Руководитель проекта: Мятиева Галина Алексеевна,

учитель математики

Цель: освоение приемов решения задач с помощью графов

Задачи:• Изучить информацию по теории графов• Классифицировать логические задачи• Определить приемы использования теории

графов в решении задач разного класса• Исследовать практические навыки учеников в

применении элементов теории графов• Найти применение теории графов в жизни • Создать задачник для учащихся• Создать компьютерную игру на основе графовой

модели

Объект исследования - теория графов и ее применение.Предмет исследования - задачи, решаемые с использованием теории графов.

Cлово «граф», как математический термин первым стал использовать Джеймс Сильвестр – английский математик, известный своими работами в комбинаторике.

Граф: От древневерхненемецкого gravo, gravio «предводитель, вождь»;Граф (титул) — дворянский титул; От греч. γράφω «царапаю, черчу, пишу»;От латинского слова «графио» - пишу;

Откуда же взялось такое название у схемы? Может быть оно связано с задачей, которую великий математик Л. Эйлер решил для мостов, соединяющих острова – графства?

Теория графов является одной из немногих областей математики, дата рождения которых может быть указана. Первая работа о графах,

принадлежащая швейцарскому математику Леонарду Эйлеру, появилась в 1736 г. в публикациях Петербургской Академии наук.

Эйлер (Euler) Леонард, математик, механик и физик. Родился в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца, а затем в Базельском университете, где слушал лекции по математике Иоганна Бернулли.В 1727 г. Эйлер был приглашен в Петербургскую Академию Наук, где за 14 лет подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50.В 1741 Эйлер переехал в Берлин, где за 25 лет жизни подготовил около 300 работ.Живя в Берлине, Эйлер не переставал интенсивно работать для Петербургской АН, сохраняя звание её почётного члена. Он вёл обширную научную и научно-организационную переписку, в частности переписывался с М. В. Ломоносовым, которого высоко ценил. В июле 1766 Эйлер вместе с семьей вернулся в Петербург. Несмотря на преклонный возраст и постигшую его почти полную слепоту, он до конца жизни продуктивно работал. За 17 лет вторичного пребывания в Петербурге им было подготовлено около 400 работ.

Знаменитая задача о мостах города Кенигсберга (сейчас это Калининград).

Город Кенигсберг стоит там, где два рукава реки Прегель, сливаясь, омывают остров Кнейпхоф. Остров и берега соединены между собой семью мостами. Нужно было придумать такой маршрут, который проходит в точности по одному разу через каждый мост.

Если обозначить острова точками, а мосты линиями, соединяющими эти точки, то получится геометрическая фигура, которую называют, графом. Л. Эйлер доказал следующую теорему: на графе существует маршрут, обходящий все ребра точно по одному разу, тогда и только тогда, когда он не содержит вершин, из которых выходит нечетное число ребер, или таких вершин точно две (начало и конец маршрута).Значит маршрут, который проходит только по одному разу через каждый мост, построить нельзя.

Графом в математике называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие их линии – рёбрами.

Виды графов

двудольные

ориентированные

эйлеровы

дерево

планарные

Применение графов. Двудольный граф

Дети - Маша, Ира, Юра и Коля играют в детском саду. Маша согласна играть с медведем или машинкой, Ира желает играть с куклой или самолетом, Юре нужна кукла или машина, а Коля желает играть только с мишкой. Маша взяла медведя, Ира куклу, Юра машину, а Коля остался без любимой игрушки и плачет. Как воспитателю следует распределить игрушки, чтобы дети были довольны?

По тому же принципу решаются задачи о назначениях, задачи о распределении нагрузки среди учителей и так далее.

Задача имеет решение, если любые N элементов одного множества связаны в сумме не менее, чем с N элементами другого множества.

Граф называется деревом, если он является связным и не имеет циклов, то есть замкнутых путей из одной вершины в другую, в которой все ребра попарно различны. Следовательно, для каждой пары вершин графа существует единственный соединяющий их путь.Пример. Генеалогическое дерево - орграф. Ориентированная дуга соединяет одного члена семьи с другим, например, по принципу "родитель-сын (дочь)"

Применение графов. Граф - дерево

Комбинаторные задачи

«Проказница мартышка, осел, козел да косолапый мишка затеяли сыграть в квартет». Мартышка расположилась напротив медведя, а слева и справа от нее – осел и козел. «Ударили в смычки, дерут, а толку нет». Тогда осел и козел поменялись местам. «Расселись, начали квартет. Он все-таки на лад нейдет». Таким образом, они перепробовали все возможные варианты. Медведь всегда оставался на одном месте. Сколько всего было вариантов расположения незадачливых музыкантов?

Решение

Ответ: 2, 2, 1, 1, 1

Задачи на построение графа – дерева. Стратегия игры

У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 3 2. умножь на 4Выполняя первую из них, Калькулятор прибавляет к числу на экране 3, а выполняя вторую, умножает его на 4. Запишите порядок команд в программе получения из числа 3 числа 57, содержащей не более 6 команд, указывая лишь номера команд.

Путь в графе - это последовательность дуг, связанных друг с другом так, что конец предыдущей совпадает с началом следующей. В пути каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается дважды. Замкнутый путь на графе - это цикл.

Взвешенный граф — граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некое значение (вес ребра).

В различных задачах весом ребра могут быть: длина, время, стоимость и так далее. Наиболее часто решаемая задача для взвешенного ориентированного графа - поиск кратчайшего пути.

Применение графов. Орграф. Взвешенный граф

Применение графов. Плоский (планарный) граф

Начинающие изобретатели, радиолюбители, будущие электронщики сталкиваются с очень серьезной задачей конструирования печатных схем.Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика (изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных точках, куда устанавливаются необходимые элементы (диоды, триоды, резисторы и другие), их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической цепи. В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с вершинами в указанных точках.

Применение графов. Эйлеров граф

Граф, в котором можно проложить маршрут, проходящий по каждому ребру графа и только один раз, называется Эйлеровым. Примером такого графа может быть план выставки. Это позволяет так расставить указатели маршрута, чтобы посетитель смог пройти по каждому залу в точности по одному разу.

Исследование «Теория графов и практикующие школьники»

0

10

20

30

40

50

60

70

80

7 "А" 9 "А" 9 "Б" 11 "А"

% выбранных задач с явной необходимостью применения графовой модели

% задач из решенных, сопровождаются графовой моделью

0

10

20

30

40

50

60

70

80

7 "А" 9 "А" 9 "Б" 11 "А"

% задач c применением графовой модели решено верно

0102030405060708090

100

7 "А" 9 "А" 9 "Б" 11 "А"

Выводы:

Моя гипотеза подтвердилась: многие логические задачи лучше представить в виде чертежа, рисунка, схемы, в которых используются графы. Это облегчает решение задачи, делает его более убедительным и наглядным.

В современном мире практически нет областей, где не использовались бы графы.

Интуитивно графовые модели используют для решения логических задач даже те, кто не знаком с теорией графов.

Знание теории графов дает возможность приобрести навыки сведения реальных ситуаций к графовым моделям.

Графы можно широко применять в рамках учебной деятельности школьников.

Научиться решать задачи с использованием графов можно, если изучить элементарную теорию графов и разумно, последовательно применять ее при решении логических задач, переходя от решения простых задач к более сложным.

На практических занятиях, направленных на освоение теории графов можно сочетать решение задач с логическими играми.