения тел с переменной массой предполагается, что масса меняется за счёт отбрасывания частей

тела или присоединения других частиц.МИ 2^.

3.1. Формула Циолковского

Рис. 3.1.1. Ракета массы М, отбрасывающая сгоревшее топливо и получающая ускоре­ние в противоположном направлении. V — скорость ракеты (в лабораторной системе отсчёта), и — скорость топлива относительно ракеты

Рассмотрим ракету, отбрасывающую струю газов (сгоревшее топливо) и за счёт этого получающую ускорение (рис. 3.1.1). Будем считать, что внешних сил нет.

Предположим, что скорость ракеты равна v, а скорость газов vr. Пусть за малое время отбрасывается порция газов массы dmr, масса

ракеты при этом меняется на dM, а изменение её скорости равно d\. Тогда приращение импульса системы «ракета + газы» составит

dp = {M + dM){v + dv) + dmr\ r -M s. (3.1.1)Ограничиваясь бесконечно малыми низшего порядка, получим из (3.1.1)

dp = Mdv + \dM + \ rdmr. (3.1.2)Учтём, что-величины dM и dmv связаны соотношением

dM - -dmv.Введём также скорость газов относительно ракеты:

В результате соотношение (3.1.2) принимает видdp = Md\ - udM. * (3.1.3)

Поскольку импульс изолированной системы сохраняется, то d p - О,откуда следует уравнение

%jrd\ dMМ — = и ----- . (3.1.4)Л Л

Пусть относительная скорость истечения газов постоянна: u = const. При отбрасывании газов ракета ускоряется в противоположном направле­нии. Действительно, масса ракеты уменьшается {dM < 0 ), так что векто-

32

ры и и v оказываются противонаправленными: u1\L v. Переходя к проек­циям в уравнении (3.1.4), получаем

,гж dv dMMdv = -udM => — = ------- ,и M

откуда после интегрирования следует v = —w In М + С. Константа интегри­рования С может быть найдена из начального условия: полагая, что при нулевой начальной скорости ракеты v = 0 масса ракеты равна начальной массе М = М0, находим C = wlnM0. Окончательно получаем:

v = u In MoМ

(3.1.4)

Это равенство называется формулой Циолковского. Оно было получено К.Э. Циолковским и опубликовано в рукописи «Ракета» 10 мая 1897 года.

3.2. Уравнение Мещерского. Реактивная силаРассмотрим более общий случай, когда ракета движется при наличии

внешних сил F (рис. 3.2.1).В соответствии со вторым законом

Ньютона (2.3.4) приращение импульса си­стемы dp равно импульсу внешней силыт у

т

мEEC

“2 ^F

>

Изменение импульса системы «ракета + газы» записывается так же, как и в(3.1.3):

ф = Mctv-udM.

Рис. 3.2.1. Ракета, отбрасывающая сгоревшее топливо. На ракету дей­ствует внешняя сила F; и — ско­рость топлива относительно ракеты

Приравнивая dp и Fdt и деля полученное равенство почленно на Л, при­ходим к равенству

dv dMМ — = и -----+ F. (3.2.1)Л Л

Полученное соотношение называется уравнением Мещерского.Уравнение движения материальной точки переменной массы для слу­

чая присоединения или отделения частиц было получено И.В. Мещерским в магистерской диссертации в 1897 году. Известность оно получило после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в 1904 году.

При выводе уравнения (3.2.1) мы считали, что топливо отделяется от ракеты. Этому отвечает случай, когда величина dM/dt отрицательна —

33

масса ракеты уменьшается. Если же окажется, что dM jdt> 0 , то это уравнение будет описывать ситуацию, когда к ракете присоединяются внешние частицы, в результате чего её масса возрастает.

В правую часть уравнения (3.2.1) входит величина

U — = Ffl. (3.2.2)dt

Она называется реактивной стой (реактивной тягой) и имеет смысл си­лы, действующей на ракету со стороны отбрасываемого топлива. Действи­тельно, согласно (3.2.1), чтобы ракета находилась в покое (или в состоя­нии равномерного прямолинейного движения: v = const), нужнокомпенсировать внешнюю силу F, создавая реактивную тягу = -F .

3.3. Примеры

3 .3 .1 . И з м е н е н и е н а п р а в л е н и я д в и ж е н и я р а к е т ыДля изменения направления движения ракеты можно использовать

поворотный (маневровый) двигатель, который отбрасывает струю газа перпендикулярно (в системе отсчёта ракеты) к вектору скорости ракеты v (рис. 3.3.1). Найдём угол, на который повернётся вектор скорости ракеты при изменении её массы от М0 до Мк, считая постоянной скорость истече­ния газов относительно ракеты и.

Рис. 3.3.1. К задаче об изменении направления полёта ракеты

Если внешние силы на ракету не действуют, то можно воспользо­ваться уравнением

. . dx dMМ — = и ----- . (3.3.1)dt dt

Покажем, что скорость ракеты не меняется по величине. Действительно, поскольку u _L v, то, умножая почленно (3.3.1) на v, получим

34

dv r f f l 2 I лr— = 0 => — = 0dt d t \2 J

v = const,

что и доказывает утверждение. Поскольку и ± \ , то согласно (3.3.1) d \ 1 v, и мы можем ввести угол поворота а вектора скорости равенством

|c/v| = vda

Как результат, из (3.3.1) получаем

= V'daH i '

хл da dMM V — = - и ---- .

dt dt(3.3.2)

Знак «-» в этой формуле отражает тот факт, что возрастание угла проис­ходит в направлении противоположном скорости истечения газов. Пере­писывая последнее равенство в виде

. и dMd a - ---------- ,v М

и учитывая, что v - const, находим угол поворота вектора скорости раке­ты:

а - w Лг dM _ w jn f Мс v A{ М v П[ к

(3.3.3)

Заметим, что результирующий угол не зависит от темпа расхода топ­лива, т.е. от того, с какой скоростью меняется масса ракеты.

3 .3 .2 . В р е м я р а з в о р о т а р а к е т ыПусть ракета первоначально движется равномерно и прямолинейно со

скоростью v(). Для разворота её на 90° включается манёвровый двигатель, выбрасывающий струю газов в направлении, перпендикулярном скорости ракеты (относительно самой ракеты). Скорость истечения газов равна и. Масса ракеты на момент начала разворота равна Л/0. Считая расход топли­ва постоянным: ju = -dM /d t = const, найдём полное время разворота исмещение ракеты за это время.

Как и в предыдущем случае, задача сводится к исследованию уравне­ния (3.3.2):

da dM 0M v— = - и ----- . (3.3.4)dt dt

Угол поворота траектории связан с текущим значением массы ракеты со­отношением (3.3.3)

-■ иа = — v \ М

(3.3.5)

35

При постоянном расходе топлива М = М0 - jut. Поэтому in последней формулы находим

a(t) = — In v

1 - MLМ,

(3.3.6)о у

илиК 1 ( a v )

= — 1 -е х р ----- .M l ч м ) J

а угол

7ZV \

~~2u

Соответственно время поворота ракеты на угол а = я / 2 составит

. Мл 1-ехр

Найдём теперь смещение ракеты за время манёвра. Вектор скорости ракеты имеет две составляющие: вдоль (рд.) и поперёк (i; ) исходной

траектории (рис. 3.3.2):vx = i;cos[a(/)], vy = vsin [a(/)].

Здесь a(t) даётся формулой (3.3.6).Отсюда находим смещение в поперечном

направлении:(а«=;г/2) (tf«/r/2)

Н = J z>sin adt = v J sin or . (3.3.7)Рис. 3.3.2. К расчёту траекто- (</=0) <"м0)рии ракеты Производную da/dt следует выразить через ас помощью (3.3.4):

* da _ и 1 dM _ и ц dt v М dt v М

Поскольку согласно (3.3.5)

М = М0 ехр

тоda и и ( a v )— = — — expl — dt v MQ \ и

Подстановка этого выражения в (3.3.7) даёт

гг М) • ( ягсЛ * M0v2 u -v e x p (- iН = ------- - sin a ex p l------ \da = — ---------------р —и jli { \ и ) М v +и

(3.3.8)

-K v/llt)2 ‘

Аналогично находится смещение в первоначальном направлении:

36

(а= л/2) (а= л/ 2) (а= /г / 2)

L = [ v d t = f i;cos a d t - v Г c o s a -------- .J J J da dt(or=0) (er=0) (a= 0 ) u l c / u i

С учётом (3.3.8) отсюда следуетr v2 A/0 ( ауЛ . M0v2 у + иъхЫ -яу/2и)L = ------- - cos a exp I ------ \d a - — --------------- - ■ — -.

и jli JQ К и J ju v +uВ предельном случае и с и из полученных формул следует

!{ М0и L К VИ и

В приведённых выше вычислениях мы использовали интегралы

*? -,ш , Р + '? -ра • , \ - р е ^ -е ' cosa d a = —------=— , е ' sm a d a = — - — i— .

3 ,3 .3 , Р а з в о р о т п о о к р у ж н о с т иПоставим вопрос: как должна меняться масса ракеты при работе ма-

нёврового двигателя, чтобы траектория ракеты представляла собой дугу окружности радиуса Л? Как и в предыдущих примерах, считаем, что струя газов отбрасывается в направлении, перпендикулярном текущей скорости ракеты, причём скорость истечения газов постоянна: и = const.

Как было показано выше, скорость ракеты не меняется по величине. Однако при неизменном расходе топлива: ju = -dM /d t = const угловая скорость растёт вследствие уменьшения массы ракеты. Поэтому для того, чтобы траектория ракеты представляла собой дугу окружности, нужно так менять расход топлива, чтобы вращение происходило с постоянной угло­вой скоростью:

{ ух = ycosry/,1 Гл: = tfsin^y/, 1vY =i;sin<y/,J \ y = R (\-cosco tyj

Начальная точка траектории выбрана так, что х = 0, у = 0 при / = 0. Радиус окружности, по которой движется ракета, даётся формулой

R = у/со.Из решения предыдущей задачи находим

М = М0 ехрау

= М0 ехрсою \

------ 1 , / / = -. и )

dMdt

СОУ М .

Радиус окружности, по которой движется ракета, находится следую­щим образом. Согласно (3.3.2)

da и 1 dM- СО = — = ---------------= const,

dt у М dtоткуда следует

37

1 dM cov--------- = ------- z=> M = Mn expM dt и 0

<_ a w ^ и

Здесь целесообразно вместо угловой скорости ввести радиус траектории: co -v jR . Соответственно получаем

М = М0 ехрuR ;

Таким образом, расход топлива должен экспоненциально убывать со временем.

3.3.4. Горизонтальный полётРассмотрим горизонтальный полёт ракеты в поле тяжести Земли.

Воспользуемся уравнением Мещерского:, , d \ dM ^ /Л Л ЛЧМ — = и-----+ F. (3.3.9)

dt dtПрежде всего, отметим, что если ракета движется равномерно: v = const, то струя газов должна быть направлена строго вниз:

FU " dM /dt'

Рис. 3.3.3. Горизонтальный При этом, поскольку сила F, действующая на полёт ракеты ракету, равна ¥ = Mg, то при неизменной скоро­сти истечения газов следует обеспечить такой расход топлива, что

— —— - - к - const => М = M0e~kt.М dt 0

В найденных условиях u = g/k.Пусть теперь ракета двигается горизонтально с некоторым ускорени­

ем а. Спроецируем уравнение (3.3.9), где F = Mg, на вертикальное и гори­зонтальное направления (рис. 3.3.3): *

и sin adM = - Mgdt, Madt + и cos adM = 0.Отсюда находим, что струю газа необходимо отбрасывать под таким уг­лом а к горизонту, что

tga = — => а = arctgf — ].

38

Глава 4. ЭНЕРГИЯ

4.1. Кинетическая энергия

4 ./ ./ . Работа и мощность силы. Работой силы F на перемещении ds называется произведение проекции силы на направление перемещения и величины перемещения (рис. 4.1.1):

dA = Fsds = Fdscosa = F ds. (4.1.1)Мощность силы равна работе силы за единицу

времени:

Р = ^ = F ^ = Fv. dt dt

На конечном участке траектории 1 ■ даётся интегралом

( 2) ( 2)

Ап_ = jd A = j Fa's. О) (п

(4.1.2)

•2 работа

(4.1.3)

Рис. 4.1.1. К определе­нию работы силы F на перемещении ds

Если движение по траектории осуществляется в обратном направле­нии: 2 —>1, то работа меняет знак: Л21 =-Л 12, поскольку меняет знак смещение ds.

4.1.2. Кинетическая энергия. Поскольку по второму закону Ньютона F = dp/dt, то из (4.1.1) для случая бесконечно м&пого смещения следует:

dA = m — ds = m — vdt = m\d\. dt dt

Рассматривая конечное перемещение от точки 1 до точки 2, находим соответствующую работу:

An = \d A = ^ - ^ . (4.1.4)( I) 1 1

Величина

К = ^ (4.1.5)

называется кинетической энергией. Соответственно работа силы на участ­ке траектории 1 -» 2 равна приращению кинетической энергии:

4 2 =К2- К Г (4.1.6)

39

4.2. Потенциальная энергия

4.2.1. Классификация сил. Все силы можно отнести к одной из трёх групп:

1. консервативные,2. диссипативные,3. гироскопические.

2 Для- консервативных сил работа не зависит отпути, соединяющего начальную и конечную точки (рис. 4.2,1):

(4.2.DРис. 4.2.1. Две различные Работа зависит только от начальной и конечной траектории, соединяющие точек.точки 1 и 2 Если начальная и конечная точки траекториисовпадают, то траектория замкнутая (представляет собой цикл), и работа равна нулю:

А„ = 0 => <£f</s = 0, (4.2.2)

причём форма траектории не существенна.Гироскопические силы всегда направлены перпендикулярно скорости

тела (F _L v), вследствие чего их работа на любой траектории равна нулю: ( 2) ( 2)

Л12 = J Fdr = j F\d t = 0. Примером является сила Лоренца, определяю- 0 ) 0 )

щая действие магнитного поля В на движущийся электрический заряд ср

Fj, = —v x B .С

Диссипативные силы — это такие силы, работа которых зависит не только от начальной и конечной точек, но и от траектории, соединяющей эти точки. Примером является сила трения, которая направлена против скорости: F ТФ v. Поэтому её работа dA = F\dt < 0.

4.2.2. Примеры консервативных сил1. Сила в однородном гравитационном поле. Сила, действующая на

материальную точку в поле тяжести (гравитационном поле), даётся фор­мулой

F = mg, (4.2.3)где g — ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения).

Поле называется однородным в некоторой области пространства, если во всех точках этой области вектор g = const, т.е. сохраняет неизменнымивеличину и направление.

40

Пусть постоянная сила тяжести направлена параллельно оси z, причём g. = - g , g = const. Найдём работу этой силы на траектории, соединяю­

щей точки (jfp^pZ,) и (x2,y 2,z 2). ПосколькуFds = mgds = mg:dz = —mgdz,

то(2) г,

/4,2 = J Fds = J (-m g)dz = mg(z, - z2). (4.2.4)(i)

Отсюда видно, что работа не зависит от формы траектории 1 —> 2 , а опре­деляется только положением начальной (1) и конечной (2) точек.

2. Центральная сила. Сила называется центральной, если она направ­лена по прямой, соединяющей материальную точку с некоторым центром О, и зависит только от расстояния до этого центра (рис. 4.2.2):

F = F (r )~ . (4.2.5)г

Найдём работу этой силы. Поскольку смещение ds = dr, то

Fds = F (r)— .Г

Учтём далее, что

г2 = г2 => гdr = г dr.Поэтому Fds = F(r)dr.

(2) r2

/4,2 = J Yds = J F(r)dr = Ф(r2) - Ф(^). (4.2.6)( I ) n

Таким образом, работа этой силы зависит только от расстояния начальной и конечной то­

чек до центра, но не зависит от траектории, соединяющей эти точки.

Рис. 4.2.2. Центральная сила F, дсйстиующая на материальную точку Р со стороны центра О (на ри­сунке показана сила оттал- кипания)

4 .2 .3 . П о т е н ц и а л ь н а я эн е р ги я . Выберем начало отсчёта О. Работа консервативных сил, совершаемая при переходе из рассматриваемого положения точки (1) в начало отсчёта (О), называется потенциальной энергией:

С/,=/4|0- (4-2.7)

Величина U{г) является функцией только положения точки (задавае­мого радиус-вектором г) и не зависит от траектории, соединяющей точку (1) с началом отсчёта О.

41

Выразим работу консервативной силы на траектории 1 —> 2 через зна­чения потенциальной энергии в начальной (U\) и конечной (U2) точках. Рассмотрим замкнутую траекторию (рис. 4.2.3)

1 —> 2 —> 0 —>1, (4.2.8)включающую в качестве одного из участков рассматриваемую траекторию 1 —» 2, а также начало отсчёта О. Поскольку работа в цикле равна нулю ( 4 , = 0), то имеем равенство

О

Рис. 4.2.3. К выводу связи работы А \2 с потенциаль­ной энергией U\ и Ui

Рис. 4.2.4. К выводу зависимо­сти потенциальной энергии от выбора начала отсчёта

Л \2 + А О + А)\ = 0 *Поскольку 4)1 = 4 о» то с учётом определения потенциальной энергии (4.2.7) находим

4 2 = U ,-U 2. (4.2.9)Таким образом, работа консервативной

силы равна убыли потенциальной энергии.Выбор начала отсчёта О является произ­

вольным и определяется только удобством конкретных вычислений. Покажем, что при смене начала отсчёта потенциальная энергия во всех точках изменяется на одну и ту же ве­личину, зависящую только от относительного расположения точек О и 0 \ Действительно, для двух вариантов выбора начала отсчёта имеем (рис. 4.2.4)

= Ао> U\ ~ А(УРассмотрим траекторию 1 Два участка: 0 0 ' и О'О обра­зуют замкнутый контур, работа по которому равна нулю: А()(У + А(У() = 0. Поэтому

U\ = Ао = Ао +( Аху + Ауо ) = {Ао + Ах у ) + Ауо = U\+ А пуПоскольку работа А(У() не зависит от точки наблюдения 1, то мы прихо­дим к сделанному утверждению.

Как следует из доказанного,

g

Ш 77777777777777?

Рис. 4.2.5. Однород­ное гравитационное поле: g = const

Л,-.2 = » “ ^2 + At ■А„

= (с/,.*, + А( у ) - (£/,_„ 4- А)-><у ) = U [-U yТаким образом, выбор начала отсчёта потенци­

альной энергии О не влияет на результат вычисления работы по формуле (4.2.9).

4.2.5, Некоторые выражении дли потенциаль­ной энергии. Найдём явные выражении дни потенци­альной энергии для некоторых типом сип.

42

1. Однородное поле тяжести (рис. 4.2.5). Сила, действующая на ма­териальную точку в однородном поле тяжести, даётся формулой (4.2.3): F = mg, g = const. Выбирая в качестве начала отсчёта z = 0 уровень по­верхности Земли, получаем

о оU(z) = | mgdr = J (-mg)dz = mgz. (4.2.10)

z z

2. Центральное поле сил тяготения. Сила притяжения материальной точки массы т к материальной точке массы М даётся формулой

^ GmM гF = ------ г— n, п = —. (4.2.11)

г гЗдесь г — радиус-вектор, направленный от притягивающего центра (М) к телу (т).

Выбирая в качестве начала отсчёта бесконечно удалённую точку (г = оо), вычисляем потенциальную энергию:

ч Гг-/ ? GmM rdr гGmM GmMU(r) = \Fdr = - Г— ---------= -J — — dr = ----------- . (4.2.12)J * f W у* иГ /' r

При вычислении интеграла учтено тождество rdr = rdr.3. Сила упругости. Рассмотрим деформацию пружины. В соответ­

ствии с законом Гука при растяжении пружины возникает сила, стремяща­яся вернуть пружине исходную длину:

F = —*■(/—/0), (4.2.13)где /о — длина пружины в недеформированном состоянии, к — коэффи­циент жёсткости пружины. Обозначая деформацию, как / —/0 = лг, и выби­

рая в качестве начала отсчёта состояние с х = 0, находим потенциальную энергию деформации:

0 0 2

U(x) = $Fdx = f {-Kx)dx = . (4.2.14)X X 2

4 .2 .4 . С в я з ь с и л ы с п о т е н ц и а л ь н о й э н е р ги е й . Если известно значение потенциальной энергии U(г) в точках некоторой области пространства,то можно найти силу F, действующую в этой области. Действительно, за­пишем выражение для изменения потенциальной энергии при малом сме­щении:

dlA = ¥dr - U(x, у , z )-U (x + dx,y + dy9z + dz) = -dU.В прямоугольных координатах данное равенство имеет вид

Fxdx + Fydy + Fzdz = -dlJ. (4.2.10)

43

Пусть смещение происходит только в направлении оси х. Тогда, полагая в (4.2.10) dy = dz = 0, получим

Fxdx = U(x, у, z ) -U (x + dx, у , z).

Отсюда следует

Fx = - f - . (4.2.11)дх

Аналогично, рассматривая смещение вдоль осей у и z, получим выражения для двух других проекций силы:

F Fу ду ’ 1 dz

(4.2.12)

Равенства (4.2.11), (4.2.12) вместе записываются с использованием оператора «grad» (градиент):

F = - grad U = -\

.dU ,.dU , dU дх ду dz ,

(4.2.13)

Пример 1. В качестве примера применения формулы (4.2.13) рассмот­рим однородное поле тяжести, в котором потенциальная энергия даётся формулой U = mgz, координата z отсчитывается от поверхности Земли вверх, а вектор ускорения силы тяжести g = - gk направлен вниз (рис. 4.2.5). По формуле (4.2.13) находим

F = -(i*0 + j-0 + k-wg) = m g.

Мы пришли к известной формуле для силы тяжести.Пример 2. Пусть потенциальная энергия тела равна U = kr7/ 2, где

г — расстояние от некоторого центра до тела. Найдём силу, действующую на тело. По формуле (4.2.13) находим:

ру = -

Fz ~ “

dU_дхdUду

dUdz

1 ,д ( г 2) 2 к дх

2 ду

U d- ^ 12 dz

- ~ к — ( х2 + у 2 + z 2) = - b ,

- — к — (x2+ y2+z2) = -ку, 2 ду' У 1

- - k — (x2 +y 2+z2\ = -kz. 2 d z ' ' >

Таким образом, получаем F = - /т . Здесь г — радиус-вектор тела шноси- тельно центра. Сила оказалась центральной и аналогичной силе упцутсти пружины (4.2.13).

44

4.3. Закон сохранения энергии

4 .3 .1 . З а к о н с о х р а н е н и я п р и н а л и ч и и т о л ь к о к о н с е р в а т и в н ы х си л .В рассматриваемых условиях работа сил на траектории стороны, равна

1 -> 2 , с одной

Al2=Ul - U 2.

А с другой стороны, ту же работу можно записать как

(4.3.1)

ап = к 2- к г

Приравнивая эти два выражения, получим

(4.3.2)

к ,+ и ,= к г + и2.

Величина

(4.3.3)

Е = К +U (4.3.4)называется полной энергией (или, кратко, энергией) тела (системы).

Как следует из (4.3.3), при наличии только консервативных сил вы­полняется закон сохранения энергии:

£ , = £ 2, £, = ЛГ, + 1/,, E2 =K2+U2. (4.3.5)

При наличии только консервативных сил полная энергия тела (систе­мы) сохраняется.

4 .3 .2 . З а к о н с о х р а н е н и я п р и н а л и ч и и д и с с и п а т и в н ы х си л . Пусть в системе действуют, наряду с консервативными, также и диссипативные силы. Работа всех сил на траектории 1 -> 2 равна сумме работ, произво­димых каждой из сил:

Л12 = ^ Г серв)+ 4 дисс)- (4.3.6)

Работу консервативных сил можно представить в виде(коиссрв) = £/, _ £ /2. (4 .3 .7 )

Поскольку соотношение Л]2 =К2- К 1 не зависит от типа сил, то получаем

An =Ut - U 1+ А\™с) = К г - К г

Вводя полную энергию согласно определению (4.3.4), находим

Е2- Е { =Л,(2дисс). (4.3.8)

Это значит, что изменение полной энергии равно работе диссипатив­ных сил. В частности, для сил трения At(2HCC) < 0. Поэтому полная энергия убывает: Е2 <ЕГ

45

4.4. Теорема Кёнига

Рассмотрим систему N материальных точек mi9 i = h 2 , N. Пусть в

системе отсчёта S их радиус-векторы есть г., а скорости v. = г;. Запишем кинетическую энергию этой системы:

N ГП:\ 2:/=| ^

(4.4.1)

Пусть система 5 ' движется со скоростью V относительно системы S (рис. 4 .4 .1 ). Тогда положения и скорости точки Л/ относительно этих си­стем связаны соотнош ениями

I} = r / + R , V . = vJ + V ,

где V = afR/df. Подставляя скорости v, в (4 .4 .1 ), получим

_ + щ (у ,+ у ) ‘Е = УКИМ / J/=| ^

= £ ' + У Р ' + — .

N

V + - 1 ч v’ =V/=I

Здесь использованы обозначения

N N уу. у '2P' = Z™/V; и Е'кт= ^ - Г -

соответственно для импульса и кинетической энергии всей совокупности

материальных точек относительно системы отсчёта S* •

Рис. 4.4.1. Положение точки А, относительно двух <?истем отсчёта: S и S '

46

Пусть S' — система центра масс (СЦМ). В этой системе Р' = 0 и

Е =Е' +кин кинMV2

Данное соотношение называется теоремой Кёнига:кинетическая энергия относительно произвольной системы отсчёта

равна сумме кинетической энергии относительно СЦМ и кинетической энергии системы как целого. Последняя характеризуется тем, что она рас­сматривается как материальная точка с массой и скоростью, равными со­ответственно полной массе исходной механической системы и скорости её центра масс.

47

Глава 5 . СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ

5.1. Упругие и неупругие столкновения

5.7.7. К а н а л ы р е а к ц и иРассмотрим взаимодействие частиц. Ограничимся случаем, когда

сталкиваются две частицы — так называемыми бинарными столкновения­ми (рис. 5.1.1).

В результате взаимодействия частиц мргут образовываться различные продукты реакции. Говорят, что реакция может идти по различным кана­лам. Например, при столкновении двух частиц а и А возможны следую­щие исходы:

а + А -+ b + 5, /И|(Ь V|0 W|, V|а + А —> b + В ,

а + А —> С,

а + А-> 6,+62+...+Я| +Я2+...Если в результате столкновения об­

разуются те же частицы, что имелись до столкновения, причём внутреннее состо­яние (в частности, внутренняя энергия) частиц не меняется, то столкновение называется абсолютно упругим:

а + а + А. % (5.1.1)Если же меняется внутреннее состояние частиц, образуются новые ча­

стицы (которых не было до столкновения) или исчезают исходные части­цы, то столкновение называется неупругим.

В частности, если имеет место слипание частиц:а + А —> С, (5.1.2)

то процесс называется абсолютно неупругим.5 .1 .2 . З а к о н ы с о х р а н е н и я п р и с т о л к н о в е н и я хВо всех типах столкновений выполняется закон сохранения импульса:

Е р , = Е р ;

48

При абсолютно упругом ударе сохраняется также кинетическая энергия:

Z * / = 2 ХНаряду с энергией и импульсом могут сохраняться ещё некоторые ве­

личины: заряд, момент импульса и некоторые другие.

5.2. Абсолютно упругие столкновения двух частицРассмотрим абсолютно упругое столкновение двух частиц (рис. 1.5.1).

Запишем законы сохранения кинетической энергии и импульса:тх v, +т2\ 2 = w,v [ +m2v2, (5.2.1)

| m2v22 . miVf , /5 2 2ч2 2 2 2 1 ' ' ’

Здесь величины v h v2 — скорости частиц до столкновения, a v(, —скорости тех же частиц после столкновения.

В 3-мерном случае соотношения (5.2.1), (5.2.2) представляют собой систему четырёх уравнений для шести компонент скоростей

{ R , (vL> vL> vL )}.так что задача определения конечных скоростей не решается однозначно. Аналогично, если столкновения происходят в плоскости (например, {*,;>}), то равенства (5.2.1), (5.2.2) представляют собой систему трёх урав­нений для четырёх неизвестных:

и задача также не имеет однозначного решения.Рассмотрим случай центрального («лобового») столкновения, т.е. ко­

гда скорости направлены вдоль одной прямой:т] vx +m2v2 = w, v\ + m2v2, (5.2.3)

m{o] x m2v2 W\V\2 t m2v2(5.2.4)

2 2 2 2 Решение этой системы уравнений имеет вид

i>l = - v l+ 2V,(5.2.5)

v'2= - v2+2Vc,где

у = mxvx +m2v2 = р с тх + т2 М

— скорость центра масс, р = mxvx + m2v2, М - т х +т2.Если частица 1 налетает на покоящуюся частицу-мишень 2, то форму­

лы (5.2.5) принимают более простой вид:

49

V,.v\ = —— — v{, v\ =m]+m2 " w, + m2

Выделяются два важных частных случая.1. Столкновение одинаковых частиц: т{ = т2. При этом

Vc =(г>! + г>2) /2, и из (5.2.5) следует

v j= v 2, v2 =17,.

Иными словами, частицы как бы обмениваются скоростями.2. Столкновение со «стенкой». Имеется в виду столкновение с телом

столь большой массы т 2, что изменением его состояния в результате столкновения можно пренебречь. Формально этот случай следует из об­щих формул (5.2.5) в пределе т2 —> °о:

Vc =v2;v2 = v2, v[ = - v { + 2v2.

В частности, если стенка покоится: v2 = 0, то

*>2=0, v\ =-V\.

5.3. Абсолютно неупругое столкновение двух частиц

Этот случай отвечает реакции а + А —>С и проиллюстрирован на рис. 5.3.1. Аддитивность массы означает, что М = тх + т2.

При абсолютно неупругом столкновении т V)0(слипании) выполняется закон сохранения им- О . пульса: * \ / \ м*

777, V, + т 2\ 2 = / w V , у Х ....

где Оу _ т\у \ +m2v2

М

20, V20

Рис. 5.3.1. Абсолютно не- — скорость центра масс. упругое столкновение двух

Изменение кинетической энергии в данной частиц реакции составляет

' 2(5.3.1)дк = к ,+к2- к =

/ 2 2 \ т(0 \ + m2v 2

/

МУ1 MVL 2 2

50

Здесь ju =тхт2

приведённая масса сталкивающихся частиц,до, + т2

votii = v, - v 2 — их относительная скорость. Результат (5.3.1) прямо сле­дует из теоремы Кёнига, поскольку составная частица движется со скоро­стью центра масс. Потеря энергии АК представляет собой кинетическую энергию относительного движения частиц и обусловлена работой дисси­пативных сил: Л(лисс) = АК.

5.4. Порог реакции

Рассмотрим реакцию а л- А —> Ъх +Ь2 + ..., в которой частица А покоит­ся, а частица а налетает на неё. Запишем закон сохранения энергии:

£<:» + * , = 2 £ 2,+ * 2. . (5.4.1)Здесь

Е% =Ет(а) + Еш( Л > - (5.4.2)внутренняя энергия сталкивающихся частиц, АТ, — кинетическая энергия

налетающей частицы (я),

C = 2 X ( * / ) - (5А.З)

внутренняя энергия продуктов реакции, К2 = ^ К (Ь {) — кинетическаяу

энергия продуктов реакции.Величина

Q = E % -E £ '= K 2- K x (5.4.4)называется энергией реакции.

Если Q > 0 , то реакция называется экзотермической (экзоэнергети- ческой).

Если Q < 0, то реакция называется эндотермической (эндоэнергети- ческой).

Экзотермические реакции идут при любой кинетической энергии налетающей частицы.

Согласно (5.4.4) в случае эндотермической реакции (Q < 0)

K ,= K ,-Q = K2+\Q\. (5.4.5)

Это значит, что реакция может идти, только если начальная кинетическая энергия превышает некоторое значение > 0.

Порогом реакции называется минимальная кинетическая энергия Кх налетающей частицы, необходимая для реализации данного канала.

51

В системе центра инерции при пороговой энергии все образующиеся ча­стицы неподвижны — кинетическая энергия исходных частиц не расходу­ется на кинетическую энергию относительного движения, а целиком за­трачивается на реакцию. Поэтому, как следует из (5.4.5),

к„оР = |е |- (5.4.6)В качестве примера рассмотрим реакцию слипания частиц:

ал- А —>С. Пусть суммарная масса продуктов реакции равна М. Если ча­стица А покоилась, а частица а имела кинетическую энергию К = Ктр, то

закон сохранения импульса имеет видrrrvu = M V = р.

Запишем закон сохранения энергии:Е ^ + К, = Е{2) + К.,.

(5.4.7)

(5.4.8)

Здесь К, = р 2 /2/и и К., = р 1 /2М — соответственно кинетическая энер- гия налетающей частицы (а) и продукта реакции (С). Из (5.4.8) следует

*1 - * 2 = Е™ - Е " = -Q = e> 0. (5.4.9)С учётом закона сохранения импульса (5.4.7) получаем отсюда

2т\ Моткуда находим пороговую энергию:

К = мор 2т

ММ -т

(5.4.10)

(5.4.11)

Очевидно, что Кпор > е.Заметим, что величина, стоящая в левой части равенства (5.4.10), есть

кинетическая энергия относительного движения сталкивающихся частиц:

Р1 L т Л "tvj Г]2т { M J 2 { I ~

М*>*

где /л = — -— -------приведённая масса, та и тА — массы сталкивающихсята+тл

частиц (а и А), a i;OTII = va — их относительная скорость. Таким образом, в энергию реакции е может перейти только кинетическая энергия относи­тельного движения частиц е = / / г ^ /2 .

5.5. Векторные диаграммы для упругого столкновения частиц

Рассмотрим абсолютно упругое столкновение двух частиц:«1» + «2» —> «1» + «2».

52

В этом столкновении выполняются законы сохранения импульса и кине­тической энергии:

Р | + Р 2 = Р 1 + Р 2 >

jL + jL = pL + j£ . ' (5-5Л)2 т , Ъп2 2 т , Ъп2

Здесь величины без штрихов относятся к частицам до столкновения, а ве­личины со штрихом — к частицам после столкновения. Считая, что в ла­бораторной системе до столкновения частица 2 покоилась: р2 = 0, пере­пишем (5.5.1) в виде

Р| " Р| "*■ Рг>

pL = pL + pL ' (5-5-2)2m, 2т, 2 т2

Рассмотрим тот же процесс в системе центра масс. В СЦМ законы со­хранения записываются следующим образом:

P i..+ P 2 t = P u + P2c = 0 , (5 .5 .3 )„2Р\с Pic _ P\c Pic2m, 2 m, 2m, 2 m,

(5.5.4)

Здесь и далее величины, относящиеся к СЦМ, обозначаем индексом «с». Из (5.5.3) следует

Ри = - Р 2С Р[с = -P L = 0 .Соответственно закон сохранения энергии (5.5.4) принимает вид

„2Р\с

12т,

1

2 т 2 у= Дс

12 т ,

1+ —

2 т .2 /

(5.5.5)

Отсюда видно, что в СЦМ импульсы каждой из частиц не меняются по величине (хотя могут менять направление):

Рис. 5.5.1. Импульсы стал­кивающихся частиц в СЦМ до и после столкновения

Р,С =Ри> Pic =Ргс- (5-5.6)Соответственно не меняются и величины ско­ростей частиц:

Чс = Vl ’ V2,-= » * • (5-5.7)Имея в виду сказанное, построим диаграм­

му столкновения в системе центра масс (рис. 5.5.1): концы векторов скоростей сталки­вающихся частиц остаются на одной окружно­сти. Для перехода в лабораторную систему учтём, что в рассматриваемом случае скорость центра масс даётся выражением

53

(5.5.8)Щт] +т2 т, +т.

где Vi — начальная скорость налетающей частицы. Поэтому в СЦМ ско­рость первой частицы до столкновения оказывается равной

Зная скорость v[c. частицы в СЦМ после столкновения, можно найти её скорость в лабораторной системе по формуле v[ = v[t. - V .. Эту форму­лу можно представить графически с помощью диаграммы, показанной на рис. 5.5.2.

Пусть сначала <т2 (рис. 5.5.2 слева). Тогда Vc <vh,. Поэтому, как

видно из рисунка, скорость v[ может после столкновения имен» любое направление.

Рис. 5.5.2. Скорости налетающей частицы 1 в системах центра масс и лабораторной до и после столкновения

Если же w, >т2 (рис. 5.5.2 справа), то Vc > vh.. При этом диапазон разрешённых изменений направления скорое^ оказывается ограничен- иым: в £ в м .

Величину предельного угла можно найти, если заметить, чао этому случаю на диаграмме (рис. 5.5.3) отвечает ситуация, когда вектор \ | каса­ется окружности, так что v[ _L v[t.. Как видно из рис. 5.5.3,

(5.5.9)

sin 6>max (5.5.10)

Здесь использованы равенства (5.5.8) и (5.5.9).

54

Рис. 5.5.3. Нахождение максимального угла отклонения при рассеянии тяжёлой частицы (wi > m i) на лёгкой

Заметим, что в данной предельной ситуации скорость рассеянной ча­стицы согласно (5.5.10), (5.5.8) оказывается равной

v! = Kcos0mx=v (5.5.11)у ml +m2

Найдём связь между углами рассеяния налетающей частицы в лабораг- торной системе (0) и в СЦМ ( 0С). Как видно из рис. 5.5.2 (слева),

v\ cos 0 = Vc + v]c cos 0C,

v[s\x\0 = vXc sin#c.

Деля почленно второе равенство на первое, находим

tg g = p- sin^ .Vc +vu. cos0c

Наконец, используя выражения для скоростей Ус и V\c из (5.5.8) и (5.5.9), окончательно получаем

Рис. 5.5.4. Диаграмма скоростей для упругого рассеяния тяжёлой части­цы на лёгкой. Vc — скорость центра масс, v'ic и v"ic — возможные скоро­сти тяжёлой частицы в СЦМ после рассеяния. Векторы АС и АВ представляют скорости рассеянной частицц в лабораторной системе отсчёта

(5.5.12)тх + т2 cos 6С

Заметим, что полученное соотноше­ние имеет одинаковый вид при всех соот­ношениях между массами сталкивающих­ся частиц. В частности, если покоящаяся частица бесконечно тяжёлая (т2 —> оо), то

е=вс.При столкновении тяжёлой частицы с

покоившейся лёгкой в выбранном направ­лении в общем случае будут регистриро­ваться рассеянные тяжёлые частицы с двумя различными значениями энергии. Действительно, как видно из рис. 5.5.4, скоростям рассеянной частицы v[c и v" в

55

СЦИ отвечают скорости v[ и v" в лабораторной системе, направленные

вдоль одной прямой и представленные на диаграмме векторами АВ и

АС. Найдём величины этих скоростей.Пусть угол рассеяния частицы равен в. Проведём нормаль ON к пря­

мой АС из центра окружности. Поскольку треугольник ВОС равнобедрен­ный, то в обозначениях рис. 5.5.4 имеем

v[ = Vc cos в + v'w cos a ,

v2 = Vc cos в - v\c cos a.(5.5.12)

Чтобы исключить угол (py запишем ещё одно равенство:

O N = Vcs\n 6 ~ v\c s in a => cos a = ^1 - ( Vc /v\v )2 sin2 в.

Используя выражения (5.5.8) и (5.5.9) для скоростей Vc и v[c = z;lt., полу­чаем

vx =■ m\v\ /7 7 , 4 * т 2

mxvx

COS 04-

COS в -

-s in 2 в

•sin2 вг _ V

(5.5.13)

Отсюда нетрудно увидеть, что если налетающая частица имеет массу большую, чем частица-мишень, то угол отклонения не превышает значе­ния втах =arcsin(w2//77,’), полученного выше. Согласно (5.5.13) скорость

рассеянной частицы для этого предельного угла составляет

• cos в =WtS V m?|Vw, -т 2/7 7 , 4 Л и ,

г/,.

Для случая же лобового удара (в = 0) из (5.5.13) следует

Первый случай отвечает, очевидно, тому, что частицы пролетели мимо друг друга без взаимодействия, тогда как второй описывает обычное ло­бовое столкновение, при котором происходит перераспределение энергии между частицами (см. раздел 5.2).

56

5.6. Упругое столкновение двух шаров

В качестве важного примера рассеяния рассмотрим абсолютно упру­гое столкновение двух твёрдых шаров радиусами R\ и R2 и массами mx и т2. Считая, что шар 2 вначале покоился, а шар 1 имел начальную скорость v0 (рис. 5.6.1), найдём направление, в котором полетит шар 1 после столк­новения.

Как было показано в разделе 2.7, достаточно исследовать только дви­жение шара 1 относительно шара 2, считая последний покоящимся, т.е. найти радиус-вектор г = г , - г 2 как функцию времени. Тогда радиус-

вектор шара 1 в лабораторной системе отсчёта (г,) даётся формулой(2.7.5):

Из этой формулы следует

г, = R„ т2----- ---- Г.т{ + т2

YYIv, = V. + ------2 _ V) (5.6.1)

тх +т2

где v — скорость шара 1 относительно шара 2.

Рис. 5.6.1. Абсолютно упругое столкновение шара 1 с первоначально покоившимся шаром 2

В результате упругого столкновения относительная скорость шара может изменить направление, но не меняет своей величины. Действитель­но, согласно теореме Кёнига кинетическая энергия пары тел равна

MV2 UV-К — с _|_ Г*^ОТН

2 2Поскольку скорость центра масс замкнутой системы не меняется (VJ = VC), а энергия сохраняется ( К ' = К), то сохраняется и величина относительной скорости взаимодействующих тел:

г/ - V - vn. (5.6.2)отн отн О V /

57

Учтём также, что при упругом ударе выполняется закон «угол падения равен углу отражения». На рис. 5.6.1 этому отвечает равенство углов, об­разуемых векторами v0 и v' с линией, соединяющей центры шаров.

Имея в виду сказанное, спроектируем равенство (5.6.1) на направле­ния вдоль вектора v0 и перпендикулярное ему:

z;.'cos0 = F - -т, -v0 cos 2 ^,

v\ sin в = ■(5.6.3)

-i;0sin 2q>.

Здесь в — угол, образуемый вектором скорости рассеянной частицы 1 с первоначальным направление движения (вектором v0) в лабораторной си­стеме отсчёта (угол рассеяния в л-системе). Поскольку скорость центра масс равна Vc =m{vQl(m\+m2), то, деля почленно второе равенство на

первое, находимт2 sin 2 ср

т{ - т2 cos 2(рПолученная формула совпадает с (5.5.12), по­скольку имеет место соотношение вс -п -2 с рдля угла 6С отклонения налетающей частицы в СЦМ (указанного на рис. 5.5.2 слева).

Во многих случаях для исследования за­кономерностей рассеяния частиц удобным является использование прицельного пара­метра р. Так называют расстояние между ли­ниями, проходящими 4ерез центры сталкива­ющихся тел и параллельными начальной скорости налетающего тела (рис. 5.6.1). Как видно из рис. 5.6.2, угол ^связан с р равенством

'чp = (Rt +T?2)sin ^ => 0> = arcsin

(5.6.4)

/?2» П12

Рис. 5.6.2. К нахождению связи угла рассеяния 2<р с прицель­ным параметром р

(5.6.5)R l + R 2 J

Таким образом, знание прицельного параметра в рассматриваемой задаче позволяет найти угол рассеяния шара в СЦМ:

Рвс - я-2ср = 2 arccos\ R\ +Ru

а с помощью формулы (5.6.4) — ив лабораторной системе.

58

Глава 6. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

6.1. Основные определения

6 ././ . Определение момента импульса. Пусть материальная точка вращается вокруг оси с угловой скоростью со (рис. 6.1.1). Тогда её ско­рость даётся выражением

v = coxr = (ОХГ1? v -c o r sill#. (6.1.1)Импульс точки равен р = mv. Величина

L = г х р = ту х v (6 .1 .2 )

называется моментом импульса материальной точки относительно начала отсчёта О (рис. 6.1.1).

Вектор L обладает следующими свойствами:L = rxp , L = rps\ncp\ L_Lr, LJLp,

где (p — угол между векторами г и р. Направление вектора L определяется правилом буравчика, где положительным направлением считается враще­ние от вектора г к вектору р.

Л .с '

Рис. 6.1.1. Момент импульса материальной точки А отно­сительно начала отсчёта О. Вектор L перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы г и р

Для системы материальных точек момент импульса равен сумме моментов импульса от­дельных точек:

Lo = I > / r/ x v / ’ (б-1-3)/■

а для произвольного тела определяется какL0 = | рг х vdV. (6.1.4)

где р — плотность масс, а интегрирование вы­полняется по всему объёму тела.

6.1.2. Преобразование момента импульса при изменении начала отсчёта. Найдём соотношение, связывающее моменты импульса одного и того же тела относительно разных начал отсчёта.

Обозначим радиус-векторы точек тела относительно начала отсчёта О как г, а относительно начала отсчёта О' — как г'. Если радиус-вектор точ­ки О' относительно О есть R, а её скорость равна V, то

59

г, =*'/+R , V,. = v ,'+ V . Подставляя эти равенства в (6.1.3), получим

Lo = 2 > < т/ х v - =

Здесь

= Y , mirl х v / + Z m/R х v ! + Z mir! х v + Z W/R х v = (6.1.5)/ / / /

= L а + R х р' + MR[. x V + MR x V.

p'=l>,v,'

— импульс тела относительно начала отсчёта 0 \

К = — У ‘/и,-г/ с

— радиус-вектор центра масс тела относительно исходного начала отсчё­та 0 \

Пусть точка О' — центр масс тела. Тогда р' = О, R , = О, а V — ско­рость центра масс. Соответственно приходим к равенству

L 0 = Lc + R х р, (6.1.6)где р = MV — импульс тела (относительно исходного начала отсчёта О).

Полученное соотношение означает, что момент импульса тела отно­сительно произвольной точки равен сумме момента импульса относи­тельно центра масс и момента импульса тела как целого (рассматрива­емого как материальная точка, находящаяся в центре масс и имеющая ту э/се массу, что и тело).

6,1,3, Связь векториальной скоро­сти с моментом импульса. При движе­нии тела по траектории радиус-вектор выметает некоторую площадь (рис. 6.1.2).С этой площадью можно связать вектор секториальной скорости, как это было сделано в разделе 1.4. Если за время dt радиус-вектор материальной точки выме­тает площадь dS, с которой связан вектор dS, то секториальная скорость определя­ется равенством

Vceia=dS/dt. (6.1.7)Свяжем секториальную скорость с моментом импульса тела относи­

тельно того же начала отсчёта. За бесконечно малый промежуток времени

Рис. 6.1.2. Секториальная скорость Vсект и момент импульса L матери­альной точки

60

(It радиус-вектор выметает треугольник, вектор площади которого можно представить как

rfS = ^ г(/) х г (/ + dt).

Учтём далее, что г(/ + dt) = r(0 + vrf/. Поскольку г(/)х г(/) = 0, то

dS = - r x \d t .2

Имея в виду, что L = r x p = w rxv , получаем окончательно

Ч е с т я х v = i . (6.1.8)2 2т

6.2. Уравнение динамики вращательного движения

6.2. /. Уравнение для момента импульса. Выберем некоторое начало отсчёта О. Пусть радиус-вектор материальной точки относительно начала О есть г. Продифференцируем равенство L = гх р по времени:

*/(rxp) dr dp—— — =— х р г х ——.dt dt dt

Поскольку векторы dr/dt = \ и p = mv параллельны, то первое слагаемое в правой части обращается в нуль. Во втором слагаемом учтём, что по второму закону Ньютона dp/dt = F. В результате приходим к уравнению, описывающему динамику вращения (или уравнению моментов):

— = М. (6.2.1)dt

Введённый здесь вектор M = r x F называется моментом силы относи­тельно начала отсчёта О.

6.2.2. О моменте системы сил. Пусть имеется некоторый набор сил {F,}, действующих на систему материальных точек {г;}. Тогда полный момент этого набора сил равен сумме моментов отдельных сил, вычисля­емых относительно того же начала:

М = £ М „ М, = r ,x F (.

Пусть набор сил таков, что ]STF) = 0. Тогда суммарный момент сил не

зависит от выбора начала отсчёта. Действительно, выбирая новое начало отсчёта в точке, задаваемой радиус-вектором R, имеем: г = r /+ R . Соот­

ветственно получаем

61

М = 2 > , X F; = £ ( < + R) X F, = £ r / x F, + R x 2 Й = 2 > / x F/ = M '/ / / / /

6.2.5. Закон сохранения момента импульса1. Если момент силы относительно некоторого начала отсчёта равен

нулю, то момент импульса относительно того же начала сохраняется:М = 0 => L = const.

2. Если проекция момента силы на некоторое направление равна ну­лю, то сохраняется проекция момента импульса на то же направление:

Мх = 0 => Lx = const.Другие компоненты вектора момента импульса при этом могут меняться (если соответствующие компоненты момента силы отличны от нуля).

3. В центральном поле момент импульса тела сохраняется. Действи­тельно, в центральном поле сила параллельна радиус-вектору:

F(r) = F ( r ) v / г => F || г.Поэтому момент силы относительно того же центра равен нулю:

М = rx F = F (r)rxv/r = 0.

Из уравнения же dL/clt == М сразу следует, что L = const.Из последнего утверждения вытекают два следствия.а) В центральном поле траектория тела — плоская кривая, т.е. кри­

вая, целиком лежащая в одной плоскости. Действительно, поскольку L = тг х v = const, то вектор скорости всё время остаётся перпендикуляр­ным одному и тому же сохраняющемуся вектору L. Поэтому все смеще­ния происходят в одной плоскости, перпендикулярной L, положение кото­рой определяется только начальным положением материальной точки.

б) Секториальная скорость материальной точки в центральном поле постоянна. Действительно, в таком поле момент импульса тела сохраня­ется. А поскольку VceKT = L /2 т, то постоянна и секториальная скорость.Иными словами, площадь, выметаемую радиус-вектором тела за время t, можно записать как

S = S0 +V ceicr/. % (6.2.2)6.2.4. Момент импульса относительно оси. Выберем ось, проходя­

щую через начало отсчёта О. Тогда моментом импульса относительно оси называется проекция вектора момента импульса на эту ось.

Пусть материальная точка перемещается относительно некоторой оси, которую для определённости будем считать осью z (рис. 6.2.1). Тогда

4 = ( г х Р)г- (6-2.3)Положим

Г = 1]|+Г1 , Р = Р ||+Р± ,

62

где индексы «_1_» и « || » указывают на составляющие соответствующих

векторов, перпендикулярные и параллельные оси z. Поскольку векторное произведение по определению перпендикулярно обоим сомножителям, то в равенство (6.2.3) войдут только компоненты r± = R и р± :

4 = ( ri x P i) z = ( R x P i ) r = ^ hгде (р — угол между векторами R и р±, рх = р± sin (р (рис. 6.2.2). Как вид­

но из рис. 6.2.1, R = rsin0 , где в — угол между радиус-вектором г и век­тором R.

Рис. 6.2.1. К определению момен­та импульса материальной точки относительно начала отсчёта О

Пусть материальная точка вращается вокруг оси z (т.е. находится на постоянном расстоянии от оси: R = const в одной и той же плоскости). Тогда u = coR, так что р = рх - mcoR, и для момента импульса относи­тельно оси получаем выражение

L. = mcoR2. (6.2.4)

Рис. 6.2.2. К определению момента импульса относи­тельно оси

Рис. 6.2.3. К определению момента силы относитель­но оси

6.2.5. Уравнение динамики вращения относительно оси. Проекти­руя уравнение (6.2.1) на ось z, имеем

^ = м г.dt z

(6.2.5)

Здесь Mz — момент силы относительно оси. Аналогично предыдущему устанавливается, что эта величина равна (рис. 6.2.3)

М 2 = Щ , Fx = F± s\r\(pF .

Здесь Fj. — составляющая силы, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси z, a (pF — угол между векторами F± и R. Обозначим

I — R sin (рр. (6.2.6)Эта величина называется плечом силы. В результате для момента силы относительно оси получаем выражение Mz =IFL.

Тогда, с учётом (6.2.4) уравнение (6.2.5), описывающее вращение ма­териальной точки относительно оси, принимает вид

mR2 — = Мг, М .= FJ. (6.2.7)dt 2 ‘ 1

6.2.6. Уравнение моментов для системы взаимодействующих ча­стиц. Пусть имеется система взаимодействующих частиц, на которую действуют также внешние силы. Моменты импульса и силы для системы определим как сумму соответствующих моментов для отдельных частиц:

L = X > /x P/> M = 2 r ,x F /./ /

Полная сила, действующая на ыо частицу, складывается из внешней силы и сил, производимых всеми прочими частицами:

F , = F r + I l Vk.k*i

Складывая почленно уравнения dL./dt = г; xF), получим уравнение для системы:

„ cPL— = М. dt

Покажем, что момент силы М в последнем законе определяется толь­ко внешними силами. Действительно, в силу третьего закона Ньютона Fjk =-Fkr Кроме того, по тому же закону силы действия и противодей­

ствия направлены по прямой, соединяющей материальные точки. Пусть, например, имеются три частицы. Тогда

М = г, X (F ^ + F„ + Fl3) + r2 X + F2I + F21) + r3 x (F ^ + F3I + F ,.) =

= (r, - r 2)x F l2+(r, -< ‘3)x F lj+ (r2 - r 3)x F ,3 + M(‘') = M(,).

Здесь M*0 = r, x F,(<f) + r2 x Fj0 + r3 x Fj*0 — момент внешних сил. Учтено, что для любой пары частиц (г; - rk) х Fik = 0 вследствие параллельности векторов, входящих в векторное произведение.

Аналогично рассматривается произвольное число частиц.

64

Таким образом, внутренние силы не меняют момента импульса си­стемы как целого.

6.2.7. Вращение относительно движущейся точки. Выше, состав­ляя уравнение вращательного движения, мы предполагали, что начало отсчёта покоится. В ряде случаев более удобным может оказаться выбор движущегося начала (рис. 6.2,4). Составим уравнение вращения для этого, более общего случая.

Момент импульса точки А относительно начала отсчёта О равенL = rx p , р = т\. (6.2.8)

Здесь v — скорость точки А в лабораторной системе отсчёта. Продиффе­ренцируем равенство (6.2.8) по времени:

А dL dr dpЛ — = — xp + rx — .dt dt dt

Учитывая, что dp/dt = F, получаем

о dL dr _ „ . Лч— = — xp + rx F. (6.2.9)

Рис. 6.2.4. Томка Л, дни- dt dtжушаяся со скоростью v (в учтём теперь, что dr/dt = vOTH — это ско-лабораторпой системе отнотсчёта), и начало отсчёта рость точки А относительно начала отсчёта О.О, которое движется со Поэтому если точка О движется со скоростью v0, скоростью \о то

“Т" = v — vQ. (6.2.10)at

В результате из (6.2.9) следует

^ = ( v - v 0 )x p + M, (6.2.11)dt

где M = r x F — момент силы относительно начала отсчёта О. Наконец, учитывая, что р = ту || v, получаем окончательно

— = M - v 0 xp. (6.2.12)dt

В случае, когда имеется: система материальных точек, уравнение(6.2.12) нужно записать для каждой точки: dLj/dt = М,- - v0 х р ;.. Сумми­руя эти равенства, получаем уравнение вида (6.2.12), в котором теперь нужно использовать величины

Ь = Хг/хР/* M = Z r/xF<’ P = Z W<V,- (6.2.13)/ / i

Из формул (6.2.12), (6.2.13*) вытекает важное следствие. Учтём, что p=:/wvc, m = Y Jmi,

65

где vc — скорость центра масс.Если центр масс движется со скоростью, параллельной скорости цен­

тра начала отсчёта: vc || v0 , то \ 0 хр = т \0 х vc = 0, и уравнение (6.2.12)принимает тот же вид

dLЛ

= м ,

что и в случае неподвижного начала отсчёта. При этом конкретный закон движения начала отсчёта роли не играет.

Рассмотрим вращение относительно некоторой поступательно дви­жущейся оси Z, т.е. оси, остающейся всё время параллельной одному и тому же направлению. Тогда момент импульса тела относительно этой оси удовлетворяет такому же уравнению, что и момент импульса относитель­но неподвижной оси Z':

dt= Mzi М:;

если только оси Z и Z' параллельны. Этот результат непосредственно сле­дует из того, что скорость оси Z остаётся параллельной скорости оси Zt., проходящей через центр масс.

Ч

66

Глава 7. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

7.1. Гравитационное взаимодействие двух материальных точек

В 1687 г. Исаак Ньютон установил, что между двумя материальными точками с массами т и М, разделёнными расстоянием г, действует сила гравитационного притяжения3, равная

(7.1.1)Г

направленная по прямой, соединяющей эти точки. Величина G в этой формуле называется гравитационной постоянной и численно равна

G = (6,673 ± 0,001) • 10-8 дин • см2/ г 2 . (7.1.2)

м В векторной форме силу, действующую на тело (материальную точку) массы т со стороны материальной точки Л/, можно запи­сать как

Рис. 7.1.1. Направление силы р __ GMm Г j ^ \гравитационного притяжения F r 2 г ’материальной точки т к матери­альной точке М где г — радиус-вектор точки т относительно

точки М (рис. 7.1.1).Закон всемирного тяготения Ньютон получил из анализа законов дви­

жения планет, установленных И. Кеплером, и опубликовал в книге «Мате­матические начала натуральной философии» (1687 г.).

7.2. Теорема Гаусса

7.2.7. Гравитационное поле. Гравитационным полем называют об­ласть пространства, в каждой точке которой на помещённую туда частицу действует сила гравитации. В частности, материальная точка М создаёт гравитационное поле, описываемое законом Ньютона (7.1.3).

’ Термин «гравитационный» происходит от латинского слова gravitas — «тяжесть

67

7.2.2. Напряжённость гравитационного поля. Поскольку сила(7.1.3) прямо пропорциональна массе тела ту т.е. отношение F/т от мас­сы т не зависит, то вектор

g = F/т (7.2.1)

характеризует именно гравитационное поле, а не тело. Этот вектор назы­вается напряжённостью гравитационного поля.

Если имеется несколько источников, то напряжённости создаваемых ими полей складываются:

« - 1/

GM, г,

г} г>(7.2.2)

(обозначения радиус-векторов, входящих в эту формулу, поясняются на рис. 7.2.1 слева).

Рис. 7.2J. Слева— несколько материальных точек с массами Ми .... М„ создают суммарное гравитационное поле в месте нахождения тела массы т. Справа — обозначения, используе­мые при вычислении гравитационного поля, создаваемого непрерывным распределением масс

В том случае, когда имеются не отдельные точечные источники, а не­прерывное распределение масс с плотностью р(г), напряжённость созда­ваемого ими гравитационного поля даётся интегралом

g(r) = -GГ ( г - О

K |r - r fР( A d V ' (7.2.3)

(обозначения указаны рис. 7.2.1 справа). Здесь учтено, что элемент массы dM, находящийся в точке с радиус-вектором г' и занимающий объём dV\ может быть записан как dM = p(?'}dV'.

7.2.3. Теорема Гаусса. Для расчёта гравитационных полей в ряде слу­чаев полезной является теорема Гаусса. Чтобы дать её формулирежку, вве­дём понятие потока напряжённости поля через замкнутую поверхность.

68

Рассмотрим малую площадку, вектор площади которой есть dS (рис. 7.2.2). Элементарным потоком напряжённости поля через площад­ку dS называется скалярное произведение

б/Ф = gdS = gdS cos <р. (7.2.4)Рассмотрим теперь произвольную замкнутую поверхность S. Разобьём

её на элементарные площадки. Векторы этих элементарных площадокнаправим по внешним нормалям (т.е. наружу от исходной поверхности). Для каждой из площа­док составим элементарные потоки напряжённо­сти (7.2.4) и просуммируем все эти потоки:

Ф = ф gdS. s

Пусть имеется гравитационное поле, созда­ваемое произвольным распределением масс.

Теорема Гаусса. Поток напряжённости гравитационного поля через произвольную за­

мкнутую поверхность определяется только массой гравитирующего ве­щества, находящегося внутри этой поверхности, и равен

Ф = <j) goS = -4 k GM. (7.2.5)

Если V — объём, ограниченный поверхностью S\ то масса А/, стоящая в правой части (7.2.5), равна

М = J pdV, (7.2.6)У

где р — плотность вещества.7.2.4. Примеры применения теоремы Гаусса1. Поле однородного гравитирующего шара. Пусть вещество с посто­

янной плотностью заполняет шар радиуса R. Найдём напряжённость поля внутри и вне шара.

Очевидно, что создаваемое данным распределением масс поле являет­ся сферически симметричным, зависящим только от расстояния до центра шара г. И поскольку гравитационные силы являются притягивающими, то напряжённость поля направлена к центру шара:

g(r) = * ( r ) - . (7.2.7)Г

Выделим мысленно сферическую поверхность S радиуса г, концентрич­ную с рассматриваемым шаром (рис. 7.2.3). Поскольку элементарные площадки направлены по радиус-вектору, как и g(r), то во всех точках

Рис. 7.2.2. Вектор площади поверхности dS и вектор напряжённости поля g, пе­ресекающий эту площадку

69

сферы элементарный поток имеет одинаковое значение dФ = gdS = gdS. Поэтому равенство (7.2.5) принимает вид

ф = g(r) • 4лт2 = -AnGU{r), (7.2.8)

где М(г) — масса, находящаяся внутри выбранной сферы. Таким обра­зом, находим

GM г R2 R

GMJ2 ’

, r< R ,

r> R.(7.2.9)

Здесь учтено, что масса вещества, заключённая внутри сферы радиуса г, равна

М(г) =

4 з г — пг р - М — , r< R , 3 ^ Я3 * * *

4 7М = - /г Я 3р> г > Я ,

(7.2.10)

М — полная масса гравитирующего шара. Заметим7также, что величина g0 = -G M /r 2 есть напряжённость поля на поверхности шара. Знак «-» в

(7.2.9) означает, что согласно (7.2.7) вектор напряжённости поля направ­лен к центру притягивающего тела.

Рис. 7.2.3. К вычислению напряжённости гравитаци­онного поля шара

Рис. 7.2.4. К вычислению напряжённо­сти гравитационного поля цилиндра. Штриховой линией показана поверх­ность, через которую вычисляется по­ток напряжённости поля

2. Поле однородного гравитирующего цилиндра. Найдём поле беско­нечно длинного однородного цилиндра радиуса R.

Поле бесконечного цилиндра направлено по радиусу и вследствиесимметрии зависит только от расстояния г до оси. Выделим мысленнозамкнутую цилиндрическую поверхность радиуса г и высоты А, коакси-

70

альную с исходным цилиндром (рис. 7.2.4). Поток напряжённости поля через торцы цилиндрической поверхности равен нулю, поскольку здесь dS _L g. Поток же через боковую поверхность цилиндра равен

Ф = gS = g • 2nrh. Поэтому из теоремы Гаусса Ф == -AnGM следует

, ч 2GM(r, h) 1Sir) = --------- ----------h г

(7.2.11)

Здесь М(г, h) — масса вещества, находящегося внутри выделенного ци­

линдра. Если г — масса исходного цилиндра, приходящаяся на единицу его длины, то

A/(r, h) = <г < R,

rh, г > R.(7.2.12)

Таким образом,

g(r) = <

2Gt г R R '

2 Gt

г <R,

r>R.(7.2.13)

Заметим, что введённая выше погонная плотность г связана с объёмной

плотностью р соотношением г = nR 2 р.3. Поле бесконечной плоскопараллельной пластины вещества. Рас­

смотрим бесконечную плоскопараллельную пластину толщины h и плот­ностью р (рис. 7.2.5). Для вычисления гравитационного поля учтём, что вне пластины вектор напряжённости направлен в сторону пластины пер­пендикулярно её внешней поверхности и симметрично относительно её средней линии, выберем мысленно поверхность, занимающую область {—z, 4* z}, как показано штриховой линией на рис. 7.2.5.

Z <h/2 Si

*о : ;i '• т у -

-ha t</s2

Рис. 7.2.5. К вычислению напряжённости гравитационного поля плоскопараллель­ной пластины вещества. Штриховой линией показана поверхность, через ко­торую вычисляется поток напряжённости поля. Средняя линия пластины — ось х. laS^ldS^aS

71

Применяем, как и выше, теорему Гаусса. В частности, при 0 < z < h/2 имеем 2gdS =-AnGp(2z • dS). Рассматривая аналогичным образом другие области, находим напряжённость поля:

Знаки в первой и третьей строках приведённого выражения показывают, что вне вещества поле направлено в сторону пластины.

Отметим, что вне пластины поле однородное, т.с. не зависит от рас­стояния до пластины.

7,2.5. Доказательство теоремы Гаусса1. Материальная точка массы М в центре сферы радиуса г. Поме­

стим начало координат в центр сферы. В этом случае вектор элементарной площадки на поверхности сферы параллелен радиус-вектору этой площад­ки: dS || г (в случае замкнутой поверхности за направление вектора dSпринимается внешняя нормаль к поверхности). Поскольку g = -G M rjг3, то поток напряжённости поля через рассматриваемую площадку равен

Суммируя потоки по всем элементарным площадкам, находим поток через всю поверхность сферы:

2. Поверхность — несферическая. В этом случае для элементарного потока имеем выражение

(7.2.14)

, . ,0 GM 0<7Ф = gdS = -----— c/S.г

GM GM 2 л г'клФ = ----- — S = ----— 4лт = -4 nGM.„ г г2

где dSj| — проекция вектора dS на радиус-вектор г (рис. 7.2.6).

Рис. 7.2.6. Нахождение потока напряжённости поля через произ­вольно ориентированную элемен­тарную площадку

О

т

Если dQ — телесный угол, под которым площадка видна из точки т, то rfSji = dScos0 = r2dQ и, следовательно,

d<t> = - ~ d S n = - ™ r 2dQ = -GMdQ, Ф = - f GMdQ = -AnGM.Г ~ Г ~ (4*)

3. Частица находится вне замкнутой поверхности. Выберем произ­вольную силовую линию, дважды пересекающую поверхность, и вокруг неё конус с телесным углом при вершине dQ. Этот конус вырезает на рас­сматриваемой поверхности две элементарные площадки (рис. 7.2.7). Со-

поля через эти площадки

Рис. 7.2.7. Частица находится вне замкнутой поверхности

Подобно тому, как было сделано выше, находимS~* I /

с/Ф, = gdS, = —т-оК, и = GMdQ, г\

</Ф2 = gdS2 = ~ ^ f d S 2 ,, = -GMdQ.ri

Здесь учтено, что площадки dS\ и dS2 ориентированы противоположно по отношению к радиус-вектору, идущему от точки массы М (рис. 7.2.7). Та­ким образом, для каждой силовой линии, пересекающей поверхность два­жды, dO = dOl +d<&2 = 0 . Если же силовая линия не пересекает поверх­ность, то соответствующий поток напряжённости равен нулю по смыслу понятия потока.

4. Частица находится внутри поверхности, но силовая линия пересе­кает поверхность более нем в одной точке. В простейшем случае число пересечений составляет три (рис. 7.2.8). В общем случае число пересече­ний нечётно. Выбирая элементарный конус вокруг соответствующей си­ловой линии и суммируя потоки напряжённости через площадки, высека­емые конусом на поверхности, имеем dФ = dФ] +г/Ф2 +£/Ф3. Как видно из рисунка, потоки напряжённости через площадки в точках 1, 2 и 3 чере­

ответственно поток напряжённости dФ = dФ] +dФ2.

73

дуются по знаку вследствие чередования ориентации внешних нормалей к поверхности вдоль силовой линии: г/Ф, = -d Ф2 = +*/Ф3. Равенство этих потоков по абсолютной величине доказывается точно так же, как это сде­лано выше, и следует из равенств \dS\ = r2dCl, g = -G m / г2 и того, что в

произведении g /S множитель г2 сокращается. Таким образом, получаем,что если материальная точка находится внутри поверхности, то независи­мо от числа точек пересечения силовой линии с поверхностью выполняет­ся равенство типа

^ф = б/ф, + d<&2 + */Ф3 = */Ф| => Ф = - | GMdQ = -4 ttGM.<4л)

5. Система материальных точек. Пусть теперь имеется произвольная система матери­альных точек {mt}. В силу принципа суперпо­зиции напряжённость поля, создаваемою этой системой, равна

~ g — у G M j ^ Рис. 7 2.8. Силовая линия“ 1 у} п пересекает поверхность в трйх

1 точкахгде г, — радиус-вектор точки наблюдения, от­носительно положения /-й точки. Выберем некоторую замкнутую поверх­ность. Соответственно поток напряжённости g можно представить как сумму потоков, создаваемых отдельными точками системы:

o = < fg ^ = X <fg ,^ s = Z ° / ’S • S i

Разобьём все точки на две группы: одни находятся внутри поверхно­сти, а другие — вне её. Как было показано, если точка находится вне по­верхности, то создаваемый ею поток равен нулю. Следовательно, для нахождения потока достаточно учитывать только точки, находящиеся внутри поверхности. Для них Ф, = -AnGMr Окончательно получаем

ф = £ ф (. := -]Г Ч nGM, = -AnGM, М = £Л/,../ / /

74

Глава 8. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

8.1. Законы сохранения в центральном гравитационном поле

Гравитационное поле, создаваемое материальной точкой, является центральным. Центральным можно считать и поле, создаваемое телом сферически симметричной формы, а также телом произвольной формы, если только точка наблюдения находится на расстояниях г, значительно превышающих характерный размер гравитирующего тела R : г » R. Это имеет место, например, в случае движения планет в поле Солнца или ис­кусственных спутников в космическом пространстве. С учётом сказанного полагаем, что сила притяжения двух тел с массами т и М описывается законом

Будем считать, что притягивающий центр имеет массу М, значительно превышающую массу тела т\ М^>т. Это позволяет считать, что «лёг­кое» тело движет в поле неподвижного массивного тела.

В гравитационном поле, как и во всяком центральном поле, выполня­ются законы сохранения энергии и момента импульса:

Как было показано в разделе 6.2.2, в центральном поле траектория те­ла есть плоская кривая, а секториальная скорость постоянна, так что

(8.1.1)г" г

_ mv1 GMmЕ = ----------------- =2 г

L = m rxv = const.

= const, (8.1.2)

S = S0 + W , VceKT = L/2m.се к т (8.1.3)

75

8.2. Законы Кеплера

8.2.1. Формулировка законов. Сформулируем три закона движения планет.

1. Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого нахо­дится Солнце.

2. Радиус-векторы планеты в равные промежутки времени вымета­ют равные площади (векториальная скорость планет постоянна).

3. Квадраты времён обращения планет относятся как кубы больших полуосей эллиптических орбит, по которым планеты двигаются вокруг Солнца:

Иначе говоря, отношение Т2/а ъ = const одинаково для всех планет одной системы.

Первые два закона Кеплер опубликовал в 1609 году в книге «Новая астрономия», а третий закон — в 1618 году в книге «Гармония мира». Во втором сочинении Кеплер распространил открытые им законы на все пла­неты (включая Землю) и их спутники.

8.2.2. Законы сохранения для движения небесных тел. Для вывода законов Кеплера воспользуемся законами сохранения энергии и момента импульса, выполняющимися в центральном поле гравитационных сил:

г _ mv GMmЕ ~~г “ (8.2.2)L = /wrxv.

Преобразуем эти выражения. Скорость планеты складывается из ра­диальной составляющей и вращения вокруг центра (рис. 8.2.1):

v = vr + vx> vr =r, v£= гф. (8.2.3)

Рис. 8.2.1. Слева — траектория тела А; справа — радиальная и поперечная компоненты вектора скорости тела А

76

» .....ветственно момент импульса планеты равен

< инода находим

L = ш \ х г, L = mrv1 = т гф = const.

ф = ь / п

I In ному кинетическую энергию можно представить в виде

•2 -*• - [ m r V m f d r ^ | L2mv т ( 2 2 \ т= Т К 2 + * 1 ) = Т

dr\d t j 2 \ d t ) 2mr2

I .ikiiM образом, полная энергия оказывается равной

Е=™2

f - T эфф (*")» ^эфф (^)GMm

2 mr2

(8.2.4)

(8.2.5)

( 8.2.6)

(8.2.7)

График зависимости эффективной потенциальной энергии от ради- ,|им1ой координаты показан на рис. 8.2.2.

Рис. 8.2.2. График зависимости эффективной потенциальной £Лфф(г) энергии от расстояния г до центра

8.2.3. Первый закон Кеплера. В соответствии с (8.2.7) и (8.2.5) траек- юрия планеты описывается системой уравнений

mr1 L2 Е = ------+ ------ :GMm . L

". <Р = — 12 2 тг~ г тг~

Введём функцию и = \/г. Тогда эти выражения примут вид

тй1 1}и2 . L 2Е = — — + ---------GMmu, <р = —и .2 и4 2т т

(8.2.8)

(8.2.9)

Траектория тела даётся выражением г-г{(р) или, в эквивалентном виде, и - и{ф). Это значит, что

. L 2 ,и - и (р = — и и , т

11

где введено обозначение du/dcp-u' и использовано выражение «щя ф из (8.2.9). Подставляя полученное соотношение для й в выражение для энергии в (8.2.9), получим

Е = — {и'2+и2\ - 2 яЛ '

GMmu. ( 8.2. 10)

Поскольку энергия неизменна вдоль траектории: £ = const, то. диффе­ренцируя (8.2.10) по <р и полагая dE/d<p = 0, получим следующее диффе­ренциальное уравнение траектории:

GMm2d 2u dcp2

- + w = • (8.2.11)

Решение этого имеет вид

и = и0 + с cos (р, и0 = •GMm

где с — константа интегрирования, значение которой найдём, подставив последнее решение в (8.2.10):

Е IGMrr? Л— Т2— Ч +ио

L )1 + 2Е.С-

G2M 2m3

(при преобразовании учтено выражение для щ). Возвращаясь к беремен­ной г, получаем окончательно следующее уравнение траектории:

р * 1 [} с------------- , Р = — = -------- е = —\ + е cos ср и0 GMm и0

I 2 EL2V mV ( 8.2.12)

При е < 1 мы получаем уравнение эллипса, причём начало коюрдинат (Солнце) находится в точке, называемой фокусом. Это доказывает' первый закон Кеплера.

Величины р и е в (8.2.12) называются соответственно параметром и эксцентриситетом орбиты.

8.2.4. Типы орбит в центральном гравитационном поле. В} общем случае в центральном гравитационном поле возможны три типа Траекто­рий тел, которые показаны на рис. 8.2.3:

эллипс при Е < 0 (или 0 < е < 1), парабола при Е = 0 (или е = 1),

гипербола при Е > 0 (или е > 1).

78

Это означает следующее.1. При £ > 0 движение происходит в неограниченной области

( г > rmin) и называется инфинитным.2. При Е < 0 движение происходит в ограниченной области

гт1п й г < д;шх и называется финитным.3. В частном случае Е = (^ эфф)т1п < 0 величины rmin и гтах совпада­

ют (рис. 8.2.2). Это отвечает круговой траектории.Пусть 0 < е < 1 . Тогда наименьшее и наибольшее расстояния от пла­

неты до Солнца в соответствии с (8.2.12) равны

''min = 7 7 - > 'max = ' <8 -2 -13)1+е \ - е

Рис. 8.2.3. Слона — фрагмент орбиты планеты вокруг Солниа; справа — типичные траекто­рии планет. Солнце находится в фокусе О

Уравнение (8.2.12) сводится к уравнению окружности: г / \ когда

е = 0. Чтобы определить соответствующие значения энергии Е и парамет­ра р , достаточно найти положение минимума г ~гт функции и

(8.2.7). Из условия dU3{ j d r = 0 находим

Р = гт =L1

GMm‘GMm (G M m \ / 0 . 1/1Ч

— \ - w ) ” ■ <8-2-|4 >

Тот же результат прямо следует из уравнения е = 0, в котором для вели­чины е следует использовать выражение (8.2.12).

8.2.5. Минимальное и максимальное удаление планеты от центра. В этих точках радиальная составляющая скорости планеты обращается в нуль: drjdt = 0. С учётом (8.2.7) запишем закон сохранения энергии:

79

2 mrzGMm о GMm

-------- = E или r~ +-------- r -2mE

= 0. (8.2.15)

Из этого квадратного уравнения следует

GMm t If GMm V2E “ v l 2E )

L22mE

При E > 0 только один корень является положительным и равен

GMm t GMm) 2 I F ''min- 2 £ 2E J +lm E'

Это отвечает инфинитному движению: г > rmin.В случае Е < 0 оба корня положительны (8.2.14), причём

GMm

(8.2.16)

2 Е

GMm 2 Е

с-2тЕ

( GMm\

'Vl"2Tj

Л яЩ +j LVI 2Е ) 2тЕ

(8.2.17)

Это отвечает финитному движению: rmin < г < rmax. В данном случае, зная

rmin И гтах» МОЖНО НаЙТИ ЭКСЦеНТрИ'орбиты с помощью равенств (8.2.13):

е = г™ах = ] + '‘min V

2 ЕЕG2M zm3

Р =2к • /*n u n m ax

GMmНаиболее близкая.к Солнцу точка орбиты планеты называется периге­

лием, а наиболее удаленная от Солнца — афелием. При движении спутника вокруг Земли эти точки называются соответственно перигеем и апогеем .

&2.6. Второй закон Кеплера. Этот закон непосредственно следует из того, что поле центральных гравитационных сил момент импульса сохра­няется. Поэтому согласно (6.1.8)

VceKT = L /2 w = const.

Л2.7. Характеристики эллиптических орбит. Найдём теперь полу­оси эллипса. Эллипс — это геометрическая фигура с двумя осями симмет­рии, пересекающимися в геометрическом центре S. Как видно из рис. 8.2.4, длина большой полуоси эллипса равна

г 4- г • а _ 'max 1 'min (8.2.18)

80

Рис. 8.2.4. Геометрические характеристики эллипса

11о теореме Виета из квадратного уравнения (8.2.15)

•, GMm L2 пг~ + ------- г --------- = ОЕ ЪпЕ

вытекают два равенства:

г . + г'mm ^'max

Таким образом, находим

GMm J}-------- Г • г = ---------г , » 'm i n 'm a x ^Е ЪпЕ

GMm2 Е

(8.2.19)

(8.2.20)

Для нахождения малой полуоси эллипса нужно учесть что эллипс — это геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная: r,+r2 =const (рис. 8.2.4 слева). Выбирая, например, афелий или перигелий, легко установить, что эта сумма равна большой оси эллипса г]-\-г1 =2а. Тогда, рассматривая нарис. 8.2.4 (справа) прямоугольный треугольник PF\S, убеждаемся, что его гипотенуза равна а, катет

Щ = а ~ гтпг — г • 'max 'min

2а малая полуось определяется по теореме Пифагора:

b = ja2 -(SF|)2 =,(8.2.21)

у]-2тЕЗдесь использовано второе равенство в (8.2.19).

81

8.2.8. Третий закон Кеплера. Для вывода третьего закона Кеплера учтём, что ввиду постоянства секториальной скорости планеты можно записать

У — * ЭЛЛ _ Lсект" Т 2Щ9

(8.2.22)

где Т — период обращения планеты вокруг Солнца. Площадь эллипса Зэлл = nab. Отсюда для периода Т находим

2 птТ = ------ аи.L

Заменим здесь величину b её выражением (8.2.21):

2 nma L 4 п 2тL * р Ы Ё V -2 Е

Выразим здесь энергию через длину большой полуоси: Е = -GM m/la. Это даёт:

V GMОкончательно получаем следующую формулу третьего закона Кеплера:

? L = ™ i s K. (8.2.23)Т2 4лг2

Входящая сюда величина К называется постоянной Кеплера.Заметим, что третий закон Кеплера легко устанавливается для частно­

го случая круговых орбит. Действительно, записывая второй закон Нью­тона для вращательнсйго движения в гравитационном поле, находим

mv2 GMm 2 GM------= — — или v = ------ , (8.2.24)

R R2 Rгде R — радиус орбиты. Поскольку период обращения планеты Т связан с её скоростью соотношением v = 2kR/T, то из (8.2.24) следует закон

Кеплера: R3/T 2 = К.Для двойных систем, массы компонент которых сопоставимы по ве­

личине, следует пользоваться уточнённым вариантом третьего закона Кеплера. Для его нахождения учтём, что согласно сказанному в разде­ле 2.7 задача об относительном движении тел сводится к уравнению

d 2 r _ GMmx d 2 r _ G(M + m )r ^ dt2 r2 r dt2 r2 r

QO

Здесь ju = Mm/(M + m) — приведённая масса. Умножая обе стороны уравнения на массу тела т, получаем

Это равенство совпадает по виду с уравнением движения планеты относи­тельно неподвижной звезды, масса которой равна М + т. Соответственно уточнённая форма третьего закона получается заменой в (8.2.23) М -> М + т \

а3 G(M+m)F (8'2'26)8.2,9. Космические скоростиПервая космическая скорость (г>|) — это скорость движения спутника

по круговой орбите. Ее величину можно найти из условия равенства цен­тробежной силы и силы гравитационного притяжения:

Выбирая в качестве М и R массу и радиус Земли, М= 5,98-1024 кг, R = 6380 м, найдём: v] = 7 ,9 км/с.

Вторая космическая скорость ( v2 ) — это минимальная скорость, ко­торую необходимо сообщить телу для его удаления на бесконечность. Иначе говоря, тело должно обладать минимальной энергией: Е = 0, при которой движение становится инфинитным (рис. 8.2.2). При этом скорость тела на бесконечности обращается в нуль. Полагая в выражении для пол­ной энергии Е = 0 и г = R :

Для случая удаления тела от поверхности Земли v2 = 11,2 км/с.

Вводят также третью космическую скорость: это такая скорость, ко­торую нужно сообщить объекту, находящемуся вблизи поверхности Зем­ли, чтобы он смог преодолеть притяжение Земли и Солнца и покинуть солнечную систему. Она составляет примерно 16,6 км/с.

8.2.10. Пример: время столкновения двух тел. Рассмотрим следую­щую задачу. Пусть две одинаковые частицы в начальный момент оказа­

(8.2.25)

g _ mv2 GMm _ ” ~ 2 R ~ ~ '

найдём

83

лись на расстоянии R0 друг от друга с нулевыми скоростями. Благодаря силе гравитационного притяжения они начали сближаться. Считая части­цы точечными, найдём время, через которое они столкнутся. Эту задачу решим двумя способами: 1) прямым интегрированием уравнения движе­ния и 2) применением законов Кеплера.

Первый способ. Прежде всего, заметим, что задача сводится к уравне­нию, описывающему относительное движение тел:

d 2r Gm2 m d 2riiI CNN 7 >r~

u = — => — r- 2 dt2

Здесь г — расстояние между телами. Умножим почленно это уравнение на г и проинтегрируем по времени:

1 .2 2 Gm 2 GmГ ‘ — " И Г

(использовано начальное условие г = 0 при / = 0). Это равенство пред­ставляет собой закон сохранения энергии в системе центра масс. Решая данное уравнение относительно г = dr/dt, получим отсюда

? yfr dr [Gml v Ro ’

Полагая здесь г - 0, находим время до столкновения:

/ =1 Rq г \fxdx 4G/w | у]\ - х

Входящий сюда интеграл равен

г yfxdx _ п %2 ‘

Окончательно получаем

(= 1 I S ,4 у Gm

Приведённый выше интеграл вычисляется методом замены перемен­ной. Именно, полагая x = sin20, получим

84

л! 2| yfxdx _ j sin 9 • 2 sin 9 cos 9 • d9 cos 9

л /2 л / 2

= 2 j sin2 9d9 = J ( l - c o s 2 9)d9 = —.q yf L A, 0 0 0

Второй способ. Воспользуемся законами Кеплера. Рассматривая от­носительное движение, запишем исходное уравнение:

м 1 ?Gm

или т- 2GmГ dtz

В соответствии с первым законом Кеплера траектория частицы есть эл­липс. Начальное состояние отвечает максимальному удалению частицы от центра. Согласно начальному условию большая ось эллипса равна 2а = /?0. По третьему закону Кеплера большая полуось связана с перио­

дом обращения частицы по орбите соотношением

Т2 4л-22 Gm

Величина 2G в правой части равенства возникла вследствие того, что в уравнение движения вошла масса 2т вместо массы т (аналогично тому, как в (8.2.25) произошла замена М -> М + т). Отсюда находим период

Т = J - ^ — a3 = 2л-J ^ 2) = - V 2Gm V 2Gm 2 \G m

Эта величина в два раза больше времени сближения частиц. Окончательно получаем

t= L = l 1Ж .2 4 V Gm

Полученный результат, естественно, совпадает с тем, который найден вы­ше другим методом. Заметим, что для рассмотренной траектории (рис. 8.2.5) момент импульса равен L = 0, так что эксцентриситет и пара­метр орбиты составляют

р = 0, е - \ .

F2 С F\

Ro

Рис. 8.2.5. Траектория, отвечающая по­чти лобовому столкновению частиц. Для наглядности изображён случай эллипти­ческой, но сильно сплющенной, орбиты. *F\ и F2 — фокусы, С — геометрический центр эллипса. Притягивающий центр находится F; фокусе F2

85

При этом

'•min = 0 . ''max = Л>-

Второе равенство вытекает из начального условия, по которому при / = 0 частицы покоились: r = 0, r = R,0, а дальше началось их сближение. Приэтом полная энергия частиц равна начальной потенциальной энергии их взаимодействия.

86

Глава 9. ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА

9.1. Угловая скорость вращения твёрдого тела

9.1.1. Вектор угловой скорости. Рассмотрим вращение точки А от­носительно неподвижной оси (рис. 9.1.1). Смещение этой точки при пово­роте на угол А <р равно

As = RAcp.Переходя к бесконечно малым промежуткам времени и вводя угловую скорость

o) = d(p/dt,получим выражение для скорости движения точки А:

v = coR.

Рис. 9.1.1. Определение угловой скорости вращения материальной точки. Слева — начало отсчета находится в центре окружности; справа — начало отсчёта находится в произволь­ной точке О оси

Введём вектор малого поворота dy , равный по величине углу пово­рота dcp. Направление этого вектора определяется правилом винта: если смотреть на точку с конца вектора dtр, то её вращение происходит против часовой стрелки. Соответственно вектор угловой скорости есть производная

о = d y /d t.Пусть теперь начало отсчёта находится в произвольной точке О оси

(рис. 9.1.1). Поскольку радиус окружности, по которой вращается точка, равен /? = rsin# , то

v = cor sin#.

87

В векторном виде это соотношение можно записать следующим образом:v = coxr.

Заметим, что для бесконечно малого смещения имеет место выражениеdr = <Лрхг.

Оно может использоваться в тех случаях, когда ось вращения может ме­нять своё направление в пространстве.

Напомним, что при равномерном движении ускорение материальной точки записывается в виде (раздел 1.2.5)

a = w x v = cox(coxr) = оэ(сог)- yco2 - -a ? R.

Вектор со(сог) - гео1 представляет собой разложение вектора -со2R по правилу параллелограмма на составляющие вдоль © и г (рис. 9.1.1).

9.1.2. Движение твёрдого тела. Твёрдым телом называется такое тело, расстояние между любыми двумя точками которого остаётся всегда неизменными.

Выберем в твёрдом теле начало отсчёта С, жёстко связанное с этим телом. Выберем также лабораторную систему отсчёта и в ней начало от­счёта О. Зададим систему координат с началом в точке О (рис. 9.2.1).

Рис. 9 .2 .1 . Зад ан ие полож ения точек твёрдого тела

Рис. 9 .2 .2 . П роизвольное перем ещ ение твёрдого тела склады вается из перем е­щ ения н ачала отсчёта С в нём и п оворо­та относительно начала отсчёта

Радиус-вектор произвольной точки А в теле относительно неподвиж­ного начала отсчёта О (рис. 9.2.1) равен

p = R c + r,

где Rc — радиус-вектор начала отсчёта С в твёрдом теле, г — радиус- вектор точки А относительно точки С. Далее учтём, что произвольное пе­ремещение тела может быть представлено в виде суммы поступательного движения (т.е. при неизменной ориентации в пространстве) и последую­щего поворота относительно начала отсчёта (рис. 9.1.2). Рассмотрим бес­

88

конечно малое движение, в результате которого точка А переместилась в новое положение. Тогда её смещения в лабораторной системе отсчёта и относительно начала отсчёта С в твёрдом теле связаны соотношением

dp = dRc + dr.

Если тело совершает бесконечно малый поворот относительно точки С, то

dr = c/cp х г.

Обозначая dy/d t= со и имея в виду, что производная dRc / d t - Vc есть скорость точки С, получаем

v = Vc + со х г.Мы определили вектор угловой скорости, выбрав в качестве начала

отсчёта некоторую точку С в теле. Докажем, чтовектор угловой скорости не зависит от выбора начала отсчёта в

твёрдом теле.Для этого выберем в теле ещё одно начало отсчёта С' (рис. 9.2.3).

Обозначим радиус-вектор «нового» начала С' по отношению к «старому» С как Ь. Тогда «старый» (г) и «новый» (г') ради­ус-векторы точки А связаны соотношением

г = b + г'.Запишем скорость произвольной точки А тела при разных выборах начала отсчёта:

V = Vc 4- СО X г,

v = v r + со'х г'.Эти выражения дают скорость одной и той же точки и, следовательно, должны тождественно совпадать. Подставим в первую формулу выражение г = b + г ':

v = Vc + со х (Ь + г') = Vc + со х b + со х г',

v = Ус + сохг'.Ввиду произвольности выбора точки А , т.е. радиус-вектора г', получаем отсюда два равенства:

Vc » = Vc +coxb,

со = со'.Первое из этих соотношений даёт скорость «нового» начала отсчёта, а второе утверждает, что вектор угловой скорости не зависит от выбора начала отсчёта.

Таким образом, при перемене начала отсчёта меняется только пере­носная скорость Vc , но не угловая со.

твёрдого тела отн оси тельн о разны х начал отсчета: С и С '

89

9.2. Плоское движение твёрдого тела

Плоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных одной и той же неподвижной плос­кости.

Очевидно, что эта неподвижная плоскость перпендикулярна вектору угловой скорости со тела. При этом линейная скорость любой точки тела перпендикулярна вектору со: v ± со.

Рис. 9.2.1. Качение как пример представить как чистое вращение тела плоского движения твёрдого тела относительно некоторой оси.

Эта ось называется мгновенной осьювращения.

Докажем сделанное утверждение. Запишем выражение для скорости точки тела:

v = V0 + сохг.Поскольку V0 _1_ со, то на основании свойств векторного произведения можно положить

(векторное произведение перпендикулярно сомножителям). В этой записи вектор b произволен. Подстановка этого выражения в формулу для скоро­сти точки даёт

где r' = b + r. Для нахождения вектора b можно считать, что b _1_со (со­ставляющая Ьц || со дала бы нулевой вклад в векторное произведение

V0 = coxb). Это означает, что мы имеем тройку взаимно перпендикуляр­ных векторов: V0 _L со ± b (рис. 9.2.2). Соответственно находим V0 = bco, или Ь - V q/ co. Учитывая направления векторов (рис. 9.2.2), можно запи­сать векторное выражение для Ь:

Поскольку вектор b не зависит от выбора точки тела г, то полученное со­отношение v = со х г' и означает, что имеет чистое вращение.

Пример плоского движения тела даёт качение цилиндра по плоскости (рис. 9.2.1).

Имеет место утверждение:при плоском движении твёрдого тела

любое бесконечно малое движение моэ/сно

V0 = coxb

v = V0 = coxb + coxr = coxr\

90

Новое начало отсчёта, относительно которого осуществляется мгно- |п мммй поворот, задает положение мгновенной оси вращения 0 \ Положе­ние мгновенной оси показано на рис. 9.2.3.

Рис. 9.2.2. Тройка пзаимпо перпенди­кулярных векторов Vo, b, о), связан­ных соотношением V() =соха

Рис. 9.2.3. Положение мгновенной оси вращения О' относительно исходного начала отсчета О

В качестве примера найдём положение мгновенной оси вращения при качении цилиндра радиуса R по плоскости со скоростью V0 (рис. 9.2.4).

За время dt центр цилиндра сместится на расстояние V0dt. Такой жепуть пройдут и точки обода колеса, повернувшись при этом на угол d(p относительно оси колеса ds = Rd(p = V0dt (рис. 9.2.4). Отсюда находим

dt RПоскольку V0 _Lco, то существует мгновен­ная ось вращения, расположенная на рассто­янии

Ь VJL = ^ = R со VJR

Рис. 9.2.4. Положение мгновен­ной оси вращения О' при каче­нии цилиндра по плоскости

от оси цилиндра. Имея в виду векторное равенство V0 =coxb , заключаем, что вектор b направлен вверх, как пока­зано на рис. 9.2.4, а мгновенная ось вращения О' находится в точке кон­такта цилиндра и плоскости.

9.3. Момент импульса и момент инерции тела относительно оси9.3.1. Момент импульса относительно оси. Моментом импульса

относительно некоторой оси называется проекция вектора момента им­пульса на эту ось. Выберем начало отсчёта О на оси и рассмотрим матери­

91

альную точку А. Пусть положение этой точки задаётся радиус-вектором г, а её импульс есть р. (рис. 9.3.1).

Исходим из определения момента импульса относительно начала от­счёта: L = rxp . Разложим радиус-вектор и импульс точки на составляю­щие вдоль оси вращения и в направлении перпендикулярном оси:

r = Ii l + r±>

Р = Р ц+Р±

Соответственно находим:

L = г х р = rj, х Р|| +гх хрц +||, хрх + 4 x P i-

Первое слагаемое в правой части равно нулю как векторное произведение двух параллельных векторов. Второе и третье слагаемые направлены пер­пендикулярно оси, поскольку содержат сомножитель, направленный па­раллельно оси. Следовательно, вектор момента импульса относительно оси равен

L0 =г± хр±.Векторы г± и р± лежат в плоскости, перпендикулярной оси О (рис. 9.3.2).

Рис. 9.3.1. К определению Рис. 9.3.2. Вращение точки Амомента импульса относитель- относительно оси О (рисунок —но оси в плоскости, перпендикулярной

оси О)

Обозначим расстояние от точки до оси как R = |г± |. Тогда

Lz = (г± х P i )z = r±p± sin a =emRv1 sin a ,

где a — угол между векторами r± и p± . Как видно из рис. 9.3.2, состав­

ляющая р, =w v, вектора р±, перпендикулярная радиус-вектору, имеет длину

|Pi | = р± sin а = mv± sin а.Величина vx = v± sin а описывает вращение точки вокруг оси по окруж­

ности радиуса R, так что vx = coR и

|р, | = mv± sin а = mcoR.

92

9.3.2. Молент инерции тела относительно оси. Если мы имеем де­ло с телом, те. с системой точек, то, выполнив суммирование по всем точкам, полушем момент импульса всего тела относительно оси:

к = Z 4 ° = /<а (9.3.2)/ /

Здесь введенавеличина

/ = Z w/ 4 - (9.3.3)

Lz = mR2 со. (9.3.1)

называемая мшентом инерции тела относительно оси.В случае юпрерывного распределения масс формула (9.3.3) принима­

ет вид

l - ^ R 2dm, (9.3.4)

где /? — расстояние от элемента dm до оси.9.3.3. Моленты инерции простейших тел. Найдём моменты инер­

ции некоторые тел.1. Однородный тонкий стержень длины / (относительно оси, прохо­

дящей через ею конец перпендикулярно оси) (рис. 9.3.3).Пусть по.гная масса стержшя равна т. Выделим участок стержня дли­

ной dx. Его масса равна d m - ^ d x . По общей формуле (9.3.4) находим

х= /

I = J х2dm =х= 0

(9.3.5)

2. Тонкое однородное кольцо радиуса R (относительно оси, проходя­щей через центр перпендикулярно плоскости кольца) (рис. 9.3.4). Вслед­ствие того, что все точки кольца находятся на одном и том же расстоянии до оси, находгм

I = f R 2dm = mR2. (9.3.6)

3. Однородный тонкий сплошной диск радиуса R относительно оси, проходящей чгрез центр перпендикулярно плоскости диска (рис. 9.3.5).

Для нахождения момента инерции разобьём диск на серию концен­трических колец (г, г + dr) массой

nR 1 nR1 R2Суммируя соответствующие мо>менты инерции, находим

93

(9.3.7)/ = | r2 dm = ~ y \ r2 dr = —mR2.r = o R о 2

Zx dx

0 / *

Рис. 9.3.3. К вычислению момента инерции тонкого стержня относительно оси Z

Рис. 9.3.5. К вычислению мо­мента инерции тонкого диска относительно оси Z

момента инерции тонкого кольца относительно оси Z

тральною MoMcniii инерции

9.3.4. Центральный момент инерции. Дни m.i'im кипя некоторых моментов инерции полезным оказывается следующий приём.

Рассмотрим три оси прямоугольной системы координат (рис. 9.3.6). Запишем моменты инерции тела относительно мок -юн и i осей:

1Х = + z 2jdw, 1у = Д х 2 + z 2^dm, I | ( \ I v2^dm.Здесь в каждой формуле в скобках стоит рас» тиши* т >лемента dm до соответствующей оси. Складывая почленно все ipn p.inriu ma, получаем

Ix +Iy + lz = 2 \{x1+y- + z2) .h4- ’/„ (9.3.8)

Определённая этим равенством вспомогательна и и» 11141111,1

/° = J (x2 + г 2)^м (9.3.9)

называется центральным моментом инерции.Используя введённую величину, найдём мою mu инерции некоторых

тел.1. Тонкостенная полая сфера массы т и ри мои и А' омюсительно оси,

проходящей через её центр.

94

вследствие симметрии сферы все три момента инерции относительно "• i ii, проходящих через её центр, одинаковы:

Ix = Iy = I2. (9.3.10)

Нискольку все точки сферы находятся на одном и том же расстоянии от центра, центральный момент инерции (9.3.9) оказывается равным

/0 = mR2.

11мея в виду равенство (9.3.8), находим

Ix = Iy =I 2 = h 0 = l m R 2. (9.3.11)

2. Сплошной шар радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

Данный момент инерции вычисляется путём разбиения шара на серию юнкостенных сфер. Масса сферы (г, г + dr) равна

dm = — dV, V = — 7rR3, dV = A n r2 dr => dm = ^ - r 2dr.V 3 R3

Далее находим центральный момент инерции:

11аконец, имея в виду симметрию шара, находим из (9.3.8):

3. Сплошной диск радиуса R (относительно оси, лежащей в его плос­кости и проходящей через центр, рис. 9.3.7).

Пусть ось z перпендикулярна плоскости диска, а оси х и у лежат в плоскости. Ищем центральный момент инерции:

/° = J (x 2 л-у2 + z 2 jdm = Д х 2 + у2 jdm = / г.

Здесь учтено, что диск целиком лежит в плоскости z = 0. Таким образом, с учётом равенства (9.3.8) получаем:

IX ■*" Iу IZ ~ ^ Z I X Iу “ ■ 1Z •

Поскольку вследствие симметрии диска 1х ~1у , то окончательно находим

Ix =Iy = ^ m R 2. (9.3.12)

95

Рис. 9.3.7. Оси х н у , лежа­щие в плоскости диска и проходящие через его центр

Рис. 9.3.8. Конус высоты // и радиуса основания R

4. Круговой конус с высотой Н и радиусом основания R (рис. 9.3.8). Вычисления дают следующие значения моментов инерции:

а) относительно оси конуса (оси z):

/ . = — mR2,2 10

б) относительно осей х н у , проходящих через вершину конуса пер­пендикулярно его оси:

1х = 1у л т{ ^ + н А у 5 и J

9.3.5. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Если ось zc проходит через центр масс тела, а ось z параллельна оси zc , то

’ I = Ic.+mR2. (9.3.13)

Здесь / и 1С — моменты инерции тела относительно осей z и zc соответ­ственно, R — расстояние между осями, т — масса тела. Докажем это утверждение. *

Рис. 9.3.9. К доказательству теоре­мы Гюйгенса-Штейнера. Ось zc проходит через центр масс С тела, а о с ь г параллельна оси zc

96

Пусть R — радиус-вектор некоторой оси z относительно оси zc. Тогда для произвольной (/-й) точки тела радиус-векторы отноЪцтельно осей z и zc связаны соотношением (рис. 9.3.9) Nv

R ,= R C, - R . \

Имея в виду это соотношение, найдём момент инерции относительно оси z:

/ = X m , ^ = X w/(Rc , / - R)2 =/ /

= Z ^ ( R c. / - 2 r c. ,r + r 2)./

Далее учтём, что ось zc проходит через центр масс. Поэтому

Z w/Rr , /= 0 -/

Учитывая, что

— это момент инерции тела относительно оси z0 находим момент инер­ции относительно оси z:

I = Ic + mR2, т = У'jtrij.

Как видно из полученной формулы, момент инерции отиостениюоси, проходящей через центр масс, имеет наименьшее значение но срав­нению с моментами инерции относительно других осей.

В качестве примера применения доказанной теоремы найдём момент инерции прямоугольной пластины относительно оси, перпендикулярной её плоскости и проходящей через центр (рис. 9.3.10).

Рис. 9.3.10. К вычислению момента инерции пластины относительно оси, перпендикулярной её плоскости и про­ходящей через центр

Предварительно заметим, что момент инерции стержня длины / отно­сительно оси. проходящей через его центр масс и перпендикулярной оси, может быть найден применением теоремы Гюйгенса-Штейнера:

97

(9.3.14)2

Для вычисления искомого момента инерции разобьём пласину на се­рию полос шириной dy, параллельных оси х , как показано на ис. 9.3.10. Момент инерции одной такой полосы относительно центрапластины равен

Здесь использованы формула (9.3.14) и теорема Гюйгенса-Цтсйнера. Суммируя моменты инерции всех полос, получаем

9.4. Уравнение динамики вращения тела относительно оси

9.4.1. Основное уравнение. Твёрдое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Для каждой точки можно записать уравнение моментов:

Здесь М/ — момент сил, приложенных к точке /, относительно ;начала от­счёта О. Пусть ось вращения есть ось z. Проектируя это уравнение на ось вращения и выполняя суммирование по всем точкам, получим

“ - м .dt

где М — суммарный момент сил, действующих на тело, относительно оси z. Используя связь L = 1со, получим искомое уравнение:

9.4.2. Маятник Максвелла. В качестве примера плоскопаралплельного движения твёрдого тела рассмотрим поведение маятника Шаксвелла (рис. 9.4.1).

Маятник Максвелла представляет собой массивный диск раддиуса R и массы т. Маятник подвешен на нитях, намотанных на ось радиууса г. Под

12 b

(9.3.15)

dt

98

действием силы тяжести и вследствие намотки нитей диск перемещается вверх-вниз, т.е. совершает колебательные движения.

Найдём ускорение маховика и натяжение нитей такого маятника. До­статочно рассмотреть движение только в одном направлении. Запишем уравнения движения, рассматривая опускание маховика:

1. второй закон Ньютона для поступательного движения

d 2zm - = 2 T -m g , dtl

2. уравнение динамики вращательного движения относительно оси маховика

1— = 2гТ. dt

Учтено, что момент сил, действующих на маятник относительно его оси, создают только силы натяжения нитей. Момент же силы тяжести равен нулю, поскольку эта сила приложена к центру масс. Координата z отсчи­тывается вверх. Тот факт, что ось вращения перемещается, не меняет вида уравнения в соответствии с утверждением, доказанным в конце раздела 6.2.5.

Рис. 9.4.1. Маятник Максвелла — маховик массы ///, подвешенный на нитях, вращающийся вокруг соб­ственной оси и за счет тгого пере­мещающийся вверх-вниз

При опускании маховика вниз имеет место кинематическая связь ско­рости поступательного движения и угловой скорости вращения:

dz = -rdcp = -rcodt.

Знак «-» означает уменьшение высоты. Поэтому уравнение поступатель­ного движения принимает вид

dco-m r—- = 2Т - mg. dt1

Исключая натяжение нитей из последнего уравнения с помощью уравне­ния вращательного движения, получим

99

( т 2 \ d ( 0yl+mr J - j- = mgr.

Отсюда находим угловое ускорение маятника:

dca _ mgr dt I + mr2 '

Ускорение поступательного движения при этом оказывается равным

dco 1а - г —— = -------— T g.dt 1 + / / mr1

Считая, что момент инерции маятника определяется в основном махови­ком (т.е. пренебрегая моментом инерции оси), имеем / = mR2/ 2. Поэтому

выражение для ускорения принимает вид

2г2а = —=------Jg-

R2 + 2г2В соответствии с уравнением динамики вра­щения натяжение каждой из нитей даётся формулой

г 1 dco I R2Т = - — — = — - а = — --------mg.2г dt 2г2 R2+2r2

Рис. 9.4.2. Тело вращения, скатывающееся по наклонной плоскости

Заметим, что в пределе, когда радиус оси маятника мал по сравнению с радиусом маховика: r< zR9 получаем

\2g, Т a mg,

т.е. ускорение мало в меру малости величины (г//?)2 , а натяжение каж­

дой из нитей приблизительно равно весу маятника. Если бы маятник по­коился, то натяжение нитей было бы вдвое меньше: Т = mg/2.

9.4.3. Скатывание тела по наклонной плоскости. Пусть тело вра­щения — однородный цилиндр радиуса R — скатывается по наклонной плоскости (рис. 9.4.2). Найдём ускорение, приобретаемое этим телом. Бу­дем считать, что имеет место чистое качение.

На тело действуют сила тяжести wg, сила трения FTp и реакция опорыN. Последняя перпендикулярна поверхности и определяет величину силы трения. Направление силы трения таково, что оно препятствует вращению тела и в рассматриваемом случае противоположно направлению скатыва­ющей силы mg sin а.

Г00

Запишем второй закон Ньютона:

ma = m g s\n a -F rp.

Вращение тела описывается уравнением моментов

I& = F„R,

(9.4.1)

(9.4.2)

записанным относительно оси вращения (проходящей через центр масс тела).

Исключим силу трения из (9.4.1), (9.4.2):

1(0та + — = mg sin а. R

(9.4.3)

При чистом качении угловая и поступательная скорости связаны со­отношением

v = (oR => а = coR. (9.4.4)

g s in a

T+f/mR2(9.4.5)

(9.4.6)

С учетом этого равенство (9.4.3) принимает вид

( / )а т + — = mg sin а => а - \ Л"

Поскольку для цилиндра I = т Л 2/2 , то окончательно находим2а - — gsin а.

Вели бы цилиндр был полым, то его момент инерции был бы равен / = т Л 2, и такой цилиндр приобретал бы ускорение a (l/? )g s iiw r Та­

ким образом, полый цилиндр скатывается медленнее, чем снионшоП. вследствие того, что его момент инерции больше.

Получим условие, при котором движение цилиндра может происхо­дить в режиме чистого качения.

Величину силы трения найдём из (9.4.1):

_ . . mg sin a mg sin а/т, (9.4.7)

Качение без проскальзывания возможно, если сила трения F^ не превы­шает её максимально возможного значения: FTp<Frр пш =kN = kmgeosa ,

где к — коэффициент трения скольжения. Отсюда следует

tg а < к ^ mR2 1 +--- (9.4.8)

101

При углах наклона плоскости, превышающих предельное значеже

«max =аГС1ё к 11 +-1 J.

качение переходит в движение со скольжением.

9.5. Кинетическая энергия вращения тела относителыюоси

Если твёрдое тело вращается относительно фиксированной оси, при­чем относительно этой оси его момент инерции есть /, а момент импульса — L, то, учитывая выражение для скоростей точек, образуюдих тело, Vj = coRh где Rj — расстояние точки до оси, получим

£ _ у m iVJ _ у m ic° 2Rj. 2 . 2/ /

Этому выражению можно придать другой вид, используя соотноше­ние L = Ico:

z?2 / '

9.6. Момент импульса относительно произвольной точки

Момент импульса тела зависит от выбора начала отсчёта. Пусть точка С — центр масс. Его радиус-вектор относительно произвольно выбранно­

го начала отсчёта О обозначим Lc . Тогда радиус-векторы произвольной точки тела относительно центра масс (г,) и относи­тельно начала отсчёта О (R/) связаны соот­ношением (рио, 9.6.1)

R / = Rc+>/-Аналогичным соотношением связаны ско­рости центра масс (Vc) и точки (V/) отно­сительно начала отсчёта О, а также точки

V,.=V c + v,..

Соответственно момент импульса тела относительно начала О дается вы­ражением

Рис. 9 .6 .1 . Р адиус-векторы /-й точки тела отн оси тельн о ц ен тра м асс С и отн оси тельн о произвольно вы бран ­ного н ачала отсчёта О

центра масс С (v,):

102

Lo = Z w/R/ xV/ = Z " 7<Rc xV; + Z w/1: xV< == R,- x Z - ,V ,. + Z w,/,<xVc + Z w'r/ xv ' = w R c xV c + L'.

\ iЗдесь суммирование производится по всем точкам тела. При выводе учте­но, что ^ т , г , = 0 в силу определения центра масс. Величина

= L ' есть момент импульса системы точек (т.е. тела) относи­

тельно центра масс. Таким образом, мы пришли к искомому равенству

Lq — R » х Р-> -t- L , = ш\/£.

Это равенство аналогично теореме Кёнига и связывает момент импульса тела как целого и момент импульса тела относительно центра масс.

9.7. Момент импульса тела (общий случай)

9.7. /. Тензор инерции. Имея в виду результат предыдущего раздела, рассмотрим момент импульса тела относительно центра масс:

L = Z w<r' x v <-/

Поскольку при вращении тела относительно неподвижной точки скорости его точек даются выражением v;. =сохг;., то получаем

L = Z w/r/ x (wxr/) = Z w- [V w - («г, )'•,]■/ /

Здесь двойное векторное произведение преобразовано по правилу a x (b x c ) = b (ac)-c(ab). Из этого равенства видно, что векторы L и со в

общем случае не параллельны.Перепишем полученное равенство в прямоугольных координатах:

Ах 2 ^ Щ £(■*/ Уi z i )&х (Xi^ x У№у Щ )x i J

Z mi(yt +z<2) Z Н з д ) О)у-н Z (-w ,x ,z ,.)

Аналогично вычисляются и другие компоненты вектора момента импуль­са. Их выражение легко получить из приведённого циклической заменой jc —> у - b z -ъх. В итоге получаем

103

Lx =

Ly =

Z mi ( y l +z<2)/

“Z "/У Лi

- Z w ,

ft>v + - Z w ,i

Z w-(z<2 + x <2). /

" Z т1*1У1

0)y +

o)y +

- Z w ,/

- Z w i/'

Z w ,(x ,2 +y,2)

*г +

®2.

(Уг.

Запишем эти равенства в следующей форме:

~ IХХ^Х Iхуй*у ^x z^ z >

Lу y ^ 1yz 2 *

L2 — 12Х сох +1 Zy (оу + 122 соz .

В матричном виде они принимают вид

С IX X I х у 1 х :\

" . V

f , = I у х 1 у у ' у : ® у

11 J z x 1 : у “ / Л /

или, более компактно,

L = /со.Матрица

/* хс Iху Л^ ух 1уу Л

I 7- Л

Z ^ / t f + z <2)/

I - Z * / w

j v| " Z mizixiК i

- Z w //

Z w/(z/2 + хЬ/'

- Z mixizii

- Z * / M/

'£im,(xf+yf)i

называется тензором инерции.Пусть вектор угловой скорости направлен вдоль оси jc: со = Тогда

Lx = 1ХХС°Х-Это означает, что величина /** представляет собой момент инерции тела при вращении относительно оси х, т.е. 7 ^ = 7 * . Аналогично, величины

Iyy= Iy9 Izz = 7Z представляют собой соответствующие осевые моменты

инерции.

104

Недиагональные компоненты тензора инерции называют центробеж­ными моментами инерции.

Из определения видно, что тензор инерции является симметричным, то есть Iik = Ikj. Более подробно это записывается в виде

I xy — I ух 5 ^ xz ~ I ZX > I y z ~ zy •

Таким образом, имеется всего 6 существенных компонент тензора инер­ции: три диагональные и три недиагональные.

9.7.2. Момент импульса относительно произвольной оси. Пусть тело вращается вокруг оси <9, т.е. вектор угловой скорости направлен вдоль этой оси. Полагаем

сo = (o)x,a)y9a)z).

Согласно формуле, полученной выше, имеем

L = /co.

По определению момент импульса относительно оси есть проекция векто­ра момента импульса на эту ось, т.е.

Lo = i 4 o -

С другой стороны, момент инерции 10 относительно оси О можно ввести равенством

г “ у . /Lq - —L - 10 со. со

Имея в виду равенство L = /со, получаем

1о= — = -^ (< 0 ,/со ).СО СО v '

Введём единичный вектор п = со/ су, направленный вдоль вектора угловой скорости. Тогда выражение для осевого момента инерции 10 можно пере­писать в виде

/ 0 =(п ,/п ).

Перепишем это равенство в прямоугольных координатах:

105

мые единичным вектором с осями координат

10 = (n ,/n ) = («;t, пу, п. )Iхх^х "*■ 1 хупу х:^:

I ухп х l y y ^ y ly z ^ z

J=xn x + l zyn y - I :- n z у

= Iххп\ +1ууПу + 122п\ + 2 Ixynxny + l ly - Y iy i + 2Izxnznx.

Пусть вектор n образует углы а, Р и ^сосями х , у и z соответственно (рис. 9.7.1), так что

пх = cos а , = cos Д я, = со^.

При этом из трёх углов независимыми являются только два, поскольку имеет место равенство

п2 = 1, или cos2 a + cos2 /? + c o s V = l.С учетом сказанного приходим к следующему выражению д/я момента инерции 10:

10 = / ^ cos‘! a + lyy cos2 р + IZ2 cos2 ^ +

+ 21 cos a cos p + 21 y2 cos P cos у + 21 zx cos / cos a.Если удалось тем или иным способом вычислить компоненты тензора

инерции в какой-либо системе координат, то с помощью пщведённой формулы можно вычислить любой осевой момент инерции.

9.7.3. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Введём вектор

р = " А / £ . где 10 — момент инерции относительно оси <9, направление

которой задается единичным вектором п. Тогда выражение, определяю­щее 10, можно переписать в виде

'x x p l + l y y p 2y + !z:P2z + 2 IxyP xP y + ^ y z P y P z + 21 zxPzPx * 1 •

Рассматривая вектор р как радиус-вектор точки, мы видим, ч о записан­ное уравнение определяет поверхность второго порядка — эллипсоид.

Как известно, каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

у zо с

где а, Ь и с — полуоси. В этой записи оси эллипсоида направлены соот­ветственно вдоль координатных осей х, у и z, и в уравнении присутствуют

только квадраты координат (x2, y 2, z 2). Если осуществить поворот коор­динатных осей, то в новой системе координат уравнение эллипсоида при­мет другой вид, в котором уже будут присутствовать смешанные произве­дения координат (ху, yz9 zx). В самом деле, осуществим, например,

106

поворот вокруг оси z (рис. 9.7.2), перейдя к координатам {х\ у', z'} по формулам

х = х cos<р-у sin#?,

у = * 'sin^ + y c o s (р,Z = Z .

При этом преобразовании каноническое уравнение эллипса принимает вид

Л cos ср sin (р+ /■

( . 2 2 \ sin (р + cos q>а ъ-2

+ 2x'y'sm2(p\ — т + Т Т Г ^ Т а~ о ) с

= 1.

Видно, что при а * Ь в уравнении появляется смешанное произведение координат х'у\ Как видно из рис. 9.7.2, оси эллипса при рассматриваемом

повороте уже не направлены вдоль новых координатных осей {*', у \ z'}.

Рис. 9.7.2. Преобразование координат точки при повороте координатных осей (слева) и эллипс в двух системах координат

Таким образом, выбором подходящей системы прямоугольных коор­динат (т.е. осуществив ортогональный поворот) можно привести уравне­ние эллипсоида общего вида

а„ х 2 + аууу 2 + a2Zz2 + 2а^,ху + 2ayzyz + 2 aa zx = 1

к канонической форме

^х’х '^ "^Яу'у'У “ Яz'z’ ~

устранив все смешанные произведения координат. При этом матрица ко­эффициентов (ajk) приводится к диагональному виду, в котором

*7х'У — Я у'г' ~~ z'x ~~

107

Сказанное есть частный случай теоремы: симметричная матрица по- средством подходящего ортогонального преобразования может быть приведена к диагональному виду.

Возвращаясь к тензору инерции, можно (казать, что существует си­стема координат {*, у, zj, по отношению к которой тензор инерции имеет простейший диагональный вид

( 1XX 0 0 "

/ = 0 ‘уу 0

, 0 0

В этой системе координат уравнение эллипсоида принимает вид

I XX Р х “*■ 1 УУ Р у "** I z z P z " 1 •

Оси данной специальной системы координат называются главными осями инергщи, а диагональные компоненты лензора инерции 122— главными моментами инерции. Эти величины являются моментами инерции тела при вращении относительно соответствующих осей, так что для них можно использовать следующие обозьачения:

I XX ~ I X > I у у ~ ^ у ’ 1 ZZ ^ I z *

Если выбрать произвольную ось в пространстве, то в соответствии со сказанным для нахождения момента инерции относительно этой оси до­статочно найти длину радиус-вектора р, идущего из геометрического цен­тра эллипсоида до точки пересечения поверхности осью, т.е. величинур = |р|. Поскольку р2 = п 2/ / 0 , то искомый момент инерции вычисляется

по формуле

/о = 1 / |р |2 -Иначе говоря, момент инерции вычисляется по формуле

I0 = fx cos2 а +1у cos2 Р + Iz cos2 у.

Таким образом, вращательные свойства твёрдого тела полностью ха­рактеризуются тремя главными моментами инерции.

Пусть два главных момента инерции совпадают, например, 1х =1у = 1±. Тогда

10 = /± (cos2 а + cos2 + 12 cos2 у ,

т.е. момент инерции не зависит от того, как ориентирована ось вращения по отношению к координатным осям х и у.

108

Если же совпадают все три главных момента инерции (Ix = Iy = 12 = / | ), то эллипсоид инерции вырождается в сферу:

I0 = I\ (cos2 a + cos2 /? + c o s V ) = /i ,

и момент инерции тела не зависит от выбора оси. Таким свойством обла­дают, в частности, сферически симметричные тела и тела с кубической симметрией.

Следует отметить, что I) главные оси инерции могут определяться неоднозначно — одно и то же тело может иметь несколько разных набо­ров главных осей, 2) любая ось симметрии тела является главной осью. Например, любая прямая, проходящая через центр круглого диска и ле­жащая в плоскости диска, является главной осью.

Напомним, что мы говорим только о том случае, когда ось вращения проходит через центр масс тела. Переход к осям, не проходящим через центр масс, может быть выполнен с помощью теоремы Гюйгенса- Штейнера.

Найдем выражение для вектора момента импульса тела. Пусть ось вращения направлена вдоль одной из главных осей инерции тела, напри­мер, вдоль оси л*:

со = icy,где орт i направлен вдоль оси х . Тогда

S’

Ч 0 o ' ( / . У

к = 0 h 0 0 = 0

л ) , 0 0 Л , , 0 , V 0 ,

Следовательно, момент импульса направлен вдоль той же оси. ( ’казанное означает, что при вращении тела относительно главной оси инерции мо­мент импульса параллелен вектору угловой скорости: L ТТ со.

При вращении относительно оси, ориентированной произвольным об­разом но отношению к главным осям инерции, имеем

L = i Ixcox + \ I vco + k I z CQ.

Очевидно, что в общем случае несовпадающих главных моментов инер­ции векторы L и со не параллельны.

Обозначим главные моменты как / | , / 2, / 3 . Используются следующие названия тел в зависимости от соотношений между главными моментами инерции:

/| = / 2 = / 3 — шаровой волчок,/, = / 2 ф / 3 — симметрический волчок,

109

/, * / 2 те / 3 — асимметрический волчок,

/1 = / 2, / 3 =: 0 — ротатор.Случай ротатора отражает вращательные свойства стержня, у которого момент инерции относительно его оси пренебрежимо мал по сравнению с моментами инерции в направлениях, перпендикулярных оси (рис. 9.7.3).

Пример. Найдём момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно диагонали О (рис. 9.7.4).

Выберем начало координат в геометрическом центре параллелепипе­да, а координатные оси направим перпендикулярно его граням. Главные оси инерции совпадают с осями выбранной системы координат. При этом

12 12 '

h

Рис. 9.7.3. Ротатор — сильно вытянутое осесимметричное тело, момент инерции которого относительно длинной оси пренебрежимо мал: /з » О

Рис. 9.7.4. Прямоугольный парал­лелепипед со сторонами а, А, с и диагональю О, проходящей через противоположные вершины

Для нахождения момента инерции относительно диагонали учтём, что она образует с координатными осями х , у , z углы соответственно а, Д у, причём

а п b с . Гг 7г гcos а = —, cos р = —, cos у — —, d = \Ja +b + с , d H d r d

где d — длина диагонали параллелепипеда. Подформуле для осевого мо­мента инерции находим

I0 = Ix cos2 а + Iy cos2 Р + / , cos2 у =

_ т а2Ь2 +Ь2 с2 + с2а2 6 а2+Ь2+с2

ПО

9.8. Кинетическая энергия вращения (общий случай)

По теореме Кёнига кинетическая энергия системы материальных то­чек в лабораторной системе отсчёта даётся выражением

*л.с.=mV;

где т — суммарная масса системы, Vc — скорость центра масс системы, а К — кинетическая энергия точек системы. относительно центра масс. Последнее слагаемое в случае твёрдого тела сводится к вращению тела как целого. Если v, — скорость /-й точки относительно центра масс, то

/

Скорость V/ можно представить в виде

V; = СО X Г; .

Подстановки этого выражения в формулу (9.8.1) даст

« = I f («**> )2-У чтем далее тождество

(coxr,) = со a; sin~ (р - 60“ r f 11 - cos“ (ру-- со ri -(cor,) .

Поэтому получаем

К = E y f " 2'/2 - ( Wl/ )2] = [ W -(**■/)■/] = ^ WL>

(9.8.1)

(9.8.2)

(9.8.3)

где мы использовали выражение для момента импульса тела

L = X mi [«W/2 “ («И /) г, ] = £да,г х («> х»/) = Z w<r х у/ •/ / /

Имея в виду связь момента импульса с угловой скоростью, перепишем выражение для кинетической энергии тела в виде

Л:Л(со,/со). (9.8.4)

Если х, у и z — главные оси инерции, то

K = ± ( /Xa>; + Iyo 2y +Izcol). (9.8.5)

III

В общем случае при вращении тела его пивные оси также совершают поворот в пространстве. Это следует учитывать при записи уравнений, определяющих закон изменения компонент вектора угловой скорости со временем.

Пример. Найдём кинетическую энергию 'трехосного эллипсоида, вы­раженную через углы поворота в\\ <р (рис. 9.8.1).

Рис. 9.8.1. Слева — вращение трёхосного эллипсоида, спиши — схематическое представле­ние вращения (в момент, когда ось хз смотрит «на нас»)

Обозначим главные оси инерции как {*,, г2, *зЬ Пусть тело вращает­ся вокруг оси jc3 с угловой скоростью ф и одновременно вокруг оси Z с

угловой скоростью в. Тогда компоненты вектора угловой скорости ока­зываются равными

Тогда кинетическая энергия вращения может быть записана в виде

9.9. Регулярная прецессия симметрического волчкаПусть на некоторое вращающееся тело не действуют никакие внешние

силы (рис. 9.9.1). В этих условиях сил центр масс тела остаётся неподвиж­ным, и относительно него точки тела совершают вращение.

Пусть х, у, z — главные оси инерции тела. Будем считать, что ось симметрии тела совпадает с осью z. Тогда 1Х = 1у * / 2. Вследствие сим­

метрии оси х и у можно выбирать произвольно в плоскости, перпендику­лярной оси z.

Если вращение не совершается относительно одной из главных осей, то векторы момента импульса L и угловой скорости со не параллельны. В

су, ==0cos <р, oh = в sirup, су3 = ф.

112-

отсутствие внешних сил момент импульса тела сохраняется: L = const, а вектор угловой скорости совершает движение вокруг вектора L, посколь­ку точки тела (как и главные оси) поворачиваются вокруг вектора угловой скорости.

Рис. 9.9.1. Свободная прецессия гироскопа — вращение оси гиро­скопа вокруг сохраняющегося век- гора момента импульса L

z

О

Рис. 9.9.2. К расчету угловой скорости свободной прецессии

Запишем связь момента импульса тела и угловой скорости:

1 х = ( г ® , . 1 у = i y ^ y ' L Z = I - (0 Z -

Выберем оси л* и у таким образом, чтобы в начальный момент вектор L лежал в плоскости {*, у). Тогда Ly = 0 , откуда следует со = 0 . Это озна­

чает, что вектор со не поворачивается в плоскости {х , у } и, следовательно, сохраняет неизменный угол с вектором момента импульса L. В результате ось тела (как и вектор угловой скорости) совершает регулярное вращение вокруг сохраняющегося вектора L, называемое /и\ущ нт н прсцсссиси . В ходе прецессии ось тела z описывает круговую коническую поверхность. Действительно, вследствие осевой симметрии тела и каждый н о т е д у ю щий момент времени малый поворот осуществляется и iо ч н о е!и и н-ч же условиях, что и малые повороты в предшествующие момен гы.

Найдём угловую скорость прецессии, т.е. угловую скорость вращения оси z относительно вектора L.

Из приведённых выше формул следует< » x = L x l I x > ° > z = L z l I z -

Учтём далее, чтоLx = L sin#, Lz =Lcos0.

Соответственно находим

1 Слово «прецессия» происходит от лат. praecessio —движение впереди, предшествование.

ИЗ

(or - — sin в, со. = — cos в. I IA X A Z

Для определения угловой скорости вращения относительно вектора L разложим вектор © по правилу параллелограмма на составляющие вдоль L и вдоль оси z (рис. 9.9.2). Составляющая описывает вращение тела вокруг оси z. Составляющая же вдоль вектора L и есть искомая угловая скорость прецессии. Как видно из рис. 9.9.2,

Подставляя сюда найденное выше выражение для со,., получим Q lip = L/Ix . В векторном виде это соотношение записывается следующим

образом:

9.10. Вынужденная прецессия гироскопа с неподвижной точкой

9.10.1. Вынужденная регулярная прецессия. Гироскоп — это быстро вращающееся симметричное твёрдое тело, ось вращения которого может менять свое направление.

Рассмотрим движение гироскопа при наличии постоянной внешней силы (рис. 9.10.1). Пусть ось вращения гироскопа — это одна из его глав­ных осей. Обозначим её *3. Тогда L = /3©, где /3 — момент инерции отно­сительно оси вращения.

Рис. 9.10.1. Слева — гироскоп с закрепленной точкой О, находящийся под действием силы тяжести F; справа — расчёт приращения момента импульса

«Включим» теперь внешнюю силу F. Радиус-вектор точки приложе­ния силы обозначим как а. В рассматриваемом сейчас случае уравнение динамики вращения твёрдого тела (уравнение моментов) имеет вид

^ p = L / / v.

F

114

(9.10.1)dL— = a x F. dt

Отсюда следует, что бесконечно малое приращение вектора момента им­пульса перпендикулярно плоскости {a, F}. И поскольку эта плоскость непрерывно поворачивается вместе с векторами L и а, то при неизменном направлении силы F и неизменной точке приложения силы к гироскопу вектор L совершает регулярное вращение вокруг вертикальной оси (рис. 9.10.1 слева). Такое движение называется вынужденной прецессией.

Для нахождения угловой скорости вращения гироскопа заметим, что в рассматриваемых условиях оказывается dLA-L . На основании свойств векторного произведения это позволяет положить

dL Л т — = ftx L . dt

Введённый здесь вектор ft есть вектор угловой скорости прецессии. Что­бы найти величину ft, заметим, что согласно рис. 9.10.1 (справа)

\dL\ = 2Ll s i n J - LLd(p,

где Поскольку производная d(p/dt = ft есть угловая скорость

прецессии, то величина \dL/dt\ оказывается равной

d L ftLsin#.dt

Найдём теперь момент силы, приложенной к гироскопу: |М| = |axF | = aF sin0.

Приравнивая два полученных выражения, получаемaF

ftZ,sin# = я/7sin# или ft = — .L

Чтобы записать это выражение в векторном виде, заметим, что со­гласно рис. 9.10.1 векторы силы и угловой скорости противонаправлены: f t ТФ F. Следовательно, находим окончательно

£1 = F. (9.10.2)L

Из этой формулы, в частности, следует, что в отсутствие внешней силы (F = 0) прецессия отсутствует: f t = 0.

В ряде случаев в роли внешней силы выступает сила тяжести. Пока­жем, что в задачах о вращении тел можно считать, что эта сила приложена в точке центра масс тела (системы материальных точек). Действительно,

115

xg = wRc xg = Rc xw g,M= Z r/ x (“ /8 )= Z w/r</ \ i Jгде R c — вектор центра масс относительно начала отсчёта (точки за­крепления гироскопа).

9.10.2. Вынужденная прецессия с нутацией. Рассмотрим вынужден­ную прецессио волчка (рис. 9.. 10.2), быстро вращающегося вокруг своей оси (случай так называемого «быстрого волчка»). Предполагаем, что ки­нетическая эьергия вращения велика по сравнению с энергией в поле тя­жести.

Если сначала полностью пренебречь влиянием силы тяжести, то мы получаем случай свободной прецессии волчка. Отличие от рассмотренно­го в разделе 9.9 случая состоит только в том, что точка закрепления не совпадает с дентром масс. Оно, однако, учитывается соответствующей заменой момента инерции тела согласно теореме Гюйгенса-Штейиера:

Гх = 1х +та2.Здесь 1Х — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, а — расстояние от точки закрепления до центра масс.

Как былс установлено в разделе 9.9, ось волчка прецессирует вокруг направления сохраняющегося момента импульса L с угловой скоростью:

= l / / ; ,где ось х перпендикулярна оси вращения волчка. Это движение будем называть ну­тацией (от Лет. nutatio — колебание).

В следующем приближении нужно учесть, что благодаря” силе тяжести вектор момента импульса волчка L (а с ним и век­тор П нуг) начинает медленно (по сравне­

нию с нутацией) прецессировать.Запишем уравнение прецессии:

dL— = а х m g. dt

Пусть ось волчка образует угол а с вектором L. Тогда среднее значение радиус-вектора точки приложения силы тяжести за период нутации равно

Lacn = tfc o sa —.

ср LПоэтому

Рис. 9.10.2. Прецессия и нутация быстрого волчка в поле тяжести

116

icp х = у cosa (L x§ ) = f t np * L-

Здесь введена угловая скорость вынужденной прецессии

^прта cos а

Данное выражение совпадает с выражением, полученным выше без учета нутации. Разница состоит только в том, что точка приложения внешней силы (силы тяжести) из-за наличия нутации: аср = a cos а смещается —

приближается к точке закрепления волчка. Заметим, что полученное вы­ражение справедливо только для случая быстрого волчка, причём оказы- вается П пр « П муг.

Рис. 9.10.3. Одна из воз­можных траекторий, опи­сываемых осью волчка в холе прецессии с нутацией

Угол в между осью волчка и вектором f t np

называется углом нутации (рис. 9.10.2). Обозна­

чим угол © = Q np,Q liyr. Тогда угол нутации ме­

няется в диапазоне 0 - < г < 0 < в + а.Таким образом, волчок совершает вынуж­

денную прецессию в поле тяжести с угловой ско­ростью Л пр. Одновременно его ось совершает

быстрые колебания с амплитудой 2а вокруг век­тора П пр. Эти последние колебания названы ну­

тацией. В результате ось волчка описывает сложную траекторию, пример которой показан на рис. 9.10.3.

Запишем кинетическую энергию вращения волчка. Разложим вектор момента на компоненты вдоль вектора П |С>ГГ и в перпендикулярном

направлении:Ц = L cos a, Lx =Ls\na.

Для кинетической энергии получаем выражение

2 /. 2 /;

cos a sin а

~ С +~ п~ ,

117

Глава 10. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Одним их самых распространённых типов движений являются коле­бания. Колебания — это такие изменения состояния исследуемой систе­мы, которые характеризуются той или иной степенью повторяемости. Примерами колебаний являются движения маятника часов и струны му­зыкального инструмента, движения планет вокруг их центральной звезды, волны на поверхности воды, звук и многое другое.

10.1. Гармонические колебания

10.1.1, Основные определения, Гармоническими называются колеба­ния, следующие гармоническому закону:

х = acos(cot + (р0). (10.1.1)

Эта функция периодическая: x(t + T) = х(/), причём её период Т равен

Т = 2тг/со. (10.1.2)

Величина со называется частотой (или круговой частотой), а вели­чина v = cof2n — циклической частотой. Она связана с периодом коле­баний соотношением v ==1 /Т .

Коэффициент а в (10.1.1) называется амплитудой колебания, аргу­мент косинуса

<p(t) = at+<Po — (10.1.3)фазой колебания, а его значение (р = (р0 при t = 0 — начальной фазой.

ЮЛ,2. Геометрическая интерпретация.Пусть точка М равномерно движется на плоско­сти {х,у} по окружности радиуса а с центром в начале координат (рис. 10.1.1). 11ри >том угол <р, Рис |0 | , Точка м< двига. образуемый радиус-вектором точки и осью абс- ющаяся по окружности цисс, меняется со временем по закону

(р - (of + (pQ. (10.1.4)

Тогда координаты точки в момент времени t равны

118

x(t) = acos(cat + (p0\ y (/) = tfsin(6yM-#>0). (10.1.5)Отсюда видно, что при равномерном движении по окружности проекции точки М на координатные оси совершают гармонические колебания. Ам­плитуда этих колебаний оказывается одинаковой и равной радиусу окружности, а фазы функций *(/) и у(/) отличаются на /г/2.

10.1.3. Уравнение гармонических колебаний. Поскольку для функции x(t) = acos(cot + (p0) выполняются соотношения

x(t) = -aG)S\Y\((0t + Щ ), x(t) = - C I O ) 2 cos (cot + (p0), то она удовлетворяет дифференциальному уравнению

х + со2х = 0. (10.1.6)Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Оче­видно, что такому же уравнению удовлетворяет и функция y(t) в (10.1.5).

Все возможные решения уравнения (10.1.6) даются формулойх = acos(cat + (р0) (10.1.7)

и отличаются амплитудой а и начальной фазой <р0, которые могут быть найдены из начальных условий, т.е. по значениям координаты х и скоро­сти v = x в момент времени / = 0. Пусть x(0) = jc0, лг(0) = г0. Поскольку

v(t) = x(t) = -cosm(cQt + щ ), (10.1.8)то при t = 0 имеем

x0 =<7cos^0, v0 =-coas\n(p0. (10.1.9)Отсюда находим

a = ^ x l + (v J c o ) \ (Ю.1.10)

tg<P0 = —р0/(©*<>)•Для гармонических колебаний, описываемых уравнением (10.1.6), пе­

риод колебаний Т = 2n/co не зависит от амплитуды а. Такие колебания называются изохронными.

Отметим, что гармонические колебания совершает не только ко­ордината х(/), но и скорость v(t) = x(t), причём с тем же периодом Т.

В ряде случаев вместо представления (10.1.7) удобно использо­вать эквивалентное ему выражение:

x = x0l cos£tf + х02 sincot. (10.1.11)

Коэффициенты *0i и х02 связаны с амплитудой а и начальной фазой щ соотношениями

х0| = a cos (Pq , х02 =-as\n(pl) ;П ------Г , ( 10Л',2 >а = у]хо, + х02, tg<р0 = -х ,а/х м .

119

10.2. Простейшие колебательные системы

10.2.1. Математический маятник. Математический маятник — это материальная точка в поле тяжести, подвешенная на нерастяжимой нити (рис. 10.2.1).

Пусть материальная точка имеет массу т и подвешена на нити дли­ной /. Тогда она движется по дуге окружности радиуса / с центром в точкеО. На эту точку действует сила тяжести F = mg, направленная вертикаль­но вниз. Её проекция на направление движения (т.е. на направление каса­тельной к траектории) есть возвращающаяся сила Fs =-m g sin 6, где в — угол между нитью и вертикалью. Следовательно, уравнение движения точки имеет вид

та - -m g sin 0. (10.2.1)

Поскольку длина дуги траектории s связана с углом отклонения в соот­ношением s = l0, а ускорение равно a = d 2s j dt2, то получаем

cftejdt2 = -со2 sin 0, (10.2.2)

где со = yfgJJ.

Рис. 10.2.1. Математический маятник Рис. 10.2.2. Пружинный маятник

Устойчивому положению равновесия маятника соответствует откло­нение 0 = 0. При малых отклонениях от равновесия можно приближённо положить sin 0 * 0 . В результате мы приходим к уравнению малых коле­баний математического маятника

d 2e /d t2 + со2в = 0. (10.2.3)Отсюда видно, что поведение маятника описывается дифференциаль­

ным уравнением гармонических колебаний. Это позволяет сразу найти период колебаний:

Т 2лсо

= 2 л (10.2.4)

120

10.2.2. Пружинный маятник. Рассмотрим пружинный маятник (рис. 10.2.2), представляющий собой материальную точку массы т, со­единённую пружиной со стенкой. По закону Гука сила, действующая на материальную точку со стороны пружины, равна F = —/г(/—/0), /о — дли­на пружины в ненагруженном состоянии, к — жёсткость пружины, / — длина деформированной пружины. Отсчитывая координату материальной точки от положения равновесия, т.е. полагая х = 1-10, на основе второго закона Ньютона т х - F приходим к уравнению движения

^ -4 + а)2х = 0, (10.2.5)dr

где (о = yjfc/m.В соответствии со сказанным выше период колебаний равен

( 10.2.6)

10.3. Физический маятник

Физический маятник — это тело, которое может совершать колеба­ния вокруг неподвижной точки А (рис. 10.3.1).

Составим уравнение колебаний такого устройства. Пусть тело подвешено в точке А , центр масс тела находится в точке С, а рас­стояние от гонки подвеса до центра масс рав­но а. Тогда уравнение вращательного движе­ния имеет вид

/ ‘h 0 d r

(Ю.3.1)

„ ^ м где 1А — момент инерции тела относительноРис. 10.3.1. Ф изическим маят- , . .НИК, соверш аю щ ий колебания точки подвеса Л , М — момент силы тяжести относительно точки подвеса А относительно ТОЙ же ТОЧКИ.

Найдём вектор момента силы М:

м = X г ,х т& = miri J х g = wRcх 8-

Проектируя этот вектор на ось А, имеемМ = -mga sin 0. (10.3.2)

Поскольку (о = 0, то получаем уравнениеd 20 /d t2 + со1 sin 0 = 0, (10.3.3)

121

в котором введено обозначение для частоты колебаний: со - yjmga/IA.

Период колебаний даётся формулой

Т = 27TyJlA/mga. (10.3.4)

Данное выражение можно переписать в той же форме, что и в случае

математического маятника ^ = luyjl/g j, введя приведённую длину:

/nP= / „ /" ^ . (10.3.5)

Тогда формула (10.3.4) примет вид

T = 2 n p Q l . (10.3.6)

Воспользовавшись теоремой Гюйгенса-Штейнера

IA = Ic+ m a\ (10.3.7)

получаем следующее выражение для приведённой длины:

/ПР= « + — • (Ю.3.8)

Точка А ' маятника, отстоящая от точки подвеса А на расстояние /пр, называется цотром качания (рис. 10.3.1).

Теорема Гюйгенса. Если физический маятник подвесить за центр качания, то период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса станет новым центром качания.

Доказательство. Подвесим маятник (рис. 10.3.1) за центр качания А\ Для такого случая приведённая длина составляет

С другой стороны, как видно из рис. 10.3.1, qj-a' = /ир, или

I,а '= 1 - а =пр та- а = ■

таОтсюда следует, что

, 1С / .I — а н------ —-------ь -та9 та т (Ijm a )

= — + a = L .та нр‘

Таким образом, приведённая длина маятника не меняется. Поэтому не меняется и период колебаний:

T = 2 x J I j ^ = 2 * f i j ^ = r .

122

10.4. Фазовая плоскость и фазовая траектория

Рассмотрим некоторую колебательную систему, состояние которой описывается функцией х(/). ВЕедём плоскость, но осям координат кото­рой откладываются координатах и скорость v = x. Эта плоскость {х, х} называется фазовой плоскостью.

Состояние системы в каждий фиксированный момент времени зада­ётся значениями координаты х v скорости v = х. Тогда на фазовой плоско­сти мгновенное состояние рассматриваемой системы представляется точ­кой А с координатами |х(/), х(/'}, называемой фазовой (или изображаю­щей) точкой. С течением времени положение фазовой точки меняется, в результате чего она описывает на плоскости {х, х} некоторую кривую, называемую фазовой траекторией.

Для гармонического колеба-шя координата и скорость даются форму­лами

х = acos(cot +(р0), х = - acos\n(o)t + %). (10.4.1)

Исключая из этих соотношений время, приходим к уравнению фазовых траекторий:

Это есть уравнение эллипса с полуосями х0 и сох() (рис. 10.4.1). Очевидно, что колебаниям с разными амплитудами на фазовой плоскости отвечают вложенные один в другой эллипсы.

Направление движения фазовой точ­ки А по фазовой траектории удобно обо­значать стрелкой. Участкам траекторий в верхней полуплоскости (х > 0 ) отвечаетположительное направление движения (переменная х возрастает), а участкам траекторий в нижней полуплоскости (х < 0 ) — отрицательное направление(переменная х убывает).

В рассматриваемом случае все фазо­вые траектории замкнутые и охватывают точку равновесия, которой отве­чает начало координат: х = 0, х = 0. Эта точка в теории колебаний назы­

Рис. 10.4.1 Фазовые траектории гар­монического осциллятора, отвечаю­щие разным значениям энергии

вается центром.

123

10.5. Колебания при наличии трения

Для тела, движущегося в однородной среде, сила трения зависит только от скорости. При малых скоростях приближенно можно считать

Fip = -/? v , (10.5.1)

где р — постоянный положительный коэффициент. Такое трение часто называют жидким (или вязким), поскольку оно характерно для движения тела в жидкости или газе. Например, сила Стокса, действующая на шарик радиуса R со стороны жидкости с вязкостью ц, равна F =-6nrjR\ (раз­

дел 13.4.4).Рассмотрим пружинный маятник в вязкой среде. Уравнение его дви-

жения имеет видтх = -к х - Рх. (10.5.2)

Введём обозначения:

II(NIIгз° (10.5.3)т т

Тогда соотношение (10.5.2) принимает видх + 2ух + а>1х = 0. (10.5.4)

Полученное равенство называют уравнением осциллятора с трением. Величина у называется коэффициентом затухания, а соо — собственной частотой осциллятора.

Для нахождения решения уравнения (10.5.4) положим*(/) = e~y,u{t).

Подстановка этого выражения в (10.5.4) приводит к уравнению для функ­ции u(t) :

ii+(co2- y 2)u = 0. (10.5.5)

Выделяются следующие случаи.1. Слабое трение: у < со0. Тогда, вводя обозначение

O) = jc 0 l - y 2, (10.5.6)

получим и = acos(cQt + (pQ). Соответственно получаем решение уравне­ния (10.5.4):

х = ae~yt cos {cot + %). (10.5.7)Здесь а к (fa — произвольные константы.

2. Сильное трение: у > сог Обозначая

Г = ^ 2 -*>о> (Ю.5.8)

получаем и = х01ег1 + х02е~г‘. Отсюда следует:

124

(10.5.9)* = е~г' (х„,ег' +хй1е~г‘).Здесь j c 0 i и x q 2 — произвольные константы.

3. Особый случай: у = со0. Можно проверить, что в этом случае реше­ние уравнения (10.5.4) имеет вид

X = (х0| +x02t)e-yl.Решение (10.5.7) описывает затухающие колебания, т.е. колебания с

амплитудойA(t) = ac~r\ (10.5.10)

экспоненциально убывающей с характерным временемтА=\/у , (10.5.11)

называемым временем затухания или релаксации. Согласно (10.5.6) тре­ние приводит к уменьшению частоты колебаний.

На рис. 10.5.1 показана зависимость^/) в случае затухающих колебаний.На рис. 10.5.2 представлена фазовая траектория осциллятора с трени­

ем (при у <со0). Как видно из графика, траектория приближается к точке устойчивого равновесия х = 0, х = 0, делая вокруг неё бесконечное число витков. В теории колебаний такая точка называется фокусом.

Рис. 10.5.1. Свободные затухающие колебания осциллятора с трением

Рис. 10.5.2. Фазовая траектория затуха­ющих колебаний осциллятора с трени­ем

Рис. 10.5.3. Апериодическое затухание осциллятора в случае сильного трения

Рис. 10.5.4. Фазовые траектории осцил­лятора с сильным трением (апериоди­ческое затухание)

125

Когда трение достаточней сильное: у>со0, колебания ка таковые пропадают, и система стремится к положению равновесия, совршив ко­нечное число (одно-два) подобных колебанию движений. Так<е поведе­ние, описываемое формулой (10.5.9), называют апериодическщ затуха­нием. Типичные зависимости *(/) для этого случая показаны на рю. 10.5.3, а типичные фазовые траектории на рис. 10.5.4. В последам случае точка устойчивого равновесий С* = 0, х = 0) называется узлом 1гочнее —

устойчивым узлом).

10.6. Закон сохранения энергии в колебательных процес<ахРассмотрим пружинный маятник с трением. Его энергия еншдывает-

ся из кинетической энергии ГРУза и потенциальной энергии деформиро­ванной пружины:

• 2 "»

Е = + Ет (10.6.1)

Используя обозначения (10.5 3), перепишем это выражение в сюдующей форме:

Р = - ( .г + < у ,; .г ) . (10.6.2)

Продифференцируем это равенство по времени:

dE/dt = от(»? + й>цхх) = тх(х + (tfix).

Подставив сюда сумму х* кх = -2ух согласно уравпепи1с (10.5.4),

получимdE/dt = -2тух2. (10.6.3)

Таким образом, если трение отсутствует {у = 0 ), то энергия сохраня­

ется. При наличии же трения (У > 0) энергия убывает: dE/dt £ 0.Рассмотрим частный слушй осциллятора без трения: у = 0. Тогда его

энергия сохраняется: £ = co,st* Учитывая, что решение уравнения гар-

монических колебаний х + х = 0 имеет вид х = A cos(co0t -н q>Q ), где

со0 = yfic/m, получаем согласно (10.6.1) следующие равенства:

тх 1

Е = ЕКШ1 + Е„от =^mcolA1 = const.

Таким образом, энергия периодически перекачивается из кинетической в потенциальную и обратно.

10.7. Логарифмический декремент и добротность

10.7.1. Логарифмический декремент. Рассмотрим случай слабого трения, когда система совершает большое число колебаний (рис. 10.7.1).

Как видно из приведенных выше соотношений, характер затухающих колебаний полностью определяется коэффициентом затухания у Наряду с ним часто используется логарифмический декремент, определяемый со­отношением

8 = In — , (10.7.1)Х„2

где х„\ и *„2 — значения функции x(t) в двух последовательных максиму­мах (рис. 10.7.1). Из формулы (10.5.6) видно, что последовательные мак-

Рис. 10.7.1. Затухающие колеба­ния. К определению логарифмиче­ского декремента

симумы отстоят друг от друга на время, равное периоду косинуса:*,7+1 ~ хп - Т = 2я/со. Поэтому

*,7+1 _ '4( ц+1 ) _ -у Т

х„ АЮоткуда следует выражение для логарифми­ческого декремента:

8 = уТ = - т = = = = . (10.7.2)- г

Заметим, что величина 8 определена только для у < со0. В обратном слу­чае (у > со0) колебания пропадают, и определение (10.7.1) теряет смысл.

10.7.2. Добротность. Для характеристики колебаний часто использу­ется ещё одна величина — добротность, определяемая соотношением

Q = co/2y. (10.7.3)Переписывая это определение в виде

Q = ап л /2 = ягА/Т, тА = у-’,мы видим, что добротность по порядку величины есть не что иное, как число колебаний, совершаемых системой за время их затухания тА.

Имея в виду выражение для логарифмического декремента затухания S = yT = iTtyjoL, можно придать определению (10.7.3) другой вид:

Q = k/8.

127

Таким образом, чем выше добротность Q, тем медленнее затухают колебания.

10.7.3. Энергетический смысл добротности. За период Т амплитуда колебаний убывает в еу1 раз. При этом согласно (10.6.1) энергия убывает

как квадрат амплитуды, т.е. в е2уТ раз. Это згачит, что если в начале ка­кого-либо периода колебаний в системе запасем энергия W(t) , то к нача­

лу следующего цикла в ней остаётся энергия W(t + Т) = e~2yTW(t). Потери энергии за один цикл составляют

Д W = (V(t) -W( t + T) = { \ - e lyT ) №(/)■

Считая затухание слабым: 2уТ <с1, получаем AW = 2yT-W(t). Отсюда следует

W _ \ _ \ со _ 'AW " 2уТ “ 2л 2 у ~ 2т

илиWQ = 2tt — . (10.7.4)

AWчто и определяет энергетический смысл доброгности Q. Последнюю фор­мулу иногда принимают в качестве определения добротности.

10.8. Комплексное представление колебаний

При решении многих задач теории колебаний полезным оказывается использование комплексных чисел. Это позво/яет в ряде случаев заметно упростить вычисления, сделать формулы белее компактными, а иногда и более наглядными.

10.8.L Комплексные числа. Рассмотрим точ­ку на комплексной плоскости {*, у) (рис. 10.S.1).Этой точке поставим в соответствие вектора с координатами (х9 у). Запишем формально зтот вектор как 1>,,с |().Х.1. Вектор г пред-

2 —у + 1у (10 3 1) СГ;,Ш|ЯСТ комплексное* ’ число Vf/v

Числа х и у называются соответственно дейспан- тельной и мнимой частями комплексного числа г:

x = Rez, у = lmz. (10.8.2)Длина этого вектора, называемая модулем числ\ ранил

N = ^ 2 + / . (10.8.3)

Угол, образуемый вектором z с осью абсцисс:

128

(10.8.4)

(10.8.5)

называется аргументом числа z. Очевидны соотношения:x = |z |cos^ , = |jz|sin 9;

z = |z |(cos^ + /s in 0>).

Здесь использована запись числа z в виде (10.8.1). Представление числа z формулой (10.8.5) называется тригонометрической формой. В соответ­ствии со сказанным имеем

|cos^ + /sin#?| = ^/cos2 #> + sin2 ip = 1 .

Для комплексных чисел z, = лг, + /у, и z2 =х2 +iy2 правила сложения и умножения определяются формулами

Z, + Z2 = (л:, + * 2 ) + / ( у , +у2), ( 1 0 .8 .6 а )

z,z2 =(ххх2 -У\Уг) + К*\У2 +ЪУ\)- (10.8.66)Отсюда, в частности, из (10.8.66) следует равенство

/ 2 = (0 + 0(0 + /) = - 1,задающее основное свойство числа /.

Если правило умножения (10.8.66) применить к комплексным числам, заданным в тригонометрической форме (10.8.5), то получим

z\z2 = Izi |Iz2|[cos(«!,i +<p2) + isH<P\ +<Рг)\;1 1 (10.8.7)

|z,z2| = |z,||z2|, arg(Z|Z2) = argz, +argz2.

Отсюда, в частности, следует формула Муавра (1707 г.), позволяющая возводить комплексное число в любую целочисленную степень п > 1 :

zn = уп(cosп(р + / sinп(р\ г — |z |. ( 10 .8.8)

10 .8 ,2 . Ф о р м у л а Э й л е р а . Комплексные числа можно представить в экспоненциальной форме:

z = \ z \e i<p. (10.8.9)В частности, для числа с модулем, равным единице, имеет место формула Эйлера:

cos 40 + /sin 40 = el(p. ( 10 .8. 10)При использовании формулы (10.8.9) соотношение (10.8.8) прямо

следует из свойств показательной функции:( 10.8.11)

ср = arctg (.у/лг) s arg z,

z,z2 = |z ,|eт*2 К 2 = r i z7 е)(<Р\ +(рг)

Отсюда же вытекает и формула Муавра (10.8.8).Приведём вывод формулы Эйлера. Для этого рассмотрим уравнение

гармонических колебаний

129

d2x/d t2 =-со2х. ( 10 .8. 1 2 )Его решение есть

х = С, coscot + C2 sinytf. (10.8.13)С другой стороны, известно уравнение для показательной функции:

dx/dt = ax, (10.8.14)которое можно переписать в виде

d2x / dt2 = а2х. (10.8.15)Последнее уравнение имеет общее решение

х = С3еа' +С4е~а/. (10.8.16)По смыслу производной как предела отношения малых приращений

переменных обычные правила дифференцирования можно применять и по отношению к комплексным переменным. Поэтому уравнения (10.8.12) и(10.8.15) совпадают, если положить a = ico. Соответственно после ука­занной замены совпадают и решения этих уравнений.

Выберем следующие начальные условия: х = \, л: = 0 при / = 0. То­гда из (10.8.13) получается х = cos cot. С другой стороны, из (10.8.16) при тех же начальных условиях следует, что

х = ^ (е а + е- ° ' ) = ^ (еш + е~ш ).

Сравнивая эти результаты, приходим к соотношению

cos cot = ^ (е'м + е ш ). (10.8.17)

Если же принять начальные условия х(0) = 0, л:(0) = 1, то окажется

sin a t = j ' (еш - ). ( 10 .8. 18)

Из последних двух соотношений следует формула Эйлера:еш = cos cot + / sin сок (10.8.19)

Как видно из вывода, формула Эйлера справедлива не только для действительных значений со, но и для комплексных. Поэтому в (10.8.17) можно положить со = —ia. Это даёт

eat + e~atcos iat = ch at = ----- ------ . ( 10 .8.20)

Аналогично, из (10.8.18) при c o - —ia найдём значение синуса мнимого аргумента:

al -atе — еsin iat = isha t = i ------------

2(10.8.21)

130

Формулы Эйлера можно получить другим способом, используя раз­ложения функций в ряд Маклорена. Известно, что

ех =\ + х + — х 2+ — х3+...= У — , ( 10 .8.2 2 )2 ! 3! & * ! ’

1 1 °° 2£+1sin д: = л:-----л:3 + — х5 - . . . = У ( - 1)* — --------, (10.8.23)

3! 5! (2k +1)!

cosjc = l - - x 2 + - х 4 - . . . = У ( - 1)* (10.8.24)2! 4! (2к)\

Заменяя в формуле (10.8.22) х — и замечая, что

/2" = ( - 1)", i2n+' = (-!)" /, получаем

eix = \ + i x - — x 2 - - i x 3+... (10.8.25)2 ! 3!

Имея в виду абсолютную сходимость этого ряда, можно сгруппировать его члены так, чтобы разделить действительную и мнимую части. Тогда с учётом представлений (10.8.23) и (10.8.24) сразу же получаем формулу Эйлера:

е,х = co sx + /sinx. (10.8.26)

10.8.3. Решение уравнения затухающих колебаний. Рассмотрим применение комплексных чисел на примере решения уравнения затухаю­щих колебаний

х + 2 ух + coq х = 0. (10.8.27)Введём комплексную функцию z(/), которую подчиним тому же урав­

нению:

z + 2 yz + col2 = 0- (10.8.28)При этом искомое решение *(/) есть x(t) = Rez(/)>

Будем искать решение уравнения (10.8.28) в виде_ 7Q/ z = z0e .

Подстановка этого выражения в (10.8.28) даёт

( -П 2 + 2 i)Cl + а>1) z0eiO1 = О,

откуда находим возможные значения Q:

Q2 -2ijQ .-col =0 => Qv 2 = -iy± y j ^ l - y 2. (10.8.29)

Соответственно находим решение уравнения (10.8.28):z = z01e/n,/ + z02e^ J . (10.8.30)

131

Далее, в зависимости от знака подкоренного выражения в (10.8.29) получаем случаи слабого (у <со0) или сильного (у >со0) трения:

z = e~r‘ (z0lem +z02e~m ), о = ^с о ^ -у 2 при y< w 0>' .---------- (Ю.8.31)

z = e r'[ z 0leri +z02e r'J, Г = J y 2 -a)2 при у > щ .При отделении действительной части в первом из этих равенств следует воспользоваться формулой Эйлера:

х = e~yt R e[z01 (cos cot + i sin cot) + z02 (cos cot - / sin cot)] =

= e~yt Re[(z0, + z 02)cos*y/ + /(z0, - z 02)sinatf]=

= e~yt (jc0, coscot + jc02 sin cot),

*01 = R e ( z01 + r 02)» *02 = - Im (^01 “ ^02 )*

Отделение же действительной части x = Rez во второй из формул (10.8.31) сводится к взятию действительной части коэффициентов z«i и z0ъ

х = е~у'( х 01ег>+х02е~г'} , х0| = R ez0,, х02 = R ez02.

10.9. Вы пущ енны е колебания

10.9.1. Решение уравнения вынужденных колебаний. Пусть па пру­жинный маятник действует периодическая внешняя сила (рис. 10.9.1):

F - F0 cos fit.Запишем уравнение движения груза, учитывая наличие трения:

тх = - к х - fix + F0 c o s Q/.Вводя обозначения

а>1=к/т, 2y = Plm, f 0 = Falm, перепишем (10.9.1) в виде

(10.9.1)

(10.9.2)

(10.9.3)

х+2ух+<щх = f 0cosClt. (10.9.4)* ЯДля решения этого уравнения введёмплексную гЬу н к п и ю ^ ч ч \ \ \ ч \ \ \ \ \ \ т \ \ \ ч ч у

(10.9.5)комплексную функцию

z - x - V iy.Кроме того, для внешней силы /qCosQ/ введём комплексную функцию с помощью формулы Эйлера:

f0 (cos Qt + i sin Qt) = f 0el Наконец, вместо (10.9.4) запишем уравнение

z + 2yz + colz = f 0eint

О

Рис. 10.9.1. Пружин 1ый маятник

JQt (10.9.6)

(10.9.7)

132

||егко видеть, что действительная часть этого равенства совпадает с ис­ходным уравнением (10.9.4).

Будем искать решение уравнения (10.9.7) в виде суперпозиции соб­ственных (zv) и вынужденных (z^) колебаний осциллятора:

z (0 = z, ( 0 + z/ (0

(индекс <ш> означает self собственный, а индекс «/» — forced, вынужден- //ьш). Функции zv(/) и Zf(t) удовлетворяют уравнениям

zs + 2yzs + (OqZs = 0,

z / +2yzf +(o'-zr = f0eini.(10.9.8)

Решение первого уравнения было получено в разделе 10.8.3 и в слу­чае слабого трения (у<со0) имеет вид

Z, (0 = г0е~у' cos (cot + <рх), со = Jafi - у 2. (10.9.9)

Если коэффициент затухания ненулевой ( у * 0 ), то свободные колебания

со временем затухнут: zv( / ) —>0, и останутся только вынужденные коле­бания.

Функцию z f {t) будем строить так, чтобы в отсутствие внешней силы

(/о 0) 0,ш обращалась в нуль. Очевидно, что вынужденные колебанияосуществляются на частоте внешней силы. Поэтому положим

z,(l) = z0efa'. (10.9.10)11одстаиовка этого выражения во второе уравнение в (10.9.8) даёт

( o ^ - C r + l i ^ z ^ ' = / 0ел\

Отсюда следует

л ______z„ =■со\ - Q 2 + 2 iy€l(10.9.1 I )

Эта зависимость называется частотной характеристикой осциллятора. Для нахождения решения лу(0 второго уравнения в (10.9.8) нужно

отделить действительную часть: Xj = Rezy. Для этого положим

Отсюда находимсо] - Г? + 2i)£l = Re~i<Po .

R = ^ c o l - t f ) \ A y 'C l \

tg%2jQ.

Q 2 - col

(10.9.12)

(10.9.13)

133

Соответственно оказывается z , = —J R

Xj• = Rezy отделяется легко:

,int-i<pQ где действительная часть

х/ (/) = A cos(n / + <р0), А = ■:....... (10.9.14)у / ( ^ - П 2)2 +4Г2П2

10.9.2. Резонанс. На рис. 10.9.2 показана зависимость амплитуды вы­нужденных колебаний осциллятора от частоты Q внешней силы. Как вид­но, при не слишком большом затухании наблюдается возрастание ампли­туды при приближении частоты внешней силы к некоторой характерной частоте. Это явление называется резонансом, а частота Q/w, при которойамплитуда достигает максимума, — резонансной частотой.

Рис. 10.9.2. Зависимость амплитуды вынуж­денных колебаний от частоты внешней силы для нескольких значений коэффициентазатухания у, < У г < Уъ < Уа> » гДе Y\ = 0.

rt >eoJsl2

Рис. 10.9.3. Зависимость сдтига фазы колебаний осциллятора от частоты коле­баний внешней силы для значений ко­эффициента затухания у, < у2 < у, < у4

Если затухание отсутствует, у = 0 , то резонансная частота совпадает с собственной частотой осциллятора: = *У0М1ри этом

А = . / ° . (10.9. i 5)К " Q '|

Если же у * 0, то резонансную частоту можно найти из (10.9.14), полагая dAjdco - 0:

О , = > о - 2 Г 2 • (Ю.9.16)

Если у>со0/у12 , то с ростом частоты внешней силы амплитуда колеба­ний монотонно убывает при всех Q > 0 .

134

Как видно из (10.9.13), (10.9.14), колебания осциллятора xf (t) сдви­

нуты по фазе относительно колебаний внешней силы. На рис. 10.9.3 пока- «ана зависимость фазового сдвига <р0 от частоты Q. Видно, что <р0 < 0 ,I с. колебания осциллятора отстают по фазе от колебаний внешней силы.

10.9.3. Характеристики резонанса. Пусть затухание мало: у<ксо0. 11айдём для этого случая характеристики резонансной кривой (рис. 10.9.4). Согласно (10.9.16) резонансная частота « со{). Максимум амплитуды достигается при Q « со0 и составляет

При со —> 0 амплитуда А стремится к пределу

(10.9.17)

(10.9.18)

' )тот результат отражает отклик на статическое воздействие f = f {) = const, при котором х = 0, х = 0, и непосредственно следует из

уравнения (10.9.4).Найдём отношение Атах / АСТ. Согласно (1.9.17), ( 10.9.18) имеем

А /у(10.9.19)

2 у

Тис. 10.9.4. Характеристики резонанс­ной кривой

Это отношение совпадает с добротно­стью Q рассматриваемой системы. Та­ким образом, в резонансе амплитуда колебаний в Q раз больше, чем статиче­ское отклонение: А1ШХ - (JAU.

Амплитуда вынужденных колеба­ний убывает по мере удаления от резо­нансной частоты. Найдём ширину резо­нанса AD = Q2 - Q , , где Q] и Q2 — частоты ниже и выше резонансной, при

которых она убывает в \/2 раз:

A0(co) = Anm/ j 2 .Будем считать затухание слабым. Поскольку при этом сот =со0, то со­

гласно (10.9.17) для нахождения требуемых частот имеем уравнение• /о ... 1 /о t

^(со20 - П 2)2+4Г2П2

135

или

(со* - Q 2)2 + 4 / 2Q 2 = %y2col

=> (®о - q2 f = V (2о>1 - q 2 )* 4Г2®о ■Здесь учтено, что в правой части этого уравнения при малых у можно положить П » со0. Таким образом, получаем

Q 2 - о] « ±2усо0 => Q 2 = £У2 •±^1.ЛЛ»

ИЛИ

= ^ о “ Г» ^ = “><>+;•Следовательно, ширина резонансной кривой по уровню l/>/2 составляет

Д£2 = со2 - с о 2 = 2 у .

Этот результат можно переписать в другом виде, используя понятие доб­ротности:

An = c o j Q .

Следовательно, чем выше добротность си­стемы, тем уже резонансная кривая.

10.10. Связанные осцилляторы

До сих пор мы рассматривали поведе­ние одного осциллятора. Вместе с тем воМНОГИХ реаЛЬНЫХ СИТуаЦИЯХ В стречаю тся РиС* 10,10,1 ‘ Д,,а математических

_ маятника, связанных пружинойсистемы, состоящие из двух и более взаимо­действующих осцилляторов. Для примера рассмотрим два маятника, со­единённые пружиной (рис. 10.10.1). Поведение этой системы описывается ужене одним, а двумя уравнениями. Пусть / — длина нитей маятников, гп\ и т2 — их массы, к — жесткость пружины. Считаем, что когда маят­ники находятся в самом нижнем положении (0, = 02 = 0), то пружина не нагружена.

Запишем уравнения малых колебаний маятников с учётом их взаимо­действия:

т \Х\ = - т & в х + к ( х 2 - \ , ),

т 2х 2 = - m 2g 6 2 - к ( х 2 - х ,).

136

Поскольку линейные и угловые перемещения маятников связаны соотно­шениями #, «sin # , = л:,/ / , в2 « s in #2 = х2/ / , то приходим к системе двух уравнений

т,х, = аг(х , - х , ), ( 10 . 10 . 1)

Ifl £т2х2 + —у - х2 = -к (х 2 - хх). ( 10 . 10 .2 )

Сложим сначала эти уравнения почленно:mgтхс = - — хс9 (10.10.3)

где введена координата центра масс шариковм. х, +т х->хс = ——------ ^-£-, т = +т2.

т(10.10.4)

Решение уравнения (10 .10.3) имеет вид*, = Л cos(<V + $?,,), со0 = yfg/l. (10.10.5)

Таким образом, центр масс системы совершает малые колебания, как и математический маятник.

Перепишем теперь уравнения (10.10.1), (10.10.2) в следующем виде:

X, + 7 *, = — (ЛГ2 — ЛГ,),/ т]

.. g к / ч*2 + Т *2 = ------ (*2 *1 )'/ т2

Вычтем почленно эти уравнения и введём относительную координату маятников

у = х2- х г ( 10 . 10 .6)Это приводит к уравнению

.. g к т,т2У+ , У = У, м= ■ 1 /и т] +т2

(10.10.7)

Введём обозначениясг2 = к /ju, Q 2 = со] -her2. ( 10 . 10 .8)

Тогда уравнение (10.10.7) принимает вид у + С12у = 0 и имеет решение

у = В cos(Qt + #?,). (10.10.9)Для нахождения движения каждого из маятников выразим их коорди­

наты через координату центра масс хс и относительную координату у:

137

/ 7 7 , х , + m2x2 = (w, + m2 )xc,

*2 “ *i = y

m,* . = x , - -

/77, + m 2

x2 = xt. +/77 ,

/7 7 , + m2Подставляя сюда (10.10.5) и (10.10.9), получаем окончательно

дг, = A cos(й)0( + (р0) -----—— В cos(Q/ + //?,),/7 7 , + / 7 7 2

х., = A cos(/у0/ + #?0) + — —— £ cos(Q/ + //>,)./7 7 , + /7 7 2

(10.10.10)

Таким образом, результирующие колебания маятников представляют собой суперпозицию колебаний на двух разных частотах. Появление ча­стоты О (в дополнение к собственной частоте математических маятников) обусловлено взаимодействием маятников.

Рассмотрим частный случай: /77, =т2 =т, / / = /77/ 2 . Выберем следу­ющие начальные условия:

х, (0) = 0, х2(0) = а, х,(0) = 0, х ,(0) = 0.

(10.10.11)

Эти условия означают, что в начальный момент один из маятников (пра­вый) выведен из положения равновесия и отпущен с нулевой начальной скоростью. Левый же маятник вначале остаётся в состоянии покоя в низ­шем положении. Подстановка (10.10.11) в (10.10.10) даёт систему уравне­ний для констант интегрирования А, В, <ри г/ь:

A cos (р{) - — В cos //?, =0, Acos(p0 +-Bcos(p, = //,

- Асо0 sin <р0 + — ВО. sin = 0, - Асо{) sin <р0 - — ВО sin = 0. 2 % 2

Отсюда находим(ро = (Р\ - 0, A ~ a j 2, £ = //.

Соответственно равенства (10.10.10) принимают вид

х, = -(c o sz y 0/ - c o s Q /) ,2 (10.10.12)

х2 = — (cos/y0/ + cosQ /).

Введём обозначения:

138

cq = (Q. + cOq)I2 , Аса = Q-co{);Q = co + Aco/2, co0 = ca-Acojl.

Тогда вместо (10.10.12) получаем выражения

х. = tfsin(<y/)sin(Aty/)>1 (10.10.13)х2 = a cos(cot)cos(Aco t).

Пусть связь маятников слабая: Аах^со. Соответствующие колебания л:,(/) и л:2(/) показаны на рис. 10.10.2. Колебания *,(/) и x2(t) одинако­

вы, но смещены относительно друг друга на Тл/2. Видно, что энергияпериодически переходит от одного маятника к другому.

Такие колебания называются биениями. Они представляют собой вы­сокочастотные колебания вида sin&>/, амплитуда которых

A(t) = as\w(Aco t)медленно меняется но гармоническому закону. Период высокочастотных колебаний равен Т{) = 2/г/гд, а в качестве периода амплитуды можно взять

^ л 2 лпромежу ток времени 7\ = ------- = — , отвечающий длительности одного

А(о/2 Асацуга (рис. 10 . 10 .2 ).

Рис.10.10.2. Биении и ни и'мг i m мимниыч мн ими i и'кч ких маятников(без трекия)

I 14

10.11. Параметрические колебания10.11.1. Параметрические колебания. Качели. Раскачка колебаний в

результате изменения параметров системы называется параметрическим возбуждением колебаний, а сами колебания — параметрическими.

Примером является раскачка качелей (рис. 10.11.2).Пусть на качелях находится человек, который встаёт, когда качели

находятся в самом нижнем положении (т.е. в положении равновесия каче­лей), и приседает, когда качели поднимаются до максимальной высоты (рис. 10.11.2). При этом расстояние от точки подвеса до центра тяжести меняется от / (когда человек сидит) до /- /? (когда человек встаёт).

приседает — в верхнем; справа — изменение расстояния от центра тяжести до точки подве­са в зависимости от угла отклонения от вертикали

г/>///Д

Другим (эквивалентным) примером параметрического возбуждения механических колебаний является маятник, длина нити подвеса которого периодически меняется (рис. 10 . 1 1 .2 ).

10.11.2. Параметрическая раскачка качелей. Рассмотрим подробнее динамику раскачки качелей. Для упрощения расчёта будем предполагать, что человек — это материальная точка, а измене­ние длины нити подвеса (подъём-опускание че­ловека) происходит столь быстро, что угловое смещение за такие времена пренебрежимо мало.

Раскачка колебаний происходит, если центр тяжести груза опускается в наивысшей точке и поднимается в нижней.

Пусть начальное отклонение нити равно а её длина в этом положении — /о- В результате спуска в нижнее положение (на рис. 10.11.3 — слева направо) скорость достигнет значения, определяемого из закона сохранения энергии:

Рис. 10.11.2. Маятник, длина нити подвеса которо­го периодически меняется

140

(10.11.1)

В нижнек положении чело)век встаёт, причём соответствующая длина нити уменьшается до значение /|. Изменение скорости качелей можно найти с помоцыо закона сохранения момента импульса:

mv0l0 = mi;,/, => = v j— ( 10 . 1 1 .2 )l\

(момент силь, вызывающей подъём, равен нулю, поскольку вектор силы проходит через точку подвеса)..

Далее каюли поднимаются, и их максимальное угловое отклонение определится гз закона сохранешия энергии:

/w g/,((l-cos^ ,) = - /m;,2. (10.11.3)

ngl0(\ - cos %) = — v\ => v] = 2gl0(1 - cos %).

В этом положении длина нитш подвеса увеличивается до значения /0 без изменения упа, образуемого н!итыо с вертикалью. Новое значение макси­мального угт отклонения <ри мы можем найти с помощью равенств (10.11.1) — (10.11.3). Именно пощетавляя (10.11.2) в (10.11.3), получим

? / , ( ! - COS $!>,) =Ч 1 /« vl

2 I, gПодставляя сюда vl из (10.111.11), находим уравнение для нахожденияискомого угла <р\\

/,3 (1 - COS) (рх) = Iq (1 - cos <р0). (10.11.4)Далее прсцесс повторяется». Рассуждения, аналогичные приведённым

выше, позволяют связать два пюследовательных значения максимального угла:

/,3( l - c o s ^ +1) = //03( l - c o s ^ J , п = 0 ,1 ,2 ,... (10.1 1.5)Соответствующие положения отделены друг от друга по времени полови­ной периода колебаний качелей.

Исследуем полученное рекуррентное соотношение (10.11.5). Для это­го построим графики функций! / 3( l-c o s# /) и /,3(1-cos#/) (рис. 10.11.4).Начальное значение угла щ осуществляется при качании при длине нити подвеса /0. Этому отвечает точк:а 1 на кривой I. В нижнем положении дли­на нити уменьшается до /2, и движение происходит до нового максималь­ного углового отклонения <р]9 которому отвечает точка 2 на кривой II. Переход между кривыми I и III представляется горизонтальной линией вследствие соотношения (10.11..5). Далее построение повторяется.

Таким образом, раскачка кюлебаний на диаграмме рис. 10.11.4 изоб­ражается ломаной линией, соединяющей точки 1, 2, 3, 4 ,...

141

Найдём закон, по которому меняется энергия системы. Будем следить за её значением в самом нижнем положении (до подъёма центра масс), где она определяется только максимальным углом отклонения срп :

„ rnvlЕ„ = - j L = mgl0(l-cos<pn).

Учитывая (10.11.5), находим итерационное соотношение:

Е„+1 =mgl0(l-cos<p„+,) = mgl0

Отсюда следует

Vv А у

(1-COS «!>„) =Г1 V 111

\t\ JE„, n = 0, 1, 2 ,.

En =k"E0, * = (/„//, ) \ n = 0 ,1 ,2 ,... ( 10 .1 1 .6)

Рис. 10.11.4. Графики функций /,}(!-cos#*) и /,*(1-cos#?), /„ >/,. Ломаная линия показывает последовательные итерации в (10.11.5)

Рассмотрим частный случай малых колебаний (|^,|<$:1) и малых из­

менений длины подвеса: /? = /0 - / , «с /0. Тогда итерационное соотношение (10.11.4) принимает вид

(4> -Л)> *+, =/0>„2 => %+, *11+1?- к => =2L \ ^ 0 J(10.11.7)

Если один период имеет продолжительность Г, то n = YJ^ = Y ' ^ огда

формулу (10.11.7) можно переписать в виде/ч я/ о 2 i ( л ЪИЛ 3h <p(t) = (p0e , + ( 10.11.8)

Входящая сюда величина Я называется инкрементом неустойчивости. В том же приближении из (10.11.6) находим закон роста энергии:

142

10.11.3 Влияние трения на параметрическую раскачку колебаний. До сих пор мы пренебрегали трением. Учтём теперь его роль в раскачке колебаний. Ограничимся случаем малых колебаний. Кроме того, считаем, что трение вязкое, т.е. Fip = - 2тух.

Если бы длина нити подвеса не менялась, то максимальный угол от­клонения и энергия менялись бы по закону

<p(t) = % e \ E{t) = E0e lr'.Учитывая, что при параметрической раскачке амплитуда колебаний и энергия меняются скачкообразно в крайних точках траектории, можем записать уточнённый закон:

(Pit) * <P„eu -r)', E(t) = E0e2U-r)'.. (10.11.10)

Отсюда видно, что в случае слабого трения (Я > у) амплитуда колебаний неограниченно растёт. В противоположном случае сильного трения (Я<у) — затухают.

10.12. Возбуждение осциллятора периодическими толчками

Рассмотрим механические часы с маятником и гирей. В реальных условиях маятник при колебаниях вследствие трения теряет энергию. Для восполнения запаса энергии маятника используется потенциальная энер­гия гири в ноле тяжести. При этом поступление энергии в систему проис­ходит толчками один раз за каждый период колебаний фиксированными порциями АЕ. Величина порции определяется опусканием гири на одно звено цепи, на которой эта гиря висит.

E(t) = e2AlE0. ( 1 0 .1 1 .9 )

Рис. 10.12.1. Математический ма*т- Рис. 10.12.2. Фазовая траектория осцилля- ник, раскачиваемый периодически- ТОра с трением, возбуждаемого толчками ми толчками в моменты прохожде­ния самой низкой точки траектории

143

Рассмотрим данное явление подробнее на простом примере матема­тического маятника, возбуждаемого периодическими толчками (рис. 10.12.1). Будем считать, что результат действия удара сводится к увеличению кинетической энергии осциллятора в те моменты, когда ма­ятник проходит самую нижнюю точку траектории. Соответствующая фа­зовая траектория, отвечающая двум циклам колебаний, показана на рис. 10 . 1 2 .2 .

Покажем, что величина АЕ определяет амплитуду установившихся колебаний маятника вне зависимости от величины его начального откло­нения. Если непосредственно перед очередным п-м толчком маятник имел кинетическую энергию £’*нач), то после толчка его энергия составит

£ ( к о " ) = £<•«*«> + Д £ ( 1 0 . 1 2 . 1 )

По мере движения маятник теряет энергию. За одно полное колебание, т.е. к моменту следующего толчка, энергия маятника уменьшится до ве­личины

=Е(;°")е-2гТ. (10.12.2)Здесь предположено, что трение является достаточно малым и вязким. Сразу же после (п + 1 )-го толчка энергия составит

К Т = Е{; ои)е-2гТ + АЕ. (10.12.3)Мы получили рекуррентное соотношение, связывающее последова­

тельные значения энергии маятника сразу после толчков. Стационарныйрежим колебаний соответствует тому, что

г Ч к о н ) _ тр{ком) _ г Ч к о н )С'п+1 — Ь

Тогда из (10.12.3) имеем* д/г

Е(кои) = ------- — ------- . (10.12.4)1-ехр(-2^7’)

Если потери на трение столь малы, что 2уТ 1, то отсюда следуетд f

£ (ко") = — . * (10.12.5)2 уТ

Пользуясь определением добротности колебательной системыQ = coolly = я /у Т 9 полученному соотношению можно придать вид

О /г<кон>Е(ко,,) = -^ -Д £, или £ = 2/г------- . (10.12.6)

2 я АЕЭто соответствует смыслу добротности, установленному в разделе 10.7.3.

Обратим внимание на то, что энергия Е{кон) не зависит от начальной энергии маятника. В этой связи представляет интерес выяснить, как про­исходит установление стационарного режима, независящего от начальных

144

условий. Рассмотрим последовательность (10.12.3) подробнее. Пусть начальная энергия маятника была равна Е\. Для компактности записи опустим индекс «кон». После первого толчка имеем

£ , = Ехе ггТ + Д£,после второго —

£ 3 = Е2е~2уТ +АЕи т.д. После п-го толчка значение энергии составит

Еп+, = Епе~2уТ +АЕ. (10.12.7)Рекуррентное соотношение (10.12.7) задаёт бесконечную последова­

тельность {£„}, которая сходится к значению (10.12.4). В последователь­ности (10.12.7) начальное значение энергии маятника Е\ присутствует явно. Для того чтобы увидеть наглядно, как происходит «забывание» это­го значения, сделаем следующее геометрическое построение.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат, по осям которой будем откладывать величины X = Еп, Y = £„+| (рис. 10.12.3). Проведём биссектрису

У = Х, или Ея+1=Еп. (10.12.8)Уравнение (10.12.7) задает прямую

Y = e 2rTX + AE. (10.12.9)Нанесем эту прямую на плоскость {X , У}. Точка пересечения прямых(10.12.8) и ( 10.12.9), очевидно, соответствует стационарному режиму:

д рX = Y = ------- = ------- . (10.12.10)

1 -е х р ( - 2 уТ)

Рис. 10.12.3. Лестница Ламерея для рекуррентного соотношения (10.12.7)

Проведём теперь, используя прямые (10.12.8) и (10.12.9), построение последовательности (10.12.7). Выберем на оси абсцисс начальную точку

145

Е\. Соответствующую ей ординату Е2 найдём с помощью прямой(10.12.9) . Для нахождения следующей точки последовательности «превра­тим» ординату Е2 в абсциссу Е2 с помощью биссектрисы (10.12.8). Этой новой абсциссе соответствует ордината £ 3, определяемая с помощью пря­мой (10.12.9). Многократно повторяя это построение, получаем ломаную кривую, заключённую в нашем случае между прямыми ( 10 . 12 .8) и(10.12.9) и неограниченно приближающуюся к точке их пересечения. Ка­кую бы точку на оси абсцисс мы ни взяли в качестве начальной, получим ломаную линию, приближающуюся к точке пересечения прямых(10.12.10) . Это и означает «забывание» начальных условий и установле­ние стационарного режима колебаний.

Ломаная линия, построенная в соответствии с описанной процедурой, называется лестницей Ламерея.

10.13. Адиабатические инварианты

10.13. L Понятие адиабатического инварианта. В разделе 10.11 мы рассматривали параметрический резонанс, т.е. раскачку колебаний, обу­словленную периодическим изменением со временем параметров колеба­тельной системы. В проведённом анализе не накладывалось ограничений на скорость изменения параметров. В реальной практике часто встреча­ются ситуации, когда параметры системы под влиянием внешних факто­ров меняются медленно. Если бы эти изменения отсутствовали полно­стью, т.е. если бы параметры были строго постоянными, то энергия си­стемы сохранялась бы. При медленном изменении параметров системы её колебательная энергия уже не сохраняется. Однако существуют иные величины, которые изменяются существенно медленнее, чем параметры системы. Другими словами, скорость их изменения есть величина более высокого порядка малости, чем скорость изменения самих параметров. Количественно это можно охарактеризовать следующим образом.

Пусть А означает какой-то из параметров системы, а Т — характер­ный период колебаний системы. Тогда изменение параметра А считается медленным, если выполняется неравенство

(10.13.1)dt

Введя безразмерный параметр_ T_dA_

^ A dt ’(10.13.2)

перепишем (10.13.2) в виде

146

Ксли изменения параметров системы столь происходит, что выполняется неравенство (10.13.3), то говорят, что эти изменения происходят адиаба­тически медленно. Величины, меняющиеся медленнее, чем А, называются адиабатическими инвариантами. Оказывается, относительная скорость их изменения есть величина более высокого порядка малости по сравне­нию с А :

1 4 « 1 . ( 1 0 .1 3 .3 )

ТI

(10.13.4)

где / — адиабатический инвариант.10.13.2. Адиабатический инвариант для

Рассмотрим для примера пружинный маятник энергия равна

£ - тх2 + к * 2 ~ ~ + ~ '

пружинного маятника. (рис. 10.2.2). Его полная

(10.13.5)

Предположим, что жесткость пружины меняется медленно:

14 = тК

К

1 гг, 2л ^ [тc l , где Т - — = 2;г. /—.

со() V к(ЮЛ 3.6)

Энергия маятника Е меняется со временем. Найдём скорость её измене­ния:

dF I— = х(тх + кх) + — х2к. (Ю.13.7)dt 2

Выражение в скобках обращается в нуль в силу уравнения движения ма­ятника т х-\-кх- 0. Следовательно,

^ = £ „ „ А (10.I3.X)dt к

где введено обозначение Епот = к х2 /2. Полное изменение энергии коле­баний за период Т составит

'V кAE = E(t + T )-E (t)= f Em - d t . ( 10 .13.9)

Т кЭта формула является точной. Учтём теперь, что параметр /сменяется

медленно: |к /tc\ c l / 7 \ Будем также предполагать, что медленно меняется

и его производная по времени: \к/к\<к\/т2. Это значит, что множитель

к /к в (ЮЛ3.9) может быть вынесен за знак интеграла:

147

(10.13.10)

Отсюда следует, что в силу малости коэффициента к /к изменение энер­

гии за период колебаний мало: |Д£| <$с Е. Поэтому при вычислении вхо­

дящего в (10.13.10) интеграла можно считать, что параметры системы за один период не меняются вовсе, так что зависимость потенциальной энер­гии от времени даётся гармоническим законом, как и для системы с по­стоянными параметрами: Епат = Е cos2(coQt + %), где Е — полная энергия системы. Имея это в виду, мы можем легко выполнить интегрирование в(10.13.10), и получаем

Д Е = - - Е . (10.13.11)2 к

Вследствие медленности изменения параметра к величину Тк можно записать как А к — полное изменение величины к за период колебаний Т. Тогда

(io .i3 .i2 )Е 2 к

Поскольку изменения АЕ и Ак малы, последнее соотношение можно рас­сматривать как дифференциальное уравнение

dE__ Е_ с/к 2 к '

(10.13.13)

из которого следует, чтоЕI \[к = const. (10.13.14)

Найденное отношёние является адиабатическим инвариантом задачи. Имея в виду выражения для частоты и периода колебаний (10.13.6), мы можем переписать этот инвариант в ещё двух эквивалентных формах:

Неподвижная Подвижнаястенка стенка

L

Рис. 10.13.2. Шарик между двумя стенками, из которых левая поко­ится, а правая медленно движется

£/ = — = const, ЕТ = const. (10.13.15)

На примере пружинного маятника мы рассмотрели технику нахождения адиаба­тических инвариантов. Аналогичные мето­ды могут быть использованы и в других задачах.

В качестве примера рассмотрим пру­жинный маятник, частота которого мед­ленно меняется от значения со\ до значения о)2 . Найдём, как меняется амплитуда коле-

148

баний.Пусть в начальный момент амплитуда колебаний равна 1\. В моменты

максимального отклонения маятника энергия равна Е = mco2l2 j l . Адиа­

батический инвариант есть / = E/co-mcol2 const. Отсюда находим конечную амплитуду колебаний:

к = h \ М М -

10.13.3. Шарик между медленно двигающимися стенками. Пусть материальная точка (шарик) двигается между двумя параллельными стен­ками со скоростью v , направленной перпендикулярно к стенкам (рис. 10.13.2). Расстояние L между стенками медленно меняется. Предпо­лагая, что столкновения шарика со стенками происходят по законам абсо­лютно упругого удара, найдём зависимость скорости шарика от расстоя­ния между стенками.

В этой задаче требуется найти адиабатический инвариант, рассматри­вая динамику изменения скорости шарика.

Будем для определенности считать, что двигается правая стенка, при­чём се скорость есть V. Левая же стенка предполагается покоящейся. Условие медленности движения стенки ecu.

\V\-<- |<’| (10.13.16)Пусть непосредственно перед стоикиииеннеч » движущейся стенкой ша­рик имел скорость v. Тогда сразу миг иг мнлинтепия его скорость оказы­вается равной

с' о» ЛДалее шарик летит до левой (исполнит и»*м» = f hi и, иш не » ioiimioiiciiioi » которой он приобретает скорое i ь

V о' I» ч ( III М I /)Этой скоростью обладает шарик ш п и н ь ли » лсдующеп» стимтнеинм » двигающейся стенкой. Полное изменение * м»рп<;ш за время между гиуди рсниями составляет

Av = v " - v - 21'. (10.13. IS)Пусть Т — время движения шарика между двумя последовательными

столкновениями с движущейся стенкой. Тогда за это время расстояние между стенками изменится на

тД£ = J Vdt. (10.13.19)

оСчитая, что скорость V меняется медленно:

149

перепишем (10.13.19) в виде

T_dV_ V dt

« 1 , (10.13.20)

AL = VT. (10.13.21)Ввиду малости скорости V время Т можно приближенно представить как T = 2L/v. Поэтому изменение расстояния между стенками оказывается равным

AL = 2V—. (10.13.22)V

Вследствие неравенства (10.13.16) имеем из (10.13.18) \Av\<zv, а из

(10.13.22) — |AL|«cZ,. Поэтому пару соотношений (10.13.18), (10.13.22)

можно рассматривать как соотношения для малых приращений перемен­ных v и L. Приращения Аг; и AL можно приближенно заменить дифферен­циалами dv и dL, причём замена тем точнее, чем меньше отношение \V/v\. Тогда, деля почленно равенство (10.13.18) на (10.13.22), находим

— = - - . (10.13.23)dL L

Отсюда после несложного интегрирования находимvL = const. (10.13.24)

Полученное соотношение означает, что при адиабатически медлен­ном движении стенки величина vL остается постоянной независимо от закона, по которому скорость стенки меняется со временем, лишь бы вы­полнялись неравенства (10.13.16) и (10.13.20). В частности, при уменьше­нии расстояния в 2 раза скорость шарика возрастает в 2 раза.

10.14. Нелинейные колебания

10.14. L Зависимость периода колебашпьом амплитуды. Рассмот­рим математический маятник в отсутствие затухания (у = 0). Его уравне­ние движения имеет вид

d 2f)IА — - - -mgas\x\6. (10.14.1)

dt2Для малых колебаний s in в & в и уравнение становится линейным:

в + сОцв = 09

150

где со0 = yjmga/IA — частота колебаний. Это уравнение было подробно

исследовано выше. Если амплитуда колебаний не мала, то мы должны решать точное уравнение (10.14.1):

0-\-со] sin# = 0. (10.14.2)Важным свойством нелинейных колебаний является то, что для них

не выполняется принцип суперпозиции: если #,(/) и 02{t) — два реше­ния уравнения (10.14.2), то функция 0,(/) + 02(/) уже не является решени­

ем этого уравнения. В частности, решением не является и функция k02( t\ где к — произвольная константа.

Далее отметим, что колебания оказываются не изохронными — пери­од колебаний начинает зависеть от амплитуды. Получим данную зависи­мость.

Период колебаний можно найти, проинтегрировав соотношениеdQ

dt = - j , (10.14.3)

куда следует подставить зависимость 0(0). Эту зависимость найдём, по­лучив первый интеграл уравнения. Умножив почленно уравнение

(10.14.2) на 0: 00 + со]0sin 0 = 0, после однократного интегрирования получим

+ со] (cos 0т - cos в) = 0, (10.14.4)

где 0т — угловая амплитуда отклонения маятника, задаваемая началь­

ным условием в\0 0 = 0 . Переписав уравнение (10.14.4) в виде

в2 = 2 со] (cos в - cos вп) = -2 со] [(1 - cos 0) - (1 - cos 0tn)] =

= -Аса] [sin 2(6»/2)-sin2(6>„/2)],

находим

в = 2со0 7 sin2(#„, / 2 ) - sin2(<9/'2). (10.14.5)

Выберем ветвь 0 < в й в т, в >0, отвечающую четверти полного периода колебаний. Подставляя эту зависимость в (10.14.3), получаем выражение для периода колебаний:

Т/4 0„ ,а . 0„r = 4 U = 4 f ^ ~ i - f - =

о о 0 2й>0 о sfsi

dO

/sin 2 (6>m/ 2 ) —sin2 C /2)

Введём вместо 0 переменную интегрирования а по формуле

(10.14.6)

151

s in a =sin(0/ 2 )

(1 0 .1 4 .7 )sin(tf„,/2)

В результате соответствующих преобразований мы приходим к следую­щему выражению для периода:

г - а . ТП Jо 1 —

Рис. 10.14.1. Зависимость периода колебаний математического маят­ника от параметра q - sin(fl,/2)

da q = s in ^ . (10.14.8) ^ s in ’ a 2

В этой формуле T0 = I k/ cOq — период ма­лых (гармонических) колебаний.

Входящий в (10.14.8) интеграл не вы­ражается через элементарные функции1. Его, однако, можно приближённо вычис­лить, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена по степеням параметра q:

Т = Тп , 1 . 2 0ю 9 . Ав„1 + -SU1 — + — sin — + ... 4 2 64 2

При вычислении коэффициентов этого ряда встречаются интегралы видат/2/ sin2" a d a =

п ( 2 а? - 1 )!!

2 2 "л?!

При малых амплитудах колебаний (q = sin(0w/2 ) <sc 1) отсюда следует:

Г * Г 0(1 + ^ /1 б ) . (10.14.9)

Таким образом, период колебаний растёт с ростом амплитуды, при­чём, как следует из (10.14.8),

Г - > оо при q - > \ , 6т->я. (10.14.10)

На рис. 10.14.1 показана рассчитанная с помощью (10.14.8) зависи­мость периода колебаний от амплитуды (точнее, от параметра <7 = sin (0W/2), однозначно связанного с амплитудой вт). Видно, что при

приближении вт к п (т.е. q —> 1) период неограниченно растёт.10.14.2. Колебания при наличии слабого затухания. Приведённый

расчёт даёт зависимость периода колебаний маятника от амплитуды, обу­словленную только нелинейностью и существенно проявляющуюся в случае достаточно больших амплитуд. В действительности, как правило, одновременно с нелинейностью проявляется также вклад в изменение периода колебаний вследствие присутствия затухания.

1 Он называется полным эллиптическим интегралом первого рода.

152

Найдём сначала зависимость периода колебаний от коэффициента за- |ухания в случае линейного осциллятора с трением. Как было показано в разделе 10.5, решение уравнения затухающих колебаний x + ly x + ajfix = 0 для случая слабого трения (у<со0) имеет вид

x{t) = A^eYl cos(cot + <р0),

где со = yfcof- у 2 • Отсюда

2 у 2 / ч / ч , ч & С О У 2СО -со ; = - г =(co + coQ)(co-co0)*2cQQ(co-cOb) => ----г -

Соответственно относительное изменение периода вследствие наличия затухания составит

^ = _ ^ = J l _ = 2 l i L = . £ _ f (io .i4 . l i )Т{) (о0 2 сой 8 п 2 8 л 2

где 8 = уТ{) — логарифмический декремент затухания.При одновременном присутствии затухания и нелинейности период

колебаний представляет собой функцию двух переменных: декремента затухания и амплитуды колебаний: Т = Т{8, вт ).

При малых значениях вт и 8 можно разложить функцию Т(8 ,вт) вряд по стспсшям переменных:

дТ(8, 0)т(з,ет) a m o v ­

e s8 +

Щ о ,в т)дв

в....

С учётом формул (10.14.10) и (10.14.11) отсюда можно получить

T(S9O J* T 02 '\

8л*2 16Заметим, что» в первом приближении поправки в период колебаний от затухания и нелинейности суммируются независимо.

10.14.3. Фазовый портрет нелинейного осциллятора. Как уже го­ворилось вьпше, одномерное движение матери&г^ной точки полностью определяется заданием в каждый момент координаты *(/) и скорости

v{t)-dx/d t. На фазовой плоскости {х, v) состояние представляется изображающей (фазовой) точкой, изменение положения которой задаёт фазовую траекторию. Семейство фазовых траекторий, отвечающих раз­личным начальным условиям, образует фазовый портрет колебательной системы. Нашример, как уже было сказано в разделе 10.4, фазовый порт­рет гармоничгеского осциллятора без трения представляет собой семей­ство вложеншых друг и друга эллипсов, каждый из которых отвечает

153

определённому значению энергии Е0 осциллятора (рис. 10.4J). С ростом энергии увеличиваются как скорость, так и амплитуда смецения. Соот­ветственно при достаточно большой энергии осциллятор уж< нельзя счи­тать линейным и пренебрегать зависимостью периода от амглитуды. Ко­лебания перестают быть гармоническими.

Анализ фазового портрета даёт обширную информацио о колеба­тельной системе. К построению такого портрета прибегают, в частности, тогда, когда не удаётся аналитически решить уравнение, ошсывающее сложные колебания.

Построим фазовый портрет математического маятника. 4мея в виду рассмотрение колебаний большой амплитуды, когда угол отклонения подвеса груза от вертикали может превысить л*/2 , будем :читать, чтогруз подвешен на невесомом жёстком стержне (а не нити, какпредполага- лось ранее).

Уравнение фазовой траектории получим, записав выражеше для пол­ной энергии маятника Е0 в положении’ с произвольным углом отклонения в, приняв, что потенциальная энергия в самом нижнем положении равно­весия равна нулю:

т1гв 2— -— + mgl(\-cos6) - Е0.

Отсюда получаем

в 2 = 2(0,: ' Ep-mglv mgl+ COS0 (10.14.12)

Пусть маятник имеет состояние покоя, отвечающее маюимальномуотклонению от положения равновесия. Полагая 0 = 0, 0 = 0 М, найдём связь угловой амплитуды в„ с энергией:

mgl(\ - cos д„) = Ей => вт= arccos . - А )mgl)

При анализе выражения (10.14.12) йожно выделить гри особых случая.

1-й случай: Е0 <$: Imgl. В этой ситуации малы отклонении и, разлагая

косинус: c o s 0 « l - 0 2/2 , получаем из (10.14.12)уравнение элшпса:

в 2 -col2 F- ± - в гmgl в 1 в-

№ в = К'ml2 ’ m yngl

2-й случай: Е0 = 2mga. Тогда уравнение (10.14.12) принишет вид

в 1 = 4 а>1 cos2 (д/2).

154

< Невидно, что колебания не являются гармоническими: если начальная шергия груза (в самом нижнем положении) равна Е0 = 2mga, то зависи­мость угла отклонения от времени даётся формулой

в = 4arctg^ехр(4яу)-1^

exp(4ay) +1О < в < п.

Легко видеть, что 0->7г при / —> оо: запасённой энергии хватает только па то, чтобы маятник перевернулся и груз оказался в самом верхнем по­ложении.

Состояние маятника, когда 0 = п , 0 = 0, является неустойчивым по­ложением равновесия: малейшие отклонения в величине скорости или угла приведут к тому, что начнётся спуск — маятник устремится в направлении к положению устойчивого равновесия 0 = 0.

Соответствующая особая траектория на фазовой плоскости, идущая из точки 0 = 0, называется сепаратрисой.

Рис. 10.14.1. Фазовый портрет математического маятника. При малых энергиях траектории близки к эллиптическим, а при больших отвечают вращению — монотонно меняющемуся углу (при 0>О — вращению в положительном направлении, а при 0<О — в отрицатель­ном направлении)

3-й случай: Е0 » 2 mga. Тогда главный вклад в вид функции 0(0) в

(10.14.12) даёт первое слагаемое в скобке, тогда как cos 0 добавляет «дро­жание» около «несущего» уровня. В главном приближении угол монотон­но растёт:

q s ^mgl

На фазовой плоскости получается незамкнутая, «убегающая» траектория, соответствующая вращательному движению маятника.

Фазовый портрет колебаний маятника представлен на рис. 10.14.1.

155

10.15. Волны в механических системах

10.15.1. Понятие волны. До сих пор мы изучали движение систем с небольшим числом степеней свободы. Новые закономерности колеба­тельных процессов проявляются в том случае, когда имеется большое число взаимодействующих подсистем. В разделе 10.10 мы видели, что поведение уже двух связанных маятников приобретает новые особенности по сравнению с поведениемуединённого маятника. Ещё более сложным примером является бесконечная цепочка связанных одинаковых маятни­

ков (рис. 10.15.1). Оказывается, движение (из­менение состояния) подобных систем приоб­ретает коллективный характер: индивидуаль­ные особенности отдельных элементов как бы забываются. Колебательные процессы в систе­ме большого числа элементов называют вол­нами.

Волновыё явления широко распростране­ны в природе. Это волны на поверхности жид­кости, звук в газе, волны сжатия-растяжения в

твердом теле, колебания струны и мембраны, электромагнитные и грави­тационные волны.

Волна — это процесс, разворачивающийся во времени и в простран­стве. Поэтому для его описания необходимо для каждого момента време­ни указать состояния всех элементов, отличающихся положением в про­странстве. Иными словами, волна описывается посредством задания неко­торой характерной для неё функции, зависящей как от времени, так и от пространственных координат.

10.15.2. Бегущая'и стоячая волны. В качестве простейшего примера рассмотрим так называемую бегущую волну. Состояние элементов систе­мы характеризуется некоторой величиной и. Например, в случае волны на поверхности жидкости это может быть отклонение точек поверхности жидкости от их положения равновесия. *

Пусть в некоторый момент времени про­филь поверхности имеет вид, показанный на рис. 10.15.2. Предположим, что с течением времени профиль волны не меняется, а меня­ется только его положение в пространстве. Это значит, что в любой момент времени профиль волны в системе отсчёта, связанной с ней, имеет вид, показанный на рис. 10.15.2. Если х' — координата в собственной системе отсчета волны, то

Рис. 10.15.2. Волна, сохраня­ющая неизменную форму в собственной системе отсчёта

Рис. 10.15.1. Цепочка связан­ных математических маятников

156

Пусть волна движется с постоянной скоростью с вдоль оси х. Тогда координаты в неподвижной (*) и в движущейся (**) системах связаны между собой соотношением

х' = х -сЛ (10.15.2)11оэтому бегущая волна может быть представлена функцией

и(х, t) = u(x-ct). (10.15.3)В частном случае функции

и = и(х) = a sin(Ax') (10.15.4)мы получаем гармоническую волну (рис. 10.15.3):

и(х, t) = as\r\[k(x-ct)]. (10.15.5)Обозначая kc = со, перепишем (10.15.5) в виде

и(х, t) = as\x\(kx-cot). (10.15.6)Коэффициент а называется амплитудой, а аргумент синуса

(р(х, /) = kx-cot (10.15.7)— фазой волны.

В каждой фиксированной точке наблю- и(*У дения я: мы имеем гармоническое колебание

с частотой со.Согласно (10.15.6), в любых двух точ­

ках, отстоящих друг от друга на расстояние

и = и(х'). (10.15.1)

Рис. 10.15.3. Гармоническая волнаЛ = 2тг/к, (10.15.8)

отклонение и от положения равновесия одинаково в любой момент времени. Иными словами, точки, отстоящие на расстояние Я одна от другой, колеблются одинаково, синхронно. Вели­чина Я называется длиной волны, а число к — волновым числом.

Зная частоту со и волновое число к, можно найти скорость с:_ со _ Лео

к 2л(10.15.9)

Узлы Если наблюдатель движется вдоль оси х со ско­ростью с, то он наблюдает один и тот же про­филь волны, т.е. регистрирует одну и ту же фазу волны: <p = kx-cot = const. Поэтому величину с называют фазовой скоростью.

Наряду с волной, распространяющейся в положительном направлении (т.е. имеющей скорость с > 0), может возникать волна, двига-

157

ющаяся в противоположном направлении — со скоростью (-с). Так по­лучается, например, при отражении волны от препятствия. При этом в каждой точке системы происходит сложение колебаний, вызванных пря­мой и обратной волнами: если

щ = и] (x -c t) и и2 =u2(x + ct)

— соответственно прямая и обратная волны, то результирующее колеба­ние представляет собой суперпозицию волн:

u(x,t) = Wj (х - ct) + « 2 (x + ct). (10.15.10)

Здесь М| и «2 — вообще говоря, различные функции. В частном случае, если эти функции одинаковы и даются формулой (10.15.4), то

м(х, /) = 2 а соs(a)t) sin(Ax). (10.15.11)

Профиль этой волны для некоторых моментов времени показан на рис. 10.15.4. Видно, что точки с координатами

и = 0 ,± 1 ,± 2 ,.. . , (10.15.12)к 2в любой момент времени неподвижны: м(х„,/) = 0. Такая волна не сме­щается со временем и называется стоячей. Покоящиеся точки называются узлами, а точки, максимально отклоняющиеся от положения равновесия,— пучностями вол н ы.

Пусть изучаемая система (например, струна) имеет конечную длину L, причём её концы закреплены — смещения концевых точек в любой момент времени равны нулю. Тогда, полагая в (10.15.12) хп = L, найдем связь длины волны с длиной системы:

г пЯ 0 2LL = — или Я = — , /7 = 1, 2,... (10.15.13)2 п

Это значит, что в системе с закреплёнными концами стоячие волны могут иметь лишь дискретный набор значений длин волн, таких, что на длине системы L умещается целое число полуволн.

10.15.3. Волновое уравнение. Построим дифференциальное уравне­ние, описывающее как бегущие, так и стоячие волны. Это уравнение должно быть линейным, чтобы имел место принцип суперпозиции: если м,(х, /), i = 1, 2 ,... — решения искомого уравнения, то сумма

и(х, 0 = с1 их (х, /) + с2и2(х, 0 + ...,где Cf — произвольные постоянные, также является решением этого урав­нения. Кроме того, это уравнение должно описывать волны, бегущие как в

158

положительном, так и в отрицательном направлениях, поскольку в одно­родной изотропной среде эти направления физически ничем не выделены.

Рассмотрим бегущую волну

u(x,t) = f ( x - c t ) , (10.15.14)

где f(%) — произвольная дважды дифференцируемая функция. Найдём частные производные от и(х, /) . Обозначая £ = x — ct и пользуясь прави­лом дифференцирования сложной функции, имеем

dt d $ d t Cd f

du =dx d<* dx d% ’

d_dt

/

-c -d4

= C

df_.H .

/

d42 '

2 d 2fd42 '

d2u d t2

д2и _ d dx2 dx

Сравнивая вторые производные от и по t и по л\ мы замечаем, что они отличаются постоянным множителем с2, так что

1 d2u _ d 2u с2 d t2 dx2

(10.15.15)

Полученное соотношение называется волновым уравнением. Оно и подобные ему уравнения описывают колебательные явления во многих реальных физических системах.

10.15.4. Уравнение поперечных колебаний струны. Рассмотрим ма­лые поперечные колебания натянутой струны. Под струной понимают упругую нить, не сопротивляющуюся изгибу, но оказывающую сопротив­ление растяжению и сжатию. На рис. 10.15.5 показан участок струны дли­ной dl и силы натяжения, действующие на этот участок.

В состоянии равновесия струна проходит по оси абсцисс. Отклонения точек струны будем описывать функцией и(х, t). Рассмотрим участок струны, имеющий абсциссы начальной и конечной точек соответственно х и х + dx. Длина этого участка равна

159

dl = A\ +f d u '1

dxdx. (10.15.16)

Так как колебания предполагаются малыми, то угол наклона этого участка к оси абсцисс мал:

дидх дх

« 1 .

Поэтому из (10.15.16) следует, что d l^d x , т.е. изменение длины этого участка при малых колебаниях мало по сравнению с тем изменением, которому эта длина подвергалась в ходе начального натяжения в положе­нии равновесия. По закону Гука (глава 12) относительное удлинение свя­зано с силой натяжения соотношением

A(dl) = T_ dl ~ £ ’

где Е — модуль Юнга материала струны. Поскольку изменения длины участка малы в ходе колебаний (Д(г//)« const) и ими можно пренебречь, то и изменения силы натяжения Т со временем также малы. Поэтому вели­чину Т можно считать не зависящей от времени. Это же обстоятельство позволяет считать натяжение Т не зависящим от координаты х. В самом деле, проектируя силы на ось абсцисс и имея в виду, что рассматриваются только поперечные смещения струны, имеем условие

Т(х + dx) cos[0(x + dx)] - Т (л:) cos[0(x)] = 0 (10.15.17)(силы, действующие на участок струны, не приводят к его смещению вдоль оси абсцисс). В силу малости угла 0 находим

T(x + dx)-T (x) = 0 => Т(х) = const (10.15.18)с точностью до малых величин более высокого порядка, чем dx.

Рассмотрим теперь силы, действующие в поперечном направлении. На выделенный участок действуют в противоположных направлениях (рис. 10.15.5) две силы: *

= ST(x + dx)sin[0(x + dx) ]« ST0(x + dx)9

F2U) = 5T(;c)sin[^(x)] « ST0(x)9где S — площадь поперечного сечения струны, Т(х) « const = Т. Их рав­

нодействующая есть F 'L) = или

F{±) =:ST0(x + dx)-ST e(x) = ST — dx. (10.15.19)

Поскольку s\n0& 0& tg0 = du/dx9 t o

160

(10.15.20)F (1) « S T ^ - d x . d x 2

Применим к рассматриваемому участку струны 2-й закон Ньютона:

w ,д г

(10.15.21)

где d m = p S cJ l ~ p S d x — масса участка, р — плотность материала. При­равнивая (10.15.19) и (10.15.21), получаем

1 д 2и д 2и

с 2 d i 2 д х 2(10.15.22)

Здесь введено обозначение

с = Щ р (10.15.23)для величины с, имеющей размерность скорости.

Таким образом, мы пришли к уравнению, совпадающему по виду с волновым уравнением (10.15.15). В соответствии со сказанным ранее ве­личина с имеет смысл скорости волны, причём формула (10.15.23) уста­навливает связь этой скорости с характеристиками струны.

1 0 .1 5 .5 . У р а в н е н и е п р о д о л ь н ы х к о л е б а н и й в с т е р ж н е . В качестве второго примера рассмотрим продольные волны сжатия-растяжения в стержне (рис. 10.15.6).

Чтобы получить уравнение таких волн, введём вектор смещения ча­стиц стержня. Именно, пусть в положении равновесия некоторая частица находилась в точке х, а под действием каких-либо факторов она смести­лась на расстояние и от исходного положения. Тогда смещение точек стержня характеризуется функцией и ( х \ указывающей расстояние, на которое смещается точка, имевшая координату х. Если две близкие точки в положении равновесия имели координаты х и х + 1 соответственно, то в результате деформации эти точки приобретут координаты

х-\-и{х) и л: + / + м(л: + /).При этом расстояние между этими точками составит

[ x + / + w (x + / ) ] - [ * + w( jc) ] = l + = / + Д/

(мы учли, что расстояние / между точками мало). Поскольку начальное расстояние было равно /, то относительная деформация есть

_ А/ е ~ I

д и

дх(10.15.24)

161

X X + l X

Рис. 10.15.6. Сверху — волны растяжения-сжатия в упругой среде, снизу — смещение точек малого элемента объёма стержня под действием усилий Т(х)

По закону Гука деформация е связана с силой натяжения Т в стержне со­отношением

£ = - => T = Es = E — , (10.15.25)Е ёх

где Е — модуль Юнга. Положение рассматриваемого элемента стержня можно характеризовать величиной и — текущей координатой центра тя­жести данного элемента. Для составления уравнения движения этого эле­мента воспользуемся 2-м законом Ньютона:

Э2и дТpSl — т = [Т(х + /) - T(x)]S *= — • SI.

dt дх(10.15.26)

В левой части этого соотношения с точностью до малых величин более высокого порядка, чем /, можно пренебречь различиями значений смеще­ния разных точек выделенного элемента.

Исключая в (10.15.26) натяжение Т с помощью (10.15.25), мы снова приходим к волновому уравнению:

1 д2и _ д2и _ [Е7 ! Й 2 ~ д х 2 ' с V *

(10.15.27)

Здесь, в отличие от (10.15.22), скорость распространения волны определя­ется уже не натяжением, а модулем упругости вещества.

162

10.15.6. Колебания в цепочке атомов. Оказывается, волновым урав­нением можно описывать колебательные процессы во многих дискретных гистемах. В качестве примера рассмотрим колебания атомов в бесконеч­ной одномерной цепочке (рис. 10.15.7).

Гис. 10.15.7. Цепочка атомов массы т каждый, соединенных пружинками жесткостью к. Рас­стояние между атомами в состоя­нии покоя равно а

а \ т к

СММг(ЭЛ/У\гфЛАМЭЛЛМЭп - 1 п п + 1

Обозначим положение /7-го атома в состоянии покоя = па, а его

смещение относительно положения равновесия ип =хп -х * 0). Тогда урав­нение движения этого атома записывается в виде

тип = -к(и„ - м„_,) + к(ип.f , - и„), или

тип = ф п+1 - 2 ип + ип_х). (10.15.28)Будем искать решение системы уравнений (10.15.28) в виде

ип = и0 exp(ikx^ - icot), (10.15.29)где к — некоторый параметр, имеющий размерность обратной длины: |/г] = см"1. Подстановка этого выражения в (10.15.28) даёт

-т а? = к[е,ка - 2 + е~,ка j , или 2к-тсо2 = 2tccoska.

Отсюда находим частоту колебаний:co(k) = co0\s\n{ka/2)\, cOq = 2 yfc/m . (10.15.30)

Перебирая различные значения параметра к, мы получаем все разрешён­ные частоты колебаний атомов цепочки и находящиеся в диапазоне

0 < со< со0.Рассмотрим случай малых расстояний между атомами: f a « 1. В

этом пределе соотношение (10.15.30) принимает вид со = ск, где с = асо0 / 2 .

В рассматриваемом пределе за один шаг Ля = 1 по переменной п функция un{t) меняется мало, поэтому номер атома п можно рассматри­вать как непрерывную переменную. С учётом этого преобразуем выраже­ние в правой части (10.15.28):

163

*■<4+1 - 2 «„ +«„_,) = к(Ап)2 »„+| ~ 2м„ + И,-| _ „ а 2» ____2 д2и Л f\Ci л •(Дя)~ дя“ Зх2

Здесь использована известная аппроксимация производной д2и/дп2 и введена координата л-го атома х - п а как непрерывная переменная. В результате мы пришли вместо (10.15.28) к волновому уравнению:

1 д2и _ д 2и _ fie с2 д г ~ дх2 ' С~ а Ч т ‘

Сравнивая с полученным ранее волновым уравнением (10.15.15), мы за­ключаем, что входящая сюда величина с есть скорость распространения волны.

Рассматривая координату атома хп = па как непрерывную перемен­ную, мы видим, что выражение (10.15.29), использованное для нахожде­ния частот колебаний цепочки, описывает бегущую волну: и = и0е1кх“а,,\ Одновременно выясняется смысл введённого в (10.15.29) параметра к: это волновое число, определяющее длину волны (Л = 2л/к).

На данном примере мы показали, как колебания отдельных частиц объединяются в волновые движения системы, коллективные колебания.

10.15.7'. Решения волнового уравнения. Выше было установлено, что бегущие волны (10.15.14) являются решениями волнового уравнения (собственно, вид волнового уравнения и был найден исходя из вида реше­ний). В соответствии со сказанным общее решение уравнения (10.15.15) может быть представлено в виде

* a(x,t) = u{( x - c t ) + u2(x + c t \ (10.15.31)

где u\(y) и и2(у) — произвольные дважды дифференцируемые функции. Важная группа частных решений получается, если в качестве функций и\ и и2 взять гармоники: *

их ( x - c t) = a] cos[Ar, ( х - с / ) + #>,],

и2 (x + ct) = a2 cos[At2 (х + с/) + ^ ] .(10.15.32)

При этом в зависимости от соотношения между амплитудами (а]9а2), начальными фазами ((р\,<р2) и волновыми числами (&,Д2) мы будем получать стоячие или различные бегущие волны.

Ограничимся сказанным о волнах, поскольку дальнейшее развитие теории требует привлечения более сложных математических методов.

164

Глава 11. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА

11.1. Ускорение относительно неинерциальной системы отсчётаДо сих пор мы, как правило, рассматривали движение материальной

точки (тела) относительно инерциальной системы отсчёта. Однако во многих случаях оказывается удобным изучать движение по отношению к подходящим неинерциальным системам. Например, наблюдая движение тел вблизи поверхности Земли, мы обычно не задумываемся, что Земля — тто неинерциальная система отсчёта, которая вращается вокруг собствен­ной оси, а также движется как целое вокруг Солнца. Если не учитывать уги факторы, могут возникнуть сложности в объяснении многих явлений. С другой стороны, если с самого начала выбирать подходящую систему, то можно заметно упростить описание движения.

Пусть имеется инерциальная система отсчёта S. Выберем также не­инерциальную систему S\ которая не только движется поступательно относительно S, но и вращается с угловой скоростью, мгновенное значе­ние которой есть оо (рис. 1 1 . 1 .1 ).

Выберем в S' начало отсчёта О' и жёстко свяжем с S' систему коорди­нат. Рассмотрим движение материальной точки А относительно обеих систем. Если R0 — радиус-вектор начала О' относительно начала О, a R и г — радиус-векторы точки А относительно систем S и S', то

Будем считать, что точка О'движется со скоростью V0 и ускорением а0:

Рис. II. 1.1. Неинерциальная система отсчёта S' совершает сложное движение относительно инерциальной системы отсчета S. Состояние тела Р задаётся относительно обеих систем отсчёта

R = R 0 + г. ( 1 1 . 1 . 1)

( 11.1.2)

165

Скорость и ускорение точки А относительш инерциальной системы S равны соответственно

dR dW_ d2RVa&' - dt ’ *** “ dt ~ d t2

(11.1.3)

(об этих величинах будем условно говорить к<к об абсолютных скорости и ускорении).

Скорость и ускорение точки А относительна неинерциальной системы отсчёта S' даются формулами

dr _ ch _ d 2\ ~dt’ *~~dt~~d?

(11.1.4)

Выберем в S' систему прямоугольных косрдинат, определяемую ор­тами 1, j, к, так что

г = br + j y + kz. (11.1.5)

В этой системе координат скорость и ускорен^ точки А относительно S' имеют вид

. dx %dy . dz v = i — + j — + k — ,

dt 3dt dt.d 2x t d 2y d 2*

a = l — r- + j — f + k — г • dt2 dt2 dt

(11.1.6)

Далее учтём, что система отсчёта (а вместе - ней и орты i, j, к) враща­ется с угловой скоростью со. Это значит, что (ри£- 1 1.1.2)

- = ( » x i , ^ = (0 xj, f * = t o x k . (11.1.7)dt dt dt

i(nd,)X \ d xd(p

i(0

Рис. 11.1.2. в ы ч и сл ен и е производной орта i: |^ i| = 2 |i |s i r > ( ^ / 2 ) = |£/(z?| => \di)dt\ = (o.

П о с к о л ь к у J - i , dfi-Lto, то в векторной

ф орм е получаем dx/d t = co x i. П орядок

сом нож ителей в векторном произведении определяете** правилом буравчика

Свяжем величины (11.1.3) и (11.1.4). Записывая (11.1.1) с учётом(11.1.5) в виде

R = R 0 + be + jy + kz (11 .1 .8 )

и дифференцируя это равенство по времени, получим

166

ж/ ж/ ( -dx .ay , dz V = V0 + i — + j — + k — 0 V dt a d t ,

di di dk )X ---h V —- + Z ---- =

dt dt dt J (11.1.9)V0 + v + (xcoxi +y(ox j + zcoxk) = V0 + v + coxr.

Таким образом, для скорости точки мы получили выражениеV = v+ V llcp, Vliq) = V0 +ш хг. (11.1.10)

Вектор V называется переносной скоростью. Это та скорость, которойобладала бы материальная точка, жёстко связанная с системой S' (покоя­щаяся в этой системе).

Дифференцируя равенство (11.1.9) по времени ещё раз, найдём уско­рение точки:

dV = dV{) dt ~ dt

^ .d 2x ,d 2y d 2::^i — I— f + k — i-

dt2 J dt2 dt2

+2 dx di dy d\ dz dk Л +dt dt dt dt dt dt )

у ■d 2 i d 2 jx — + y —? + z d 2k ^dt2 dt2 dt2

Для преобразования этого выражения учтём следующие равенства:

( 11.1.11). d 2x .d 2y d 2zi — r-+j— т- + к — - = a,

dt2 J dt2 dt2

dx di idy d\ dz dk dx . dy . dz . / , 1 1 1 0 ч------ + — — + ------- = -—coxi + — cox i + — coxk = cox v, (11.1.12)dt dt 1dt dt dt dt d; dt J dt

x f l + v £ l , ci2k _ ci(v>xi) </(wxj) < /(w x k )_d r y d r dt3 dt dt dt

dtfd<a . (Л4) dm . d\

= * ------X I + ( I ) X — + V -------XJ + (I)X Jl. dt d t) dt

_ di.0

~~dt

+ z dm dk— xk + w x — = (11.1.13) dt d t '

x r + to)x (a)x r).

Соответственно для ускорения aa6c получаем выражение*абс =а+апср +акор>а иср = У0 + Ш Х ( ( О Х Г ) + ( О Х Г, (11.1.14)

а = 2со х у.кор •

Слагаемоее апср называется переносным ускорением. Это то ускорение, которое имеетг точка относительно системы S", если она покоится в S'. Переносное ^ускорение включает поступательное ускорение а0 = У 0

167

начала отсчёта системы S'. Полное ускорение точки аабе содержит также кориолисово ускорение акор, возникающее з том случае, когда точка пере­мещается относительно системы S'. Наконец, в ааГ)С входит ускорение а точки относительно системы S'.

11.2. Силы инерции

Пусть на материальную точку действует сила F. Запишем второй за­кон Ньютона:

maa(k= F . (11.2.1)Подставим сюда выражение для аабс из (11.1.14) и представим полученное равенство в следующем виде:

wa = F + FM1I, (11.2.2)где величина Fim, называемая силой инерции, определяется равенством

F „ „ = F _ + F „ 0 - F kii1. (11.2.3)

В последней формуле введены обозначения:

F„oc, =FuC) = -ппа х (со х г )«•*■» web х г, (11.2.4)

Fuop = - 2wWX V-Эти величины называются соответственно поступательной, центробеж­ной и кориолисовой силами инерции. Вводят переносную силу инерции

F„cp = -w a„cp =F„ocr+F u6 = -w V 0 - /исо X (со X г) - wd>х г. (11.2.5)Это та сила, которая действует на материальную точку, покоящуюся в неинерциальной системе отсчёта S'.

Второй закон «Ньютона в форме (11.2.2) записан для ускорения а ма­териальной точки относительно системы отсчёта 5'. При этом, поскольку система S' неинерциальная, в правую часть этого уравнения наряду С обычной силой F вошла и сила инерции F„H.

*11.3. Проявление поступательной силы инерции

Эта сила инерции проявляется всякий раз, когда неинерциальная си­стема отсчёта S' движется с ускорением или замедлением.

Пусть наблюдатель находится на платформе, движущейся с ускоре­нием а0 (рис. 11.3.1). Тогда на него действует сила инерции

FnocT= -/m i0. (11.3.1)Найдём реакцию опоры, производимую платформой.

Запишем уравнение движения наблюдателя:* » = F + FnoCT. (11.3.2)

168

На человека действуют также сила тяжести и реакция опоры:F = m g + N. (11.3.3)

1. Пусть человек стоит на платформе или движется относительно неё с постоянной скоростью. В этом случае относительное ускорение а = 0. Тогда из (11.3.2), (11.3.3) следует:

N = -(m g + Fnocr) = m (a0 - g ) . (11.3.4)

гттЛ^&Рис. 11.3.1. Наблюдатель на Рис. 11.3.2. Силы, действу-ускоренно движущейся ющис на* наблюдателя вплатформе системе отсчёта платформы

Это значит, что для удержания равновесия человек должен наклониться в направлении ускорения на угол а с вертикалью (рис. 11.3.2) такой, что

tg a = ^ !o£L = fo (11.3.5)mg g

2. Пусть теперь человек идёт с ускорением а относительно платфор­мы. В этом случае из (11.3.2), (11.3.3) находим реакцию опоры:

nm = m g + N - пт() => N = m(a + a0 - g ) . (11.3.6)

11.4. Проявления центробежной силы инерции

11.4,1. Отклонения груза, повешенного па шипи. Пусть груз (мате­риальная точка) подвешен на нити длины /, причём опора совершает вра­щение с угловой скоростью со (рис. 11.4.1).

Рис. 11.4.1 Груз, подвешенный на нити длины /, равномерно враща­ется с угловой скоростью О)

Рис. 11.4 1 I |«\ » i iM i i n i i h iim.nl i h i

НИТИ ДЛИНЫ /. |МИНмМ( |<НН Н|ЫНЫ

ется с уг hi nit tit I |>п|мч щи (.i

Во вращающейся системе отсчёта на груз действуют сила тяжести /wg, сила натяжения нити Т и центробежная сила Fu6 = -/ж ох (сох г), где г —

радиус-вектор груза относительно точки подвеса, |г| = /. В рассматривае­

мой системе груз покоится. Это значит, что сумма всех действующих на него сил равна нулю:

Т + wg + Fll6 = 0. (11.4.1)

Нетрудно убедиться, что центробежная сила Fli0 = -w w х (со х г) направ­

лена, как показано на рис. 11.4.1, т.е. стремится удалить груз от вращаю­щейся оси. Вектор v = о х г , входящий в Fu6 , есть скорость груза, причём

\\\ = colsmcp. Поскольку этот вектор перпендикулярен угловой скорости

(О, то|FuG | = | - ажоху| = mcov = mo)2ls\n<p. (11.4.2)

Спроецируем уравнение (11.4.1) на вертикальное и горизонтальное направления:

откуда находим

Здесь использовано выражение (11.4.2) для Fll6.Мы получили выражение для угла отклонения груза. Видно, что если

угловая скорость мала: со < yjg/l, то груз не отклоняется, т.е. мы должны

Т cos ф = mg, Tsm(p = Fn6,

(11.4.3)

gCOS ф — "т .

co2l(11.4.4)

положить ф = 0, FuG = 0.

Аналогичным образом можно рассмотреть другой случай подвеса груза, показанный на рис. 11.4.2 и отличающийся тем, что нить подвеса крепится не непосредственно к оси, а к горизонтальной штанге длиной г{). Поскольку для центробежной силы в этой ситуации имеет место выраже­ние

Fn б = mco2R = mco2(r0 +/sin<p), (11.4.5)

то условия равновесия груза (11.4.3) теперь дают уравнение для угла от­клонения:

F б g sin фЩф-=—— => cosФ = -^г------------- .

mg со r0 +/sin#?

В пределе г0 = 0 данное уравнение совпадает с (11.4.4). Однако теперь

(при г0 Ф 0) отклонение груза присутствует при любой ненулевой угловой

170

скорости вращения. В частности, до тех пор, пока угол мал: ср<к 1, при­

чем co2l < g , он даётся выражением

Разница в результатах для различных случаев подвеса (/;, = 0 и г0 *0) связана с тем, что во втором случае центробежная сила отлична от нуля уже при (р = 0, что и приводит к отклонению нити под­меса груза от вертикали при любой ненулевой угловой скорости вращения.

I 1.4.2. Вес тела. Вес тела — это сила, с которой тело в поле тяжести действует на опору (или подвес), на которой оно лежит. Сама опора счи­тается неподвижной в рассматриваемой системе отсчёта. При этом счита­ется, что равновесие тела обеспечивается только силой тяжести и силами инерции.

Вес тела Р = w g Kj((|) есть геометрическая сумма силы тяжести mg и центробежной силы Fu6 (рис. 11.4.3):

P = mg + Fll6. (11.4.6)

Найдём величину и направление вектора веса. Обозначим Я| = К с,/т - Тогда

8*Ф = 8 + *i- (11 .4 .7 )

Если i*j_ — радиус-вектор точки поверхности Земли относительно оси вращения (рис. 11.4.4), то центробежная сила равна

F;i6 = т < и\, а, = а> \. (11.4.8)

Учтём также, что r± = R cos (р, где R — радиус Земли.

Рис. 11.4.3. Вес тела mg>фф есть Рис. 11.4.4. К нахождению весагеометрическая сумма силы юлатяжести и центробежной силы

171

Для нахождения угла а, образуемого векгором веса Р с лектором ускорения силы тяжести g, умножим почленно равенство (11.4.7» вектор- но на g справа и учтём, что g х g = 0 :

8эффх 8 = а .х 8-Поскольку

|g3M x §| = ^ 3,|H|,.?s in a >. 1а 1 xg\ = a,gsm<p=(o2Rcos(psm(p, то находим

sin а = sin 2<р. (11.4.9)2 g

Для оценки величины угла а учтём, что

Л * 6 ,3 8 1 0 * см, а> = — * 7 ,3 -1 0 ' 5 с '1, £ * 9 8 0 с м /с . ;П.4.10)тсуг

Соответственно находим

— «3,4-Ю'3 « 1 . ;и.4.10)g

Таким образом, максимальное угловое отклонение вектора веса ст векто­ра силы тяжести не превышает 1,7 • 10"3 рад * 0, 1°.

Оценим теперь величину g,фф. Имея в виду, что a - /*[,.<•,./л* ^ име- ем

& э ф ф = >/(g + a )2 ~ \ / £ 2 + 28а1 g**

8 j= g - a cosq>- g -co2Rcos2 (p.

Здесь учтено, что угол между векторами а и g, как видно из рис. 11.4.4, составляет п-ср . Таким образом, получаем

cos?* (11.4.11)g g

Согласно оценке (11.4.10) отличие £Эфф и g не превышает 0,34 %; оно мак­симально на экваторе Земли и обращается в нуль на полюсе.

11.5. Геофизические проявления силы Кориолиса

Остановимся кратко на некоторых геофизических проявлениях силы Кориолиса.

Сила Кориолиса появляется в тех случаях, когда тело движется отно­сительно неинерциальной системы отсчёта, и даётся формулой

172

(11.5.1)

Пусть тело на поверхности Земли в Северном полушарии движется на север (рис. 11.5.1). Тогда согласно (11.5.1) сила Кориолиса направлена на восток и равна по величине

кор =2mcwsmp

(угол между векторами v и со в рассматриваемой ситуации равен широте места <р). Если же тело движется на юг, то направление силы меняется на

противоположное. Этим объясняются неко­торые наблюдаемые явления.

1. При движении вдоль меридиана сила Кориолиса направлена вдоль параллели.

2. В Северном полушарии при движении поездов наиболее сильно изнашивается пра­вый (по движению поезда) рельс (рис. 11.5.2).

3. В Южном полушарии сила Кориолиса имеет направление, противоположное тому, которое она имела бы в Северном полуша­рии, поскольку угол между векторами v и со меняет знак (ф > —ср). Соответственно наибольшему износу подвергаются левые

(по ходу поездг) рельсы при движении вдоль меридиана (рис. 11.5.3).

FKop =-2mcox v.

Рис. 11.5.1. Сила Кориолиса, действующая на тело, двигающе­еся на север в Северном и Юж­ном полушариях Земли

N N

S S

Рис. 11.5.2. Направление силы Кориолиса при движении поезда вдоль меридиана в Северном полушарии

N N

S S

Рис. 11.5.3. Направление силы Кориолиса при движении поезда вдоль меридиана в Южном полушарии

4. Всё сказанное относится и к размыванию берегов рек, текущих вдоль меридиагов: в Северном полушарии сильнее размывается правый по течению берег, а в Южном полушарии — левый.

5. Сила Кориолиса приводит к появлению устойчивых ветров — пас­сатов в экваториальной области (рис. 11.5.4).

173

Пассаты возникают благодаря нагреву солнечщми лучами поверхно­сти Земли и примыкающих к ней нижних слоёв атмосферы. Вследствие этого воздух поднимается вверх, в то время как вРизу с севера и юга при­ходят новые более холодные потоки воздуха. Суточное вращение Земли приводит к возникновению силы Кориолиса, забавляющей эти массы воздуха двигаться в западном направлении: в Северном полушарии — в сторону юго-запада (северо-восточный пассат), а \ Южном полушарии — в направлении на северо-запад (юго-восточный пассат).

11.6. Отклонение траектории движения падающего тела от направления отвеса

Сила Кориолиса приводит к отклонению траектории падающего тела от направления отвеса. Рассмотрим этот вопрос с точки зрения а) неинерциальной и б) инерциальной систем отсчета. Будем считать, что эксперимент вы­полняется в Северном полушарии.

77.6. /. Падение тела с тонки зрения не­инерциальной системы отсчёта. Пусть тело падает с башни высотой h с нулевой начальной скоростью относительно башни (рис. 1 1 .6 . 1). Запишем уравнение движения тела:

/иа = wg + FKop.

Рис. 11.5.4. Пассаты в эквато­риальной области, возникаю­щие благодаря силе Кориоли­са. Справа показано направ­ление циркуляции воздушных масс в приземном слое атмо­сферы

Здесь ускорение g учитывает как силу тяжести, т*ак и центробежную силу. Если высота башни не слишком велика, то можно> считать g = const.

Поскольку сила Кориолиса равна FKop = - 2 aah(0 xv, то получаем сле-

(£) F«

дующее уравнение свободного движения (падения) тела под действием силы тяжести, но в неинерциальной системе отсчёта:

т \ = m g - 2т (о х v. ( 1 1 .6 . 1 )Пусть тело падает с башни с нуле­

вой начальной скоростью. Будем ре­шать уравнение ( 1 1 .6. 1 ) методом по­следовательных приближений, считая малой силу Кориолиса по сравнению с силой тяжести. В низшем приближе­нии пренебрегаем силой Кориолиса и Dr r г Рис. 11.6.6.1. Сила Кориолиса, действую-ПОЛучаем v = gt. В следующем при- щая на терело, падающее с высоты Иближении учтем силу Кориолиса как поправку, полагая

174

FKop = - 2 /7 7 0 ) X V » - 2 /7 7 0 ) X g t.Эта сила при падении тела направлена на восток (в Северном полушарии) и по величине равна

FKop = 2mcogt cos ср.

Обозначая смещение на восток по параллели как;>, имеем уравнениету = Imcogt cos ср,

откуда находим1 зу = — cogt COS0>.

Если высота башни равна А, то время падения составляет / = p h / g И

для смещения от направления отвеса получаем выражение

1у = - cog COS (р'21,^( 11.6.2)

Таким образом, величина смещения зависит от начальной высоты как

у~1Найдём поправку, возникающую в следующем приближении

(рис. 11.6.2). Для этого заметим, что уточнённое уравнение для скорости имеет вид

v = g - 2coxg /.

Отсюдаv = g / - c o x g r . (11.6.3)

Рис. 11.6.2. Появление поправки к силе Кориолиса, направленной к экватору

Поэтому уточненное выражение для FKop имеет видFKOp = - 2 /7 7 0 ) х g / + 2 /7 7 0 ) х (со xg) г . ( 1 1.6.4)

В этом приближении скорость приобретает составляющую, направленную на восток: Av = -c o x g /2. В результате появляется поправка AFKop к силе Кориолиса:

175

направленная от поверхности Земли перпендикулярно оси вращения (рис. 11.6.2). Величина этой поправки равна

|AFKOp | = lmco2gt2 cos ср. (11.6.6)

В свою очередь, эта поправка Имеет составляющую AF,, направленную к экватору, причём её величина равна

= № к $тср = 2то?gt2 coscpsmcp = тсо1 gt2 srnlcp. (11.6.7)

Обозначая смещение к экватору как s, получаем уравнение для этого смещения: ms = AFu интегрируя которое, находим результирующее сме­щение:

s = j^o )2gsm2q>-t4. ( 1 1 .6 .8)

11.6.2. Падение тела с точки зрения инерциальной системы от­счёта. Проведём теперь анализ, оставаясь в инерциальной системе отсчё­та. Для упрощения вычислений рассмотрим сначала случай, когда экспе­римент проводится на экваторе {ср = 0).

Угловые скорости всех тел, жёстко связанных с Землёй, одинаковы и равны со. Поэтому тело в начале падения имеет линейную скорбеть г>нач =co(R + h \ сообщаемую ему башней, а линейная скорость точек по­верхности Земли равна vQ = coR.

На тело действует центральная сила — сила тяготения, направленная по радиусу Земли. Поэтому сохраняется момент импульса падающего тела: L = mvx(R+y) = const, где vx — горизонтальная (вдоль поверхности Земли) компонента скорости тела. Введём угловую скорость вращения тела: г;* = Q(/? + д/). Поскольку vm4=co(R + h) то отсюда следует, что

mQ(R+ у )2 = mca(R + И)2, или (при h<KR,y<$:R) :

A F KOp = - 2 w c o x A v — 2 w c o x (со x g ) / 2 , ( 1 1 .6 .5 )

_ (R + h f ( , А -дЛ€1 = со--------1 + 2 — - .СR+ y)2 I R )(R +У)

Подставив сюда приближенную зависимость у = h - g t 2 j l , имеем

Q (/)» со 1 + ё 1R

после чего простым интегрированием находим угловое смещение тела:

176

‘/и© = J n(t)dt = cat,, 1 +

3 R

2 \

где использовано обозначение lm = yjlhfg для времени падения с высоты

/?. Это выражение даёт угол поворота радиус-вектора тела. В частности, точка пересечения этого радиус-вектора с земной поверхностью за время падения проделывает путь

,2S = &R = cotniR 1 +

3 R

Радиус-вектор основания вышки поворачивается на угол 0 О = cotm и про­делывает путь S0 -a)tmR. Расстояние между точкой падения тела и осно­ванием вышки составит

,2bS = S - S 0 = 0)tmR ^ = ^(0gtl = i<yg

2 h t '2

g ,Это совпадает с результатом, полученным из рассмотрения в неинерци- альной системе отсчета на экваторе (#> = 0). Как видно из вывода, причи­на отклонения связана с увеличением скорости вращательного движения тела по мере его приближения к Земле (вследствие сохранения момента импульса).

Если эксперимент по бросанию тела проводится не на экваторе, а на широте (р, то при анализе нужно учесть, что начальная скорость тела ока­жется равной г?нач = co(R + h)cos(py а точки поверхности Земли под выш­

кой — vQ = coR cos #?. Этот фактор приводит к тому, что в конечный ответ войдёт дополнительно множитель cos#?:

AS =-cog ' 2 h f 2cos <p.

Более точное рассмотрение показывает, что кроме смещения тела в восточном направлении, имеется дополнительное смещение в сторону экватора. Происхождение этого смещения связано с тем, что тело совер­шает вращение не вокруг оси (на заданной широте), а в плоскости, прохо­дящей через центр шара.

Таким образом, анализ движения тела с точки зрения неинерциальной системы отсчета оказывается достаточно простым и автоматически учи­тывает ряд существенных факторов, таких как разные линейные скорости точек системы отсчёта, сохранение момента импульса, центральный ха­рактер поля тяготения.

177

11. 7. Маятник Фуко

77.7.7. О маятнике Фуко. Маятник Фуко — это массивный шар, подвешенный на длинной нити и совершающий малые колебания около положения равновесия. Впервые опыт был выполнен в парижской обсер­ватории в 1850 г. (Ж. Фуко, J. Foucault). Опыт повторён в 1851 г. в Пан­теоне с маятником, имевшим массу ш = 28кг и длиной нити / = 67м. В Исаакиевском соборе в С.-Петербурге демонстрировался маятник с длиной нити 98 м.

Опыт Фуко наглядно продемонстрировал существование вращения Земли вокруг собственной оси. Если бы Земля не вращалась, то плоскость качания маятника относительно неё сохраняла бы неизменное направле­ние вследствие сохранения момента импульса в центральном поле тяготе­ния. В опытах Фуко плоскость качания равномерно вращалась. При этом в зависимости от начальных условий конец маятника описывал траектории, показанные на рис. 11.7.1.

Рассмотрим подробнее поведение маятника.

Рис. 11.7.1. Траектории, описываемые концом маятника Фуко в ходе качания: слева — выведенный из положения равновесия маятник отпускают с нулевой начальной скоростью; справа — маятнику, находившемуся первоначально в центре круга, сообщают некоторую ненулевую начальную скорость %

77.7.2. Маятник Фуко с точки зрения инерциальной системы от­счёта. Как уже было сказано, плоскость качания маятника неизменна вследствие сохранения момента импульса. Однако благодаря вращению Земли наблюдается поворот плоскости относительно Земли. Период вра­щения Земли составляет Т = Тсуг = 24 часа. Соответственно угловая ско­

рость со = 2я/Тсут « 7 ,3 - 1 0”5 с-1.

На полюсе (рис. 11.7.2) процесс выглядит как вращение плоскости ка­чания с периодом Гсут.

178

Рассмотрим качание на широте <р. Вектор угловой скорости разложим на «вертикальную» и «горизонтальную» составляющие (рис. 11.7.3):

со = сов + сог. (11.7.1)

со 4

Рис. 11.7.2. Плоскость качания маятника Фуко на полюсе поворачивается относительно Земли на 360° за сутки

Рис. 11.7.3. Плоскость качания маятника Фуко на широте (р поворачивается относительно Земли с угловой скоростью 2л/л>„

Компонента сог приводит к колебаниям натяжения нити, а компонента

сон описывает видимое вращение плоскости качания. ПосколькуcyB=cysin^, (11.7.2)

то период вращения плоскости колебаний составляет

Т((р) = — = Ь а - . (П .7.3)СУВ sin 7

В частности, на экваторе Т{ф) —>оо, т.е. плоскость качания сохраняет неизменное положение.

11.7.3. Маятник Фуко с точки зрения неинерциальной системы отсчёта. В этой системе отсчёта, помимо веса и силы натяжения нити, на маятник действует сила Кориолиса:

FKop= - 2 Wcoxv. (11.7.4)Эта сила перпендикулярна скорости и приводит к изгибанию траектории (отклонению). Это и означает поворот плоскости качания.

Представим угловую скорость в виде суммы слагаемых, из которых одно (со,,) параллельно плоскости качания, а другое (со±) — перпендику­

лярно:со = со„ +со±. (11.7.5)

179

Составляющая со± зависит от положения плоскости качания.В составляющей о>(| выделим «вертикальное» и «горизонтальное»

слагаемые (рис. 11.7.4):СОц=СОв+СОг. (11.7.6)

Тогда

Рис. 11.7.4. Разложение вектора угловой скорости на составляющие в плоско­сти качания (оов + со,) и перпендикулярную плос­кости ©1

- 2 wcob. х v - 2 джог x v - 2 /жо± х v.

Слагаемое ( - 2nuoL х v) направлено вдоль нити и приводит к изменению её натяжения, ме­няя период качания маятника, но не влияя на ори­ентацию плоскости качания.

Слагаемое ( -2 wcd„ х v ) перпендикулярно плоскости качания. Оно, однако, при малых углах а отклонения маятника (при малых колебаниях) слагаемое мало (содержит множитель sina).

Основное слагаемое, определяющее враще­ние плоскости качания, — это

2 пF, = - 2 дт7С0(( х v, сои = ---- sin ср, (11.7.7)

Оно перпендикулярно плоскости качания. С учётом сказанного урав­нение движения маятника в неинерциальной системе отсчёта имеет вид

mr = -^y^r-2/wa>B xr. (11.7.8)

В этом уравнении радиус-вектор г имеет две компоненты: х и у, описыва­ющие проекцию качающегося шара на горизонтальную плоскость. В ко­ординатах последнее равенство сводится к двум уравнениям:

х + calx - 2сои у,® и (11.7.9)

y + co-y = -2coJ9 щгде введена собственная частота колебаний маятника со0 = yjg/l.

Решение системы уравнений можно получить, используя комплексное представление колебаний. Именно, введём функцию

z = x + iy. (11.7.10)Умножая второе уравнение в (11.7.9) на i и складывая с первым, получим уравнение для функции z(t):

z + 2icoBz + coQZ = 0. (11.7.11)Для решения этого уравнения положим

z = z0eini. (11.7.12)

180

Подстановка этого выражения в (11.7.11) даёт

- Q 2 - 2 cdb Q + coq = 0 = > Q = - с о в ± y jc o B + а % .

Соответственно находим общее решение уравнения (11.7.11):

z = z0]e-i(O't4(O't +z02e~i(O-t+i , (11.7.13)

где введено обозначение щ = & + C0q . Далее, полагая

z0\ — a , z02 — а2еи отделяя в (11.7.13) действительную и мнимую части: х = Rez, у = Imz, получаем

х = я, cos[(<y, + ^ B) /- ^ ,] + a2 cos[(^y, -я>в)/ + <р2], 11 7 и

У = sin[(dy, + ^ B)/-<p,] + tf2 sin[(<y, -я>в)/ + <р2].Полученное решение содержит четыре произвольных константы:

я,, я2, (р\, (р2> значения которых определяются из начальных условий.

В случае маятника Фуко сов «с со0 « . Поэтому соотношения(11.7.14) описывают обычные колебания математического маятника с периодом Т »27г/ со0, причём плоскость, в которых они происходят, мед­ленно поворачивается. Тем самым демонстрируется вращение Земли. Действительно, если бы точно выполнялось равенство сов = 0, то решение(11.7.14) приняло бы вид

X = я, cos[dy0 / - (Р\ ]+ я2 cos[*y0 1 + (р2 ],

у = -я, sin\_(Oq t-<P\~\+ я2 sin[<y0 / + ср2].

Отсюда видно, что существовали бы колебания, совершающиеся в одной плоскости. Напэимер, полагая я, = я 2 = я /2, ср2 =-(р1 =% , получаем

Х = ЯСО8[/У0 / + % ]» У = 0-Это отвечает колебаниям вдоль оси х. Наблюдающиеся в опытах с маят­ником Фуко вращения плоскости качания свидетельствуют о том, что сов * 0 и, следовательно, со*0.

В лабораторных условиях мржно моделировать неинерциальную си­стему отсчёта системой, показанной на рис. 11.4.1, вращающейся с произ­вольной угловой скоростью. Соответственно мы будем получать траекто­рии маятника, где поворот плоскости качания относительно вращающейся поставки будет проявляться сильнее. Примеры траекторий типа «розе­ток», описываемых решением (11.7.14), показаны на рис. 11.7.1. Траекто­рии приведены для соотношения частот со = 0,25 соо.

181

Глава 12. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

12.1. Упругие и пластические деформации. Закон Гука

12.1.1. Определения, Деформациями называются изменения объёма или формы тел под действие приложенных сил.

Упругими называют такие деформации, которые исчезают после пре­кращения действия сил.

Пластическими называют деформации, не исчезающие после пре­кращения действия сил.

Минимальная нагрузка, приводящая к разрушению тела, называется пределом прочности.

Рис. 12.1.1. Деформация расгяжения- сжатия стержня длиной / и площадью поперечного сечения S под действием силы F

Рассмотрим стержень, который за­креплён на одном конце, а к другому концу которого приложена сила F (рис. 12.1.1). Пусть площадь сечения стержня в месте приложения силы равна S. Тогда напряжением а называется сила, приходящаяся на единицу площа­ди:

<j = F/S.Если сила приводит к удлинению

стержня, то величина s называется натяжением и обозначается как а — Т. Если же сила вызывает сжатие, то величина а называется давлени­ем и обозначается как сг = -Р.

Обозначим длину стержня как /. Если в результате деформации длина стержня изменилась на А/, то величина

е - А///называется д е ф о р м а ц и ей , или от но си т ельны м уд ли нени ем .

12,1,2, Закон Гука, Для малых упругих деформаций выполняется за­кон Гука:

е = а /Е .Коэффициент Е в этом соотношении называется модулем Юнга, или мо­дулем упругости. Этот коэффициент зависит от свойств материала и определяется межатомными (межмолекулярными) силами.

182

Закон Гука означает, что малые деформации пропорциональны силам, их вызывающим.

Упругие свойства стержня (пружины) при продольном нагружении характеризуются коэффициентом жёсткости (или упругости) к; пока­зывающим, как деформируется тело под действием силы F:

F = кА1.Найдём связь коэффициента к с модулем Юнга и геометрическими харак­теристиками стержня. Если длина и площадь поперечного сечения тела равны соответственно / и S, то

F = a S , А/ = si.Подстановка этих равенств в закон Гука сг - Е е даёт

к = ES/LТаким образом, жёсткость тела зависит не только от модуля Юнга, но

и от размеров.12.1.3. Поперечные деформации. Пусть на стержень (рис. 12.1.2),

имеющий длину /ц и поперечный размер (толщину) /± , действует про­

дольная сила F, создающая напряжение a = F /S . Результатом этого воз­действия является не только удлинение стержня (Д/ц), но и изменение его

поперечного размера (А/± ). Введём продольную (б:ц) и поперечную (£± )

деформации соответственно равенствами:

Тогда при малых деформациях между этими величинами имеется связь:

f i = “ ^ 11-

Параметр р в этом равенстве называется коэффициентом Пуассона.

С учётом закона Гука получаем выраже­ние для поперечной деформации:

сге | = - р —.1 Е

Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропных тел при малых деформациях.

При малых деформациях выполняется принцип суперпозиции: дефор­мация, вызываемая несколькими усилиями, равна сумме деформаций, вызываемых каждым из усилий.

/и

Рис:. 12.1.2. Продольная нагрузка (о[|) вызывает поперечную де­формацию Д/х

183

12.2. Уравнения трёхосного нагружения

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, к граням которого при­ложены усилия, направленные по нормали к граням (рис. 1 2 .2 . 1 ).

Усилие ох вызывает удлинение параллелепипеда вдоль оси х:

( ч л , ) , = * , / £ •

Растягивающие же усилия ау и <тг, действующие вдоль осей у и z, приво­дят к сокращению тела вдоль оси л::

(Д/.//Д, — м<7,/е , ( Ч Л ) , = -/ '" ,/« •

Согласно принципу суперпозиции итоговая де­формация равна

AL A L

\ 'X JЧ :

V ^ )

А/.

\ X Jzили

Рис. 12.2.1. Трёхосное нагружение тела — при­кладываются три взаимно перпендикулярных усилия

Alx _ а х Gy _ сг.

Аналогичные соотношения справедливы и для деформаций по осям и и z. Поэтому можно запи­

сать систему уравнений, описывающих деформации под действием трёх взаимно перпендикулярных усилий:

1 г£х =-[<тх -м((7у +*;)],

£y = ^ \ f y - ^ x + ^ z ) \ (12.2.1)

12.3. Всестороннее и одностороннее сжатие

72.5.7. Относительное изменение объёма. Свяжем относительное изменение объёма прямоугольного параллелепипеда с относительными изменениями его размеров. Если стороны тела равны соответственно lx,ly ,lz9 то его объём равен V = lxlylz. Изменение объёма при малой де­

формации равно

ДГ = (lx +Alx)(ly +Aly )(lz + Alz ) - ! xlylz *

~ lylz ^ x + lxlzAly +lxlyAl2 -

184

Мы пренебрегли слагаемыми lzAlxAlyi lyAlxAlz, lxAlyAlz , AlxAlyAlz,

содержащими произведения малых величин. Для относительной дефор­мации объёма находим

AV-----= £х +£v + £ ..у х у (12.3.1)

12.3.2. Всестороннее сжатие. Пусть на прямоугольный параллеле­пипед на все грани действует одинаковое давление (рис. 12.3.1):

<*Х =СГ, = <*Z =~Р-

В этом случае уравнения (12.2.1) принимают вид

Рис. 12.3.1. Всестороннее сжатие — по трём взаим­но ортогональнымнаправлениям действует давление Р

Рех = е у - е г

С учётом формулы (12.3.1) отсюда следует вы­ражение для относительного изменения объёма:

AV з р п О Ч— = ex + sy + s,= - 2ft).

Таким образом, получаем соотношение

AV _ Р ЕV ” К* ” 3 (1 -2 /и)

(12.3.2)

Введённая б этом соотношении величина К называется модулем все­стороннего сжатия.

Из (12.3.2) вытекает одно свойство коэффициента Пуассона. Если те­ло несжимаемо, но под действием внешних сил может только менян, свою форму, то AV = 0. Тогда из (12.3.2) получаем // = 1/2.

Для всех обычных тел коэффициент // заключён в диапазоне

Рис. 12.3.2. У тугоетело, помещённое в абсолютно жёсткийсосуд, открытый с одной стороны

0 < //< 1 /2 . (12.3.3)

Требование / / > 0 связано с тем, что при растяже­нии стержня его поперечные размеры уменьшаются.

12.3.3. Одностороннее сжатие. Пусть упругое тело помещено в абсолютно жёсткий сосуд, у которого открыт лишь один конец (рис. 12.3.2). Это значит, что оно может деформироваться лишь в одном направлении. Выбирая ось х вдоль этого сво­бодного направления, запишем уравнения ( 1 2 .2 . 1 ):

185

ey = ± [* y - M(v x+ a z )]=0, (12.3.4)

e z = ^ [ ^ - м { ° х +<ту ) ] = 0 .

Напряжение gx = F /S создаёгся внешней силой, тогда как напряжения

ayyGz вызываются противодействием стенок сосуда, препятствующих

деформации в направлениях у и z.Складывая второе и третье уравнения в (12.2.4), получим

^ [ а у +аг -м(2(тх +<ту +(?,)] = О => Vy+ tri= 2 tL a x.

Подставляя найденную сумму в первое уравнение в (12.3.4), находим

1£ \= —х Е

2ц2-------<1 -м

(1 -2 /j)(\ + /u)a x 1 -;/ Е

Запишем это равенство в виде ех =(тх/К {. Здесь введён модуль сдпосто- роннего сжатия

1 _ F Г7К, (12.3.5)(1 + Л /Х 1-2//)

Очевидно, что в случае несжимаемого тела (// = 1/2) /С, = оо. Это

означает, что любое конечное усилие не вызывает деформации: е£ = 0.

12.4. Деформация сдвига

12.4.1. Касательные напряжения и угол сдвига. Пусть тел о. в форме куба находится на некоторой поверхности (эдс. 12.4.1), причём его по­верхность контакта не может сместиться под действием внешней силы.

Приложим к верхней поверхности тела силу, направленную по касательной к по­верхности. Пус'д, па единицу площади приходится сила г. Для обеспечения рав­новесия тела на других поверхностях должны развиваться усилия, равные по

Рис. 12.4.1. Деформация сдвига, вызываемая касательным напря­жением, приложенным к верхней поверхности тела

величине т и направленные так, как пока­зано на рис. 12.4.1. Эти дополнительные усилия возникают благодаря реакции опо­ры, удерживающей тело в равновесии по

186

отношению как к смещению, так и к вращению.Усилие г называется касательным напряжением.Под действием приложенного усилия тело деформируется, как пока­

зано на рис. 12.4.1. Угол, на который поворачивается боковая поверх­ность, называется углом сдвига.

Закон, связывающий угол сдвига с касательным напряжением, в слу­чае малых деформаций имеет вид

Г = т/С, (12.4.1)где величина G называется модулем сдвига. Найдем эту величину.

12.4.2. Сведение системы касательных усилий к системе нормаль- ных напряжений. Сведём касательные усилия к системе нормальных напряжений — натяжениям и давлениям. Пусть сторона рассматриваемо­го куба равна а. Касательные силы, приложенные к сторонам куба ВС и А $} равны

FT = а2 г.В результате деформации квадратное сечение тела примет форму

ромба (рис. 12.4.2). Одна диагональ квадрата (BD) сжимается, а другая (АС) растягивается. Касательные силы, приложенные к сторонам ВС и АВ, можно разложить на составляющие, одна из которых направлена вдоль В& а другая — вдоль АС. Поэтому силы, действующие на диагональные плоскости BD и АС, равны

F = 2cos(45°)/7r = Л а 2т.Вследствие малости рассматриваемых деформаций площади диагональ­ных плоскостей BD и АС равны S = a2\f2. Как результат, давление Р и натяжение Г, действующие соответственно на эти плоскости АС и BD, составляют

р _ т а Ч г _ т _ та2Л a2s/2~ ’ a2J 2

Рис. 12.4.2. Слева — сведение системы касательных усилий к системе нормальных напря­жений; справа — эквивалентная система нормальных усилий при деформации сдвига

187

Таким образом, исходная система касательных усилий (pic. 12.4.2 слева) оказалась эквивалентной системе нормальных натяжений-давлений (рис. 12.4.2 справа).

12.4.3. Изменение объёма тела при сдвиге. Для расчёта деформаций при сдвиге можно воспользоваться уравнениями трёхосного нагружения (12.2.1). Выберем оси координат A", Y, как показано на рис. 12.4.2 (справа). Используя полученные выше значения нормальных усилий:

сгх = г, (JY = -г , crz =0. (12.4.2)

Подстановка этих значений в ( 1 2 .2 . 1 ) даёт

£ Х = - ^ [ c rA ' - / / ( 0 ‘K + 0 ' z ) ] = ^ r r .

£y = £ [°V ~ м (а х + ° z ) ] = (12.4.3)

£ z = - ^ [ CTz - / ' ( o ' . r + o v ) ] = 0 -

Изменение объёма тела можно найти по формуле (12.3.1):

bV/V = £x +£Y +s: = 0. (12.4.4)

Таким образом, при сдвиге объём тела не меняется.12.4.4. Модуль сдвига. Найдём модуль сдвига. Выделим в зеле эле­

ментарный объём в форме кубика. В результате данной деформации его боковые грани принимают форму ромба (рис. 12.4.3).

Введём векторы сторон: Я| и я2, из ко­торых первый отвечает повернутой стороне, а второй — стороне, сохранившей прежнее направление. Считаем, что деформация мала, т.е. мал угол сдвига у и изменения длин сторон. Тогда если до деформации длина диагонали ромба составляла d0 = ау/2 , то в результате сдвига её длина изменится и определится из равенства .

d 2 - (aj -а~)2 = 2а 1 (1 - sin /).

Рис. 12.4.3. Ромбовидное сечение тела, имевшего до деформации сдвига форму кубика. Размер тела в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, не меняется

Имея в виду малость угла сдвига, получаем

d = asj2 ( \ - s in r )« d 0^ \ - ^ j => = (12.4.5)

188

Согласно рис. 12.4.2, в направлении рассматриваемой диагонали действу­ет сжимающее усилие г. Поэтому по формулам (12.4.3) находим

М 1 + ju— - еу -----------г 2(1 + //) у = —— — г.

Е(12.4.6)

Таким образом, с учётом определения модуля сдвига (у = г /(7) получаем

ЕG = -2(1 + / / ) ’.

(12.4.7)

12.4.5. Связь упругих модулей. Как отмечалось выше, упругие свой­ства вещества полностью определяются модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Однако в ряде случаев целесообразно в качестве определяющих характеристик брать модуль всестороннего сжатия и модуль сдвига:

К = ------ — , G = — — - . (12.4.8)3(1 - 2 М) 2(1 + м)

Дело в следующем. Первый из этих модулей характеризует деформации, при которых каждый элемент объёма остаётся подобным себе. Второй же модуль описывает деформации без изменения объёма.

Разрешая равенства (12.4.8) относительно Е и //, находим

9 KG \3 K -2 GЕ = ----------, // = ---------------3K + G 2 3K + G

(12.4.9)

12.5. Кручение

12.5.1. Деформация кручения. Пусть имеется тело в форме цилиндра, изготовленное из упругого материала (например, резины). Если закрепить один конец цилиндра, а к другому приложить момент сил, то произойдёт поворот, закручивание тела. При небольших воздействиях угол закручи­вания связан с приложенным моментом М формулой

M = fq>. (12.5.1)

Введённый здесь коэффициент / называется модулем кручения.Найдём модуль кручения для упругого тела, имеющего форму цилин­

дра кругового сечения. Для этого рассмотрим элемент объёма, представ­ляющий собой тонкостенный цилиндр радиуса г с толщиной стенок dr (рис. 12.5.1). По торцевым поверхностям цилиндра действуют касатель­ные усилия г, создающие закручивающий момент сил. Эти усилия на про­

189

тивоположных торцах направлены в противоположные стороны. Будем рассматривать смещение нижнего торца относительно верхнего, предпо­лагаемого сейчас неподвижным.

Рис. 12.5.1. Кручение малого элемен­та объёма тела

В результате закручивания на угол ср участок поверхности АВ сме­стится и займёт положение /Г/?'(рис. 12.5.1). Но это закручивание можно интерпретировать как сдвиг нижнего торца относительно верхнего, при­чём угол сдвига g связан с касательным напряжением формулой

r = Gy. (12.5.2)

Для элемента цилиндра длиной dx угол закручивания dcp связан с уг­лом сдвига равенством

yd x-rd (p . (12.5.3)Исключая отсюда угол сдвига с помощью (12.5.2), находим

т = Gr - f - . (12.5.4)dx

Полный крутящий момент получается путём интегрирования по всей по­верхности приложения касательного усилия. Разбивая весь торец на Эле­менты площадью dS = dr-rda , получаем d M **rdS, откуда интегриро­ванием по г и а получаем

R 2тг R 2п » I Л п 4 I

М - f f г г -d S - f f r-Gr — -rdrda = 27rG— \r 2dr = —--------—.r = o i o r U a l 0 d x d x 0 2 A .

При равномерном закручивании цилиндра длиной / можно положитьd(p _ср" л ~ 7 ’

Отсюда с учётом определения модуля кручения (12.5.1) получаем

190

f = — —G. (12.5.5)21

Полученное соотношение связывает модуль кручения с модулем сдвига и геометрическими характеристиками закручиваемого тела.

12.5.2. Однородные и неоднородные деформации. Выше мы рас­смотрели всестороннее сжатие, сдвиг и кручение. Первые две деформации называются однородными, поскольку все элементы объёма тела деформи­руются одинаково: одинаково меняются их объёмы и форма. Деформация же кручения называется неоднородной, поскольку разные участки тела деформируются по-разному. Действительно, как видно из рис. 12.5.1 и формулы (12.5.3), чем дальше от оси жгута, тем больше сдвиговая дефор­мация.

4

12.6. Плотность энергии упругой деформации

Найдём работу по растяжению (сжатию) упругого стержня под дей­ствием внешней силы F (рис. 12.6.1). Будем отсчитывать координату я: от конца стержня, находящегося в ненагруженном состоянии. Тогда работу но удлинению стержня на dx можно записать как dA = Fdx. Полагая

х хF = <j S и используя закон Гука а - Es - Е - , получаем dA = ES—dx.

11олная работа по удлинению стрежня от х = 0 до х = А/ составит

, HES . ES (А/ ) 2 [ = — xdx = ■{ ' /

Эта величина равна потенциальной энергии деформации U. Заменяя здесь А/ = s i , пе­репишем полученное выражение в виде

и = Ее1 V, ( 12.6.2)

( 12.6.1)

F=crS

jc = Огде V = SL — объём стержня. Энергия,

^ .. Рис. 12.6.1. Продольная нагрузка оприходящаяся на единицу объема, состав- вызь1вает деформацию , = д/ляет

U Ее1 U ~ V ~ 2

(12.6.3)

Используя формулу закона Гука, соотношению (12.6.3) можно при­дать другой вид:

as а U~ ~ 2 ' U ~ ~2Е

(12.6.4)

191

Первое из этих соотношений не содержит явно упругих констант и явля­ется удобным для расчёта энергии в различных ситуациях деформирова­ния, когда константы могут отличаться от модуля Юнга (как, например, в случае одностороннего сжатия), но сохраняется пропорциональность де­формации приложенному усилию.

Рассмотрим теперь случай нагружения тремя взаимно перпендику­лярными усилиями. Запишем выражение для элементарной работы (в расчёте на единицу объёма вещества):

а'А = crxdex + <Jydey + azdez.Воспользуемся далее соотношениями (12.2.1):

dA = ^ [ е * - / 'Ц , + e z ) \ d e x + ^ [ е у ~ М (е х + e . j ] d e y +

+\ [ s^ - ^ £x +£y)]dez-

Переписывая это выражение в виде

d A = \ \_£ x d £ x + £ y d e y + £ z d e z ] -

- — [exdev + evdex + evdez + e2deY + £xd£: + £:d£x ] »

замечаем, что оно представляет собой полный дифференциал:

dA = +еу +е: ) ~ Н е*еУ+еУе^Переходя к конечным деформациям, получаем

и = ■2 Е \ ( Ъ +4 +е: ) ~ 2Р (е>XSV +£,,£•- +£,А)}

Используя формулы (12.2.1), перепишем это выражение в виде

» = U ^ xex +iTyey +<T.£.). (1 2 .6 .5 )

Рассмотрим частные случаи последней формулы.1. Всестороннее сжатие. В этом случае ах = crv = <j z = -Р. Соответ­

ственноР г и 1

u = - 1 [ s x + s y + £ ; j = - - P i r .

Поскольку при всестороннем сжатии ДК/И = - P jK , то

u = P2/ lK . (12.6.6)2. Деформация сдвига. Имея в виду, что согласно (12.4.3) при сдвиге

192

1 + // \ + и£ x = — j r T ’ £ У = — J ~ T ' £ Z

<?x = T> a Y = ~T> &Z = °> находим по формуле (12.6.4)

= 0,

1 + // , чг — — г + (—г)Е Е ) \

1и — —2

Последний результат можно получить и непосредственно, вычисляя работу касатель­ного усилия при сдвиге (рис. 12.6.2). Именно, записывая линейное перемещение верхней грани элементарного прямоугольного парал­лелепипеда в виде dx = a d y , находим работу силы Fr = г5 = GyS на пути dx = a dy \

dA = FT-dx = GyS • a dy.При изменении угла сдвига от 0 до у работа составит

1

^ г 2 = — . (12.6.7)E 2 G

Fr = rS

'/777777У////7//7/ЛРис. 12.6.2. Работа касательного усилия при сдвиге, когда угол наклона грани меняется от 0 до угла сдвига у

A = j G / S a d / = G S a ^r2 = ~ V ,

где V = aS — объём тела. Для плотности потенциальной энергии дефор­мации сдвига отсюда следует прежнее выражение (12.6.7):

„2( 12.6.8)_ А _ Gy~

u ~ v ~ ~И2

т2&

12.7. Деформация изгиба

12.7.1. Геометрия изгиба и условие равновесия. Рассмотрим пласти­ну, которая в ненагруженном состоянии имеет неизменное по всей длине сечение. Пусть теперь эта пластина изогнута (рис. 2.7.1). При этом верх­няя сторона (А) растянута, а нижняя (В) сжата. Отсюда следует, что име­ется нейтральное сечение (АО, которое не деформировано. Выберем фраг­мент сечения. Пусть R — радиус кривизны этого фрагмента, a d a — угло­вой размер дуги (рис. 12.7.1). Тогда его длина равна

dl0 = R d a (12.7.1)и совпадает с исходной длиной выбранного фрагмента пластины dl0.

Если обозначить как х расстояние (по радиусу) от нейтрального сече­ния до сечений, лежащих выше и ниже нейтрального, то длины этих сече­ний оказываются равными

193

(12.7.2)dl = (R + x)da,а изменения их длин составляют

A(dl) = dl - dL - xda = — dL , s = ^ ! l = - .0 R 0 dln R

(12.7.3)

N

...Z.h/2

0-h/2

Рис. 12.7.1. Слева — пластина в ненапряжённом состоянии, справа — та же пластина, но изогнутая. Стрелки на рисунке справа указывают направления усилий

По закону Гука напряжения, действующие з соответствующих сече­ниях (растяжения-сжатия), равны

а { х > Е * Ё 1 = Е ! 'dL R

(12.7.4)

Условие равновесия означает, что полная сила, действующая в попереч­ном сечении, равна нулю:

|<таВ' = 0 => Jx</S = 0. (12.7.5)

Л/2

-h/2

N ! \

1 JC

......1.... У

11 _ 1 4_ 1 ^ 1

Во втором равенстве использовано соотноше­ние (12.7.4), а интегрирование распространя­ется на всю площадь рассматриваемого сече­ния. Видно, что лжоордината нейтральной линии совпадает с координатой центра масс соответствующего сечения пластины. Пусть, например, стержень имеет прямоугольное сечение с размером h по координате х и раз­мером b в поперечном направлении — по ко­ординате у (рис. 12.7.2). Тогда, считая, что

верхняя и нижняя поверхности пластины отстоят на расстояния соответ­ственно И\ и /?2 от средней линии, перепишем равенство (12.7.5) в виде

Ь/2 Л, 1 ,

0 = J J xdxdy = - b ( h * - h ^ => hl =h2 = -h .y=-h/2 x=-h, ^ 2

Рис. 12.7.2. Поперечное сечение пластины. Ось z даёт направле­ние оси пластины, N — нейтральная линия

194

Это значит, тго нейтральное сечение проходит посередине пластины (пунктирная линия на рис. 12.7.1).

Такое распределение усилий в поперечном сечении (рис. 12.7.1 спра­ва) приводит е появлению момента сил, вызывающих изгиб:

M = \xcr(x)dS> (12.7.6)S

где интегрирование ведётся по всей площади поперечного сечения пла­стины. Данный момент вычисляется отноейтелыю оси у , лежащей в плос­кости сечения и совпадающей с нейтральной линией (рис. 12.7.2).

Подстановка (12.7.4) в (12.7.6) приводит к выражению, связывающе­му изгибающей момент М с радиусом кривизны R пластины:

М = - Г „ I = \ x 2dS. (12.7.7)R у у {

Введённая здесь величина 1У называется моментом инерции сечения пла­стины — ввиду формального сходства с осевым моментом инерции тела, введённым в разделе 9.3.1. Отметим, что размерность так введённого мо­мента инерции есть [/,,] = см4 (в отличие от момента инерции тела, име­

ющего размерность г см2).В качестве примера укажем, что для пластины прямоугольного сече­

ния с размерами /д =/?, /,. =Ь (рис. 12.7.2) момент инерции вычисляется

так:h/2

■ 1у — h/2

( h/2 \J х 2dx

дг—Л/2dy = - -b h \

' 12(12.7.8)

Заметим следующее. Мы ограничиваемся рассмотрением изгиба пла­стин. Под пластиной мы понимаем тело, поперечные размеры которого велики по сравнению с его толщиной. Дело в том, что в результате изгиба стержня возникают наряду с рассмотренными выше продольными дефор­мациями поперечные деформации. Последние же ______ ____меняют форму сечения (рис. 12.7.3). Этим измене- / \нием можно пренебречь и считать сечение по-прежнему ПРЯМОУГОЛЬНЫМ, если Ширина тела ВС- Рис< 12 7-3, Д еф орм ац и я

поп еречного сечениялика по сравнению с толщиной, т.е. в случае, ко- стержня при изгибе гда тело имеет форму пластины.

12.7.2. Уравнение линии пластины при изгибе. При изучении де­формаций изгиба одной из важнейших задач является нахождение формы тела, подвергнутого воздействию сил. Рассмотрим этот вопрос на двух примерах.

195

Пример 1. Пусть балка (пластина) прямоугольного сечения (рис. 12.7.2) закреплена одним концом в стене, г к другому её коицу при­ложена сила F (рис. 12.7.4). Требуется найти ферму, которую принимает стержень.

Примем следующие упрощающие предположения.1. Стержень длинный, т.е. его длина / (по ос* z) велика по сравнению

с поперечными размерами h и Ь.2. Деформации малые, т.е. радиус кривизну оси стержня в<елик по

сравнению с поперечными размерами.Составим уравнение, описьивающее

форму, принимаем/ю осью стержня!. Пусть форма стержня даёчея функцией

r = *(z). (12.7.9)

Тогда радиус кривизны можно нашти по формуле (1.3.4):

где производная вычисляется по шеремен- ной z. В рассматриваемом случае: малой

деформации х'2 1 выражение упрощается:

Л = (*')''• с 12.7.10)Поэтому уравнение (12.7.7) принимает вид

Е1у ~ y = М. ((12.7.11)az

Д ля нахождения момента сил учтём, что в состоянии равновеесия си­лы, действующие в каждом сечении (с координатой z), уравновешжвают- ся. Выберем некоторое сечение А стержня, имеющее координату :z. Тогда сила, действующая на левый участок (ОА) со стороны правого участка (АВ), равняется F2 = F. Соответственно закрепление должно привюдить к

появлению силы F, = -F , уравновешивающей силу F. В итоге появляется

пара сил: {F,, F} = {-F , F}, создающая в рассматриваемом сеченжи изги­бающий момент

M = - ( l - z )F . ((12.7.12)

Знак « -» означает, что данный момент вызывает изгиб в отрицательном направлении (т.е. приводит к смещению точек стержня вниз). Поддставляя это выражение в (12.7.11), получаем

Рис. 12.7.4. Стержень ОВ> один конец которого (О) закреплён в стене, а на другой конец (В) дей­ствует сосредоточенная сила F

196

(12.7.13)d 2x1 ? EIr

=> x(z) = - Mzx2Ш~

При интегрировании учтены граничные условия закрепления:лг(0) = О, *'(0) = 0 . (12.7.14)

Второе условие означает, что в точке закрепления стержня касательная к оси горизонтальна.

Пример 2. Пусть стержень закреплён в стене, как и в предыдущем примере (рис. 12.7.4). Найдём форму, принимаемую стержнем под дей­ствием собственного веса. В отличие от предыдущего случая действую­щая на стержень сила распределена по всей его длине.

Выберем сечение А с координатой z. На участок стержня ОА действу­ет сила со стороны оставшейся части (АВ), равная весу этой части:

F i= m gi z l y (12.7.15)

где — полная масса стержня. Для обеспечения равновесия такая же, но противоположно направленная, сила создаётся за счёт опоры (места за­крепления). В результате мы получаем систему сил, состоящую из рас­пределённой силы, приложенной к участку АВ, и «контрсилы»

f, = - f21 |f,| = ^ ( / - 2 ) . Найдём момент сил (относительно точки А),

действующих со стороны участка ОА, учитывая, что сила тяжести распре­делённая:

mg21

( / - z ) 2. (12.7.16)

Воспользуемся далее уравнением (12.7.11):

ELс/2хd r

: - ^ ( / - 2)32/ * о о = -

mg2EI..I

~ ( / ~ z )4 +C,z + C:

Константы интегрирования С\ и Ci определяются из граничных условий(12.7.14), в результате чего получаем

4z) = - ^ g - y Z 2(6/2- 4/z + 22). (12.7.18)

В частности, свободный конец стержня опускается на высоту

*(/)| = 7 ^ - /3- (12.7.19)o t ly12.7.3. Энергия изогнутой пластины. Рассмотрим линейку — пла­

стину толщиной А, шириной b и длиной L, которая свёрнута в кольцо. Предполагается

19 7

h < ^ L , b < z L .

Поскольку в указанных условиях радиус кривизны согнутой линейки велик, мы можем воспользоваться формулами одноосного нагружения. Для нахождения энергии воспользуемся следующей формулой для энер­гии:

U = \udV, и = ае/2. (12.7.15)

Распределение напряжений и натяжений в каждом сечении линейки даёт­ся формулами (12.7.3), (12.7.4):

а{4) = Е ^ , s (4) = 4< -h/2<4Zh/2,К К

где % — координата, отсчитываемая от нейтрального сечения. Отсюда находим

и = - Ы \ е ( £ ) d4 = — (12.7.16)2 _l/2 U J .24 R2

В случае линейки, свёрнутой в кольцо, радиус кривизны находится про­сто:

R = L j l n .

В итоге получаем окончательно:

I ct |

А

Рис. 12.8.1. Распространение вол­ны сжатия в стержне, подвергае­мом действию постоянной силы

12.8. Скорость распространения упругих возмущений в стержне

Пусть на стержень в момент вфсмсни t = 0 начала действовать постоянная сила F. Эта сила вызывает деформацию стержня, приводя вещество* из которого он состоит, в движение. Если F мала, то мала и ско­рость движения вещества v. Пусть т — масса деформированной части стержня (рис. 1 2 .8. 1):

m = p S c t. i(1 2 .8. 1 )

Если вещество имеет скорость v9 то его импульс составит

p = mv = pSct •v. 1(12.8.2)Этот импульс возникает благодаря действию силы:

198

(12.8.3)dp/dt = F.Подставляя сюда выражение (12.8.2), получаем

pScv = F. (12.8.4)Отсюда находим связь давления и скорости перемещения вещества:

РF— = pcv. S н

(12.8.5)

Под действием силы происходит деформация (сжатие) стержня. По­скольку левая граница (в месте приложения силы) перемещается со ско­ростью v , а правая граница (куда дошла волна сжатия) — со скоростью с, то укорочение стержня за время / составитД/ = I{]-1 = ct - ( c - v ) t = vt. (12.8.6)Соответственно относительная деформация оказывается равной

s . H j L . (12,8.7)/ с

Воспользуемся законом Гука е -Р /Е . Тогда из (12.8.5) и (12.8.7)

следует v/c = pcv/E, откуда находим скорость распространения упругихвозмущений в стержне:

с = уЩ р. ( 12 .8.8)Гели бы сила F представляла натяжение, то возникала бы волна раз­

режения. Легко понять, что она имеет ту же скорость с.Поскольку звук — это волны деформации, то полученная величина

( 12 .8.8) даёт выражение для скорости звука в стержне.

12.9. Примеры

/2 .9 ./. Удлинение стержня под действием собственного веса. Пусть стержень подвешен за один конец (рис. 12.9.1). Найдём удлинениепод действием собственного веса.

Пусть стержень имеет массу т и длину / (в не­растянутом состоянии). Рассмотрим участок его длины dx, находящийся на расстоянии л: от нижне­го (свободного) конца. На этот участок действует растягивающее усилие, задаваемое весом участка стержня, находящегося ниже выделенного элемен­та. Если площадь поперечного сечения стержня равна S, то усилие равно

сг = mgx IS ‘

\Ч\\\ЧУЧ\Ч\ЧУ\\ЧЧЧ\

Рис. 12.9.1. К расчёту удлинения стержня под действием собственного веса

199

Вызванное этим усилием удлинение определяется законом Гука:

A{dx) _ а dx Е

Отсюда находим полное удлинение:

A(c/.v) рассматриваемого участка

m g x

~ISE

mgl_2ESО о

12.9.2. Энергия упругой деформации шара. Рассчитаем полную упру­гую энергию W при всестороннем сжатии однородного шара радиуса R под действием внешнего давления Р. Модуль всестороннего сжатия счи­

таем равным К.При всестороннем сжатии давление связано

с относительным изменением объёма соотно­шением

Р = - К ^ - = - К е у, ДК<0,

где К — модуль всестороннего сжатия. Найдём работу на сжатие при изменении объёма с К до V + A V :

Рис. 12.9.2. К расчёту упру­гой энергии шара, радиуса R сжатого внешним давле­нием р

dA=— d(AV) = -P d (A V ) = -PVdsv.S

Подставим сюда выражение, связывающее де­формацию объёма с давлением: Р = -К еу.

Учтём также, что ввиду.неравенства |Д К |«:К множитель V можно счи­тать постоянным. Это даёт

>У ,у КА = - J PVdev = AT J evVd sv = — y- V.

о о ^%Поскольку ev = -P /K , го для энергии шара получаем выражение:

u = v k ?1 = * Z r >k - ? - = 2;iR^ - .2 3 2К 2 ЪК

12.9.3. Деформация сферической оболочки. Найдём относительное изменение объёма полого тонкостенной сферы радиусом R, внутри кото­рой действует давление /?п, превышающее внешнее на АР (рис. 12.9.3). Полагаем, что толщина стенки сферы равна /?, модуль Юнга и коэффици­ент Пуассона материала равны соответственно Е и //.

Рассмотрим расширение сферической оболочки радиуса под действи­ем внутреннего давления Ар. Выделим бесконечно малый элемент по­

200

верхности площади cbcdy, считая dx = dy (рис. 12.9.3). Давление АР яв­ляется разностью давлений внутри и вне оболочки и в силу равновесия выделенного элемента уравновешивается суммой напряжений, действу­ющих внутри оболочки:

Рис. 12.9.3. К расчёту деформации тонкой сферической оболочки радиуса R толщины /;. Разность давлений внутри и вне сферы равна АР. Внутреннее давление вызывает упругие растягивающие усилия в оболочке. Показан бесконечно малый элемент оболочки

Множитель «2» вне скобок связан с тем, что суммируются усилия по двум взаимно перпендикулярным направлениям (* и у). Используя малость угла d a - d x /R , получаем

AP(dx)2 « 2<т da-hdx = 2сг• — • hdx = 2а • ~ [dxf.R R

Отсюда находим

ДР = 2сг— => и = АР— .R 2А

Заметим, что в силу условия /?«:/?, типичного для оболочек, окажется с г » Д Р: усилия, развиваемые в материале оболочки, велики по сравне­нию в внешними силами.

По закону Гука изменение площади элемента оболочки равно ASУ = * » + * , = 2 *,-

Воспользуемся уравнениями напряжённого состояния:

201

ey = U a y - ^ a x +CT: ) \

e: = - [с т .- / / ( о - ,+ с г ,.) ] .

Имея в виду соотношения<7Х =ау =сг, < т . = А Р<£ а ,

получим выражения для линейных деформаций:/1 ^<J 2 //сг£* =£•, = ( 1 - / 0 “ , *- = ---- — •

Соответственно находим

f = 2 , i - „ § .

Это изменение приводит к изменению радиуса сферы на величину ДR,определяемую из соотношения:

AS Sk RAR AR 1 AS =>

S 4 nR1 R 2 SТаким образом, находим

AR cr R АРT = " ' , , | £ = ( 1 - " ) a T '

Отсюда для изменения объёма, ограничиваемого оболочкой, получаем выражение

ЛУ 2 a r 3(1 - M ) R ArR 2 Е И

Ч

202

Глава 13. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ

13.1. Стационарное течение идеальной жидкости

В отличие от твёрдых тел, жидкости (как и газы) не обладают упруго­стью формы. Это значит, что всякое касательное (сдвиговое) усилие вы­зывает течение жидкости. Поэтому в состоянии покоя касательные напряжения обращаются в нуль, а все напряжения действуют по нормали к площадке и не зависят от ориентации этой площадки. Данное утвержде­ние называется законом Паскаля.

13.1.1. Определения. Идеальная э/сидкость — это жидкость, у кото­рой вязкость (внутреннее трение) пренебрежимо мала..

Жидкость называется несжимаемой, если её плотность одинакова во всём объёме и не зависит от времени: р = const. Большинство жидкостей обладают малой сжимаемостью. Поэтому для расчёта течения во многих случаях их можно считать несжимаемыми.

Если рассмотреть все точки жидкости и указать для них в момент времени / скорости частиц жидкости, то тем самым задаётся тле скоро­стей:

v = v(r, /).

Течение называется стационарным, если скорость течения жидкости в каждой точке не меняется со временем: v = v(r).

Линией тока называется такая линия, каса­тельная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости течения жидкости в этой точке (рис. 13.1.1).

Различные линии тока не пересекаются, иначе частица жидкости в точке пересечения не имела бы определённого значения и направления скорости и могла бы дальше двигаться по разным траекториям. Тем самым траектория частиц не определялась бы однозначно начальными условиями.

В стационарном течении линии тока не меняются со временем и сов­падают с траекториями частиц жидкости.

Выберем в жидкости произвольный замкнутый контур Г0. Через каж­дую точку этого контура проходит какая-либо линия тока. Совокупность этих линий ограничивает в пространстве некоторую трубку, вообще гово­ря, переменного сечения. Эта трубка называется трубкой тока (рис. 13.1.2).

Рис. 13.1.1. Линия тока

203

При стационарном течении трубки тока не меняются со временем.Поскольку скорости частиц жидкости парал­лельны линиям тока, а стенки трубки образо­ваны линиями тока, то жидкость, находящаяся внутри трубки тока, эту трубку не покидает (точно так же, как внутрь трубки не попадает жидкость, находящаяся вне трубки).

13.1.2. Уравнение непрерывности. Рас­смотрим стационарное течение. Выберем не­которую трубку тока (рис. 13.1.3).

За время dt через левое сечение в трубку войдёт масса жидкостиdmx - p x(vxdt-Sx)9 (13.1.1)

а через правое сечение выйдет массаdm2 = p 2(v2dt-S2). (13.1.2)

Вследствие стационарности течения количество жидкости в трубке не меняется со временем. Поэтому dmx =dmx, или

Рис. 13.1.2. Трубка тока, начальное сечение которой образует контур Г0, от точек которого исходят линии тока

P\VXS X — p 2V2S 2. (13.1.3)Это соотношение называется уравнением непрерывности (неразрывно­сти)I и выражает закон сохранения массы жидкости (для случая стацио­

нарного течения). В случае несжимаемой жидкости р х= р 2> и уравнение непрерывно­сти упрощается:

vxSx = v2S2. (13.1.4)

fhy S2y v.i~ ~ 7 V

- A r

p\y S\y V\

Трубка тока

Рис. 13.1.3. К выводу уравнения непрерывности

Это означает, что в трубке переменного се­чения скорость течения выше там, где сече­ние меньше.

Величина J = pSv в (13.1.3) есть массажидкости, протекающая через сечение S трубки тока в единицу времени, и называется потоком массы.

Величина / = J /S - pv — это масса жидкой сти, протекающая за единицу времени через еди­ничное сечение трубки тока и называемая плот­ностью потока массы.

Пример. Пусть по трубе постоянного сече­ния (площадью 5), изогнутой под углом 45°, те­чёт жидкость плотностью р со скоростью V (рис. 13.1.4). Найдём силу, действующую на тру­бу со стороны жидкости.

В трубу за время dt втекает масса жидкости,

F

Sy ру V2

| /7, V,

Рис. 13.1.4. Жидкость течёт по изогнутой трубе и созда­ёт действующую на трубу силу

204

равная dm = pS- vdt, и вносит в трубу импульс </р, = \ xdm = (pSvdt) • v , . За это же время из другого конца трубы вытекает та же масса жидкости pS-vd t, которая уносит импульс dp2 = (pSvdt)- v 2. В итоге за время dt

труба получает импульсф = Ф | - ф г = ( р ^ Л ) ( у2 “ уг)*Поскольку сила — это приращение импульса за единицу времени, то находим силу F, действующую на трубу:

F = ф / d t = (pSuXv, - v2).Эта сила действует в направлении биссектрисы угла изгиба трубы (как показано на рис. 13.1.4), а её величина равна

F = J lp S v 2.13.1.3. Уравнение Бернулли. Сформулируем закон сохранения энер­

гии для стационарного течения жидкости. Выберем трубку тока достаточ­но малого сечения (рис. 13.1.5). Пусть в левом сечении трубки действует давление Р\ (сила = fJS’,), а в правом — давление Р2 (сила F2 = /^ з ) - За время dt через левое сечение в трубку войдёт масса жидкости dmx = p xSxvxdt. За это же время из правого сечения трубки выйдет масса жидкости dm2 = p2S2v2dt.Если е| и е2 — энергия единицы массы жидкости соответственно втекающей втрубку тока И вытекающей ИЗ неё, ТО В Рис. 13.1.5. Трубка тока. К выводу

с уравнения Бернуллитрубку поступает вместе с жидкостью к Jэнергия

dE\m)=exdmK, (13.1.5)а выходит —

«г£<"') = £2dm2. (13.1.6)Над поступившей в трубку жидкостью сила давления проделывает

работуdA{ = F}dl} =P]S]vldt. (13.1.7)

На выходе же из трубки против силы давления F2 = P2S2 совершается работа

dA2 - F 2dl2 = P2S2v2dt. (13.1.8)В результате поступление энергии на входе в трубку составляет

dE} =dAl +e1dml. (13.1.9)

Убыль же энергии на выходе равна

Pi. 52, V2

205

dE2 =dA2 + £1dm1. (13.1.10)

Так как внутри трубки при стационарном течении энергия не меняется, то dEx = dE2. Приравнивая (13.1.9) и (13.1.10), получаем

PxSxvxdt + £xdmx = P2S2v2dt + €2dm2.Воспользовавшись уравнением непрерывности

P]VXSX = dmx = dm2 = pxvxSxdt,перепишем это равенство в виде

P\S\VydtPi

ЛРг

= (е2 - e x)pxSxv{dt,

ИЛИ

+ = -2 - + ^ . (13.1.11)Р\ Р2 ~

Полученное соотношение называется уравнением Бернулли (1738 г.).

Удельная энергия £ складывается из кинетической (v2/2 \ потенци­альной и внутренней (и) энергий — всё в расчёте на единицу массы жид­кости. В случае, когда потенциальная энергия определяется силой тяже­сти, имеем

V2e = — + gh + u. (13.1.12)

Для случая, когда внутренняя энергия не меняется вдоль трубки тока, мы получаем к уравнению

Р v2 .— + — + gh = const,Р 2

(13.1.13)

н

РоГТ-Г"!”

выполняющемуся при стационарном течении вдоль трубки тока. Констан­та const в правой части в общем случае зависит от выбора трубки тока. *

13.1.4. Формула Торричелли. Пусть имеется широкий сосуд, вблизи дна которого проделано малое отверстие (рис. 13.1.6). Сосуд заполнен идеальной несжимаемой жидкостью. Свободная (верхняя) поверхность жидкости и область от­верстия находятся при одном и том же атмо­сферном давлении Р0. Если отверстие достаточ­но малое, то свободная поверхность будет дви­гаться с пренебрежимо малой скоростью: v0 ~0.

шЛ

Рис. 13.1.6. К выводу форму­лы Торричелли: сосуд с жид­костью, вблизи дна которого проделано малое отверстие. Штриховой линкей показана одна из трубок тока

206

Выберем трубку тока, которая начинается на свободной поверхности жидкости и идётдо отверстия (на рис. 13.1.6 эта трубка схематически показана штриховой линией). Применим к ней уравнение Бернулли, считая, что внутренняя энергия жидкости не меняется:

' U i +4ff. 4 +£ .Р 2 р 2

откуда с учётом условия v0 « 0 находим скорость истечения жидкости из отверстия:

v = ^ H .

Полученное соотношение называется формулой Торричелли (1643 г.).13.1.5. Форма поверхности вращающейся жидкости. Пусть сосуд с

жидкостью приведён во вращение вокруг вертикальной оси (рис. 13.1.7). За счёт трения начинает вращаться и жидкость. Найдём форму, которую принимает поверхность жидкости в стационарном состоянии.

При равномерном вращении вся жидкость движется так, что относи­тельного движения слоёв нет, причём на расстоянии г от оси скорость частиц жидкости равна v = cor.

Расчёт удобно провести во вращающейся системе отсчёта. Тогда на жидкость будут действовать сила тяжести d m g и центробежная сила

dm-co2r ( рис. 13.1.8), а также силы давления, уравновешивающие дей­ствие первых двух сил. Выделим в жидкости малый элемент высотой dz, занимающий по радиусу и >глу области соответственно r+ r + dr и cp + (p + d(p. Масса данного элемента равна

dm = pdV = pdr-rd(p-dz. (13.1.14)

Сформулируем условия его равновесия.1. Равновесие вдоль оси z (рис. 13.1.9):

-gdm - P(r, z+ dz)dSz + P(r, z)dS2 = О,

здесь dm = pdS2dz — масса рассматриваемого элемента жидкости, dS2 — площадь основания этого элемента (ориентированного перпендикулярно осuz). Для элемента массы (13.1.14) dSz =rdr-dq>. Отсюда получаем пер­вое уравнение равновесия:

? + /?g = 0. (13.1.15)CZ

207

Z 1

- -jсо

3Рис. 13.1.7. Прогиб поверхности вращающейся жидкости

Рис. 13.1.8. На элемент массы жидкости действуют сила тяже­сти и центробежная сила

Рис. 13.1.9. Баланс сил вдоль Рис. 13.1.10. Баланс сил по ради-вертикальной оси (оси z) альному направлению

2. Равновесие по радиальному направлению (рис. 13.1.10): \-P (r + dr, z)dS] (г + dr) + P(r, z)dSx (г)] +

+ [ - 2 P ( r , z ) s i n ( d < p / 2 y ^ d S 2 ( r ) +d m - со2r = 0,

где учтено, что площадь поверхности элемента, перпендикулярная радиу­су г, равна dSAr)~dz-rd<p, а в аксиальном направлении — dS2(r) = dz-dr. Имея в виду равенство (13.1.14), получаем из (13.1.16) после несложных преобразований второе условие равновесия:

дР о— ~рсогг = 0. (13.1.17)дг

Система уравнений (13.1.15), (13.1.17) позволяет рассчитать поле дав­лений во всём объеме жидкости.

Из (13.1.15) находимP = -p g z+ M r). (13.1.18)

208

Здесь /j (г) — некоторая функция радиальной координаты. Аналогично, из (13.1.17) имеем

P = X- p w 2r2+ f2{z), (13.1.19)

где f2(z) — произвольная функция координаты z. Функции /j(r) и / 2(z) должны быть определены так, чтобы формулы (13.1.18) и (13.1.19)

давали одно и то же решение. Поэтому сопоставление этих формул даёт распределение давлений во всём объёме жидкости:

P = ^pco2r2 -p g z + C. (13.1.20)

На всей свободной поверхности жидкости давление постоянно и равно атмосферному: Р = Р0. Учтём, что самая низшая точка поверхности нахо­дится при г = 0. Если её расстояние до дна равно z0, то, полагая в (13.1.20) г = 0, z = z0, Р = Р0, получаем С = Р0 + pgz0, так что

P=P0+^pa>2r2 - p g ( z - z 0). (13.1.21)

Наконец, поскольку внешнее давление равно Р = Р0, то из (13.1.21)получаем уравнение, определяющее форму свободной поверхности жид­кости:

соz ( r ) = — г - +z0. (13.1.22)

Таким образом, поверхность жидкости принимает форму параболоида вращения.

Уравнение (13.1.22) можно получить непосредственно, рассматривая равновесие точек поверхности жидкости. Именно, пусть поверхность за­даётся уравнением z = z(r). Выберем на поверхности элемент жидкости (рис. 13.1.11). На него действуют сила тя­жести dm- g и центробежная сила dm-со2 г.Равнодействующая этих сил

N = dm • g + dm • со2 гнаправлена по нормали к поверхности, так как в противном случае возникали бы сдви­говые усилия, которые неизбежно вызывали бы течение жидкости.

Если касательная к поверхности в точке нахождения рассматриваемого элемента имеет наклон а, то для проекций силы N находим выражения:

Рис. 13.1.11. Равновесие элемента жидкости на поверхности

209

Nr = TV sin a = dm • co2r,Nz - N cos a - dm- g.

Деля почленно первое уравнение на второе, получаем

со2гtg а = -

8Учитывая очевидное равенство tga =dz/dr, приходим к дифференци­альному уравнению для формы поверхности:

dz со2г со2г2— = ----- => z(r) = — — - z 0dr g 2 g

(13.1.23)

Это, очевидно, совпадает с результатом (13.1.22), полученным выше на основе условий равновесия по давлению в объёме жидкости.

13.2. ВязкостьРеальные жидкости не являются идеальными — в них действуют си­

лы трения, называемые вязкостью. Эти силы проявляются в том, что движение какого-либо слоя жидкости вызывает движение примыкающих к нему других слоёв. Иначе говоря, происходит перенос импульса в жид­кости в направлении, перпендикулярном скорости течения. Вязкость воз­никает благодаря взаимодействию (притяжению) между молекулами ве­щества.

Пусть широкая длинная пластина пло­щадью S находится на поверхности слоя жидкости толщиной h и приводится в дви­жение силой F(pnc. 13.2.1). Вследствие вяз­кости пластина приобретает некоторую по­стоянную скорость V. Оказалось, что для движения пластины со скоростью v к ней

Рис. 13.2.1. Сила F приводит в движение с постоянной скоро­стью пластину, находящуюся на поверхности слоя вязкой жидко- должна быть приложена сила, пропорцио-сти толщиной h нальная скорости:

F = tiS ~ . h

(13.2.1)

Это означает, что со стороны жидкости на пластину действует сила вязко­го трения Fw = -F .

Коэффициент Т] в формуле (13.2.1) называется динамической вязко­стью (или просто вязкостью) жидкости. Она имеет размерность (в систе­ме СГС)

[7 ] = г-см ^ с-1. (13.2.2)

210

Единицей измерения вязкости в системе СГС является пуаз: 1 П = 1 г • см Л " 1, а в СИ — паскаль-секунда: 1 Па • с = Н • с • м-2, причём 1 Па • с = 10 П. Часто используется также кинематическая вязкость:

v = n /p , м = см2с"'. (13.2.3)Соотношение (13.2.1) было установлено Ньютоном в 1687 г. на осно­

ве экспериментальных данных и называется законом Ньютона.Аналогично, если имеются две параллельные пластины в жидкости,

то движение одной из них вызывает движение другой, поскольку благода­ря вязкости происходит перенос импульса через слой жидкости.

Если скорость сложным образом меняется в жидкости от слоя к слою, то формулу (13.2.1) следует видоизменить:

гхг=->7 ^ . (13.2.4)

Величина rxz есть сила вязкого трения в расчёте на единицу площади, дей­ствующая вдель оси д: и обусловленная трением со слоями, расположен­ными перпендикулярно оси z (рис. 13.2.1). Это сдвиговое усилие, вызы­вающее течение жидкости.

В точках контакта с твёрдой поверхностью скорость течения вязкой жидкости равна скорости поверхности. В частном случае неподвижной поверхности скорость жидкости в точках контакта обращается в нуль.

13.3. Формула Пуазсйля

13.3.1. Вывод формулы Пуазейля. Рассмотрим течение вязкой жидко­сти по длинной трубе (длины L) кругового сечения радиуса R, вызываемое перепадом давлений на входе и выходе (рис. 13.3.1).

Найдём распределение скоростей жидкости по сечению трубы и рас­ход жидкости, т.е. масса жидкости, переносимая через сечение в единицу времени.

| L «

Рис. 13.3.1. Течение вязкой жид­кости по длинной трубе радиуса R под действием перепада давлений Р \-Р г

Рассмотрим участок трубы x+ x + dx. Выделим цилиндрический слой толщиной «стенок» dr. Сила трения, действующая на боковую поверх­ность цилиндра, имеющую площадь S = 2nrclx, равна

211

FTV{r) = 27trdx-r1 (13.3.1) F dr

Разность сил трения, действующих на внешнюю и внутреннюю поверхно­сти цилиндра, равна

Д^тр^) = F4Xr + d r)-F Tp(r) = ^ I n r d x t j dr =

. , , d ( d v \= in d xd r— rn — .

dr l ' dr JКроме того, вдоль оси действуют силы давления:

dPАРДавл = [ Р(х) - Р(х + dx)\ Inrdr = - — 2nrdr dx. (13.3.2)

Здесь учтено, что плошддь кольцевого торца выделенного цилиндриче­ского слоя равна 2nrdr. При стационарном течении жидкости сумма всех сил равна нулю:

Д/7т р + Д/Гдавл = 0 -

ИЛИd ( d v \

Г11Т гdr \dP n------ r = 0 .dx

Имея в виду, что давление постоянно по сечению трубы, однократным интегрированием по радиальной координате г получим

dv 1 2 dPr n ---------г — = const.dr 2 dx

Полагая г = 0, находим, что const = 0. Это даётdv dr

При стационарном течении в трубе постоянного диаметра скорость жидкости не зависит от координаты х вдоль ос» трубы. Это значит, что левая сторона равенства от координаты х не зависит. Но тогда от х не за­висит и правая сторона равенства. Поэтому вдоль трубы dP/dx = const,

2ij dx(13.3.3)

что позволяет записать

д Я = ^ - Я (13.3.4)dx L

(считаем, что Р\>Р2, так что течение происходит в положительном направлении оси *).

Из (13.3.3) находим зависимость скорости течения от радиальной ко­ординаты:

212

4 /7 / ЛКонстанта интегрирования найдена из того условия, что на стенках трубы скорость течения обращается в нуль: v(R) = 0.

Распределение (13.3.5) называется пуазейлевым (или параболическим) профилем скоростей.

Найдём теперь массу жидкости, протекающей через сечение трубы в единицу времени. т dS

Как видно из рис. 13.3.2, через площадку dS за время dt протекает объём жидкости dV - vdt • dS и масса dm - pdV = pvdS dt, а за единицу времени —

dQ - = pv-dS = pv(r) • Inrdr .dt

vdt

Рис. 13.3.2. Поток жидко­сти через площадку dS

Полный же расход :жидкости, т.е. её масса, проте­кающая за единицу времени через всё сечение трубы, составляет

R а п RQ = J pvdS = J pv(r)'2nrdr = 2пр------J( /? 2 - r 2\rdr =

i 0 ^ L 0

= np ?±z A r \87 L

(13.3.6)

Полученное выражение называется формулой Пуазейля.13.3.2. Условие применимости формулы Пуазейля. Следует иметь в

виду, что формула Пуазейля применима, толькс если длина трубы L до­статочно велика — иначе пуазейлевский профиль скоростей не успеет установиться. Соответствующую оценку L можно получить следующим образом.

Если бы жидкость была идеальной, то согласно уравнению Бернулли под действием перепада давлений АР = Р]-Р 2 она приобрела бы такую скорость U, что

— pU 2 = АР 2

(13.3.7)

(предполагается, что начальная скорость равна нулю).При наличии вязкости максимальная скоросзь течения при том же пе­

репаде давлений АР достигается на оси трубы и согласно (13.3.5) равна

52 4ijLV = -Ж .

4r]L■АР АР = ■

R1(13.3.8)

Соответственно из (13.3.7), (13.3.8) следует

4 tjL R2

Чем длиннее труба, тем сильнее тормозится поток. Вязкость играет суще­ственную роль, если окажется vmax «: U , или

L » L o ~ ^ - (13.3.9)П

(числовой коэффициент в этой формуле отброшен). Таким образом, пуа- зейлевский профиль скорости устанавливается, если труба имеет доста­точно большую длину:

2

L ^ L o - ^ - . (13.3.10)П

При меньших же длинах ( L ^ L q) роль трубы в торможении потока ока­зывается малой.

К полученному результату можно прийти также, рассматривая баланс энергий. Действительно, кинетическую энергию жидкости во всём объёме трубе можно оценить по формуле

K ~ £ 2 ^ nR2L ~ pR2Lv2 (13.3.11)

(здесь и далее для оценок мы отбрасываем числовые множители). Работа сил трения при переносе жидкости по трубе составляет

Лтр ~ F^L. (13.3.12)Силу трения оценим по формуле Ньютона:

" T]-2nRL-( dVтр - - I -ч!я. (13.3.13)

Здесь 27rRL = S — площадь боковой поверхности жидкости в трубе, а для скорости v(r) использовано выражение (13.3.5). Отсюда следует:

(13.3.14)Силы вязкости играют существенную роль, когда работа сил трения

сопоставима с кинетической энергией: К ~ С учётом соотношений

(13.3.11) и (13.3.14) получаем

P ^ m m ^ m a x ~ ^ m in ^ m a x = > A nin ~ / ^ m a x & Н •

Данная оценка, очевидно, совпадает с (13.3.10).Другой подход к оценке роли трения приведён в разделе 13.5.2.13.3.3. Примеры.Пример 1. Рассмотрим стационарное течение жидкости между двумя

длинными коаксиальными цилиндрами (трубами) радиусами R\ и R2 вдоль

214

оси симметрии (рис. 13.3.3). Как и при выводе формулы Пуазейля, выде­лим мысленно в жидкости кольцевой слой длины /, расположенный меж­ду двумя цилиндрическими поверхностями радиусами г и г л-dr, и запи­шем для него условие равновесия сил вязкого трения и давления:

Inlrj dv г —~

dv= 2 nlrj |

■ч

l___

dr r++ dr r _ _ dr \ dr J _dr = - (/} - Р2) Inrdr.

dr l

: к*2

Рис. 13.3.3. Течение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами радиусами R\ и R2. Выделен участок жидкости (трубка) радиусом г и толщиной dry для которого рассматрива­ются условия равновесия сил

Интегрируя это выражение один раз, получаем

где С — постоянная интегрирования. Деля последнее равенство почленно на г и выполняя интегрирование от текущего г до радиуса поверхности внешнего цилиндра R2 с учётом граничного условия v(R2) = 0, получаем распределение скоростей жидкости между цилиндрами:

v(r) = (Pl -P2) ^ — H + c \n 41?7

' г 4

Ч*» JПостоянная интегрирования С определяется из граничного условия v(R]) = 0. Подстановка найденного таким образом значения С в выраже­

ние v(r) даёт окончательно распределение скоростей в потоке:

2 -> Л, — R:R: -г~ + — 7— -Ц - \n(R2/R ,)

Расход жидкости определяется интегралом:

к,ЯР

Inг

\ ^ 2 j

Q = p \ v(r) ■ Inrdr = £ - (Р {-Р г)i ilrJ

* _ * +{ * l* L

215

Пример 2. В предыдущем примере предполагалось, что движение жидкости вызывается перепадом давления на концах трубы. Рассмотрим теперь случай, когда перепад давлений отсутствует, но цилиндр меньшего радиуса движется вдоль оси со скоростью v0 и увлекает жидкость. Найдём распределение скоростей жидкости в пространстве между цилиндрами.

Поскольку течение стационарно, то сила, требуемая для продвижения единицы длины цилиндра с постоянной скоростью, равна силе вязкого трения, действующей на единицу длины боковой поверхности цилиндра и на любой цилиндрической поверхности в потоке:

F(r) = -2кгт]^- = const = F.

Отсюда простым интегрированием находимFv(r) н------- In г = С, R{ < г < R2.

27T7JДанное выражение содержит две константы:. F и С, значения которых мо­жет быть найдено из граничных условий:

v(R,) = v0, v(R2) = 0.

Подстановка этих равенств в выражение v(r) даётFv0 + - — In Я, = С,

2 7UJ

о+—In л, = с,2щ

откуда определяем силу:

и поле скоростей:

г _ 2лЧутin ( а д )

v{r) = vо I n f o / ' )

In f o /Л ,)' '

13.4. Ламинарное и турбулентное течение жидкости

13.4.1. Ламинарное и турбулентное течение. Ламинарное течение — это упорядоченный режим течения, без перемешивания между слоями жидкости.

Турбулентное течение — это такой режим течения, когда элементы жидкости совершают нерегулярное, хаотическое: движение с интенсив­ным перемешиванием между слоями.

216

Переход от одного режима течения к другому происходит при изме­нении числа Рейнольдса

R е = ^ = ^ . (13.4.1)77 V

Здесь / — характерная длина, U — характерная скорость течения.13.4.2. Число Рейнольдса. Число Рейнольдса — это единственная

безразмерная величина, которую можно составить из параметров

[р] = гсм "3, [£/] = см-с [/] = СМ, [?]] = г -см"1 -с"1 = 1.

Число Рейнольдса отражает свойство подобия гидродинамических те­чений: при изменении параметров жидкости и тела, но при сохранении значения Re характер течения не меняется.

Из соображений размерности можно заключить, что при обтекании тела с размерами - / потоком жидкости, имеющим скорость (/, распреде­ление скоростей и давлений в потоке можно представить как

v = f/fV? Re, , Р = р и 2<р ,R e (13.4.2)

где явный вид функций f и (р может быть найден из решения уравнений гидродинамики.

Выберем частицу жидкости с характерными размерами ~ /. Её масса

т ~ р /3. Если частица движется со скоростью ~£У, то её кинетическаяэнергия есть

EK= ^m U 2 ~ p U 2l \ (13.4.3)

Силу вязкого трения на масштабах рассматриваемой частицы оценим как

В оценке мы учли, что d U /d z - lI /l , поскольку в точках контакта с по­верхностью тела жидкость имеет скорость, равную нулю, а вдали от по­верхности — U. Работа этой силы на расстояниях ~ / составляет

Отношение Ек и Атр даёт

A ^ - F ^ l - n U ! 2. (13.4.4)

p u 2i 1 _ PUI _ Re (13.4.5)Л-ф nui ,,

217

Таким образом, если вязкость мала, то Re » I и доминируют инерци­онные эффекты, жидкость близка к идеальной. Если же вязкость велика, то Re 1 и доминируют эффекты вязкости.

Обычно при малых значениях числа Рейнольдса течение ламинарное, а при больших — турбулентное. Конкретное же значение числа Рейноль­дса, при котором происходит смена режима течения, зависит от геометрии задачи. В частности, в трубе с круговым сечением переход от ламинарно­го течения к турбулентному происходит при ReKp «1800, а при течении

жидкости между плоскостями — при ReKp а 1000.

13.4,3. О законах подобия течений. В предыдущем разделе мы рас­смотрели законы подобия, ограничиваясь числом Рейнольдса. Однако в ряде случаев для сохранения подобия следует удерживать неизменными иные безразмерные параметры: число Маха М = С//сзв (с зв — скорость

звука), число Фруда Fr = v2/g l (g — ускорение силы тяжести), число Прандтля Рг = ///** (к — коэффициент теплопроводности) и некоторые другие. Число Фруда учитывает роль силы тяжести в течении, а число Прандтля — эффекты теплопроводности в жидкости. Остановимся на этом вопросе подробнее.

Рассмотрим поток жидкости, обтекающий какое-нибудь тело. Наряду с этой системой можно ввести бесконечное множество подобных или по­добно расположенных тел, обтекаемых другими жидкостями. Поставим вопрос: каковы условия механического подобия потоков? Ответ даётся в теории размерностей.

Рассмотрим две системы, в которых свойства жидкости и размеры по­гружённого в неё тела, вообще говоря, различны. Введём обозначения:

г, v — радиус-вектор и скорость жидкости в подобно расположенных точках;

/ — характерный размер;v0 — характерная скорость потока. ■*.Свойства жидкости характеризуются плотностью р, вязкостью /7,

сжимаемостью (или скоростью звука в среде сзв).

Свойства потока определяются параметрами: г, v, /, г>0. Кроме того, в случае нестационарного течения в этот список следует добавить харак­терное время изменения потока г.

Вследствие наличия уравнений движения между параметрамиp,Tj,c,a, r , \ , l , v 0,T ,g (13.4.6)

существует определённая связь.

218

Параметры (13.4.6) — размерные величины. Из них можно составить шесть безразмерных комбинаций. Первые две — следующие:

v/v0, r/l.Третья комбинация — это введённое выше число Рейнольдса

77 V/

Важную роль могут играть ещё три комбинации:2

М = — (число Маха), Fr = — (число Фруда), Sh = — 2- (число Струхаля).с™ Si I

Наличие связи между величинами (13.4.6) означает, что одна из этих безразмерных комбинаций является функцией остальных:

— = f ( - ,R e ,F r ,M ,S h .Vo \l J

Отсюда следует, что при совпадении пяти безразмерных параметров ше­стой будет также одинаковым. Это утверждение выражает общий закон подобия течений.

Свойство подобия можно сформулировать следующим образом.Если Re » 1 (вязкость мала), то доминируют инерциальные эффекты,

жидкость близка к идеальной. Если же Re «с I (вязкость велика), то доми­нируют эффекты вязкости, внутреннего трения, уменьшающие нерегу­лярности течения. При этом конкретные значения размерных параметров, образующих число Рейнольдса Re, не важны.

Аналогично, при больших числах Фруда Fr == z)\jg l преобладают эф­

фекты инерции, тогда как в обратном случае (Fr<$cl) течение определя­ется силой тяжести.

Для стационарных течений число Струхаля Sh = rv0/l —»оо, посколь­ку характерные времена изменения характеристик процесса г —> оо.

Если число Маха М = v0/c.M > 1, то течение сверхзвуковое, а при М < 1 — дозвуковое. Поскольку скорость звука в несжимаемых жидко­стях —> оо, то для таких жидкостей М = 0.

Число Маха оказывается существенным при испытаниях моделей в аэродинамических трубах. В основе этих исследований лежит принцип относительности, согласно которому ход явления может зависеть только от относительного движения самолёта и воздуха. Для сохранения аэро­динамического подобия необходимо равенство чисел Рейнольдса Re = vl/v, а поэтому при уменьшении размеров модели необходимо востолько же раз увеличивать скорость набегающего потока. При больших скоростях начинает сказываться сжимаемость воздуха, что нарушает

219

аэродинамическое подобие, и для его сохранения потребуется теперь ещё и равенство чисел Маха. Поэтому существенное уменьшение размеров моделей в аэродинамических трубах оказывается затруднительным. Аэродинамические трубы имеют, как правило, размеры, сравнимые с раз­мерами самолёта, как минимум позволяющие разместить внутри трубы отдельные части самолёта.

В действительности имеется возможность значительного уменьшения размеров модели, если идти по пути увеличения плотности воздуха. Чис­ло Рейнольдса Rе = pvl/?j пропорционально плотности воздуха, посколь­

ку его вязкость /7 от плотности почти не зависит. Это позволяет для со­хранения подобия (Re, = R e2) обойтись без увеличения скоростей набе­

гающего потока, выдерживая равенство /?,/, = р212. Однако при испыта­ниях на скоростях, близких к скорости звука, по-прежнему необходимо будет учитывать ещё и равенство чисел Маха.

С учётом сказанного для стационарного, течения несэ/симаемой жид­кости

т.е. течения подобны, если одинаковы числа Рейнольдса и Фруда.Пусть жидкости одинаковые, т.е. обладают одинаковыми вязкостью и

плотностью. Тогда совпадение чисел Re и Fr означает совпадение и гео­метрических параметров течения. Действительно, пусть Re, = R e2, Fr, =Fr2, или

Как правило, в эксперименте эффективное ускорение свободного па­дения удаётся варьировать незначительно. Отсюда следует: в случае оди­наковых жидкостей /, = /2. Поэтому, строя модели с /, * / 2, необходимо

использовать жидкости с разными вязкостями: V \*v2. Последнее напрактике не всегда удаётся реализовать. Поэтому во многих прикладных задачах подобие течений определяет либо равенство чисел Рейнольдса, либо равенство чисел Фруда.

Пример. Пусть яхта длиной /0 = 5 м приводится в движение мотором

с мощностью /^ = 5 л .с . со скоростью 170 =15км/ч. Оценим мощность мотора, необходимую, чтобы приводить в движение корабль длиной

v = u0f (r // ,R e ,F r ) ,

vJl _ v2Ll у; _ v;

Vl V2 ’ g,l, gJlПеремножение этих равенств даёт

220

/ = 80 м (в условиях подобия течений). Кинематическая вязкость для во­

ды v = 0,01 см2/с .Вычисляя числа Рейнольдса и Фруда для яхты, получим

Re = = 2 ,1 • 107, Fr = — = 0,022.vo g1»

Видно, что число Рейнольдса велико, а число Фруда мало. Первое означает, что движение в основном определяется инерцией (роль вязкости жидкости мала), а второе — что существенна сила тяжести, а не инерция. Вариации числа Рейнольдса в таком движении сказываются слабы, а по­этому для подобия течений необходимо выполнение одного лишь равен­ства чисел Фруда: Fr, = Fr2. Отсюда находим скорость корабля:

^ - = — = > V = V B р = 60км /ч .' (13.4.7)glo gl Vo

На основании соображений размерности составим выражение для мощности мотора:

P = £^ ~ f m = p v3l2f ( Fr) (13.4.8)l/v(ввиду малой роли вязкости число Рейнольдса не входит в качестве аргу­мента в функцию У).

Подобие течений сохраняется, если Fr, = Fr2. Поэтому из( 13.4.8) для мощности мотора корабля с учётом (13.4.7) получаем оценку:

P = p v3l2f(Fr) = p v30l3Г ! ' 1/2

Ч о J/(F r ) = />

( 1 V/2

Ч > J

где введено обозначение Р0 = p v \ l \ f (Fr) для мощности мотора яхты. Для приведённых в условии значений параметров находим

'8 0 Л?/2 5

Р = 5 л.с. « 8 -10 4 л.с.

13.4.4. Формула Стокса. При движении твёрдого шарика радиуса R со скоростью v в вязкой жидкости при Re 1 (т.е. в условиях ламинар­ного обтекания) сила сопротивления даётся формулой Стокса (1851 г.):

F = -6nRrj\. (13.4.9)К этой формуле можно прийти исходя из соображений размерности.

Действительно, сила трения зависит от скорости, и при малых скоростях течения можно записать:

F — C\V + C xP" +...

221

Здесь коэффициенты С\ и С2 не зависят от скорости и должны конструи­роваться из характерных величин задачи: р, R, 77. Простейшими комбина­циями этих величин, дающими правильные размерности силы, являются

С\ = c*j/7/?, С2 = c2pR ,где коэффициенты С\ и с2 — безразмерные постоянные. В итоге получаем

F * c]7jRv + c2pR 2v 2 Cl + с9pRv

= 7 7 / t o (с , + с 2 R e ) .

Количественные расчёты, основанные на решении уравнений гидро­динамики, приводят к следующему выражению для силы трения при ма­лых скоростях течения:

F = -67njR\^\ + Re I = - 6 nijRv 3 pvR(13.4.10)

Второе слагаемое в скобках получил К.В. Озеен (1910 г.). Обобщением формулы (13.4.10) является

F = -67rr/R\ • / (Re).

Здесь /XRe) — функция числа Рейнольдса, которая при малых скоростях

движения (R e«cl) имеет вид

A R e )* l + -R e .8

13.5. Пограничный слой

/3.5.7. Понятие пограничного слоя. Пограничный слой — это об­ласть жидкости вблизи поверхности твёрдого тела, в которой скорость течения меняется от значения скорости твёрдой поверхности до значения скорости набегающего потока (рис. 13.5.1).

Рис. 13.5.1. Слева — пограничный слой вблизи твёрдой поверхности в набегающем потоке жидкости; справа — профиль скоростей жидкости в пограничном слое

222

Пограничный слой возникает вследствие того, что на поверхности те­ла скорость жидкости благодаря вязкости обращается в нуль, а вдали от тела она равна скорости набегающего потока U. Оценку толщины погра­ничного слоя можно получить следующим образом.

13.5.2. Оценка толщины пограничного слоя. Рассмотрим вязкую жидкость, натекающую на твёрдую поверхность вдоль оси х (рис. 13.5.1 слева). Её движение вдоль оси х вызывается градиентами давления, кото­рые формируются вне пограничного слоя. Но в той области для оценок жидкость можно считать идеальной, и для описания её движения исполь­зовать уравнение Бернулли:

Р + ——- = / q + — — const. (13.5.1)2 о 2Здесь U — скорость течения вдали от поверхности. Соответственно пере­пад давлений на участке dx равен

дР , р dv1 , / t _ _ _ч— dx = -----dx. (13.5.2)дх 2 дх

Выделим слой жидкости толщиной dx, перпендикулярный потоку (рис. 13.5.1 слева). Действующую на него силу, производимую перепадом давления, можно оценить как

давл = 5 ± [Я(х)-Р(дс + Л )] = - 5 1 ^ Л = 1 /аУ1 ^ 2 аЕг. (13.5.3)ОХ 2. ОХ

Здесь S± — площадь сечения потока, перпендикулярного оси х. Пусть ширина пластины (по оси у) равна Ly, а толщина пограничного слоя на расстоянии х от кромки составляет 8. Тогда S ± ~ L y8, и из формулы

(13.5.3) получаем оценку силы:

( 1 3 - 5 ' 4 )

Единственный линейный масштаб вдоль оси х — это сама координата я:.

Поэтому можно принять оценку d(v2)ld x ~ U 2lx . Окончательно находим

Fman~ p L yS d x (13.5.5)

На этот ж«е слой действует сила вязкого трения со стороны внешней (по отношению к нему) жидкости. Эта сила приложена к поверхности площадью - S = Lydx и может быть оценена по формуле

223

(13.5.6)dv U

Мы использовали оценку dv/dz - U / S для производной в пределах по­граничного слоя, где происходит переход от скорости v - 0 у поверхно­сти к скорости и ~ U вдали от поверхности.

В условиях стационарного течения силы (13.5.5) и (13.5.6) сравнива­ются, что даёт

U2 UFnmn ~ Frp => pLy5dx—— ~ Lydxi) — => S ~

Таким образом, если поток вязкой жидкости набегает на плоскую по­верхность, занимающую область х > 0, то толщина пограничного слоя растёт по мере удаления от края поверхности по закону:

(13.5.7)

13.5.3. Ещё о применимости формулы Пуазейля. Остановимся на интерпретации формулы (13.3.10).

Чтобы параболический профиль скоростей успел сформироваться, необходимо, чтобы поле скоростей жидкости в трубе всюду испытывало

действие стенок. Иными словами, нужно, чтобы размер пограничного слоя оказался порядка радиуса трубы (рис. 13.5.2): S ~ R. Пусть на входе в трубу жидкость имеет скорость U. Тогда, полагая x~~L, находим

yJvL/U > R => L> Lq ~ UR2/ v . (13.5.8)

Эта оценка, очевидно, совпадает с(13.3.10). Следовательно, расстояния, на которых устанавливается пуазей- левское течение, тем больше, чем больше скорость набегающего потока и чем меньше вязкость жидкости.

Lq у

Рис. 13.5.2. Расширение погранич­ного слоя по мере продвижения жидкости в трубе

13.6. Движение тел в жидкости

13.6.1. Обтекание тел движущейся жидкостью 1. Идеальная жидкость. Рассмотрим для определённости обтекание

симметричного тела потоком жидкости (рис. 13.6.1).

224

АРис. 13.6.1. Симметричное тело в набегающем потоке жидкости

В этом случае жидкость свободно (без трения) скользит по поверхно­сти. На поверхности шара есть две точки (К\ и К2), в которых скорость течения обращается в нуль. Эти точки называются критическими.

Согласно уравнению Бернулли:

Р + p v 2 / 2 = const

давление вдоль трубки тока не зависит от знака скорости. Поэтому рас­пределения давлений перед телом и позади него одинаковы. Давления в критических точках, где скорость течения равна нулю (г;, = v2 = 0), сов­падают и превышают давление вдали от тела:

Рк =Рх + р и 2/2> Рх .

Поскольку мы имеем дело с симметричным телом, то профиль давлений симметричен относительно оси АА. В итоге заключаем, что результирую­щая сил давления равна нулю. Это значит, что отсутствует сила сопротив­ления потоку, как нет и подъёмной силы:

Fx = 0, Fy = 0 .

Этот результат связан с отсутствием вязкости: в идеальной жидкости нет потерь энергии и импульса. Поэтому при равномерном обтекании тел любой формы сила сопротивления и подъёмная сила равны нулю. Данное утверждение известно как парадокс Даламбера.

Если движение тела неравномерное, то тело увлекает часть жидкости, передавая ей свой импульс. При этом возникает сила сопротивления. Во­влекаемая в движение тела жидкость называется присоединённой массой и

существенно влияет на инерционные свойства тела в жидкости. В частно­сти, эффективная масса газового пузырька в жидкости определяется главным образом присоединённой массой жидкости, а не массой газа.

2. Вязкая жидкость. Рассмот­рим особенности ламинарного и турбулентного течений.

Рис. 13.6.2. Пограничный слой вблизи поверхности тела

225

1. Ламинарное течениеРассмотрим сначала ламинарное течение, реализующееся при малых

числа Рейнольдса: Re 1.Как уже говорилось выше, при обтекании тела потоком возникает по­

граничный слой (рис. 13.6.2), в котором скорость жидкости меняется от V = 0 до значения v ~ (/, соответствующего скорости набега-ющего по­

тока вдали от тела.Пусть обтекаемое тело симметрично, а движение жидкости ламинар­

ное. Картина течения качественно аналогична показанной на рис. 13.6.3. Вместе с тем благодаря трению теряется часть энергии, что приводит к возникновению лобового сопротивления, а вследствие симметрии подъ­ёмная сила не возникает:

Fx * 0, Fy = 0.

Существуют два основных механизма возникновения силы сопротив­ления:

1 . благодаря вязкости,2 . вследствие отрыва.Первый механизм обусловлен тем, что благодаря трению тело увлека­

ется движущейся жидкостью.Второй механизм связан с появлением разности давлений спереди и

сзади от тела. Соответствующая картина течения показана на рис. 13.6.3.Видно, что позади тела возникают две критические точки: С\ и С2,

между которым жидкость не контактирует с телом. Поэтому давление на участке С|С2 оказывается меньше давления в точке В: Р0 = РСх =-Рс > Рв .Этот перепад давлений ведёт к возникновению силы лобового сопротив­ления: Fx * 0.

чьРис. 13.6.3. Шар в набегаю­щем потоке вязкой жидкости — отрыв жидкости позади тела 2

2. Вихревое течениеРассмотрим теперь случай, когда обтекание носит вихревой характер.

Покажем, что обтекание можно рассматривать как наложение циркуляции жидкости на равномерное движение.

226

Рис. 13.6.4. Сверху — тело в набегающем потоке жидкости; снизу слева — распределение скоростей жидкости в окрестности точки С; снизу справа — представление потока как наложения среднего течения (показанного стрел­кой 1) и циркуляции (показанной стрелками Г)

Пусть на тело натекает поток жидкости (рис. 13.6.4). Тогда в погра­ничном слое скорость меняется от нуля (в точках поверхности тела) до значений - U вдали от тела (рис. 13.6.4 внизу слева). Такое течение можно представить как наложение движения со средней скоростью вправо во всём пограничном слое и циркуляции по часовой стрелке, как показано на рис. 13.6.4 (внизу справа).

В итоге при обтекании тела в вязкой жидкости вокруг него возникает наряду с прямыми (средними) потоками также циркуляция жидкости (рис. 13.6.5).

Если тело обладает симметрией относительно оси потока, то цирку­лирующие потоки сверху и снизу одинаковы, и их суммарный момент импульса равен нулю.

Рис. 13.6.5. Циркулирующие потоки при обтекании симметричного тела в вязкой жидкости (равномерное течение не показано)

N Г /

3. Отрыв пограничного слояВследствие трения жидкость в пограничном слое движется медлен­

нее, чем в набегающем потоке. Как показано выше, трение между слоями при огибании тела приводит к торможению потока и к изгибанию линий

227

тока. Если торможение сильное (например, при обтекании сильно дефор­мированной поверхности), то линии тока изгибаются в форме вихря, что приводит к отрыву пограничного слоя от тела (рис. 13.6.6).

Рис. 13.6.6. Отрыв пограничного слоя и возникновение вихря в жид­кости позади тела

Действительно, внешние слои жидкости движутся быстрее, увлекая за собой внутренние слои, и при достаточно больших скоростях течения от­рыв жидкости от поверхности становится возможным. Поскольку при этом момент импульса жидкости сохраняется, позади тела возникает вихрь, циркулирующий по часовой стрелке (рис. 13.6.6).

Вихри могут уноситься течением, а на их месте будут образовываться новые вихри. В итоге за телом образуется вихревая дорожка Кармана (рис. 13.6.7).

Скорость уносимых вихрей меньше скорости жидкости. Поэтому они уносят меньший импульс, чем вносит набегающий на тело поток. Как следствие, возникает лобовое сопротивление, действующее на тело в направлении потока. Чем шире след, тем больше лобовое сопротивление. Наименьшим лобовым сопротивлением обладают тела хорошо обтекае­мой формы.

Рис. 13.6.7. Вихревая дорожка Кармана в жидкости позади тела

■%

13.6.2. Эффект Магнуса. Эффектом Магнуса называется возникно­вения подъёмной силы, действующей на вращающееся тело в набегаю­щем потоке газа (жидкости). Эффект открыл Г.Г. Магнус в 1852 г.

Для определённости далее говорим о вращающемся цилиндре в пото­ке жидкости. На рис. 13.6.8 показан пример формирующихся линий тока.

008

Рис. 13.6.8. Линии тока при обтекании набегающим потоком вращающегося цилиндра. На рисунке вращение цилиндра — по часовой стрелке

Пусть вдали от тела скорость потока жидкости равна U. Вследствие вязкости скорость течения относительно поверхности тела обращается в нуль в точках поверхности и возрастает до значения ~ ’£/ в пограничном слое (рис. 13.6.8). Если тело вращается, то его поверхность увлекает вяз­кую жидкость. В результате возникает наложение двух течений:

1 ) ламинарного обтекания и2 ) циркуляции вокруг тела (вихревого обтекания).

Соответственно характерная скорость потока оказывается больше там, где линейная скорость точек тела направлена по скорости потока (на рис. 13.6.9 скорость потока сверху тела больше, чем снизу: V\ > v2).

На рис. 13.6.9 множество точек, где скорость меняет знак, показана штриховой линией, заключённой между критическими точками К. По ме­ре роста угловой скорости вращения со критические точки смещаются вниз, и когда со превышает некоторое значение, они сливаются. При этом картина линий тока принимает вид, показанный на рис. 13.6.10.

и

Рис. 13.6.9. Качественный вид профиля скоростей жидкости сверху и снизу от вращающегося тела

Рис. 13.6.10. Линии тока при обтекании набегающим потоком быстро вращающего­ся цилиндра (вращение цилиндра — по часовой стрелке)

Возрастание скорости течения сверху от тела можно пояснить другим способом. За счёт увлечения жидкости вращающимся телом линии тока сгущаются сверху, а снизу разреживаются, в результате чего сечение тру­бок тока сверху от тела уменьшается, и скорость потока в них возрастает согласно уравнению непрерывности pvS = const. Из уравнения Бернулли

P /p + v2/ 2 = const следует, что давление в некоторой области потока сверху от тела оказывается меньше, чем снизу: РХ<Р2, что и означает возникновение подъёмной силы.

Таким образом, возникновение подъёмной силы Fy связано с возник­новением циркуляции скорости жидкости вокруг тела. Значение силы да­ётся формулой Жуковского-Кутта:

F f =TpU, r = <j)Wl( (13.6.1)

где U — скорость набегающего потока, р — плотность жидкости, а Г — циркуляция скорости вокруг тела. Это сила, приходящаяся на единицу длины тела, поперечной потоку. В частности, если тело есть цилиндр длиной /, то Fy = /Fv(,).

Рассмотрим цилиндр радиуса R и длины /, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью со. Пусть цилиндр движется со скоростью voo> |v«| = z; относительно жидкости (или воздуха). Поскольку вблизи

поверхности цилиндра скорость жидкости равна vR = coR, то для цирку­

ляции Г получается выражение Г -2 n R 'V K -InRrco. При этом по фор­муле Жуковского-Кутта для силы Магнуса получаем выражение

F = InpRrcolv. (13.6.2)

Рис. 13.6.11. Эффект Магнуса. На падающий вращающийся цилиндр действует сила, приво­дящая к отклонению его траек­тории от вертикали

Согласно сказанному выше, сила Магну­са направлена перпендикулярно скорости потока относительно вращающегося тела. Кроме того, она перпендикулярна вектору угловой скорости вращения тела. Поэтому в векторной форме силу можно представить в виде

F = 27rpR2lw x \. (13.6.3)

Пример. Пусть цилиндр массы т длины / и радиуса R, вращающийся с угловой ско­ростью со вокруг своей оси, отпущен и начи­нает падение с нулевой начальной скоростью

230

(рис. 13.6.11). Пренебрегая изменением угловой скорости вращения, найдём траекторию цилиндра.

Движение цилиндра описывается уравнением

mv = mg -f 2 лр/?2/со х v.

Используя систему координат, указанную на рис. 13.6.11, запишем выра­жение для силы Магнуса:

Fx - -2npR2lcovz , Fz =2npR2lcQVx

(компонента силы вдоль оси цилиндра равна нулю). Соответственно уравнения движения цилиндра принимают вид

vx = -Q vz , vz = Qvx - g,где для краткости использовано обозначение

Q = ^2npR2//mjco.

Решение этой системы уравнений с начальными условиями г;Л.(0) = 0, i>,(0) = 0 имеет вид

у = — ( l - c o s Q /), v. - - — sinQ/. г Q \ Р * QИнтегрируя эти равенства, находим траекторию цилиндра:

Л' = -^-(Q/-sinQ/), z - H — (1 - cos Q/). d r d r

Здесь при интегрировании использованы начальные условия: х(0) = 0, z(0) = Я , где Я — начальная высота центра тяжести цилиндра.

Таким образом, траектория падающего вращающегося цилиндра представляет собой циклоиду.

13.6.3. Подъёмная сила крыла. Крыло — это тело асимметричной формы. Подъёмная сила возникает из-за появления циркуляции жидкости, хотя механизм её появления иной, чем в случае эффекта Магнуса.

Крыло должно быть расположено несимметрично относительно пото­ка — горизонтальной плоскости, — в котором оно двигается. Иначе подъ­ёмная сила не возникает.

В потоке жидкости циркуляция происходит сверху — по часовой стрелке, а снизу — против часовой стрелки (рис. 13.6.12).

Если снизу от крыла произойдёт срыв вихря, то он унесёт порцию мо­мента импульса, отвечающего вращению против часовой стрелки. Тогда по закону сохранения момента возникнет циркуляция по часовой стрелке, накладывающаяся на основной поток (рис. 13.6.13). При этом скорость течения под крылом уменьшается, а над крылом увеличивается. В соот-

231

ветствии с уравнением Бернулли давление снизу крыла окажется больше, чем сверху. Но это и означает появление подъёмной силы: F > 0.

\ /и Оторвавшийся

7

/ \Возникшаяциркуляция

Рис. 13.6.12. Профиль скоростей жидкости свер­ху и снизу от крыла

Рис. 13.6.13. Отрыв вихря и возникающая в результате циркуляция жидкости вокруг крыла

Из сказанного следует, что для появления подъёмной силы нужно обеспечить срыв вихрей, вращающихся по часовой стрелке. Иными сло­вами, обтекание должно быть несимметричным.

Обтекаемое тело — крыло — должно быть либо несимметричным (как на рис. 13.6.14), либо быть расположенным несимметрично к потоку, подобно пластине, образующей ненулевой угол с потоком (рис. 13.6.15).

Обсудим этот случай. Пластина в потоке имеет две критические точ­ки: К\ и К2. Скорость течения максимальна у краёв пластины. Верхний поток (выше критической точки К\) тормозится благодаря трению. По­этому, достигая окрестности критической точки К2, он имеет скорость г;||ал меньшую, чем поток, подходящий к этой точке снизу и не испытавший продолжительного трения о поверхность (в силу того, что точка К2 распо­ложена близко к нижнему краю пластины). В результате у точки К2 встре­чаются два потока: «быстрый» снизу и «медленный» сверху. Поэтому из линии раздела K2D формируется вихрь, закрученный против часовой стрелки. В соответствии со сказанным это приводит к появлению цирку­ляции жидкости вокруг крыла и ненулевой подъёмной силы.

V\ < v 2

Рис. 13.6.14. Несимметричное обтекание крыла

232

Рис. 13.6.15. Обтекание пластины (слева) и формирование вихря из линии KiD (справа)

Динамика развития вихревой дорожки следующая. При возрастании скорости течения сверху от крыла линия отрыва смещается до нижней кромки, а далее турбулентный след уже не влияет на скорость обтекания и подъёмной силы не создаёт. Благодаря вязкости циркуляция затухает, ли­ния отрыва смещается к точке К и возникают условия для рождения ново­го вихря. Далее всё повторяется.

Расчёты показывают, что подъёмная сила может быть представлена в виде

Здесь S — площадь крыла (пластины).Ориентация крыла (пластины) по отношению к потоку задаётся углом

а, образуемым осью, характерной для тела (рис. 13.6.16). При некотором значении этого угла а = а0 подъёмная сила равна нулю. Углом атаки (р называется разность (р = а - а 0. Если <р> 0, то /^ > 0 . В противополож­

ном случае оказывается Fy < 0. Эти случаи вместе описываются следую­

щей зависимостью коэффициента су в подъёмной силе:су = 2 / / ( а - а 0) = 2 //<р.

Оказывается, для тонкой плоской пластины ju = /г, а0 = 0. Для изогнутой пластины а0 Ф 0 и зависит от кривизны пластины.

и

Рис. 13.6.16. Угол нулевой подъ­ёмной силы

Рис. 13.6.17. Зависимость коэф­фициента су от угла атаки в вязкой жидкости

233

Для уменьшения лобового сопротивления Fx изготавливают хэрошо обтекаемый профиль крыла. Соответствующим подбором достигают мак­симального отношения Fy/Fx .

Следует отметить, что наличие вязкости приводит к тому, что произ­водная dcyld(p оказывается меньше теоретического значения 2/t. При

этом, оказывается, существует такой угол атаки 40 = 40 , при которэм ко­

эффициент су достигает максимального значения: dcv/d(p = 0(рис. 13.6.17). Для такого угла атаки подъёмная сила максимальна.

%

234

Глава 14. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

14.1. Истоки теории относительности

Специальная теория относительности базируется на следующих фактах:1 ) конечность скорости света;2 ) постоянство скорости света (независимость от выбора системы от­

счёта);3) выполнение принципа относительности.

Рассмотрим подробнее эти факты.14.1.1. Конечность скорости света. Впервые тот факт, что скорость

света конечна, был установлен в 1675 г. датским астрономом Оле Рёмером (Ole Romer, 1644-1710) по измерению затмений спутников Юпитера. Суть выполненных им опытов состоит в следующем (рис. 14.1.1).

Рис. 14.1.1. Схема опыта О. Рёмера по измерению скорости света. Радиус орбиты Юпитера /?ю = 778 млн км.Радиус орбиты Земли /?3 = 150 млн км.Период обращения Юпитера вокруг Солнца 7ю := 11,9 лет.Период обращения Земли вокруг Солнца Тз = 1 год

Пусть L — расстояние от Земли до Юпитера, г — период обращения спутника вокруг Юпитера. Затмение спутника наблюдается через время t0 =L/c после того, как оно состоялось. Следующее затмение будет наблюдаться в момент

где /| — изменение расстояния от Земли до Юпитера в промежутке между затмениями. Соответственно для я-го затмения находим

•-*--6 Спутник

/, =t0 + r+ ljc .

=пт+1„/с

235

где ln — изменение расстояния «Земля-Юпитер» после п затмений*. Пусть N\ — полное число затмений за 1 год. Тогда /„ « 0 (поскольку за этю время Юпитер слабо изменил свое положение, а Земля вернулась в нач!альную точку орбиты). Следовательно,

Г = — 1---------.

Это соотношение позволило определить период обращения спутшика во­круг Юпитера.

Пусть N \ / 2 — число затмений за 0,5 года. Тогда1ци2 ~ Щ = 300 млн км, lNu2 ~2Щ,

и для скорости света находим выражение2R3с = ---------------------------.

( ^ , / 2

ИзмеренияРёмерапоказали,что ^ 1 р ” *0” ^1/2г *17м и н . Поэтому

300 млн км ,с * ---------------- = 300000 км/с.1000 с

По современным данным с = 299 793 км/с.Из уравнений электродинамики, полученных Дж. Максвеллом в 1856

г., следовало, что электромагнитные взаимодействия передаются с неко­торой конечной скоростью с. Эта скорость нс зависит от скорости движе­ния источника. Иными словами, независимо от того, движется источник света относительно наблюдателя или покоится, измеряемая скорость электромагнитных волн света всегда должна быть одинаковой. Измерения В. Вебера и Р. Кольрауша (1856 г.) показали, что численное значение ско­рости с совпадает с величиной скорости света.

Многочисленные эксперименты показали, что во всех процессах свет и электромагнитное поле ведут оебя одинаково. Это позволило заключить, что свет является электромагнитным полем. %

Вместе с тем факт постоянства скорости света противоречил законам механики Ньютона и, в частности, принципу относительности Галилея. Одной из гипотез, призванных объяснить этот факт, явилась теория эфи­ра, в котором распространяется (свет и свойствами которого определяется величина скорости света. Все теша движутся относительно эфира. Сам же эфир при этом выступает в качестве выделенной системы отсчёта.

1 Джеймс Клерк Максвелл (James ( lei К Maxwell, 1831-1879) — английский физик, юздатель классической электродинамики, один и и основоположников статистической физик) и моле­кулярно-кинетической теории иной И П865 г. предсказал существование электром1Гнитных волн и выдвинул идею об элемромш тмгной природе света.

236

14.1.2. Постоянство скорости света. Опыт Майкельсона. Попытка обнаружения движения Земли относительно эфира была предпринята А.А. Майкельсоном1 в 1881 г. В этих опытах он использовал интерферо­метр, получивший впоследствии его имя. В 1897 г. Майкельсон и Морли (E.W. Morley) опубликовали результаты более точных измерений, а в 1905 г. Морли и Миллер (D.C. Miller) изготовили более чувствительный ин­терферометр и с его помощью повторили опыт Майкельсона.

Рис. 14.1.2. Интерферометр Майкельсона. S — источник света, Р — делительная пластинка (полупрозрачное зеркало), А и В — зеркала, D — приймник. Длина плеч интерферометра одинакова: РА - РВ = L

Схема опыта Майкельсона показана на рис. 14.1.2. В опытах 1897 г. прибор монтировался на квадратной каменной плите со стороной основа­ния 1,5 м и толщиной 30 см. Плита опиралась на толстое деревянное кольцо, погруженное в кольцеобразный железный сосуд с ртутью. Иссле­довались интерференционные явления для жёлтой линии натрия.

Пусть прибор вместе с Землей движется относительно покоящегося эфира со скоростью К, причём луч 1 на рис. 14.1.2 распространяется точно по направлению движения Земли. Тогда время движения луча по пути РА и обратно равно

L л L I L / c*РА - г / » *АР ~ , т г » ^РАР ~ * Р А ~ . / Т г / ч 2 *

c - V c + V \ - ( V / c )

Для нахождения времени распространения луча по траектории РВР нужно учесть, что в системе отсчёта, связанной с эфиром, траектория луча имеет вид, показанный на рис. 14.1.3. На основании теоремы Пифагора имеем

1 Альберт Абрахам Майкельсон (А.А. Michelson, 1852-1931) — американский физик. Нобе­левская премия (1907 г.) присуждена за созданные прецизионные инструменты и выполнен­ные с их помощью спектроскопические и метрологические измерения.

237

или{ctPB)2 ={VtPB)2 +L2

1р в -L tc

y l \ - V 2 / c 2Вследствие симметрии траектории полное время движения луча составит

_• 2 L /c( РВР ~ 21РВ

v n V 4 c *а разность хода лучей 1 и 2 окажется равной

A 2 L&l = t P A P - ‘PBP = ----

С

1

1 - V 2 lc 22L с

у 2 /л/ 1 — V2 / с2 J

1 + -

\ 2с2 ;лL Y 1с о 1

(в приближённом равенстве учтено, что /3 = Vfc «с 1 , и проведено разло­жение по этому малому параметру).

Рис. 14.1.3. Траектория лума света, распространяющегося вдоль плеча Clni

/ 1 \ / 1 \ / / ! у с////’

РВ интерферометра— ► /

L 1 1 1

Величина сД/ » L/32 есть разность хода лучей при выбранной ориен­тации интерферометра относительно направления движения Земли, опре­деляющая положение интерференционных полос. При повороте всего ин­терферометра на 90° знак этой величины меняется на противоположный. Поэтому максимальный сдвиг интерференционных полос, который может

наблюдаться в рассматриваемых опытах, составляет Д/ « 2L/32 .* По­

скольку для Земли /7 - К Г 4, Z, = 11 м, а длина волны использовавшегося

в экспериментах света равнялась Я = 5,9 К) 5 см, то Д /»0,37Я , т.е. ин­терференционные полосы должны слипнуться примерно на треть длины волны. В опытах же эффект не превышал 0,0 .’ ш и р и н ы интерференцион­ной полосы. В более точных измерениях М айкоиьсоил и Морли 1905 года теория предсказывала смещение на 1,5 ширимы полосы , тогда как наблю­даемое значение не превышало 0,007с* поносы.

Результаты опытов означали, чи» тинмолнемли скорость света не за­висит от направления распространения ен» но о iнош ению к направлению

238

движения Земли. Следовательно, либо эфир увлекается веществом, либо плечо интерферометра, движущееся «вперед», укорачивается.

В 1905 г. А. Эйнштейн1 предложил теорию, в которой удалось соче­тать принцип относительности и постоянство скорости света, отказавшись вообще от гипотезы эфира.

14.2. Относительность одновременностиРассмотрим платформу, движущуюся относительно неподвижного

наблюдателя со скоростью V (см. рис. 14.2.1). Пусть в некоторый момент времени / = 0 источник О, находящийся на платформе, посылает свето­вые импульсы по направлению к приёмникам А и В, расположенным симметрично по обе стороны от точки О. Обозначим расстояние между приёмниками как L. Учтём, что скорость света одинакова для неподвиж­ного наблюдателя и наблюдателя, находящегося на платформе. Тогда в системе отсчёта S', связанной с платформой, сигналы достигнут приёмни­ков одновременно через время

1Ъл = / ОВ = 7 ~ -

В лабораторной же (т.е. неподвижной) системе отсчёта S время прихода сигнала в точки А и В равно соответственно

_ L / 2 LI 2*ОА ~ Г г / ’ 1ОВ - 77 >c + V c - V

где учтена независимость скорости света от скорости движения источни­ка. Таким образом, оказывается tOA * tOB. Иначе говоря, события, одно­временные в системе S', не являются одновременными в системе S: поня­тие «одновременность» является относительным, зависящим от выбора системы отсчёта.

Рис. 14.2.1. Платформа длины L с ис­точником света О и двумя симметрич­но относительно него расположенными приёмниками А и В, движущаяся отно­сительно неподвижного наблюдателя со скоростью V

О в

Описанный опыт позволяет в принципе произвести синхронизацию часов в пределах любой системы отсчёта. В качестве одного из способов синхронизации можно рассмотреть следующую процедуру. Поместим

1 Альберт Эйнштейн (A. Einstein, 1879-1955) — немецкий физик-теоретик (в 1933 г. пере­ехал в США). Нобелевская премия 1921 г. «за заслуги перед теоретической физикой, и осо­бенно за открытие закона фотоэлектрического эффекта».

239

источник светового сигнала в некоторой точке системы, а на известном расстоянии L от него разместим приёмники. Время распространения сиг­нала до приёмников известно: t = L/c. Полагая показания часов источни­

ка в момент вспышки /ист = 0 и устанавливая часы приёмников в момент

получения сигнала на отметку tnp = L /c , мы синхронизируем часы ис­

точника и приёмников. Этой процедурой можно синхронизировать все часы данной системы отсчёта и в дальнейшем пользоваться любыми из них — их показания будут всегда совпадать.

В результате синхронизации мы можем однозначно указывать в дан­ной системе как одновременные события, так и порядок следования всех прочих событий. Однако сопоставление хода часов в разных системах отсчёта оказывается более сложным.

14.3. ИнтервалJ4.3.1. Определение интервала. Пусть Р\ и Р2 — две точки, имеющие

координаты соответственно (*|, у и z{) и (дг2, уъ z2), и пусть в момент t\ из точки Р\ в направлении точки Р2 испускается световой сигнал. Этот сиг­нал достигнет точки Р2 в момент времени t2, удовлетворяющий условию

с(12 -Ц ) := л /о 2 -Х \)2 +(у2 -у ^ )2 + (z 2 - z , ) 2 ,или

с2At2 - Д г 2 =0 .В системе отсчёта S ’, движущейся со скорость V относительно S, вслед­ствие неизменности скорости света выполняется аналогичное соотноше­ние:

с2At'2 - Дг'2 =0 .Рассмотрим теперь два произвольных события, одно из которых про­

исходит в точке Рх(хх,ух, 2 х)ъ момент времени *|, а другое — в точке

P2 (x2,y2,z2) в момент времени t2. Пусть промежуток времени, разделяю­щий эти события, равен At = t2—t{. Пространственное расстояние между событиями составляет

Д/ = \j(Ax)2 + {Ay)2 + (Az)2 ,

где Ах = х2 - х }, Ау = у 2 - у , , Az = z2 - z {. Обозначим

(Ду)2 = с2 (At)2 — (Д/)2.Величина As, введенная этой формулой, называется интервалом. Для бес­конечно близких событий интервал ds записывается в виде

240

Если ds2 > 0, то интервал называется времениподобным. Если же

ds2 < 0, то интервал называется пространственноподобным.14.3.2. Инвариантность интервала. Покажем, что интервал не ме­

няется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Это утверждение есть следствие двух фактов: 1 ) неизменности скорости света, 2 ) принципа относительности.

Поскольку скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта, то для событий, связанных световым лучом1, выполняется равен­

ство ds2 = 0, и оно не зависит от выбора системы отсчёта.

Рассмотрим теперь события, для которых ds2 * 0. Выберем три си­стемы отсчёта: S, S\ и S2. Предполагаем, что системы 5| и S2 движутся со скоростями V| и V2 относительно S. Бесконечно малые интервалы ds, dsx и ds2 отвечают одним и тем же событиям, но рассматриваемым в разных системах отсчёта. Эти величины являются бесконечно малыми одного порядка малости, что позволяет записать

ds2 =a(V])ds2 и ds2 = a(V2)ds\. (14.3.2)Функция a(V) не зависит от координат и времени вследствие однородно­сти пространства и времени. Кроме того, эта функция может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости вследствие изо­тропии пространства.

В силу принципа относительности наряду с соотношениями (14.3.2) можно записать и еще одно:

ds2 =a(V\2)ds2 , (14.3.3)где V\2 — скорость движения системы S\ относительно S2. Сравнивая со­отношения (14.3.2) и (14.3.3), находим

^ 12) = -£т - 04 .3 .4 )а(У})Левая часть этого равенства зависит не только от абсолютных значений скоростей V| и V2, но и от угла между ними, тогда как правая часть от угла не зависит вовсе. Поэтому данное соотношение может выполняться только тогда, когда a(V) = const. При этом из того же соотношения(14.3.4) следует, что а - 1.

Таким образом, интервал есть инвариант относительно перехода от одной инерциальной системы отсчёта к другой: ds = inv.

1 И м ею тся в виду собы тия в двух точках, расстоян и е d l и пром еж уток врем ени d t м еж ду которы м и связаны соотнош ением : d l = cdt.

ds2 = c2d t2 - d r 2 = c2dt2 -d x 2 -d y 2 - d z 2. ( 1 4 .3 .1 )

241

14.4. Преобразования Лоренца и их следствия

14.4.1. Преобразования Лоренца. Требование инвариантности интер­вала позволяет найти законы преобразования координат и времени при переходе от одной системы отсчёта к другой. В самом деле, пусть система S неподвижна, а система S' движется относительно нее со скоростью V вдоль оси х , причём в начальный момент по часам обеих систем их начала координат совпадали.

Инвариантность интервала означает, что

c2t2 - x 2 = c2t ,2 - x ' 2 . (14.4.1)Запишем общее линейное преобразование координаты и времени при пе­реходе от одной системы отсчёта к другой:

X = ах ' + fit’, / = ух' + St', (14.4.2)где уже допускается различие течения времени в разных системах отсчё­та. Подставляя соотношения (14.4.2) в (14.4.1) и приравнивая коэффици­енты при одинаковых комбинациях х ' и получаем систему уравнений для коэффициентов а, Д уи 8:

с2 (ух' + St')2 - (ax' + p t ' f = с V 2 - х '2,ИЛИ

с2у 2 - а 2 = -1 , 2(c2y 5 -a P ) = 0, c2S 2 ~ p 2 =c2. (14.4.3)Учтем далее, что точка х'= 0 отвечает началу координат системы S', и в соответствии с (14.4.2) её движение в системе S описывается уравнениями

x = j3t', t = 8 t'.х 8Скорость системы S' относительно S есть V = — = —, или

8 = VS. (14.4.4)

Находя коэффициенты а, Д у и 8 из системы уравнений (14.4.3), (14.4.4) и подставляя их в (14.4.2). получаем окончательно соотношения:

х - x'+Vt'

тг:t =

, 4 4 , 'с

У1! с2 У2 ! с1Разрешая эти уравнения относительно величин х'и /', найдём

, x -V t Г =

V' ~ S X

■V*/cz ' l l - у z ! с*К этим соотношениям нужно добавить неизменность координат, перпен­дикулярных скорости движения:

(14.4.5)

(14.4.6)

242

у =у, Z — Z . ( 1 4 .4 .7 )

Соотношения (14.4.5) - (14.4.7) называются преобразованиями Ло­ренца'. Они являются обобщением преобразования Галилея для случая движения с произвольными скоростями.

В сформулированных преобразованиях рассматриваются разности координат и времени, когда первой точкой (в которой происходит одно из событий) является начало отсчёта х = 0, t = 0. В конкретных применени­ях, когда оба события не находятся в начале отсчёта, в формулах преобра­зований Лоренца нужно использовать разности координат и времён:

прямые преобразования:

Ах =Ax' + VAf'

■J\-V2/с 2

Д /' + — Ах' At = ■ ^ -----

\ I \ - V 2/с 2 ’■(14.4.8)

Ду = Д / , Az = Az',обратные преобразования:

4 , A x-V A IАх = . ■■ — г,

V l- V 2/c 2

л v лAt — Ах с“

J \ - V 2/c 2 ’(14.4.9)

Ау' = Ау, Az’ = Az.Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в справедливости

равенствас1 At2 -А х 2 -A y 1 - A z 2 = с2 At'2 - Ах'2 - Ay'2 -A z '2,

выражающего свойство инвариантности интервала.14.4.2. Преобразование времени. Поместим часы в произвольной

точке в системе S\ предполагая, что они покоятся в этой системе. ТогдаАх' = А / = Az1 = 0.

Используя преобразования Лоренца (14.4.8), найдём

At = А/'

V l - F 2 / c 2(14.4.10)

Величина At' есть время, измеряемое часами системы отсчёта S' и называ­емое собственным временем. Соотношение (14.4.10) устанавливает связь промежутков времени между одними и теми же событиями, измеряемыми

1 Х ендрик А нтон Л оренц (Н .А . Lorentz, 1853 -1928) — нидерландский ф изик-теоретик. С о­здатель классической электронной теории . Н обелевская прем ия (1902 г.) за создание теори и эф ф екта Зеем ана (совм естно с П. Зеем аном ). С оотнош ения (14 .4 .5), (14 .4 .6 ) Л орен ц получил в 1904 г.

243

по часам неподвижной системы S (At) и системы S' (At'), движущейся от­носительно S.

Можно дать определение собственного времени, не связанное с кон­кретным выбором системы координат. Рассмотрим интервал для событий, происходящих в одной и той же точке системы S': dsr = cdt’. По часам системы отсчёта S пройдёт время dt, причём точка расположения часов

сместится на расстояние dl = фЬс2 + dy1 + dz~ = Vdt, где V — скорость системы отсчёта S' относительно S. Соответственно интервал в системе S запишется как

ds = \lc2dt2 - dl2 = c d t 4 \ - V 2ic2.Поскольку ds* = ds, то оказывается, что собственное время есть величина, пропорциональная интервалу:

dr = ds/c. (14.4.11)

14.4.3. Измерение длинПервый способ. Пусть стержень, имеющий собственную длину L0 (т.е.

в системе отсчёта S', жестко связанной со стержнем), движется равномер­но и прямолинейно со скоростью V относительно лабораторной системы S (рис. 14.4.1). Требуется найти его длину L, измеряемую в системе S.

Рис. 14.4.1. Измерение длины движущегося стержня

k УV

с = 0

1 У

и х'

УО х

Воспользуемся первой формулой преобразования Лоренца в (14.4.6):

M . - p L U L . . * (14.4,12)1h - r 2 /c 2

Для измерения длины будем регистрировать моменты времени, когда конец и начало стержня оказываются в начале координат системы S, т.е. в точке х = 0. Найдём значения координаты и времени для этих двух собы­тий в системах S и S'.

Не событие: начало стержня оказывается в точке л: = 0:

в системе S: в системе S': \ Х,V = 0, V = 0.

2-е событие: конец стержня оказывается в точке х = 0:

244

в системе S:U = 0,\ t = L/V,

в системе S':х' = О,

t' = Lo/V.Отсюда Ax = -L q, Дх = 0, At = L/V. Подставляя эти значения в(14.4.12), найдём

L = L j \ - V 2/c 2. (14.4.13)

Таким образом, длина движущегося стержня, измеренная в лабора­торной системе отсчёта, оказывается меньше его длины в собственной системе отсчёта. Это явление называется лоренцееым сокращением длины.

Второй способ. К формуле (14.4.13) можно прийти другим путём. Именно, пусть в лабораторной системе одновременно регистрируются положения концов стержня. Тогда

/, = /„ , X, = 0,

h = /н» х2 = £Д/ = 0, Д*: = L.

При этом измеряется «наблюдаемая» длина L движущегося стержня. Пользуясь первым преобразованием Лоренца в (14.4.9), найдём

Lo =L

что, очевидно, совпадает с (14.4.13).Заметим, что неправильно выбранная процедура измерения может

дать результаты, не совпадающие с (14.4.13). Например, зафиксируем два одновременных события в системе отсчёта стержня: левый конец нахо­дится в точке х( = 0, а правый — в точке х'2 = L0. Имеем

/ ; = / ; , х\ = о,

Н ~ > Х2 = ^0Д/' = 0, A

Пользуясь первым преобразованием Лоренца в (14.4.8), найдём

L = _ а _

В данном случае другой результат связан с тем, что измерение положения концов стержня в лабораторной системе (5) производятся не одновремен­но, а со сдвигом во времени на величину

At =

VД/' + — Дс'

с\J \-V 2/с 2

L p У / с

с f i ^ / c 2 '

245

Смещение же концов стержня за это время в предложенной процедуре не учтено.

14.4.4. Использование световых сигналов для измерения проме­жутков времени и длин

1. Вывод закона преобразования времени. Приведём простой вывод формулы преобразования хода часов. Рассмотрим систему, состоящую из источника света и зеркала (рис. 14.4.2). Пусть система отсчета АТ'движет­ся вдоль оси х со скоростью V. Расстояние от источника до зеркала равно L0, и оно одинаково в обеих системах отсчета — в движущейся системе К ' и в лабораторной системе К.

К'ysssssssssss

Ух

Рис. 14.4.2. Сигнал посылается от источника к зеркалу и обратно в системе отсчета часов (К ') и в лабораторной системе (К)

В собственной системе отсчета часов (Kf) сигнал проходит полный путь 2L 0 за время г0 = 2L q/ с .

В лабораторной системе путь света выглядит так, как показано на рис. 14.4.2 справа. Обозначим время движения сигнала как г. Поскольку за это время источник сместится на V t , а траектория сигнала симмет­рична, то

сг = 2 ^ + ( К г / 2 ) 2.

Отсюда следует

г = 2 L0

sjc2 - V1Поскольку г0 = 2Zq/ c, то из последней формулы следует искомая связь:

г - т - а — .ф -(У /с )2

2. Вывод закона преобразования длин. Рассмотрим теперь процедуру измерения длин. Пусть расстояние между источником и зеркалом в соб­

246

ственной системе отсчёта этой системы равно Ь0, а в лабораторной системе — L.

Время распространения сигнала в движущейся системе отсчета равно г0 = 2Z-o/c, а в лабораторной системе г = г, + г2. Время движения сигна­

ла от источника до зеркала (л ) определится из того условия, что зеркало убегает от источника:

сг, = L + F Г|,

или

К'

Г|L

c - V

у

I

К

Уъ

1

• }' " к

Рис. 14.4.3. К измерению расстояний с помощью световых лучей

Время движения сигнала обратно, от зеркала к источнику, определит­ся из того условия, что свет движется навстречу источнику:

ст2 = L - V t2, или

Lг2 = -------.

2 c + VИтого получаем

L L 2L/c1 2 c - V c + V \-(V /c )2

Наконец, используя установленную выше связь г = т*0/ \ j\- (V /c )2 , получим

2L/c _ 2 Lq/ c

1 - ( V / c j 1 ~ s ] \ - ( V / c ) 1 '

откуда следует искомый закон преобразования расстояний:

L = L0J l- ( V /c ) 2.Пример. Пусть тело, имеющее объём в собственной системе от­

счёта, движется со скоростью V относительно лабораторной системы S. Требуется найти его объём W по отношению к системе S.

247

Для решения этой задачи разобьём все тело на бесконечно малые ку­бики, одна сторона которых направлена вдоль вектора скорости. Тогда эта сторона претерпевает лоренцево сокращение длины. Остальные же сторо­ны кубиков, перпендикулярные скорости тела, не меняются. Следова­

тельно, измеренный в системе S объём тела составит W = WQyJ \ - V 2/ c 2.14.4.4. «Парадокс пенала». Рассмотрим следующий парадокс, свя­

занный с относительностью одновременности.Пусть карандаш, имеющий собственную длину1 £к 0 = 10 св.с., влета­

ет со скоростью V = 0,6 с в покоящийся пенал, собственная длина кото­

рого равна Ln0 = 8 св.с. (рис. 14.4.4). Тогда наблюдаемая длина карандаша

равна LK = LKOyj\ - (V /cy = 8 св.с. Это значит, что в момент времени

tA = t B =LK/c после пересечения края А грифелем весь карандаш окажет­ся внутри пенала: LK = Lu 0. И если в этот момент одновременно закрыть

заслонкиЛ и Я, то карандаш окажется захваченным в пенал.

v А в— [ \ш т ж ш

А В

I,1......... ;■;-]>»

А В А В

1йййййййййй) 18Я8ЙЙ88Й8Яv

Рис. 14.4.4. К «парадоксу пенала». Сверху — карандаш влетает в покоящийся пенал, когда наблюдаемая длина карандаша равна собственной длине пенала; снизу — пенал налетает на покоящийся карандаш (собственная длина карандаша болынеЪидимой длины пенала)

Посмотрим теперь, как выглядит тот же процесс в системе отсчёта, связанной с карандашом. В этой системе наблюдаемая длина пенала равна

Lu = Lu0y j\- (V /c y = 6 ,4 св.с. Это значит, что весь карандаш не сможет

оказаться внутри пенала: Lk 0 > Ln.

1 Сокращение «св.с.» означает световую секунду.

248

Таким образом, парадокс состоит в том, что в одной системе отсчёта весь карандаш может оказаться внутри пенала, тогда как в другой — не может.

Для решения парадокса нужно учесть, что события, одновременные в одной системе отсчёта, оказываются неодновременными в другой систе­ме. В первом случае (когда карандаш движется, а пенал покоится) закры­тие заслонок А и В производится одновременно. Посмотрим, когда закры­ваются заслонки во втором случае (когда покоится карандаш).

В системе отсчёта пенала выберем начало координат в точке, совпа­дающей с левым концом карандаша в тот момент, когда его грифель толь­ко касается границы А: х0 = 0 , /0 = 0. Выделим два события:

1 — грифель касается края В пенала (точки выхода из пенала),2 — левый конец карандаша достигает края А пенала.

Укажем координаты и время этих событий в системе*отсчёта пенала:

Учтено, что в принятых условиях (Ьк0 =10св.с., £м 0 = 8 св.с., F = 0,6с) LK = Lu 0. Далее, используя преобразования Лоренца, находим время этих

же событий, но в системе отсчёта карандаша:

Отсюда видно, что события 1 и 2 уже не являются одновременными: сна­чала заслонка В доходит до грифеля карандаша, а потом, с задержкой

заслонка А доходит до левого конца карандаша. В нашем случае задержка составляет t'A -t'B = 6 с.

Таким образом, заслонки в системе отсчёта карандаша срабатывают не одновременно, а в естественной последовательности: сначала заслонка В, а потом заслонка А. В этой системе карандаш всегда, хотя бы частично, находится вне пенала. Если бы мы действительно захотели захватить ка­рандаш в пенал, перекрыв обеими заслонками (А и В) вход и выход пена­ла, то вынуждены были бы, приложив силу, заставить карандаш двигаться с ускорением. Но в этом случае связанная с ним система отсчёта переста­

событие 1: хв = LK + Ltl 0 = 2Ln 0, tn = L^/V = Lti0/K ,

событие!: tA = L jV = LnS)/ V .

249

ла бы быть инерциальной и эквивалентность двух систем отсчёта нару­шилась бы. При этом мы попадаем под действие уже законов общей тео­рии относительности (раздел 14.12).

14.4.5. Релятивистское сложение скоростей. Пусть материальная точка движется со скоростью и '= (*/!<., u'y ,u'z ) относительно системы S',

которая в свою очередь движется относительно системы S вдоль оси х с постоянной скоростью V. Найдём скорость рассматриваемой точки u = (wx , uy9uz ) относительно системы S. Для этого воспользуемся фор­

мулами преобразования Лоренца (14.4.5):

Ах =Ax' + VAt'

V l - F 2 / c 2 ’

At’ + ^ j A x ’A t = - -----£------ -

V l- V 2/c 2Ay = A y \ Az - Az'.

По определению скорости u и u' равныAr , Ar'

u = — , u = ---- .At At'

(14.4.13)

Тогда, деля почленно первое равенство в (14.4.14) на второе, найдём вы­ражение для лг-компоненты скорости, или для продольной скорости:

U x =и'х +У

\ + u'xV/с 2(14.4.14)

Разрешая это соотношение относительно и'х , найдём обратную формулу:

и - Vи'х = — — г т . (14.4.15)

х \ - и хУ/сгВыражения для поперечной скорости (т.е. для компонент иу и uz ) можно

найти, если поделить почленно третье и четвертое соотношения в(14.4.14) на второе: %

V l- V 2/ c 2 , V l- у г / с 2 ,it = ----- -— г ^ и „ , и. = ------- ;— т т *1-

у 1 + и’хУ /с 2 у * 1 +u'xV /c 2 *

Обратные формулы преобразования имеют вид

, s J \ - V 2 / с2 , ч/ l - V 2 / c2и = ----------- Т Г иу> uz = -----------T T uz-у \ - u xV /c2 у \ - u xV jc2

(14.4.16)

(14.4.17)

Очевидно, что при V <§с с полученные формулы переходят в обычный галилеев закон сложения скоростей. Кроме того, если и'х = с, то из

250

(14.4.14) следует: их - с . Это согласуется с фундаментальным принципомо независимости скорости света от выбора системы отсчёта.

Пример 1. Пусть из начала отсчёта системы S', движущейся со скоро­стью У, посылается световой сигнал под углом ср к оси х' в плоскости (*', у') (угол (р измерен в системе S"). Требуется определить компоненты век­тора скорости сигнала с^ис^в лабораторной системе отсчёта 5.

Имеем cx =cGO$(p,cy =cs\x\(p. По формулам сложения скоростей

(1.4.14), (1.4.16) находим

c '+ V ccos<p + V y ll -V 2 /c 2 , у1с2 - V 2 .Сх = ттг = с -- ----- , с у = ----- П 7— Су = -- ----- csixup.

c x V c + Vcos<p у « c x V у с + Усоъср1+ „2 + „2

С СНетрудно проверить, что найденные компоненты удовлетворяют тожде­

ству: сх + Су - с'2 +с'у = с2.

х

Рис. 14.4.2. Две частицыДВИЖУТСЯ СО СКОрОСТЯМИ V|и V2 во взаимно перпенди­кулярных направлениях

Пример 2. Пусть две релятивистские части­цы движутся в лабораторной системе отсчёта со скоростями V| и v2 во взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 14.4.2). Требуется найти ско­рость частицы 2 в системе отсчёта, связанной с частицей 1 .

Пусть ось х выбрана вдоль направления ско­рости частицы 1. Тогда по формулам сложения скоростей (14.4.15), (14.4.17) находим компонен­ты скорости частицы 2 в системе отсчёта частицы 1 :

viУ2х-У\х

l - v ]xv2x/ c 2 V2у(у ^

V \X1 -

(14.4.18)В итоге скорость частицы 2 относительно частицы 1 оказывается равной

г>2 = J ( y2x)2+ K r ) 2 = J K )2 + (viy f --( У\хЪу'

С J

(14.4.19)

Угол, образуемый вектором \'2 относительной скорости частицы 2 с осью х , определяется формулой

Щх %/1 - 1 ^

9S1

В частном случае, когда v2 =c (например, если частица 2 — фотон), из (14.4.18) следует:

*>2д ="%> V l y = С. II ~

f v \ 2 v \xV с J

При этом полная скорость частицы 2 оказывается равной

У2 = ^ Ю 2 h ( V2 y f = j ( Vl x ) 2+C

/ 2\+ с2 1 - V \X

1 С ) /= С,

как и должно быть вследствие независимости величины скорости света от выбора системы отсчёта.

14.5. (л:-/)-диаграммы

В теории относительности события и процессы в ряде случаев удобно рассматривать на (х, /)-плоскости (рис. 14.5.1).

Выберем в системе отсчёта S некоторое событие в качестве начала от­счёта О. Координаты и времена всех других событий будем рассматривать по отношению к событию О. По оси ординат удобно откладывать величину с/, имеющую размерность длины (как и координата х по оси абсцисс). Траектории лучей света, про­ходящих через точку О, задаются уравнени­ями

х = ct и х = - с / .Эти траектории представляются лучами 1 и 2 на рис. 14.5.1, проходящими под углом 45° к координатным осям.

В конусе, обозначенном на рис. 14.5.1 как «абсолютно удалённое», интервал явля­ется пространственноподобным:

s2 =(ct)2 - x 2 < 0.Для событий же, находящихся в конусах «абсолютно будущее» и «абсо­лютно прошедшее», интервал является времениподобным:

s2 = Ш)2 - х 2 > <>.Любой сигнал может распространяться со скоростью, не превышаю­

щей скорость света с. Поэтому в причинно-следственной связи с событи­ем О могут находиться только те события, координаты и время которых находятся в конусах «абсолютно будущее» п «абсолютно прошедшее». Такие события ни в одной системе отсчёта не могут оказаться одновре­

Рис. 14.5.1. (л--/)-диаграмма. Событие О выбрано в качестве начала отсчёта в системе S. Прямые I и 2 — это траектории луч&й света, проходящих через начало отсчёта О

252

менными. При этом существует система отсчёта, в которой эти события происходят в одной точке пространства (хотя и в разные моменты време­ни). Если событие имеет на (дс, /)-плоскости координаты х = х0, t = t0, то

из первой формулы в (14.4.6) при х' = 0 следует, что эта система должна двигаться со скоростью V = х$ / / 0 .

Те события, которые находятся в конусах «абсолютно удалённое», не могут быть связанными с событием О как причина и следствие. Эти собы­тия ни в одной системе отсчёта не могут происходить в одной простран­ственной точке с событием О. При этом существует система отсчёта, в которой события происходят одновременно (хотя и в разных простран­ственных точках). Если событие имеет на (х , /)-плоскости координаты х = х0, / = /0, то из второй формулы (14.4.6) при /' = 0 следует, что эта

система должна двигаться со скоростью V = с /0/*о* *На (г-/)-диаграмме движение тела со скоростью V из точки О пред­

ставляется прямой К), как показано на рис. 14.5.2а. Траектория же тела, приближающегося к началу отсчёта О со скоростью V из точки с коорди­натой х, представляется прямой К2 (рис. 14.5.26).

Рис. 14.5.2: а — траектория К\ тела, удаляющегося от начала отсчёта 0\ б — траектория Ki тела, приближающегося к началу отсчёта О

ct c t' x = ct

Рис. 14.5.3. Расположение координатных осей системы отсчёта 5' (*', ct') по отноше­нию к осям системы S (дс, ct)

Угол в\ образуемый траекторией К\ с осью ординат ct, определяется из того условия, что x = Vt, т.е. tg 6 = V/c. Для траектории К2 та­кой же угол отсчитывается в противоположном направлении от вертикали.

Рассмотрим систему отсчёта S\ движущу­юся со скоростью V относительно системы S. В этой системе также можно выбрать координат­ные оси (х \ ct'). Используя преобразования Лоренца (14.4.6), нетрудно установить уравне­ния этих осей в системе S :

253

- ДЛЯ ОСИ X ' (т.с. /' = 0),

- для оси /' (т.е. х = 0).

Эти оси расположены симметрично относительно траектории светового луча x = ct (рис. 14.5.3).

Рассмотрим с помощью (х-/)-диаграмм процедуру измерения време­ни. Часы, покоящиеся в системе S', движутся вдоль оси ct\ За время изме­рений часы проходят путь х = Vt. Поэтому интервал между событиями, отражающими показания часов в два последовательных момента времени, равен

Ct' = yl(ct)2 - х 2 = c ty l\-(V /c )2.Отсюда вытекают формулы (14.5.1), (14.5.2).

Vct - — х ссct = —хV

Рис. 14.5.4. Измерение длины стержня, движущегося относительно системы отсчёта S. Стержень показан жирной линией. Он все время параллелен оси х' системы S'. Контрольные события, состоящие в нахождении правого (I) и левого (2) концов стержня в точке x = L системы Sу показаны с точки зрения системы S на рис. 14.5.4а и с точки зрения системы S' на рис. 14.5.46

Аналогичным образом с помощью диаграммы можно определить ре­лятивистское сокращение длин, если задать процедуру измерения так, как это было сделано в разделе 14.4.3. На рис. 14.5Ма показано движение стержня (покоящегося в системе S') относительно неподвижной системы отсчёта S. Контрольные события 1 и 2 состоят в прохождении правым (1) и левым (2) концами стержня точки х = L системы S. С точки зрения си­стемы S эти события показаны на рис. 14.5.4а, а с точки зрения системы S' — на рис. 14.5.46. В системе S интервал между этими событиями равен

QAs = — L . В системе 5" тот же интервал равен

254

Приравнивая два полученных выражения для интервала, найдём извест­ную формулу для лоренцева сокращения длины движущегося стержня:

L = L0J \- (V /c )2 .

14.6. Эффект Доплера

Эффектом Доплера называется изменение частоты со (или длины волны Я) сигнала, регистрируемой приёмником, когда источник колеба­ний и приёмник движутся относительно друг друга.

Эффект предсказан X. Доплером1 в 1842 г.14.6.1. Продольный эффект Доплера. Пусть источник, приближаю­

щийся к приёмнику со скоростью V, посылает сигналы через одинаковые промежутки времени Т0 по собственным часам. Найдём интервалы време­ни Т по часам приёмника, разделяющие принимаемые сигналы.

Допустим, что первый сигнал был послан в момент /„ (по часам при­ёмника). Если расстояние между источником и приёмником равно /,, то сигнал достигнет приёмника в момент /| = /H+ L /c . Если второй сигналбыл испущен в момент /н + Гь то за время Т\ источник пройдет расстояние AL = VT\, и свету потребуется время (L -A L )/c , чтобы достичь приёмни­ка. Поэтому второй сигнал будет принят в момент

h - * н +71 +L -A L

- М ' - 7 Ь Ч - 7 >Промежуток времени между двумя принятыми сигналами составит

г = ' » - ' , = Ч 1 - 7 }

Промежуток времени Т0 между отправлением двух последовательных сигналов (по часам источника) связан с соответствующим промежутком Т\ (по часам приёмника) соотношением

То

y ll -V 2 /c 2Следовательно, связь промежутков времени Г0 и Т принимает вид

1 - V icТ =л/ь- V 4 c l 4

- V ic + V!c

Т(\. (14.6.1)

Если передаваемый сигнал является периодическим с периодом Т0 и ча­

1 Христиан Доплер (Ch. Doppler, 1803-1853) — австрийский физик, математик и астроном. Работы посвящены аберрации света, теории микроскопа и теории цветов. В 1842 г. теорети­чески обосновал зависимость частоты световых и звуковых колебаний, принимаемых наблюдателем, от скорости движения источника или наблюдателя.

255

стотой щ = 2я/Го (в собственной системе отсчёта), то частота принима­емого сигнала со = 2л/7 окажется равной

ll + V /c /1у1^ ч= ( }

Таким образом, регистрируемая частота сигнала от источника, при­ближающегося к приёмнику, увеличивается. Это явление называют фио­летовым смещением. Если же источник удаляется от приёмника, то заме­ной V —»-V получается формула

I l - V/ Cсо = con л ---------- . (14.6.3)UVl + K /c

Такое уменьшение частоты называют красным смещением.Соотношения (14.6.3), (14.6.4) описывают сдвиг частоты принимае­

мого сигнала для случая, когда волна распространяется вдоль оси х, па­раллельно которой движется и источник. Соответствующее явление назы­вается продольным эффектом Доплера.

14.6.2. Эффект Доплера па (х-4)-диаграмме. Эффект Допплера допускает наглядную интерпретацию на (лг-/)-диаграмме (рис. 14.6.1). Пусть источник световых сигналов («космический корабль» К) удаляется от приёмника (от «Земли») со скоростью V. Рассмотрим два последовательных световых импульса /\ и /2, испущенных кораблем по направлению к Земле. Траектории этих импульсов представляются на (*-/)-диаграмме прямыми, идущими от траектории корабля к оси ct в направлении убывания координаты х и возрастания времени Л Эти траектории образуют угол в 45° с осью ct.

Рис. 14.6.1. Геометрическая интерпре­тация продольного эффекта Доплера для случая источника, удаляющегося от приёмника. К — траектория корабля, tg# = F/c, /| и /2 — два последователь­ных световых импульса, испущенных с корабля К в сторону Земли

Как видно из рис. 14.6.1, промежуток времени между испусканием импульсов равен (/н + 7 ])—/н = 7 j. Промежуток же времени между приёмом сигналов на Земле равен (/j + T )—t\ = 7 . Рассмотрим на рисунке прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой,

256

обозначенной как 1\. Его катет, показанный штриховой линией, имеет длину

t\ -t» ='„tg<9 => /, = /H(l + tg<9). (14.6.4)Аналогично, для треугольника с гипотенузой 12 горизонтальный катет имеет длину

(ti + T)-(t,{+Ti) = (tH+Ti)tg0 => /l + r = (/H+7JXl + tg^). (14.6.5)

Исключая в (14.6.4) величину t\ с помощью (14.6.:5), находимr = 7](l + tg0) = 7i(l + F/<:), (14.6.6)

где учтено, что tgв - К/с.Учтём теперь релятивистское замедление течения времени в

движущейся системе отсчёта: 7] = Т0/ ф - У 2/с2 . Подстановка этогосоотношения в (14.6.6) приводит к формуле

т -т \х + ¥/с (14.6.7)

описывающей эффект Допплера для случая удаляющегося источника сигнала.

Аналогичным образом рассматривается эффект Допплера для случая приближающегося источника.

14.6.3. Поперечный эффект Доплера. Пусть теперь сигнал распро­страняется перпендикулярно траектории источника. Тогда изменением расстояния между источником и приемником можно пренебречь, а лорен- цево изменение промежутков времени нужно учитывать по-прежнему. Соответственно вместо формулы (14.6.7) мы должны использовать равен­ство

Т =1

\J \-V 2/с 21О> (14.6.8)

и для наблюдаемой частоты сигнала получается формула

a> = a>0J l ~ . (14.6.9)

Это соотношение описывает поперечный эффект Доплера. Данное явле­ние невозможно в классической механике и отражает релятивистский эф­фект замедления хода движущихся часов.

14.6.4. Эффект Доплера при распространении сигнала под углом к траектории источника. Пусть источник сигнала движется по прямой линии со скоростью v , причём в некоторый момент времени направление на приемник составляет угол (р с направлением скорости (рис. 14.6.2). Найдём частоту принимаемого сигнала для этого случая, считая, как и

2 5 7

выше, частоту сигнала, испускаемого приемником (по его собственным часам) равной со .

Ист. у

Пр.

О

Рис. 14.6.2. К эффекту Доплера при наличии угла между траекторией источ­ника и сигнала

Ответ можно написать сразу, если учесть, что скорость сближения ис­точника и приемника равна

V = i7cos#>. (14.6.10)Тогда по формуле для продольного эффекта Доплера находим

со = со*\ V \ v 1 — 1 — cos <р

с с

(14.6.11)

где <у0 — частота испускаемого сигнала в системе отсчёта приёмника. Для перехода к часам приёмника следует заменить

м ^

Окончательно получаем

J \ - v 2/c 2й) = ±--------— со*. (14.6.12)

f V и* 1 — cos ср

сВ частных случаях ? = 0 и ср = п/2 отсюда следуют известные формулы для продольного и поперечного эффекта Доплера:

со соо> со\1<у?=/г/2 м у2 "о-

Общую формулу (14.6.12) можно получить и непосредственно, рас­сматривая распространение сигнала от источника к приёмнику (рис. 14.6.3).

Пусть источник испускает первый импульс в момент / = 0, когда он находится на расстоянии L, = L от приёмника. Сигнал будет принят в момент

/, = L/C.

258

Второй сигнал испущен через время dt после первого. За это время источ­ник сместится вдоль трассы на расстояние vdt. Поскольку расстояние у не меняется, то

у = x tg ^ = const.

Расстояние от источника до приёмника в момент испускания второго сиг­нала составит

L2 - yj(x + vdt)1 2 л-у2 - у]х2 + 2vxdt + y 2 - yfl? + Ivxdt « L + — dt.Lt

Соответственно, второй сигнал достигнет приёмника в момент

Интервал времени между приёмом двух последовательных сигналов со­ставляет

Учтём теперь, что согласно рис. 14.6.3 х/ L = -zos(p (на рисунке коорди­ната х отрицательна, и источник приближается к приёмнику). Поэтому

t2 = l - - c o s # ? \dt.

Для частот сигнала, испущенного источником и принятого приёмником, получается обратное соотношение:

1 — со$(р с

Наконец, переходя к часам источника, полу­чим

Рис. 14.6.3. К расчёту эффекта Доплера. На рисунке источник находится в точке с отрицатель­ной координатой х, а угол (р меньше л7 2

что совпадает с выражением, полученным выше из качественных соображений.

На рис. 14.6.4 показана зависимость частоты принимаемого сигнала от угла ср. Слева — область приближения, справа — область удаления источника.

с

259

Рис. 14.6.4. Зависимость принимаемой частоты сигнала от угла определяю­щего направление на источник, v = 0,6с. Штриховой горизонтальной линией показан момент, когда частоты прини­маемого и испускаемого сигналов сов­падают

Как видно, момент совпадения частот испускаемого и принимаемого сигналов имеет место на участке сближения (слева на рис. 14.6.4) и наблюдается при угле ср9 определяемом из равенства

сcos (р = -

V

\

У

В частности, при V с отсюда находим: cos(р = vj2с , что соответствует углам, близким к /г/2 .

Наконец, заметим, что максимальное и минимальное значения часто­ты принимаемого сигнала наблюдаются соответственно при ср = 0 и при

(р = п и составляют

_ /I + и/с _ II -у /с max i x - v / c ’ m i" ]jl + v/c'

14.6.5. Нерелятивистский эффект Доплера. До сих пор мы предпо­лагали, что сигнал передаётся импульсами света. Однако эффект Доплера имеет место и тогда, когда в качестве сигнала используются не световые импульсы, а, например, звук. В этом нерелятивистском случае не нужно производить пересчет времени между движущейс^и неподвижной систе­мами отсчета, и мы получаем

<у = ---- ^ -----. (14.6.13)1 V1 — cos <р

S

Здесь s — скорость звука. Очевидно, что со = со0 при ср = /г/2, а также

лй> = Й>тах = Т 7 ф ПР И ^ = 0 >

® = a\nin =ТГТ при <р = п-1 + V / S

(14.6.14)

260

Наконец, отметим, что во многих случаях скорость движения источ­ника мала по сравнению со скоростью распространения сигнала: v «: s. В этом пределе формулы (14.6.14) упрощаются:

<У,шх = < Ц )(1 + г > А ), <ymin =щ (\ -v/s) .Таким образом, в зависимости от направления распространения сигнала по отношению к приёмнику наблюдаемая частота меняется в диапазоне

- v- s ^ - < v- . (14.6.15)s со0 S

14.6.6. Видимая (кажущаяся) скорость объекта. Задержка между отправлением и приёмом сигнала может приводить к парадоксальным результатам. В качестве примера рассмотрим следующий эффект.

Пусть источник приближается к приёмнику со скоростью V (рис. 14.6.5). Найдем видимую (кажущуюся) скорость источника.

Пусть начальное расстояние между источником и* приёмником равно Lq. В момент /0 (по часам приёмника) источник испускает первый сигнал. Этот сигнал достигнет приёмника в момент

/| = /0 + А )/с -Второй сигнал посылается источником в момент t0 + г, а достигает при­емника в момент времени

t'y ~ tri + г + к -V * = / .+ 1 г.

Промежуток времени между двумя принятыми сигналами составляет

DИсточник Приёмник

14.6.5. К определению видимой кажущейся скорости движуще­гося объекта

Поскольку за время наблюдения источник сместился на расстояние Ах = Иг, то наблю­даемая (кажущаяся) скорость оказывается равной

^набл_Ах_

Ч р

V\-V /c

Из полученной скорости следует, что если источник движется со ско­ростью И = 0,5с, то кажущаяся скорость составляет ^ 1абл = с * Если жеК = 0,8с, то И||абл=4с. Таким образом, видимая скорость космических объектов может превышать световую. При этом реальная скорость не мо­жет превышать скорости света.

Заметим, что при изменении знака скорости (т.е. при рассмотрении удаляющегося объекта) наблюдаемая скорость всегда оказывается меньше скорости света:

261

Vнабл

Ах

A Lпр 1 + V/c■<с.

Отсюда следует, что при прохождении источника мимо наблюдателя по­следний регистрирует значительные ускорения, никоим образом не свя­занные с реальными.

14.7. Принцип относительности ЭйнштейнаПриведём две формулировки принципа относительности.1 . Bce физические явления (механические, оптические, электромаг­

нитные и прочие) при одинаковых начальных условиях протекают одина­ково во всех инерциальных системах отсчёта1. Иными словами, ни в ка­ком опыте невозможно установить, движется данная инерциальная систе­ма отсчёта или покоится.

2. Все законы механики и электродинамики сохраняют свой вид во всех инерциальных системах отсчёта, т.е. являются ковариантными отно­сительно преобразований Лоренца.

Понятие «ковариантность» является обобщением понятия «инвари­антность» и означает, что величины должны преобразовываться при из­менении системы отсчёта по определенным законам (подобно тому, как при повороте координатных осей проекции векторов на эти оси меняются по известным правилам).

14.8. 4-мерное пространство-время14.8. L Метрика. Для математической формулировки принципа отно­

сительности и построения релятивистской динамики оказывается удоб­ным перейти от описания временной динамики процессов в 3-мерном пространстве к их описанию в 4-мерном пространстве, или (3+1 )-пространстве-времени.

Пусть в точке с координатами (х, у , z) в момент времени / произошло некоторое событие А , которое будем называть мировой точкой и условно записывать А(/, х, у , z). Совокупность чисел (/, х, у , z) будем называть координатами мировой точки, тем самым вводится 4-мерное простран­ство, координатами в котором являются время и три пространственные координаты. Рассматривая две мировые точки в этом пространстве

1 Этот принцип впервые сформулирован французским математиком, физиком и философом Анри Пуанкаре (Н. Poincare, 1854-1912) в 1895 г. В 1905 г. Пуанкаре независимо от Эйн­штейна заложил основы специальной теории относительности. Ввел термин «преобразова­ние Лоренца». Построил первый вариант релятивистской теории гравитационного поля.

262

Ax( t,x ,y ,z ) и A2(t + d t,x + dx,y + d y ,z+ d z\ можно ввести расстояние между ними, или метрику:

ds = ^ c 2dt2 - dx2 - dy2 - d z 2 , (14.8.1)представляющее собой введённый ранее интервал. Для событий, разде­лённых 3-мерным расстоянием dl, равным пути светового луча за время dt, т.е. dl = cdt, интервал обращается в нуль: яЬ = 0 .

Смысл определения (14.8.1) состоит в том, что при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой интервал не меняется подобно тому, как в 3-мерном пространстве расстояние между двумя точками не меняется при произвольных поворотах систем координат. Отличие 4-мерного пространства от 3-мерного состоит в том, что в класс допусти­мых преобразований включаются, помимо 3-мерных поворотов, переходы между системами, движущимися относительно друг друга.

14.8,2. Псевдо евклидово пространство. Формула для интервала, записанная в виде

ds2 =c2dt2 - d x 2 - d y 2 ~dz2, (14.8.2)есть аналог теоремы Пифагора, в котором, однако, величины

dx2, dy2 и dz2 входят со знаком «-», тогда как с «правильным» знаком

«+» входит только c2dt2. Поэтому такое пространство называют псевдо- евклидовым, в отличие от евклидова пространства, когда все квадраты

2 ^ 7 7длин входят со знаком «+» ( dl =dx +dy +dz ). Это пространство вве­дено в теорию относительности Г. Минковским1 и поэтому часто называ­ется пространством Минковского.

Преобразования Лоренца устанавливают закон, по которому четверка чисел (ct, х, у , z) преобразуется при переходе от одной системы отсчёта кдругой. При этом величина ds2 остается неизменной, т.е. является инва­риантом.

14.8.3. 4-скаляры и 4-векторы. Физические объекты не зависят от то­го, из какой системы отсчёта они рассматриваются. Однако от этого могут зависеть числовые характеристики, которыми эти объекты описываются. Например, компоненты радиус-вектора и вектора скорости меняются при переходе от одной системы отсчёта к другой.

Если какая-либо величина Q не зависит от выбора системы отсчёта, т.е. является инвариантом, то она называется скаляром, или, кратко,

1 Герман Минковский (Н. Minkowski, 1864-1909) — немецкий математик и физик. В 1908 г. выдвинул идею об объединении времени и 3-мерного пространства в одно 4-мерное про­странство, в котором выполняются законы псевдоевклидовой геометрии.

263

4-скаляром. Примеры скаляров: число частиц в механической системе, заряд электрона, скорость света.

Подобно случаю 3-мерного пространства определим 4-мерный ради­ус-вектор а как вектор в 4-мерном пространстве, однозначно характери­зующий положение мировой точки. Это значит, что проекциями вектора а на координатные оси являются четыре числа:

сг = (с/, х9.у, z) = (ct, г ).Первая компонента этого вектора записана как ct с тем, чтобы все компо­ненты имели одинаковую размерность (т.е. размерность длины).

4-вектором является и приращение вектора аdcг = (cdt, dx9 dy9 dz) = (cdt9 dr).

В общем случае четыре числа А = (Ап Ах, Ayi Az) образуют 4-мерныйвектор, или, кратко, 4-вектор, если при переходе от одной системы от­счёта к другой они преобразуются так же, как компоненты вектора о = (ct, л:, у , z) (или его приращения d a - (cdt;dx9 dy9 dz) ):

4 =At Ax

V2/c 2• A ' - ■ > Лх —

Ax - ~ A tc

y l l -V 2/c 2, A '= A V, A'Z =AZ. (14.8.3)

Величина А, называется временной компонентой, а величины (Ax, Ay, Az) — пространственными компонентами 4-вектора. Соответ­

ственно 4-вектор иногда удобно записывать в форме А = (Лп А ), где

А = (Ах , Ау , Л2) — трёхмерный вектор.

Скалярное произведение векторов А и В определяется формулойАВ = AtBt - A xBx - A yBy - A zBz = А,В, - АВ. (14.8.4)

В частности, скалярный квадрат 4-вектора, подобно интервалу, равенА2 ■■= А,2 - А2 - А2- А2 = А2 - А 2. (14.8.5)

С помощью формул (14.8.3) легко проверить, что к!к АВ, так и А2 — это инварианты относительно преобразований Лоренца, т.е. 4-скаляры:

АВ = А'В', А2 =А'2.Отметим, что произведение 4-вектора на 4-скаляр есть 4-вектор. Используя 4-мерные величины, можно сформулировать законы, кото­

рые удовлетворяют принципу относительности. Если, например, в неко­торой системе отсчёта закон имеет вид F = Q, то для его ковариантностинеобходимо, чтобы обе стороны равенства преобразовывались одинаково при переходе от одной системы отсчёта к другой. Это значит, что обе сто­роны равенства должны быть либо 4-скалярами, либо 4-векторами, либо

264

4-тензорами. Таким образом, задача сводится к нахождению необходимых 4-мерных объектов.

14.8.4. 4-мерная скорость. Вектор 4-скорости и = (г/,, wv, uv, и .)

определяется соотношениемda ( cdt dx dy d z\ ( dt dr \ /t . 0и = — = 1 — , — , — , — \ = \ c — , — . (14.8.6)ds V ds ds ds ds) \ ds ds)

Здесь ds — элементарный интервал, а смещение dr происходит за время dt. Такое определение связано с тем, что величина ds пропорциональна собственному времени движущегося объекта: dr = ds/c и является инва­риантом.

Поскольку da — 4-вектор, a ds — скаляр, то набор величин (un ux,Uy,uz ) преобразуется так же, как компоненты 4-вектора da,, и,

следовательно, также образует 4-вектор. 4-скорость является безразмер­ной величиной со скалярным квадратом, равным

2 d a 2 c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2 лu = — =------------- ------------= 1ds~ ds2

(поскольку d a 2 =ds2).Используя для интервала формулу

ds = \lc2dt2 - dr2 - cdt • y ] \-v 2/c 2 , (14.8.7)

где \ = dr/dt — обычная 3-мерная скорость материальной точки1, пере­пишем выражение для вектора 4-скорости в виде

1___________ V

^yj\-V 2/с 2 с у ] \ - v2/ с 2 ,(14.8.8)

14.9. Релятивистская динамика

Используем введённые выше 4-мерные объекты для построения реля­тивистской динамики.

14.9.1. 4-импульс. Естественным обобщением 3-мерного импульса при переходе к 4-мерному пространству является 4-вектор

р = т0си, (14.9.1)где т0 — некоторая константа размерности массы, а и — 4-скорость. Компоненты 4-вектора р равны

1 Отметим здесь, что в отличие от скорости инерциальной системы отсчёта, которую мы обозначали символом V и которая должна быть постоянной, скорость тела v может меняться со временем.

265

т«с wnv

\ / \ - v 2I с2 л/ l - u 2 /с 2(14.9.2)

Если скорость материальной точки мала, г;« сс , то пространственные компоненты вектора р совпадают с компонентами обычного (нереляти­вистского) импульса р = т\. Поэтому в релятивистской механике есте­ственно определить 3-мерный импульс формулой

р = Т = = = Т . 04.9.3)y } \-v 2/с 2

Величина w0 называется массой материальной точки. В дальнейшем для упрощения записи формул будем использовать вспомогательную величи­ну1

т s m(v) - (14.9.4)> / Iv / с

Эту величину иногда называют «релятивистская масса», а массу т{) — «масса покоя». Ниже будет показано, что m(v) связана с полной энергией

тела Е соотношением m{v) = £*/с2 .

С использованием функции m(v) 4-вектор р кратко записывается в виде р = (тс, т\), а 3-мерный релятивистский импульс — как р = т\.

Как и для всякого 4*вектора, для вектора р инвариантом является ска­лярный квадрат, причём из (14.9.2) легко найти, что

или

14.9.2. 4-вектор силы. Для выяснения смысла временной компоненты 4-импульса рассмотрим релятивистское обобщение второго закона Ньютона. *

По определению сила есть причина изменения импульса. Поэтому по аналогии с классической механикой можно ввести 4-вектор силы:

' р1 = Р ? -Р 2 = '«о<Л (14.9.5)

(тс)2 - р 2 = т^с2. (14.9.6)

dp du8 = Т = тос - Г : ds ds

1 d(mc) 1 dp

\Cy j\ - v 2 /с 2 d* c y /l-v 2 / с2 dt(14.9.7)

1 Для величины m(v) раньше использовалось название «релятивистская масса», а для массы т0 — «масса покоя». В настоящее время такая терминология не используется. Ниже будет показано, что величина m(v) связана с полной энергией тела.

266

Здесь использована формула (23) для интервала ds. Введем обычную (3-мерную) силу соотношением

F = dp/dt. (14.9.8)Согласно (14.9.6)

откуда следует

2 dm dp тс — = р — , dt V dt

dm 1 р dp 1 dp 1 „с — = - —— = - v — = -I<v. dt c m dt c dt c

Таким образом, мы приходим к следующему выражению для вектора 4-силы:

£ =Fv

(14.9.9)\ C 2 y j ] - V 2 / с 2 с ф - v 2 1 с2 )

Отсюда видно, что пространственные компоненты этого вектора пропор­циональны обычной (3-мерной) силе F, а временная компонента — мощ­ности силы Q = F\ (т.е. работе, совершаемой силой в единицу времени).

14.9.3. Уравнение движения релятивистской частицы. Найдём ускорение a = dv/dt, приобретаемое материальной точкой под действием заданной силы F.

Учитывая зависимость импульса р от скорости, перепишем уравнение (14.9.8):

dt ф - v 2/c= F.

Выполняя здесь дифференцирование, получим

тп Ы / с

ф - v - l c 2 ^ l - v 2/ c 2f= F. (14.9.10)

Решим это уравнение относительно ускорения а. Умножим левую и правую части скалярно на v:

„,2т0

ф - у 2/сva + -

va

'2 1 - v 2/c- Fv или va

mn W /

Подставляя найденное значение va в (14.9.10), получимтп а

ф - v 2/c 2= F - - ^ v ( F v ) . (14.9.11)

2 6 7

Таким образом, ускорение, приобретаемое телом, в общем случае не параллельно приложенной силе. Оно зависит от величины и направления скорости тела.

Пусть сила действует вдоль направления скорости тела. Тогда v(Fv) = Fv2 и из (14.9.11) следует:

Л7ца = F, =

Если же сила направлена перпендикулярно скорости тела, то Fv = 0 и из(14.9.11) находим

т± а = F, т± =<J\-v2/c 2

В этом последнем случае скорость тела не меняется. Это непосредственно следует из равенств:

Fv = 0 => т±а\ = 0 => \ d \ = 0 => v 2 = const.

Величины W|| и m , называют соответственно «продольной» и «по­

перечной» массами. Таким образом, инерционные свойства тела зависят как от его скорости, так и от направления действия силы и не определя­ются только значением «релятивистской массы» m(v). Заметим в этой свя­зи, что в ньютоновской механике масса являлась постоянной величиной (и совпадала с «массой покоя») и полностью характеризовала инерцию тела.

14.10. Энергия в релятивистской механике

14.10.1. Кинетическая энергия релятивистской частицы. Найдём кинетическую энергию тела. Работа силы F на пути dr за время clt равна

dA - Fdr = F\dt = \ — dt = — ф .dt m

Воспользуемся введённым ранее обозначением m(v) = т0/ y j \ - v 2/ c 2. Выполним следующие преобразования:

dA = - - ф =1

m(v) 2т(у) 4>2)= 2 т(у)

( О 'У \трУ-

\ - v 2/c 2

2 m(v)тпс

1 - v 2/c-т \с 2 \ = ^ ^ d { m 2(v)c2} = c2dm{v).

Таким образом, для элементарной работы dA находим

268

dA = — d\) = c2dm . m

Следовательно, кинетическая энергия тела, имеющего скорость v, равна

К = тс2 -т $с2 (14.10.1)

(использовано начальное условие: К = 0 при v = 0). Явно зависимость

K(v) имеет вид

* ( р )= , W° f , -Щ С2. (14.10.2)VI -V 2/с 2

При малых скоростях движения v<zc выражение (14.10.2) переходит в классическое:

Г/ •> > 21 ~ ЩС2

+>

______1

м_ mv

j l - v 2/c 2 2

14.10.2. Полная энергия и энергия покоя. Величина

£ = - r 3 L = » m c 2 (14.10.3)

называется полной энергией тела, а величина = т$с2 — энергией по­коя. Таким образом, полная энергия складывается из кинетической энер­гии и энергии покоя:

Е = mQc2 +K(v). (14.10.4)В соответствии с (14.10.3) временная компонента 4-импульса (14.9.2)

связана с полной энергией тела соотношением р, = Е/с. Кроме того, вве­денная соотношением (14.9.4) величина m{v) есть

т(у) = е / с2 , (14.10.5)что и определяет её физический смысл — полная энергия, измеренная в единицах массы.

Наконец, из формул (14.9.3), (14.10.3) можно найти скорость тела, ес­ли известны его импульс и полная энергия:

v = с2 РЕ

(14.10.6)

Если тело (частица) имеет массу т0 = 0, то его энергия и 3-импульс свя­заны соотношением

Е = с |р |, (14.10.7)а скорость равна v = с. Примером таких частиц являются фотоны (кванты света). Аналогичное соотношение имеет место и для частиц ненулевой

269

массы (m0 ф 0), движущ ихся со скоростью, близкой к световой, т.е. при

условии

( c - v ) / c c 1, или | р | с » / я 0с2.14.10.3. Связь энергии и импульса. Исключая из соотношений (14.9.3)

и (14.10.3) скорость v частицы, получим

Е 2 - р 2с2 =(т0с2)2 (14.10.8)ИЛИ

£ = J p V + m 0V . (14.10.9)К равенству (14.10.8) можно прийти и на основании следующих сооб­

ражений. В соответствии с определением 4-импульса (14.9.2) компоненты 4-вектора р в (14.9.6) имеют вид

p = (m(v)c,p). (14.10.10)

Имея в виду связь полной энергии и скорости (14.10.3), перепишем этовыражение в форме

р = (Е/с, р). (14.10.11)Скалярный квадрат этого вектора — инвариант — даётся формулой(14.9.6):

(Е/с)2 - р 2 =(т0с)2,что, очевидно, совпадает с (14.10.8).

14.10.4. Преобразование энергии и импульса при переходе от одной системы отсчёта к другой. В соответствии с общими формулами (14.8.3), применёнными к 4-вектору (14.10.11), имеем:

£' =E -V P y

V i- УЧс*Рх =

„ - L FPx 2 ^

C

y l \ - v 2/c :p'y = Py> p'z = Pz- (14.10.12)

Обратные преобразования имеют аналогичный вид, где только знак скорости изменён на противоположный: *

Е =Е' + УР’

■y/l - V2 I с2Рх =

уР 'х + ^Е 'с

s l \ - v 2lc 2> Ру = Ру, Pz = p'z- (14.10.13)

Заметим следующее. Поскольку вектор скорости V направлен по оси jc, закон преобразования энергии может быть переписан в виде

Е' + УР' Е - VP

4 \ - V 2! c2 ’ -Jl — V2/с 2 ’не связанном с выбором конкретной системы координат.

(14.10.14)

270

Соотношения (14.10.12) - (14.10.14) справедливы как для отдельной частицы, так и для системы частиц. В последнем случае величины р и Е — это полные импульс и энергия системы.

Поскольку р = (£ /с , р) — 4-вектор, то ему отвечает инвариант:

I = Е2 - р 2с 2 = inv. (14.10.15)

14.10.5. О законах сохранения энергии-импульса. Из(14.10.11), (14.10.9) видно, что компоненты.4-вектора/? не являются неза­висимыми: временная компонента р, однозначно выражается через про­странственные компоненты р. Это значит, что имеются только три неза­висимых закона сохранения. В качестве таковых можно выбрать закон сохранения 3-импульса, после чего закон сохранения энергии будет вы­полняться автоматически.

Часто в качестве сохраняющейся величины удобно использовать ин­вариант вектора 4-импульса (14.10.15). Для частицы с массой т0 этот ин­вариант равен (т0с2)2.

Пример. Найдём минимальную кинетическую энергию сталкиваю­щихся протонов, при которой возможно рождение протон-антипротонной пары:

р + р -> р + р + р + р.Минимальная энергия требуется в том случае, когда после реакции

все четыре частицы в ЛС будут лететь вместе как одно целое, а в СЦИ — покоиться. В этом случае кинетическая энергия сталкивающихся прото­нов не будет расходоваться на кинетическую энергию относительного движения продуктов реакции.

Пусть сначала один протон покоится, а другой налетает на него с ки­нетической энергией К. Для движущегося протона его полная энергия

2Е\ = т0с + К и импульс р связаны соотношением

(т0с2 + К)2 ~(рс)2 =(т0с2)2. (14.10.16)

Запишем инвариант 4-импульса системы сталкивающихся протонов:

/ Пач = (2w0c 2 + К)2 - (pc) ' . (14.10.17)2

Здесь Е = Ъщс + К — полная энергия, а р — суммарный импульс стал­кивающихся частиц. После реакции все четыре частицы летят вместе. Ин­вариант 4-импульса для них в ц-системе имеет вид

/ кон= ( 4 т 0с2)2. (14.10.18)

Исключая из (14.10.17) импульс р с помощью (14.10.16), найдём

271

(14.10.19)/ нач = (2т0с2 + К )2 ~[(т0с2 + К)2 ~(т0с2)2] == 4(т0с2)2 +2т0с2К.

В результате реакции инвариант не меняется: / нач = / кон. Поэтому, приравнивая (14.10.18) и (14.10.19), найдём

4(т0с2)2 +?.т0с2К = (4т0с2)2 или К = 6т0с2. (14.10.20)

Пусть теперь сталкивающиеся протоны летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. В этом случае суммарный импульс системы равен нулю, и мы имеем дело сразу с системой центра инерции. Инвари­ант системы до столкновения равен

1т ч=(2т0с2 +2К)2 .

Инвариант системы после столкновения равен / кои = (4 т0с2)2. Приравни­вая / нач и / ко||, находим

2К = 2т0с2. (14.10.21)Таким образом, вся суммарная кинетическая энергия сталкивающихся

протонов в этом случае идет на рождение покоящихся частиц (/?, р) из

расчета по т0с2 на каждую возникшую частицу.14.10.6. О начале отсчёта полной энергии. Следует подчеркнуть,

что энергия £ , входящая во временную компоненту 4-вектора р, опреде­лена однозначно и совпадает с полной энергией, в отличие от определения энергии в классической механике. Это обусловлено тем, что в противном случае правая часть соотношения (14.10.11) не образовывала бы 4-вектор.

К последнему результату можно также прийти на основании следую­щих рассуждений. Воспользуемся законом преобразования энергии и им­пульса при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой(14.10.12). При малых скоростях: V <к с преобразование импульса

„ - L f, Рх с2 Е У г .

Рх = - ? = = = = = ~ Р х ------2 Е’ Ру = Ру> Рг = Р-у1 \-У 21с2 <?

должно переходить в преобразование Галилея:

v' = v - V => p' = p - w 0V.2

Для этого необходимо, чтобы Е —> т§с при V —> 0. Это и указывает естественное начало отсчёта энергии.

14.10.7. Система центра инерции. Для многих расчетов удобно пользоваться системой отсчёта, в которой суммарный импульс всех ча­

272

стиц равен нулю. Эта система называется системой центра инерции (СЦИ), или ц-системой. Исходную же систему отсчёта, из которой ведёт­ся наблюдение, называют лабораторной системой (ЛС), или л-системой.

Найдём скорость СЦИ (S') относительно ЛС (5). Пусть полный им­пульс частиц относительно системы S равен р. Выберем ось х в направле­нии этого импульса. Тогда и скорость Усци направлена вдоль оси х. Вос­пользуемся законом преобразования (14.10.12):

, 1> ,-(У ^1сг)Е г

Отсюда Vcw =с2рх/Е . В векторном виде это выражение записывается

следующим образом:

Vcuh= c2p / e . (14.10.22)

В частном случае двух частиц, из которых одна, имеющая массу ni\{h дви­жется со скоростью v, а вторая, с массой /;72«, покоится, суммарный им­пульс системы (в ЛС) есть

Р = Р|

2а суммарная полная энергия равна Е = Е\ + /гь.ос • Поэтому скорость СЦИ даётся формулой

V =С2 ___ BJ____= v ____СЦИ L _ 2 г. *> ’Е\ + w20c Ех + т10с(14.10.23)

14.11. Слипание и распад частиц. Энергия покоя частицы

Рассмотрим процесс слипания двух одинаковых частиц с массами т0 (рис. 14.11.1). В системе центра инерции этот процесс приводит к образо­ванию покоящейся составной частицы (рис. 14.11.1а). Для нахождения её массы Mq рассмотрим тот же процесс в системе отсчёта, движущейся со скоростью (-и) перпендикулярно линии, соединяющей частицы (рис. 14.11.16). В этой системе образуется составная частица, движущаяся со скоростью и. Запишем скорости частиц:

= ~w2x = vx = 0;Wly = w2y = Vy - u’> (14.11.1)

w\ = wf = w2 + w2.

273

(а)

т° т° ЛУ0

(б)

£|(w) ^(w)

Рис. 14.11.1. а — столкновение и слипание двух одинаковых частиц в системе центра масс, б — то же в системе отсчёта, движущейся перпендикулярно линии, соединяющей частицы. |w,| = |w2| = w

Закон сохранения импульса системы для рассматриваемого случая имеет вид

Здесь pi и р2 — импульсы сталкивающихся частиц, Ex(w) — их полные

энергии, Е(и) — полная энергия составной частицы.Из последнего равенства в (14.11.2) следует, что полная энергия по­

коящейся составной частицы равна сумме полных энергий сталкиваю­щихся частиц:

(14.11.2)

При и —> О оказывается, что w -> v и Е -> М 0с2. Следовательно, массапокоящейся составной частицы равна

(14 11.3)

Рассмотрим теперь обратный процесс —2J распад частицы на два одинаковых осколка

(рис. 14.11.2). Кинетическая энергия о:кол- р ков равна

Рис. 14.11.2. Распад покоящейся частицы с массой Mq на два осколка с массами т0

Поскольку, согласно (14.11.3), М0с2 =2Еи

274

то

Отсюда видно, что максимальную кинетическую энергию можно полу­чить, если возникают осколки с массой т{) —> 0. Следовательно, величина

Е = М()с2

— это максимальное количество кинетической энергии, которое можно получить от покоящегося тела с массой М{). Соответственно, если тело движется, то от него можно получить энергию

£к„н = М 0с2 -2 т 0с2.

Хотя выше мы рассматривали распад одной частицы на две, анало­гичный результат получается и в случае распада на произвольное число частиц п > 2 .

Как следует из (14.11.3), масса составной частицы в общем случае оказывается больше суммы масс сталкивающихся частиц:

Таким образом, масса не является аддитивной величиной. Свойством ад­дитивности обладает полная энергия, и это свойство связано с законом сохранения энергии. Напомним, что в ньютоновской механике аддитив­ность массы и закон сохранения энергии являлись независимыми законами.

14,12.1. Принцип эквивалентности. Во многих случаях удобно рас­сматривать процессы в неинерциальных системах отсчёта (глава 11). При этом, однако, меняется форма второго закона Ньютона.

Выберем произвольную систему отсчёта S' с началом координат О и жестко связанными с ней координатными осями. В общем случае точка О движется со скоростью V0 и ускорением Vq . При этом сама система S'совершает вращение с угловой скоростью сэ. Как было показано в гла­ве 11, второй закон Ньютона для движения материальной точки относи­тельно системы S' записывается в виде:

1 Излагаемая ниже теория относится к случаю слабого гравитационного поля.

14.12. Некоторые вопросы общей теории относительности

275

(14.12.1)ин отн Fnocr Кб. "** Кор,

Fnocr =-^ин^о, Fu6 =-WHH[C0,[(0,r]]-m[d),r], F kop “ ~ 2 т ии ^ о т н ]*

Рассмотрим теперь другую ситуацию. Пусть на материальную точку А массы nig действует сила тяготения. Если источником силы тяжести

является материальная точка В массы А/, то сила притяжения даётся формулой

F* =GMm4 i* (14.12.2)

где г — радиус-вектор точки А относительно центра (точки В). При нали­чии большего числа гравитирующих масс нужно просуммировать силы, действующие со стороны всех источников:

Fif=mlfg, g = - Z ^ y L- - (14.12.3)/ Г; П

Наиболее существенным здесь является тот факт, что эта сила прямо про­порциональна массе рассматриваемой точки А.

Обратим внимание на то, что в уравнение второго закона Ньютона (записанное в инерциальной системе отсчёта)

тт a = F (14.12.4)входит масса, которая здесь обозначена тт и называется инертной мас­сой. Входящая же в закон Всемирного тяготения масса точки А обозначе­на и называется гравитационной массой.

Движение точки А под действием силы тяготения описывается урав­нением

mina = mHg. 4 (14.12.5)

В 1604-1609 гг. Галилей установил, что при свободном падении в грави­тационном поле все тела приобретают одинаковое ускорение. Это означа­ет, что для любого тела инертная и гравитационная массы совпадают: min =mg* Хотя точность опытов Галилея была невысокой, это факт был

позднее подтвержден Ньютоном в более тонких опытах с колебаниями маятников.

Утверждение о равенстве инерционной и гравитационной масс полу­чило название принципа эквивалентности.

276

Данное утверждение неоднократно проверялось экспериментально. В 1889-1908 годах Р. Этвёш1 в опытах с крутильными весами показал, что

A/w _ I min ~ I < 5 1 q-9 т mg

В 1964 г. Р. Дикке (R. Dicke, США) показал, что i\m/m < К Г 1 *, а в 1971 г. В.Б. Брагинский с сотрудниками (СССР) подтвердил справедливость

принципа эквивалентности с точностью Ат/т < 10” 12.Наглядно принцип эквивалентности можно продемонстрировать с

помощью модели, получившей название «лифт Эйнштейна». Представим себе лифт (неинерциальную систему отсчёта 5"), по какой-то причине начинающий свободно падать в однородном постоянном поле тяжести. Человек, находящийся в лифте, будет падать вместе с ним с тем же уско­рением (поскольку все тела в гравитационном поле приобретают одина­ковые ускорения) — сила тяжести для него полностью компенсировалась ускорением движущейся системы. Другими словами, состояние наблюда­теля в системе отсчёта, свободно движущейся в гравитационном поле, будет эквивалентно его состоянию в покоящейся системе в отсутствие поля. Это утверждение непосредственно следует из второго закона Нью­тона, записанного в системе отсчёта лифта:

waorn = w ( g -a ) = 0 .

Здесь учтена поступательная сила инерции (-w a), в которой ускорение лифта а равно ускорению g свободного падения человека.

В соответствии со сказанным можно дать вторую формулировку принципа эквивалентности: гравитационные силы эквивалентны силам инерции. Другими словами, в любой точке пространства молено устра­нить силу гравитации, переходя в подходящую неинерциальную систему отсчёта.

В общем случае такую компенсацию невозможно осуществить одно­временно во всем пространстве. Например, устранив поле в одном лифте, мы не можем одновременно устранить его в другом лифте, который пада­ет на другой стороне Земли (или вдали от Земли), где вектор ускорения силы тяжести окажется уже другим.

1 Роланд фон Этвёш (R. Eotvos, 1848-1919) — венгерский физик. Выполнил ряд исследова­ний по теории капиллярности, гравитации и геофизике. В 1888 г. сконструировал крутиль­ные весы, с помощью которых осуществил проверку принципа эквивалентности.

277

Из принципа эквивалентности следует, что при наличии гравитацион­ных полей теряется различие между инерциальными и неинерциальными системами отсчёта (по крайней мере, локально). Поэтому принцип отно­сительности может быть обобщен следующим образом: законы природы должны быть ковариантными относительно произвольных преобразова­ний координат (т.е. иметь одинаковый вид во всех системах отсчёта).

Принцип эквивалентности лег в основу эйнштейновской теории гравитационного поля, или общей теории относительности.

14.12.2. Нерелятивистский эффект Доплера для ускоренно дви­жущегося наблюдателя. Пусть наблюдатель (система отсчёта S') при­ближается к некоторой системе S со скоростью v. Предполагая J3 = v/c<z 1, можно пренебречь разницей хода часов, обусловленной ре­лятивистскими эффектами. Пусть из системы S навстречу наблюдателю посылаются световые импульсы с периодом Т. Изменение промежутка времени Т между принимаемыми в S' сигналами, обусловленное движе­нием приемника, составит

7,- = -— - * - Д . (14.12.6)Т Т н

Формула (14.12.6) отражает известный эффект Доплера, подробно рассмотренный в разделе 14.6.

Пусть теперь наблюдатель (система отсчёта S') движется с ускорени­ем а по направлению к источнику (системе отсчёта S или Земле). В начальный момент наблюдатель находился на расстоянии L от Земли. Его начальную скорость полагаем нулевой. Через время / скорость приёмника составит v = at. За это время свет пройдет путь, равный L - c t -c v /a .Отсюда v ^a L /c . Подставляя это выражение в формулу для эффекта До­пплера, найдём

(14.12.7)Т Т с2 .

14.12.3. Время в гравитационном поле. В силу эквивалентности гра­витационного поля и поля сил инерции можно в предыдущем рассмотре­нии считать, что наблюдатель покоится, но находится в гравитационном поле, вектор напряжённости которого g направлен противоположно уско­рению рассматривавшейся выше неинерциальной системы отсчёта: g = -a . Это означает, что должно наблюдаться изменение промежуткавремени между принимаемыми сигналами, причём

АГ . gr,2 Т ~ с2

(14.12.8)

278

Здесь r12 — радиус-вектор наблюдателя относительно источника,

| i*i 2 1 —L (рис. 14.12.1). В нашем случае gr,2 = > 0.

Источник Приёмник

Рис. 14.12.1. Определение скорости течения времени в гравитационном поле

Выше предполагалось, что гравитационное поле однородное. В слу­чае произвольного неоднородного поля разность показаний часов в точках 1 и 2 можно записать в виде

АТТ т\ с (1)

(14.12.9)

Этой формуле можно придать несколько иной вид, если заметить, что ве­личина

(2)<Р\-<Рг = \%dr (14.12.10)

( I )

есть разность потенциалов гравитационного поля1 между точками 1 и 2 . В тех областях пространства, где присутствует гравитационное поле, по­тенциал отрицателен, что означает наличие силы, притягивающей физи­ческие тела в эти области.

С учетом (14.12.10) формула (14.12.9) принимает вид

(14.12.11)т \ С

или

Т2 = 7]^1 + — — J. (14.12.12)

В частности, если гравитационный потенциал в точке 1 положить равным нулю ( ср\ = 0 ), то окажется:

1 Потенциал гравитационного поля — это потенциальная энергия тела, приходящаяся на единицу его массы.

279

Т2 =Т\ (14.12.13)

Обсудим смысл полученной формулы. В данной ситуации световые импульсы используются только для того, чтобы сравнить показания часов в разных точках пространства. Поэтому формула (14.12.13) связывает промежутки времени в двух различных точках пространства. При этом источник сигнала находится в области, свободной от полей, а наблюдатель (приёмник) — в области действия полей. С учётом этого смысл соотноше­ния (14.12.13) можно сформулировать так. Пусть имеются двое одинако­вых синхронных часов, покоившихся первоначально друг относительно друга. Если затем одни из них подверглись действию гравитационного поля (т.е. попали в ту область, где потенциал отрицателен: (Pi<0 \ то эти

часы отстанут от других, не испытавших воздействия поля: Т2 < 7].В качестве примера заметим, что идеальные часы, находящиеся на

вращающейся карусели, будут отставать от таких же, но покоящихся ча­сов. Оценим величину отставания. Пусть карусель вращается с постоян­ной угловой скоростью со. Учтём, что часы на карусели подвержены дей­ствию центробежной силы, т.е. находятся в эффективном гравитационном

поле с потенциалом (р - “ (сох г)2 = -^ с о 2г2. Поэтому согласно форму­

ле (14.12.13) показания часов на карусели Т2 и покоящихся часов Т\ будут связаны соотношением

Т, =71 1 -со2г2^ 2 с2

Чем дальше от центра карусели находятся часы, тем медленнее они идут.

В частности, при су = 1с” 1 и г = 3м находим АГ/Г = 0,5-10“’16. Ясно, чтозарегистрировать такой временной сдвиг очень трудно.

Изменение хода часов под действием гравитационного поля было за­фиксировано в экспериментах. Атомные часы помещали на самолет, ко­торый длительное время совершал полет на некоторой высоте h над по­верхностью Земли. Затем часы возвращали в лабораторию, где их показа­ния сравнивали с показаниями таких же часов, находившихся постоянно на Земле. Оказалось, что в полном соответствии с общей теорией относи­тельности летавшие часы уходили вперед по сравнению с покоившимися

на AT = {ghjс2)Т, где h и Т — соответственно высота и длительностьполета.

14.12,4. Гравитационное красное смещение. Явление уменьшения наблюдаемой частоты света, удаляющегося от массивного объекта, или

280

гравитационное красное смещение спектра, было предсказано Эйнштей­ном ещё в 1907 г. В 1924 г. этот эффект удалось наблюдать У. Адамсу1 в спектре спутника Сириуса — белого карлика Сириуса-Б. В лабораторных условиях это явление впервые наблюдали в 1960 г. в Гарварде Роберт Паунд и Гленн Ребка. Они использовали эффект Мёссбауэра2, позволив­ший с огромной точностью измерять спектры излучения и поглощения атомных ядер.

Исследовалось распространение света снизу вверх в башне длиной 22,5 м в поле тяжести Земли. Измеренное уменьшение частоты света со­

ставило всего Аса/со «2*10 -14 (с точностью около 10%). Впоследствии аналогичные опыты были проделаны с более высокой точностью.

Рассмотрим распространение света в статическом (неизменном во времени) гравитационном поле. Свет можно рассматривать как поток фо­тонов — квантов электромагнитного поля, имеющих энергию Е = hco, где со — частота света. Можно показать, что частота света со и, следовательно, энергия фотонов E = hco в статическом поле не меняются3. Поэтому в рассматриваемой ситуации речь не идёт об истинном изменении частоты света: можно говорить лишь об изменении частоты, измеряемой какими- либо приборами.

Можно доказать, что в гравитационном поле меняется не только ход часов, но и энергия тел, причём изменение энергии в зависимости от гра­витационного потенциала даётся формулой (в пределе слабых полей:

М « с 2):

Е((р) = Е0 (14.12.14)

Здесь энергия Е(ф) — это энергия тела, находящегося в гравитационном поле с потенциалом (р, относительно «лабораторной» системы отсчёта4, а £о — энергия тела относительно сопутствующей локально-инерциальной

1 Уолтер Сидни Адамс (W. Adams, 1876-1956) — американский астроном. Работы посвяще­ны спектральному исследованию звезд и Солнца.2 Рудольф Людвиг Мёссбауэр (R. Mflssbauer, 1929-3011) — немецкий физик-экспериментатор. Эффект Мёссбауэра, называемый также ядсрным ^-резонансом, состоит в том, что в твёрдом теле испускание и поглощение ^квантов атомными ядрами не сопровож- даётся изменением колебательной энергии тела, т.е. без отдачи. Этот эффект Мёссбауэр открыл в 1958 г., а в 1961 г. за это открытие был удостоен Нобелевской премии.3 Сохранение энергии есть следствие однородности времени при наличии статического потенциального поля.4 Термином «лабораторная система отсчёта» мы будем здесь обозначать наблюдателя, нахо­дящегося в той области пространства, где гравитационное поле отсутствует (<р= 0).

281

системы1. Утверждение (14.12.14) эквивалентно тому, что имеет место в случае ньютоновского гравитационного поля. В самом деле, полагая Е0 =тс2, найдём из (14.12.14), что для тела массы т энергия покоя

(включая потенциальную энергию в поле тяготения) равна Е = тс +mq>. Поэтому в области действия поля, где потенциал (р < 0, энергия тела по­нижается.

Согласно (14.12.14) фотоны, рождающиеся в областях пространства, где действует гравитационное поле с потенциалом <ру имеют частоту, равную

со{(р) = (о0 (14.12.15)

Здесь cqq — частота фотона, возникшего в аналогичном процессе, но толь­ко в отсутствие поля.

Пусть фотон испускается атомным ядром в точке 1, где действует гравитационное поле с потенциалом <р\. Обозначим его частоту

сс\ =бУ0(1 + ^ / с 2). Обладая этой частотой, фотон достигнет приёмника вточке 2. Однако в месте нахождения приёмника действует гравитацион­ное поле с потенциалом щ (рис. 14.12.1), и здесь рождались бы фотоны с частотой (0 2 - со0(\ + (р21 с2). Следовательно, относительная разность ча­стот фотонов составляет

Д*у _ (0\ -с о2 _(P\~(Pi

(О й)2 с1Если в точке рождения фотона 1 гравитационное поле сильнее, чем в

точке приёма 2 , то q\ <(р2\ о>\ <й>2 , и дошедший до приёмника фотон оказывается «более красным», чем тот, который родился бы в аналогич­ном эксперименте в точке 2. Для наблюдателя, принимающего сигнал в точке 2 , данное явление выглядит как уменьшение частоты фотона, уда­ляющегося от источника поля тяготения, или как*«красное смещение» частоты. Если бы, наоборот, фотон приближался к гравитирующему телу, то его видимая частота возрастала бы. Такое явление называется «фиоле­товым смещением» частоты2.

1 Так называется инерциальная система отсчёта, которая находится в рассматриваемой точке пространства, но покоится в данный момент относительно лабораторной системы.2 Этим явлениям часто дают не вполне корректное толкование. Например, в случае красного смещения говорят, что фотон теряет энергию, преодолевая гравитационное поле. Аналогич­но, по этой логике фотон, приближающийся к гравитирующему телу, увеличивает свою энергию. Хотя найденная в подобных рассуждениях величина смещения частоты оказывает­ся правильной, реальный же механизм смещения оказывается иным.

282

14.12.5. Парадокс близнецов (парадокс часов). Согласно формуле (14.4.10) время в системе отсчёта S\ движущейся относительно непо­движной системы S со скоростью V, замедляется по закону:

Т= ... 7.. ..... .. (14.12.16)• J \ - V 2 / c 2

Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть в некоторый момент времени на Земле родились близнецы. Один из них остался на Земле, а второй отправился в космический полет на ракете, летящей со скоростью V - 0,8 с. Через время Т - 25 лет (по земным часам) ракета вернулась на Землю. При этом согласно формуле (14.12.16) возраст близ- неца-путешественника составил всего V = 15 лет.

Этот же эксперимент можно рассмотреть с другой точки зрения. Со­гласно принципу относительности невозможно установить, какая из инерциальных систем отсчёта движется. Поэтому с равным основанием можно, казалось бы, считать, что путешествовал близнец, живший на Земле, а покоился близнец, находившийся в ракете. Тогда при их встрече соотношение возрастов было бы обратным: космонавт оказался бы старше своего брата-землянина. Это противоречие невозможно разрешить, оста­ваясь в рамках специальной теории относительности.

Для того чтобы близнецы встретились и сравнили свой возраст, один из них (близнец-космонавт) должен был бы сменить направление полёта на противоположное. В этой ситуации одна из систем отсчёта (S') пере­стаёт быть инерциальной. Как следствие, нарушается эквивалентность двух рассматриваемых систем.

Рассмотрим движения со скоростями, малыми по сравнению со све­товой: v<zc. Если рассуждать с точки зрения земного наблюдателя, то согласно (14.12.16) за время Т (по земным часам) на ракете пройдёт время Т\ равное

(Г = Т

V

V 2или Т - Т ' = Т — .

2с2

Если Т — полное время полета ракеты, a L — максимальное удаление ра­кеты от Земли, то, считая время ускорения малым, можем приближённо записать: Т - 2 L / V , так что

VIT - T ' = - f . (14.12.17)

с2Стадия поворота ракеты не меняет существенно этот результат, если предполагать ускорение достаточно малым.

283

Рассмотрим теперь тот же процесс, но с точки зрения космонавта. Ес­ли не учитывать сил инерции, мы получили бы, что на ту же величину (14.12.17) отстали земные часы:

VI( Т - П с г о = ~ (14.12.18)

с(индекс «СТО» указывает на то, что рассматривается инерциальная стадия полета, подчиняющаяся законам специальной теории относительности).

Учтём далее, что при развороте ракеты во всём пространстве «вклю­чается» гравитационное поле, эквивалентное полю сил инерции. При этом часы на ракете замедляют свой ход по сравнению с земными часами. В соответствии с формулой (14.12.12) имеем

Т = Т ' \ \ - ^ - Ц ^ у (14.12.18)

где <р9 -(p = -gL — разность гравитационных потенциалов между точка­ми нахождения ракеты и Земли, g — ускорение силы тяжести, равное по величине ускорению ракеты а. Таким образом, получаем

(7’- П ото= £ Г Г - (14.12.19)С

Здесь величины Т и V есть промежутки времени по часам Земли и ракеты соответственно, в течение которых ракета движется с ускорением. Индекс «ОТО» в (14.12.19) указывает на то, что рассматривается стадия движет ния, подчиняющаяся законам общей теории относительности. Предпола­гая, что разворот ракеты осуществляется с постоянным ускорением а, направленным к Земле, а скорость ракеты за это время меняется на 2 К, найдём время разворота: Т' = 2 Н/я. Тогда согласно (14.12.19) за это вре­мя земные часы уйдут вперёд на величину

( Т - П о т о = 4 — = (14.12.20)с а с1

С учётом (14.12.18) и (14.12.20) заключаем, что полпая разность хода зем­ных и ракетных часов оказывается равной

VLТ - Г = ( Т - Г ) сто +( Т- Т')ото = — . (14.12.21)

сЭта величина в точности совпадает с величиной (14.12.17), полученной с точки зрения земного наблюдателя.

Таким образом, парадокс близнецов возникает из-за неправомерного применения специальной теории относительности к ситуации, где дей­ствуют законы общей теории относительности.

14.1.2.6. Отклонение луча света в окрестности звезды. При нали­чии гравитационного поля меняется характер движения тел. Особенно

284

значительные отличия возникают в случае сильного поля или больших скоростей частиц. Остановимся подробнее на последнем случае.

Рассмотрим отклонение быстрой частицы, пролетающей в окрестно­сти массивной звезды. Мы будем предполагать, что частица пролетает на

таких расстояниях от звезды, где поле можно считать слабым: \(р\<^с2.В этих условиях согласно общей теории относительности движение ча­стицы массы т можно описать уравнением1

^ = - ^ = U [ 2 p (p V ^ )- ( l + p: )V ^ ], (14.12.22)

(14.12.23)

где для краткости введены обозначения:V Л7сВР = - . P = ~ j= =

В пределе /3<& 1 уравнение (14.12.22) переходит в классическое уравне­

ние движения частицы под действием силы F = -wgrad#?. Заметим, что импульс р даётся такой же формулой, что и в специальной теории относи­тельности. Разница состоит в том, что время г и скорость v здесь отсчиты­ваются с помощью часов и линеек локального наблюдателя, т.е. наблюда­теля, находящегося в той точке пространства, где в данный момент нахо­дится частица и производится измерение её скорости.

Заметим, что в тех же обозначениях и в том же приближении связь энергии тела Е с импульсом р даётся выражением

Е2 = р V + 2 91 + Т Г . с у

( т с 2)".

В нерелятивистском пределе v «: с отсюда следует классическая формула:

Е - т с 2 = р 2 /Ъ п + пкр.Мы будем рассматривать прохождение частицы на большом расстоя­

нии от центра, где потенциал гравитационного поля звезды с достаточной точностью можно принять в ньютоновском виде:

(p = _GM_ (14.12.24)Г

Здесь М — масса звезды, г — расстояние от частицы до центра. Тогда уравнение (14.12.22) примет вид

1 Доказательство этой формулы, так же как и приводимых ниже формул (80) и (82), требует более широкого привлечения математического аппарата общей теории относительности и выходит за рамки излагаемого здесь круга вопросов.

285

(14.12.25)

Траектория частицы в поле звезды показана на рис. 14.12.2. Она целиком лежит в плоскости (х , у). Введём начальный импульс частицы р() и при­цельный параметр р (рис. 14.12.2). В указанных условиях угол поворота траектории Аср мал. Выберем ось.* вдоль начального направления траек­тории. Тогда угол А(р можно вычислить по формуле

Рис. 14.12.2. Отклонение быстрой частицы под действием гравитационного поля звезды

где (РдОкон и (ру )коп — компоненты импульса, которые приобретает

частица после пролета мимо звезды. Поскольку воздействие звезды на частицу слабое, то первоначальный импульс меняется мало как по вели­чине, так и по направлению. Поэтому в низшем приближении в (14.12.26) можно считать, что (р х )к*н ж /?0 и, кроме того, в правой части уравнения (14.12.25) принять, что траектория частицы есть прямая, на которой

В указанных приближениях спроектируем уравнение (14.12.25) на ось .у:

Здесь обозначено /30 =v0/c. Интегрирование этого уравнения с началь-

А . / а \ (Ру)коп&<Р ~ tg(Acp) = — ,(Рх )кон

(14.12.26)

У

х

Звезда

V,х = v0, vy = 0, r(r) = {X = V T 9

dpУ ----------- e .dr

ным условием py ___ = 0 даёт

286

В результате для угла поворота траектории частицы по формуле (14.12.26) находим

Д р _ 2С М ( 1 (|4 . , 2.27,

РЩ

Здесь учтено, что р0 = mv0/y j\- /3 q .

Фотон можно рассматривать как частицу со скоростью v0 —> с (или J3q -> 1) и массой тп —> 0. Поэтому из (14.12.27) для таких ультрареляти- вистских частиц следует:

= (14.12.28)рс

Согласно этой формуле для луча света, проходящего мимо края Солнца (т.е. на расстоянии р =/? = 0,7*106 км ог центра), угол отклоне­

ния составит А(р = 1,75". Именно такая величина была экспериментальнополучена 29 мая 1919 г. в результате работы экспедиции под руковод­ством А. Эддингтона1, когда в ходе солнечного затмения было измерено изменение видимого положения неподвижных звезд. Это явилось важным подтверждением общей теории относительности.

1 Артур Стэнли Эддингтон (A. Eddington, 1882-1944) — английский астрофизик и физик. Работы посвящены исследованию движения и внутренней структуры звезд, теории относи­тельности и квантовой теории.

287

НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕАтомная единица массы = 1/12 массы изотопа углерода |2С,

waeM = 1» 6605 • 10-24 г

Масса электрона те = 9,1085 • 10”28 г

Масса протона тр = 1,6726-10”24 г

Скорость звука в воздухе при нормальных условиях с = 330м/с

Скорость света с = 2,998 1 010 см/с

Гравитационная постоянная G = (6.673 ± 0,001) • 10-8 дин • см2/г 2

Масса Земли М3 = 5,9742 • 1024 кг

Масса Солнца MQ = 1,989 • 1030 кг

Масса Луны Мл =7,35-1022 кг

Средний радиус Земли /?3 = 6,366 -106 м

Средний радиус Солнца RQ = 6,96 • 106 м

Средний радиус Луны R3 = 1,737 • 106 мРасстояние от Земли до Солнца rmin = 147098290 км, г1ШХ =152098232 км

Расстояние от Земли до Луны rmin = 363104 км, rmax = 405 696 км

288

ЛИТЕРАТУРА1. СивухинД.В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1989.2. Кингсепп А.С., Локшин Г.Р., Ольхов О.А. Основы физики. Т. 1,2.

М.: Физматлит, 2001.3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. М.: Наука, 1970.4. Заикин Д.А., Овчинкин В.А., Прут Э.В. Сборник задач по общему

курсу физики. Ч. 1 / под ред. В.А; Овчинкина. М.: Физматкнига, 2013.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. 5-е изд. М.: Физматлит, 2004.

6. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит, 2003.

7. Кириченко Н.А. Электричество и магнетизм. М.: МФТИ, 2011.8. Кириченко Н.А. Теория относительности. М.: МФТИ, 2001.9. СивухинД.В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика. М.: Наука, 1980.10. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.

Пространство, время, движение. Т. 2. М.: Мир, 1965.11. Борн М. Эйнштейновская теория относительности. М.: Мир, 1964.12. Окунь Л.Б., Селиванов К.Г., Телегди В.Л. Гравитация, фотоны, часы //

Успехи физических наук. 1999. Т. 169. С. 1141-1147.

289

Учебное издание

К ириченко Николай Александрович Кры мский Кирилл Михайлович

ОБЩАЯ ФИЗИКА. МЕХАНИКА

Редактор И. А. Волкова. Корректоры О. П. Котова, Л. В. Себова Компьютерная верстка Н. Е. Кобзева

Подписано в печать 21.06.2013. Формат 60 х 84 1/16 Уел. печ. л. 18.1 Уч.-изд. л. 17,5. Тираж 1000 экз. Заказ № 209

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования«Московский физико-технический институт (государственный университет)» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 E-mail: rio@mail.mipt.ru

Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 E-mail: polygraph@mipt.ru

001182006