ΟΚΤΩ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Ένα σώmicroα βάλλεται από σηmicroείο O του οριζοντίου εδάφους υπό γωνία φ ως προς αυτό microε αρχική ταχύτητα microέτρου v0 i) Mε βάση το θεώρηmicroα ώθησης-ορmicroής να υπολογίσετε τον ολικό χρό νο κίνησης του σώmicroατος ii) Nα βρείτε την ακτίνα καmicroπυλότητας της παραβολικής τροχιάς που διαγράφει το σώmicroα στο ανώτερο σηmicroείο αυτής Δίνεται η επιτάχυνση

g της βαρύτητας η δε ατmicroοσφαιρική τριβή πάνω στο σώmicroα θα θεωρη θεί αmicroελητέα ΛYΣH i) Eάν

P είναι η ορmicroή του σώmicroατος στο σηmicroείο εκτόξευσής του O και

P

η ορmicroή του στο σηmicroείο Γ όπου συναντά το οριζόντιο έδαφος τότε σύmicroφω να microε το θεώρηmicroα ώθησης-ορmicroής για το σώmicroα και για τον χρόνο κίνησής του tολ

από το O στο Γ θα έχουmicroε

P =

P $amp +

w

P + (-

P $amp ) = w t (1)

όπου

w το βάρος του σώmicroατος το οποίο είναι σταθερό σrsquo όλη την διάρκεια της

κίνησής του από O σε Γ ο δε φορέας του είναι κατακόρυφος και η φορά του προς τα κάτω Όmicroως τα διανύσmicroατα

P

και -

P έχουν το ίδιο microέτρο αφού οι

Σχήmicroα 1 ταχύτητες του σώmicroατος στα σηmicroεία O και Γ έχουν το ίδιο microέτρο (θεώρηmicroα διατή ρησης της microηχανικής ενέργειας) οπότε το παραλληλόγραmicromicroο των διανυσmicroάτων

P

και -

P θα είναι ρόmicroβος (σχ 1) Όmicroως οι διαγώνιοι του ρόmicroβου τέmicroνονται

κάθετα και επί πλέον διχοτοmicroούνται οπότε από το σκιασmicroένο ορθογώνιο τρίγω νο θα έχουmicroε wtολ2 = Pτελσυνθ

wtολ2 = mv0συν(π2 - φ)

gtολ = 2v0ηmicroφ΄

tολ = 2v0ηmicroφ΄g (2) ΄Omicroως η γωνία φ΄ είναι ίση microε τη γωνία φ διότι κατά την κίνηση του σώmicroατος η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητάς του microένει σταθερή και ίση microε την οριζόν τια αρχική του ταχύτητα

v

0x οπότε η σχέση (2) γράφεται

tολ = 2v0ηmicroφg (3) ii) Στο ανώτατο σηmicroείο A της παραβολικής τροχιάς του σώmicroατος η ταχύτητά του

v

A είναι οριζόντια και ίση microε

v

0x το δε βάρος του

w στην θέση αυτή είναι

κάθετο στην ταχύτητά του δηλαδή αποτελεί κεντροmicroόλο δύναmicroη για το σώmicroα οπότε θα ισχύει

mg = mvA

2RA

RA = vA2g = v0x

2g (4) όπου RA η ακτίνα καmicroπυλότητας της τροχιάς στο σηmicroείο A ΄Omicroως ισχύει η σχέ ση v0χ=v0 συνφ οπότε η (4) γράφεται

RA = v0

2

2$ g

PM fysikos

Mικρό σφαιρίδιο microάζας m προσκρούει κατακόρυ φα πάνω στην λεία κεκλιmicroένη επιφάνεια microιας σφήνας microάζας M η οποία ηρεmicroεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Η κρούση είναι ελαστι κή και η γωνία κλίσεως της κεκλιmicroένης επιφάνειας της σφήνας ως προς τον ορίζοντα είναι φ=π6 i) Nα δείξετε ότι η γωνία θ υπό την οποία αναπηδά το σφαιρίδιο σε σχέση microε την οριζόντια διεύθυνση ικανοποιεί την σχέση

=2M - m

2 3M

ii) Να δείξετε ότι το ύψος Hmax στο οποίο αναπηδά το σφαιρίδιο σε σχέση microε το σηmicroείο πρόσκρουσής του δίνεται από την σχέση

Hmax

= H0

2M - m

4M + m

$

amp

2

όπου Η0 η αρχική απόσταση του σφαιριδίου από το σηmicroείο πρόσκρου σής του O χρόνος της κρούσεως θα θεωρηθεί πολύ microικρός

ΛYΣH Έστω

v

0 η κατακόρυφη ταχύτητα πρόσπτωσης του σφαιριδίου πάνω

στην κεκλιmicroένη έδρα της σφήνας και

v η ταχύτητα ανάκλασης του σφαιριδίου

Στο πολύ microικρό χρονικό διάστηmicroα Δt της κρούσεως του σφαιριδίου (Δtrarr0) η microοναδική δύναmicroη που ενεργεί πάνω σrsquo αυτό κατά την διεύθυνση (π) της κεκλι

Σχήmicroα 2 microένης έδρας της σφήνας είναι η αντίστοιχη συνιστώσα του βάρους του σφαιρι δίου οπότε εφαρmicroόζοντας για το σφαιρίδιο κατά τον χρόνο Δt το θεώρηmicroα ώθησης-ορmicroής και κατά την διεύθυνση (π) παίρνουmicroε

mv= mv + mgmicro$t

v($ +) = v0ampmicro$ + gampmicro$t (1) όπου

v η συνιστώσα της

v κατά την διευθύνση (π) και

v

η αντίστοιχη συνι

στώσα της

v

0 Όmicroως Δtrarr0 και φ=π6 όποτε η σχέση (1) γράφεται

v($ +) amp v02

v v02$( +amp) (2) Eξάλλου το σύστηmicroα σφαιρίδιο-σφήνα δεν δέχεται στην διάρκεια του χρόνου Δt οριζόντιες εξωτερικές δυνάmicroεις δηλαδή είναι microηχανικά microονωmicroένο κατά την ορι ζόντια διεύθυνση οπότε σύmicroφωνα microε την αρχή διατήρησης της ορmicroής θα έχου microε την σχέση

0 + 0 = -MV + mvx

MV = mv$

(2)

MV = mv0$ 2( +$)

V = mv0$ 2M( +$) (3) όπου

V η ταχύτητα της σφήνας αmicroέσως microετά την κρούση του σφαιριδίου πάνω σrsquo αυτή Όmicroως η κρούση είναι ελαστική οπότε για το σύστηmicroα σφαιρίδιο-σφήνα ισχύει η διατήρηση της κινητικής ενέργειας δηλαδή ισχύει

mv0

2

2+ 0 =

mv2

2+

MV2

2

mv0

2= mv

2+ MV

2 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) (3) και (4) παίρνουmicroε την σχέση

mv0

2=

mv0

2

42($ +)

+Mm

2v0

22

4M22

($ +)

42($ +) = 1+

m2

M

4($ - ampmicro$ampmicro)2 = 1+m2

M

43

2$ -

micro$2

amp

(

)

+

2

= 1+m2$

M

32$ + micro

2$ - 2 3micro$$ = 1+

m2$

M

22$ - 2 3micro$$ =

m2$

M

2$ - 2 3micro$ =m$

M

2 - 2 3 =m

M

2 -m

M= 2 3

=2M - m

2 3M

(5)

ii) Amicroέσως microετά την κρούση το σφαιρίδιο εκτελεί microεσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης πλάγια βολή microε αρχική ταχύτητα

v η δε microεγιστη κατακόρυφη microετατό

πισή του Ηmax σε σχέση microε την θέση κρούσης του δίνεται από την σχέση

Hmax =v2micro

2

2g

(2)

Hmax =v0

2

2g

micro2

4$2(amp +)

Hmax =v0

2

2g

micro2

1+ m$2 M

amp

(

)

+

Hmax

=H

02

1$amp2 + m M

Hmax

=H

02

1+ 2 + m M (6)

διότι ισχύει Η0=v0

22g και συν2θ =1(1+εφ2θ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) και (5) παίρνουmicroε

Hmax =H0(2M - m)2 12M2

1+ (2M - m)2 12M2 + m M

Hmax =H0(2M - m)

2

12M2+ (2M - m)

2+12mM

Hmax =H0(2M - m)

2

16M2+ m

2+ 8mM

Hmax =H0(2M - m)

2

(4M + m)2

= H0

2M - m

4M + m

$

amp

2

PM fysikos

Τρία microικρά σφαιρίδια της ίδιας microάζας είναι αρθρωmicroένα στις άκρες δύο συνεχόmicroεων ράβδων ΑΒ και ΒΓ αmicroελητέας microάζας όπως φαίνεται στο σχήmicroα (3) το δε σύστηmicroα ισορροπεί εκτός πεδίου βαρύτητας Στο σφαιρίδιο Γ ασκείται ώθηση βραχείας διάρκει ας που αν ήταν ελεύθερο θα αποκτούσε ταχύτητα

v

0 της οποίας ο φο

ρέας έχει την ίδια κατεύθυνση microε το διάνυσmicroα

AB Να βρεθεί η αρχι κή ταχύτητα που αποκτά το σφαιρίδιο Α Να λάβετε υπ΄ όψη ότι οι κρουστικές δυνάmicroεις που ασκούν οι αρθρώσεις στα σφαιρίδια διευθύ νονται κατα microήκος των αντίστοιχων ράβδων ΛΥΣΗ Κατά τον πολύ microικρό χρόνο Δt (Δtrarr0) που ενεργεί επί του σφαιριδίου

Γ η ώθηση

=m

v

0 το σφαιρίδιο Β δέχεται τις κρουστικές δυνάmicroεις

F

1

F

2 που

οφείλονται στην επαφή του microε τις ράβδους ΒΑ και ΒΓ αντιστοίχως διευθύ νονται δε κατά microήκος των ράβδων αυτών (σχήmicroα 3) Στον ίδιο χρόνο επί των

Σχήmicroα 3

σφαιριδίων Α και Γ εmicroφανίζονται οι κρουστικές δυνάmicroεις

- F

1 και

- F

2 από τις

ράβδους ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως οι οποίες είναι αντίθετες των

F

1

F

2 διότι οι

ράβδοι έχουν αmicroελητέα microάζα Υπό την επίδραση της δύναmicroης

- F

1 το σφαιρίδιο

Α θα αποκτήσει στο τέλος του xρόνου Δt ταχύτητα

v

A και σύmicroφωνα microε το θεώ

ρηmicroα ώθησης-ορmicroής για το σφαιρίδιο αυτό θα ισχύει η σχέση

F1t = mv

A (1)

όπου m η κοινή microάζα των τριών σφαιριδίων Όmicroως αν

v

1

v

2 είναι οι προβολές

της ταχύτητας που αποκτά το σφαιρίδιο Β πάνω στις διευθύνσεις των ράβδων ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως τότε η σταθερότητα του microήκους της ΑΒ microας επιτρέπει να γράψουmicroε την σχέση

vA= v

2-v

1= v

2$ - v

1

vA = v2($ 4) - v1 = v2 2 2 - v1 οπότε η (1) γράφεται

F1t = m(v2 2 2 - v1) (2) Εξάλλου εφαρmicroόζοντας για το σφαιρίδιο Γ κατά την διεύθυνση της ράβδου ΒΓ και για τον χρόνο Δt το θεώρηmicroα ώθησης-ορmicroής παίρνουmicroε την σχέση

-F2t = mv

$ - F2ampt = mv

F2t = $(amp 4) - mv

F2t = mv

02 2 - mv

(3)

όπου

v

είναι η συνιστώσα της ταχύτητας του σφαιριδίου Γ κατά την διεύθυν

ση της ράβδου ΒΓ και

η αντίστοιχη συνιστώσα της ώθησης

=m

v

0 Επειδή

κατά τον χρόνο Δt το microήκος της ράβδου ΒΓ δεν microεταβάλλεται microπορούmicroε να γράψουmicroε την σχέση

v = v2- v

1= v

2- v

1$

v= v2 - v1$( 4) = v2 - v1 2 2

οπότε η (3) παίρνει την microορφή

F2t = mv0 2 2 - m(v2 - v1 2 2) (4) Ακόmicroη εφαρmicroόζοντας για το σφαιρίδιο Β το θεώρηmicroα ώθησης-ορmicroής κατά τις διευθύνσεις των ράβδων ΑΒ και ΑΓ παίρνουmicroε τις σχέσεις

F2t - F

1t = mv

2- mv

1

F2t - F

1t = mv

2- mv

1

$

F2$t - F

1t = mv

2$ - mv

1

F2t - F

1$ t = mv

2- mv

1$

amp

(

F2( 2 2)t - F1t = mv2( 2 2) - mv1

F2t - F1( 2 2)t = mv2 - mv1( 2 2)

$

$

(5)

Oι σχέσεις (5) λόγω των (2) και (4) γράφονται

[mv0 2 2 - m(v2-v1 2 2)]( 2 2)-m(v2 2 2-v1)=mv2 2 2-mv1

mv0 2 2- m(v2-v1 2 2-m(v2 2 2-v1)( 2 2)=mv2- mv1 2 2

$

v02 - v

22 + 3v

12 = v

22 2 - v

1

v0

2 - 3v22 + v

12 = v

2- v

12 2

$

v0

= 3v2

2 - 5v1

v0

2= 5v2- 3v

12

$

(6)

Oι σχέσεις (6) αποτελούν ένα πρωτοβάθmicroιο σύστηmicroα δύο εξισώσεων microε αγνώστους τα v1 v2 του οποίου η λύση είναι

v1

= v07

v2

= 2 2v07

(7)

Το microέτρο της ταχύτητας

v

A είναι

vA = v2 -v1 = v2$ - v1 = v2( 4) - v1 = v2 2 2 - v1

(7)

vA=

2 2

7

2

2v

0-v

0

7=

v0

7

PM fysikos

Τρεις όmicroοιες ράβδοι microάζας m και microήκους L η κάθε microια ενώνονται στις άκρες τους ώστε να αποτελούν τις πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ Το σύστηmicroα των ράβδων τοποθετείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγmicroή ενεργεί στην κορύφη Α οριζόντια δύναmicroη βραχείας διάρκειας της οποίας ο φορέας είναι παράλλληλος προς την πλευρά ΒΓ i) Eάν

v

A

v

B

v είναι η ταχύτητες των σηmicroείων Α Β Γ αντιστοίχως

microετά την δράση της δύναmicroης να δείξετε την σχέση

v

A+ v

B+ v

= m

όπου

είναι η ώθηση της δύναmicroης που ενεργεί στην κορυφή Α

ii) Nα βρεθεί η ενέργεια που πρόσφέρθηκε στο σύστηmicroα microέσω του έργου της δύναmicroης που δέχθηκε ΛΥΣΗ i) Eφαρmicroόζοντας για το κέντρο microάζας C του συστήmicroατος των τριών ράβδων το θεώρηmicroα ώθησης-ορmicroής κατά τον χρόνο Δt (Δtrarr0) που ενεργεί στην

κορυφή Α η δύναmicroη

F παίρνουmicroε την σχέση

= 3m

v

C

v

C= 3m (1)

όπου

v

C η ταχύτητα του κέντρου microάζας του συστήmicroατος Όmicroως η δύναmicroη

F

παρουσιάζει ροπή περί το κέντρο microάζας C υπό την επίδραση της οποίας το σύ στηmicroα αποκτά περιστροφική κίνηση περί κατακόρυφο άξονα που διέχεται από το C και σύmicroφωνα microε το θεώρηmicroα ώθησης-στροφορmicroής θα ισχύει

F(AC)t z

0= IC

0

(AC) z

0= IC

0

0 = (AC)

z

0IC (2)

Σχήmicroα 4 όπου

0 η γωνακή ταχύτητα του συστήmicroατος ΙC η ροπή αδράνειάς του ως προς

τον άξονα περιστροφής και

z

0

το microοναδιαίο κατακόρυφο διάνυσmicroα του οποίου

η φορά θεωρείται συmicroβατικά προς τα κάτω Είναι προφανές ότι αφού πάψει να ενεργεί η δύναmicroη

F το σύστηmicroα των τριών ράβδων θα εκτελεί επίπεδη κίνηση

πάνω στο οριζόντιο επίπεδο η οποία θεωρελιται ως επαλληλία microιας ευθύγραmicro microης microεταφορικής κίνησης microε σταθερή ταχύτητα

v

C και microιας στροφικής κίνησης

microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

0 Κατα την εξέλιξη της κίνησης αυτής οι

ταχύτητες των σηmicroείων Α Β Γ θα ικανοποιούν τις σχέσεις

v A =

v C + (

0 CA)

v B =

v C + (

0 CB)

v =

v C + (

0 C)

$

amp

amp

(3)

Προσθέτοντας τις σχέσεις (3) κατα microέλη παίρνουmicroε

v A +

v B +

v

= 3 v C + (

0 CA) + (

0 CB) + (

0 C)

v A +

v B +

v

= 3 v C + [

0 (CA) + CB) + C)] (4)

Όmicroως τα διανύσmicroατα

CA

CB

C έχουν το ίδιο microέτρο και ανα δύο οι φορείς τους σχηmicroατίζουν γωνία 2π3 microε αποτέλεσmicroα το άθροισmicroά τους να είναι microηδενι κό οπότε η σχέση (4) γράφεται

v

A+ v

B+ v

= 3 v

C

(1)

v

A+ v

B+ v

= m

ii) Η ενέργεια W που προσφέρεται στο σύστηmicroα στην διάρκεια του χρόνου Δt microέσω του έργου της

F είναι ίση microε την αντίστοιχη κινητική ενέργεια που

αποκτά δηλαδή ισχύει

W =1

23mv

C

2=

1

2IC

0

2

(1)(2)

W =1

23m

3m

$

amp

2

+1

2IC

(AC)

IC

$

amp

2

W =1

2

2

3m+

1

2

2(AC)

2

IC

=2

2

1

3m+

(AC)2

IC

$

amp

(5)

Όmicroως για την απόσταση ΑC ισχύει η σχέση

(AC) =2

3(AM) =

2

3

L 3

2=

L 3

3 (6)

Eξάλλου αν ΙC

είναι η ροπή αδράνειας κάθε ράβδου ώς προς τον άξονα περιστ ροφής του συστήmicroατος θα έχουmicroε

IC = 3IC = 3[IM + m(CM)2] = 3[mL212 + m(AM)2 9]

IC = mL24 + m(AM)2 3 = mL24 + mL2 4 = mL22 (7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) (6) και (7) παίρνουmicroε

W =2

2

1

3m+

L23

mL22

$

amp

=2

2m

PM fysikos

Ένα υλικό σηmicroείο microάζας m κινείται στο επίπεδο Οxy διαγράφοντας τροχιά της οποίας οι παραmicroετρικές εξισώσεις microε παράmicroετρο τον χρόνο t έχουν την microορφή

x = R(1+$t)

y = Rmicro$t

amp (

όπου R ω θετικές και σταθερές ποσότητες i) Να εκφράσετε την στροφορmicroή

L του υλικού σηmicroείου περί το Ο κα θώς και την αντίστοιχη ρόπη

της συνισταmicroένης δύναmicroης που δέχε

ται ii) Να επαληθεύσετε ότι ο ρυθmicroός microεταβολής

d L dt της στροφορmicroής

είναι ίσος microε την ροπή

ΛΥΣΗ i) Οι παραmicroετρικές εξισώσεις της τροχιάς του υλικού σηmicroείου εγγυών ται ότι το διάνυσmicroα θέσεώς του microεταβάλλεται microε τον χρόνο t σύmicroφωνα microε την σχέση

r = x

i + y

j = R(1+$t)

i + Rmicro$t

j (1)

όπου

i

j τα microοναδιαία διανύσmicroατα των αξόνων Οx Oy αντιστοίχως Εξάλλου η αντίστοιχη ταχύτητα

v του υλικού σηmicroείου υπολογίζεται microέσω της σχέσεως

v =

d r

dt

(1)

v =

d

dt[R(1+$t)

i + Rmicro$t

j ]

v = -Rmicrot

i + R$t

j (2) Η στροφορmicroή του υλικού σηmicroείου περι το Ο δίνεται από την σχέση

L = m(

r v ) = m

i j k

x y 0

vx vy 0

= m(xvy - yvx) k (3)

όπου

k το microοναδιαίο διάνυσmicroα του κάθετου στο επίπεδο Οxy άξονα Οz Συνδυ άζοντας τις σχέσεις (1) (2) και (3) παίρνουmicroε την σχέση

L = m[(R(1+$t)(R$$t) - Rmicro$t(-R$micro$t)]

k

L = mR2($t +$

2t + micro

2t)

k = mR2($t +1)

k (4) Η συνισταmicroένη δύναmicroη

F που εξασφαλίζει την κίνηση του υλικού σηmicroείου συmicroφωνα microε τον δεύτερο νόmicroο του Νεύτωνα προκύπτει από την σχέση

F = md

2 r

dt2

= md v

dt

(2)

F = md

dt(-Rmicrot

i + R$t

j )

F = -mR($t

i +microt

j ) = -mR2($t

i + microt

j ) (5) Η ροπή

της δύναmicroης

F περί το σηmicroείο Ο είναι

= (

r F ) =

i j k

x y 0

Fx Fy 0

= (xFy - yFx) k

(1)(5)

= [R(1+$t)(-mR

2ampmicrot) - Rampmicrot(-mR

2$t)]

k

= mR

2

2(-microt)-microt$ampt+microt$ampt)]

k =- (mR2

2microt)

k (6) ii) Ο ρύθmicroός microεταβολής της στροφορmicroής

L του υλικού σηmicroείου θα προκύψει microε παραγώγιση της σχέσεως (4) ως προς τον χρόνο t οπότε θα έχουmicroε

d

L

dt= mR

2

d

dt(1+$t)

k = -(mR2

2microt)

k

(6)

d L dt =

PM fysikos

Ένας σφαιρικός πλανήτης έχει microάζα M και ακτίνα R Nα δείξετε ότι η ενέργεια που χρειάζεται για την αποσύνδεση της ύλης του δηλαδή για την microεταφορά αυτής στο άπειρο δίνεται από την σχέση

E = 3GM25R

όπου G η παγκόσmicroια σταθερά της βαρύτητας ΛYΣH H αποσύνδεση του σφαιρικού πλανήτη microπορεί να γίνει microε microεταφορά στοιχειωδών σφαιρικών δακτυλίων από την επιφάνεια του πλανήτη προς το άπειρο Θεωρούmicroε λοιπόν ένα σφαιρικό δακτύλιο ακτίνας r και απειροστού πά χους dr καί υποθέτουmicroε ότι ένα στοιχείο αυτού microάζας dm microεταφέρεται από την επιφάνεια του στο άπειρο Tο έργο της βαρυτικής έλξης που δέχεται το στοι χείο αυτό από τον υπόλοιπο πλανήτη είναι

dW = dm(Vr -V) = - GM(r)dmr

dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)

Σχήmicroα 5 όπου ρ η πυκνότητα του πλανήτη Kατά την microεταφορά όλης της microάζας του δακ τυλίου στο άπειρο το έργο της βαρυτικής έλξης είναι σύmicroφωνα microε την προη γούmicroενη σχέση

dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)

όπου dmδ η microάζα του δακτυλίου η οποία αποτελεί και την ελάττωση της microάζας του πλανήτη όταν ο δακτύλιος microεταφέρεται στο άπειρο Oλοκληρώνοντας την σχέση (2) microε όρια ολοκλήρωσης r=R και r=0 βρίσκουmicroε το ολικό έργο Wολ της βαρυτικής έλξης κατά την αποσύνδεση του πλανήτη οπότε θα έχουmicroε

W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)

H ελάχιστη λοιπόν ενέργεια Emin που απαιτείται για την microεταφορά της microάζας του πλανήτη στο άπειρο είναι ίση microε -Wολ δηλαδή ισχύει

Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos

Ένας πύραυλος κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω στο βαρυτικό πεδίο της Γης που το θεωρούmicroε οmicroογενές Την χρονική στιγmicroή t=0 ο πύραυλος βρίσκεται στην επιφάνεια της Γης έχει microηδενική ταχύτητα και microάζα m0 Εάν τα καυσαέρια του πυραύ λου εκτοξεύονται microε σταθερό ρυθmicroό dmdt=micro και microε σταθερή σχετική ταχύτητα

v ως προς τον πύραυλο να εκφράσετε την ταχύτητα του

πυραύλου σε συνάρτηση microε τον χρόνο Εάν η microάζα του καυσίmicroου του πυραύλου είναι m02 να βρείτε την ταχύτητά του την στιγmicroή που εξαντλούνται τα καύσιmicroά του Δίνεται η επιτάχυνση

g της βαρύτη

τας ΛYΣH Eπειδή ο πύραύλος αποτελεί σώmicroα που εκτοξεύει microάζα η κίνησή του περιγράφεται microε την σχέση

md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)

όπου m η microάζα του πυραύλου και

v η ταχύτητά του ως προς το ακίνητο

έδαφος την χρονική στιγmicroή t που τον εξετάζουmicroε Η διανυσmicroατική σχέση (1) microετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιmicroών η οποία microε θετική φορά την κατεύ θυνση κίνησης του πυραύλου έχει την microορφή

dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt

dv = -gdt -vd(m0 - microt)

m0 - microt (2)

Ολοκληρώνοντας την σχέση (2) παίρνουmicroε

v = -gt - v ln(m0 - microt) + C (3)

Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι v=0 οπότε η (3) δίνει

0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουmicroε

v = -gt - v ln(m0 - microt) + v lnm0

v = -gt - v lnm0 - ln(m0 - microt)[ ]

v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)

Τα καύσιmicroα του πυραύλου εξαντλούνται την χρονική στιγmicroή t για την οποία ισχύει

m02 = m

0- microt

t = m02micro

οπότε την στιγmicroή αυτή η ταχύτητα του πυραύλου είναι

v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)

Όmicroως απαραίτητη προυπόθεση για την εκκίνηση του πυραύλου είναι η σχέση m0gltmicrovσχ από την οποία προκύπτει

gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2

Επειδή ln2gt12 από την παραπάνω σχέση προκύπτει

gm0 2micro lt v ln 2

(6)

vgt 0

PM fysikos

Ένα σώmicroα εκτοξεύεται σrsquo ένα σηmicroείο O που απέ χει από το κέντρο της Γης απόσταση r0 microε ταχύτητα που είναι ικανή να το θέσει σε κυκλική τροχιά γύρω από την Γη ακτίνας r0 Λόγω κά ποιου σφάλmicroατος κατά την εκτόξευση του σώmicroατος η ταχύτητά του δεν ήταν οριζόντια microε αποτέλεσmicroα η τροχιά του να είναι ελλειπτική microε microια της εστία να συmicroπίπτει microε το κέντρο της Γης Eάν η γωνία βο λής ως προς την οριζόντια διεύθυνση είναι φ να βρεθεί η microέγιστη απόσταση του σώmicroατος από το κέντρο της Γης ΛYΣH Eάν v0 είναι το microέτρο της ταχύτητας εκτόξευσης του σώmicroατος στο ση microείο O και φ η γωνία βολής του σε σχέση microε την οριζόντια διεύθυνση Ox τότε

σύmicroφωνα microε την αρχή διατήρησης της στροφορmicroής για τα σηmicroεία O και A της ελλειπτικής τροχιάς που ακολουθεί το σώmicroα θα έχουmicroε mr0v0συνφ = mRmaxv2

r0v0συνφ = Rmaxv2 (1)


v

2 η ταχύτητα του σώmicroατος στο απόγειο A m η microάζα του και Rmax η απόσ

ταση του A από το κέντρο K της Γης Eξάλλου εφαρmicroόζοντας για το σώmicroα το θεώρηmicroα διατήρησης της microηχανικής ενέργειας για τα σηmicroεία O και A της ελλειπτικής τροχιάς του έχουmicroε

mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)

H (2) αποτελεί εξίσωση 2ου βαθmicroού ως προς Rmax και έχει ρίζες

Rmax

(1)= r0 + r0micro = r0(1+ micro)

---------------------------- H oριζόντια διεύθυνση του σηmicroείου O είναι κάθετη στην κατακόρυφη διεύθυνσή του OK όπου K το κέντρο της Γης

Rmax

(2)= r0 - r0micro = r0(1- micro)

όπου MΓ η microάζα της Γης και G η παγκόσmicroια σταθερά της βαρύτητας Aπό τις

δύο τιmicroές της Rmax δεκτή είναι η

Rmax

(1) διότι υπερβαίνει την r0 PM fysikos

κάθετα και επί πλέον διχοτοmicroούνται οπότε από το σκιασmicroένο ορθογώνιο τρίγω νο θα έχουmicroε wtολ2 = Pτελσυνθ

wtολ2 = mv0συν(π2 - φ)

gtολ = 2v0ηmicroφ΄

tολ = 2v0ηmicroφ΄g (2) ΄Omicroως η γωνία φ΄ είναι ίση microε τη γωνία φ διότι κατά την κίνηση του σώmicroατος η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητάς του microένει σταθερή και ίση microε την οριζόν τια αρχική του ταχύτητα

v

0x οπότε η σχέση (2) γράφεται

tολ = 2v0ηmicroφg (3) ii) Στο ανώτατο σηmicroείο A της παραβολικής τροχιάς του σώmicroατος η ταχύτητά του

v

A είναι οριζόντια και ίση microε

v

0x το δε βάρος του

w στην θέση αυτή είναι

κάθετο στην ταχύτητά του δηλαδή αποτελεί κεντροmicroόλο δύναmicroη για το σώmicroα οπότε θα ισχύει

mg = mvA

2RA

RA = vA2g = v0x

2g (4) όπου RA η ακτίνα καmicroπυλότητας της τροχιάς στο σηmicroείο A ΄Omicroως ισχύει η σχέ ση v0χ=v0 συνφ οπότε η (4) γράφεται

RA = v0

2

2$ g

PM fysikos

Mικρό σφαιρίδιο microάζας m προσκρούει κατακόρυ φα πάνω στην λεία κεκλιmicroένη επιφάνεια microιας σφήνας microάζας M η οποία ηρεmicroεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Η κρούση είναι ελαστι κή και η γωνία κλίσεως της κεκλιmicroένης επιφάνειας της σφήνας ως προς τον ορίζοντα είναι φ=π6 i) Nα δείξετε ότι η γωνία θ υπό την οποία αναπηδά το σφαιρίδιο σε σχέση microε την οριζόντια διεύθυνση ικανοποιεί την σχέση

=2M - m

2 3M

ii) Να δείξετε ότι το ύψος Hmax στο οποίο αναπηδά το σφαιρίδιο σε σχέση microε το σηmicroείο πρόσκρουσής του δίνεται από την σχέση

Hmax

= H0

2M - m

4M + m

$

amp

2

όπου Η0 η αρχική απόσταση του σφαιριδίου από το σηmicroείο πρόσκρου σής του O χρόνος της κρούσεως θα θεωρηθεί πολύ microικρός

ΛYΣH Έστω

v






mv= mv + mgmicro$t




v


στώσα της

v


v($ +) amp v02


0 + 0 = -MV + mvx

MV = mv$

(2)

MV = mv0$ 2( +$)

V = mv0$ 2M( +$) (3) όπου


mv0

2

2+ 0 =

mv2

2+

MV2

2

mv0

2= mv

2+ MV

2 (4)


mv0

2=

mv0

2

42($ +)

+Mm

2v0

22

4M22

($ +)

42($ +) = 1+

m2

M


M

43

2$ -

micro$2

amp

(

)

+

2

= 1+m2$

M

32$ + micro

2$ - 2 3micro$$ = 1+

m2$

M

22$ - 2 3micro$$ =

m2$

M

2$ - 2 3micro$ =m$

M

2 - 2 3 =m

M

2 -m

M= 2 3

=2M - m

2 3M

(5)




Hmax =v2micro

2

2g

(2)

Hmax =v0

2

2g

micro2

4$2(amp +)

Hmax =v0

2

2g

micro2

1+ m$2 M

amp

(

)

+

Hmax

=H

02

1$amp2 + m M

Hmax

=H

02

1+ 2 + m M (6)



Hmax =H0(2M - m)2 12M2

1+ (2M - m)2 12M2 + m M

Hmax =H0(2M - m)

2

12M2+ (2M - m)

2+12mM

Hmax =H0(2M - m)

2

16M2+ m

2+ 8mM

Hmax =H0(2M - m)

2

(4M + m)2

= H0

2M - m

4M + m

$

amp

2

PM fysikos


v




Γ η ώθηση

=m

v


F

1

F

2 που


Σχήmicroα 3


- F

1 και

- F

2 από τις


F

1

F

2 διότι οι


- F



v



F1t = mv

A (1)


v

1

v



vA= v

2-v

1= v

2$ - v

1



-F2t = mv

$ - F2ampt = mv

F2t = $(amp 4) - mv

F2t = mv

02 2 - mv

(3)

όπου

v




=m

v

0 Επειδή


v = v2- v

1= v

2- v

1$

v= v2 - v1$( 4) = v2 - v1 2 2



F2t - F

1t = mv

2- mv

1

F2t - F

1t = mv

2- mv

1

$

F2$t - F

1t = mv

2$ - mv

1

F2t - F

1$ t = mv

2- mv

1$

amp

(

F2( 2 2)t - F1t = mv2( 2 2) - mv1

F2t - F1( 2 2)t = mv2 - mv1( 2 2)

$

$

(5)


[mv0 2 2 - m(v2-v1 2 2)]( 2 2)-m(v2 2 2-v1)=mv2 2 2-mv1

mv0 2 2- m(v2-v1 2 2-m(v2 2 2-v1)( 2 2)=mv2- mv1 2 2

$

v02 - v

22 + 3v

12 = v

22 2 - v

1

v0

2 - 3v22 + v

12 = v

2- v

12 2

$

v0

= 3v2

2 - 5v1

v0

2= 5v2- 3v

12

$

(6)


v1

= v07

v2

= 2 2v07

(7)


v

A είναι

vA = v2 -v1 = v2$ - v1 = v2( 4) - v1 = v2 2 2 - v1

(7)

vA=

2 2

7

2

2v

0-v

0

7=

v0

7

PM fysikos


v

A

v

B



v

A+ v

B+ v

= m

όπου





= 3m

v

C

v

C= 3m (1)

όπου

v


F


F(AC)t z

0= IC

0

(AC) z

0= IC

0

0 = (AC)

z

0IC (2)




z

0





v





v A =

v C + (

0 CA)

v B =

v C + (

0 CB)

v =

v C + (

0 C)

$

amp

amp

(3)


v A +

v B +

v

= 3 v C + (

0 CA) + (

0 CB) + (

0 C)

v A +

v B +

v

= 3 v C + [

0 (CA) + CB) + C)] (4)


CA

CB


v

A+ v

B+ v

= 3 v

C

(1)

v

A+ v

B+ v

= m




W =1

23mv

C

2=

1

2IC

0

2

(1)(2)

W =1

23m

3m

$

amp

2

+1

2IC

(AC)

IC

$

amp

2

W =1

2

2

3m+

1

2

2(AC)

2

IC

=2

2

1

3m+

(AC)2

IC

$

amp

(5)


(AC) =2

3(AM) =

2

3

L 3

2=

L 3

3 (6)



IC = 3IC = 3[IM + m(CM)2] = 3[mL212 + m(AM)2 9]


W =2

2

1

3m+

L23

mL22

$

amp

=2

2m

PM fysikos


x = R(1+$t)

y = Rmicro$t

amp (








r = x

i + y

j = R(1+$t)

i + Rmicro$t

j (1)

όπου

i



v =

d r

dt

(1)

v =

d

dt[R(1+$t)

i + Rmicro$t

j ]

v = -Rmicrot

i + R$t


L = m(

r v ) = m

i j k

x y 0

vx vy 0


όπου



k

L = mR2($t +$

2t + micro

2t)

k = mR2($t +1)



F = md

2 r

dt2

= md v

dt

(2)

F = md

dt(-Rmicrot

i + R$t

j )

F = -mR($t

i +microt

j ) = -mR2($t

i + microt

j ) (5) Η ροπή



= (

r F ) =

i j k

x y 0

Fx Fy 0

= (xFy - yFx) k

(1)(5)

= [R(1+$t)(-mR


2$t)]

k

= mR

2


k =- (mR2

2microt)



d

L

dt= mR

2

d

dt(1+$t)

k = -(mR2

2microt)

k

(6)

d L dt =

PM fysikos


E = 3GM25R



dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)


dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)


W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax


ΛYΣH Έστω

v






mv= mv + mgmicro$t




v


στώσα της

v


v($ +) amp v02


0 + 0 = -MV + mvx

MV = mv$

(2)

MV = mv0$ 2( +$)

V = mv0$ 2M( +$) (3) όπου


mv0

2

2+ 0 =

mv2

2+

MV2

2

mv0

2= mv

2+ MV

2 (4)


mv0

2=

mv0

2

42($ +)

+Mm

2v0

22

4M22

($ +)

42($ +) = 1+

m2

M


M

43

2$ -

micro$2

amp

(

)

+

2

= 1+m2$

M

32$ + micro

2$ - 2 3micro$$ = 1+

m2$

M

22$ - 2 3micro$$ =

m2$

M

2$ - 2 3micro$ =m$

M

2 - 2 3 =m

M

2 -m

M= 2 3

=2M - m

2 3M

(5)




Hmax =v2micro

2

2g

(2)

Hmax =v0

2

2g

micro2

4$2(amp +)

Hmax =v0

2

2g

micro2

1+ m$2 M

amp

(

)

+

Hmax

=H

02

1$amp2 + m M

Hmax

=H

02

1+ 2 + m M (6)



Hmax =H0(2M - m)2 12M2

1+ (2M - m)2 12M2 + m M

Hmax =H0(2M - m)

2

12M2+ (2M - m)

2+12mM

Hmax =H0(2M - m)

2

16M2+ m

2+ 8mM

Hmax =H0(2M - m)

2

(4M + m)2

= H0

2M - m

4M + m

$

amp

2

PM fysikos


v




Γ η ώθηση

=m

v


F

1

F

2 που


Σχήmicroα 3


- F

1 και

- F

2 από τις


F

1

F

2 διότι οι


- F



v



F1t = mv

A (1)


v

1

v



vA= v

2-v

1= v

2$ - v

1



-F2t = mv

$ - F2ampt = mv

F2t = $(amp 4) - mv

F2t = mv

02 2 - mv

(3)

όπου

v




=m

v

0 Επειδή


v = v2- v

1= v

2- v

1$

v= v2 - v1$( 4) = v2 - v1 2 2



F2t - F

1t = mv

2- mv

1

F2t - F

1t = mv

2- mv

1

$

F2$t - F

1t = mv

2$ - mv

1

F2t - F

1$ t = mv

2- mv

1$

amp

(

F2( 2 2)t - F1t = mv2( 2 2) - mv1

F2t - F1( 2 2)t = mv2 - mv1( 2 2)

$

$

(5)


[mv0 2 2 - m(v2-v1 2 2)]( 2 2)-m(v2 2 2-v1)=mv2 2 2-mv1

mv0 2 2- m(v2-v1 2 2-m(v2 2 2-v1)( 2 2)=mv2- mv1 2 2

$

v02 - v

22 + 3v

12 = v

22 2 - v

1

v0

2 - 3v22 + v

12 = v

2- v

12 2

$

v0

= 3v2

2 - 5v1

v0

2= 5v2- 3v

12

$

(6)


v1

= v07

v2

= 2 2v07

(7)


v

A είναι

vA = v2 -v1 = v2$ - v1 = v2( 4) - v1 = v2 2 2 - v1

(7)

vA=

2 2

7

2

2v

0-v

0

7=

v0

7

PM fysikos


v

A

v

B



v

A+ v

B+ v

= m

όπου





= 3m

v

C

v

C= 3m (1)

όπου

v


F


F(AC)t z

0= IC

0

(AC) z

0= IC

0

0 = (AC)

z

0IC (2)




z

0





v





v A =

v C + (

0 CA)

v B =

v C + (

0 CB)

v =

v C + (

0 C)

$

amp

amp

(3)


v A +

v B +

v

= 3 v C + (

0 CA) + (

0 CB) + (

0 C)

v A +

v B +

v

= 3 v C + [

0 (CA) + CB) + C)] (4)


CA

CB


v

A+ v

B+ v

= 3 v

C

(1)

v

A+ v

B+ v

= m




W =1

23mv

C

2=

1

2IC

0

2

(1)(2)

W =1

23m

3m

$

amp

2

+1

2IC

(AC)

IC

$

amp

2

W =1

2

2

3m+

1

2

2(AC)

2

IC

=2

2

1

3m+

(AC)2

IC

$

amp

(5)


(AC) =2

3(AM) =

2

3

L 3

2=

L 3

3 (6)



IC = 3IC = 3[IM + m(CM)2] = 3[mL212 + m(AM)2 9]


W =2

2

1

3m+

L23

mL22

$

amp

=2

2m

PM fysikos


x = R(1+$t)

y = Rmicro$t

amp (








r = x

i + y

j = R(1+$t)

i + Rmicro$t

j (1)

όπου

i



v =

d r

dt

(1)

v =

d

dt[R(1+$t)

i + Rmicro$t

j ]

v = -Rmicrot

i + R$t


L = m(

r v ) = m

i j k

x y 0

vx vy 0


όπου



k

L = mR2($t +$

2t + micro

2t)

k = mR2($t +1)



F = md

2 r

dt2

= md v

dt

(2)

F = md

dt(-Rmicrot

i + R$t

j )

F = -mR($t

i +microt

j ) = -mR2($t

i + microt

j ) (5) Η ροπή



= (

r F ) =

i j k

x y 0

Fx Fy 0

= (xFy - yFx) k

(1)(5)

= [R(1+$t)(-mR


2$t)]

k

= mR

2


k =- (mR2

2microt)



d

L

dt= mR

2

d

dt(1+$t)

k = -(mR2

2microt)

k

(6)

d L dt =

PM fysikos


E = 3GM25R



dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)


dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)


W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax


mv0

2=

mv0

2

42($ +)

+Mm

2v0

22

4M22

($ +)

42($ +) = 1+

m2

M


M

43

2$ -

micro$2

amp

(

)

+

2

= 1+m2$

M

32$ + micro

2$ - 2 3micro$$ = 1+

m2$

M

22$ - 2 3micro$$ =

m2$

M

2$ - 2 3micro$ =m$

M

2 - 2 3 =m

M

2 -m

M= 2 3

=2M - m

2 3M

(5)




Hmax =v2micro

2

2g

(2)

Hmax =v0

2

2g

micro2

4$2(amp +)

Hmax =v0

2

2g

micro2

1+ m$2 M

amp

(

)

+

Hmax

=H

02

1$amp2 + m M

Hmax

=H

02

1+ 2 + m M (6)



Hmax =H0(2M - m)2 12M2

1+ (2M - m)2 12M2 + m M

Hmax =H0(2M - m)

2

12M2+ (2M - m)

2+12mM

Hmax =H0(2M - m)

2

16M2+ m

2+ 8mM

Hmax =H0(2M - m)

2

(4M + m)2

= H0

2M - m

4M + m

$

amp

2

PM fysikos


v




Γ η ώθηση

=m

v


F

1

F

2 που


Σχήmicroα 3


- F

1 και

- F

2 από τις


F

1

F

2 διότι οι


- F



v



F1t = mv

A (1)


v

1

v



vA= v

2-v

1= v

2$ - v

1



-F2t = mv

$ - F2ampt = mv

F2t = $(amp 4) - mv

F2t = mv

02 2 - mv

(3)

όπου

v




=m

v

0 Επειδή


v = v2- v

1= v

2- v

1$

v= v2 - v1$( 4) = v2 - v1 2 2



F2t - F

1t = mv

2- mv

1

F2t - F

1t = mv

2- mv

1

$

F2$t - F

1t = mv

2$ - mv

1

F2t - F

1$ t = mv

2- mv

1$

amp

(

F2( 2 2)t - F1t = mv2( 2 2) - mv1

F2t - F1( 2 2)t = mv2 - mv1( 2 2)

$

$

(5)


[mv0 2 2 - m(v2-v1 2 2)]( 2 2)-m(v2 2 2-v1)=mv2 2 2-mv1

mv0 2 2- m(v2-v1 2 2-m(v2 2 2-v1)( 2 2)=mv2- mv1 2 2

$

v02 - v

22 + 3v

12 = v

22 2 - v

1

v0

2 - 3v22 + v

12 = v

2- v

12 2

$

v0

= 3v2

2 - 5v1

v0

2= 5v2- 3v

12

$

(6)


v1

= v07

v2

= 2 2v07

(7)


v

A είναι

vA = v2 -v1 = v2$ - v1 = v2( 4) - v1 = v2 2 2 - v1

(7)

vA=

2 2

7

2

2v

0-v

0

7=

v0

7

PM fysikos


v

A

v

B



v

A+ v

B+ v

= m

όπου





= 3m

v

C

v

C= 3m (1)

όπου

v


F


F(AC)t z

0= IC

0

(AC) z

0= IC

0

0 = (AC)

z

0IC (2)




z

0





v





v A =

v C + (

0 CA)

v B =

v C + (

0 CB)

v =

v C + (

0 C)

$

amp

amp

(3)


v A +

v B +

v

= 3 v C + (

0 CA) + (

0 CB) + (

0 C)

v A +

v B +

v

= 3 v C + [

0 (CA) + CB) + C)] (4)


CA

CB


v

A+ v

B+ v

= 3 v

C

(1)

v

A+ v

B+ v

= m




W =1

23mv

C

2=

1

2IC

0

2

(1)(2)

W =1

23m

3m

$

amp

2

+1

2IC

(AC)

IC

$

amp

2

W =1

2

2

3m+

1

2

2(AC)

2

IC

=2

2

1

3m+

(AC)2

IC

$

amp

(5)


(AC) =2

3(AM) =

2

3

L 3

2=

L 3

3 (6)



IC = 3IC = 3[IM + m(CM)2] = 3[mL212 + m(AM)2 9]


W =2

2

1

3m+

L23

mL22

$

amp

=2

2m

PM fysikos


x = R(1+$t)

y = Rmicro$t

amp (








r = x

i + y

j = R(1+$t)

i + Rmicro$t

j (1)

όπου

i



v =

d r

dt

(1)

v =

d

dt[R(1+$t)

i + Rmicro$t

j ]

v = -Rmicrot

i + R$t


L = m(

r v ) = m

i j k

x y 0

vx vy 0


όπου



k

L = mR2($t +$

2t + micro

2t)

k = mR2($t +1)



F = md

2 r

dt2

= md v

dt

(2)

F = md

dt(-Rmicrot

i + R$t

j )

F = -mR($t

i +microt

j ) = -mR2($t

i + microt

j ) (5) Η ροπή



= (

r F ) =

i j k

x y 0

Fx Fy 0

= (xFy - yFx) k

(1)(5)

= [R(1+$t)(-mR


2$t)]

k

= mR

2


k =- (mR2

2microt)



d

L

dt= mR

2

d

dt(1+$t)

k = -(mR2

2microt)

k

(6)

d L dt =

PM fysikos


E = 3GM25R



dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)


dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)


W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax


Hmax =H0(2M - m)

2

(4M + m)2

= H0

2M - m

4M + m

$

amp

2

PM fysikos


v




Γ η ώθηση

=m

v


F

1

F

2 που


Σχήmicroα 3


- F

1 και

- F

2 από τις


F

1

F

2 διότι οι


- F



v



F1t = mv

A (1)


v

1

v



vA= v

2-v

1= v

2$ - v

1



-F2t = mv

$ - F2ampt = mv

F2t = $(amp 4) - mv

F2t = mv

02 2 - mv

(3)

όπου

v




=m

v

0 Επειδή


v = v2- v

1= v

2- v

1$

v= v2 - v1$( 4) = v2 - v1 2 2



F2t - F

1t = mv

2- mv

1

F2t - F

1t = mv

2- mv

1

$

F2$t - F

1t = mv

2$ - mv

1

F2t - F

1$ t = mv

2- mv

1$

amp

(

F2( 2 2)t - F1t = mv2( 2 2) - mv1

F2t - F1( 2 2)t = mv2 - mv1( 2 2)

$

$

(5)


[mv0 2 2 - m(v2-v1 2 2)]( 2 2)-m(v2 2 2-v1)=mv2 2 2-mv1

mv0 2 2- m(v2-v1 2 2-m(v2 2 2-v1)( 2 2)=mv2- mv1 2 2

$

v02 - v

22 + 3v

12 = v

22 2 - v

1

v0

2 - 3v22 + v

12 = v

2- v

12 2

$

v0

= 3v2

2 - 5v1

v0

2= 5v2- 3v

12

$

(6)


v1

= v07

v2

= 2 2v07

(7)


v

A είναι

vA = v2 -v1 = v2$ - v1 = v2( 4) - v1 = v2 2 2 - v1

(7)

vA=

2 2

7

2

2v

0-v

0

7=

v0

7

PM fysikos


v

A

v

B



v

A+ v

B+ v

= m

όπου





= 3m

v

C

v

C= 3m (1)

όπου

v


F


F(AC)t z

0= IC

0

(AC) z

0= IC

0

0 = (AC)

z

0IC (2)




z

0





v





v A =

v C + (

0 CA)

v B =

v C + (

0 CB)

v =

v C + (

0 C)

$

amp

amp

(3)


v A +

v B +

v

= 3 v C + (

0 CA) + (

0 CB) + (

0 C)

v A +

v B +

v

= 3 v C + [

0 (CA) + CB) + C)] (4)


CA

CB


v

A+ v

B+ v

= 3 v

C

(1)

v

A+ v

B+ v

= m




W =1

23mv

C

2=

1

2IC

0

2

(1)(2)

W =1

23m

3m

$

amp

2

+1

2IC

(AC)

IC

$

amp

2

W =1

2

2

3m+

1

2

2(AC)

2

IC

=2

2

1

3m+

(AC)2

IC

$

amp

(5)


(AC) =2

3(AM) =

2

3

L 3

2=

L 3

3 (6)



IC = 3IC = 3[IM + m(CM)2] = 3[mL212 + m(AM)2 9]


W =2

2

1

3m+

L23

mL22

$

amp

=2

2m

PM fysikos


x = R(1+$t)

y = Rmicro$t

amp (








r = x

i + y

j = R(1+$t)

i + Rmicro$t

j (1)

όπου

i



v =

d r

dt

(1)

v =

d

dt[R(1+$t)

i + Rmicro$t

j ]

v = -Rmicrot

i + R$t


L = m(

r v ) = m

i j k

x y 0

vx vy 0


όπου



k

L = mR2($t +$

2t + micro

2t)

k = mR2($t +1)



F = md

2 r

dt2

= md v

dt

(2)

F = md

dt(-Rmicrot

i + R$t

j )

F = -mR($t

i +microt

j ) = -mR2($t

i + microt

j ) (5) Η ροπή



= (

r F ) =

i j k

x y 0

Fx Fy 0

= (xFy - yFx) k

(1)(5)

= [R(1+$t)(-mR


2$t)]

k

= mR

2


k =- (mR2

2microt)



d

L

dt= mR

2

d

dt(1+$t)

k = -(mR2

2microt)

k

(6)

d L dt =

PM fysikos


E = 3GM25R



dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)


dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)


W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax



v



F1t = mv

A (1)


v

1

v



vA= v

2-v

1= v

2$ - v

1



-F2t = mv

$ - F2ampt = mv

F2t = $(amp 4) - mv

F2t = mv

02 2 - mv

(3)

όπου

v




=m

v

0 Επειδή


v = v2- v

1= v

2- v

1$

v= v2 - v1$( 4) = v2 - v1 2 2



F2t - F

1t = mv

2- mv

1

F2t - F

1t = mv

2- mv

1

$

F2$t - F

1t = mv

2$ - mv

1

F2t - F

1$ t = mv

2- mv

1$

amp

(

F2( 2 2)t - F1t = mv2( 2 2) - mv1

F2t - F1( 2 2)t = mv2 - mv1( 2 2)

$

$

(5)


[mv0 2 2 - m(v2-v1 2 2)]( 2 2)-m(v2 2 2-v1)=mv2 2 2-mv1

mv0 2 2- m(v2-v1 2 2-m(v2 2 2-v1)( 2 2)=mv2- mv1 2 2

$

v02 - v

22 + 3v

12 = v

22 2 - v

1

v0

2 - 3v22 + v

12 = v

2- v

12 2

$

v0

= 3v2

2 - 5v1

v0

2= 5v2- 3v

12

$

(6)


v1

= v07

v2

= 2 2v07

(7)


v

A είναι

vA = v2 -v1 = v2$ - v1 = v2( 4) - v1 = v2 2 2 - v1

(7)

vA=

2 2

7

2

2v

0-v

0

7=

v0

7

PM fysikos


v

A

v

B



v

A+ v

B+ v

= m

όπου





= 3m

v

C

v

C= 3m (1)

όπου

v


F


F(AC)t z

0= IC

0

(AC) z

0= IC

0

0 = (AC)

z

0IC (2)




z

0





v





v A =

v C + (

0 CA)

v B =

v C + (

0 CB)

v =

v C + (

0 C)

$

amp

amp

(3)


v A +

v B +

v

= 3 v C + (

0 CA) + (

0 CB) + (

0 C)

v A +

v B +

v

= 3 v C + [

0 (CA) + CB) + C)] (4)


CA

CB


v

A+ v

B+ v

= 3 v

C

(1)

v

A+ v

B+ v

= m




W =1

23mv

C

2=

1

2IC

0

2

(1)(2)

W =1

23m

3m

$

amp

2

+1

2IC

(AC)

IC

$

amp

2

W =1

2

2

3m+

1

2

2(AC)

2

IC

=2

2

1

3m+

(AC)2

IC

$

amp

(5)


(AC) =2

3(AM) =

2

3

L 3

2=

L 3

3 (6)



IC = 3IC = 3[IM + m(CM)2] = 3[mL212 + m(AM)2 9]


W =2

2

1

3m+

L23

mL22

$

amp

=2

2m

PM fysikos


x = R(1+$t)

y = Rmicro$t

amp (








r = x

i + y

j = R(1+$t)

i + Rmicro$t

j (1)

όπου

i



v =

d r

dt

(1)

v =

d

dt[R(1+$t)

i + Rmicro$t

j ]

v = -Rmicrot

i + R$t


L = m(

r v ) = m

i j k

x y 0

vx vy 0


όπου



k

L = mR2($t +$

2t + micro

2t)

k = mR2($t +1)



F = md

2 r

dt2

= md v

dt

(2)

F = md

dt(-Rmicrot

i + R$t

j )

F = -mR($t

i +microt

j ) = -mR2($t

i + microt

j ) (5) Η ροπή



= (

r F ) =

i j k

x y 0

Fx Fy 0

= (xFy - yFx) k

(1)(5)

= [R(1+$t)(-mR


2$t)]

k

= mR

2


k =- (mR2

2microt)



d

L

dt= mR

2

d

dt(1+$t)

k = -(mR2

2microt)

k

(6)

d L dt =

PM fysikos


E = 3GM25R



dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)


dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)


W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax


[mv0 2 2 - m(v2-v1 2 2)]( 2 2)-m(v2 2 2-v1)=mv2 2 2-mv1

mv0 2 2- m(v2-v1 2 2-m(v2 2 2-v1)( 2 2)=mv2- mv1 2 2

$

v02 - v

22 + 3v

12 = v

22 2 - v

1

v0

2 - 3v22 + v

12 = v

2- v

12 2

$

v0

= 3v2

2 - 5v1

v0

2= 5v2- 3v

12

$

(6)


v1

= v07

v2

= 2 2v07

(7)


v

A είναι

vA = v2 -v1 = v2$ - v1 = v2( 4) - v1 = v2 2 2 - v1

(7)

vA=

2 2

7

2

2v

0-v

0

7=

v0

7

PM fysikos


v

A

v

B



v

A+ v

B+ v

= m

όπου





= 3m

v

C

v

C= 3m (1)

όπου

v


F


F(AC)t z

0= IC

0

(AC) z

0= IC

0

0 = (AC)

z

0IC (2)




z

0





v





v A =

v C + (

0 CA)

v B =

v C + (

0 CB)

v =

v C + (

0 C)

$

amp

amp

(3)


v A +

v B +

v

= 3 v C + (

0 CA) + (

0 CB) + (

0 C)

v A +

v B +

v

= 3 v C + [

0 (CA) + CB) + C)] (4)


CA

CB


v

A+ v

B+ v

= 3 v

C

(1)

v

A+ v

B+ v

= m




W =1

23mv

C

2=

1

2IC

0

2

(1)(2)

W =1

23m

3m

$

amp

2

+1

2IC

(AC)

IC

$

amp

2

W =1

2

2

3m+

1

2

2(AC)

2

IC

=2

2

1

3m+

(AC)2

IC

$

amp

(5)


(AC) =2

3(AM) =

2

3

L 3

2=

L 3

3 (6)



IC = 3IC = 3[IM + m(CM)2] = 3[mL212 + m(AM)2 9]


W =2

2

1

3m+

L23

mL22

$

amp

=2

2m

PM fysikos


x = R(1+$t)

y = Rmicro$t

amp (








r = x

i + y

j = R(1+$t)

i + Rmicro$t

j (1)

όπου

i



v =

d r

dt

(1)

v =

d

dt[R(1+$t)

i + Rmicro$t

j ]

v = -Rmicrot

i + R$t


L = m(

r v ) = m

i j k

x y 0

vx vy 0


όπου



k

L = mR2($t +$

2t + micro

2t)

k = mR2($t +1)



F = md

2 r

dt2

= md v

dt

(2)

F = md

dt(-Rmicrot

i + R$t

j )

F = -mR($t

i +microt

j ) = -mR2($t

i + microt

j ) (5) Η ροπή



= (

r F ) =

i j k

x y 0

Fx Fy 0

= (xFy - yFx) k

(1)(5)

= [R(1+$t)(-mR


2$t)]

k

= mR

2


k =- (mR2

2microt)



d

L

dt= mR

2

d

dt(1+$t)

k = -(mR2

2microt)

k

(6)

d L dt =

PM fysikos


E = 3GM25R



dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)


dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)


W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax


όπου

v


F


F(AC)t z

0= IC

0

(AC) z

0= IC

0

0 = (AC)

z

0IC (2)




z

0





v





v A =

v C + (

0 CA)

v B =

v C + (

0 CB)

v =

v C + (

0 C)

$

amp

amp

(3)


v A +

v B +

v

= 3 v C + (

0 CA) + (

0 CB) + (

0 C)

v A +

v B +

v

= 3 v C + [

0 (CA) + CB) + C)] (4)


CA

CB


v

A+ v

B+ v

= 3 v

C

(1)

v

A+ v

B+ v

= m




W =1

23mv

C

2=

1

2IC

0

2

(1)(2)

W =1

23m

3m

$

amp

2

+1

2IC

(AC)

IC

$

amp

2

W =1

2

2

3m+

1

2

2(AC)

2

IC

=2

2

1

3m+

(AC)2

IC

$

amp

(5)


(AC) =2

3(AM) =

2

3

L 3

2=

L 3

3 (6)



IC = 3IC = 3[IM + m(CM)2] = 3[mL212 + m(AM)2 9]


W =2

2

1

3m+

L23

mL22

$

amp

=2

2m

PM fysikos


x = R(1+$t)

y = Rmicro$t

amp (








r = x

i + y

j = R(1+$t)

i + Rmicro$t

j (1)

όπου

i



v =

d r

dt

(1)

v =

d

dt[R(1+$t)

i + Rmicro$t

j ]

v = -Rmicrot

i + R$t


L = m(

r v ) = m

i j k

x y 0

vx vy 0


όπου



k

L = mR2($t +$

2t + micro

2t)

k = mR2($t +1)



F = md

2 r

dt2

= md v

dt

(2)

F = md

dt(-Rmicrot

i + R$t

j )

F = -mR($t

i +microt

j ) = -mR2($t

i + microt

j ) (5) Η ροπή



= (

r F ) =

i j k

x y 0

Fx Fy 0

= (xFy - yFx) k

(1)(5)

= [R(1+$t)(-mR


2$t)]

k

= mR

2


k =- (mR2

2microt)



d

L

dt= mR

2

d

dt(1+$t)

k = -(mR2

2microt)

k

(6)

d L dt =

PM fysikos


E = 3GM25R



dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)


dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)


W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax


W =1

23mv

C

2=

1

2IC

0

2

(1)(2)

W =1

23m

3m

$

amp

2

+1

2IC

(AC)

IC

$

amp

2

W =1

2

2

3m+

1

2

2(AC)

2

IC

=2

2

1

3m+

(AC)2

IC

$

amp

(5)


(AC) =2

3(AM) =

2

3

L 3

2=

L 3

3 (6)



IC = 3IC = 3[IM + m(CM)2] = 3[mL212 + m(AM)2 9]


W =2

2

1

3m+

L23

mL22

$

amp

=2

2m

PM fysikos


x = R(1+$t)

y = Rmicro$t

amp (








r = x

i + y

j = R(1+$t)

i + Rmicro$t

j (1)

όπου

i



v =

d r

dt

(1)

v =

d

dt[R(1+$t)

i + Rmicro$t

j ]

v = -Rmicrot

i + R$t


L = m(

r v ) = m

i j k

x y 0

vx vy 0


όπου



k

L = mR2($t +$

2t + micro

2t)

k = mR2($t +1)



F = md

2 r

dt2

= md v

dt

(2)

F = md

dt(-Rmicrot

i + R$t

j )

F = -mR($t

i +microt

j ) = -mR2($t

i + microt

j ) (5) Η ροπή



= (

r F ) =

i j k

x y 0

Fx Fy 0

= (xFy - yFx) k

(1)(5)

= [R(1+$t)(-mR


2$t)]

k

= mR

2


k =- (mR2

2microt)



d

L

dt= mR

2

d

dt(1+$t)

k = -(mR2

2microt)

k

(6)

d L dt =

PM fysikos


E = 3GM25R



dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)


dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)


W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax


όπου

i



v =

d r

dt

(1)

v =

d

dt[R(1+$t)

i + Rmicro$t

j ]

v = -Rmicrot

i + R$t


L = m(

r v ) = m

i j k

x y 0

vx vy 0


όπου



k

L = mR2($t +$

2t + micro

2t)

k = mR2($t +1)



F = md

2 r

dt2

= md v

dt

(2)

F = md

dt(-Rmicrot

i + R$t

j )

F = -mR($t

i +microt

j ) = -mR2($t

i + microt

j ) (5) Η ροπή



= (

r F ) =

i j k

x y 0

Fx Fy 0

= (xFy - yFx) k

(1)(5)

= [R(1+$t)(-mR


2$t)]

k

= mR

2


k =- (mR2

2microt)



d

L

dt= mR

2

d

dt(1+$t)

k = -(mR2

2microt)

k

(6)

d L dt =

PM fysikos


E = 3GM25R



dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)


dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)


W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax



E = 3GM25R



dW = - 4Gr3dm3r = - 4Gr2

dm3 (1)


dW = -4Gr2dm 3 = -4Gr2(-4r2dr)3

dW = 16G 22r

4dr3 (2)


W = (dW )

R

0

$

(2)

W =16G 2$2

3(r

4dr)

R

0

W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax


W =16G 2$2

30 -

R5

5

amp

(

)

= -16G 2$2

R5

15

W = -3G

5R

4R3$3

amp

(

)

2

= -3GM

2

5R (3)


Emin

= -W

(3)

Emin

= 3GM25R

PM fysikos






md v

dt= m g +

dm

dt

v

d v

dt= g - micro

v

m (1)




dv

dt= -g - micro

(-v )

m

dv

dt= -g +micro

v

m0 - microt

dv = -gdt +microvdt

m0 - microt


m0 - microt (2)




0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax



0 = -v lnm0+ C

C = v lnm0 (4)




v = -gt + v lnm0

m0 - microt

$

amp

( (5)


m02 = m

0- microt

t = m02micro


v = -gm0

2microt + v ln

m0

m02

$

amp

(

v = ln2 -gm0

2micro (6)


gm0

2microlt v

gm0 ln 2

2microlt v ln 2



(6)

vgt 0

PM fysikos





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax





v



mv0

2

2-GM

m

r0

=mv

2

2

2-GM

m

Rmax

v2

2-v

0

2= 2GM

1

Rmax

-1

r0

$

amp

(1)

v0

2 r0$R

max

amp

(

)

2

-v0

2= 2GM+

r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

v0

2 r0

22$ - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

= 2GM+r0- R

max

r0R

max

amp

(

)

GM

r0

r0

2$2 - Rmax

2

Rmax

2

amp

(

)

+ = 2GMr0- R

max

r0R

max

amp

(

)

+

r0

2

2$ - R

max

2= 2R

maxr0- R

max( )

r0

2

2$ - R

max

2= 2r

0R

max- 2R

max

2

Rmax

2- 2r

0R

max+ r

0

2

2$ = 0 (2)


Rmax



Rmax




Rmax


Rmax




Rmax


Documents

ΟΚΤΩ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ