«ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

Αποστόλης Παπανικολάου

Εισαγωγή

Υπάρχει Σχέση Μαθηματικών και Τέχνης; Επιστήμης και τέχνης γενικότερα;Τα Μαθηματικά αναμφίβολα έχουν το στοιχείο της αντικειμενικότητας και σχετίζονται με το λογικό τμήμα του ανθρώπου σε αντίθεση με την Τέχνη που έχει το στοιχείο της υποκειμενικότητας και σχετίζεται κυρίως με το συναισθηματικό τμήμα.

Η Τέχνη προκύπτει ως απότοκο ενέργημα της καθαρά ανθρώπινης ανάγκης για έκφραση ενώ τα Μαθηματικά ως απότοκο ενέργημα της επίσης καθαρά ανθρώπινης ανάγκης για κατανόηση, Και οι δύο όμως αυτές ανάγκες που διαφοροποιούν τον άνθρωπο από τα ζώα, συνυπάρχουν σε ένα και αδιαίρετο όλο : την ανθρώπινη φύση. Άρα η καταρχήν διαφαινόμενη διαφορά θα πρέπει να έχει συνδετήριες γέφυρες.

Το θέμα της Τέχνης και της σχέσης της με τις αλήθειες των Μαθηματικών και της επιστήμης όπως και πολλά άλλα βέβαια έχει εξετασθεί εκτενέστατα στο Πλατωνικό αλλά και το Αριστοτελικό έργο και όπως σε πολλά παρόμοια ερωτήματα θα ανακαλύψουμε ξανά τον τροχό αν δεν ανατρέξουμε στις αναζητήσεις των γιγάντων της κλασικής περιόδου. Ο Πλάτων με πάνω από 100 αναφορές του στην Τέχνη, ασχολείται ιδιαίτερα με αυτήν, της ασκεί δριμύτατη κριτική, (με εξαίρεση την αρχιτεκτονική) θεωρώντας την ως απλή μίμηση της μιμήσεως, απεικόνιση και αντίγραφο δηλαδή του αισθητού κόσμου, που με τη σειρά του είναι αντίγραφο και απεικόνιση του νοητού κόσμου των ιδεών. Έτσι θεωρεί ότι είναι τρεις φορές μακριά από την αλήθεια. Η Τέχνη (ως παρά-γουσα εμπειρικά αντίγραφα και εικασίες) και τα Μαθηματικά ως μέσα αναζήτησης του αγαθού τοποθετούνται αξιολογικά από τον Πλάτωνα σε συγκεκριμένες θέσεις στην περίφημη τετμημένη γραμμή του διαλόγου «Πολιτεία».[1]. Και μπορεί κανείς να συμφωνήσει ή να διαφωνήσει με τις Πλατωνικές θέσεις για τη φύση της αλήθειας των Μαθηματικών προτάσεων σε σύγκριση με τη φύση της αλήθειας ή μη των δημιουργημάτων της Τέχνης. Σίγουρα όμως δεν μπορεί να μην εισέλθει στον προβλη-ματισμό που εισάγει ο Πλάτων, διότι ο προβληματισμός για τις «μιμήσεις» της Τέχνης γενικεύεται και ερευνάται από τον μεγάλο φιλόσοφο για όλες γενικώς τις «μιμήσεις». Και οι μιμήσεις ερμηνευόμενες ως αναπαραστάσεις των εννοιών είναι βασικό εργαλείο της επιστήμης γενικότερα αλλά και της διδακτικής ειδικότερα των Μαθηματικών και των φυσικών επιστημών. Η Αριστοτελική άποψη είναι σαφώς ευμενέστερη από αυτήν του Πλάτωνα για την Τέχνη, έχοντας σε αυτήν αφιερώσει ένα ολόκληρο βιβλίο (την «Ποιητική») από όπου και ο ορισμός της τραγωδίας «έστι ουν τραγωδία μίμησις πράξεως σπουδαίας και τελείας…κάθαρσις». Η τραγωδία επιφέρει την κάθαρση και όχι τον εκμαυλισμό της ψυχής όπως ισχυρίζεται ο Πλάτων.H διελκυστίνδα αυτή που ιστορικά άρχισε με τον Πλάτωνα να θέλει την Τέχνη υπό τον έλεγχο του ορθολογισμού, (όχι όμως ανεξάρτητα όπως μάλλον λαναθασμένα του καταλογίζεται, αλλά σε σχέση με τον παιδευτικό της ρόλο) υποβόσκει σε κάθε μορφή

2

εκδήλωσης Τέχνης με την έννοια ότι η Τέχνη κάνει πάντα προσπάθειες ανεξαρτο-ποίησης από τον ορθολογισμό. Η αντίληψη ότι το κυρίαρχο χαρακτηριστικό της κλασικής παράδοσης είναι ότι υπάρχει ένας κανόνας στην τέχνη, ένα πρότυπο που πρέπει να ικανοποιεί το λογικό στην προσπάθειά του να βρει την τελειότητα, διαπότισε την Αναγέννηση και οδήγησε στην ακραία μορφή της, το νεοκλασικισμό, τον οποίο ο Herbert Read [2] χαρακτηρίζει μαζί με το όλο κλίμα του ακαδημαϊσμού, ως μαραμένη και αποξηραμένη τέχνη. Η άποψη ότι η τέχνη είναι ένα ενέργημα πνευματικό μεν αλλά όχι ορθολογιστικό όπως τα μαθηματικά και η επιστήμη γενικότερα είναι κυρίαρχη και σήμερα, στο χώρο των ανθρώπων της τέχνης.Ας δούμε την άποψη του επιστήμονα Einstein για το θέμα αυτό: «Εκεί που ο κόσµος παύει να είναι η σκηνή για τις προσωπικές ελπίδες και επιθυµίες , εκεί που εµείς σαν ελεύθερα όντα , τον παρατηρούµε µε απορία , αναρωτιόµαστε για αυτόν και µελετάµε, εκεί είναι η είσοδος στο βασίλειο της τέχνης και της επιστήµης. Εάν µεταφράσουµε αυτό που νιώσαµε και παρατηρήσαµε µε τη γλώσσα της λογικής , τότε κάνουµε επιστήµη , αν το δείξουµε µε µορφές των οποίων οι σχέσεις δεν είναι προσιτές στην ενσυνείδητη σκέψη αλλά αναγνωρίζονται µε τη διαίσθηση ως µεστές νοήµατος τότε κάνουµε τέχνη. Το κοινό στοιχείο και στην τέχνη και στην επιστήµη είναι η αφοσίωση σε κάτι που υπερβαίνει το προσωπικό , που κείται πέρα από την περιοχή της αυθαιρεσίας». [3]

H δική μας άποψη είναι ότι οποιαδήποτε καλιτεχνική δημιουργία στο χώρο των εικαστικών τεχνών, από τη στιγμή που κάτι απεικονίζεται στο επίπεδο ενός καμβά ή στο χώρο εμπεριέχει αναμφίβολα, συνειδητή η ασυνείδητη χρήση γεωμετρίας και αναλογιών σε φανερή ή λιγότερο φανερή μορφή. Οι αναλογίες στην περίπτωση της ζωγραφικής μπορεί να περιορίζονται σε αναλογία τονισμού ή χρωματισμού.Οριζόντιες γραμμές σε ένα ζωγραφικό πίνακα προσδίδουν την αίσθηση της ηρεμίας, οι κατακόρυφες την αίσθηση της έντασης ενώ οι καμπύλες «κυματιστές» γραμμές δίνουν την αίσθηση της κίνησης. Οι απλές γεωμετρικές μορφές-σχήματα αποτελούν ούτως ή άλλως βασικά παραστατικά εργαλεία αντίληψης και έκφρασης και με πρωτοπόρους τους ψυχολόγους της μορφής (Gestalt) αποτελούν πλέον αντικείμενο μελέτης της γνωστικής ψυχολογίας. Είναι άκρως ενδιαφέρουσα η αναζήτηση των ελαχίστων εκείνων γεωμετρικών στοιχείων, (geons όπως τα ονομάζει ο IrvingBiederman) με τα οποία η ανθρώπινη αντίληψη αντιλαμβάνεται και εκφράζει τις βασικές μορφές του περιβάλλοντος. [4] Είναι επίσης βέβαιο ότι σε εξπρεσιονιστικές και παραπλήσιες τάσεις της Τέχνης απουσιάζει η ύπαρξη γεωμετρικού υποβάθρου. Σημαντικό όμως παρόλα αυτά μέρος της μοντέρνας Τέχνης με πρωτεργάτες τους Kandinsky, Montrian, Vasarely, Escherκλπ χρησιμοποιεί συνειδητά γεωμετρικά σχήματα στα δημιουργήματά τους. Μια εικαστική μορφή π.χ. ένα άγαλμα αποτελεί μια παρέμβαση στον αισθητό τρισδιάστατο χώρο, δεν είναι πάντοτε μια μείξη αυστηρών γεωμετρικών στερεών, όμως τα διάφορα μέρη του, συνειδητά η ασυνείδητα εμπεριέχουν μια αναλογία, αυτήν που αρμόζει στην ψυχική στόχευση του καλλιτέχνη. Οι αναλογίες αυτές είχαν και έχουν μια συγκεκριμένη στόχευση, π.χ. στην κλασική εποχή, την απεικόνιση του ιδανικού πολίτη – μαχητή, του καλού καγαθού και βέβαια δεν προυποθέτουν τη γνώση μαθηματικών και Γεωμετρίας αλλά του καλλιτεχνικού ταλέντου.Από την έκδοση της «Aesthetic Measure» το 1933 από το μεγάλο μαθηματικού Birkhoff (γνωστό για την εισαγωγή της εργοδικής θεωρίας μέτρου), [5] όλο και

3

περισσότερες έρευνες όμως έρχονται στο φως που αναδεικνύουν κρυφές μαθηματικές δομές1 στα έργα τέχνης και μάλιστα κάποιες από αυτές πλέον συνεπικουρούν στον έλεγχο της γνησιότητας έργων τέχνης και πεποίθησή μας είναι ότι το αισθητικά όμορφο θα είναι κάποτε και μαθηματικά μετρήσιμο. Αποδεχόμενοι την ανεξαρτησία των ενεργημάτων της τέχνης και της επιστήμης για διδακτικούς και μόνον σκοπούς μπορούμε να αναζητούμε καλλιτεχνήματα (και δεν είναι αξιοκαταφρόνητο το πλήθος τους) στα οποία είναι παραπάνω από φανερή η ύπαρξη γεωμετρικού και γενικότερα μαθηματικού υποβάθρου.Θεωρούμε υπερβολική την άποψη της ύπαρξης συγκεκριμένου γεωμετρικού υποβάθρου σε μια πληθώρα πινάκων όπως αυτή του Bouleau στο βιβλίο «H κρυφή γεωμετρία των ζωγράφων», [6] όμως δεν μπορεί να αμφισβητηθεί το συγκεκριμένο γεωμετρικό υπόβαθρο των αναγεννησιακών προοπτικών πινάκων. Επίσης δε θα μπορούσε να αμφισβητηθεί η ύπαρξη γεωμετρικού μοτίβου στα αραβουργήματα, στα δημιουργήματα της Op Art, και σε μια σειρά τεχνοτροπιών και έργων Τέχνης, τα οποία για διδακτικούς λόγους σταχυολογούμε στη συνέχεια του κειμένου.Η μαθηματική δομή επίσης των μουσικών δημιουργιών είναι πέραν πάσης αμφισβήτησης.Μια πιο εμπεριστατωμένη μελέτη της αναζήτησης σχέσης των Μαθηματικών με τη Τέχνη μπορεί κανείς να ανατρέξει στο «The Visual Mind II» [7] .

Ιστορική αναζήτηση διασύνδεσης Τέχνης και Μαθηματικών 1) Γεωμετρική περίοδος της αρχαίας ελληνικής τέχνης (1000-700 π.χ.)

Για την περίοδο αυτή ο ακαδημαϊκός Χρύσανθος Χρήστου [8] παρατηρεί: «Έχουμε Γεωμετρική αφαίρεση, σφιχτοδεμένη και απόλυτα χαλιναγωγημένη σύνθεση, λογική,πνευματικότητα. Η Γεωμετρική τέχνη απομακρύνεται από την απεικόνιση της ορατής πραγματικότητας. Τα διακοσμητικά μοτίβα περιορίζονται αποκλειστικά στα γεωμετρικά σχήματα (ομόκεντροι κύκλοι, ημικύκλια, μαίανδροι ευθείες). Ακόμα και οι ανθρώπινες φιγούρες ή αυτές των ζώων είναι σχηματοποιημένες»

1 έστω και στατιστικής φύσεως, όπως στο VanGoghProject, SIAM News, Volume 42, Number 4, May 2009

4

Εικόνα 1 : Αγγείο της Γεωμετρικής εποχήςH έφεση στη Γεωμετρία από τους διακοσμητές των αγγείων αυτής της εποχής θα πρέπει να συσχετισθεί με το αναμφισβήτητο ιστορικό δεδομένο ότι στο τέλος της Γεωμετρικής εποχής, στα Ελληνικά παράλια της Μικράς Ασίας, η Γεωμετρία αρχίζει να γίνεται αυστηρή θεωρητική επιστήμη. Εισάγεται η έννοια της απόδειξης, μιας έννοιας που διαφοροποίησε τα Ελληνικά Μαθηματικά από αυτά των προγενεστέρων Βαβυλωνίων, Αιγυπτίων κλπ. Ενώ μέχρι τότε τα Μαθηματικά χρησίμευαν απλά στην ταχτοποίηση της διαίσθησης και της εμπειρίας, με την έννοια της απόδειξης οι Αρχαίοι Έλληνες έκαναν το μεγάλο βήμα. Αμφισβήτησαν τη διαίσθηση και την εμπειρία και συνέλαβαν επιτυχώς ότι η αλήθεια πολλές φορές έρχεται σε σύγκρουση με αυτές.[9] Η διαίσθηση έτσι, είναι μεν ένας χρήσιμος οδηγός της σκέψης αλλά δεν είναι αλάνθαστη και αντίθετα οδηγεί πολλές φορές σε λάθος δρόμο.

2) Πυθαγόρειοι και Τέχνη

Η επόμενη ιστορική περίοδος όπου τα Μαθηματικά με την τέχνη είναι απόλυτα συν-δεδεμένα είναι η περίοδος των Πυθαγορείων στην κάτω Ιταλία. (600 περίπου π.χ.)Η κοινή αντίληψη για τους Πυθαγόρειους τους θεωρεί σημαντικούς και γνωστούς για το ομώνυμο Πυθαγόρειο θεώρημα. Κι όμως δεν είναι αυτή η μεγάλη συνεισφορά των Πυθαγορείων. Από τους Πυθαγόρειους ξεκινάει μια μαθηματική αισθητική θεώρηση του σύμπα-ντος. Πεποίθησή τους είναι ότι τα πάντα στη φύση είναι αρμονικά συνδεδεμένα σε ένα σύστημα αριθμητικών αναλογιών. Μια από τις μεγάλες προσφορές στην ανθρω-πότητα είναι η έννοια της μουσικής κλίμακας. Η μουσική , τα ωραία ακούσματα, βασίζονται στη διαδοχή ή συνήχηση ήχων με συγκεκριμένο λόγο συχνοτήτων (μουσικά διαστήματα). Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ότι συνηχούν αρμονικά δύο χορδές όταν έχουν λόγους μηκών αντίστοιχα 2:1, 3:2, 4:3 και 9:8. (Σήμερα αυτό έχει επιβεβαιωθεί από τη Φυσική με την ανάλυση Fourier και τις έρευνες του Helmholtz.Όταν δυο νότες συνηχούν, η αρμονία που παράγεται οφείλεται στην σύμπτωση των

5

αρμονικών τους συνιστωσών και αυτό γίνεται μόνο, όταν ο λόγος συχνοτήτων τους είναι λόγος μικρών φυσικών αριθμών). Η οκτάβα π.χ. («δια πασών» όπως λεγόταν τότε) είναι το μουσικό διάστημα που προκύπτει από το λόγο 2:1. Αν κρουσθεί δηλ. μια χορδή και ξανακρουσθεί η μισή χορδή αφού δεσμευθεί η υπόλοιπη, οι δύο ήχοι που ακούγονται είναι πανομοιότυποι αλλά σε διαφορετικό ύψος. Το επόμενο διάστημα είναι το 3:2, κατόπιν το 4:3 και έπειτα το 9:8 . Πεπεισμένοι, ότι όλα είναι αναλογίες φυσικών αριθμών προσπάθησαν να βρουν το λόγο της διαγωνίου δ προς την πλευρά α ενός τετραγώνου αλλά και το λόγο της πλευράς προς τη διαγώνιο ενός κανονικού πενταγώνου που μάλιστα το είχαν και έμβλημά τους. Δηλαδή προσπάθησαν να βρουν ένα τμήμα μ (κοινό μέτρο) ώστε δ = κ∙μ και α = λ∙μ (οπότε ο λόγος δ/α θα ήταν ίσος με κ/λ). Οι ιστορικοί μιλάνε για μια από τις μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών και ταυτόχρονα για την πρώτη μεγάλη κρίση στα θεμέλιά τους. [10]

Εικόνα 2 Εικόνα 3 : Το συνεχές κλάσμα της 2

Οι Πυθαγόρειοι έκαναν πρώτοι τη διαπίστωση ότι τα τμήματα δ και α είναι ασύμμε-τρα. Δεν είναι δυνατόν να βρεθεί ένα κοινό μέτρο όσο και αν μικραίνει το μ και έτσι ο λόγος δ/α δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα (λόγος) φυσικών , είναι άρρητος λόγος. Οι Πυθαγόρειοι έτσι ήρθαν αντιμέτωποι με το άπειρο, την επ’ άπειρο χωρίς αποτέλε-σμα ελάττωση του μ. (Με σημερινή ορολογία τα άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς καμία περιοδικότητα που προσεγγίζουν έναν άρρητο αριθμό).Κατασκεύασαν όμως ένα σύστημα «ανθυφαιρετικών γνωμόνων» με το οποίο διαπίστωσαν την περιοδικότητα του (με σημερινή ορολογία) συνεχούς κλάσματος που αναπαριστά το λόγο δ/α (τη

σημερινή 2 ), και επινόησαν τους πλευρικούς-διαμετρικούς αριθμούς. (Με

σημερινούς όρους δύο ισοσυγκλίνουσες ακολουθίες στο 2 η μια με έλλειψη και η άλλη με υπερβολή) . Κατόρθωσαν έτσι να καθυποτάξουν αυτήν την απειρία και να φθάσουν στο θαυμαστό επίτευγμα να μπορούν να προσεγγίσουν οσονδήποτε το λόγο

διαγώνιος/πλευρά ενός τετραγώνου (το σημερινό 2 ). [11], [12].

6

Εικόνα 4 . Η αυτοομοιότητα του κανονικού πενταγώνου

Ένας από τους επηρεασμούς της Τέχνης από αυτές τις αναζητήσεις των Πυθαγορείων είναι ότι σε αυτούς πιστώνεται ιστορικά η πρώτη μελέτη του δεύτερου λόγου που αναφέρθηκε προηγουμένως, αυτού της διαγωνίου προς την πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου, του περίφημου αριθμού Φ, της χρυσής τομής. Της πιο αρμονικήςδιαίρεσης ενός τμήματος σε δύο άνισα τμήματα. Οι Αρχαίοι Έλληνες δεν τον ονόμαζαν ούτε Φ ούτε χρυσή τομή, τον ονόμαζαν διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο,όπως τουλάχιστον εμφανίζεται αργότερα στα «Στοιχεία του Ευκλείδη». Οι Ευρωπαίοι κατά την Αναγέννηση, έκπληκτοι διαπίστωσαν τη γνώση και χρήση του από τους αρχαίους Έλληνες. Τον ονόμασαν θεία αναλογία (divina proportione) και έχουμε πάρα πολλές μαρτυρίες για τη χρήση του στην Αναγέννηση (Luca Paccioli, Davinci κ.α.). Χρυσή τομή τον ονόμασε ο Martin Ohm Γερμανός μαθηματικός, αδερφός του γνωστού φυσικού περίπου το 1835. Φ τον ονόμασε ο Mark Barr Αμερικανός μαθηματικός στις αρχές του 20ου αιώνα προς τιμή του Φειδία από το αρχικό του γράμμα και έκτοτε είναι γνωστός ως «number phi» ή «golden ratio».Ο μεγάλος Kepler έλεγε ότι δύο είναι τα διαμάντια της Γεωμετρίας, το ένα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και το άλλο αυτή η διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο.Υπάρχει μεγάλη συζήτηση για τον υπερτονισμό της αισθητικής αξίας της χρυσής τομής , αυτό όμως δεν μειώνει καθόλου την αξία της Πυθαγόρειας αναζήτησης για τις αναλογίες. Γιατί κατόπιν τη σκυτάλη πήραν οι Μαθηματικοί της Ακαδημίας του Πλάτωνος , ο Θεαίτητος και ο μεγάλος Εύδοξος. Ο Εύδοξος και αργότερα ο Αρχι-μήδης έθεσαν τις βάσεις για το σύστημα των πραγματικών αριθμών στο οποίο σήμε-ρα βασίζεται όλος ο απειροστικός λογισμός. Πιο συγκεκριμένα ο Εύδοξος στον οποίο αποδίδεται ολόκληρο το 5ο βιβλίο των στοιχείων του Ευκλείδη έδωσε μια επέκταση της έννοιας της αναλογίας, έναν ορισμό που ουσιαστικά ισοδυναμεί με τις τομές που εισήγαγε ο μαθηματικός Dedekind (1831–1916), ως ένα τρόπο κατασκευής των πραγματικών αριθμών από το σύνολο των ρητών.

3) Απογείωση των μαθηματικών - απογείωση της τέχνης - χρυσός αιώνας

7

Εικόνα 5. Προσπάθεια ανακατασκευής των αναλογιών του κανόνος του Πολύκλειτου στο άγαλμα «Δορυφόρος» (ή «Οπλίτης»)

Τα θαυμαστά έργα του χρυσού αιώνα στην Αθήνα αλλά και την υπόλοιπη Ελλάδα προκαλούν ακόμα και σήμερα το θαυμασμό αλλά και την εξονυχιστική μελέτη των αναλογιών τους. Και αυτή ακριβώς είναι η σχέση όλων όσων εκτέθηκαν προηγουμένως σε σχέση με τις αναλογίες. Η αναντίρρητη πεποίθηση ότι κάθε μέρος ενός οικοδομήματος, μέσα και έξω, ενός γλυπτού, ενός ζωγραφικού πίνακα ή μιας μουσικής σύνθεσης πρέπει να διέπεται από ένα ενιαίο σύστημα μαθηματικών αναλογιών και ότι το επίπεδο τελειότητας έχει σχέση με τον πλούτο του θεωρητικού υποβάθρου της Γεωμετρίας και κυρίως της μελέτης των αναλογιών. Με το άγαλμα «Δορυφόρος», ο Πολύκλειτος, γλύπτης σύγχρονος του Φειδία, δημιούργησε ένα σύστημα ιδανικών αναλογιών, τον «κανόνα», για τη δημιουργία ενός ανθρώπινου γλυπτού, κανόνας που εξακολούθησε να χρησιμοποιείται στη Δύση μέχρι την ύστερηΑναγέννηση.

8

Εικόνα 7. Τα περίφημα 5 Πλατωνικά στερεά

Ο Πλάτων εξ άλλου περιγράφει στο διάλογο «Τίμαιος» τον κόσμο σαν μια σύνθεσηγεωμετρικών αρμονικών σωμάτων, των περίφημων 5 Πλατωνικών Στερεών που θα περάσουν και στην Αναγέννηση και θα προκαλέσουν τον προβληματισμό πολλών από τα φωτισμένα πνεύματά της. Η μεγάλη λοιπόν συνεισφορά των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών στην ανθρωπότη-τα αλλά και στην τέχνη προκύπτει κυρίως από τη διερεύνηση της έννοιας της αναλο-γίας, του Μαθηματικού λόγου, και τη σύνδεση της Αισθητικής (ο όρος αισθητική είναι πολύ μεταγενέστερος) με τα Μαθηματικά.«H ελληνική γεωμετρία υπήρξε αυτό το αδιάφθορο πρότυπο, πρότυπο που προτείνεται όχι μόνο σε κάθε γνώση που αποβλέπει στην τελειότητα του αλλά και απαράμιλλο πρότυπο των τυπικών χαρακτηριστικών της ευρωπαϊκής νόησης…Αυτές οι κολόνες, αυτά τα κιονόκρανα, αυτά τα επιστύλια, αυτοί οι θριγκοί με τις υποδιαιρέσεις τους, και οι διακοσμήσεις που γέρνουν χωρίς ποτέ να φεύγουν από την θέση τους και την άρμοση τους, με κάνουν να σκέφτομαι εκείνες τις αρθρώσεις της καθαρής επιστήμης, όπως τις είχαν συλλάβει οι Έλληνες, ορισμούς, αξιώματα, προτάσεις, θεωρήματα, συμπεράσματα, πορίσματα, προβλήματα…Δηλαδή ορατή η μηχανή του πνεύματος. (Πωλ Βαλερύ)». [13]

9

4) Αναγέννηση (1400-1700 περίπου μ.Χ.)

Εικόνα 8. Γεωμετρική Προοπτική

Η ανθρωπότητα ξυπνάει από το λήθαργο αιώνων και δεδομένων ιστορικών ευνοϊκών συνθηκών όπως π.χ. της άλωσης της Κωνσταντινούπολης (που έστειλε πολλούς Έλληνες λογίους στη Δύση-μεταλαμπαδευτές της ελληνικής παιδείας και μαζί τους αρκετά βιβλία της κλασικής Ελλάδας), της εφεύρεσης της τυπογραφίας, της διείσδυ-σης των Αράβων στην Ευρώπη μέσω της Ισπανίας (οι Άραβες είναι οι μόνοι που τον μεσαίωνα έχουν να επιδείξουν μαθηματικό έργο) αλλά και άλλων παραγόντων,επανεξετάζει προσεκτικά και κριτικά τα κλασικά κείμενα , γνωρίζει τον Πλάτωνα, τον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη και τον Πάππο. Το αποτέλεσμα όλης αυτής της διεργασίας είναι η κατάκτηση της γραμμικής προοπτικής. Μαγεύεται από τις δυνα-τότητές της και ασχολείται έντονα μαζί της για περίπου τρεις αιώνες με νατουραλιστικές αναπαραστάσεις τοπίων και προσώπων. Τι είναι όμως γραμμική προοπτική;Οι καλλιτέχνες εδώ φαίνεται να προηγούνται των Μαθηματικών και να τους υποδεικνύουν δείχνουν νέους δρόμους.[14] Οι παράλληλες (στην πραγματικότητα) ευθείες του βάθους σχηματίζονται συγκλίνουσες σε ένα σημείο, το σημείο φυγής των καλλιτεχνών («επ΄ άπειρον» σημείο αργότερα για τους Μαθηματικούς). Δε θα τολμούσε Μαθηματικός να τμήσει, να νοήσει παράλληλες γραμμές που να τέμνονται. Το επτασφράγιστο μυστικό των καλλιτεχνών αναλαμβάνουν να μελετήσουν εντυπωσιασμένοι οι τότε μαθηματικοί και καλλιτέχνες της εποχής , ο Alberti, o Davinci και αργότερα ο Durer. Η γραμμική προοπτική τίθεται σε μαθημα-τική βάση για να παραχθούν κατόπιν και άλλες γεωμετρίες, η παραστατική και η προβολική γεωμετρία και αργότερα η ελλειπτική και η υπερβολική γεωμετρία , με διαφορετική έννοια παραλληλίας από αυτήν της ευκλείδειας.Το μονοσήμαντο και συγκεκριμένο, σίγουρο νόημα των πινάκων της Αναγέννησης , η ευφορία του μπαρόκ και του ροκοκό βρίσκεται σε πλήρη αντιστοιχία με την σιγουριά της αιτιοκρατίας (ντετερμινισμός) του Καρτέσιου και τον απόλυτο χώρο και χρόνο του Νεύτωνα.[15] Δεδομένες αρχικές συνθήκες παράγουν συγκεκριμένα αποτελέσματα. Το σύμπαν θεωρείται μια μηχανή απόλυτα ελεγχόμενη από μαθηματικούς τύπους και κανόνες .Η γλώσσα του Σύμπαντος είναι μαθηματική έλεγε ο Γαλιλαίος.

10

5. Το πέρασμα απο την Αναγέννηση προς την μοντέρνα τέχνη(1700-1900 μ.χ. περίπου)

Ο Ιμπρεσιονισμός (1874-1900), η τεχνοτροπία που απεικονίζει την άμεση, τηφευγαλέα εντύπωση ενός φυσικού τοπίου ή ενός αντικειμένου, είναι το βαθμιαίο πέρασμα της Τέχνης στο αφηρημένο. Αν και βασικός εκπρόσωπος είναι ο Monet (1840 – 1926) η έρευνά μας επικεντρώνεται κυρίως στον Cé zanne (1839 –1906) και τον Van Gogh (1853-1890). Στον Cezanne γιατί είναι αυτός που πρόσθεσε καθαρά γεωμετρικά στοιχεία στον ιμπρεσιονισμό και ουσιαστικά ενέπνευσε την κατοπινή τεχνοτροπία του κυβισμού: «Everything in nature takes its form from the sphere, the cone and the cylinder».O Van Gogh αποτελεί ένα παράδειγμα ασυνείδητης καλλιτεχνικής αναπαράστασης μαθηματικών δομών. Σύμφωνα με σύγχρονη επιστημονική έρευνα δημοσιευμένη στο διαδικτυακό αρχείο arXiv.org (στην οποία ο καθηγητής Φυσικής Jose-Luis Aragon, με ομάδα ερευνητών στο Πανεπιστήμιο του Μεξικού προσπάθησε να ποσοτικοποιή-σει πίνακες σαν τον: «Έναστρη νύχτα») διαπιστώνει ότι oι χαοτικές δίνες που χαρα-κτηρίζουν αυτόν και παρόμοιους πίνακες ακολουθούν με ακρίβεια τις μαθηματικές περιγραφές των αναταράξεων σε ρευστά υλικά, όπως οι στροβιλισμοί του νερού σε ένα ταραγμένο ρυάκι ή οι πραγματικοί ανεμοστρόβιλοι.[16].

Εικόνα 9: Έναστρη Νύχτα – Van Gogh

11

6) Μοντέρνα Τέχνη και Γεωμετρία (20ος αιώνας)Μιλώντας για μοντέρνα Τέχνη εννοούμε την ολοκληρωτική άρνηση της δημιουργίας ρεαλιστικών - νατουραλιστικών αναπαραστάσεων φυσικών τοπίων ή προσώπων. Το εντυπωσιακό είναι, ότι αυτή η τάση προς αφαίρεση, της λεγόμενης «μοντέρνας τέχνης», σε ένα μεγάλο της τμήμα εκφράζεται με μια σημαντική τάση «γεωμετρικοποίησης» της ζωγραφικής, αλλά και την καθιέρωση απλών λιτών γεωμετρικών γραμμών στην Αρχιτεκτονική.Στις αρχές του εικοστού αιώνα οι κυβιστές (Picasso, Braque) συνεχιστές τουιμπρεσιονιστή Cé zanne φέρνουν στο επίκεντρο της τέχνης τα γεωμετρικά σχήματα ως βασικά συστατικά ενός πίνακα λες και είχαν διαβάσει τον διάλογο «Φίληβος» του Πλάτωνα όπου ο Σωκράτης υποδεικνύει την αισθητική δύναμη της απλότητας των στοιχειωδών γεωμετρικών σχημάτων. [17]

Οι συνεχιστές αυτής της νοοτροπίας της γεωμετρικής αφαίρεσης, με τον Malevich (1878 - 1935), τον Kandisky (1866 – 1944), τον Mondrian, (1872 – 1944) δημιούργησαν νέες τεχνοτροπίες που ονομάστηκαν σταδιακά σουπρεματισμός, κον-στρουκτιβισμός, νεοπλαστικισμός. Χαρακτηριστικό είναι το απόσπασμα από κείμενο του Montrian: «η ομορφιά εκφρά-ζεται πιο καλά από μαθηματική άποψη επομένως είναι η θέση από την οποία το καλλιτεχνικό ταμπεραμέντο του μέλλοντος πρέπει να αναπτυχθεί, η θέση από την οποία το νέο ύφος πρέπει να προκύψει».Καθώς επίσης και το απόσπασμα από κείμενο του Kandinsky: «Everything can be portrayed ... as a mathematical formula». Και αυτή είναι μια από τις βασικές θεωρητικές αρχές της σχολής Bauhaus (ο Kandinsky διατέλεσε καθηγη-τής στη σχολή αυτή) που εισήγαγε στις αρχές του εικοστού αιώνα τη γεωμετρική λειτουργικότητα και την απαλλαγή από τα στολίδια της Αναγέννησης , του μπαρόκ του ροκοκό κλπ. Αυτό που αποκαλείται μοντέρνα αρχιτεκτονική.

12

Εικόνα 10. Το χαρακτηριστικό κτήριο της Σχολής Bauhaus

Ο Picasso (1881–1973) είναι ίσως ο γνωστότερος καλλιτέχνης του 20ου αιώνα και αντίστοιχα ο Einstein ο γνωστότερος επιστήμονας. Σύμφωνα με τον Miller [15] όπως ο Αϊνστάιν με τη θεωρία της σχετικότητας ανέτρεψε το απόλυτο του χώρου και του χρόνου στη Φυσική, ο κυβισμός του Picasso και του Braque γκρέμισε από το θρόνο της την προοπτική της Αναγέννησης και την μονοσήμαντη θέαση της πραγματι-κότητας. Μπορούμε να θεωρούμε ότι πρόκειται για μια νέα γεωμετρική περίοδο της τέχνης. Παράλληλα οι αναζητήσεις των ψυχολόγων της μορφολογικής ψυχολογίας (Gestalt),οι οποίοι ασχολήθηκαν με τις γεωμετρικές και όχι μόνον αμφισημίες. κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η ανθρώπινη αντίληψη εργάζεται με απλές γεωμετρικές γραμμές ,βασικά γεωμετρικά σχήματα αλλά και γενικότερα τις απλούστερες μαθηματικές σχέσεις και δομές. Το σύνολο των αρχών στο οποίο κατέληξαν οι ψυχολόγοι της σχολής Gestalt μάλλον προανήγγειλε τη σημερινή θεωρία των «embodiedmathematics», των ενσωματωμένων Μαθηματικών με τα οποία ο άνθρωπος είναι εφοδιασμένος για την ερμηνεία του περιβάλλοντος και της θεωρίας της αποβλεπτικό-τητας. (Η αντίληψη είναι μία ενεργητική, ερμηνευτική διαδικασία που αποβλέπει στο νόημα και όχι απλώς η παθητική πρόσληψη του εξωτερικού ερεθίσματος). Έτσι έδωσαν ψυχολογικό υπόβαθρο στην εμφάνιση της γεωμετρίας στην μοντέρνα τέχνη και επηρέασαν τεχνοτροπίες όπως της «op-art».

Στο μεσοπόλεμο ο μεγάλος μαθηματικός Gödel (1906-1978) ανατρέπει οριστικά τη βεβαιότητα του θετικισμού και του φορμαλισμού με το περίφημο θεώρημα «της μη πληρότητας». Οι σουρεαλιστές καλλιτέχνες αντίστοιχα δημιου-ργούν έργα στη βάση της περιφρόνηση της λογικής, στους χώρους του μη λογικού , του ονείρου και της φαντασίωσης. Ο Dali (1904–1989) π.χ. δίνει τη δική του άποψη για την καμπύλωση του χρόνου. Τον καμπυλώνει στο έργο «Αναζητώντας την τέταρτη διάσταση» και τον κάνει βδέλλες πάνω στην υλική και ανθρώπινη ύπαρξηστο έργο του «Μelting Clocks».Προσπαθεί επίσης να απεικονίσει την άπιαστη τέταρτη διάσταση αξιοποιώντας το μαθηματικό μοντέλο του «υπερκύβου (tesseract)» ως κύβου τεσσάρων διαστάσεων στο έργο του «Crucifixion (Corpus Hypercubus)».Στη συνέχεια κατά το 1960 με την πρόοδο της Οπτικής και της Βιολογίας σχετικά με τη λειτουργία της όρασης έχουμε την εμφάνιση της οπτικής τέχνης (op art)με κύριο εκπρόσωπο τον Vasarely (1906-1997) και βασική αρχή του να δημιουργεί πίνακες που να κατανοεί όλος ο κόσμος και όχι ένα εξεζητημένο κοινό. Για να γίνει αυτό καθιερώνει ως αλφάβητο της τέχνης τα βασικά γεωμετρικά σχήματα. Το βασικό θεώρημα της Αξονομετρίας και οι αναζητήσεις της μορφολογικής ψυχολογίας αποτελούν κεντρική πηγή έμπνευσης και θέμα αρκετών πινάκων του.

13

Εικόνα 11 : Victor Vasarely Caldor

7) Η "μαθηματική Τέχνη" των FractalsΟ όρος fractal εμφανίστηκε το 1975 στο βιβλίο του Γάλλου Μαθηματικού Mandelbrot, «Les objects fractals» και στη Γεωμετρία εμφανίζεται ως ένα σχήμα που χαρακτηρίζεται από αυτοομοιότητα (self-similarity), την ιδιότητα δηλαδή να είναι όμοιο με ένα ή περισσότερα τμήματά του. Η γραφική παράσταση τέτοιων σχημάτων που προκύπτουν με επαναληπτικές διαδικασίες σε κατάλληλη μαθηματική συνάρτηση με τη βοήθεια υπολογιστών οδηγούν συχνά σε εικόνες με ιδιαίτερηαισθητική αξία ώστε αρκετές από αυτές να διεκδικούν τη θεώρησή τους ως έργα τέχνης.

Εικόνα 12

14

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

Ο Πλάτων στο διάλογο «Πολιτεία» θεωρεί τουλάχιστον γελοίο να προσπαθήσει κάποιος να μάθει Μαθηματικά μέσα από πίνακες ζωγραφικής. Παίρνοντας μια απόσταση από τον ενστερνισμό της απόλυτης άποψης του μεγάλου φιλοσόφου, που ενέχει και ένα κίνδυνο ιστορικού αναχρονισμού, αλλά και υιοθετώντας ένα μέρος αυτών των επιφυλάξεων, το πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά» δεν φιλοδοξεί να υποκαταστήσει τη διδασκαλία των Μαθηματικών που γίνεται στη σχολική τάξη,αλλά μέσα από το ευχάριστο περιβάλλον της Τέχνης να δημιουργήσει αλλαγή στάσης ως προς τη θεώρηση των Μαθηματικών, επισημαίνοντας τη φιλοσοφική τους διάσταση και τη διείσδυσή τους σε όλους τους τομείς της ανθρώπινης σκέψης και δραστηριότητας.

Θερμές ευχαριστίες στους 8000 περίπου μαθητές και καθηγητές, που με τις επισκέ-ψεις στο μουσείο Ηρακλειδών τα πέντε τελευταία χρόνια, στο πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά», τις ενδιαφέρουσες ερωτήσεις και παρατηρήσεις, εμπλούτισαν και εμπλουτίζουν αυτήν την προσπάθεια ολιστικής προσέγγισης της γνώσης και πνευματικής ανάτασης.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ [1] Παπανικολάου Απόστολος, «Η Ανθυφαιρετική ερμηνεία της έξωσης της Ποίησης στο δέκατο βιβλίο της Πολιτείας του Πλάτωνα», Διπλωματική εργασία μεταπτυχιακό Διδακτικής Μαθηματικών, Μαθηματικό Αθήνας 2008, Επίβλεψη Στ. Νεγρεπόντη.

[2] Read Herbert : Η Τέχνη σήμερα - Για τη δημιουργία της μοντέρνας τέχνης, Μετάφραση Δημ. Κούρτοβικ, Εκδόσεις Κάλβος , 1960.

[3] Peitgen Η. and Richter P. , «The Beauty of Fractals» Springer-Verlag, Heidelberg, 1986.

[4] Βοσνιάδου, Σ. «Εισαγωγή στην Ψυχολογία» , Gutenberg 2004 σελ. 169, 170.

[5] Birkhoff G. «Aesthetic Measure», Cambridge, Harvard University Press, 1933.

[6] Bouleau Charles, «The Painter's Secret Geometry: A Study of Composition in Art» Harcourt, Brace & World, 1963. (Μετάφραση στα Ελληνικά: Στέλλα Δήμου)

[7] Εmmer- The Visual mind ΙΙ, 2005, MIT Press , Cambridge, Massachusetts London, England.

[8] Χρήστου Χρ. «Εισαγωγή στην Τέχνη Ι» - Σύλλογος προς διάδοσιν ωφελίμων βιβλίων. Αθήνα 1988.

[9] Νεγρεπόντης Σ., Φαρμάκη Β. «Η “παράλογη” αποτελεσματικότητα των Μαθη-ματικών στις άλλες επιστήμες», Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών.

15

[10] Howard Eves, «Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών» Τροχαλία 1989.

[11] Negrepontis S., The foundation of Pythagorean Philosophy (‘everything is number’) on Pythagorean Geometry (‘incommensurability of diameterof square’), to appear [in Greek].

[12] Νεγρεπόντης, Σ. (2007-2008), Σημειώσεις μεταπτυχιακών μαθημάτων, «Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών» και «Πλάτων και Μαθηματικά», ΠΜΣ Διδακτικής Μαθηματικών, Μαθηματικό Τμήμα Πανεπιστημίου Αθηνών.

[13] Βαλερύ Πωλ. «Η κρίση του πνεύματος» ,Μετάφραση Θανάσης Χατζόπουλος, Εκδόσεις Καστανιώτη 1996. (Τίτλος πρωτοτύπου : Paul Valery's - Crisis of the Mind, 1919)

[14] Andersen Kirsti, The Geometry of an Art-The History of the MathematicalTheory of Perspective from Alberti to Monge. 2007, Springer.

[15] Miller Arthur «Enstein-Picasso» - Εκδόσεις Τραυλός, 2002.

[16] http://arxiv.org/abs/physics/0606246.

[17] Πλάτωνος «Φίληβος» Στίχος 51b.

ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Χρήστου Χρ. «Η ζωγραφική του εικοστού αιώνα» - Θεσσαλονίκη 1977Ε.Η. Gombrich «Το χρονικό της Τέχνης» - Εκδόσεις Μορφωτικό ίδρυμα ΕθνικήςΤραπέζης .Ε.Η. Gombrich «Τέχνη και ψευδαίσθηση» Εκδόσεις Νεφέλη.Larousse «Ιστορία της Τέχνης» – Εκδόσεις ΒιβλιόραμαΚαντίνσκι «Σημείο, Γραμμή , Επίπεδο» - Εκδόσεις ΔωδώνηRudolf Arnheim «Τέχνη και οπτική αντίληψη» - Εκδόσεις ΘεμέλιοΧριστίνα Φίλη «Αμφίδρομα» - Εκδόσεις ΣμίληLaura H. Chapman «Διδακτική της Τέχνης» - Εκδόσεις ΝεφέληCarsten – Peter Warncke «Picasso» - Εκδόσεις Tachen Magdalena Holzhey «Vasarely» - Εκδόσεις TachenUrlrike Becks –Malorny «Cezanne» - Εκδόσεις TachenΜ.C. Escher «The Graphic World» - Εκδόσεις TachenCharles Bouleau- «La Geometrie secrete des peintres» -1963 Editions du SeuilHermann Weyl «Συμμετρία» - Εκδόσεις ΤροχαλίαΑναπολιτάνος, Δ. Α. «Εισαγωγή στη φιλοσοφία των Μαθηματικών» Εκδόσεις Νεφέλη.Heath, L, T. (1981). A History of Greek Mathematics. New York: Dover.Douglas R. Hofstadter : Godel , Escher, Bach. - Penguin booksΠλάτωνος Πολιτεία, Φίληβος.

16

Janaway C., Images of Excellence, Plato’s Critique of the Arts, Clarendon Press, Oxford 1995.Keuls Eva, Plato and Greek Painting, E.J.Brill, Leiden 1978.Tate J., “Imitation’ in Plato’s Republic”, Classical Quarterly 1928.Ανδρόνικος Μ., Ο Πλάτων και η Τέχνη, Νεφέλη, Αθήνα 1986 (1952).Ζωγραφίδης Γ., Εικαστική Φιλοσοφία, Ελληνικά Γράμματα, Αθήνα 1998.Παντελή Ξαγοράρη, Δομές και Μεσότητες στην Τέχνη, Εκδόσεις Παρατηρητής, Θεσσαλονίκη 1996.Ο καλλιτέχνης και ο μαθηματικός, Αmir Aczel , Εκδόσεις Ενάλιος.Donalson, M. (2001). Η Σκέψη των Παιδιών (3η εκδ.) (Α. Καλογιαννίδου και Α.

Αρχοντίδου, μετάφραση). Αθήνα: Gutenberg. (Πρωτότυπη έκδοση, 1978).Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an Educational Task. Dordrecht: Reidel.Goldenberg, P. (1999). Principles, Art, and Craft in curriculum design: the case of

connected geometry. International Journal of Computers for Mathematical learning, 4, 191-224.

Heath, L, T. (1981). A History of Greek Mathematics. New York: Dover.Papert, S. (1991). Νοητικές Θύελες (Γ. Παπαμιχαήλ και Γ. Κωτσάνης, μετάφραση).

Αθήνα: Οδυσσέας. (Πρωτότυπη έκδοση, 1980).Papyros, Larouse, Brittanica. (1981). Εγκυκλοπαίδεια. Αθήνα: Συγγραφέας.Πλάτων. Πολιτεία. Από τον Θησαυρό της Ελληνικής Γλώσσας (T.L.G.). Irvine:

University of California.Senk, S. L. (1989). Van Hiele levels and achievement in writing geometry proofs.

Journal for Research in Mathematics Education, 20(3), 309-321.Usiskin, Z. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry.

(Final report of the Cognitive Development and Achievement in SecondarySchool Geome-try Project). Chicago: University of Chicago, Department ofEducation. (ERIC Document Reproduction Service No. ED 220 288).

Van Hiele, P.M. (1986). Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education. New York: Academic Press.

apapani@math.uoa.gr