ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме: «Как решить квадратные

уравнения ?»Работу выполнили

Учащиеся 8 «э» классаМОУ «СОШ №2»

Рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений;

Показать на конкретных примерах использование каждого метода;

Показать «плюсы» и «минусы» каждого из методов;

Выбрать наиболее рациональный метод решения квадратных уравнений;

Цель работы:

У.У. Сойер

Человеку , изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и туже задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

Дадим определение квадратному уравнению:

ax 2+bx+c=0 полное квадратное уравнение

x 2

+px+q=0 приведенное квадратное уравнение

Какими могут быть

квадратные уравнения?

Теперь рассмотрим способы решения квадратных

уравнений. Выберем самый удобный и эффективный

Чтобы решить уравненье,Корни его отыскать,

Нужно немного терпенья,

Ручку, перо и тетрадь.

х2 + 10

х -

24=0

5х2+3х-8=0

Возьмем два квадратных уравнения , да и решим их разными способами!

2

1

Метод разложения на множители

Решим уравнение : х2 + 10х - 24=0.

Разложим на множители левую часть: х2 + 10х – 24 = х2 + 12х -2х

– 24 = = х(х + 12) - 2(х + 12)=

=(х + 12)(х - 2) = 0.

х + 12=0 или х - 2=0 х= -12 х= 2

Ответ: х1= -12, х2 = 2.

Решим уравнение : 5х2 + 3х - 8=0.

Разделим обе части уравнения на 5,

получим приведенное квадратное уравнение

х2 + 0,6х – 1,6=0 Разложим на множители левую часть: х2 + 0,6х – 1,6 = х2 + 1,6х -х

– 1,6 = = х(х + 1,6) -(х + 1,6)=

=(х + 1,6)(х - 1) = 0.

х + 1,6=0 или х - 1=0 х= -1,6 х= 1

Ответ: х1= -12, х2 = 1

1

2

Данный метод применим к обоим уравнения, но второе уравнение

решается труднее. Способ длинный , трудоемкий

Метод выделения полного квадрата

Вспомним формулу - квадрат суммы или разности:

(а±с)2= а2±2ас+с2

Решим уравнение : х2 + 10х - 24=0

х2 + 10х – 24 = =х 2 + 2х5 + 5 2 - 5 2 –

24= = ( х+5) 2 - 25- 24= =(х+5) 2 - 49 =0 (х+5) 2 -49=0 (х+5) 2 =49

х+5= 7 или х+5= - 7

х=2 х= -12 Ответ: х 1=2, х 2 =-

12.

12

Решим уравнение : 5х2 + 3х - 8=0

х2 + 0,6х – 1,6 = =х 2 + 2х0,3 + 0,3 2 -

0,3 2 – 1,6= = ( х+0,3) 2 - 0,09-

1,6= =(х+0,3) 2 – 1,69 =0

(х+0,3) 2 -1,69=0 (х+0,3) 2 =1,69

х+0,3= 1,3 или х+0,3= - 1,3

х=1 х= -1,6 Ответ: х 1=1, х 2 = -

1,6.Данный метод применим к

обоим уравнения, но длинный , трудоемкий .

Графический метод Уравнение x 2+bx+c=0 ,

запишем в виде:x 2 = - bx – c

Построим графики функций:у= x 2 и у= - bx – cпрямаяпарабола

Какая взаимосвязь между корнями квадратного уравнения и взаимном

расположении прямой и параболы?

Нет корней

• Графики не пересекаются

Один

корень

• Одна точка пересечения

Два корня

• Две точки пересеченияАбсциссы точек пересечения

параболы и прямой –являются корнями квадратного

уравнения

??? А второй корень ???

Сделаем еще один рисунок

этого графика

Корень

нашелся!

х2 + 10х - 24=0Построим графики

функций:у= х2 и у= -10х + 24

5х2 + 3х - 8=0Построим графики

функций:у= х2 и у= - 06х +

1,6

х=1 и х≈-1,7

х=2 и х≈-12

1 2

Данный метод не дает точного решения

ax 2 + bx + c = 0 Дискриминант квадратного

уравнения:

D = b2-4ac

Решение квадратных уравнений по формулам

D < 0Нет

решений

D = 0

a

bx

2

D>0

a

Dbx2

,21

х2 + 10х - 24=0

а=1 b=10 c=-24

D=100-4•(-24) •1=196>0уравнение имеет два корня

x 1=-12 и х 2=2

2

1410

2

19610

x

5х2 + 3х - 8=0а=5 b=3 c= -

8D=9-4•(-8) •5=169>0

уравнение имеет два корня

x 1=-1,6 и х 2=1

10

133

52

1693

x

12

При использовании данного метода уравнения решаются

быстро и легко.

Теорема ВиетаПриведенное квадратное уравнение:

х2+px+q=0Если х 1 и х 2

корни уравнения, то

х 1 + х 2 = - pх 1 ∙ х 2 = q

Общее квадратное уравнение:

ах2+bx+c=0Если х 1 и х 2

корни уравнения, то

х 1 + х 2 = -

х 1 ∙ х 2 =

a

b

a

c

х2 + 10х - 24=0p=10 и

q=-24х 1 + х 2= - 10

х 1 ∙ х 2= - 24

х 1 = -12 и х

2= 2

12

5х2 + 3х - 8=0х2 + 0,6х – 1,6=0

p=0,6 и q=-1,6х 1 + х 2= - 0,6

х 1 ∙ х 2= - 1,6

х 1 = -1,6 и х 2= 1

Данный метод быстрый, но подобрать корни не всегда легко.

ax 2 + bx + c = 0

По сумме коэффициентов квадратного уравнения

.,1

,0 Ĺńëč

21 a

cxxňî

cba

.,1

,0 Ĺńëč

21 a

cxxňî

cba

ěîćĺěíĺđĺřčňüňŕę

őő

ńďîńîáîěäŕííűě

óđŕâíĺíčĺíŕřĺëč

đĺřŕĺňń˙ďđîâĺđčě

0)24(101

0)24(101

02410

:

,

2

.5

8,1:

.5

8,1

,0835 ..

,0835

21

21

2

xxÎňâĺň

xxňî

ęň

xx

ďđčěĺđ

äđóăîéďîńěîňđčě

Данный метод не всегда можно использовать. Но если он применим , уравнение решается легко и быстро.

Вывод: Мы рассмотрели пять способов решения квадратных уравнений из которых два

не приемлемы для решения первого уравнения. Это графический способ и по

сумме коэффициентов. Зато второе уравнение легко решается способом по

сумме коэффициентов.Самые эффективными способами

оказались: способ решения по формулам и теорема Виета .

Мы научились выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений

и знания каждого из рассмотренных методов нам обязательно пригодятся.

выделение полного квадрата

метод разложения на множители

решение по формулам

теорема Виета

по сумме коэффициентов

графический метод

Способы решения квадратных уравнений

Мы провели опрос учащихся 8 классов : «Какой метод

решения квадратных уравнений самый удобный? »