Περιοδικό Φύση και Μαθηματικά

ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ bull ΧΡΟΝΟΣ 13ΟΣ bull ΤΕΥΧΟΣ 1 bull MAΡΤΙΟΣ 2007


Αεροφωτογραφίατων Συρακουσών

ΜΑΡΤΙΟΣ 2007 bull ΦΥΣΙΚΗ ampΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3

Συντάκτες

Ηλιάννα Αρματά Γ4 Γιώργος Βαρσάμης Γ8

Τατιάνα Βασιλικιώτη Γ1Χαρούλα Γκότση Γ7

Mαριλίζα Γραμματοπούλου Γ2 Γιάννης Δασκαλάκης Β1

Αντώνης Θεοδόσης Γ8Θοδωρής Λύρης Γ8

Άρης Μαστρόκαλος Γ2 Ιωάννης Παπαζαχαρίας Γ1Αγγελική Ταλιουράκη Γ1Αναστασία Τσαλικίδου Γ4

Καθηγητές Μαθηματικής Σκέψης

Δημήτριος ΚολυβάςΑλέξανδρος Μαναρίδης

Χριστίνα ΜπενέκηΒασιλική Τλα

Καθηγητής Φυσικής Σκέψης

Γεώργιος Μαριολόπουλος

Υπεύθυνοι ΠεριοδικούΑλέξανδρος Μαναρίδης

Χριστίνα Μπενέκη

ΦΥΣΙΚΗΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Το περιοδικό laquoΦύση και Μαθηματικάraquo είναι και πάλι μαζί σας Εδώ και χρόνια κρατά αμείωτο το ενδιαφέρον μας καθώς σε αυτό βρίσκουμε άρθρα γενικού και ειδικού ενδιαφέροντος αφιερώματα που κεντρίζουν την προσοχή μας Πάνω από όλα όμως είναι ένα περιοδικό γραμμένο από τους μαθητέςτριες της Μα-θηματικής και Φυσικής Σκέψης του Γυμνασίου Κολλεγίου Αθηνών με πολύ κέφι και ενθουσιασμό

Το φετινό τεύχος διαφέρει από τα προηγούμενα

Καθώς ο προορισμός της φε-τινής laquoΕξόρμησης 2007raquo είναι οι Συρακούσες η γενέτειρα του Αρχιμήδη σκεφτήκαμε να αφιερώσουμε τις σελίδες του περιοδικού μας στον μεγάλο στοχαστή

Σας προσκαλούμε να τον γνω-ρίσουμε μέσα από τη ζωή του να μάθουμε το έργο του και να θαυμάσουμε τις εκπληκτικές του επινοήσεις που φώτισαν και μέχρι σήμερα φωτίζουν τις θετικές επιστήμες

Editorial ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ bull ΧΡΟΝΟΣ 13ΟΣ bull ΤΕΥΧΟΣ 1 bull MAΡΤΙΟΣ 2007

Αγαπητοί μας συμμαθητές και συμμαθήτριες

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑamp

4 ΦΥΣΙΚΗ ampΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ bull ΜΑΡΤΙΟΣ 2007

Μαθηματικός φυσικός αστρονό-μος και μηχανικός ο Αρχιμήδης συγκαταλέγεται στους σπουδαιό-τερους επιστήμονες όλων των επο-χών Η μορφή του κυριαρχεί σε κά-θε αναφορά στην αρχαία Ελλάδα

σε κάθε αναδρομή στην αρχαία ελληνική επιστήμη Η ζωή του Όλα ξεκίνησαν πριν από περίπου 2800

χρόνια όταν οι Έλληνες θέλησαν να αποικίσουν τη λε-κάνη της Μεσογείου Μεταξύ των επιλεγμένων προορι-σμών τους οι Συρακούσες που ιδρύθηκαν το 733 πΧ και γνώρισαν ιδιαίτερη ακμή την περίοδο του Ιέρωνα Βrsquo το 275 - 215 πΧ Στον κόσμο της εποχής του Αρχιμήδη έχει περατωθεί η Ελληνιστική περίοδος ο Μέγας Αλέξανδρος έχει πεθάνει ενώ ήδη αρχίζει να δημιουργείται η Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία Ήδη το 287 πΧ χρονιά που γεννιέ-ται ο Αρχιμήδης παρατηρείται μετατόπιση των πνευ-ματικών κέντρων σε περιφερειακό επίπεδο όπως στην Αλεξάνδρεια τη Σελεύκεια και την Αντιόχεια Οι συ-γκρούσεις οι πόλεμοι θα οδηγήσουν τον νεαρό Αρχιμήδη για σπουδές στην Αλεξάνδρεια η οποία ήταν το πνευμα-τικό κέντρο του τότε γνωστού κόσμου Στην Αλεξάνδρεια σπούδασε Μαθηματικά και μαθήτεψε κοντά στους διαδό-χους του μεγάλου Ευκλείδη Κατά την διάρκεια των σπου-δών του ανακάλυψε τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στον όγκο της σφαίρας και του περιγραμμένου κυλίνδρου Εκεί

πλούτισε τις γνώσεις του και συνδέθηκε με στενή φιλία με πολλούς σοφούς και επιστήμονες της εποχής εκείνης (τον Κόνωνα το Σάμιο τον Ηρακλείδη το μεγάλο γεω-γράφο Ερατοσθένη τον Κυρηναίο κά) Επιπρόσθετα ανα-φέρεται στον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο μέσω του περί-φημου έργου του laquoΠερί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδοςraquo που ανακαλύφθηκε το 1906

Από τα πρώτα χρόνια των σπουδών του ήταν σε θέ-ση να διατυπώνει δυσκολότατες μαθηματικές προτάσεις με τρόπο απλό και κατανοητό σύμφωνα με πληροφορίες του Πλούταρχου

Τις περισσότερες φορές οι θεωρητικές έρευνές του τον απορροφούσαν έτσι ξεχνούσε να φάει παραμελούσε την εμφάνιση και την περιποίηση του σώματός του Ο ίδιος θεωρούσε την ενασχόλησή του με την πρακτική μηχανι-κή όπου έδειξε μοναδική ικανότητα σαν πάρεργο δευτε-ρεύον και εύκολο Ανήκε στους ιδεαλιστές φιλοσόφους -επιστήμονες οι οποίοι πίστευαν laquoστην ανωτερότητα της νοητής ιδέαςraquo ενώ θεωρούσαν laquoμειωτική την πρακτική εφαρμογή των ανακαλύψεών τουςraquo Μόνο μετά την πα-ρότρυνση του Ιέρωνα Βrsquo ο Αρχιμήδης άρχισε να εφαρμόζει στην πράξη όσα είχε ανακαλύψει Κατασκεύασε βλητικά μηχανήματα και έμεινε θρυλική η καθέλκυση του μεγάλου πλοίου laquoΣυρακοσίαraquo που έφτιαξε για χάρη του Ιέρωνα ο οποίος το δώρισε στο βασιλιά Πτολεμαίο της Αιγύπτου Με ελάχιστους εργάτες και με τη βοήθεια συστήματος

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ(287-212 πΧ)Έλενα Μπαρκαγιάννη Γ4

Quick facts about Archimedes

Born About 287 BC in Syracuse Sicily At the time Syracuse was an independent Greek city-state with a 500-year history

Died 212 BC in Syracuse He was killed by a Roman soldier who did not know who he was

Education Studied in Alexandria Egypt under the followers of Euclid Family His father was an astronomer named Phidias and he was probably related

to Hieron II the king of Syracuse It is not known whether he was married or had any children

Inven-tions

Many war machines used in the defense of Syracuse compound pulley sys-tems planetarium water screw water organ burning mirrors

Fields of Science

Initiated

Hydrostatics static mechanics pycnometry (the measurement of the vol-ume or density of an object) He is called the laquofather of integral calculusraquo and also the laquofather of mathematical physicsraquo

Major Writings

On plane equilibriums Quadrature of the parabola On the sphere and cylinder On spirals On conoids and spheroids On floating bodies Measure-ment of a circle The Sandreckoner On the method of mechanical problems


μοχλών πέτυχε την καθέλκυση αυτή Αργότερα μάλιστα κα-θέλκυσε μόνος του κινώντας με το χέρι του την αρχή ενός πολύ-σπαστου ένα μεγάλο πολεμικό πλοίο με όλο το πλήρωμα του

Όταν οι Ρωμαίοι πολιόρκη-σαν τις Συρακούσες το 232 ο Αρχιμήδης τους αντιμετώπι-σε με τα πολεμικά μηχανήμα-τα που από καιρό είχε ετοιμάσει και στην ξηρά και στη θάλασσα Μεγάλες ήταν οι φθορές και οι απώλειες των Ρωμαίων Μόνο μετά τρία περίπου χρόνια κατόρθωσε ο ύπατος Μάρκελλος βρίσκοντας χαλαρω-μένη τη φρούρηση μια νύχτα να μπει στην πόλη και να την καταλάβει Ο Αρχιμήδης που δεν είχε καταλάβει τι είχε συμβεί γιατί ήταν προσηλωμένος σε γεωμετρικούς κύκλους δέχτηκε ξαφνικά την επίσκεψη ενός Ρωμαίου στρατιώτη που τον διάταξε να τον ακολουθήσει laquoΜη μου τους κύκλους τάραττεraquo απάντησε χωρίς να τον προσέξει Και ο οργισμένος οπλίτης τον σκότωσε παρά τη ρητή διαταγή του Μαρκέλλου να μην πάθει τίποτα ο Αρχιμήδης (212 πΧ)

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα

1 Περί σφαίρας και κυλίνδρου (2 βιβλία)2 Κύκλου μέτρησις3 Περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων4 Περί ελίκων5 Επιπέδων ισορροπιών ή Κέντρα βαρών επιπέδων

(2 βιβλία) 6 Ψαμμίτης 7 Τετραγωνισμός ορθογωνίου κώνου τομής8 Οχουμένων (2 βιβλία)9 Στομάχιον

10 Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη Έφοδος

11 Βιβλίον λημμάτων (Σώζεται στην αραβική)12 Πρόβλημα βοεικόν13 Κατασκευή της πλευράς του εις κύκλον εγγε-

γραμμένου κανονικού επταγώνου (Σώζεται στην αραβική)

14 Περί των επιψαυόντων κύκλων (Σώζεται στην αραβική)

15 Ωρολόγιον (Σώζεται στην αραβική)16 Αρχαί της γεωμετρίας (Σώζεται στην αραβική)

Μερικά από αυτά διασώθηκαν ατελώς Πολλά επίσης εί-ναι τα συγγράμματά του που χάθηκαν

Το έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο τόσο ποιοτι-κά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς γεωμετρία οπτική (κατοπτρική) υδραυ-λική μηχανική και αρχιτεκτονική Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και

με την λύση περίφημων μαθημα-τικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πα-τρίδα του τις Συρακούσες

Σημαντικότατες για την επο-χή του είναι οι μελέτες οι σχετι-κές με την Μηχανική των στε-ρεών και των υγρών (Κέντρα βάρους Επιπέδων ισορροπιών Στηρίξεων Ανυψωτικών μηχανη-μάτων Υδροστατική κά) και οι

θεμελιώδεις προτάσεις των ισορροπιών και της lsquoAνωσης (Αρχή του Αρχιμήδη) Διατύπωσε το νόμο της Μηχανικής για τους μοχλούς και αντιλαμβανόμενος τις απεριόριστες προεκτάσεις του γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας laquoΔος μοι πα στω και ταν γαν κινάσωraquo (Δώσε μου σημείο να στη-ριχθώ και θα κινήσω τη γη)

Επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους Εφηύρε τον Ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι) το τρίσπαστο (ανυψωτι-κή τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία laquoέλιξ του Αρχιμήδουςraquo μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της Β Αφρικής) Για την μέτρηση του χρόνου κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλα-γή της ώρας) Μεγάλη φήμη απέκτησαν και οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη laquoαρχιτρόνιτοraquo (πυροβόλο ατμού - το οποίο πολλούς αιώνες αργότερα laquoεπανα- ανακάλυ-ψεraquo και ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι) laquoκαταπέλτεςraquo laquoαρπά-γεςraquo (ένας μηχανισμός ο οποίος ανύψωνε και αναποδο-γύριζε τα εχθρικά πλοία) και laquoκάτοπτραraquo για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων

Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογι-σμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμε-τρικών εκ περιστροφής σωμάτων -μέθοδος που εξελίχθη-κε τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στη σύγχρονη εποχή laquoΟλοκληρωτικός Λογισμόςraquo Εξαιρετικές του μελέτες και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου Έλλειψης Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών

Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη από τον ίδιο τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευ-ρές του και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα

Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύ-ση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος)

Πηγές πληροφοριώνΑρχιμήδους Άπαντα επιμ Ε Σ Σταμάτης 3 τόμοι Αθήνα 1970-1974httpwwwmcsdrexeledu~crorresArchimedescontentshtml


Το χειρόγρα-φο που έχει απασχολή-σει όσο λίγα την παγκό-σμια επι-

στημονική κοινότητα είναι το περίφημο Παλίμψηστο του Αρχιμήδη Είναι μια αρ-χαία δέσμη κουρελιασμένων σελίδων περγαμηνής από την Ιερουσαλήμ και απο-τελείται από 174 σελίδες Περιέχει τις πραγματείες του Αρχιμήδη laquoΠερί σφαί-ρας και κυλίνδρουraquo το laquoΠερί ελίκωνraquo αποσπάσματα από το laquoΚύκλου μέτρησηςraquo το laquoΕπιπέδων ισορροπιώνraquo και το laquoΣτομάχιονraquo Επίσης εί-ναι πολύ σημαντικό το ότι στα γραπτά περιλαμβάνεται η μόνη γνωστή ελληνική εκ-δοχή του laquoΟχουμένωνraquo κα-

θώς και το μόνο αρχαίο αντί-τυπο των συγγραμμάτων laquoΠερί των μηχανικών θεω-ρημάτωνraquo

Κατά το 10 ο αιώνα μΧ ένας άγνωστος αντιγρα-

φέας έφτιαξε σε περγαμηνή ένα αντίγραφο πραγματειών του Αρχιμήδη οι οποίες ήταν γραμμένες στα αρχαία ελλη-νικά Τρεις αιώνες αργότερα ο μοναχός Ιωάννης Μύρωνας ένωσε στην Ιερουσαλήμ τα διάσπαρτα χειρόγραφα για να δημιουργήσει το περίφημο Παλίμψηστο Έσβησε δηλα-δή το κείμενο του Αρχιμήδη έκοψε τις σελίδες στη μέση τις γύρισε στα πλάγια και αντέγραψε προσευχές της ελληνικής ορθόδοξης εκκλη-σίας στις ανακυκλωμένες σε-λίδες

Το Παλίμψηστο Χειρόγραφοτου Αρχιμήδη

The Archimedes PalimpsestΙωάννης Παπαζαχαρίας Γ1

Abstract

The Archimedes Palimpsest is a manuscript of unique importance to the history of science

It contains seven of the Greek mathematicianrsquos treatises Most importantly it is the only surviving copy of On Floating Bodies in the original Greek and the unique source for the Method of Mechanical Theorems and Stomachion It was also discovered that 10 pages contained speeches by one of the greatest orators of ancient AthensmdashHyperides who was a contemporary of Aristotle and Demosthenes

The manuscript was written in Constantinople (present day Istanbul) in the 10th century In the 13th century the manuscript was taken apart and the Archimedes text was scraped off The parchment was reused by a monk who created a prayer book This process is called palimpsesting The Archimedes manuscript then effectively disappeared Discovered in 1906 by JL Heiberg it plays a prominent role in his 1910-15 edition of the works of Archimedes upon which all subsequent work on Archimedes has been based The manuscript was in private hands throughout much of the twentieth century and was sold at auction to a private collector for $2000050 on the 29th October 1998 The owner deposited the manuscript at the Walters Art Museum in Baltimore Maryland a few months later

Since 1999 intense efforts have been made to retrieve the Archimedes text Many techniques have been undertaken by researchers at the Rochester Institute of Technology and Johns Hopkins University In 2006 imagers at Stanford University used powerful X-ray fluorescence imaging to read its final pages which are being interpreted transcribed and translated by a group of scholars in the United States and Europe


Ο Ιωάννης χρη-σ ι μ ο π ο ί η -

σε επίσης σελίδες έργων του σοφι-στή Υπερείδη για να laquoδέσειraquo το έρ-γο του Αρχιμήδη Επιτείνοντας αυ-τόν τον αρχικό τραυματισμό και

σε μια προσπάθεια να αυξήσουν την αξία του χειρογρά-φου παραχαράκτες ζωγράφισαν ndashστις αρχές του 20ου αιώνα- επίχρυσες απεικονίσεις θρησκευτικών εικόνων σε κάποιες από τις σελίδες Αποτέλεσμα των αλλεπάλληλων παρεμβάσεων ήταν να εξαφανισθεί εντελώς το πρωτότυ-πο κείμενο με εξαίρεση μερικά ίχνη μελανιού που διακρί-

νονταν αχνά καθώς παρέμειναν χαραγμένα στην περ-γαμηνή

Το 1899 ο ιστοριογράφος Αθανάσιος Παπαδόπουλος-Κεραμεύς βρήκε σκαλίζοντας μέσα στη βιβλιοθήκη του Πατριαρχείου των Ιεροσολύμων ένα παλιό χειρόγραφο Πάνω του ήταν γραμμένο ένα ευχολόγιο Με μια δεύτερη όμως ματιά πρόσεξε ότι κάτω από το κείμενο βρισκόταν ένα άλλο που ίσως ένας μοναχός είχε ξύσειndash ευτυχώςndashπρόχειρα για να γράψει το δεύτερο πάνω του Δεν άργη-σε να καταλάβει ότι το αρχικό κείμενο είχε σχέση με τα μαθηματικά Τις σκέψεις του αυτές επιβεβαίωσε το 1906 ο Δανός καθηγητής των ελληνικών στο Πανεπιστήμιο της Κοπεγχάγης Γιόχαν Χάιμπεργκ αφού εξέτασε το Παλίμψηστο στην Κωνσταντινούπολη όπου αυτό είχε ήδη μεταφερθεί Μπροστά στα μάτια του αποκαλύφθηκε ένα κομμάτι από το έργο αλλά και τις προσωπικές στιγ-μές του Αρχιμήδη με άλλους μεγάλους της εποχής του

Ωστόσο παρά τη μεγάλη ιστορική του σημασία το Παλίμψηστο περιήλθε στην κατοχή ενός γάλλου συλλέ-κτη για πολλές δεκαετίες ώσπου σε δημοπρασία στις 28 Οκτωβρίου του 1998 από τον οίκο δημοπρασιών Κρίστις πωλήθηκε σε Αμερικανό συλλέκτη έναντι 2200050 δολ-λαρίων Τον Ιανουάριο του 1999 ο νέος ιδιοκτήτης παρέ-

δωσε το χειρόγραφο στο Μουσείο Τεχνών Ουόλτερς της Βαλτιμόρης για συντήρηση και επιστημονική μελέτη

Έγιναν προσπάθειες για να καταφέρουμε τελικά να δι-αβάσουμε τα κείμενα πίσω από τις προσευχές Οι πρώτες προσπάθειες ξεκίνησαν στις αρχές του 2000 Το μεγαλύ-τερο μέρος του κειμένου διαβάστηκε στο Πανεπιστήμιο Τζονς Χόπκινς και στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο του Ρότσεστερ Επελέγησαν πέντε φύλλα από το Παλίμψηστο και φωτογραφήθηκαν με διαφορετικές τεχνικές ώστε να επιλεγεί η καταλληλότερη Από τα πρώτα αποτελέσμα-τα κρίθηκε ότι πιο αποτελεσματική για τους σκοπούς του έργου ήταν η πολυφασματική απεικόνιση Στην προκειμέ-νη περίπτωση θεωρήθηκε ότι αυτό που κυρίως ενδιέφερε ήταν να αναδειχθεί το αρχικό περιεχόμενο η αρχική γρα-φή του κώδικα και να εξαφανιστεί όσο τουλάχιστον ήταν αυτό δυνατόν η δεύτερη γραφή που την επικάλυπτε

Τα πρώτα αποτελέσματα ήταν εντυπωσιακά διότι οι ερευνητές πέτυχαν να εντοπίσουν τα ιδιαίτερα φασματι-κά χαρακτηριστικά της μελάνης με την οποία είχε γρα-φεί το κείμενο του Αρχιμήδη και να τα αναδείξουν φωτο-γραφικά διαχωρίζοντας το αρχικό κείμενο τόσο από την περγαμηνή όσο και από τη δεύτερη γραφή που είχε προ-στεθεί από πάνω

Όμως παρά τα πρώτα εντυπωσιακά αποτελέσματα δεν έμειναν ικανοποιημένοι για μια σειρά από λόγους η

συνθετική εικόνα που προ-ερχόταν από την πολυφα-σματική φωτογράφηση δεν ήταν όσο καθαρή και λεπτομερειακή επιθυμού-σαν Επιπλέον η επεξερ-γασία με τη βοήθεια ηλε-κτρονικού υπολογιστή των επί μέρους εικόνων προ-κειμένου να παραχθεί η τελική συνθετική εικόνα

δημιουργούσε παραμορφώσεις που καθιστούσαν πολύ δύσκολη την ανάγνωση των πιο κατεστραμμένων τμη-


μάτων του αρχικού κειμένου Τέλος και ίσως πιο ουσιαστι-κό από όλα διαπιστώθηκε ότι η βασική στρατηγική που είχαν ακολουθήσει οι ειδικοί στην επεξεργασία ψηφιακής εικόνας (να εξαφανίσουν τη δεύτερη γραφή) δεν διευκό-λυνε τους παλαιογράφους στην ανάγνωση του αρχικού κειμένου Τελικά το πρόβλημα λύθηκε από τους επιστή-μονες του Πανεπιστημίου του Στάνφορντ με τη βοήθεια του επιταχυντή σωματιδίων στο εργαστήριο φυσικής υψη-λής ενέργειας του Πανεπιστημίου (Stanford Synchrotron Radiation Laboratory)

Η μελέτη του χειρογράφου από τις ερευνητικές ομά-δες που ασχολούνται με αυτό έχει δώσει θεαματικά

και άκρως εντυπωσιακά αποτελέσματα Τα πιο σημαντι-κά από τα αποτελέσματα είναι τα εξής

1) Αποκαλύφθηκαν τα δεκάδες διαγράμματα που υπάρχουν στις πραγματείες του Αρχιμήδη που περιέχει το παλίμψηστο Νέες έρευνες έχουν αποδείξει ότι τα δια-γράμματα παίζουν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στα αρχαία μαθηματικά κείμενα Δεν είναι απλώς συνοδευτικά του

κειμένου της απόδειξης ενός θεωρήματος δεν σχεδιάζο-νταν μόνο και μόνο για εποπτικούς λόγους όπως πιστεύα-με παλαιότερα Μάλλον το αντίθετο φαίνεται ότι συμβαί-νει το κείμενο είναι εκείνο που συνοδεύει το διάγραμμα Πολλές φορές το διάγραμμα περιέχει πληροφορίες που δεν υπάρχουν στην απόδειξη Για αυτό ο ρόλος του είναι καθοριστικός στην ανάπτυξη του μαθηματικού (γεωμε-τρικού) συλλογισμού

2) Η θεωρία laquoΠερί των μηχανικών θεωρημάτωνraquo εθε-ωρείτο χαμένη και όμως στο Παλίμψηστο περιέχεται ακέ-ραια Πρόκειται για μια θεωρία που δυσκόλεψε αρκετά τους ερευνητές μέχρι να συλλάβουν τι ακριβώς εννοούσε ο εμπνευστής της Σύμφωνα με τον δρα Νετζ κύριο ερευ-νητή του Παλίμψηστου και καθηγητή αρχαίων επιστημών (και ελληνικών) στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ στο πρώτο μέρος της θεωρίας του Αρχιμήδη μετράται το εμ-βαδόν και ο όγκος των βασικών γεωμετρικών σχημάτων Στο δεύτερο μέρος υπολογίζονται τα άπειρα αθροίσματα (πχ υπολογισμός του όγκου μιας σφαίρας με βάση τους άπειρους κύκλους που την αποτελούν) γεγονός που προ-καλεί την απορία του δρα Νετζ laquoΠώς κατάφερε να βγάλει


πεπερασμένο άθροισμα προσθέτοντας άπειρα αντικείμε-να Αυτή είναι μία καινοτομία του Αρχιμήδη που μπορεί να συγκριθεί με τους σύγχρονους μαθηματικούς υπολογι-σμούς Η μέθοδός του μπορούμε να πούμε ότι πραγματικά βρίσκεται 2000 χρόνια μπροστά από την εποχή τουraquo

3) Η μελέτη του αποσπάσματος από το laquoΣτομάχιονraquo έδωσε τη δυνατότητα να διατυπωθεί μια νέα ερμηνεία για το περιεχόμενο και τη σημασία αυ-τής της εργασίας του Αρχιμήδη Η επι-κρατέστερη άποψη είναι σήμερα ότι ο Αρχιμήδης προσπαθούσε να βρει με πόσους τρόπους δεκατέσσερα επίπε-δα σχήματα μπορούν να συνενωθούν ώστε να σχηματιστεί ένα τετράγωνο Πρόκειται λοιπόν για ένα δύσκολο μα-θηματικό πρόβλημα που μάλιστα ανή-κει στη συνδυαστική Ανατρέπεται με αυτόν τον τρόπο η πεποίθησή μας ότι η συνδυαστική είναι ένας σύγχρονος κλάδος των μαθηματικών Οι ρίζες της ανάγονται στον Αρχιμήδη

4) Όμως και η laquoΟχουμένωνraquo πραγ-ματεία σωζόταν μέχρι σήμερα σε απο-σπασματική μορφή και μόνο στο Παλίμψηστο φαίνεται να υπάρχει η ολο-κληρωμένη της εκδοχή Σύμφωνα με την πραγματεία ο Αρχιμήδης αποδείκνυε το νόμο για την άνωση των σωμάτων και κατέληγε σε συμπεράσματα για το πώς επιπλέουν τα στερεά σώματα με γεωμε-τρικά σχήματα συνδυάζοντας την κα-θαρά μαθηματική σκέψη με μελέτες που σχετίζονται με την Φυσική

5) Μία από τις καταστροφές που υπέστη το Παλίμψηστο στη διάρκεια του 20ού αιώνα οφείλεται στη laquoδιακό-σμησή τουraquo με τις εικόνες των τεσσάρων ευαγγελιστών τις οποίες ζωγράφισε κά-ποιος στις σελίδες του χειρογράφου

Οι ερευνητές στράφηκαν έτσι στην καινοτόμο μέθοδο των ακτίνων Χ Τη μέθοδο αυτή αξιοποιούν με επιτυχία επιστήμονες στους κλάδους της Γεωλογίας και της Βιολογίας οι οποίοι εξέ-φρασαν τον ενθουσιασμό τους για την αποτελεσματική χρήση της στην Αρχαιολογία Η τεχνική αυτή αποδείχθη-κε ιδιαίτερα χρήσιμη στην περίπτωση του Παλίμψηστου καθώς αυτοί που μετέγραψαν το έργο του Αρχιμήδη χρη-σιμοποίησαν μελάνι πλούσιο σε σίδηρο laquoΌταν οι ακτίνες Χ προσκρούουν σε άτομο σιδήρου εκπέμπεται χαρακτη-ριστική ραδιενέργεια και το άτομο φωτίζεται Εάν κατα-γράψουμε τη φωτεινότητα αυτή μπορούμε να πετύχουμε πιστή αναπαραγωγή κάθε γραμμής μελάνης στο βιβλίο Η μέθοδος θα μπορούσε να παρομοιασθεί με τη λήψη φαξ από τον 3ο αιώνα πΧ Το αίσθημα είναι καταπλη-κτικόraquo λέει ο Τζακ Νιλ υπεύθυνος του Μουσείου Τέχνης Ουόλτερς (The Walters Art Museum) της Βαλτιμόρης όπου βρίσκεται το Παλίμψηστο Η κάθε σελίδα απαιτεί

όμως δώδεκα ώρες για να laquoδιαβασθείraquo από τις ακτίνες Χ που σαρώνουν τη σελίδα με δέσμη πάχους ανθρώπι-νης τρίχας

Χρησιμοποιώντας την τεχνική της απεικόνισης φθο-ρισμού με ακτίνες Χ οι ερευνητές μπόρεσαν να ανακαλύ-ψουν το κείμενο που υπάρχει ακόμα και σε αυτές τις σε-λίδες Πρόκειται για κείμενο από την πραγματεία laquoΠερί

των μηχανικών θεωρημάτωνraquo6) Τέλος το 2002 ανακαλύφθηκε ότι

το Παλίμψηστο εκτός από τις πραγμα-τείες του Αρχιμήδη περιέχει δέκα σελί-δες με λόγους του Υπερείδη Ο Υπερείδης ήταν σύγχρονος του Αριστοτέλη και του Δημοσθένη και δεν σώζεται κανέ-να άλλο μεσαιωνικό χειρόγραφο με έρ-γα του Η αποκρυπτογράφηση των λό-γων του παρέχει νέες σημαντικές πλη-ροφορίες για τη μάχη της Σαλαμίνας το 480 πΧ στην οποία οι Έλληνες νίκη-σαν τους Πέρσες καθώς και της μάχης της Χαιρώνειας το 338 πΧ η οποία σή-μανε την αρχή του τέλους της αρχαίας Ελληνικής δημοκρατίας Ειδικότερα ο Υπερείδης αναφέρει τον ακριβή αριθμό ελληνικών πλοίων που πολέμησαν στη ναυμαχία της Σαλαμίνας - 220 - και που μέχρι σήμερα ήταν άγνωστος Σε έναν άλλο λόγο του μετά τη μάχη της Χαιρώνειας ο Υπερείδης αναφέρει ότι το αποτέλεσμα της ήττας ήταν καθαρά τυχαίο και όχι αποτέλεσμα κακής πολι-τικής ενώ σε άλλο σημείο υποστηρίζει την πολιτική του Δημοσθένη που οδή-γησε στην ήττα

Σύμφωνα με τον Ουίλιαμ Νόελ επι-μελητή αρχαίων χειρογράφων στο

Μουσείο Τέχνης Ουόλτερς και επι-κεφαλής του σχεδίου laquoΠαλίμψηστο του Αρχιμήδηraquo όπου φιλοξενείται το Παλίμψηστο περιέχει περίπου 120 τυ-

πωμένες σελίδες του κειμένου του Αρχιμήδη πέρα από το κείμενο του Υπερείδη ένα φιλοσοφικό σχόλιο στον Αριστοτέλη ένα νεοπλατωνικό φιλοσοφικό κείμενο σελί-δες από τον βίο ενός αγίου και τουλάχιστον πέντε σελίδες οι οποίες έχουν σβηστεί τόσο καλά που είναι αδύνατος ο προσδιορισμός του κειμένου που περιείχαν Το μεγαλύτε-ρο τμήμα του Παλίμψηστου έχει μεταφραστεί και αναμέ-νεται να βρίσκεται στη διάθεση των ειδικών από το 2008 ενώ στη συνέχεια το χειρόγραφο θα εκτεθεί στο κοινό

Πηγές πληροφοριών

1) httpwwwarchimedespalimpsestorg2) wwwexploratoriumeduarchimedesviewerhtml3) Archimedes Palimpsest-Report-New York Times

November 27 2006 httpwwwnytimescom


Abstract

Ο Α

ΡΙΘ

ΜΟ

Σ

Ηλιάννα Αρματά amp Αναστασία Τσαλικίδου Γ4

Ίσως κανένα άλλο μαθηματικό σύμβολο δεν γέννησε τόσο μυστήριο ρομαντισμό παρανόηση και ανθρώπινο ενδιαφέρον όσο ο αριθμός π

(Ουίλιαμ Λ Σαφ)

Around 250 BC the Greek mathema-tician Archimedes calculated the ratio of a circlersquos circumference to its diameter A precise determination of pi as we know this ratio today had long been of interest to the ancient Greeks who strove for pre-cise mathematical proportions in their ar-chitecture music and other art forms

In Archimedesrsquo day close approxima-tions of pi had been known for over 1000 years Archimedesrsquo value however was not only more accurate it was the first theoretical rather than measured calcu-lation of pi

It is interesting to note that even today pi cannot be calculated preciselymdashthere are no two whole numbers that can make a ratio equal to pi Mathematicians find a closer approximation every yearmdashin 2002 for example experts at the University of Tokyo Information Technology Center determined the value of pi to over one tril-lion decimal places The calculation of π also figures in the Season 2 Star Trek epi-sode ldquoWolf in the Foldrdquo (1967) in which Captain Kirk and Mr Spock force an evil entity (composed of pure energy and which feeds on fear) out of the starship Enterprisersquos computer by commanding the computer to ldquocompute to the last dig-it the value of pirdquo thus sending the com-puter into an infinite loop

ΟΡΙΣΜΟΣ Το π ισούται με το λόγο της πε-ριφέρειας ενός κύκλου (που στην σχολική βιβλιογραφία αναφέρεται και ως μήκος κύ-κλου) προς την διάμετρό του

δ=2R

L π=

L2R

Η ελληνική γραφή του σταθερού αυτού λόγου είναι διεθνής συμβολισμός

Με άλλα λόγια με όσους κύκλους κι αν το δοκιμάσετε αυτό αν διαιρέσετε την περιφέρεια καθενός με τη διάμετρό του θα βρίσκε-τε πάντα έναν σταθερό αριθμό το π Αυτό δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται Γιατί τα δεκαδικά ψηφία του π είναι ατέλειωτα Για λόγους συντομίας - θα χρειαζόμασταν άπειρες σελίδες για να χωρέσουμε τα δεκαδικά ψηφία του - θα δεχτούμε εδώ πως το π είναι ίσο με 314


ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Το π και η βίβλος

Η βίβλος είναι πολύ σαφής αναφορικά με το π Στην Π Διαθήκη Βασιλειών Γrsquo 723 διαβάζουμε για το θυσιαστή-ριο που είχε κατασκευαστεί στο ναό του Σολωμόντα

και εποίησε την θάλασσαν δέκα εν πήχει από του χείλους αυτήςστρογγύλον κύκλω το αυτό πέντε εν πήχει το ύψος αυτής καισυνηγμένοι τρεις και τριάκοντα εν πήχει εκύκλουν αυτήν

Το χωρίο αυτό που υποδηλώνει ότι ο λόγος της περι-φέρειας προς τη διάμετρο ισούται με τριάντα δια δέκα πή-χεις δηλαδή 3 πιθανότατα γράφτηκε γύρω στο 16ο πΧ αι ( παρότι περιγράφει ναό που οικοδομήθηκε το 10ο αι) και προβλημάτισε για πολλά χρόνια μαθηματικούς λογίους

Ο αριθμός π ονομάζεται και αριθμός του Αρχιμήδη για-τί ο Έλληνας αυτός επιστήμονας εφάρμοσε για πρώτη φο-ρά μαθηματική μέθοδο που επέτρεπε θεωρητικά μια συ-νεχώς μεγαλύτερη προσέγγιση Με τους υπολογισμούς του προσέγγισε το μήκος της περιφέρειας μετρώντας τις πε-ριμέτρους των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κα-νονικών πολυγώνων Έτσι έφτασε τελικά στα πολύγωνα 96 πλευρών και πέτυχε προσέγγιση με υπέρβαση μικρότερη των 2 χιλιοστών Χρησιμοποιούσε ως προσέγγιση του π

τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279

Ποτέ δεν θα βρούμε την ακριβή αριθμητική τιμή του π Ωστόσο από προσεγγίσεις των τελευταίων ετών μπορού-με να ξεκινήσουμε να γράφουμε

2000 πΧΟι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούν π = 3 18 Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούν π = (25681) = 31605

1100 πΧ Οι Κινέζοι χρησιμοποιούν π = 3550 π Χ Η Π Διαθήκη υποδηλώνει ότι π = 3

434 πΧ Ο Αναξαγόρας επιχειρεί να τετραγωνίσει τον κύκλο

430 π Χ Ο Αντιφών και ο Βρύσων διατυπώνουν την αρχή της εξάντλησης

335 πΧ Ο Δεινόστρατος προσπαθεί κατασκευα-στικά να laquoτετραγωνίσει τον κύκλοraquo

3ος πΧ αι

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιεί ένα πολύγω-νο με 96 πλευρές για να αποδείξει ότι 3 1071lt π lt 3 17 Επίσης χρησιμοποιεί έναν έλικα για να τετραγωνίσει τον κύκλο

2ος μΧ αι

Ο Κλαύδιος ο Πτολεμαίος χρησιμοποιεί

3ος μΧ αι

Ο Γουάνγκ Φάου χρησιμοποιείπ = 14245 = 31555hellip

263 μΧ Ο Λίου Χούι χρησιμοποιεί π = 15750 = 314

450 μΧ Ο Τσου Τσουνγκ ndash Tσιχ καθιερώνει το 355113

530 μΧ Ο Αριαμπάτα χρησιμοποιεί π = 6283220000 = 31416

650 μΧΟ Βραχμαγκούπτα χρησιμοποιεί

π = = 3162hellip

1220 μΧ Ο Λεονάρντο Πιζάνο Φιμπονάτσι βρί-σκει ότι π = 3141818hellip

ΤΟ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΟ ΤΟΥ π


1593 μΧ

Ο Φρανσουά Βιέτ βρίσκει πρώτος το άπειρο γινόμενο για να περιγράψει το π Ο Αντριάν Ρομάνους υπολογίζει 15 δεκα-δικά ψηφία του π

1596 Ο Λούντολφ Φαν Σόιλεν υπολογίζει 32 ψηφία του π

1610 Ο Φαν Σόιλεν επεκτείνει τον υπολογισμό στα 35 δεκαδικά ψηφία

1621 Ο Βίλεμπροτ Σνελ τελειοποιεί την αρχι-μήδεια μέθοδο

1654 Ο Χόιγκενς αποδεικνύει την εγκυρότητα της εργασίας του Σνέλ

1655

Ο Τζόν Γουόλις βρίσκει ένα άπειρο ρητό γινόμενο για το πΟ Μπρούνκερ το μετετρέπει σε συνεχές κλάσμα

1663 Ο Μουραμάτσου Σιγκεκίγιο υπολογίζει 7 ακριβή ψηφία στην Ιαπωνία

1665 ndash 1666

Ο Ισαακ Νεύτων ανακαλύπτει τον λογι-σμό και υπολογίζει τουλάχιστον 16 δεκα-δικά ψηφία του π

1671 Ο Τζέιμς Γκρέγκορυ ανακαλύπτει την σειρά τοξου εφαπτομένης

1674Ο Γκοτφριντ Βίλχελμ φον Λάιμπνιτς ανα-καλύπτει την σειρά τόξου εφαπτομένης για το π

1699 Ο Άμπραχαμ Σαρπ υπολογίζει 72 δεκα-δικά ψηφία του π

1706

Ο Τζόν Μάτζιν υπολογίζει 100 ψηφία του π Ο Ουίλιαμ Τζόουνς χρησιμοποιεί το σύμ-βολο π για να περιγράψει το λόγο του κύ-κλου

1713 Οι κινέζοι αυλικοί δημοσιεύουν το Σου-Λι Τσινγκ-Γιουν το οποίο περιέχει 19 ψηφία του π

1719 Ο Τομά Φαντά ντε Λανί υπολογίζει 127 ψηφία του π

1722 Ο Τατέμπε Κένκο υπολογίζει 40 ψηφία στην Ιαπωνία

1755 Ο Όιλερ συνάγει μια ταχέως συγκλίνου-σα σειρά τόξου εφαπτομένης

1761 Ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ αποδεικνύ-ει ότι το π είναι άρρητος

1775 Ο Όιλερ εισηγείται ότι το π είναι υπερβα-τικός αριθμός

1794

Ο Γκιόρκ Βέγκα υπολογίζει 140 δεκαδικά ψηφία του πΟ ΑΜΛεζάντρ αποδεικνύει ότι το π και το π2 είναι άρρητοι

1844Ο ΛΚΣουλτς Φον Στατσνίτσκι και ο Γιόχαν Ντάζε υπολογίζουν 200 ψηφία του π σε λιγότερο από 2 μήνες

1855 Ο Ρίχτερ υπολογίζει 500 δεκαδικά ψηφία του π

1873 ndash 1874

Ο Ουίλιαμ Σανκς δημοσιεύει 707 δεκαδι-κά ψηφία του π

1874 Ο Τσενκ Τσι Χουνγκ βρίσκει 100 ψηφία στη Κίνα

1882 Ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν αποδεικνύ-ει ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός

1945Ο Ντ Φ Φέργκιουσον βρίσκει λάθος στους υπολογισμούς του Σανκς από το 527ο ψηφίο και μετά

1947

Ο Φέργκιουσον υπολογίζει 808 ψηφία χρησιμοποιώντας έναν επιτραπέζιο υπο-λογιστή επίτευγμα που του πήρε ένα χρόνο

1949 Ο ENIAC υπολογίζει 2037 δεκαδικά ψη-φία σε 70 ώρες

1955 Ο ΝORC υπολογίζει 3089 δεκαδικά ψη-φία σε 13 λεπτά

1959 Ο IBM 704 (Παρίσι) υπολογίζει 16167 δε-καδικά ψηφία

1961

Ο Ντάνιελ Σάνκς και ο Τζον Ρεντς χρησι-μοποιούν το ΙΒΜ 7090 (Ν Υόρκη για τον υπολογισμό 100200 δεκαδικών ψηφίων σε 872 ώρες

1966 Ο ΙΒΜ 7030 (Παρίσι) υπολογίζει 250000 δεκαδικά ψηφία

1967 Ο CDC 6600 (Παρίσι) 500000 δεκαδικά ψηφία

1973

Ο Ζαν Γκι Γιου και ο Μ Μπουγέ χρησι-μοποιούν ένα CDC 7600 (Παρίσι) για τον υπολογισμό 1000000 δεκαδικών ψηφί-ων σε 233 ώρες

1983

Ο Γ Ταμούρα και ο Γ Κάναντα χρησι-μοποιούν ένα HITAC Μ ndash 280Η για τον υπολογισμό 16000000 δεκαδικών ψηφί-ων σε λιγότερο από 30 ώρες

1988Ο Κάναντα υπολογίζει 201326000 δε-καδικά ψηφία με ένα Hitachi S-820 σε 6 ώρες

1995 Ο Κάναντα υπολογίζει 6 δισεκατομμύρια ψηφία

1996 Οι αδερφοί Τσουντνόφσκι υπολογίζουν πάνω από 8 δις Ψηφία

1997Ο Κάναντα και ο Τακαχάσι υπολόγισαν 515 δις ψηφία με ένα Hitachi SR ndash 2201 σε λιγότερο από 29 ώρες


ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΠΟΜΝΗΜΟΝΕΥΣΗΣ ΤΟΥ π

Μετά από το θόρυβο ανά τον κόσμο γύρω από το μυστηριώδες αλλά και σαγηνευτικό π γεννήθηκε η ανάγκη για όσο το δυνατόν καλύτερη απομνημόνευση αυτού του άρρητου αριθμού

Οι τεχνικές αυτές αναφέρονται σε κάποια κείμενα στα οποία ο αριθμός (πλήθος) των γραμμάτων κάθε λέξης από την αρχή δίνουν αυτό το 3141592653hellip

ΕΛΛΗΝΙΚΑ Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί Το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω Παρήγαγεν αριθμόν

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7

απέραντον και ον φευ Ουδέποτε όλον θνητοί θα ευρώσι 9 3 2 3 8 4 6 2 6

(ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΧΑΤΖΗΔΑΚΗΣ)Ομοίως και σε άλλες γλώσσες

ΑΓΓΛΙΚΑSee I have a rhyme assisting my feeble brain its tasks oft- times resisting

(Βλέπεις έχω ένα ποίημα να βοηθά το αδύνατο μυαλό μου που συχνά στο μόχθο αντιδρά)

ΟΛΛΑΝΔΙΚΑΕva o lifeo zoete hartedief uw blauwe oogen zyn wreed bedrogen

(Εύα αγάπη μου γλυκιά μου αγαπημένη πόσο σκληρά σε γέλασαν τα γαλάζια μάτια σου)

ΙΣΠΑΝΙΚΑSol y Luna y Mundo proclamam al Eterno Autor del Cosmo

(Ήλιος και Σελήνη και Σύμπαν εξυμνούν τον αιώνιο Δημιουργό του Κόσμου)

Ξέρατε ότιmiddot Αν εκτυπώσουμε ένα δισεκατομμύριο ψηφία του π με κανονικά τυπογραφικά στοιχεία η παράσταση θα έχει έκταση πάνω από 1200 μίλιαhellip

middot Το π δεν μας ακολουθεί μόνο στην καθημερινή ζωή μας αλλά και στη φαντασία μας (την επιστημο-νική) Σε ένα επεισόδιο του laquoΣταρ Τρεκraquo (1967) ο Σποκ σώζει το Έντερπραϊζ από την καταστροφή όταν διατάζει το κομπιούτερ του διαστημοπλοίου που έχει καταληφθεί από εξωγήινους να υπολο-γίσει το π μέχρι το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο του

Η ακολουθία 123456789 εμφανίζεται για πρώτη φορά στο 523551502 ο ψηφίοΤα πρώτα 144 ψηφία του π έχουν άθροισμα 666 Και φυσικά το 144

ισούται με (6+6)(6+6)Το Φεβρουάριο του 1995 ο Χιρουγιούκι Γκότο σημείωσε ένα παγκό-

σμιο ρεκόρ απαγγέλλοντας από μνήμης 42000 ψηφία του π Του πή-ρε λίγο περισσότερο από 9 ώρες Ο Αϊνστάιν γεννήθηκε στο Ουλμ της Γερμανίας μια μέρα που θυμίζει

τον π τον 3ο μήνα την 14η μέρα του Τον Απρίλιο του 1995 το πρακτορείο ειδήσεων Ρόιτερ ανέφερε ότι ένα

δωδεκάχρονο αγόρι από την Κίνα ο Ζανγκ Ζούο απαρίθμησε από μνήμης 4000 δεκαδικά ψηφία του π Όπως φαίνεται χρειάστηκε κάτι παραπάνω από 25 λεπτά

Βιβλιογραφία Blatner David Η χαρά του π Εκδόσεις Ωκεανίδα 2001

Παράδοξα και όμωςhellip αληθινάhellip ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ


Άρβηλος-Arbelos Σαλινόν-Salinon

laquohellip Έχουμε μία συλλογή Λημμάτων που έφτασε στα χέρια μας μέσω των Αράβων [hellip] Τα Λήμματα πα-ρόλα αυτά δεν μπορούν να έχουν γραφτεί από τον Αρχιμήδη στη σημερινή τους μορφή διότι το όνο-μα του αναφέρεται σε αυτά περισσότερες από μία φορές hellip αν και είναι πολύ πιθανό κάποιες από τις προτάσεις να προέρχονται από τον Αρχιμήδη πχ αυτές που αφορούν τα γεωμετρικά σχήματα που ονομάζονται αντίστοιχο Άρβηλος (το μαχαίρι του υποδηματοποιού) και Σαλινόν (αλατιέρα) raquo

(Thomas L Heath Τα έργα του Αρχιμήδη)

Ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος πιστεύεται ότι ήταν ο πρώτος μαθηματικός που μελέτησε τις μαθηματικές ιδιότητες του Αρβήλου Ο όρος Άρβηλος σημαίνει το μαχαίρι του υπο-

δηματοποιού στα ελληνικά και αυτός ο όρος αναφέρεται στην επιφάνεια που μοιάζει με την κόψη ενός μαχαιριού που χρησιμοποιούνταν από τους αρχαίους μπαλωματές

Η ελληνική λέξη άρβηλος (αρσενικού γένους) αναφέ-ρεται στο μαχαίρι του τσαγκάρη Από την ίδια ρίζα αρβ-

έχουμε επίσης αρβύλη (θηλυκού γένους) ένα είδος πα-πουτσιού όπως οι στρατιωτικές μπότες Αυτή η λέξη έχει επιβιώσει στα νέα ελληνικά αλλά στη δωρική της μορφή δηλαδή τελειώνει σε άλφα (α) αντί για ήτα (η) αρβύλα (Ανδρέας Π Χατζιπολάκης)

Ένας υποδηματοποιός με έναν Άρβηλο κόβει δέρμα για παπούτσια

Πιο συγκεκριμένα ο Άρβηλος είναι η κίτρινη περιοχή στο σχήμα που δίνεται παρακάτω δηλαδή είναι το σχή-μα που περικλείεται από τα ημικύκλια με διαμέτρους AB AC και ΒC Το Β είναι ένα τυχαίο σημείο του ευθυγράμ-μου τμήματος AC

Θα αποδείξουμε την παρακάτω πρόταση

ΠΡΟΤΑΣΗ Αποδείξτε ότι το άθροισμα του μήκους του τόξου ΑΕΒ και του μήκους του τόξου BFC ισούται με το μήκος του τόξου ADC

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣΑΡΒΗΛΟΣ ΚΑΙ ΣΑΛΙΝΟΝ

Archimedes Arbelos and SalinonΑγγελική Ταλιουράκη Γ1

Abstract

Archimedes of Syracuse himself is believed to have been the first mathematician to study

the mathematical properties of the ldquoArbelosrdquo and ldquoSalinonrdquo The term arbelos means shoemakerrsquos knife in Greek and the word salinon is Greek for ldquosalt cellarrdquo which the two figures above resemble We refer to Arbelos and Salinon proofs further down


ΑπόδειξηΘέτουμε ΑΟ = x και AG = a Τότε GO = x-a Επίσης

αν θέσουμε BH = b τότε OB = x-2bΓνωρίζουμε ότι το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου

δίνεται από τον τύπο C = 2πr όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου Αφού λοιπόν AO = x τότε το μήκος του τόξου ΑDC = πx το μήκος του τόξου ΑΕΒ= πa και το μήκος του τόξου AFC= πb

Αλλά a = x-a+x-2b επομένως 2a = 2x-2bΆρα a+b = xΤο άθροισμα του μήκους του τόξου ΑΕΒ και το μήκος

του τόξου ΑFC ισούται με πa+πbΒγάζοντας το π κοινό παράγοντα έχουμε π(a+b)Αντικαθιστώντας a+b = x συμπεραίνουμε ότι το άθροι-

σμα του μήκους του τόξου AEB και το μήκος τόξου AFC= πx ισούται με το μήκος τόξου ADC

Αν σχεδιάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα BD κάθετο στο AC τότε επίσης αποδεικνύεται ότι το εμβαδόν του Αρβήλου είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου διαμέτρου BD

ΣΑΛΙΝΟΝ

Το Σαλινόν είναι το παραπάνω σχήμα που πε-ριέχεται μεταξύ 4 συνδεδεμένων μεταξύ τους ημικυκλίων Η λέξη Σαλινόν είναι ελληνική και μπορεί να σημαίνει αλατιέρα με την οποία

μοιάζει το σχέδιο Η εξήγηση βρίσκεται στο βιβλίο The Works of Archimedes του TL Heath που εκδόθηκε από την Modern Notation Dover 1953 Τα αληθινά έργα του Αρχιμήδη χάθηκαν αλλά σε μία υποσημείωση στη σελί-δα 33 ο Heath αναφέρεται στην ελληνική λέξη Σαλινόν ως ακολούθως

laquoΟι καλύτερες μαρτυρίες εμφανίζονται να πιστεύουν ότι σε κάθε περίπτωση το όνομα Σαλινόν δεν αναφερό-ταν στο σχέδιο από τον Αρχιμήδη αλλά από κάποιον άλλο συγγραφέα Υπό τον όρο αυτής της παρατήρησης πιστεύω

ότι το Σαλινόν είναι εξελληνισμένος τύπος της λατινικής λέξης salinum Εξάλλου ξέρουμε πως μία αλατιέρα ήταν ουσιώδες κομμάτι του οικογενειακού εξοπλισμού από τις αρχές της ρωμαϊκής αυτοκρατορίαςraquo

Υπάρχουν και άλλες ωστόσο υποθέσεις για τη σημα-σία του ονόματος Σαλινόν αλλά ο Heath συνεχίζει

laquoΕξάλλου η εξήγηση του Σαλινόν ως salinum έχει δύο φανερά πλεονεκτήματα (1) δεν απαιτεί αλλαγή της λέξης και (2) η ομοιότητα της κατώτερης καμπύλης με ένα συνη-θισμένο τύπο αλατιέρας είναι αποδεδειγμένηraquo

Αν η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι R και η ακτίνα του μικρού κεντρικού κύκλου είναι r τότε η ακτίνα των δύο μικρών ακριανών κύκλων είναι (R-r)2

Στο έργο του laquoΛήμματαraquo ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι το Σαλινόν έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου που έχει για διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το ανώτερο με το κατώτερο σημείο

Δηλαδή Α= frac14 π(r+R)

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΟΥ ΣΑΛΙΝΟΝ(ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΔΙΧΩΣ ΛΟΓΙΑ)

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν P Q R S είναι 4 σημεία πάνω στην ίδια ευθεία έτσι ώστε PQ = RS Σχεδιάζουμε ημικύκλια πά-νω από την ευθεία με διαμέτρους PQ RS και PS και ένα άλλο ημικύκλιο με διάμετρο QR σχεδιασμένο κάτω από την ευθεία Το Σαλινόν είναι το σχέδιο που περιέχεται με-ταξύ αυτών των 4 ημικυκλίων Έστω ότι ο άξονας συμμε-τρίας του σαλινόν τέμνει το σαλινόν στα Μ Ν

Τότε το εμβαδόν Α του σαλινόν είναι ίσο με το εμβα-δόν C του κύκλου με διάμετρο MN

(Archimedes Liber Assumptorum proposition 14)

Απόδειξη


httpwwwmlahanasdeGreeksArbeloshtmhttpmathworldwolframcomSalinonhtml


Το Στομάχιον είναι ίσως η λιγότερο γνωστή από τις πραγματείες του Αρχιμήδη Ήταν πάντα

εκείνο το έργο που προσείλκυε το μι-κρότερο ενδιαφέρον για τους ερευ-νητές Η λέξη Στομάχιον έχει τις ρί-ζες της στην ελληνική λέξη στομά-χι αλλά η ερμηνεία της δεν είναι ξε-κάθαρη Μέχρι την ανακάλυψη του Παλίμψηστου ήταν γνωστό μόνο ένα μικρό απόσπασμά της και αυτό όχι στην ελληνική γλώσσα αλλά σε αρα-βική μετάφραση Με τα μέχρι πρότι-νος δεδομένα είχε θεωρηθεί (με βά-ση τις φτωχές διαθέσιμες αναφορές) κάτι σαν παιδικό παιχνίδι ένα αρχαίο παζλ μάλλον ανάξιο της φήμης του μεγάλου μαθηματικού

Το παιχνίδι αποτελούνταν από 14 επίπεδα κομμάτια πολυγώνων δι-αφορετικού σχήματος που σχημάτι-ζαν ένα τετράγωνο Πιστευόταν ότι σκοπός του παιχνιδιού ήταν να αλ-λάξουν τη θέση των κομματιών ώστε να σχηματίσουν άλλοτε γεωμετρικά σχήματα και άλλοτε ένα ξίφος ένα πλοίο ανθρώπους ζώα κλπ

Abstract

Twenty-two hundred years ago the great Greek mathemati-

cian Archimedes wrote a treatise called the Stomachion Unlike his other writings it soon fell into ob-scurity Little of it survived and no one knew what to make of it Among all of Archimedesrsquo works the Stomachion has attracted the least attention ignored or dis-missed as unimportant or unin-telligible Only a tiny fragment of the introduction survived and as far as anyone could tell it seemed to be about an ancient childrenrsquos puzzle that involved putting strips of paper together in different ways to make different shapes It made no sense for a man of Archimedesrsquo stature to care about such a game As for the name derived from the Greek word for stomach mathe-maticians are uncertain

But according to the new study of the Palimpsest the Stomachion was far ahead of its time a treatise on combinator-ics a field that did not come into its own until the rise of computer science In fact Archimedes was not trying to piece together strips of paper into different shapes he was trying to see how many ways the 14 irregular strips could be put together to make a square In November 2003 Bill Cutler found there to be 536 possible distinct arrangements of the pieces into a square illustrated above where solutions that are equivalent by rotation and reflection are con-sidered identical

Το ΣτομάχιονStomachion

Αρχαίο παιδικό παιχνίδιή

η αρχαιότερη πραγματεία συνδυαστικής

Mαριλίζα Γραμματοπούλου Γ2


Τις πληροφορίες που χρειαζό-μασταν για το Στομάχιον ήρθε να προσδώσει η μελέτη του περίφημου Παλίμψηστου από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας του Ρότσεστερ και το Πανεπιστήμιο Τζον Χόπκινς των ΗΠΑ

Η ανάγνωση του χειρογράφου δεν ήταν και τόσο εύκολη υπόθεση καθώς οι θεωρίες του Αρχιμήδη βρί-σκονταν καλυμμένες κάτω από εκ-κλησιαστικά κείμενα του 12ου αιώ-να Επειδή η περγαμηνή ήταν υλικό ακριβό και δυσεύρετο οι μοναχοί δι-έλυσαν το βιβλίο laquoέξυσανraquo το γρα-πτό κείμενο χρησιμοποίησαν ξανά την περγαμηνή για να γράψουν ένα ευχολόγιο και στη συνέχεια το έδε-σαν σε βιβλίο από την αρχή

Το ταξίδι του χειρογράφου μέ-σα στο χρόνο είναι μεγάλο και πε-ριπετειώδες Αρχικά βρέθηκε στην Παλαιστίνη και την Ιερουσαλήμ και στη συνέχεια βρέθηκε και πάλι στην Κωνσταντινούπολη όπου το 1906 το ανακάλυψε ο Δανός ερευνητής Γιόχαν Χάιμπεργκ Προσπάθησε να το ερμηνεύσει χρησιμοποιώντας ένα απλό μεγεθυντικό φακό και έκανε πολλά λάθη

Το κλειδί για να δοθεί η νέα ερμη-νεία του Στομαχίου ήταν η ανάγνω-ση της λέξης laquoπλήθοςraquo την οποία ο Χάιμπεργκ δεν είχε μπορέσει να δια-βάσει σωστά

Ἀρχιμήδους ltὈgtστομάχιονΤο κείμενο της πρότασης όπως

έχει αποκατασταθεί μετά την νέα ανάγνωση του Παλίμψηστου (Sciamus 5 2004 67-99 σελ 91)

Ἔστι μὲν οὖν ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαμάτων πλήθος διὰ τὸ εἶλεν αυτός εἶναι εἰς ἕτερον τόπον τοῦ ἴσου καὶ ἰσογωνίου σχάματος μετατιθεμένου καὶ ἑτέραν θέσιν λαμβάνοντος

Νεοελληνική απόδοση (με βάση την αγγλική μετάφραση)

Υπάρχει μεν λοιπόν όχι μικρό πλή-θος σχημάτων που σχηματίζονται από αυτά διότι είναι δυνατόν να στρα-φούν() σε άλλη θέση ενός ίσου και ισο-γώνιου σχήματος το οποίο έχει μετατε-θεί για να λάβει άλλη θέση

Σύμφωνα με τον ειδικό ερευ-νητή του Παλίμψηστου και καθη-γητή των αρχαίων επιστημών στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ Ρέβιελ Νετζ (Reviel Netz) που παρουσία-σε το χειρόγραφο το συμπέρασμα για το ldquoΣτομάχιονrdquo είναι ότι επρό-κειτο για πρόβλημα συνδυαστικής Ο Αρχιμήδης χωρίζοντας ένα τετρά-γωνο σε 14 μέρη διαφορετικών επίπε-δων σχημάτων αναζητούσε το πλή-θος των τρόπων με τους οποίους ανα-διατεταγμένα θα ξανασυνέθεταν το ίδιο τετράγωνο

Το πρόβλημα τελικώς επιλύθη-κε τον Νοέμβριο του 2003 από τον Bill Cutler και βρέθηκε ότι ndashαν θε-ωρήσουμε ως ισοδύναμες τις λύσεις που προκύπτουν από περιστροφές και συμμετρίες- έχει 536 διαφορετι-κές λύσεις

Ο Ρέβιελ Νέτζ είναι βέβαιος ότι ο Αρχιμήδης είχε λύσει το πρόβλη-μα - αλλιώς δεν θα το έθετε - αλλά δεν μπορεί να γνωρίζει αν είχε βρει όλους τους συνδυασμούς διότι είναι πρόβλημα τεράστιας δυσκολίας πολύ μπροστά όχι μόνο για την εποχή του αλλά και από κάθε εποχή προ υπολο-γιστών και στατιστικής

Γεωμετρική κατασκευή

Ξεκινάμε με ένα τετράγωνο που αποτελείται από ένα ενιαίο πλέγ-

μα το οποίο σχηματίζεται από 12 ορι-ζόντιες και 12 κατακόρυφες ευθείες Οι τομές αυτών των ευθειών λέ-γονται σημεία πλέγματος

Επομ έ νω ς το εμβαδόν όλης της περιοχής εί-ναι 144

Φέρνουμε ευθείες που συνδέουν κάποια από τα σημεία πλέγματος (κόκκινα) Αυτές οι ευθείες χωρίζουν το μεγάλο τετράγωνο σε 14 πολύγωνα τα οποία σχηματίζονται είτε από τρεις είτε από τέσσερις είτε από πέντε πλευρές Αυτά τα πολύγωνα είναι τα 14 κομμάτια του Στομαχίου

Το αραβικό χει-ρόγραφο περι-

έχει υπολογισμούς για τα εμβαδά των κομματιών του Στομαχίου Δείχνει

ότι αποτελείται από 2 πολύγωνα εμ-βαδού 3 4 πολύγωνα εμβαδού 6 1 πολύγωνο εμβαδού 9 5 πολύγωνα εμβαδού 12 1 πολύγωνο εμβαδού 21 και 1 πολύγωνο εμβαδού 24

Μία σύγχρονη προσέγγιση για τον υπολογισμό αυτών των εμβα-δών βασίζεται στο θεώρημα του Πικ (Pickrsquos theorem)

Το θεώρημα του Πικ μας παρέχει έναν απλό μαθηματικό τύπο με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός απλού πολυγώνου

ΕΜΒΑΔΟΝ = I + Β2 ndash 1

ΌπουI = ο αριθμός των εσωτε-

ρικών σημείων πλέγ-ματος του πολυγώνου () και

Β = ο αριθμός των σημείων πλέγμα-τος () που ανήκουν στα ευθύ-γραμμα τμήματα που σχηματί-ζουν τα πολύγωνα

Για παράδειγμα το εμβαδόν του απλού πολυγώνου της παραπάνω ει-κόνας είναι

31 + 15 2 ndash 1 = 375

Όλα τα σημεία πλέγ-ματος από τα οποία απο-τελούνται τα δεκατέσσερα κομμάτια του Στομαχίου βρί-σκονται στο διπλανό σχήμα και επο-μένως χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Πικ μπορούμε πολύ εύκολα ως άσκηση να υπολογίσουμε τα εμβα-δά τους


httpmathworldwolframcomStomachionhtmlhttpwwwmcsdrexeledu~crorresArchimedescontentshtml


Κάποτε στην αρχαία Ελλάδα ζούσε ένας βασιλιάς ο Ιέρωνας των Συρακουσών που ήθελε να φτιάξει ένα

ολόχρυσο στέμμα Κάλεσε λοιπόν τον καλύτερο χρυσοχόο της περιοχής και του έδωσε μια ποσότητα ατόφιο χρυ-σάφι με την παραγγελία να χρησιμο-ποιήσει αυτό και μόνο αυτό για να φτι-άξει το στέμμα

Μετά από λίγο καιρό ο χρυσοχόος παρέδωσε το στέμμα στο βασιλιά Όμως

ο βασιλιάς υποπτευόταν ότι ο χρυσοχό-ος είχε νοθέψει το στέμμα με κάποιο άλ-λο μέταλλο Δηλαδή υποπτευόταν ότι ο χρυσοχόος είχε πάρει μέρος από το χρυσάφι και το είχε αντικαταστήσει με ίσο βάρος από άλλο μέταλλο μικρότε-ρης αξίας Λόγω του ότι το βάρος που θα έβαζε από το υποτιθέμενο ξένο μέ-ταλλο θα ήταν ίδιο με το βάρος του χρυ-σού που θα έκλεβε θα ήταν αδύνατο με κλασσική ζύγιση να βρεθεί η απάτη Ωστόσο δεν μπορούσε να κατηγορήσει

Τι βρήκε ο Αρχιμήδης όταν πετάχτηκε από το λουτρό και φώναζε

ldquoΕyρηκα ΕyρηκαrdquoΓιάννης Δασκαλάκης Β1


το χρυσοχόο χωρίς κάποιες χειροπιαστές αποδείξεις Κάλεσε λοιπόν ένα μεγάλο επιστήμονα της περιοχής

τον Αρχιμήδη και του ζήτησε να ελέγξει αν υπάρχει νο-θεία στο στέμμα Ο έλεγχος θα έπρεπε να γίνει χωρίς φυ-σικά να το καταστρέψει ή να του προξενήσει οποιαδήποτε αλλοίωση Ο επιστήμονας βρέθηκε αντιμέτωπος με ένα μεγάλο πρόβλημα Από τη μια ήθελε να αποκαλύψει μια πιθανή απάτη αλλά από την άλλη δεν μπορούσε να κα-τηγορήσει άδικα κάποιον αθώο Γιrsquo αυτό το λόγο ήθελε η μέθοδός του να είναι πολύ μεγάλης ακρίβειας

Ο Αρχιμήδης σκεφτόταν συνεχώς και την ώρα που έπαιρνε το μπάνιο του πρόσεξε ότι όσο περισσότερο βυ-θιζόταν το σώμα του στο νερό τόσο περισσότερο νερό ξεχείλιζε Έτσι εμπνεύστηκε τη λύση

Τι έκανε λοιπόν Γέμισε ένα δοχείο μέχρι το χείλος και βύθισε μέσα μια ποσότητα από ατόφιο χρυσάφι που είχε ίσο βάρος με το στέμμα Αυτό ανάγκασε το νερό να ξε-χειλίσει Στη συνέχεια έβγαλε το χρυσάφι από το νερό και βύθισε το στέμμα στη θέση του Αν το στέμμα ήταν νοθευμένο τότε ο όγκος του θα ήταν μεγαλύτερος από

αυτόν του καθαρού χρυσού και έτσι ο όγκος του νερού που εκτόπιζε θα ήταν μεγα-λύτερος Αν λοιπόν το νερό ξεχείλιζε ξανά τότε το στέμ-μα θα είναι νοθευμένο Αυτό έκανε λοιπόν και βρήκε ότι το στέμμα δεν ήταν από καθαρό χρυσάφι Βγήκε τότε γυμνός στους δρόμους φωνάζοντας ενθουσιασμένος laquoΕύρηκα Εύρηκαraquo EUREKA

Πηγή εικόνων wwwarchimedespalimpsestorg

Κάθε σώμα που βυθίζεται σrsquo ένα υγρό χάνει τόσο από το βά-ρος του όσο είναι το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται [κά-θε σώμα που βυθίζεται σrsquo ένα υγρό δέχεται μια δύναμη (την άνω-ση) η οποία είναι ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται]


Ένα από τα με-γαλύτερα μυ-στήρια στην ιστορία της

ανθρωπότητας αποτε-λούσε πάντα η έννοια του απείρου Στην αρ-χαιότητα συνηθιζόταν να πιστεύουν πως το χώμα ή αλλιώς η άμμος από την οποία αποτε-λείται το σύμπαν είναι στον αριθμό άπειρη Αντίθετος στην άποψη αυτή ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος πιστεύει πως ο αριθμός των κόκκων της άμμου δεν είναι άπει-ρος και κατασκευάζει ένα σύστημα πολύ μεγάλων αριθμών με του οποίου τη βοήθεια υπολογίζει ένα σύμπαν γε-μάτο άμμο

Την απόδειξη του αυτή ο Αρχιμήδης την παρουσιάζει στον τύραννο Γέλωνα μέσα από το έργο του laquoΨαμμίτηςraquo

(δηλ περιφραστικά αυτός που μετράει τους κόκκους της άμμου)

Το αρχικό επιχείρημά του είναι πως είναι λάθος να θεωρείται πως ο αριθμός των κόκκων της άμμου είναι άπειρος καθώς δεν υπήρχε κάποιος αριθμός που να έφτανε σε μέγεθος τον αριθμό των κόκκων της άμμου Το αριθμητικό σύστημα των αρχαίων ήταν περιορισμένο και είχε ως όριο την μυρι-άδα των μυριάδων (μυριάς μυριάδων) δηλαδή 100002 = 100000000

Αρχικά ορίζει το μέγεθος του κόκ-κου της άμμου που δεν ξεπερνά το μέγεθος ενός σπόρου παπαρούνας και σε διάμετρο το 140 του δαχτύλου Χρησιμοποιώντας την αντίληψη των αρχαίων ότι η περίμετρος της γης είναι 300000 στάδια αποδεικνύει πως όποι-ον αριθμό και αν πάρουμε πάντα θα υπάρχει κάποιο πολλαπλάσιο του με συνέπεια το σύνολο όλων των αριθμών να είναι άπειρο Χρειαζόταν λοιπόν ένα αριθμητικό σύστημα που να απεικόνιζε όλους αυτούς τους αριθμούς

Στο νέο αριθμητικό του σύστημα λοιπόν ονομάζει όλους τους γνωστούς ως τότε αριθμούς πρώτης τάξεως και χρησιμοποιεί τον τελευταίο αριθμό τους δηλαδή τη μυριάδα μυριάδων (100002) ως μονάδα των αριθμών της δεύτερης τάξης οι οποίοι κυμαίνονται από τη 100002 μέχρι τη (100002)2 = 100004 ο οποίος αριθμός πάλι με τη σειρά του χρησιμοποιείται ως μονάδα

Abstract

In his work Sand Reckoner (Greek ψαμμίτης-psam-

mites) Archimedes sets himself to challenge the then commonly held belief that the number of grains of sand is too large to count In order to do this he fi rst has to invent a system of nam-ing large numbers in order to give an upper bound and he does this by start-ing with the largest number around at the time a myr-iad myriad or one hundred million (a myriad is 10000) Archimedesrsquo system goes up to 10 ^ 8 10 ^ 16 which is a myriad myriad to the myriad myriadth power all taken to the myriad myri-adth power Another way of describing this number is a one followed by 8 10 ^ 16 zeros Archimedes then sets about estimating an upper bound for the number of grains of sand He counts not only the grains of sand on a beach but on the en-tire earth the earth fi lled with sand and then in a universe fi lled with sand Archimedesrsquo fi nal estimate gives an upper bound of 10 64 for the number of grains of sand in a fi lled universe

Archimedes Psammites the Sand ReckonerΤατιάνα Βασιλικιώτη Γ1


μέτρησης των αριθμών της τρίτης τάξης (100004 ndash 100008) και ούτω καθrsquoεξής Έτσι φτάνει μέχρι την laquoμυ-ριάκις μυριοστών αριθμών μυρίας μυ-ριάδαςraquo δηλαδή τη 108η τάξη δηλα-δή μέχρι τον αριθμό που στο νεότερο σύστημα συμβολίζεται ως (108)10^8

που θεωρείται μονάδα της δεύτερης περιόδου αφού όλοι οι μικρότεροι αριθμοί υπάγονται στην πρώτη πε-ρίοδο Εάν ονομάσουμε τον τελευ-ταίο αριθμό της πρώτης περιόδου Π η πρώτη σειρά θα περιλαμβάνει τους αριθμούς Π1 έως (Π10)8 Προχωρώ-ντας ανάλογα ο τελευταίος αριθμός της 108 περιόδου θα είναι Π10^8 Για να αντιληφθείτε το μέγεθος αυτού του αριθμού φανταστείτε μόνο ότι εκφράζεται ως η μονάδα ακολουθού-μενη από 800000000 ψηφία

Αφότου ανέπτυξε το αριθμητικό του σύστημα ο Αρχιμήδης προχώ-ρησε στον υπολογισμό των κόκκων άμμου που υπάρχουν -ή θα μπο-ρούσαν να υπάρχουν- στο σύμπαν Υπολογίζει ότι μια σφαίρα διαμέτρου ενός ποδός θα περιέχει 64000 σπόρια παπαρούνας και σύμφωνα με αυτό ο αριθμός των κόκκων της άμμου που φανταζόμαστε ότι θα πληρεί τη σφαί-ρα όλων των απλανών της οποίας η διάμετρος θεωρούμε πως είναι εκατο-ντάκις μυριάκις μυριάδας σταδίων θα είναι δυνατόν να περιγραφεί με τους αριθμούς της ογδόης τάξης της πρώ-

της περιόδου Παίρνοντας υπόψιν του και θεω-

ρίες της εποχής πιστεύει πως η διά-μετρος του κόσμου είναι μικρότερη από 100100000000 στάδια και όχι μεγαλύτερη από το διάστημα που δι-ατρέχει το φως σε ένα χρόνο και ανά-λογα υπολογίζει και τον αριθμό των κόκκων της άμμου σε ένα σύμπαν γε-μάτο άμμο Αυτό σημαίνει πως κατά την άποψή του το σύμπαν έχει διά-μετρο ένα έτος φωτός που συμπίπτει με τις σύγχρονες εκτιμήσεις για την ακτίνα του ηλιακού μας συστήματος Η τελική του εκτίμηση δίνει άνω όριο 1064 κόκκων σε ένα σύμπαν πλήρες άμμου

Ο Ψαμμίτης όμως είναι πολύτιμος και για την αστρονομική του αξία Αποτελεί την κυριότερη πηγή για το έργο του Αρίσταρχου του Σαμίου

Ο Αρχιμήδης συνεχίζει προτείνο-ντας άνω όρια για τη διάμετρο της Γης την απόσταση Γης-Ηλίου και σχέσης μεγέθους-απόστασης Γης Σελήνης Ηλίου και σύμπαντος Σε ένα από τα πειράματα ο Αρχιμήδης υπολογίζει τη γωνιακή διάμετρο του Ηλίου ιδωμένου από τη Γη Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός πως στις μετρήσεις του ο Αρχιμήδης παίρνει υπόψιν του και το σχήμα και τον μηχανισμό του ανθρώπινου μα-τιού

Τέλος ένα άλλο πολύ ενδια-φέρον πείραμα που αναφέ-ρεται στον Ψαμμίτη είναι για την ηλιακή παράλλαξη

και συγκεκριμένα για τη διαφορά των μετρήσεων της απόστασης του Ηλίου εάν μετράμε από το κέντρο της Γης ή από την επιφάνειά της κατά τη διάρ-κεια της ανατολής

Ο Ψαμμίτης ήταν για την εποχή του ένα έργο πρωτοπόρο και εντυπω-σιακό γιατί δεν παρουσίαζε απλά μα-θηματικούς υπολογισμούς ή τύπους αλλά πρόβαλλε έναν νέο εξελιγμένο τρόπο σκέψης απελευθερωμένο από κάθε προηγούμενη εικασία

Βιβλιογραφία

1 Ψαμμίτης Αρχαίοι Έλληνες Συγ-γραφείς Εκδόσεις Κάκτος

2 Heath Thomas Ιστορία των Ελ-ληνικών Μαθηματικών Εκδόσεις ΚΕΕΠΕΚ 2001

3 Mankiewicz Richard Η ιστορία των Μαθηματικών Εκδόσεις Αλε-ξάνδρεια 2002

4 Van der Waerden BL Η Αφύπνι-ση της Επιστήμης Αιγυπτιακά Βαβυλωνιακά και Ελληνικά Μα-θηματικά Πανεπιστημιακές Εκ-δόσεις Κρήτης 2003


Εύδοξος

Η laquoμέθοδος της εξά-ντλησηςraquo του Ευδόξου αποτελεί την απαρχή του Ολοκληρωτικού

Λογισμού Χρησιμοποιήθηκε κατά κανόνα για τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων σχημάτων που περιορί-ζονται από καμπύλες Το πρόβλημα της εύρεσης εμβαδού απασχόλησε τη μαθηματική σκέψη από την αρ-χαιότητα Η μέθοδος της εξάντλησης κατέχει ξεχωριστή θέση στην ιστορία των μαθηματικών Χρειάστηκε να πε-ράσουν πολλοί αιώνες μέχρι να ωρι-μάσει η μαθηματική σκέψη ώστε να γίνει κατανοητή και εκμεταλλεύσιμη η μέθοδος αυτή Ο Αρχιμήδης στην εργασία του laquoΚύκλου Μέτρησιςraquo χρη-σιμοποιεί τη μέθοδο της εξάντλησης προκειμένου να υπολογίσει το εμβα-δόν του μοναδιαίου κύκλου Η μέθοδος αυτή δέχεται την ιδέα της άπειρης διαιρετότητας των μεγεθών και έχει ως βάση της την πρόταση laquoΑν από κάποιο μέγεθος αφαιρεθεί ένα μήκος όχι μικρότερο από το μισό του από το υπόλοιπο αφαιρεθεί άλλο μέρος όχι μικρότερο από το μισό του κοκ θα μείνει τελικά ένα μέγεθος μικρότερο από κάθε προκαθορισμένο μέγεθος του ιδίου είδουςraquo Αυτό που εννοεί ο Εύδοξος είναι ότι μέσω της διαδικασίας των αφαιρέσεων ή υπο-

διαιρέσεων ενός δεδομένου μεγέθους μπορούμε να laquoεξαντλήσουμεraquo αυτό το μέγεθος Ο Εύδοξος έδειξε εφαρμό-ζοντας τη μέθοδο αυτή όχι μόνο για άρρητες αλλά και για απειροστές πο-σότητες πώς υποδιαιρείται με συνε-χή τρόπο ένα γνωστό μέγεθος μέχρις ότου προσεγγίσει αρκετά ένα ήδη γνωστό μέγεθος Κατά τον Αρχιμήδη ο Εύδοξος χρησιμοποίησε τη μέθοδο αυτή για νrsquo αποδείξει ότι οι όγκοι των πυραμίδων και των κώνων ισούνται με το 13 των όγκων των πρισμάτων και των κυλίνδρων αντίστοιχα που έχουν τις ίδιες βάσεις και τα ίδια ύψη

Μια προσέγγιση του απειροαθροίσματος από τον Αρχιμήδη

Ένα από τα μαθηματικά προβλήμα-τα που αντιμετώπιζαν οι μαθημα-

τικοί στην αρχαία εποχή ήταν και το εξής

Είναι δυνατόν να έχουμε άθροισμα με άπειρους προσθετέους και να πάρουμε αποτέλεσμα έναν πεπε-ρασμένο πραγματικό αριθμό Ο Αρχιμήδης (287 ndash 212 πΧ) χρη-σιμοποιώντας την λεγόμενη laquoμέθοδο της εξάντλησηςraquo του Ευδόξου (περί-που το 400 πΧ) έδωσε απάντηση με το παρακάτω παράδειγμαΣυγκεκριμένα έχοντας το άθροισμα

με άπειρους προσθετέους να πως δι-καιολόγησε ότι το αποτέλεσμα είναι πραγματικός αριθμόςΑς υποθέσουμε ότι θέλουμε να μοιρά-σουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μή-

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣCalculus

Άρης Μαστρόκαλος Γ2

Abstract

Calculus is a branch of mathematics developed

from algebra and geometry There are two main branches of calculus

middot Differential calculus is concerned with finding the instantaneous rate of change (or derivative) of a functionrsquos value with respect to changes within the functionrsquos arguments

middot Integral calculus stud-ies methods for finding the integral of a function An integral may be defined as the limit of a sum of terms which correspond to areas under the graph of a func-tion Considered as such integration allows us to calculate the area under a curve and the surface area and volume of solids such as spheres and cones

Although Archimedes and others have used integral methods throughout history Gottfried Wilhelm Leibniz and Sir Isaac Newton are usually credited with the in-vention in the late 1600s of differential and integral cal-culus as we know it today Leibniz and Newton appar-ently working independently arrived at similar results Derived from the Latin word for ldquopebblerdquo calculus in its most general sense can mean any method or system of cal-culation

Η μέθοδος της εξάντλησης


κους μιας μονάδας σε τρία άτομα

Κόβουμε το τμήμα ΑΒ σε τέσσερα κομμάτια και δίνουμε σε κάθε έναν από ένα κομμάτι Έτσι ο καθένας θα πάρει το frac14 και θα περισσέψει και ένα κομμάτι από τα τέσσερα έστω το ΕΒ Το κομμάτι αυτό ΕΒ που περίσσεψε το κόβουμε πάλι σε τέσσερα κομμάτια δίνουμε σε κάθε έναν από ένα δηλαδή δίνουμε το frac14 του frac14 άρα το 116 και περισσεύει το ένα κομμάτι Το κομμά-τι αυτό ΘΒ που περίσσεψε το κόβουμε πάλι σε τέσσερα κομμάτια δίνουμε σε κάθε έναν από ένα δηλαδή δίνουμε το frac14 του 116 άρα το 164 και περισσεύ-ει το ένα κομμάτι Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία μέχρι να laquoεξαντληθείraquo το ευθύγραμμο τμήμα Όμως το κάθε άτομο θα πάρει σαν μερίδιο το 13 του ευθύγραμμου τμήματος δηλαδή το ζητούμενο άθροισμα ισούται με 13

Αρχιμήδης

Τα ολοκληρώματα και η χρήση τους

Η ανάλυση είναι ένα πεδίο των μαθηματικών του οποίου τα

θεμέλια ανάπτυξαν ο Γκόντφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς και ο Ισαάκ Νεύτων σχεδόν ταυτόχρονα αλλά και

ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο Ο Νεύτων ήταν ο πρώτος που εφάρμο-σε την ανάλυση στη Γενική Φυσική και ο Λάιμπνιτς ασχολήθηκε με τους συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση σήμερα

Η μαθηματική ανάλυση μπορεί να υποδιαιρεθεί στο διαφορικό λογισμό και στον ολοκληρωτικό λογισμό Ο διαφορικός λογισμός αναφέρεται στο στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής ποσοτή-των σε συνάρτηση με άλλες ποσότη-τες ή αλλιώς στην τοπική συμπερι-φορά μιας συνάρτησης Αυτό μπορεί να ερμηνευτεί από την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τον άξονα των χ

Ο ολοκληρωτικός λογισμός περιγρά-φει το πώς αθροίζονται οι στιγμιαίες αυτές μεταβολές σrsquo ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα για να μας δώσουν το συνολικό αποτέλεσμα Δηλαδή εξετάζοντας πως ένα μέγεθος μετα-βάλλεται οι επιστήμονες επιζητού-σαν να μάθουν κάτι για το ίδιο το μέγεθος Παραδείγματος χάριν από τη γνώση της ταχύτητας ενός κινη-τού επιθυμούσαν να προσδιορίσουν τη θέση του σώματος συναρτήσει του χρόνου Έτσι άρχισαν να μελετούν εμ-βαδά επιφανειών που ορίζονται από καμπύλες

Η διαδικασία εύρεσης ολοκληρωμά-των καλείται ολοκλήρωση και χρη-σιμοποιείται συνήθως για να μετρή-σουμε μια ολότητα όπως εμβαδόν όγκο μάζα μετατόπιση κλπ όταν η κατανομή της ή ο ρυθμός μεταβολής της καθορίζεται με ακρίβεια σε σχέση με μια άλλη ποσότητα (θέση χρόνος κλπ)

Στην ανάλυση το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης είναι μια επέκταση της έννοιας του αθροίσματος Υπάρχουν δυο τύποι ολοκληρωμάτων το αόρι-στο (μια συνάρτηση) και το ορισμένο ολοκλήρωμα Το ορισμένο ολοκλήρω-μα υπολογίζει το αθροιστικό αποτέ-λεσμα πολλών μικρών αλλαγών μιας ποσότητας Το πιο απλό παράδειγμα είναι ο τύπος

Μετατόπιση = Ταχύτητα ∙ Χρόνος

για τον υπολογισμό της μετατόπισης ενός κινητού που κινείται με σταθε-ρή ταχύτητα σε ορισμένο χρονικό διάστημα Η μετατόπιση του κινητού είναι το άθροισμα των μικρών μετα-τοπίσεων που συμβαίνουν κάθε χρο-νική στιγμή

Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f μιας μεταβλητής x στο διάστημα [a b] είναι ίσο με το εμβαδόν της περιο-χής που οριοθετείται από τις γραμμές x= a x= b τον άξονα x και την κα-μπύλη που ορίζεται από την γραφι-κή παράσταση της f Αυτό γράφεται

όπου dx είναι ο συμβολισμός της μεταβλητής της ολοκλήρωσης και παριστάνει την απειροελάχιστη πο-σότητα

Εύρεση εμβαδού μεταξύ δυο καμπυλών


Εφαρμογές των ορισμένων ολοκλη-ρωμάτων έχουμε κάθε φορά που έχουμε το πρόβλημα υπολογισμού ενός αριθμού που κατά γενική θεώ-ρηση είναι ίσος με το άθροισμα με-γάλου αριθμού μικρών ποσοτήτων Η κλασσική γεωμετρική εφαρμογή όπως προαναφέρθηκε είναι ο υπο-λογισμός εμβαδών Το εμβαδόν της περιοχής μπορεί να προσεγγιστεί αν την χωρίσουμε σε μικρά μέρη κυρίως ορθογώνια και κατόπιν προσθέτου-με τα εμβαδά αυτών των ορθογωνίων Όσο περισσότερα ορθογώνια γρά-φουμε τόσο καλύτερη προσέγγιση παίρνουμε

Το μήκος ενός τόξου το εμβαδόν μιας επιφάνειας το έργο που απαιτείται για να αντλήσουμε κάποιο υγρό (πχ πετρέλαιο) από το υπέδαφος οι δυνά-μεις που ασκούνται σε υδατοφράκτες ο όγκος ενός στερεού κά μπορούν να εκφραστούν με ορισμένα ολοκλη-ρώματα Η ανάπτυξη και η χρήση των ολοκληρωμάτων έχει απλωθεί

σε όλους τους τομείς της σύγχρονης ζωής Αποτελεί τη βάση αρκετών επιστημών κυρίως της Φυσικής ενώ χρήση ολοκληρωμάτων έχουμε στην αεροπλοΐα σε τεχνικές οικοδόμησης και σε άλλες τεχνολογίες

Ονομασία και σύμβολα

Μελετώντας τις σημειώσεις του Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς

βλέπουμε ότι ο μεν πρώτος έφθασε στα συμπεράσματά του ξεκινώντας από τον διαφορικό λογισμό ενώ ο δεύτερος από τον ολοκληρωτικό

Ισαάκ Νεύτων

Γκόντφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς

Όσον αφορά το σύμβολο της ολοκλή-ρωσης ο Ισαάκ Νεύτων χρησιμοποί-ησε μια μικρή κάθετη γραμμή πάνω

από τη μεταβλητή για να δηλώσει την ολοκλήρωση ή έβαλε τη μεταβλητή μέσα σε πλαίσιο Την κάθετη γραμμή όμως εύκολα μπορούσε να την μπερ-δέψει κάποιος με το x ή το το οποίο ο Νεύτων χρησιμοποιούσε για να δηλώσει παραγώγιση (διαφορικός λογισμός) το δε πλαίσιο ήταν δύσκο-λο να εκτυπωθεί από τους εκτυπω-τές έτσι αυτά τα σύμβολα δεν υιο-θετήθηκαν από τους μαθηματικούς Το σύγχρονο σύμβολο του αόριστου ολοκληρώματος laquointraquo παρουσιάστηκε από τον Γκόντφριντ Λάιμπνιτς το 1675 ο οποίος επιμήκυνε το γράμμα S που προέρχεται από τη λέξη summa (άθροισμα) το δε σύμβολο του ορι-σμένου ολοκληρώματος με όρια πάνω και κάτω από το laquointraquo χρησιμοποιήθη-κε πρώτα από τον Φουριέ το 1822

Ακόμα και η ονομασία laquoανάλυσηraquo (laquocalculusraquo) αυτού του νέου επιστη-μονικού κλάδου οφείλεται στον Λά-ιμπνιτς Ο Νεύτων χρησιμοποιούσε το όνομα laquoη επιστήμη των διαφορι-κώνraquo (laquothe science of fluxionsraquo) Η λέξη laquocalculusraquo που χρησιμοποιείτο από τον Λάιμπνιτς κατάγεται από τη γέννηση των μαθηματικών Οι αρ-χαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν βό-τσαλα για να μάθουν αριθμητική και γεωμετρία και η λατινική ονομασία για τα βότσαλα είναι laquocalculusraquo






Πρόβλημα Πριν πολλά-πολλά χρόνια ένα μικρό νησάκι καταμεσής στο Αιγαίο είχε πρόβλημα με μια βραχονησί-δα στην έμπα του λιμανιού του Πολλοί καραβοκυραίοι νύχτα τσάκιζαν τα πλεούμενά τους γιατί ήταν σε μπαμπέ-

σικο σημείο και δεν διακρινόταν εύκολα Κάνανε λοιπόν συμβούλιο και αποφάσισαν να τοποθετήσουν ένα φάρο Βρέ-θηκε μάλιστα και φαροφύλακας ο μπάρμπα-Αρχι-μήδης ο ψαράς που ζούσε ήσυ-χα στο νησάκι με την κυρά του την Ασπασία Θα πηγαίνανε να ζή-σουν μόνιμα στη

βραχονησίδα να φροντίζουν το φάρο με ότι καιρό και να έκανε Το ρεγάλο του θα ήταν μια φορά το μήνα το βάρος του να το παίρνει σε ότι προμήθεια ήθελε όπως λαδάκι για το φαγάκι τους και το καντήλι του Αι Νικόλα αλευράκι για το ψωμάκι τους και τις πεντανόστιμες πίτες της κυρα-Ασπασίας το περίφημο ρακί του νησιού για να πηγαίνουν κάτω τα φαρμάκια τέτοιαΟ καιρός περνούσε όμορφα για το ζεύγος και για τους καραβοκυραίους που δεν τσακίζονταν πια στα βράχια Ο μπάρμπα-Αρχιμήδης κάθε μήνα ερχόταν με την βαρκούλα του μια μέρα χωρίς καιρό βέβαια και τον υποδέχονταν με μια μικρή γιορτή ανέβαινε σε μια ζυγαριά-καντάρι και από την άλλη μεριά της ζυγαριάς πρόσθεταν ότι ζητούσε μέχρι να ισορροπήσει με τις προμήθειεςΏσπου μια μοιραία μέρα μια καταραμένη μέρα η ζυγαριά-καντάρι σπάει Ο μπάρμπα-Αρχιμήδης δεν έπαθε τίποτε αλλά όλη η ομήγυρης πάγωσε Μούδιασε όλη η νήσος Τώρα Ζυγαριά δεν υπήρχε άλλη Μια την είχανε και για να έρθει άλλη στο νησί θα περνούσαν μέρες Έπρεπε όμως επειγόντως να πάει το λαδάκι γιατί τρεμόσβηνε το κα-ντήλι του Αγίου και σε λίγο θrsquo άρχιζαν και οι άνεμοι και χωρίς αλευράκι ρακάκι Πελάγωσαν όλοι Σκέφτηκαν οι προεστοί σκέφτηκαν οι καραβοκυραίοι σκέφτηκαν ο παπάς με τον καντηλανάφτη τίποτεΟ μπάρμπα-Αρχιμήδης όμως αναφώνησε ΕΥΡΗΚΑ Έγι-νε τέλεια η ζύγιση και σε μερικά λεπτά έφυγε έγια μόλα έγια λέσα Τι σκέφτηκε ο κύριος Αρχιμήδης

Λύσεις

Μια λύση Αν το χωριό του νησιού διαθέτει παιδική χαρά θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν την τραμπάλα σα ζυγό και τοποθετώντας ένα κιβώτιο με τρόφιμα από τη μια πλευρά και το φαροφύλακα από την άλλη να πετύ-χουν την θέση ισορροπίας αυξομειώνοντας τα τρόφιμα και χρησιμοποιώντας και ένα αλφάδι (αν έβρισκαν)

ή μία άλλη Γνωρίζουμε ότι το καντάρι είναι ένας μοχλός άρα η λύση θα πρέπει να δοθεί με μοχλό Βρίσκουμε λοιπόν ένα καδρόνι (σανίδα) και ένα υπομόχλιο σχήματος τριγωνικού πρίσματος Τοποθετούμε το τριγωνικό πρίσμα (κατά μήκος) στο μέσο της σανίδας (αν αυτή είναι ομογενής) διαφορετικά σε τέτοιο σημείο ώστε να ισορροπεί η σανίδαΣτην μία άκρη βάζουμε να καθίσει ο φαροφύλακας και στην άλλη άκρη τοποθετούμε τα υλικά έως ότου η σα-νίδα έρθει σε οριζόντια θέση τότε τα υλικά έχουν το ίδιο βάρος με τον φαροφύλακα

ή μία άλλη Σε ένα ψηλό σημείο στερέωσαν μια τροχαλία στην οποία πέρασαν ένα σχοινί στις άκρες του οποίου ήταν στην μία ο κύριος Αρχιμήδης (μέσα σε ένα καλάθι) και στην άλλη ένα καλάθι (ισοβαρές με το προηγούμενο) Ο κύριος Αρχιμήδης περίμενε να γεμίσουνε την άλλη πλευρά με τρόφιμα και φυσικά ρακί μέχρι να ανυψωθεί και να ισορροπήσει το βάρος του την άλλη πλευρά

ή μία άλλη Αρχικά ο Αρχιμήδης μπαίνει στην βάρκα χωρίς καμιά προμήθεια και σημαδεύει το σημείο μέχρι το οποίο βυ-θίζεται η βάρκα Έπειτα αποβιβάζεται από την βάρκα και την φορτώνει με προμήθειες μέχρι η βάρκα να βυ-θιστεί μέχρι το σημείο που σημάδεψε αρχικά Έτσι θα αποκτήσει προμήθειες τόσες όσες το βάρος του

Ο φάρος η ζυγαριά και ο μπάρμπα-ΑρχιμήδηςΓιώργος Βαρσάμης Αντώνης Θεοδόσης Γ8

Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η


Το φαινόμενο του θερμοκηπίουΤhe Greenhouse Effect

Οι υδρατμοί το διοξείδιο του άνθρακα και μεθάνιο σχηματίζουν ένα φυσικό δι-αχωριστικό γύρω από τη Γη Πάντως η καύση ορυκτών καυσίμων έχει οδηγήσει

στην αύξηση του ποσού του CO2 αλλά και άλλων αερίων όπως το μεθάνιο και οξείδια του αζώτου που

εκλύονται στην ατμόσφαι-ρα Η επιφάνεια της Γης θερμαίνεται από τον ήλιο Καθώς θερμαίνεται ανακλά πίσω προς την ατμόσφαιρα θερμότητα

Περίπου το 70 της ενέργειας του ήλιου ακτι-νοβολείται προς τα πίσω στο διάστημα Αλλά κάποιο ποσό της υπέρυθρης ακτινο-βολίας παγιδεύεται από τα αέρια του θερμοκηπίου που θερμαίνουν ακόμη περισσό-τερο την ατμόσφαιρα

Αυτό έχει σαν αποτέ-λεσμα η Γη να διατηρείται θερμή και να εμφανίζεται το φαινόμενο της ζωής Αλλά οι αυξημένες ποσότητες των εκπομών των αερίων αλλάζουν την ισορροπία

του σύνθετου αυτού συστήματος προξενώντας την παγκόσμια άνοδο της θερμοκρασίας

Από την Ηλιάννα Αρματά Γ4


Η φυσική διαδικασία

Τo φαινόμενο του θερμοκηπίου εί-ναι μια φυσική διαδικασία Το χρει-

αζόμαστε για να διατηρούμε τη Γη μας ζεστή ώστε να υπάρχει ζωή και ανά-πτυξη Δίχως αυτό η Γη θα ήταν κρύα περίπου -20oC και δεν θα μπορούσε να υπάρχει ζωή Αντιθέτως η μέση θερμο-κρασία της Γης διατηρείται στο επίπεδο των 15oC χάρη στο φαινόμενο αυτό Τα αέρια του θερμοκηπίου (που περι-λαμβάνουν κυρίως το CO2 και τους υδρατμούς) σχηματίζουν ένα lsquoστρώμαrsquo πάνω από το έδαφος της Γης σε ένα ορι-σμένο ύψος ώστε αφού επιτρέψουν να εισέλθει η υπέρυθρη ακτινοβολία του ήλιου αυτή απορροφάται κατά ένα μέ-ρος από τη Γη και την ατμόσφαιρα Εν συνεχεία η υπόλοιπη ακτινοβολία την επανεκπέμπει η Γη που ένα τμήμα της φεύγει προς το διάστημα και το υπό-λοιπο εγκλωβίζεται από το στρώμα των αερίων του θερμοκηπίου

Ένα μέρος λοιπόν της ηλιακής ακτι-νοβολίας κατά την είσοδο της περνά αναλλοίωτη στην ατμόσφαιρα φτάνει στην επιφάνεια του εδάφους και ακτι-νοβολείται προς τα πάνω με μεγαλύτε-ρο μήκος κύματος

Ένα μέρος αυτής απορροφάται από την ατμόσφαιρα τη θερμαίνει και επα-νεκπέμπεται στην επιφάνεια του εδά-φους Το στρώμα των αερίων λοιπόν επιτρέπει τη διέλευση της ακτινοβολίας αλλά ταυτόχρονα την εγκλωβίζει μοι-άζει με τη λειτουργία ενός θερμοκηπίου και ο Γάλλος μαθηματικός Fourier το ονόμασε το 1822 laquoΦαινόμενο Θερμο-κηπίουraquo

Αέρια θερμοκηπίου

Ολα τα αέρια συστατικά της ατμό-σφαιρας που συμβάλλουν στο

φαινόμενο του θερμοκηπίου αναφέ-

ρονται συνολικά με τον όρο αέρια του θερμοκηπίου Απορροφούν την μεγά-λου μήκους κύματος γήινη ακτινοβο-λία και επανεκπέμπουν θερμική ακτι-νοβολία θερμαίνοντας την επιφάνεια Ορισμένα αέρια όπως το όζον έχουν αδιαφάνεια και στην ηλιακή ακτινο-βολία με αποτέλεσμα να απορροφούν ένα μέρος της συμβάλλωντας σε ένα βαθμό και στην ψύξη της γήινης επι-φάνειας

Περίπου το 86 της κατακρατού-μενης από την ατμόσφαιρα γήινης ακτινοβολίας οφείλεται στην παρου-σία υδρατμών (H2O) διοξειδίου του άνθρακα (CO2) και νεφών Οι υδρατμοί αποτελούν το πλέον ενεργό συστατικό

κατά ποσοστό 60 ενώ μικρότερη συ-νεισφορά έχουν και τα αέρια μεϑανίου (CH4) οξειδίου του νατρίου (N2O) και όζοντος(O3) (περίπου 8)

Η αυξητική τάση στη συγκέντρω-ση βασικών αερίων του θερμοκηπίου (στοιχεία μεχρι 12003)

Επίδραση ανθρωπογενούς δραστηριότητας

Το φαινόμενο του θερμοκηπίου είναι φυσικό ωστόσο ενισχύεται

από την ανθρώπινη δραστηριότη-τα η οποία συμβάλλει στην αύξηση της συγκέντρωσης των αερίων του θερμοκηπίου καθώς και στην έκλυ-ση άλλων ιχνοστοιχείων όπως οι χλωροφϑοράνθρακες (CFCrsquos) Τα τελευταία χρόνια καταγράφεται μία αύξηση στη συγκέντρωση αρκετών αερίων του θερμοκηπίου ενώ ειδικό-τερα στην περίπτωση του διοξειδίου του άνθρακα η αύξηση αυτή ήταν 31 την περίοδο 1750-1998 Τα τρία τέταρ-τα της ανθρωπογενούς παραγωγής διοξειδίου του άνθρακα οφείλεται σε


Αέρια θερμοκηπίου με τη μεγαλύτερη αύξηση συγκέντρωσης

Αέριο Επίπεδα 1998 Αύξηση από το 1750 Ποσοστό αύξησηςΔιοξείδιο του άνθρακα 365 ppm 87 ppm 31Μεθάνιο 1745 ppb 1045 ppb 150Οξείδιο του Αζώτου 314 ppb 44 ppb 16

(Πηγή IPCC)


χρήση ορυκτών καυσίμων ενώ το υπό-λοιπο μέρος προέρχεται από αλλαγές που συντελούνται στο έδαφος κυρίως μέσω της αποδάσωσης

Διοξείδιο του άνθρακα (CO2)

Το διοξείδιο του άνθρακα (CO2) εί-ναι το πιο σημαντικό από τα αέρια

που διατηρούν ζεστή την ατμόσφαιρά μας Τέσσερα δισεκατομμύρια χρόνια πριν η συγκέντρωσή του στην ατμό-σφαιρα ήταν πολύ υψηλότερη σε σχέση με σήμερα (80 σε σχέση με τη συγκέ-ντρωση του 003 που παρατηρείται σήμερα) Όμως μέσω της φωτοσύνθε-σης το ποσοστό της συγκέντρωσής του στην ατμόσφαιρα κατά τη διάρκεια του χρόνου ελαττώθηκε κατά πολύ Όλη αυτή η ποσότητα του διοξειδίου του άνθρακα εγκλωβίστηκε μέσα σε οργα-νισμούς που στη συνέχεια σχημάτισαν ορυκτά όπως οι γαιάνθρακες και το πετρέλαιο στο στερεό φλοιό της γης

Συνέπειες

Οι προβλεπόμενες συνέπειες της παγκόσμιας θέρμανσης ποικίλουν

και αφορούν στο περιβάλλον καθώς και την ίδια την ανθρώπινη ζωή Στις κυρι-ότερες από αυτές συγκαταλέγονται η αύξηση της στάθμης των θαλασσών καθώς και διαφορετικά ακραία καιρικά φαινόμενα Η εκτίμηση των επιπτώσε-ων της συγκέντρωσης των αερίων θερ-μοκηπίου στην γενικότερη οικολογική ισορροπία αποτελεί πεδίο επιστημο-νικής αντιπαράθεσης καθώς υπάρχουν πολλές διαφορετικές παράμετροι που αλληλεπιδρούν και πολλά στοιχεία που πρέπει να συνεκτιμηθούν

Κλίμα

Η παγκόσμια θέρμανση μπορεί να συμβάλλει στην αλλαγή τουκλί-

ματος της Γης μετακινώντας τις ζώνες βροχοπτώσεως από τον ισημερινό προς τον βορρά και ερημοποιώντας το κάτω τμήμα της εύκρατης ζώνης

Αυτό συνεπάγεται αλλαγές στους διάφορους τύπους βλάστησης τόσο στις γεωργικές όσο και στις δασικές εκτάσεις Αναμένονται επιπλέον συ-χνότερα ακραία καιρικά φαινόμενα όπως κύματα θερμότητας και ξηρασίες ή έντονες βροχοπτώσεις ανάλογα με την περιοχή

Θάλασσες

Η παγκόσμια αύξηση της θερμοκρα-σίας μπορεί να οδηγήσει σε άνο-

δο της στάθμης των θαλασσών μέσω της θερμικής διαστολής των υδάτων και την τήξη των πάγων Μία αύξηση της θερμοκρασίας κατά 15 έως 45 degC εκτιμάται πως μπορεί να οδηγήσει σε μία άνοδο της στάθμης κατά 15 έως 95 εκατοστά (IPCC 2001) Η άνοδος αυτή μπορεί να έχει καταστρεπτικές συνέπειες προκαλώντας πλημμύρες σε περιοχές που βρίσκονται σε χαμηλό υψόμετρο και κοντά στο επίπεδο της θάλασσας Από το1900 μέχρι το 2001 έχει υπολογιστεί μία ετήσια άνοδος 1-2 χιλιοστά ενώ σύμφωνα με μετρήσεις του δορυφόρου TOPEXPoseidon από τo1992 μέχρι σήμερα η άνοδος είναι περίπου 3 χιλιοστά ετησίως

Σύμφωνα με μία άλλη πιθανότητα η παγκόσμια θέρμανση ενδέχεται να επηρεάσει την ωκεάνια κυκλοφορία και ειδικότερα επιβραδύνοντας το θερμό ρεύμα του Κόλπου ωθώντας το προς τα Νότια και προκαλώντας πτώση τις θερμοκρασίας στις περιοχές από τις οποίες διέρχεται όπως η Δυτική Ευ-ρώπη και η Βόρεια Αμερική Επιπλέον

λόγω της αύξησης της συγκέντρωσης του διοξειδίου του άνθρακα οι ωκεα-νοί της Γης απορροφούν μεγαλύτερο ποσοστό γεγονός που οδηγεί στην μείωση του pH των υδάτων

Υγεία

Η άνοδος της θερμοκρασίας εμφα-νίζει δύο αντικρουόμενα άμεσα

αποτελέσματα σε σχέση με την αν-θρώπινη θνησιμότητα οδηγεί σε αύ-ξηση των θανάτων κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού αλλά και σε μείωση των θανάτων κατά τη διάρκεια του χειμώνα Μία άλλη παράμετρος της παγκόσμιας θέρμανσης αφορά στην ενδεχόμενη εξάπλωση και άνθιση επι-δημιών του παρελθόντος καθώς οι μεγάλες θερμοκρασίες και η υγρασία αποτελούν κατάλληλο υπόβαθρο για την ανάπτυξη πολλών μικροβίων

Θετικές συνέπειες

Το φαινόμενο της παγκόσμιας θέρ-μανσης μπορεί να συνοδευτεί και

από ορισμένες θετικές επιδράσειςΗ γεωργία στο μεγαλύτερο τμήμα

της Ευρώπης και ιδιαίτερα στα μέσα γεωγραφικά πλάτη και στη βόρεια Ευ-ρώπη θα μπορούσε ενδεχομένως να ωφεληθεί από μια συντηρητική άνοδο της θερμοκρασίας Ωστόσο περιοχές της νότιας Ευρώπης είναι πιθανό να απειληθούν από την έλλειψη νερού Επιπλέον η πιθανή εμφάνιση ακραίων καιρικών φαινομένων με μεγαλύτερη συχνότητα σε σχέση με το παρελθόν μπορεί να οδηγήσει σε περισσότερες κακές σοδειές Σημαντική παράμετρο αποτελεί γενικά η ικανότητα της γεωρ-γίας να προσαρμοστεί σε μελλοντικές κλιματικές μεταβολές

Η παγκόσμια θέρμανση θα οδηγή-σει σε αύξηση του αριθμού των ημερών που θεωρούνται ιδανικές για την ανά-πτυξη των φυτών


Προσκάλεσαν σε ένα πάρτι διάφορους διάσημους επιστήμονες και να τι απάντησαν για το αν θα έρθουν ή όχι

Ο Αμπέρ αναρωτιόταν αν η φήμη του έχει ακόμα ρεύμα

Ο Μπόυλ είπε ότι ήταν πολύ πιεσμένος

Ο Δαρβίνος είπε ότι ήθελε να δει πως θα εξελιχθούν τα πράγματα

Ο Ντεκάρτ είπε ότι θα το σκεφτόταν

Ο Έντισον είπε ότι ήταν μία λαμπρή ιδέα

Ο Αϊνστάιν είπε ότι είναι σχετικά εύκολο να έρθει

Ο Χώκινς είπε ότι εξοικονομεί χρόνο για να κάνει κενό χώρο στην ατζέντα του

Ο Χάιζενμπεργκ ήταν αβέβαιος για το αν θα έρθει

Ο Χέρτζ είπε ότι στο μέλλον θα έρχεται πιο συχνά

Ο Μέντελ είπε ότι θα συνδυάσει κάποια πράγματα και θα δει τι θα προκύψει

Ο Μόρς είπε ότι θα έρθει στην στιγμή Τελεία και παύλα

Ο Νιούτον είπε ότι θα μας την πέσει

Του Παβλόφ του έτρεξαν τα σάλια στην ιδέα

Ο Πιέρ και η Μαρί Κιουρί ακτινοβολούσαν από ενθουσιασμό

Ο Σρέντιγκερ είπε ότι έπρεπε να πάει την γάτα του στον κτηνίατρο

Ο Βόλτα ηλεκτρίστηκε από συγκίνηση

Ο Βατ είπε ότι θα βάλει τα δυνατά του

Ο Αρχιμήδης είπε ότι πνίγεται και προσπαθεί να επιπλεύσει

Χαρούλα Γκότση Γ7

Ανέκδοτο


1) Ο κρουνός Α γεμίζει τη δεξαμενή σε 3 ώρες και ο Β σε διπλάσιες ώρες Σε πόσες ώρες γεμίζουν τη δεξαμενή κι οι δύο μαζί

2) Αν μια μετοχή ανέβει κατά 25 τον πρώτο χρόνο πόσο πρέπει να πέσει ως το τέλος του δεύτερου χρόνου ώστε το κέρδος να πέσει στο 10

3) Στο τάβλι κάθε παίκτης ρίχνει δύο ζάρια Ποια η πιθανότητα μια ζαριά να δώσει α) διπλά β) άθροισμα 7

4) Αν η επιφάνεια σφαίρας είναι ίση με τον όγκο της πόσο είναι η ακτίνα της

5) Χωρίς να αλλάξετε τη σειρά των παρακάτω ψηφίων σημειώστε πράξεις (+ x κλπ) και ένα = ώστε να έχουμε μια ισότητα

4 2 2 2 1 3 6 1 20

6) Ο Α λέει την αλήθεια Τρίτη Πέμπτη και Κυριακή Αν είπε laquoείπα την αλήθεια χθεςraquo ποια μέρα ήταν

7) Οι Α Β και Γ είναι για χρόνια φίλοι Ο ένας συνηθίζει να λέει ψέματα Ένας άλλος κατασκευάζει ένα ψέμα και ο τρίτος πάντα λέει την αλήθεια Κάπου τους έπεσε ένα euro10 Αν το euro10 ανήκει σrsquo έναν που λέει ψέματα τότε ποιανού είναι Ο Α λέει laquoΔικό μου είναι το euro10raquo Ο Β λέει laquoΤην αλήθεια λέει ο Αraquo Ο Γ λέει laquoΑνήκει στον Βraquo

ΒιβλιογραφίαΚάκουλλος Θεόφιλος Μαθηματικό Ημερολόγιο 2005-2006Αθήνα 2005 Εκδόσεις Πατάκη

Θοδωρής Λύρης Γ8

Φάκελοι πρώτης ημέρας κυκλοφορίας

Η στήλη του φιλοτελιστήΓραμματόσημα με θέμα τον Αρχιμήδη

Όμιλος Μαθηματικής Σκέψης Κολλεγίου Αθηνών 2006-2007

Όμιλος Φυσικής Σκέψης Κολλεγίου Αθηνών 2006-2007

Κόψτε τα χρωματιστά κομμάτιακαι προσπαθήστε με αυτά να συνθέσετε

τα σχήματα και τις εικόνες που ακολουθούν

Το laquoΣτομάχιονraquo του Αρχιμήδη

SolutionStomachion


Αεροφωτογραφίατων Συρακουσών


Συντάκτες


































Inven-tions


Fields of Science

Initiated


Major Writings































Abstract










































Abstract

Ο Α

ΡΙΘ

ΜΟ

Σ








δ=2R

L π=

L2R










τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279







3ος πΧ αι


2ος μΧ αι


3ος μΧ αι






π = = 3162hellip




1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion


Συντάκτες


































Inven-tions


Fields of Science

Initiated


Major Writings































Abstract










































Abstract

Ο Α

ΡΙΘ

ΜΟ

Σ








δ=2R

L π=

L2R










τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279







3ος πΧ αι


2ος μΧ αι


3ος μΧ αι






π = = 3162hellip




1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion














Inven-tions


Fields of Science

Initiated


Major Writings































Abstract










































Abstract

Ο Α

ΡΙΘ

ΜΟ

Σ








δ=2R

L π=

L2R










τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279







3ος πΧ αι


2ος μΧ αι


3ος μΧ αι






π = = 3162hellip




1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion






























Abstract










































Abstract

Ο Α

ΡΙΘ

ΜΟ

Σ








δ=2R

L π=

L2R










τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279







3ος πΧ αι


2ος μΧ αι


3ος μΧ αι






π = = 3162hellip




1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion









Abstract










































Abstract

Ο Α

ΡΙΘ

ΜΟ

Σ








δ=2R

L π=

L2R










τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279







3ος πΧ αι


2ος μΧ αι


3ος μΧ αι






π = = 3162hellip




1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion






































Abstract

Ο Α

ΡΙΘ

ΜΟ

Σ








δ=2R

L π=

L2R










τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279







3ος πΧ αι


2ος μΧ αι


3ος μΧ αι






π = = 3162hellip




1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion

























Abstract

Ο Α

ΡΙΘ

ΜΟ

Σ








δ=2R

L π=

L2R










τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279







3ος πΧ αι


2ος μΧ αι


3ος μΧ αι






π = = 3162hellip




1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion


















Abstract

Ο Α

ΡΙΘ

ΜΟ

Σ








δ=2R

L π=

L2R










τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279







3ος πΧ αι


2ος μΧ αι


3ος μΧ αι






π = = 3162hellip




1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion


Abstract

Ο Α

ΡΙΘ

ΜΟ

Σ








δ=2R

L π=

L2R










τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279







3ος πΧ αι


2ος μΧ αι


3ος μΧ αι






π = = 3162hellip




1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion








τον αριθμό

π cong 3141592653589793238462643383279







3ος πΧ αι


2ος μΧ αι


3ος μΧ αι






π = = 3162hellip




1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion


1593 μΧ






1655



1665 ndash 1666





1706








1794




1873 ndash 1874





1947





1961




1973


1983











3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion






3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7
































Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion















Abstract











ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion









ΣΑΛΙΝΟΝ














Απόδειξη







Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion





Abstract




































31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion





























31 + 15 2 ndash 1 = 375



























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion
























Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion

















Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion









Abstract





















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion


















Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion


Εύδοξος











Abstract










Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion




Αρχιμήδης


































Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion





















Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion





Λύσεις






Δ ΓΑ

Ε

Κ

Η





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion





























(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion




















(Πηγή IPCC)






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion






Συνέπειες



Κλίμα




Θάλασσες





Υγεία





























Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion






















Ανέκδοτο







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion







4 2 2 2 1 3 6 1 20












SolutionStomachion






SolutionStomachion




SolutionStomachion

SolutionStomachion

Documents

Περιοδικό Φύση και Μαθηματικά