ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Μιγαδικοί αριθμοί −

Θέματα Πανελλαδικών

Εξετάσεων

Βιβλιογραφία 1. Όλα τα κατά καιρούς εκδοθέντα από τον Ο.Ε.Δ.Β σχολικά βιβλία.

2. Περιοδικά Ευκλείδης Β΄ και Γ΄ της Ε.Μ.Ε.

3. Ασκήσεις που κατά καιρούς έχουν προτείνει συνάδελφοι στα σχολεία (κυρίως της Καλλιθέας).

4. Τα θέματα που έχουν δοθεί στις εισαγωγικές εξετάσεις , θέματα που έχουν προ-ταθεί από το

Παιδαγωγικό Ινστιτούτο και θέματα που έχουν προταθεί σε εξετάσεις άλλων χωρών.

5. Αυδής. Γρ. Ιωάννης.– Στοιχειώδης Άλγεβρα (Ι) – τεύχος Β΄ – Αθήναι 1955.

6. Κάππος. Α. Δ.– Θεωρία Μιγαδικών Συναρτήσεων – Αθήνα 1963.

7. Μάγειρας. Ν. Π – Αλγεβρικά θέματα μετά σημειώσεων αναλύσεως – τόμος 2 – Σύγχρονοι μεθοδικαί

μαθηματικαί σπουδαί – Αθήνα 1970.

8. Κανέλλος. Γ. Σ – Άλγεβρα – τόμος Β΄- Παπαδημητρόπουλος - Αθήνα 1970.

9. Πρωτόπαπας. Ι. Γ – Άλγεβρα – τόμος Α΄- Αθήνα 1971.

10. Σαββαίδης. Χ. Β. – Άλγεβρα 1 –Αθήνα 1974.

11. Καζαντζής. Ν. Θ. – Άλγεβρα – τόμος Ι – Θεσσαλονίκη 1974.

12. Ionescu – Tiu C. – Pirsan Liviu – Algebra si analisa matematica – Bucuresti 1974.

13. Gautier. C – Thierce. C – Rouer. P – Algebre Lineaire et Geometrie – Hachette – Paris 1983.

14. Μαμούρης. Ι. Αθ. – Σδράλης. Α. Αθ.– Μιγαδικοί αριθμοί – Διόφαντος – Αθήνα 1989.

15. Zill G. D. – Dewar M. J. – Algebra and Trigonometry – McGRAW – HILL New York 1990.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1Ο: ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Σελ. 1.1 Γενικά 1 1.2 Ισότητα μιγαδικών αριθμών 2 1.3 Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών αριθμών 2 1.4 Δυνάμεις του i 3

2Ο: ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 Πρόσθεση και αφαίρεση 4 2.2 Πολλαπλασιασμός και δυνάμεις 5 2.2.1 Ρίζα μιγαδικού αριθμού 6 2.2.2 Γεωμετρικοί τόποι 7 2.3 Εφαρμογές 8 2.4 Ασκήσεις 11 2.5 Συζυγής μιγαδικού 13 2.5.1 Διαίρεση στο σύνολο των μιγαδικών 14 2.5.2 Ιδιότητες των συζυγών μιγαδικών αριθμών 14 2.6 Επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών 16 2.7 Βασικές προτάσεις 18 2.8 Εφαρμογές 20 2.9 Ασκήσεις 24

3Ο: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

3.1 Μέτρο μιγαδικού αριθμού 28 3.2 Ιδιότητες του μέτρου μιγαδικού αριθμού 28 3.3 Βασικοί γεωμετρικοί τόποι 29 3.4 Βασικές προτάσεις 32 3.5 Εφαρμογές 33 3.6 Ασκήσεις 47 3.7 Ασκήσεις επανάληψης 55

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 66

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1.1 Γενικά

Είναι γνωστό από την Α΄ λυκείου, ότι το σύμβολο ‘ ν α ’ χρησιμοποιείται μόνο στην περίπτωση που

το ν είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 και το α είναι μη αρνητικός αριθμός. Έτσι, με τους

σημερινούς συμβολισμούς, και απαγορεύεται και δεν έχει νόημα να γράφουμε 16 . Όμως, στο πρώτο

μισό του 16ου

αιώνα οι μαθηματικοί της εποχής βρέθηκαν στο δίλημμα, ή να εγκαταλείψουν μια γενική

μέθοδο επίλυσης εξίσωσης 3ου

βαθμού, η οποία είχε ανακαλυφθεί στις αρχές του αιώνα από τους Scipio

del Ferro και Nicolo Tartaglia, ή να δεχθούν ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός μπορεί να εκφραστεί με

παραστάσεις που περιέχουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών και συγκεκριμένα με παραστάσεις

της μορφής α β 1 , όπου α,β . Η άποψη αυτή φαινόταν αδιανόητη, αλλά αυτό δεν εμπόδισε τους

μαθηματικούς της εποχής να εφαρμόσουν τις ιδιότητες των αλγεβρικών πράξεων σε τέτοιες

παραστάσεις. Είναι μάλιστα εκπληκτικό, ότι για 300 χρόνια σχεδόν η θεωρία για αυτούς τους «νέους»

αριθμούς, δηλαδή αριθμούς της μορφής α β 1 , όπου α,β , αναπτυσσόταν χωρίς να υπάρχει

κάποια φυσική ερμηνεία τους. Έπρεπε να φθάσουμε στον 19ο αιώνα, για να λυθούν επιτέλους τα σχετικά

με τους νέους αριθμούς ζητήματα που απασχόλησαν τους μαθηματικούς όλη αυτή την περίοδο.

Η νέα κατάσταση λοιπόν, δημιούργησε την ανάγκη να διευρύνουμε το σύνολο των πραγματικών

αριθμών σε ένα νέο σύνολο που το συμβολίζουμε με .

Το διευρυμένο αυτό σύνολο δεχόμαστε, ότι έχει τις ίδιες πράξεις με το και τις ίδιες ιδιότητες των

πράξεων αυτών. Επιπλέον, για να αποφύγουμε το σκόπελο του συμβολισμού α με α < 0, δεχόμαστε,

ότι στο υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης 2x 1 , δηλαδή ένα στοιχείο το οποίο

συμβολίζουμε με i, τέτοιο ώστε. 2i 1 , το οποίο ονομάζουμε φανταστική μονάδα ( Imaginary unit).

Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμένο σύνολο θα έχει ως στοιχεία:

Όλους τους πραγματικούς αριθμούς.

Όλους τους αριθμούς της μορφής βi που είναι γινόμενα των στοιχείων του με το i , τους οποίους

ονομάζουμε φανταστικούς αριθμούς.

Όλα τα αθροίσματα της μορφής α βi , με α και β πραγματικούς αριθμούς.

Τα στοιχεία του λέγονται μιγαδικοί αριθμοί (Complex numbers) και το σύνολο των μιγαδικών

αριθμών ( Set of complex numbers).

Συνεπώς

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου των πραγματικών

αριθμών, στο οποίο:

Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι,

ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο , με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοι-

χείο της πρόσθεσης (additive identity) και το ένα (1) το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλα-

σιασμού (multiplicative identity).

Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε 2

i 1 .

Κάθε στοιχείο του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z α βi , όπου α,β .

Είπαμε στα προηγούμενα, ότι τα στοιχεία του ονομάζονται μιγαδικοί αριθμοί και καθένας απ’

αυτούς γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z α βi ,όπου α,β .

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3

σημείο (α,β) του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοι-

χίσουμε σε ένα μοναδικό μιγαδικό αριθμό z α βi .

Το σημείο Μ λέγεται εικόνα του μιγαδικού z α βi . Το σημείο (α,β)

μπορούμε να το συμβολίζουμε και με M(z) .

Π. χ Ο μιγαδικός αριθμός z = 2 – 3i έχει εικόνα το σημείο Μ(2, – 3),

δηλαδή το σημείο που έχει τετμημένη 2 και τεταγμένη – 3, ενώ το σημείο

Ν(– 4, 5) είναι εικόνα του μιγαδικού αριθμού z = – 4 + 5i.

Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών θα αναφέρεται ως μιγαδικό

επίπεδο (complex plane). Ο άξονας x΄x λέγεται πραγματικός άξονας, αφού τα σημεία του M(α,0) είναι

εικόνες των πραγματικών αριθμών α α 0i , ενώ ο άξονας y΄y λέγεται φανταστικός άξονας, αφού τα

σημεία του M(0,β) είναι εικόνες των φανταστικών βi 0 βi .

Ένας μιγαδικός z α βi παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα OM (radius

vector) του σημείου (α,β) .

Αν Μ(z) είναι η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο του z α βi , τότε

το σημείο Μ1, συμμετρικό του Μ ως προς άξονα τον x΄x, είναι

εικόνα του μιγαδικού α – βi.

To σημείο Μ2, συμμετρικό του Μ ως προς κέντρο την αρχή Ο(0, 0),

είναι εικόνα του μιγαδικού – z = – α – βi.

Το σημείο Μ3, συμμετρικό του Μ ως προς άξονα τον y΄y, είναι

εικόνα του μιγαδικού – α + βi.

1.4 Δυνάμεις του i

Για τις δυνάμεις του i έχουμε: 0i 1 , 1i i , 2i 1 , 3 2i i i i .

Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι είναι: 4 2 2i i i 1 , 5 4i i i 1 i i , 6 4 2 2i i i 1 i 1 , 7 4 3 3i i i 1 i i , δηλαδή μετά το 4i , οι τιμές του νi επαναλαμβάνονται.

Γενικά ισχύει το παρακάτω. Θεώρημα

Αν ο αριθμός ν είναι θετικός ακέραιος, τότε ισχύει ν υi i , όπου υ είναι το υπόλοιπο της

ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4.

Απόδειξη

Από την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης έχουμε: ν 4ρ υ , όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο.

Προφανώς οι αριθμοί ρ, υ είναι θετικοί ακέραιοι και 0 υ 3 .

Είναι ν 4ρ υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υi i i i (i ) i 1 i i .

Άρα ν υi i , με υ = 0, 1 , 2 , 3.

Για να υπολογίσουμε λοιπόν, μια συγκεκριμένη δύναμη του i, διαιρούμε τον εκθέτη με το 4 και

βρίσκουμε το υπόλοιπο.

Έτσι θα έχουμε: ν υ

1, αν υ 0

i, αν υ 1i i

1, αν υ 2

i, αν υ 3

.

Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

i) Για να βρούμε το 314i διαιρούμε το 314 με το 4 και βρίσκουμε το υπόλοιπο, που είναι το 2, οπότε 314 2i i 1 .

ii) 1423 355 4 3 3i i i i . iii) 14

14 2

1 1 1i 1

1i i

. iv) 39

39 9 4 3 3 4

1 1 1 i ii i

1i i i i

.

α x

y

Ο

Μ(α, β)

ή Μ(z) β

- α

- β

Μ(z)

x

y

β Μ3

Μ1

Μ2

α


1z z , 2

z z z , … και γενικά

ν ν 1z z z

, για κάθε θετικό ακέραιο ν, με ν > 1.

Αν z 0 , ορίζουμε 0z 1 και ν

ν

1z

z

, για κάθε θετικό ακέραιο ν.

Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και για τις δυνάμεις

των πραγματικών αριθμών.

Σχόλια

α) Προφανώς οι γνωστές ταυτότητες που ισχύουν στο ισχύουν και στο . Έτσι: 2 2 2 2 2

(α βi) α 2αβi (βi) (α β ) 2αβi .

3 3 2 2 3 3 2 2 3(α βi) α 3α βi 3α(βi) (βi) (α 3αβ ) (3α β β )i .

2 2 2 2(α βi)(α βi) α (βi) α β .

Η τελευταία δηλώνει, ότι στο ένα άθροισμα τετραγώνων δύο πραγματικών αριθμών μπορεί να

αναλυθεί σε γινόμενο δύο παραγόντων.

Π. χ Για να απλοποιήσουμε τα κλάσματα 2 2 3 3α β α β i

καια βi α βi

, με α, β 0 γράφουμε:

2 2 2 2 2α β α β i (α βi)(α βi)α βi

α βi α βi α βi

και

3 3 3 3 3 2 2 22 2α β i α β i (α βi)(α αβi β i )

(α β ) αβiα βi α βi α βi

.

β) Αν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ισχύει 2 2α β 0 , τότε είναι α = β = 0, ενώ αν στο

σύνολο των μιγαδικών αριθμών ισχύει 2 2u v 0 , τότε δεν είναι κατ’ ανάγκη u = v = 0.

Π. χ Για τους u = 2 και v = 2i έχουμε 2 2u v 4 4 0 , χωρίς να είναι κανένας 0.

2.2.1 Ρίζα μιγαδικού αριθμού

Ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού z ένα μιγαδικό w τέτοιον, ώστε να ισχύει νw z .

Προφανώς τετραγωνική ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού z α βi είναι ο μιγαδικός αριθμός w x yi

για τον οποίο ισχύει: 2w z 2(x yi) α βi (1)

Για να βρούμε την τετραγωνική ρίζα λύνουμε την παραπάνω εξίσωση και βρίσκουμε τους x, y.

Π. χ Να βρείτε την τετραγωνική ρίζα του μιγαδικού αριθμού i125z .

Λύση

Έστω ο μιγαδικός w = x + yi, x, y , με την ιδιότητα 2w z . Τότε

2(x yi) 5 12i ή 2 2x y 2xyi 5 12i ή 2 2x y 5 (1) και xy = – 6 (2).

Για y = 0 η (2) είναι αδύνατη, οπότε 6

xy

και η (1) γράφεται

2 4 2 2 2

2

36y 5 y 5y 36 0 y 9 ή y 4

y που απορρίπτεται, οπότε y 3 και x 2 .

Άρα w 2 3i ή w 2 3i .

Σχόλιο

Το σύμβολο ν α δεν πρέπει να ξεχνάμε, ότι χρησιμοποιείται μόνο όταν ο ν είναι θετικός ακέραιος 2

και ο α μη αρνητικός αριθμός. Επομένως το σύμβολο ν z δεν υπάρχει στο σύνολο των μιγαδικών .


2.2.2 Γεωμετρικοί τόποι

Γνωρίζουμε από τη γεωμετρία ότι: Γεωμετρικός τόπος είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου

(χώρου) τα οποία έχουν, αυτά και μόνο, μια συγκεκριμένη ιδιότητα.

Για παράδειγμα ο κύκλος είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση

από γνωστό σημείο.

Γενικά, όταν μας ζητούν το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ενός μιγαδικού z, γράφουμε το

μιγαδικό στη μορφή z = x + yi, με x, y και προσπαθούμε να βρούμε τη σχέση που συνδέει τα

x, y μεταξύ τους.

Η σχέση αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας ή μιας καμπύλης (συνήθως γνωστής, όπως κύκλος, έλλειψη,

παραβολή, υπερβολή ή τυχαίας). Ακόμη η σχέση μεταξύ των x, y μπορεί να είναι μια ανίσωση (π. χ x >

2y) που επαληθεύεται συνήθως από το σύνολο των σημείων ενός ημιεπίπεδου.

Δίνουμε δύο παραδείγματα.

α) Θεωρούμε τους μιγαδικούς i)13(2z , λ . (1) Να βρείτε:

i) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z.

ii) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w, με )i1(zw .

iii) Το μιγαδικό z του οποίου η εικόνα απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων.

Λύση

i) Έστω z = x + yi, με x, y . Τότε η σχέση (1) γράφεται:

x yi 2 (3 1)i x 2 y 3 1 , οπότε έχουμε λ = x – 2 και y = 3(x – 2) – 1. Άρα

y = 3x – 7. Συνεπώς ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία y = 3x – 7.

─ ∙ ─

ii) Έστω w i, , . Τότε i z 1 i 2 (3 1)i 1 i ή

i z 1 i 3 3 i , οπότε α = λ + 3 και β = 3λ ή

λ = α – 3 και β = 3(α – 3) ή β = 3α – 9.

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία β = 3α – 9.

─ ∙ ─

iii) Στο (i) ερώτημα βρήκαμε, ότι οι εικόνες του z κινούνται στην

ευθεία (ε) με εξίσωση y = 3x – 7. Δηλαδή κάθε σημείο Μ της

ευθείας (ε) είναι εικόνα ενός από τους μιγαδικούς z που ικανοποιούν

την (1). Για κάθε θέση του Μ στην (ε) έχουμε και μια τιμή για την

απόσταση ΟΜ.

Είναι προφανές, γνωστό από τη γεωμετρία, ότι η απόσταση ΟΜ

παίρνει τη μικρότερη τιμή, όταν η ΟΜ γίνει κάθετη στην (ε).

Επομένως ο μιγαδικός z που η εικόνα του βρίσκεται πλησιέστερα από την αρχή Ο, έχει εικόνα το

σημείο Μ που είναι σημείο τομής της (ε) και της κάθετης από το Ο στην (ε).

Για να βρούμε λοιπόν, τις συντεταγμένες του σημείου Μ, δηλαδή το μιγαδικό z, αρκεί να λύσουμε το

σύστημα των εξισώσεων της ευθείας (ε) και της ευθείας ΟΜ που είναι κάθετη στην (ε).

Επειδή η ευθεία ΟΜ είναι κάθετη στην (ε) έχει συντελεστή κατεύθυνσης λ τέτοιο, ώστε

ελ λ 1 ή 1

λ 3 1 ή λ3

.

Ακόμη η ευθεία ΟΜ διέρχεται από την αρχή των αξόνων, οπότε έχει εξίσωση της μορφής y = λx.

Άρα η ευθεία ΟΜ έχει εξίσωση 1

y x3

.

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων y = 3x – 7 και 1

y x3

, οπότε έχουμε

1 21x 3x 7 x 9x 21 x

3 10 και

1 21 7y

3 10 10 .

Άρα ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο 21 7

z i10 10

.

Μ

y

x Ο

(ε)

Μ


Λύση

Η Re(z) 2 γράφεται 2 x 2 και προφανώς τα σημεία του

επιπέδου που την ικανοποιούν είναι όσα βρίσκονται μεταξύ των

ευθειών x = –2 και x = 2. Τα σημεία που ικανοποιούν τη σχέση 0 Im(z) 3 ή 0 < y < 3

είναι όσα βρίσκονται μεταξύ των ευθειών y = 0 και y = 3.

Άρα το σύνολο των σημείων που ικανοποιούν και τις δύο σχέσεις

είναι τα εσωτερικά σημεία του ορθογώνιου ΑΒΓΔ .

9. Θεωρούμε τους μιγαδικούς 2z 1 ( 2 2)i , . (1)

Να βρείτε: α) τη γραμμή που διαγράφει η εικόνα Μ του z.

β) Τους μιγαδικούς z1, z2 των οποίων οι εικόνες Μ, N σχηματίζουν με τον θετικό ημιάξονα των x γωνίες

ΜΟx και ΝΟx που είναι αντίστοιχα η μεγαλύτερη και η μικρότερη δυνατή.

Λύση

α) Έστω z = x + yi, με x, y . Τότε η σχέση (1) γράφεται: 2x yi 1 ( 2 2)i , οπότε x 1 και 2y 2 2 ,

από τις οποίες έχουμε λ = x + 1 και 2y (x 1) 2(x 1) 2 ή 2y f (x) x 1 . (2)

─ ∙ ─

β) Η (2) είναι μια παραβολή και προφανώς τα ζητούμενα σημεία

είναι τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων από το Ο στην παραβολή.

Ζητάμε λοιπόν, τις εξισώσεις των εφαπτόμενων.

Έστω 1 1M(x , y ) το σημείο επαφής. Τότε η εξίσωση της εφαπτόμενης είναι

1 1 1y f (x ) f (x )(x x ) ή 21 1 1y x 1 2x (x x ) και επειδή διέρχεται από την αρχή Ο έχουμε

2 21 1 1 1 10 x 1 2x (0 x ) x 1 x 1 .

Άρα τα σημεία είναι Μ(–1, 2) και Ν(1, 2) , οπότε οι μιγαδικοί είναι οι z1 = –1 + 2i και z2 = 1 + 2i.

10. Έστω z μιγαδικός αριθμός και Μ η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Αν Α είναι η εικόνα του z + 2

και Β η εικόνα του 2z + 1 να βρεθούν:

α) ο γεωμετρικός. τόπος του Μ , όταν τα Μ, Α, Β είναι συνευθειακά,

β) ο γεωμετρικός. τόπος του Μ, όταν M .

Λύση

Έστω z = x + yi, με x, y . Τότε z + 2 = (x + 2) + yi και 2 2 2z 1 (x y 1) 2xyi .

Έτσι τα σημεία είναι M(x, y), A(x + 2, y) και Β( 2 2x y 1 , 2xy)

α) Προφανώς το ΑΜ είναι παράλληλο στον άξονα x΄x, οπότε, για να είναι τα Μ, Α, Β συνευθειακά,

πρέπει και το ΑΒ να είναι παράλληλο στον άξονα x΄x, δηλαδή πρέπει 2xy – y = 0 1

y 0 ή x2

.

─ ∙ ─

β) Πρέπει AΜ AB 0 ή 2 22(x y x 1) 0(2xy y) 0 ή

22

2 2 2 2

2 2

1(x )

1 5 y2x y x 1 0 (x ) y 12 4 5 5

2 2

που είναι εξίσωση υπερβολής.

11. Να αποδείξετε ότι, αν οι μιγαδικοί z,...,z,z 21 έχουν τις εικόνες τους στο ίδιο ημιεπίπεδο μιας

ευθείας που διέρχεται από την αρχή )0,0(O , τότε ισχύει 0z...zz 21 .

O x

y

Ν Μ

1


είναι συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. x΄x.

Επομένως: Οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο ενός μιγαδικού αριθμού και του συζυγή του είναι

σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. x΄x.

Αν z α βi είναι ένας μιγαδικός αριθμός και z α βi ο συζυγής του, τότε μπορούμε εύκολα με

εκτέλεση των πράξεων, να διαπιστώσουμε ότι:

z z 2α 2Re(z) και z z 2βi 2iIm(z)

Αν z z 0 ή z z , τότε 2iIm(z) = 0, οπότε Im(z) = 0, δηλαδή z . Άρα,

Ένας μιγαδικός αριθμός είναι πραγματικός, αν και μόνο αν ο μιγαδικός είναι ίσος με το συζυγή

του, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει z z

Aν z z 0 ή z z , τότε 2Re(z) = 0, οπότε Re(z) = 0, δηλαδή zI. Άρα,

Ένας μιγαδικός αριθμός είναι φανταστικός, αν και μόνο αν είναι ίσος με τον αντίθετο του

συζυγή του, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει z z

Αν z α βi είναι ένας μιγαδικός αριθμός και z α βi ο συζυγής του, τότε

2 2(α βi)(α βi) α β . Επομένως 2 2z z α β . Δηλαδή:

Το γινόμενο ενός μιγαδικού επί το συζυγή του ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων του

πραγματικού και του φανταστικού μέρους του. Π. χ (2 + 3i)(2 – 3i) = 22 + 3

2 = 13.

2.5.1 Διαίρεση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών

Για να εκφράσουμε το πηλίκο (quotient) α βi

γ δi

, όπου γ δi 0 , στη μορφή κ λi , πολλα-

πλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε:

α βi (α βi)(γ δi)

γ δi (γ δi)(γ δi)

2 2

(αγ βδ) (βγ αδ)i

γ δ

2 2 2 2

αγ βδ βγ αδi

γ δ γ δ

.

Δηλαδή: 2 2 2 2

α βi αγ βδ βγ αδi

γ δi γ δ γ δ

.

Π. χ 22 3i (2 3i)(1 2i) 2 4i 3i 6i

1 2i (1 2i)(1 2i) 1 4

4 7i 4 7i

5 5 5

.

2.5.2 Ιδιότητες των συζυγών μιγαδικών αριθμών

Αν 1z α βi και 2z γ δi είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύουν:

α) Ο συζυγής του αθροίσματος δύο ή περισσοτέρων μιγαδικών αριθμών είναι ίσος με το άθροισμα

των συζυγών τους.

1 2 1 2z z z z και 1 2 ν 1 2 νz z ... z z z ... z

Απόδειξη

Έχουμε 1 2z z (α βi) (γ δi) (α γ) (β δ)i (α γ) (β δ)i (α βi) (γ δi) 1 2z z .

β) Ο συζυγής της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών είναι ίσος με διαφορά των συζυγών τους.

1 2 1 2z z z z


Η (1) είναι μια εξίσωση 2ου

βαθμού με 2 2(2 i) 4(3 i) 4 1 4i 12 4i 9 (3i) .

Έχουμε 1,2

2 i 3iz

2

, οπότε 1 2z 1 2i z 1 i .

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι 1z 1 2i , 2 3z 1 i z 1 .

2.6.1 Επίλυση της εξίσωσης 2αz βz γ 0 , με α 0 ,

όταν οι συντελεστές α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί

Μέχρι τώρα γνωρίζουμε ότι, αν η διακρίνουσα Δ είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Αυτό το

«δεν έχει ρίζες» σημαίνει ότι, δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι, κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς

συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο .

Πράγματι, έστω η εξίσωση 2αz βz γ 0 , με α,β,γ και α 0 .

Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο

συμπλήρωσης τετραγώνων. Έχουμε: 2 2

2 2 2β γ β β β γαz βz γ 0 z z 0 z 2 z 0

α α 2α 2α 2α α

ή

2

2

βz

2α 4α

, όπου 2β 4αγ η διακρίνουσα της εξίσωσης.

Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

0 . Τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: 1,2

βz

2α

.

0 . Τότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: β

z2α

.

0 . Τότε, επειδή

22 2

2 2 2

( 1)( ) i ( ) i

2α4α 4α (2α)

, η εξίσωση γράφεται:

22β i

z2α 2α

. Άρα οι λύσεις της είναι 1,2

β iz

2α

, δηλαδή:

1

βz i

2α 2α

και 2

βz i

2α 2α

οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.

Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές και δια-κρίνουσα αρνητική έχει

ρίζες δυο μιγαδικούς και συζυγείς αριθμούς που δίνονται από τον τύπο:

1,2

β i βz i

2α 2α 2α

Π.χ Η εξίσωση 2z 4z 3 0 έχει 16 12 4 0 και οι λύσεις της είναι

1

4 2z 3

2

, 2

4 2z 1

2

.

Η 2z 2z 1 0 έχει 4 4 0 και οι λύσεις της είναι 1 2

2z z 1

2

.

Τέλος η εξίσωση 2z 2z 5 0 έχει 4 20 16 0 και οι λύσεις της είναι οι συζυγείς

μιγαδικοί αριθμοί 1

2 i 16z 1 2i

2

, 2

2 i 16z 1 2i

2

.

Σχόλια


α) Οι γνωστές σχέσεις 1 2S z z

και 1 2P z z

ισχύουν, όπως είναι φανερό, και όταν οι

ρίζες είναι μιγαδικοί αριθμοί.

Π. χ Αν μια ρίζα της εξίσωσης 0xx2 2 , όπου , , είναι το 2 3i , τότε μπορούμε να

βρούμε τις τιμές των β και γ με τη βοήθεια των S και P.

Πράγματι, αφού η εξίσωση έχει πραγματικούς συντελεστές , η άλλη ρίζα είναι το 2 – 3i, οπότε

S = 2 + 3i + 2 – 3i = 4 και P = (2 + 3i)(2 – 3i) = 13.

Είναι όμως S2

και P

2

, οπότε 4 13 ή 8 26

2 2

.

β) Είδαμε στα προηγούμενα ότι, αν μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει αρνητική διακρίνουσα και

πραγματικούς συντελεστές, τότε έχει δυο συζυγείς μιγαδικές ρίζες.

Γενικά το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή υπάρχει περίπτωση μια δευτεροβάθμια εξίσωση να έχει δυο

μιγαδικές και συζυγείς ρίζες, χωρίς οι συντελεστές της να είναι πραγματικοί αριθμοί.

Π. χ η 2(2 i)z (4 2i)z 7(2 i) 0 .

2.7 Βασικές προτάσεις

Θα αποδείξουμε τώρα μερικές προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατόν να δοθούν ως ασκήσεις, αλλά και

να χρησιμοποιηθούν στη λύση άλλων ασκήσεων, αφού πρώτα αποδειχθούν.

α) Αν μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δυο μιγαδικές και συζυγείς ρίζες, και ένας από τους

συντελεστές της είναι πραγματικός αριθμός, τότε αναγκαστικά και οι άλλοι θα είναι πραγματικοί

αριθμοί.

Απόδειξη

Έστω η εξίσωση 2z z 0 , με ρίζες τους συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς 1z και 2z . Έστω ακόμη

ότι ο α είναι πραγματικός αριθμός. Θα αποδείξουμε ότι οι β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί.

Είναι 1 2S z z

και 1 2P z z

.

Επειδή οι 1 2z ,z είναι συζυγείς έχουμε 1 2z z και 1 2z z , οπότε

και

.

Συνεπώς και .

Με ίδιο τρόπο αποδεικνύεται, όταν β ή γ .

β) Αν μια πολυωνυμική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές έχει ρίζα το μιγαδικό αριθμό

z0 = α + βi, θα έχει υποχρεωτικά ως ρίζα και το συζυγή του 0z i .

Απόδειξη

Μια πολυωνυμική εξίσωση, όπως ξέρουμε, έχει τη μορφή 1

1 1 0z z ... z 0 , με 1 1 0, , ..., , 0 .

Ο αριθμός 0z είναι ρίζα της εξίσωσης, οπότε ισχύει 10 1 0 1 0 0z z ... z 0

.

Συνεπώς 10 1 0 1 0 0z z ... z 0

ή 10 1 0 1 0 0z z ... z 0

ή

10 1 0 1 0 0z z ... z 0

ή 1

0 1 0 1 0 0z z ... z 0

.

Η τελευταία σημαίνει ότι ο 0z είναι ρίζα της εξίσωσης.

Π. χ Η εξίσωση 3 2z 3z 4z 2 0 έχει πραγματικούς συντελεστές.

Αν είναι γνωστό ότι έχει ρίζα το 1 + i, θα έχει ρίζα και το συζυγή του 1 – i , οπότε έχει παράγοντες τους

z – 1 – i και z – 1 + i.

Επομένως η εξίσωση γράφεται (z 1 i)(z 1 i) (z) 0 , όπου π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης του


2.8 Εφαρμογές

1. Για τους μιγαδικούς z1, z2 0 να αποδείξετε ότι 1 1 2 1 2

2 2 2

z (z z z z )iIm( )

z 2z z

.

Λύση

Από την ισότητα z z 2i Im(z) έχουμε: 1 1 1

2 2 2

z z z2i Im( )

z z z 1 2 1 2

2 2

z z z z

z z

, οπότε

1

2

zIm( )

z 1 2 1 2

2 2

z z z z

2i z z

1 2 1 2

22 2

z z z zi

2i z z

1 2 1 2

2 2

z z z zi

2( 1) z z

1 2 1 2

2 2

(z z z z )i

2z z

.

2. Αν 8

8

z 1w

z 1

, όπου

2 3iz

2 3i

, να αποδείξετε ότι wΙ.

Λύση

Είναι

8

8 8 8

8 8 8 8

2 3i1

z 1 (2 3i) (2 3i)2 3iw

z 1 (2 3i) (2 3i)2 3i1

2 3i

.

Έχουμε 8 8 8 8 8

8 8 88 8

z 1 (2 3i) (2 3i) (2 3i) (2 3i)w w

z 1 (2 3i) (2 3i)(2 3i) (2 3i)

. Άρα ο w είναι φανταστικός.

3. Να λυθεί στο η εξίσωση (3 2i)z (1 3i)z 5 4i 4 2i . (1)

Λύση

Για z = x + yi η (1) γράφεται: (3 2i)(x yi) (1 3i)(x yi) 5 4i 4 2i ή

3x 3yi 2xi 2y x yi 3xi 3y 5 4i 4 2i ή (4x 5y 5) (x 2y 4)i 4 2i ή

4x 5y 5 4 και x 2y 4 2 .

Έχουμε λοιπόν το σύστημα : 4x 5y 9 και x 2y 6 , του οποίου η λύση είναι

x = 16 και y = – 11. Άρα z = 16 – 11i.

4. Αν οι μιγαδικοί z1, z2 είναι ρίζες της εξίσωσης 2z 3z 7 0 , να βρείτε την τιμή της παράστασης 3 3

1 2 1 2

1 2 1 2

z z z zK

3z 3z 4z z

χωρίς να λύσετε την εξίσωση.

Λύση

Είναι 1 2z z 3 και 1 2z z 7 .

Η παράσταση γράφεται: 3 3 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

z z z z z z (z z )K

3z 3z 4z z 3(z z ) 4z z

2 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2

z z [(z z ) 2z z ] 7[( 3) 2 7] 35

3(z z ) 4z z 3( 3) 4 7 37

.

5. Δίνονται οι 1w z 2i και 2w K 3 i , με 5 iz 2i 3z

, z 2iz 2i

.

α) Να αποδείξετε ότι 1 2w w 7 4i . β) Να λύσετε την εξίσωση K 2 3i ,

γ) Να αποδείξετε ότι, το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία Γ (εικόνα της λύσης της εξίσωσης),


13. Θεωρούμε τα πολυώνυμα 2(z) z z , 2f (z) z z και (z) z 1 (1 z) ,

όπου , * , ν άρτιος θετικός, z και 24 . Αν 1 2z ,z είναι κοινές ρίζες των (z) και

f (z) να αποδείξετε ότι, οι 1

2

z

z και 2

1

z

z είναι ρίζες του (z) .

Λύση

Είναι 1 2z z και 1 2z z . Επειδή το 1z είναι ρίζα του f (z) έχουμε

1f (z ) 0 , οπότε 2

1 1z z 0 2

1 1 2 1 1 2z [ (z z )] z (z z ) 0 .

Διαιρούμε με 1 2z z και έχουμε: 1 1

2 2

z z( ) (1 ) 1 0z z

.

Το τελευταίο σημαίνει ότι το 1

2

z

z είναι ρίζα του (z) . Ομοίως για το 2

1

z

z.

2.9 Ασκήσεις

Α΄ Ομάδα

1. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β , ώστε να ισχύει 2 3i

i1 i

.

2. Να γράψετε στη μορφή i τους μιγαδικούς αριθμούς:

α) 3 2i 2i 1

i 2 3i 2

, β)

3 2i

3 2i

, γ) 3(1 i) , δ)

2 3i

(1 i)(1 2i)

, ε)

1 i, (0, )

1 i 2

.

3. Αν α, β, γ, δ * να βρείτε τη σχέση που ισχύει, όταν είναι γνωστό ότι ο αριθμός i

i

είναι

πραγματικός.

4. Αν iz με 0 και z ο συζυγής του, ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή;

Α. zz πραγματικός αριθμός, Β. zz φανταστικός αριθμός, Γ. zz φανταστικός αριθμός,

Δ. zz πραγματικός αριθμός, Ε. zz πραγματικός αριθμός.

5. Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών 1z και 2z στο μιγαδικό επίπεδο είναι στο ίδιο

τεταρτημόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις μπορεί να ισχύει; Α. 21 zz Β. 21 zz

Γ. 21 zz Δ. 0)zIm()zIm( 21 Ε. κανένα από τα παραπάνω.

6. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός (1 i ) (1 i ) είναι φανταστικός.

7. Αν ισχύει zIm(w) wIm(z) , τότε να αποδείξετε ότι ο zw είναι πραγματικός αριθμός.

8.Η εξίσωση z 2α i(z 2) 0 , α , (1) έχει λύση ένα φανταστικό αριθμό.

α) Να βρείτε την τιμή του α.

β) Να λύσετε την εξίσωση, για την τιμή του α που βρήκατε, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

9. Να γραφεί στη μορφή i , με , ο μιγαδικός 208 202

204 206

(1 i) (1 2i) (1 i) (5 3i)z 2

(1 i) (4 3i) (1 i) (4 7,5i)

.

10. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις

παρακάτω σχέσεις: α) i6zz , β) 22 zz , γ) 22 zz , δ) z2z .

11. Να βρείτε τους μιγαδικούς yixz , x,y , για τους οποίους ισχύει 01z2z2 .

12. Αν η εξίσωση 2x x 0, , έχει ρίζα τον i2 , τότε ισχύει: Α. 6 και 5 ,

Β. 4 και 1 , Γ. 3 και 4 , Δ. 4 και 5 , Ε. 5 και 4 .

13. Η εξίσωση 2x x 5 0, μπορεί να έχει ρίζα τον αριθμό:

Α. i3 Β. i2 Γ. i1 Δ. i3 Ε. i3 .

14. Να βρεθούν οι τιμές του x , για τις οποίες η εικόνα του z = x + (x – 2)i ανήκει σε κύκλο

κέντρου Κ(1, 1) και ακτίνας ρ = 2.


3. Μέτρο μιγαδικού αριθμού

3.1 Μέτρο μιγαδικού αριθμού

Έστω M(x, y) η εικόνα του μιγαδικού z = x + yi στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο

(modulus) του z και συμβολίζουμε με z x yi την απόσταση του Μ από την αρχή Ο,

δηλαδή 2 2z OM x y .

Π. χ Ο μιγαδικός z = 2 – 3i έχει μέτρο 2 2z 2 3i 2 ( 3) 13 .

Όταν ο μιγαδικός z είναι πραγματικός, δηλαδή είναι της μορφής

z x 0i x , τότε 2 2z x 0 x , που είναι η γνωστή μας απόλυτη

τιμή του πραγματικού αριθμού x.

Η φανταστική μονάδα έχει μέτρο 1, γιατί 2 2i 0 1 i 0 1 1 .

Όταν ο μιγαδικός z είναι φανταστικός, δηλαδή είναι της μορφής

z 0 yi yi, y , τότε 2 2z 0 y y . Συνεπώς, το μέτρο ενός φανταστικού αριθμού είναι ίσο

με την απόλυτη τιμή του φανταστικού μέρους του.

Π. χ Ο μιγαδικός z = – 3i έχει μέτρο z 3 3 .

Έστω ο μιγαδικός z x yi , τότε 2 2 2z x y 2xyi και 2 2 2z x y .

Δηλαδή, για κάθε μιγαδικό z 0 ισχύει 2 2

z z , εκτός αν ο μιγαδικός είναι πραγματικός, οπότε

ισχύει η ισότητα.

Ισχύει 2 2 2x y x και 2 2 2x y y , οπότε 2 2x y x και 2 2x y y . Δηλαδή, για κάθε

μιγαδικό z ισχύει: z Re(z) και z Im(z) .

3.2 Ιδιότητες του μέτρου

i) Έστω ο μιγαδικός z x yi , τότε ο συζυγής του z x yi , ο αντίθετός του z x yi και ο

αντίθετος του συζυγή του z x yi έχουν ίδια μέτρα.

Επομένως:

ii) Ισχύει: 22 2z z (x yi)(x yi) x y z . Άρα

iii) Αν 1 2z ,z είναι μιγαδικοί αριθμοί και 2z 0 , τότε ισχύουν:

1 2 1 2z z z z και 11

2 2

zz

z z

Απόδειξη

Έχουμε: 1 2 1 2z z z z 2 2 2

1 2 1 2z z z z

1 2 1 2 1 1 2 2(z z )(z z ) z z z z 1 2 1 2 1 1 2 2z z z z z z z z

Μ(x, y)

x x

y

Ο

y z

z z z z

2z z z


μόνο από τους μιγαδικούς z, οι εικόνες των οποίων ανήκουν στη μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήμα-

τος με άκρα τα σημεία Α(3, 2) και Β(1, –2).

Η εξίσωση (1) της μεσοκάθετης γράφεται: x yi 3 2i x yi 1 2i

(x 3) (y 2)i (x 1) (y 2)i 2 2 2 2(x 3) (y 2) (x 1) (y 2)

2 2 2 2x 6x 9 y 4y 4 x 2x 1 y 4y 4 8y 4x 8 1

y x 12

.

Σχόλιο

Αν z τυχαίος μιγαδικός αριθμός και 1 2z , z γνωστοί μιγαδικοί, με

εικόνες Ν, Α, Β αντίστοιχα, τότε η ανισότητα 1 2

z z z z (2),

δηλώνει ότι, η απόσταση ΑΝ του Ν από το Α είναι μεγαλύτερη από

την απόσταση ΒΝ του Ν από το Β δηλαδή ΑΝ > ΒΝ. Συνεπώς η (2)

επαληθεύεται από όλους τους μιγαδικούς z των οποίων οι εικόνες

Ν βρίσκονται στο ημιεπίπεδο που ορίζουν η μεσοκάθετη (ε) του

ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τις εικόνες των z1, z2 και η εικόνα του z2.

Το ότι είναι ΑΝ > ΒΝ, αποδεικνύεται με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΜΝΒ.

Πράγματι, ισχύει ΜΝ + ΜΒ > ΝΒ και επειδή το Μ είναι σημείο της μεσοκάθετης, θα είναι ΜΑ = ΜΒ,

οπότε ΜΝ + ΜΑ > ΝΒ ή ΝΑ > ΝΒ.

δ) Έλλειψη – υπερβολή – παραβολή

Έστω ότι ισχύει z z 2 (1), με α > γ > 0 και z = x + yi τυχαίος μιγαδικός αριθμός. Η (1)

δηλώνει ότι, το άθροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του z από τα σημεία Ε΄(–γ, 0) και Ε(γ, 0)

είναι σταθερό και ίσο με 2α.

Συνεπώς η εικόνα του z κινείται σε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε΄, Ε, εστιακή απόσταση 2γ, μεγάλο

άξονα μήκους 2α, μικρό άξονα μήκους 2β, 2 2 2 και εξίσωση 2 2

2 2

x y1

.

Έστω ότι ισχύει z z 2 (1), με γ > α > 0 και z = x + yi τυχαίος μιγαδικός αριθμός. Η (1)

δηλώνει ότι, η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του z από τα σημεία Ε΄(–γ, 0) και Ε(γ, 0) είναι

σταθερό και ίσο με 2α.

Συνεπώς η εικόνα του z κινείται σε υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε΄, Ε, εστιακή απόσταση 2γ, σταθερή

διαφορά 2α, 2 2 2 , ασύμπτωτες τις ευθείες y x

, y x

και εξίσωση 2 2

2 2

x y1

.

Έστω ότι ισχύει p p

z Re(z)2 2

(1), όπου z = x + yi τυχαίος μιγαδικός αριθμός. Η (1) δηλώνει

ότι, η απόσταση της εικόνας Μ του z από το σημείο Ε(p

2, 0) είναι ίση με την απόσταση του Μ από την

ευθεία x = – p

2. Συνεπώς η εικόνα του z κινείται σε παραβολή με εστία το σημείο Ε, διευθετούσα την

ευθεία x = – p

2, απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα ίση με p και εξίσωση 2y 2px .

3.4 Βασικές προτάσεις

Θα αποδείξουμε τώρα μερικές προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατόν να δοθούν ως ασκήσεις, αλλά και

να χρησιμοποιηθούν στη λύση άλλων ασκήσεων, αφού πρώτα αποδειχθούν.

α) Αν για κάποιο μιγαδικό αριθμό ισχύει z ρ 0 , τότε 2

ρz

z

x

y

Ο

(ε)

A(z1)

B(z2)

N(z)

M


ii) Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των z, w και z + w αντίστοιχα και τα Ο, Α, Β δεν είναι συνευθειακά σημεία,

τότε τα διανύσματα και είναι κάθετα.

107. Για ένα μιγαδικό z = α + βi, με 0 ισχύει 5 46z 5iz 5iz 6 0 (1). Να αποδείξετε ότι z 1 .

108. Αν 1 2z z 0 , 3 4z z 0 , 1 2 3 4z z z z και 3 4 1 2z z z z , τότε:

2 2 2 2

1 3 2 4

1 3 2 4

z z z zz

z z z z

109. Δίνεται ο 0z με 0Imz 999 και το σύνολο Α των μιγαδικών z με 0z z και 0z z που

ικανοποιούν τη σχέση 0 0 0 0

1 1 1998

z z z z z z z z

. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση που

μπορούν να απέχουν μεταξύ τους οι εικόνες δύο μιγαδικών αριθμών του Α.

Να εξετάσετε την περίπτωση 0 0z z .

110. Αν Α, Β, Γ, Δ οι εικόνες των 1 2 3 4z ,z ,z ,z με 1 2 3 4z z z z 1 και 1 2 3 4z z z z 0 , τότε

το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο.

111. Θεωρούμε τους ακέραιους 1 2, ,..., και 1 2, ,..., που είναι 2ν το πλήθος, με * , και από

αυτούς κατασκευάζουμε τους 1 2x ,x ,...,x ως εξής: 2 2

1 1 1x , 2 2

2 2 2x , …, 2 2x .

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο ακέραιοι α, β ώστε να είναι 2 2

1 2x x ... x .

112. Οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ και z πληρούν τις σχέσεις: z 1 1 (1), α γ (2)

και 2z z 2 z (3). Να αποδείξετε ότι 2 2

.

113. Αν οι μιγαδικοί 1 2z ,z είναι ρίζες της εξίσωσης 2z 2 z 0 , , και 2 , να αποδείξετε ότι 1 2z z .

3.7 Ασκήσεις επανάληψης

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). α) Αν z ένας μιγαδικός αριθμός, τότε ισχύει z z i z . Σ Λ

β) Ο συζυγής του z – 3i είναι ο z + 3i. Σ Λ

γ) Ο 2 + 3i είναι ρίζα της εξίσωσης 2z 3iz 6i 4 , οπότε και ο 2 – 3i είναι ρίζα της εξίσωσης.

Σ Λ

δ) Όταν η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης 2z z 0 με α, β, γ και α 0 είναι αρνητική, τότε η

εξίσωση έχει ρίζες στο σύνολο των μιγαδικών. Σ Λ

ε) Αν 1 2z ,z μιγαδικοί, τότε ισχύει: 2 1 1 2 1 2z z z z z z . Σ Λ

στ) Η διαφορά των μέτρων δύο μιγαδικών είναι ίση με την απόσταση των εικόνων τους. Σ Λ

ζ) Οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο ενός μιγαδικού αριθμού και του συζυγή του είναι σημεία συμμετρικά

ως προς τον πραγματικό άξονα. x΄x. Σ Λ

η) Αν 0)zzRe( 21 τότε ισχύει πάντα 0)zRe()zRe( 21 . Σ Λ

θ) Αν δυο μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα, τότε είναι ίσοι. Σ Λ

ι) Η εξίσωση 21 zzzz με z και 1 2z ,z έχει μόνο μία λύση. Σ Λ

ια) Αν οι εικόνες των 321 z,z,z στο μιγαδικό επίπεδο δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε το

σύστημα 321 zzzzzz με άγνωστο τον z έχει άπειρες λύσεις. Σ Λ

ιβ) Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: i 0 0 ή 0 . Σ Λ

ιγ) Αν 1 2z ,z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει 1 2 1 2z z z z . Σ Λ

ιδ) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει 2 2z z . Σ Λ

2. Στα παρακάτω να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

α) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z βρίσκεται πάνω στον κύκλο z 1 2 , τότε η εικόνα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Κρίνουμε σκόπιμο να μην αναφέρουμε τη χρονιά που δόθηκαν τα θέματα, για να μην επηρεάζουμε

είτε θετικά είτε αρνητικά τους υποψήφιους . Έτσι αναφέρονται εδώ ως τετράδες, 1η τετράδα, 2

η τετράδα

κ.λ.π χωρίς να αντιστοιχεί η τετράδα στη χρονολογία.

1η τετράδα:

ΘΕΜΑ 1ο

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f (x) x , x είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει

( x) x . Μονάδες 8

Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ , ] του πεδίου

ορισμού της; Μονάδες 4

Α3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο 0x A (ολικό) μέγιστο, το

0f (x ) ; Μονάδες 3

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα

που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση

είναι λανθασμένη. α. Αν xf (x) , 0 , τότε ισχύει x x 1( ) x .

β. Αν ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof , τότε πάντοτε ισχύει fog gof .

γ. Αν x x0

lim f (x)

ή , τότε x x0

1lim 0

f (x) .

δ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ , ] και ισχύει f (x) 0 για κάθε

x [ , ] , τότε f (x)dx 0

. ε. Για κάθε z ισχύει

2z z z Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 2ο

Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2z ,z είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς

συντελεστές για τις οποίες ισχύουν 1 2z z 2 και 1 2z z 5 .

Β1. Να βρείτε τους μιγαδικούς 1 2z ,z . Μονάδες 5

Β2. Αν για τους μιγαδικούς w ισχύει 2 2 2

1 2 1 2w z w z z z , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός

τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση 2 2(x 1) y 4 . Μονάδες 8

Β3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β2 να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει

2 Re(w) Im(w) 0 . Μονάδες 6

Β4. Αν 1 2w ,w είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος Β2 με την ιδιότητα 1 2w w 4 , να

αποδείξετε ότι 1 2w w 2 Μονάδες 6

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται η συνάρτηση f (x) (x 2)lnx x 3 , x 0 .

Γ1. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Μονάδες 5

Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (0,1] και γνησίως αύξουσα

στο διάστημα [1, ) . Μονάδες 5

Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει δύο ακριβώς θετικές ρίζες. Μονάδες 6

Γ4. Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες του ερωτήματος Γ.3 με 1 2x x , να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός

αριθμός 1 2(x ,x ) τέτοιος ώστε f ( ) f ( ) 0 και ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 75

Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα [0,1] , για την οποία ισχύει f (0) 0 .

Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [0,1] , για την οποία ισχύει g(x) 0 για κάθε

x [0,1] . Ορίζουμε τις συναρτήσεις: x

0F(x) f (t)g(t)dt , x [0,1] και

x

0G(x) g(t)dt , x [0,1]

α. Να δειχθεί ότι, F(x) 0 για κάθε x στο διάστημα (0,1] . Μονάδες 8

β. Nα αποδειχθεί ότι: f (x) G(x) F(x) για κάθε x στο διάστημα (0,1] . Μονάδες 6

γ. Nα δειχθεί ότι, ισχύει: F(x) F(1)

G(x) G(1) για κάθε x στο διάστημα (0,1] . Μονάδες 4

δ. Να βρεθεί το όριο:

2x x 2

0 0

x 5x 0

0

f (t)g(t)dt t dt

lim

g(t)dt x

. Μονάδες 7

10η τετράδα:

ΘΕΜΑ 1o

A. Αν 1 1 1 1z ( i ) και 2 2 2 2z ( i ) είναι δύο μιγαδικοί σε τριγωνομετρική

μορφή, τότε να αποδείξετε ότι: 1 2 1 2 1 2 1 2z z [ ( ) i ( )] . Μονάδες 15

Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή

Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Αν f (x)dx 0

, τότε κατ’ ανάγκη θα είναι f (x) 0 για κάθε x [ , ] . Μονάδες 2

β. Η εικόνα f ( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι

διάστημα. Μονάδες 2

γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό

διάστημα [ , ] , στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Μονάδες 2

δ. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [ , ] και σημείο 0x [ , ] στο οποίο

η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Tότε πάντα ισχύει ότι , 0f (x ) 0 . Μονάδες 2

ε. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ , ] και υπάρχει 0x ( , ) τέτοιο, ώστε 0f (x ) 0 ,

τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f ( ) f ( ) 0 . Μονάδες 2

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η συνάρτηση x

x

e 1f (x)

e 1

, x .

α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f 1

. Μονάδες 10

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση 1f (x) 0 έχει μοναδική ρίζα το μηδέν. Μονάδες 5

γ. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

1

121

2

f (x)dx

. Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη στο με τύπο

2 2

22

x z x zf (x)

x z

,όπου z συγκεκριμένος

μιγαδικός αριθμός z i , , με 0 .

α. Να βρείτε τα όρια xlim f (x)

, xlim f (x)

. Μονάδες 8

β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f, εάν z 1 z 1 . Μονάδες 9

γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f. Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 4ο



ΘΕΜΑ 1o

A1. Aν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η

εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (x0, f(x0)). Mονάδες 4

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της,

τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 8,5

Β1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή


α. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x0.

β. Αν η f δεν είναι συνεχής στο x0,τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x0.

γ. Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο x0,τότε η f είναι συνεχής στο x0. Μονάδες 4,5

Β2. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που

αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο x0.

Στήλη Α

συναρτήσεις

Στήλη Β

Εφαπτόμενες

α. 3f (x) 3x , 0x 1 1. y 2x

β. f (x) 2x , 0x2

2.

1y x 1

4

γ. f (x) 3 x , 0x 0

3. y 9x 6

δ. f (x) x , 0x 4 4. y 9x 5

5. δεν υπάρχει

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η συνάρτηση 2z i

f (z)z 2i

, z με z 2i όπου z o συζυγής του z.

α. Να βρείτε την τριγωνομετρική μορφή των μιγαδικών αριθμών: 1w f (9 5i) και

2004

2

2w f (9 5i)

3

. Από 6 μoνάδες

β. Θεωρούμε τον πίνακα 1

1

w 02M

0 w3

, όπου 1w το μέτρο του μιγαδικού αριθμού w1 του

ερωτήματος α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή πρόταση.

Ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ με πίνακα Μ είναι:

Α. στροφή με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και γωνία4

Β. συμμετρία ως προς τον άξονα x΄x

Γ. συμμετρία ως προς τον άξονα y΄y Δ. συμμετρία ως προς την ευθεία y x

Ε. ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο 2

3 . Μονάδες 5

γ. Αν Μ ο πίνακας του ερωτήματος β, τότε να βρεθεί ο πίνακας Χ ώστε να ισχύει: , όπου Κ

είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στο γραμμικό μετασχηματισμό στροφής με κέντρο την αρχή των αξόνων

Ο και γωνία 2

. Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 3ο

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [0,1] και ισχύει f (x) 0 για κάθε x (0,1) .

Aν f (0) 2 και f (1) 4 , να δείξετε ότι:

α. η ευθεία y 3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη 0x (0,1) .

Μονάδες 7


β. Να βρείτε το έτσι, ώστε: 2 2

2 2x 0

x (f (x))lim 3

2x (f (x))

. Μονάδες 7

γ. Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο και f (x) f (x) για κάθε x , να

δείξετε ότι: i. xf (x) 0 , για κάθε x 0 . Μονάδες 6 ii. 1

0f (x)dx f (1) . Μονάδες 4


ΘΕΜΑ 1o

A.1 Να αποδείξετε ότι: ( x) x , x . Μονάδες 10

Α.2 Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή

παράγουσα της f στο Δ; Μονάδες 5

B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή


α. Αν 1 2z ,z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: 1 2 1 2z z z z .

β. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0x και 0g(x ) 0 , τότε η συνάρτηση

f

g είναι

παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει: 0 0 0 00 2

0

f (x )g (x ) f (x )g(x )f(x )

g [g(x )]

.

γ. Για κάθε x 0 ισχύει 1

ln xx

.

δ. Μια συνάρτηση f :A είναι 1–1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η

εξίσωση f (x) y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x .

ε. Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ , ] . Αν G είναι μία παράγουσα της f στο [ , ] ,

τότε f (t)dt G( ) G( )

. Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η συνάρτησηx

x 1

1 ef (x)

1 e

, x .

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της στο . Μονάδες 9

β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

dxf (x) . Μονάδες 9

γ. Για κάθε x 0 να αποδείξετε ότι: x x x xf (5 ) f (7 ) f (6 ) f (8 ) . Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 3ο

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, που ικανοποιούν την ισότητα 10 10(4 z) z και η συνάρτηση f με τύπο

2f (x) x x , .

α. Να αποδείξετε ότι, οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία x 2 . Μονάδες 7

β. Αν η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο τομής της με την ευθεία

x 2 τέμνει τον άξονα y΄y στο 0y 3 , τότε:

i. να βρείτε το α και την εξίσωση της εφαπτομένης (ε). Μονάδες 9

ii. να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f, της εφαπτομένης (ε), του άξονα x΄x και της ευθείας 3

x5

. Μονάδες 9

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται η συνάρτηση f (x) xln(x 1) (x 1)lnx με x 0 .

α. i. Να αποδείξετε ότι: 1

ln(x 1) ln xx

, x 0 .

ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (0, ) . Μονάδες 12

Documents

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ