.

1. Πρέπει να γνωρίζουμε καλά Πως ορίζονται οι πράξεις μιγαδικών

1

Α► ΤΙ ΠΡΟΣΕΧΟΥΜΕ

►ΚΛΕΙΔΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Τους ορισμους και ιδιότητες συζυγών Τους ορισμους και ιδιότητες του μέτρου Τις γεωμετρικές ερμηνείες στα μέτρα και τους βασικούς γεωμ.

Τόπους

2. Δυνάμεις του i : iν = i4κ+υ =iυ = …. , με υ = 0 , 1 , 2 , 3. Τα κ , υ είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο αντίστοιχα της διαίρεσης του ν με το 4.

3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Μπορούμε να υπολογίσουμε μια μεγάλη δύναμη ενός μιγαδικού αν μια μικρή του δύναμη είναι πολλαπλάσιο του i : πχ (α+αi)2006 = ((α+αi)2)1003= (2α2i)1003 = -21003∙α2006.

4. Η παράσταση α2+β2 στους μιγαδικούς γίνεται διαφορά ! τετραγώνων:

α2+β2 = α2-(iβ)2 = (α – iβ)(α+iβ).

5. Στις ασκήσεις με πράξεις μιγαδικών θα πρέπει να καταλήξουμε σε μιγαδικό της μορφής μορφής α+βi .

6. Κάθε πολυωνυμική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές αν έχει

ρίζα έναν μιγαδικό z0 τότε θα έχει ρίζα και το συζυγή του

7. Η εξίσωση αχ2+βχ+γ = 0 , με α , β , γ ε IR, Δ<0 , έχει ρίζες δύο συζυγείς μιγαδικούς z1 , z2 με

με z1+z2=- και z1 ∙ z2 = .

Οπότε αν z1 , z2 ρίζες της εξίσωσης τότε

2Re(z1) =2Re(z2) = - και .

8. Αν Ζ , W είναι συζυγείς τότε ισχύουν

9. Προσοχή!! Αν z = α+βi τότε:

2

και

10.Όταν η άσκηση δίνει ή ζητά ότι ένας μιγαδικός είναι πραγματικός ή φανταστικός τότε συνήθως χρησιμοποιούμε τα παρακάτω

z πραγματικός

z φανταστικός

11.Προσοχή!! Δεν έχουν νόημα στους μιγαδικούς οι ανισώσεις, εκτός αν αυτοί είναι πραγματικοί.

12.Ένα σημείο του επιπέδου Μ(χ , ψ) είναι ισοδύναμο με τον μιγαδικό z = χ+ψi και λέγεται εικόνα του z.

13.Το μέτρο ενός μιγαδικού είναι η απόσταση της εικόνας του από την αρχή των αξόνων.

14.Αν z ένας μιγαδικός τότε: η εικόνα του –z είναι συμμετρική της εικόνας του z ως προς το Ο. η εικόνα του είναι συμμετρική της εικόνας του z ως προς τον χ΄χ. η εικόνα του είναι συμμετρική της εικόνας του z ως προς τον

ψ΄ψ. Οι εικόνες των z , -z , , ισαπέχουν από την αρχή των αξόνων

δηλαδή:

15.Η απόσταση των εικόνων δύο μιγαδικών είναι ίση με το μέτρο της διαφοράς τους.

Δηλαδή

16.ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

3

Εργαζόμαστε συνήθως όπως παρακάτω

οπότε

Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του μέτρου και ειδικώτερα τις

και

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα .Ειδικώτερα

17. Σε υπολογιστικές ή αποδεικτικές ασκήσεις με μέτρα χρησιμοποιούμε πολλές φορές τις σχέσεις :

, ρ π.χ.:

τότε: , ,

18. Στις πράξεις με μιγαδικούς καλό είναι να μην έχουμε μιγαδικό στον παρονομαστή. Πολλαπλασιάζουμε με τον συζυγή μιγαδικό του παρονομαστή και έτσι ο παρονομαστής γίνεται πραγματικός και ίσος με το τετράγωνο του μέτρου του.Να μην κάνουμε αμέσως αντικατάσταση τον z με χ+ψi , αλλά να προχωράμε τις πράξεις.

19. Προσοχή!! Αν Α η εικόνα του z1 , Β η εικόνα του z2 τότε: Η εξίσωση ως προς z: παριστάνει κύκλο με κέντρο το Α

και ακτίνα ρ. Στην περίπτωση αυτή ο μιγαδικοί z με το ελάχιστο , μέγιστο μέτρο θα είναι οι μιγαδικοί που είναι τα σημεία τομής του κύκλου και της ευθείας ΟΑ.

Η εξίσωση ως προς z: , με , παριστάνει έλλειψη με εστίες τα σημεία Α, Β μήκος μεγάλου άξονα 2α.

4

Η εξίσωση ως προς z: , με , παριστάνει υπερβολή με εστίες τα σημεία Α, Β απόσταση κορυφών 2α

Η εξίσωση ως προς z: παριστάνει την μεσοκάθετη ευθεία του ΑΒ.

Γενικά να ερμηνεύουμε μια παράσταση ή σχέση μέτρων γεωμετρικά γνωρίζοντας τι εκφράζει το μέτρο ενός μιγαδικού καθώς και τι εκφράζει το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών.

20. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΠΟ ΔΟΣΜΕΝΗ ΙΣΟΤΗΤΑ Θέτουμε όπου Ζ=α+βi Αντικαθιστούμε στη δοσμένη ισοτητα ,οπότε

►αν η εξίσωση είναι της μορφής , αντικαθιστούμε με

►αν η εξίσωση είναι της μορφής , αντικαθιστούμε με

Στη συνέχεια λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που θα προκύψει

Δίνονται οι μιγαδικοί και .Να δείξετε ότι

1.

5

Β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

░οι απαντησεις στις σελίδες …26-44

1.1

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

2.

3.4.5.

6.

Να γράψετε τον τύπο λύσεων της εξίσωσης όταν

Αν να αποδείξετε ότι

και

Να αποδείξετε ότι για τους μιγαδικούς και ισχύει ότι

Να εξηγήσετε πως εκφράζονται γεωμετρικά Το άθροισμα Η διαφορά Το μέτρο Το μέτρο

Να συμπληρώσετε με Σ για σωστό και Λ για λάθος1. Αν z = 1 + 2 i , τότε Re ( ) = -3.

Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: 2. 3. 4.

6

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

5. 6.

Να συμπληρώσετε με Σ για σωστό και Λ για λάθος

1) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει = .

2) Αν iκ+7 = - 1, τότε iκ+2005 = i. 3) Αν z = x-3 + (y - 2)I , x, y R και Ιm (z) = 0, τότε y = 2

4)

Να συμπληρώσετε με Σ για σωστό και Λ για λάθος

1) Αν z = α + βi και αβ 0, τότε = i.

2) Αν z1, z2 C με Re (z1 + z2) = 0, τότε Re (z1) + Re (z2) = 0. 3) Αν Ιm (z + i) =9 τότε οι εικόνες των μιγαδικών z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία y = 9.

Να συμπληρώσετε με Σ για σωστό και Λ για λάθος. 1) Αν z = κ + λi και τότε 2) Αν Re (z1z2) = 0 τότε ισχύει πάντα Re (z1) Re (z2) = 0.

3) Αν τότε

4) Η εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 5) Ισχύει

Αν να τιστοιχήσετε τα στοιχεία των στηλών Α και Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1. α. 4

2. β. 2

3. γ. 25

7

1.7

1.8

1.9

1.10

4. δ. –5

5. ε. –2

στ. 5

ζ. 10

Οι αριθμοί z1, z2 είναι μιγαδικοί. Να συμπληρώσετε τον

παρακάτω πίνακα:

μιγαδικοί

αριθμοί

Αν = 1, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού

ακεραίου κ είναι

Α. 1 Β. 3 Γ. 6 Δ. 2 Ε. 5

Αν η εικόνα του μιγαδικού w = (x +3) + (y - 2) i, x, y R, στο μιγαδικό

επίπεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο z = x + yi ισούται με

Α. 1 - i Β. -3 +2 i Γ. - 1 - i Δ. - 1 + i E. 2 + 2i

Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στην

ευθεία ψ=χ τότε η τιμή του α είναι

Α. Β. Γ. Δ. Ε. -2

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός .Το είναι ίσο με:

Α. 4 Β. 4i Γ. - 4i Δ. -4

8

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

Αν ο μιγαδικός είναι ρίζα του πολυωνύμου τότε οι τιμές των α και β είναι Α. 2,2 Β.-2,2 Γ.-2 ,-2 Δ. 2 , -2

Ε. κανένα από τα παραπάνω

Αν τότε

Α. Β. Γ. Δ.

Το άθροισμα i + i2 + i3 +…..+ i2005 ισούται με: Α.0 Β.-1 Γ. 1 Δ. i E.-i

Για τον μιγαδικό αριθμό Ζ ισχύει |Ζ |=1.Τότε ποια από τα παρακάτω ισχύουν:

Α. |Ζ2006 |=1 Β . φανταστικός Γ. πραγματικός

Αν z = 3 + yi και = 5, τότε μια τιμή του y είναι η

Α. 5 B. Γ. - 4 Δ. E.3

Υπάρχουν δύο μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει

. Ποιοι είναι αυτοί ;

Να βρείτε τις δυνατές τιμές της παράστασης Π= i ν+ i ν+1+ i ν+2 +i ν+3+ i ν+4+ i ν+5+ i ν+6

9

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.22

1.21

Να υπολογίσετε το άθροισμα Σ=i+(2+3i)+(4+5i)+…+[2ν-2+(2ν-1)i]

Να βρείτε τους μιγαδικους αριθμούς για τους οποίους ισχύει

Να εξετάσετε αν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους

ισχύει

Να βρείτε τους πραγμ. αριθμούς χ , ψ για τους οποίους

ισχύει

Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων Α = 1+i + i 2 +i 3+….+ i 2003

Β =1+i + i 2 +i 3+….+ i ν

Έστω ο μιγαδικός όπου ν ε Ν. Να προσδιορίσετε

το φυσικό αριθμό ν ώστε ο z να είναι πραγματικός αριθμός

Έστω z ένας μιγαδικός αριθμός και f(ν) = iν z , ν IN*.

Να δείξετε ότι f(3) + f(8) + f(13) + f(18) = 0 . ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ-2002

10

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

Δίνονται οι μιγαδικοί

z = i(1-i)2-4(2+i)2 και

Να γίνουν όλες οι δυνατές πράξεις και να τους φέρετε στη μορφή α+βi

Δίνονται οι μιγαδικοί z = 2+3i w=x(1+i)+ψ(1-i). Να βρεθούν οι χ , ψ ε R , ώστε z= w

Δίνεται η συνάρτηση α) Να λυθεί η εξίσωση f (z)=0 β) Να λυθεί η εξίσωση f (z)=f(1-i) γ) Να βρεθούν οι α , β ε R f (α-2βi)=f(2-i)

Να υπολογιστούν τα χ , ψ αν ισχύει :

(1)

Δίνονται οι μιγαδικοί z1=1-2i και z2=3-4i .Να βρείτε το μιγαδικό

z αν ισχύει (1)

Δίνεται ο μιγαδικός .Για ποιες τιμές του x ε R

είναι Im(K) = 0 ;

Δίνονται τα πολυώνυμα f(z) = z3 +2z2+κz+λ-1 και

11

1.30

1.31

1.32

1.33

1.34

1.35

1.36

g(z)=f(z)-3-i όπου κ , λ ε R α)Να δείξετε ότι ο αριθμός f(1+2i) + f(1-2i) είναι πραγματικός β)Να βρεθούν οι κ , λ ε ώστε g(1+i) να είναι ο μηδενικός μιγαδικός

Δίνονται οι μιγαδικοί z1=2-i και z2=3+2i .Να βρείτε τους συζυγείς των μιγαδικών και

και να τους γράψετε στην κανονική τους μορφή.

Να βρείτε τους χ , ψ ε R ώστε οι μιγαδικοί

να είναι συζυγείς

Να βρείτε το συζυγή του μιγαδικού

Έστω οι μιγαδικοί z1 και z2 με . Να δείξετε :

α) Ο μιγαδικός είναι πραγματικός

β) Ο μιγαδικός είναι φανταστικός

Έστω οι μιγαδικοί όπου με

Να δείξετε ότι αν ο μιγαδικός z είναι πραγματικός τότε και ο w είναι πραγματικός και αντίστροφα

Δίνεται ο μιγαδικός .

Να δείξετε ότι (α) Ο μιγαδικός είναι πραγματικός (β) Ο μιγαδικός είναι φανταστικός

12

1.37

1.38

1.39

1.40

1.41

1.42

BAC. ROUEN

Δίνονται οι μιγαδικοί και .

(α)Να βρείτε την τιμή της παράστασης

(β) Να δείξετε ότι ο μιγαδικός είναι ακέραιος Έστω οι μιγαδικοί και .Να βρείτε τα

μέτρα των μιγαδικών και

Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών

, και

Για το μιγαδικό ισχύει . Να δείξετε ότι

Για το μιγαδικό ισχύει . Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού

Δίνονται οι μιγαδικοί z και w με z -2+0i , z i και .

Να δείξετε ότι α) Ο είναι πραγματικός αν και μόνο αν ο Γεωμ. Τόπος των εικόνων Μ(z) είναι μια ευθεία , από την οποία έχει εξαιρεθεί το σημείο Α(-2 , 0) β) Ο είναι φανταστικός , αν και μόνο αν , ο Γεωμ. Τόπος

των εικόνων Μ(z) είναι ένας κύκλος με κέντρο Κ(-1 , ) και

ακτίνα ρ=

13

1.43

1.44

1.45

1.46

1.47

1.48

γ) Να δείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος και η ευθεία τέμνονται στα σημεία Α(που εξαιρείται) και Β(που δεν εξαιρείται) και να βρείτε τις συντεταγμένες του Β

Έστω όπου z = χ+ψι .

i Να βρεθούν τα

ii Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στο

μιγαδικό επίπεδο

iii Να δειχτεί ότι

iv Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

αριθμών για τους οποίους ισχύει

Έστω ο μιγαδικός αριθμός z=χ+ψi   , με χ,ψ ε R       α) Να αποδείξετε ότι , στο μιγαδικό επίπεδο , ο γεωμετρικός

τόπος των σημείων Μ(χ,ψ) που  είναι τέτοια ώστε

είναι κύκλος . Να βρείτε το  κέντρο και

την ακτίνα του κύκλου αυτού.     β)  Έστω Ο η αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου και

ε1 , ε2 είναι δύο       εφαπτόμενες που άγονται από το Ο προς

τον παραπάνω κύκλο. Να βρείτε τις   συντεταγμένες των δύο

σημείων  επαφής Μ1  , Μ2

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΣΜΩΝ 1999

    Να βρείτε το Γεωμετρικό Τόπο των εικόνων Μ(z) του μιγαδικού

z για τον οποίο ισχύει

14

1.49

1.50

1.51

1.52

Να βρείτε το Γεωμετρικό Τόπο των εικόνων Μ(z) του μιγαδικού z αν ισχύει ότι οι εικόνες των μιγαδικών είναι συνευθειακά

σημεία.

Για τους μιγαδικους ισχύουν . Να

βρείτε το Γεωμ.Τόπο των εικόνων του μιγαδικού .

Έστω οι μιγαδικοί με (1) Αν οι εικόνες Μ(Ζ) του μιγαδικού Ζ ανήκουν στην ευθεία (ε) να δείξετε οι εικόνες του μιγαδικού ,ανήκουν σε σταθερή ευθεία (δ) , της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

Δίνεται η συνάρτηση όπου

Να βρείτε (α)Τους και (β)Το Γεωμ. Τόπο των εικόνων του μιγαδικού όταν . (γ) Το Γεωμ. Τόπο των εικόνων του μιγαδικού όταν .

Να βρείτε το Γεωμ. Τόπο των εικόνων του μιγαδικού , αν ισχύει

Αν με α και ,τότε να αποδείξετε ότι

(α)Ο είναι φανταστικός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός (β) Ισχύει αν και μόνο αν ο είναι πραγματικός αριθμός.

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΣΜΩΝ 1991

15

1.53

1.54

1.55

1.56

1.56

Δίνεται η συνάρτηση με

και

(α) Να αποδείξετε ότι

(β) Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οπία ανήκουν τα σημεία για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί με α,β,χ,ψ και ικανοποιούν τη σχέση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΣΜΩΝ 1993

Δίνεται η παράσταση (α) Να γίνουν όλες οι δυνατές πράξεις και να απλοποιήσετε την παράσταση Π. (β) Να λυθεί στο η εξίσωση (γ) Αν οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης με και Α , Β οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο και Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού , να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. (δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(χ,ψ) για τα οποία ισχύει

Έστω μιγαδικός αριθμός.Να λυθεί η εξίσωση

αν γνωρίζουμε οι εικόνες Μ(Ζ) του μιγαδικού Ζ ανήκουν στη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

Αν με να δείξετε ότι

Για τους μιγαδικούς Ζ και w να δείξετε τις ισότητες

α)

β)

Να βρείτε όλους τους μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς z για

τους οποίους ισχύει:

16

1.57

1.58

1.59

1.60

1.61

1.62

(α) = iz2 (β) (γ) z2 + 2 + 1 = 0 (δ)

α) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης β) Να βρείτε τα α, β ωστς ότι η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο να διέρχεται από την εικόνα

του μιγαδικού

Δίνεται η συνάρτηση με z ε C-{i}.

Θέτουμε α =z-i και β=f(z)-i Να δείξετε ότι αβ=-3+4i Να βρείτε τον α αν είναι α=β Να λύσετε την εξίσωση f(z)=1-i Αν f(z) ε R να δείξετε ότι η εικόνα Μ(χ,ψ) του διαγράφει

κύκλο με εξαίρεση το σημείο (0,1)

Έστω z ένας μιγαδικός αρθμός και f(ν) = iν+ 1 (z-1), ν IN*.

α)Να δείξετε ότι f(1) + f(3) + f(2002) + f(2004) = 0

β)Αν να βρείτε το γεωμ. Τόπο των

εικόνων .

Αν μιγαδικός με να βρείτε την ελάχιστη και την

μέγιστη τιμή του

Αν να δείξετε ότι

Έστω οι μιγαδικοί α,β,Ζ και .

17

1.63

1.64

1.65

1.66

1.67

1.68

Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι

φανταστικός

Να βρείτε το σύνολο των εικόνων του μιγαδικού Ζ για

τους οποίους ισχύει.

Έστω μιγαδικός και η συνάρτηση με ν .

α) Να δείξετε ότι ,λ .

β)Αν οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν στον κύκλο

κέντρου και ακτίνας ρ=4 να βρείτε το γεωμ. Τόπο των

εικόνων .

γ) Αν να δείξετε ότι το τρίγωνο που έχει κορυφές τις

εικόνες των μιγαδικών 0 , και είναι ορθογώνιο.

δ)Να βρείτε το εμβαδό του παραπάνω τριγώνου.

Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z που

ικανοποιούν τη σχέση 2 = βρίσκονται σε κύκλο κέντρου

Ο (0, 0) και ακτίνας 2. Ποιο είναι το μέτρο

Αν με να δείξετε ότι

Αν η εικόνα Μ(α,β) του μιγαδικού Ζ =α+βi ανήκει στην ευθεία ψ=χ+2006 να δείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού

ανήκει επίσης σε μια ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση

Αν z=χ+ψi να δείξετε την ισοδυναμία

18

1.69

1.70

1.71

1.72

1.73

1.74

Δίνεται η εξίσωση με β,γ πραγματικούς και .Η εξίσωση έχει λύση το μιγαδικό . Α. Να βρείτε την άλλη λύση της εξίσωσης

Β. Δείξτε ότι β=-2 και γ=4

Γ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης

Δίνεται ο μιγαδικός

α) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού

β) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός είναι πραγματικός.

γ) Να δείξετε ότι

δ) Αν και Μ η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο , να

δείξετε ότι το Μ ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

Έστω η εξίσωση Ζ2 - (2Θ+1συνθ)Ζ+22θ=0 Θ και με ρίζες

Ζ1,Ζ2 α) Να βρεθούν οι ρίζες Ζ1,Ζ2

β) Αν Α , Β είναι οι εικόνες των Ζ1,Ζ2 στο μιγαδικό επίπεδο,να υπολογιστεί ο θ ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι ισόπλευρο (Ο η αρχή των αξόνων)

Δίνεται η συνάρτηση με και

Α. α)Να δείξετε ότι για κάθε και

β) Αν ισχύει να δείξετε ότι ο Ζ είναι

19

1.75

1.76

1.77

1.78

φανταστικός Β. Για τον μιγαδικό Ζ0 ισχύει ότι α)Να βρείτε τον μιγαδικό Ζ0

β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w για τους οποίους ισχύει

γ)Από τους μιγαδικούς w του παραπάνω γεωμετρικού τόπου να βρείτε αυτόν που έχει το μικρότερο και αυτόν

που έχει το μεγαλύτερο μέτρο

Έστω ο θετικός αριθμός ρ και οι μιγαδικοί z1, z2, z3 τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις:

α. β. =ρ2

γ. z12+ z2

2+z3 2= 0

Ν.δ.ο: z1z2+ z3 z1+ z2 z3= 8

Έστω z ένας μιγαδικός αριθμός για τον οποίο

ισχύει: με κ θετικό πραγματικό

αριθμό. Να δείξετε:

α.

β. γ.

Δ ίνοντα ι ο ι μ ιγαδ ικο ί αρ ιθμο ί , , με

.

α. Δε ίξ τε ότ ι :

β. Δε ίξ τε ότ ι ο αρ ιθμός ε ί να ι πραγματ ικός .

γ. Δε ίξ τε ότ ι :

20

1.79

1.80

1.81

.

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - 2005

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: z = λ2- 2 + (3-2λ)i, λ∈ ΙR καιw = k+4i, k > 0. Για τους z, w ισχύουν:

Re(z) + Im(z) = 0 και = 5.

α. Να αποδείξετε ότι z = -1+i.

β. Να αποδείξετε ότι k = 3.

γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μ∈ ΙR , για το οποίο ισχύει

ΕΣΠΕΡΙΝΑ - 2005 α. Αν , ε ίνα ι μ ιγαδικο ί αριθμοί γ ια τους οποίους

ισχύε ι + =4+4i κα ι 2 - = 5+5 i , να βρε ίτε τους , .

β. Αν γ ια τους μ ιγαδικούς αριθμούς z, w ισχύουν z – 1 – 3 i ≤ και w – 3 – i ≤ :

i . να δε ίξετε ότ ι υπάρχουν μοναδικοί μ ιγαδικο ί αριθμοί z , w έτσι , ώστε z = w και

i i . να βρε ίτε τη μέγ ιστη τ ιμή του z – w . ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - 2005

ΘΕΜΑ 10

Α.Αν α + βi, γ+δi είναι μιγαδικοί αριθμοί, όπου α, β, γ, δ ∈ IR καιγ+δi ≠0, να αποδείξετε ότι:

Μονάδες 9Β.Να χαρακτηρίσετε τ ις προτάσεις που ακολουθούν

21

Γ

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣ 2 ΩΡΕΣ ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ

1.82

1.83

γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθοςδίπλα στο γράμμα που αντ ιστο ιχε ί σε κάθε πρόταση.

α. Η διανυσματ ική ακτ ίνα του αθροίσματος δύομιγαδικών αριθμών ε ίνα ι το άθροισμα τωνδιανυσματ ικών ακτ ίνων τους.

Μονάδες 2

β. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και ο συζυγής του, τότε

ισχύει .

Μονάδες 2γ. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών εκφράζει,

στο μιγαδικό επίπεδο την απόσταση των εικόνων τους.

Μονάδες 2

δ. Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα .

Μονάδες 2

ε. Αν z1 , z2 οι ρίζες της εξίσωσης αχ 2+βχ+γ = 0 με α,β,γ μιγαδικοί αριθμοί τότε ισχύει: z1 =

Μονάδες 2

Γ. Αν είναι μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε τα παρακάτω

α. |Ζ|2 =Ζ Μονάδες 2

β. | Ζ1. Ζ2|= |Ζ1 |.|Ζ2| Μονάδες 4

ΘΕΜΑ 20

Α. Να επελέξετε τη σωστή απάντηση:

Ο αριθμός είναι:

Α. Φανταστικός Β. Μηδέν Γ. Πραγματικός

Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα.

22

Μονάδες 4

Β. Για τους μιγαδικούς z1, z2 όταν να δειχτεί οτι Μονάδες 7

Γ. Αν ισχύει η σχέση z+ , ν.δ.ο. ο z είναι πραγματικός θετικός

Μονάδες 7

Δ. Να λύσετε την εξίσωση (Ζ2+1)(Ζ2-Ζ+1)=0 Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 30

Α. Για κάθε μιγαδικό 1 ν.δ.ο.

Μονάδες 7Β. (i) Ν.δ.ο. Μονάδες 4

(ii) Αν ν.δ.ο. ο μιγαδικός

είναι πραγματικός Μονάδες 7

Γ. Αν για τους μιγαδικούς Ζ και W ισχύουν |Ζ|=2 και W=(- +i)Z, τότε

να βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών W.

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 40

Έστω

α) Αν f(z)= ν.δ.ο. ο z είναι πραγματικός Μονάδες 7

β) Αν f(z)=5 να βρείτε το γ.τ. των εικόνων των μιγαδικών z Μονάδες 8

23

γ) Αν z1, z2 δύο μιγαδικοί με f(z1) =f(z2)=5 ν.δ.ο.

Μονάδες 10

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

1.1-1.5 Δες αντίστοιχη θεωρία

1.6 1 άρα Σ

2 Σ 3 Λ 4 Λ 5 Σ 6 Σ

1.7 1 Σ 2 Λ Είναι οπότε 3 Σ

4 Σ Είναι

1.8 1 Λ 2 Σ 3 Λ

1.9 1 Λ 2 Λ 3 Σ 4 Σ 5 Λ

24

Δ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ

1.10 1 ζ 2 γ 3 α 4 δ 5 β

1.11

1.12 Δ

1.13 Β

1.14 Δ

1.15 Δ

1.16 Α

1.17 Β

1.18 Δ

1.19 Α , Γ

1.20 Γ

1.21

Έστω .Οι δοσμένες σχέσεις

γράφονται ισοδύναμα

Οπότε οι μιγαδικοί είναι ,

25

1.22Έχουμε i ν+ i ν+1+ i ν+2 +i ν+3+ i ν+4+ i ν+5+ i ν+6= i ν (i 0+ i 1+ i 2 +i 3+ i 4+ i 5+ i 6)= i ν iοπότεαν ν=4κ τότε Π= i ν i= i4κ i= (i4)κ i=1. i= iαν ν=4κ+1 τότε Π= i ν i= i4κ+1 i= (i4)κ i i =1. i2= -1αν ν=4κ+2 τότε Π= i ν i= i4κ+2 i= (i4)κ i2 i =1. i3= - iαν ν=4κ+3 τότε Π= i ν i= i4κ+3 i= (i4)κ i3 i =1. i4= 1

1.23Το παραπάνω άθροισμα γράφεται

Σ=i+(2+3i)+(4+5i)+…+[2ν-2+(2ν-1)i] Σ=[2+4+6+….(2ν-2)]+[1+3+5+…+(2ν-1)]i Αλλά 1+3+5+…+(2ν-1)=ν2

2+4+6+….(2ν-2)=ν(ν-1) γιατί οι παραπάνω

όροι αποτελούν Αρ.Πρόοδομε α1=2 , ω=2 και πλήθος όρων =ν-1 Οπότε

Σ= = =ν(ν-1)

Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι Σ=ν(ν-1)+ν2.i

1.24 Έστω .Η σχέση γράφεται ισοδύναμα

. Άρα με

1.25 Eίναι άτοπο.Κατά συνέπεια δεν

υπάρχουν μιγαδικοί

26

ΧΡΗΣΙΜΑ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ

Σ1 = 1+2+3+…+ν =

Σ2 =1+3+5+…+(2ν-1)=ν2

Σ3 = 2+4+6+…+2ν = ν(ν+1)

1.26 Είναι

1.27 Α) Οι όροι του πρώτου αθροίσματος αποτελούν Γεωμ. Πρόοδο με

α1=1 ,λ=i και πλήθος ν=2004. Οπότε έχουμε

Α = 1+i + i 2 +i 3+….+ i 2003 = = =

Β) Οι όροι του δεύτερου αθροίσματος αποτελούν Γεωμ. Πρόοδο με

α1=1 ,λ = i και πλήθος ν+1 . Οπότε έχουμε

Β =1+i + i 2 +i 3+….+ i ν = = Οπότε

Αν ν=4ρ τότε Β= =

Αν ν=4ρ+1 τότε Β= =

Αν ν=4ρ+2 τότε Β= =

Αν ν=4ρ+3 τότε Β= =

1.28

Είναι z = = =

27

=

Επομένως z = -2iν+1 (1) οπότεΑν ν=4ρ τότε (1) z = -2iν+1 =-2 i4ρ+1 = -2(i4)Ρi =-2iΑν ν=4ρ+1 τότε (1) z = -2iν+1 =-2 i4ρ+1+1 = -2(i4)Ρi2 =-2i2

=-2(-1)=2Αν ν=4ρ+2 τότε (1) z = -2iν+1 =-2 i4ρ+2+1 = -2(i4)Ρi3 =-2i3

=-2(-i)=2iΑν ν=4ρ+3 τότε (1) z = -2iν+1 =-2 i4ρ+3+1 = -2(i4)Ρi4 =-2i4=-2.1

=-2

Κατά συνέπεια ο μιγαδικός z είναι πραγματικός όταν ν=4ρ+1 ή ν=4ρ+3 όπου ρ ε Ν*.

1.29Είναι f(3) + f(8) + f(13) + f(18) = i3 z + i8 z + i13 z + i18 z=(i3 + i8 + i13 + i18) z=(-i+1+i-1) z=0. z=0

1.30 z = i(1- i)2-4(2+i)=i(1-2i+i 2)-4(4+4i+i 2)=i(-2i)-4(3+4i)= -2i2-12-16i = -10-16i

w= =

1.31Είναι w=x(1+i)+ψ (1-i) w = x+xi+ψ-ψi w = (x+ψ)+(x-ψ)iΈχουμεw = z (x+ψ)+(x-ψ)i = 2+3i

ΣΧΟΛΙΟΤο παραπάνω θέμα θα μπορουσε να δοθεί και με την εκφώνιση

28

i 3  =- ii 8 =i 4 . 2 =(i 4 ) 2 =1i 1 3 =i 4 . 3 + 1 =(i 4 ) 3 i=1. i=ii 1 8 i 4 . 4 + 2 =(i 4 ) 4 i 2 =-1

Στο (α) ερώτημα μπορούμε να εργαστούμε και ως εξείς :Θέτουμε όπου z=x+ψi και έχουμε(1+i)z+3-i=0 (1+i)(x+ψi)+3-i=0 x+ψi+xi+ψi2=-3+i (x-ψ)+(x+ψ)i=-3+i

Ανάλογα μπορούμε να εργαστούμε στο (β) ερώτημα

΄΄Να γραφεί ο μιγαδικός αριθμός 2+3i στην μορφή x(1+i)+ψ(1-i) ΄΄

1.32α) Έχουμε f (z)=0 (1+i)z+3-i=0

(1+i)z=-3+i

β) Έχουμε f (z)=f(1-i) (1+i)z+3-i=(1+i)(1-i)+3-i (1+i)z=(1+i)(1-i)z=1-i

γ) Έχουμε f (α-2βi)=f(2-i) (1+i)(α-2βi)+3-i= (1+i)(2-i)+3-i α-2βi+αi-2βi2=2-i+2i-i2

(α+2β)+(α-2β)i=3+i

1.33Η σχέση (1) γράφεται

(πολ/ζουμε με 65)

1.341ος τρόπος Πολ/ζουμε την (1) με z1 και έχουμε

2ος τρόπος Θέτουμε όπου z=x+ψi με χ,ψ ε R και η δοσμένη σχέση (1)

29

ισοδύναμα γράφεται :

(Πολ/ζουμε με 5)

Άρα ο μιγαδικός είναι z=-11+2i

1.35

Είναι Κ= =

Άρα Κ = (1)

Αναζητούμε τα χ ε R ώστε Ιm(Κ)=0 οπότε λόγω (1) αρκεί =0

=0 x = -4 ή x = -4

1.36α)Είναι f(1+2i) = (1+2i)3 +2(1+2i)2+κ(1+2i)+λ-1 = =(1+6i+12i2+8i3)+2(1+4i+4i2)+κ(1+2i)+λ-1=(κ+λ-18)+(2κ+6)i (1) f(1-2i) = (1-2i)3 +2(1-2i)2+κ(1-2i)+λ-1 = =(1-6i+12i2-8i3)+2(1-4i+4i2)+κ(1-2i)+λ-1=(κ+λ-18)+(-2κ-6)i (2)Οπότε από (1) και (2) έχουμε ότι f(1+2i) + f(1-2i) = 2(κ+λ-18) ε Rβ) Είναι g(1+i) = f(1+i)-3-i = (1+i)3+2(1+i)2+κ(1+i)+λ-1-3-i= (1+3i+3i2+i3)+2(1+2i+i2) +κ(1+i)+λ-1-3-i= (-2+2i)+4i+ κ+κi+λ-1-3-i=(κ+λ-6)+(κ+5)i οπότεο g(1+i) είναι ο μηδενικός μιγαδικός όταν

g(1+i) = (κ+λ-6)+(κ+5)i =0+0i

30

1.37 α) Έχουμε =

Οπότε

β) Έχουμε =

. Οπότε

1.38Έχουμε

= = =

= . Οπότε

z1 , z2 είναι συζυγείς

οπότεαν χ=0 τότε ψ=0αν χ=4 τότε ψ=12

1.391ος τρόπος Μετασχηματίζουμε τον z σε κανονική μορφή.

Είναι

=

31

2ος τρόπος Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των συζυγών

= =

1.40

α)Είναι

= . Αφού θα είναι και R

β)Είναι

= .

Αφού θα έχουνε ότι u ε I (δηλαδή u φανταστικός)

1.41

Έχουμε

1.42

Είναι

Οπότε έχουμε Άρα(α) = + =

(β) = - =

1.43

32

ΠΡΟΣΟΧΗ Αν δίνεται ότι

τότε θέτουμε

Αν δίνεται ότιτότε

θέτουμε

Είναι

=

=

(α)Έχουμε

(β)Έχουμε

1.441ος Τρόπος Τρέπουμε τους μιγαδικούς στην κανονική τους μορφή.

=

οπότε | |=

=

οπότε

2ος Τρόπος Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του μέτρου

1.45Έχουμε

33

=

1.46Είναι

1.47Είναι

1.48Έστω και Μ(χ , ψ) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο με (χ , ψ) ≠ (-2 , 0).

Είναι

α) Ο Γεωμ.Τόπος των

εικόνων Μ(χ , ψ) είναι η ευθεία (2) από την οποία εξαιρείται το σημείο Α(-2 , 0).

34

Είναι =

.Για το λόγο αυτό προσθέσαμε και στα δύο μέλη το 1

1

β) (3).Δηλαδή ο

Γεωμ.Τόπος των εικόνων Μ(χ , ψ) είναι ο κύκλος που παριστάνει η εξίσωση

(3) και έχει κέντρο Κ(-1 , ) και ακτίνα ρ =

γ)Τα σημεία τομής των παραπάνω γραμμών , είναι λύσεις του συστήματος

Κατά συνέπεια ο κύκλος και η ευθεία τέμνονται στα σημεία Α(-2 , 0) (που εξαιρείται) και Β(0 , 1)(που δεν εξαιρείται)

1.49Είναιi

Άρα και

ii Θέτω

Παρατηρώ άρα ο γ. τ. είναι η ευθεία

iii

iv

Άρα οι 2 ευθείς είναι ο ζητούμενος γ. τ

1.50

35

      α)   Έστω z=χ+ψi  . Τότε   η δοθείσα σχέση γράφεται

                   Δηλαδή κύκλος με κέντρο (2,1) και ακτίνα ρ=1

          β)    α τρόπος

                Έστω    τα σημεία επαφής των εφαπτομένων στον κύκλο

                                Τότε οι εφαπτόμενες ευθείες έχουν εξίσωση

                                Αφού διέρχονται από την αρχή των αξόνων οι συντ/νες του Ο(0,0) θα επαληθεύουν τις    παραπάνω , οπότε θα έχουμε                

                Δηλαδή παρατηρώ ότι οι συν/νες των

  επαληθεύουν την   εξίσωση ψ=-2χ+4 που είναι η εξίσωση της χορδής Μ1Μ2

                Για να βρω πλέον τις συν/νες των σημείων  Μ1  , Μ2   λύνω το σύστημα

               

36

                 β τρόπος                 Έστω  ε:  ψ=λχ ευθεία εφαπτόμενη στον κύκλο.(Διέρχεται από την αρχή Ο(0,0) )                (Σημείωση :  Αν ο λ δεν ορίζεται ,τότε θα έχουμε κατακόρυφη εφαπτομένη δηλαδή μορφής                  ε: χ=κ , η οποία πρέπει να περνά από την αρχή των αξόνων άρα πρέπει χ=0 .                  Επίσης   πρέπει η απόσταση του κέντρου από την ευθεία να ισούτε με την ακτίνα , δηλαδή                 d(K, ε)=ρ  ή  2=1 (Λάθος )                 ʼρα δεν έχουμε κατακόρυφες εφαπτομένες , δηλαδή ο λ ορίζεται                 Για να εφάπτεται μία ευθεία στον κύκλο , πρέπει το σύστημά τους να έχει μοναδική λύση            

                  Το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση όταν η δευτεροβάθμια

εξίσωση έχει μοναδική λύση,    δηλαδή όταν Δ=0                

1.51Έστω και Μ(χ , ψ) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο.

Είναι

Οπότε

Άρα ο Γεωμ. Τόπος είναι η ευθεία χ-ψ+11=0

1.52Έστω και Μ(χ , ψ) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο.Είναι οπότε η εικόνα του είναι το σημείο Α(0 , 1

οπότε η εικόνα του είναι το σημείο Β(-ψ ,χ)Αφού τα σημεία Α , Μ , Β είναι συνευθειακά , θα έχουμε

(1)

Όμως και και λόγω της (1) έχουμε

37

Η

(2) παριστάνει κύκλο γιατί Α2+Β2-4Γ=(-1)2+(-1)2=2 > 0.

Το κέντρο του είναι Κ και η ακτίνα του είναι

1.53Έστω . Όμως (1)Έστω ακόμη και οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο είναι τα σημεία Μ(χ , ψ).Έχουμε

Η σχέση (1) λόγω της (2) γράφεται

. (3)

Άρα ο Γεωμ.Τόπος των εικόνων του μιγαδικού είναι η έλλειψη με εξίσωση (3).

1.54 Αν ( τότε θα ισχύει

οπότε Έστω ακόμη ότι .Είναι =

Κατ

ά συνέπεια οι εικόνες του μιγαδικού ,ανήκουν στην σταθερή ευθεία (δ) .

38

1.55

(α) = .

=

(β)

Έστω και Μ(χ ,ψ) οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο.Η (1) ισοδύναμα γράφεται

(γ)

Κατά συνέπεια ο γ.τ. είναι η ευθεία (2) , δηλαδή η διχοτόμος της γωνίας χοψ

1.56 Έστω και Μ(χ ,ψ) οι εικόνες του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. Η (1) ισοδύναμα γράφεται

. Κατά συνέπεια ο γ.τ. είναι κύκλος με κέντρο Κ(0,2) και ακτίνα ρ=1.

1.57

(α)Έχουμε

39

(β) Έχουμε

( )( )=( )( )

1.57

(α) Είναι

= =

(β)Έχουμε

Για τους μιγαδικούς αριθμούς με α,β,χ,ψ και ,

η παραπάνω σχέση γράφεται

(1) και επειδή η (1)

και επειδή

θα είναι (2).Επομένως

Αν τα σημεία ανήκουν στην έλλειψη με εξίσωση την (2)

Αν τα σημεία ανήκουν στον κύκλο (3)

Όμως

Αν από (3) .Κατά συνέπεια , από τον κύκλο εξαιρούνται

τα σημεία

40

1.58(α) Είναι = (1)

(β) Είναι

(γ) Είναι Α(-2,-1) , Β(2 , -1) και Γ(0 ,2 ) οπότε έχουμε Οπότε έχουμε κατά

συνέπεια . Άρα ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ορθογώνιο ( ).

(δ) Είναι Μ(χ,ψ) οπότε

+

1.59Έστω Η φανερά είναι λύση.

Αν τότε

(1) .Όμως ,λόγω υπόθεσης θα είναι και οπότε

η και κατά συνέπεια

ή

41

42