Κύμα με αρχική φάση

1

Κύµα µε αρχική φάση

Για την µελέτη ενός κύµατος

1) Χρειαζόµαστε ένα σηµείο αναφοράς δηλ. µία αρχή που συνήθως επιλέγεται το x = 0.

Στο x = 0 συνήθως βρίσκεται και η πηγή του κύµατος χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο.

2) Τα σηµεία του ελαστικού µέσου στο οποίο διαδίδεται το κύµα ηρεµούν πριν φτάσει το

κύµα σε αυτά και συνεπώς ξεκινούν ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας τους µόλις το

κύµα φτάσει σε αυτά. Έτσι ξεκινώντας από τη θέση ισορροπίας µπορούν

α) να ξεκινούν ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας τους µε θετική ταχύτητα δηλ.

να κινηθούν προς τα πάνω µε maxu . Αυτή είναι και η µόνη περίπτωση που

περιγράφει το σχολικό βιβλίο και συνεπώς η πλειοψηφία των περιπτώσεων που

µελετάµε.

ή

β) να ξεκινούν ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας τους µε αρνητική ταχύτητα δηλ.

κινούµενα προς τα κάτω µε maxu .

Σε κάθε περίπτωση το τελευταίο σηµείο του στιγµιότυπου οποιαδήποτε στιγµή t1, πρέπει

να είναι στον άξονα x΄x, καθώς αντιστοιχεί µε το σηµείο του µέσου που την στιγµή t1

µόλις αρχίζει να ταλαντώνεται.

Κύµα χωρίς αρχική φάση

Κύµα χωρίς αρχική φάση σηµαίνει ότι:

Α) Την t = 0 η πηγή που βρίσκεται στο x = 0 ξεκινά ταλάντωση από τη Θ.Ι. µε θετική

ταχύτητα, u>0 (ή τότε φτάνει το κύµα στο υλικό σηµείο που βρίσκεται στο x = 0 και

ξεκινά ταλάντωση µε u>0).

Β) Η εξίσωση της αρχής x = 0 είναι της µορφής y = A·ηµ(ω·t) και τα κύµατα που

δηµιουργούνται έχουν εξίσωση:

1) · 2t x

y AT

ηµ πλ

= −

όταν διαδίδεται προς τα δεξιά

ή

2) · 2t x

y AT

ηµ πλ

= +

όταν διαδίδεται προς τα αριστερά

2

Κύµα µε αρχική φάση

Κύµα µε αρχική φάση σηµαίνει

Α) Το κύµα δεν έχει φτάσει στην αρχή x = 0 την t = 0.

Β) Το κύµα έχει διαδοθεί πέρα από το x = 0 την t = 0.

Γ) Το κύµα την t = 0 έχει φτάσει στο x = 0 αλλά έχει αρνητική ταχύτητα.

∆) Συνδυασµός των παραπάνω π.χ. τα µόρια του ελαστικού µέσου να ξεκινούν

ταλάντωση µε αρνητική ταχύτητα από τη Θ.Ι. και την t = 0 να µην έχει φτάσει το κύµα

στο σηµείο x = 0.

Η φυσική εξήγηση της πρώτης και της δεύτερης περίπτωσης είναι ότι η πηγή δεν

βρίσκεται στο σηµείο x = 0. Θα µπορούσε επίσης η πηγή να βρίσκεται στη θέση x = 0

και να ξεκινά την ταλάντωσή της µια χρονική στιγµή διάφορη του µηδενός, κάτι τέτοιο

όµως δεν έχει ιδιαίτερο φυσικό νόηµα.

Σε όλες τις περιπτώσεις η εξίσωση του κύµατος που προκύπτει έχει σαν αποτέλεσµα να

υπεισέρχεται αρχική φάση φ0 (φ0 σε rad) στην εξίσωση του κύµατος η οποία είναι της

µορφής

0· 22

t xy A

T

ϕηµ π

λ π = + ∓

Το ( – ) για κύµα που διαδίδεται δεξιά, το ( + ) για αριστερά

και

το φ0 να παίρνει και αρνητικές τιµές και µπορεί να έχει οποιαδήποτε τιµή.

Παρατήρηση 1

Η εξίσωση ταλάντωσης ενός σηµείου Κ στο οποίο φτάνει το κύµα την t=0s και ξεκινά

ταλάντωση µε u>0 είναι 2 ·

· · ·t

y A t y AT

πηµω ηµ = ⇒ =

.

Ενώ αν την t = 0s φτάνει το κύµα στο Κ και ξεκινά µε u<0 η εξίσωση ταλάντωσης είναι:

1· ( · ) · 2

2

ty A t y A

Tηµ ω π ηµ π = + ⇒ = +

.

uu( )

Ky A tηµ ω=

K K

u

KK

u( )Ky A tηµ ω π= +

0t =

3

Την t = 0 το κύµα φτάνει στο σηµείο Κ και ξεκινά ταλάντωση µε εξίσωση

( )Ky A tηµ ω= αν u>0 ή ( )Ky A tηµ ω π= + αν u<0.


Αν τα µόρια του ελαστικού µέσου ξεκινούν ταλάντωση µε u<0 τότε η φάση ενός

µορίου στο οποίο φτάνει το κύµα µια χρονική στιγµή t είναι π και όχι 0. Για ένα

τέτοιο κύµα αν θέλουµε να βρούµε µέχρι που έχει διαδοθεί η διαταραχή µια χρονική

στιγµή t1 δεν µηδενίζουµε τη φάση αλλά τη θέτουµε ίση µε π.

Εύρεση εξίσωσης κύµατος µε αρχική φάση φ0 :

Α) Μπορούµε να βρούµε την αρχική φάση φ0 από την αρχή x = 0 συνήθως την t = 0.

Παράδειγµα 1

Να βρεθεί η αρχική φάση φ0 και η εξίσωση του κύµατος σύµφωνα µε το παρακάτω

στιγµιότυπο που πάρθηκε την t = 0. Στη θέση x = 0 βρίσκεται η πηγή του κύµατος.

y

A t = 0

λ/4 x

Απάντηση

Η πηγή την t = 0 βρίσκεται στη θέση +Α όπως φαίνεται στο παραπάνω στιγµιότυπο για

πρώτη φορά. Στην περίπτωση αυτή το κύµα έχει προχωρήσει πέρα από την πηγή γιατί

κατά την κίνησή της «παρασέρνει» τα γειτονικά της µόρια και τα θέτει σε ταλάντωση.

Στο συγκεκριµένο παράδειγµα το κύµα έχει διαδοθεί µέχρι την θέση λ/4 και άρα

απαιτείται χρόνος Τ/4. Παρατηρούµε επίσης ότι τα µόρια του ελαστικού µέσου ξεκινούν

ταλάντωση από τη Θ.Ι. µε u>0. Η αρχική φάση του κύµατος είναι π/2 γιατί η φάση της

πηγής (x = 0) την t = 0 είναι φ0 = π/2

Αυτό γιατί την t = 0 η διαφορά φάσης της πηγής και του σηµείου στη θέση x = λ/4 είναι:

/4 00 /4 0 0

0( ) 42 2 0 2

2

x xx λλ

λπ

ϕ π ϕ ϕ π ϕ π ϕλ λ λ

−−∆∆ = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

άρα 1

· 24

t xy A

Tηµ π

λ = − +

4

ή αλλιώς

η εξίσωση του κύµατος είναι 0· 22

t xy A

T

ϕηµ π

λ π = − +

όπου για x = 0 η εξίσωση

αποµάκρυνσης της πηγής είναι 0· 22

ty A

T

ϕηµ π

π = +

⇒ y=Αηµ(ωt+φ0) και

αντικαθιστώντας στην εξίσωση για t = 0, παίρνουµε:

0

0 0

0

2 / 2 (1)

1

2 / 2 (2)

ή

ϕ κπ π

ηµϕ ηµϕϕ κπ π π

= +

+Α = Α ⇒ = → = + −

Η πηγή την t = 0 βρίσκεται στη θέση +Α για πρώτη φορά άρα για κ = 0 και η (1) και η

(2) δίνουν φ0 = π/2 rad

Έτσι γνωρίζοντας την αρχική φάση φ0 από την αρχή η εξίσωση του κύµατος είναι

0· 22

t xy A

T

ϕηµ π

λ π = + ∓ , ( – ) για κύµα που διαδίδεται δεξιά, το (+) για αριστερά


Μπορεί το κύµα να µην έχει διαδοθεί πέρα από την αρχή την t = 0 αλλά το σηµείο στο

x = 0 να έχει αρνητική ταχύτητα. Στην περίπτωση αυτή υπεισέρχεται αρχική φάση στο

κύµα ίση µε π και το κύµα δεν έχει διαδοθεί πέρα από την αρχή.

Β) ο πιο συνηθισµένος τρόπος

Ξέροντας ότι το κύµα την t = 0s έχει φτάσει σε ένα σηµείο Κ τότε η εξίσωσή του θα είναι

( )Ky A tηµ ω= ή ( )Ky A tηµ ω π= + . Ένα σηµείο Μ του ελαστικού µέσου δεξιά ή

αριστερά του Κ θα αρχίσει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγµή 1

dt

u= . Όπου d η

απόσταση µεταξύ των σηµείων Κ και Μ.

Εποµένως τη χρονική στιγµή t, το σηµείο Μ θα ταλαντώνεται επί χρόνο 1–

dt t t

u

= −

.

Έτσι η εξίσωση του κύµατος είναι:

• [ ]1( )y A t tηµ ω= − αν τα µόρια του µέσου ξεκινούν από τη ΘΙ µε u>0

• [ ]1( )y A t tηµ ω π= − + αν τα µόρια του µέσου ξεκινούν από τη ΘΙ µε u<0

5

Προσοχή Ο χρόνος t1 θα πρέπει να είναι θετικός για αυτό προσέχουµε

αν το κύµα διαδίδεται προς τα δεξιά τότε 1

M Kx xd

tu u

−= =

Ενώ αν διαδίδεται προς τα αριστερά τότε 1

K Mx xd

tu u

−= =


Να βρεθεί η αρχική φάση φ0 και η εξίσωση του κύµατος του παραδείγµατος 1 µε τον

τρόπο που παρουσιάζεται παραπάνω

y

A t = 0

λ/4 x

Απάντηση

Το σηµείο που βρίσκεται στη θέση x = λ/4 θα έχει εξίσωση ( )y A tηµ ω= γιατί το κύµα

φθάνει στο σηµείο αυτό την t = 0. Ένα σηµείο x δεξιά του σηµείου στη θέση λ/4 θα

αρχίσει ταλάντωση την 1

/ 4d xt

u u

λ−= =

Έτσι η εξίσωση του κύµατος είναι

[ ]1

/ 4 2 / 4( ) ( ) ( )

/ 4 / 4 / 42 ( ) 2 ( ) 2 ( )

·

12 ( )

4

x xy A t t A t A t

u u

t x t x t xy A A A

u

t xy A

λ π ληµ ω ηµ ω ηµ

λ λ ληµ π ηµ π ηµ π

λ λ λ

ηµ πλ

− − = − = − = − Τ − − ⇒ = − = − = − + Τ Τ Τ Τ

⇒ = − + Τ

u

ΜΚ

d

u

M K

d

6

u

Σχεδιασµός στιγµιότυπου κύµατος µε αρχική φάση φ0

1) Βρίσκουµε µέχρι που έχει φτάσει το κύµα είτε µηδενίζοντας τη φάση είτε θέτοντάς τη

ίση µε π αν τα µόρια ξεκινούν ταλάντωση µε u<0. (βλ. παρατήρηση 2 σελ.2).

2) Βρίσκουµε για την χρονική στιγµή αυτή την αποµάκρυνση της αρχής x = 0.

3) Σχεδιάζουµε το στιγµιότυπο από το τέλος προς την αρχή. Είναι βολικό να βρίσκουµε

σε πόσα µήκη κύµατος αντιστοιχεί η απόσταση µέχρι την οποία έχει φτάσει το κύµα.

• Αν τα µόρια του ελαστικού µέσου ξεκινούν ταλάντωση µε u>0 τότε το στιγµιότυπο

έχει την παρακάτω µορφή:

Κύµα που διαδίδεται Κύµα που διαδίδεται

προς τα δεξιά προς τα αριστερά

• Αν τα µόρια του ελαστικού µέσου ξεκινούν ταλάντωση µε u<0 τότε το στιγµιότυπο

έχει την παρακάτω µορφή:

Κύµα που διαδίδεται Κύµα που διαδίδεται

προς τα δεξιά προς τα αριστερά


Ένα αρµονικό κύµα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση µε ταχύτητα υ = 4 m/s και για

t = 0 το στιγµιότυπο του κύµατος είναι όπως στο παρακάτω σχήµα. Το πλάτος

ταλάντωσης του σηµείου Ο είναι Α = 2m και η περίοδός του Τ = 2s.

t = 0s

u

uu

( )y m

2

( )x m10

7

α) Βρείτε την εξίσωση του κύµατος

β) Να κάνετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t = 1s.

Απάντηση

α)

Το σηµείο που βρίσκεται στη θέση x = 10m θα έχει εξίσωση ( )y A tηµ ω= γιατί το κύµα

φθάνει στο σηµείο αυτό την t = 0. Ένα σηµείο x δεξιά του σηµείου x1 = 10m θα αρχίσει

ταλάντωση την 1

10 10

4

d x xt

u u

− −= = =


[ ]1

10 2 10( ) ( ) ( )

4

2 10 10( ) ( )

2 4 4 4

102,5

4 4 4

x xy A t t A t A t

u

x xy A t A t

x xA t A t

πηµ ω ηµ ω ηµ

πηµ ηµ π

π π πηµ π ηµ π π

− − = − = − = − Τ − ⇒ = − = − +

⇒ − + ⇒ − +

Άρα η αρχική φάση φ0 είναι 10

2,54

radπ

π=

β)

Tο κύµα την t = 1s θα έχει προχωρήσει κατά d΄ = u·t = 4·1 = 4m = λ/2. Το κύµα έχει

διαδοθεί κατά ∆x = 4m ξεκινώντας όµως από τη θέση x1=10m, γιατί ήδη για t = 0

υπάρχει διαταραχή ίση µε 104

mλ

λ + = . Έτσι το κύµα την χρονική στιγµή t1 θα έχει

φτάσει µέχρι τη θέση 10 + 4 = 14m.

Η αρχή x = 0 είναι εύκολο να υπολογιστεί ότι βρίσκεται τη στιγµή αυτή στην θέση –Α =

–2m, από την εξίσωση του κύµατος.

Έτσι το στιγµιότυπο την χρονική στιγµή t1 θα είναι το ακόλουθο

( )y m

2

( )x m10

2−

14

1t s=

8

ή αλλιώς

Μηδενίζουµε τη φάση στην εξίσωση του κύµατος τη στιγµή t = 1s και βρίσκουµε µέχρι

που έχει διαδοθεί το κύµα. Βρίσκουµε για την χρονική στιγµή αυτή την αποµάκρυνση

της αρχής x = 0 και σχεδιάζουµε το στιγµιότυπο από το τέλος προς την αρχή. Τα 14m

αντιστοιχούν σε 3

4

λλ +

110 10 140 0 14

4 4 4 4 4 4

t sx x xt x m

π π π π π πϕ π π= = − + → = − + ⇒ = − ⇒ =


Για να µην υπάρξει κίνδυνος λάθους στον υπολογισµό της απόστασης µέχρι την οποία

έχει φτάσει το κύµα µια χρονική στιγµή t είναι προτιµότερο να µηδενίζουµε τη φάση τη

στιγµή αυτή ή να την θέτουµε ίση µε π αν τα µόρια του ελαστικού µέσου ξεκινούν

ταλάντωση µε u<0.

Γραφική παράσταση φάσης

• Αν τα µόρια του ελαστικού µέσου ξεκινούν ταλάντωση µε u>0

φ(rad) φ(rad)

xk t1

tk t(sec) 0 xK x(m)

Φάση ενός σηµείου xκ σε συνάρτηση Φάση όλων των σηµείων του ελαστικού

µε το χρόνο. To xκ ξεκινά ταλάντωση την µέσου µια χρονική στιγµή t1. Την χρ.

χρονική στιγµή tκ η οποία υπολογίζεται στιγµή t1 το κύµα έχει φτάσει µέχρι τη

µηδενίζοντας τη φάση και θέτοντας x = xk θέση xκ η οποία υπολογίζεται

µηδενίζοντας τη φάση τη στιγµή αυτή.

9

• Αν τα µόρια του ελαστικού µέσου ξεκινούν ταλάντωση µε u<0

φ(rad) φ(rad)

xκ t1

π π

tκ t(sec) 0 xκ x(m)

Φάση ενός σηµείου xκ σε συνάρτηση Φάση όλων των σηµείων του ελαστικού

µε το χρόνο. Ο χρόνος tκ που φτάνει µέσου µια χρονική στιγµή t1. Η θέση xκ

το κύµα στο xk υπολογίζεται αν στη που έχει φτάσει το κύµα την t1 υπολογί-

φάση φ για x = xκ θέσουµε φ = π. ζεται αν στη φάση φ για t = t1 θέσουµε

φ = π.


Ένα αρµονικό κύµα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση µε ταχύτητα υ = 4 m/s και για

t = 0 το στιγµιότυπο του κύµατος είναι όπως στο παρακάτω σχήµα. Το πλάτος

ταλάντωσης του σηµείου Ο είναι Α = 2m και η περίοδός του Τ = 2s.

α) Βρείτε την εξίσωση του κύµατος

β) Να κάνετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t = 1s.

γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σηµείων του µέσου σε

συνάρτηση µε την απόστασή τους από την πηγή τη χρονική στιγµή t2 = 2,5s.

( )y m

2

( )x m10

0t s=

10

δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης του σηµείου που βρίσκεται στη θέση x =

16m

Απάντηση

α)

Σύµφωνα µε το στιγµιότυπο θα έχουµε αρχική φάση γιατί για t = 0s το κύµα έχει ήδη

προχωρήσει πέρα από την αρχή αλλά και επιπλέον προστιθέµενη φάση ίση µε π επειδή

τα µόρια του µέσου ξεκινούν ταλάντωση µε u<0.

Το σηµείο που βρίσκεται στη θέση x = 10m θα έχει εξίσωση ( )y A tηµ ω π= + γιατί το

κύµα φθάνει στο σηµείο αυτό την t = 0 και σύµφωνα µε το στιγµιότυπο τα µόρια του

µέσου ξεκινούν ταλάντωση µε u<0 . Ένα σηµείο x δεξιά του σηµείου στη θέση 10m θα

αρχίσει ταλάντωση την 1

10 10

4

d x xt

u u

− −= = =


[ ]1

10 2 10( ) ( ) ( )

4

2 10 10( ) ( )

2 4 4 4

143,5

4 4 4

x xy A t t A t A t

u

x xy A t A t

x xA t A t

πηµ ω π ηµ ω π ηµ π

πηµ π ηµ π π

π π πηµ π ηµ π π

− − = − + = − + = − + Τ − ⇒ = − + = − + +

⇒ − + ⇒ − +

Άρα η αρχική φάση φ0 είναι 14

3,54

radπ

π=

β)

Θέτουµε τη φάση στην εξίσωση του κύµατος τη στιγµή t = 1s ίση µε π και βρίσκουµε

µέχρι που έχει διαδοθεί το κύµα.

13,5 3,5 4,5 144 4 4

t sx x xt x m

π π πϕ π π π π π π π= = − + → = − + ⇒ = − ⇒ =

Βρίσκουµε την χρονική στιγµή αυτή την αποµάκρυνση της αρχής x = 0 που είναι +Α =

2m και σχεδιάζουµε το στιγµιότυπο από το τέλος προς την αρχή. Τα 14m αντιστοιχούν

σε 3

4

λλ +

11

γ)

Θέτουµε τη φάση τη χρονική στιγµή t2 = 2,5s ίση µε π και βρίσκουµε µέχρι που έχει

φτάσει το κύµα.

2,53,5 2,5 3,5 6 204 4 4

t sx x xt x m

π π πϕ π π π π π π π= = − + → = − + ⇒ = − ⇒ =

Η φάση του σηµείου στη θέση x =20m είναι π

και της αρχής 2,5

0 0 00

·03,5 2,5 3,5 6

4 4

t s

x

xt

π πϕ π π ϕ π π ϕ π=

=

= − + → = − + ⇒ =

φ(rad)

6π

t2 = 2,5s

π

0 20 x(m)

δ)

Για x = 16m θέτουµε τη φάση ίση µε π και βρίσκουµε τη χρονική στιγµή t που ξεκινά

ταλάντωση το σηµείο αυτό.

16 163,5 3,5 4 3,5 1,5

4 4

x mxt t t t sϕ π

π πϕ π π π π π π π π π=

=

= − + → = − + ⇒ = − + ⇒ =

( )y m

2

( )x m14

1t s=

12

φ(rad)

3,5π x = 16m

π

1,5 3,5 t(sec)


Είναι εύκολα αντιληπτό ότι τα σηµεία που βρίσκονται µεταξύ 0≤x≤10m έχουν ξεκινήσει

ταλάντωση πριν την χρονική στιγµή που αρχίζουµε να µελετάµε το κύµα δηλ. την t = 0s.

Έτσι για παράδειγµα αν θέλαµε να κάναµε τη γραφική παράσταση της φάσης του

σηµείου x = 8m στο συγκεκριµένο παράδειγµα θα βρίσκαµε αρνητικό χρόνο αν θέταµε

τη φάση ίση µε π για x = 8m. Ο χρόνος αυτός µεταφράζεται ως ο χρόνος που ξεκίνησε

την ταλάντωση το x = 8 πριν τη στιγµή που αρχίζουµε εµείς να µελετάµε το κύµα δηλ.

την t = 0.

8 ·83,5 3,5 2 3,5 0.5

4 4

x mxt t t t sϕ π

π πϕ π π π π π π π π π=

=

= − + → = − + ⇒ = − + ⇒ = −

Την t = 0s η φάση του σηµείου αυτού έχοντας ήδη ταλαντωθεί είναι φ8m=1,5π rad όπως

προκύπτει µε αντικατάσταση στη φάση φ.

φ(rad)

x = 8m 1,5π

π

– 0,5s 0 t(sec)

Άρα θα µπορούσαµε να πούµε ότι η παραπάνω παράσταση έχει νόηµα από την t ≥ 0s που

αρχίζουµε να µελετάµε το κύµα, αλλά το σηµείο έχοντας ήδη ταλαντωθεί πιο πριν έχει

φάση µεγαλύτερη του π, ( αν τα µόρια του µέσου ξεκινούσαν ταλάντωση µε u>0 η φάση

θα ήταν µεγαλύτερη από το 0 για ένα τέτοιο αντίστοιχο σηµείο την t = 0s).

13

Αντίστοιχα η εξίσωση της αποµάκρυνσης µε το χρόνο του x = 8m θα είχε νόηµα από t ≥

0s. Την t = 0s η αποµάκρυνσή του είναι y = -A = -2m και θα ήταν όπως στο σχήµα.

y(m)

x = 8m

-0,5

t(sec)

-2


Στις ταλαντώσεις η αρχική φάση της ταλάντωσης ενός σώµατος παίρνει τιµές από

[0, 2 )π rad διότι µεγαλύτερες τιµές από 2π οδηγούν σε επανάληψη του φαινοµένου.

Μαθηµατικά το ηµ(φ+2π) = ηµφ. Στην εξίσωση όµως του κύµατος παρόλο που

µαθηµατικά ισχύει είναι διαφορετική κατάσταση και δεν πρέπει να παραλείπονται τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π.

Ας υποθέσουµε ότι η αρχική φάση είναι 3π rad και τα υλικά σηµεία του µέσου να

ξεκινούν ταλάντωση µε φορά προς τα πάνω. Αυτό σηµαίνει ότι το υλικό σηµείο Ο (x = 0)

έχει τη χρονική στιγµή t = 0 εκτελέσει ήδη 1,5 ταλάντωση και το κύµα έχει διαδοθεί σε

απόσταση ίση µε 1,5λ. Αυτή η κατάσταση είναι διαφορετική από την κατάσταση του

κύµατος τη στιγµή t = 0 αν η αρχική φάση είναι π rad. Αν η αρχική φάση ήταν π rad το

υλικό σηµείο Ο (x = 0) θα είχε ήδη εκτελέσει την t = 0 µισή ταλάντωση (και θα

βρισκόταν στη Θ.Ι. µε υ <0) και το κύµα θα είχε διαδοθεί κατά 0,5λ πέρα από το Ο και

όχι κατά 1,5λ. Αυτή η κατάσταση για το κύµα είναι διαφορετική από την κατάστασή του

όταν η αρχική φάση είναι 3π rad. ∆ηλαδή στο παράδειγµά µας και γενικά στο κύµα δεν

ισχύει

( )0 0· 2 ·2 · 2t x t x

y A AT T

ηµ π ϕ κ π ηµ π ϕλ λ

= + + ≠ + ∓ ∓

Για το λόγο αυτό δεν έχουν απλοποιηθεί οι εξισώσεις των κυµάτων στα παραδείγµατα 3

και 4.


Μια εξίσωση κύµατος µπορεί να είναι ίδια για δύο διαφορετικά κύµατα και να

αντιπροσωπεύει διαφορετικές καταστάσεις.

Για παράδειγµα αν δινόταν ένα κύµα µε εξίσωση κύµατος · 2t x

y AT

ηµ π πλ

= − +

χωρίς καµία άλλη πληροφορία τότε για την εξίσωση αυτή έχουµε δύο περιπτώσεις µε

διαφορετική φυσική σηµασία.

14

Αν τα µόρια του µέσου ξεκινούν ταλάντωση µε u > 0 τότε η εξίσωση αυτή περιγράφει

ένα κύµα που την t = 0 έχει διαδοθεί κατά λ/2. Αν όµως τα µόρια του µέσου ξεκινούν µε

u < 0 τότε η εξίσωση αυτή περιγράφει ένα κύµα που την t = 0 φτάνει το κύµα στο x = 0

αλλά έχει αρνητική ταχύτητα.

Συνεπώς πρέπει να ξέρουµε πάντα προς τα πού αρχίζουν ταλάντωση τα µόρα του µέσου

για να περιγραφεί ένα κύµα πράγµα που είναι απαραίτητο και για τον σχεδιασµό του

στιγµιότυπου του κύµατος.


Αν υποθέσουµε ότι η πηγή του κύµατος αρχίζει ταλάντωση από κάποια άλλη θέση και

όχι από τη Θ.Ι. Τότε τη στιγµή που αρχίζουµε τη διέγερση κάποια γειτονικά της σηµεία

θα βρίσκονται ήδη ανυψωµένα σε θέσεις πάνω από τη Θ.Ι. και ξεκινούν ταλάντωση όλα

µε αρχική ταχύτητα 0.

π.χ. Ανυψώνουµε µε το χέρι µας ένα νήµα στη θέση έστω Α/3 και από τη θέση αυτή

διεγείρουµε µε το χέρι µας το νήµα µε αποτέλεσµα να διαδοθεί ένα κύµα πλάτους Α.

Στην περίπτωση αυτή η πηγή και κάποια γειτονικά σηµεία που είναι ανασηκωµένα

ξεκινούν ταλάντωση όχι από τη Θ.Ι. αλλά από κάποια άλλη. Για µία τέτοια διάδοση δεν

έχουµε την έννοια του κύµατος όπως τη µελετάµε γιατί τα γειτονικά σηµεία δεν µπορούν

να περιγραφούν από αρµονικές συναρτήσεις και η διαταραχή δεν µπορεί να περιγραφεί

µε εξίσωση αρµονικού κύµατος, Τέτοιες περιπτώσεις δεν εξετάζουµε.

Η περίπτωση αυτή δεν είναι ίδια µε το κύµα που έχει ήδη διαδοθεί σε κάποια

απόσταση µια χρονική στιγµή t όπως στα προηγούµενα παραδείγµατα. Τα σηµεία αυτά

έχουν ανασηκωθεί και έχουν ξεκινήσει ταλάντωση µε τη λογική που τα ανασηκώνει η

διάδοση ενός κύµατος. Επιπλέον τα σηµεία αυτά µπορούν να έχουν ταχύτητες από maxuταλ−

εως και maxuταλ+ ανάλογα µε τη θέση που βρίσκονται από τη Θ.Ι.

Η αρχή του νήµατος τη στιγµή t = 0 βρίσκεται σε κάποια απόσταση από τη Θ.Ι. στην

περίπτωση αυτή το κύµα δεν µπορεί να περιγραφεί µε εξίσωση αρµονικού κύµατος.

15

∆ύο παραδείγµατα µε την πηγή να βρίσκεται σε µία θέση διάφορη του x = 0.


Στη θέση xS = 8m ενός γραµµικού ελαστικού µέσου υπάρχει µια πηγή κυµάτων S, η

οποία για t = 0, αρχίζει να ταλαντώνεται σύµφωνα µε την εξίσωση y = 2ηµ(2πt) (S.Ι.) µε

αποτέλεσµα να διαδίδονται δύο κύµατα και προς τις δύο κατευθύνσεις. H ταχύτητα

διάδοσης του κύµατος είναι u =4m/s.

Να βρεθούν οι εξισώσεις των κυµάτων, y1=f(t,x) και y2=f(t,x), για τα δύο κύµατα που

κινούνται προς τα δεξιά και προς τ’αριστερά αντίστοιχα.

Απάντηση

Το πλάτος της ταλάντωσης της πηγής είναι 2m

ω=2π r/s ⇒ f =1Hz

u = λ·f⇒λ = 4m

Ένα σηµείο Β στη θέση x, δεξιά του S θα χρειαστεί χρονικό διάστηµα 1

8 8

4

x xt

u

− −= =

για να ξεκινήσει ταλάντωση (για να φτάσει το κύµα)

Άρα η εξίσωση ταλάντωσής του θα είναι:

( )2

8y 2 [2 t t ] 2 2 ( ) 2 2 ( 2)

4 4

y 2 (2 4 ) (1) ( . .) 0, 82

x xt t

xt S I t x

ηµ π ηµ π ηµ π

πηµ π π

−= − = − = − + ⇒

= − + ≥ ≥

Η εξίσωση (1) είναι η εξίσωση του κύµατος που διαδίδεται προς τα δεξιά.

O•

S•

0x = ( )m

O•

S•

0x = ( )m

B••

Γ

16

Το κύµα για να φτάσει σε ένα σηµείο Γ αριστερά του S στη θέση x, θα χρειαστεί χρονικό

διάστηµα 2

8 8

4

x xt

u

− −= =


( )2

8y 2 [2 t t ] 2 2 ( ) 2 2 ( 2)

4 4

y 2 (2 4 ) (2) ( . .) 0, 82

x xt t

xt S I t x

ηµ π ηµ π ηµ π

πηµ π π

−= − = − = + − ⇒

= + − ≥ ≤

Η παραπάνω εξίσωση είναι η εξίσωση του κύµατος που διαδίδεται προς τα αριστερά


Στη θέση x1 =5m ενός οµογενούς γραµµικού ελαστικού µέσου υπάρχει µία πηγή κύµατος,

το οποίο διαδίδεται και προς τις δύο κατευθύνσεις. Θεωρούµε t = 0 τη στιγµή που το

κύµα φτάνει στο σηµείο Ο στη θέση x = 0, οπότε το σηµείο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται

µε εξίσωση y = 5·ηµ10πt (µονάδες στο S.Ι.) µε µήκος κύµατος λ=2m.

α) Ποια η εξίσωση ταλάντωσης y=f(t) της πηγής;

β) Ποια η εξίσωση του κύµατος που διαδίδεται προς τα αριστερά;

γ)Ποια η εξίσωση του κύµατος που διαδίδεται προς τα δεξιά;

Απάντηση

α)

Η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος, υ=λf=2·5=10m/s

Είναι αντιληπτό ότι σε ένα κύµα η πηγή του κύµατος ταλαντώνεται για περισσότερο

χρόνο από όλα τα σηµεία του µέσου που εκτελούν ταλάντωση που συνεπάγεται ότι θα

έχει και τη µεγαλύτερη φάση από όλα τα σηµεία του µέσου µια οποιαδήποτε χρονική

στιγµή.

Το σηµείο x = 0 στο σηµείο Ο έχει εξίσωση ταλάντωσης y = 5ηµ10πt. Η πηγή του

κύµατος που βρίσκεται στη θέση 5m είναι λογικό να έχει ταλαντωθεί για περισσότερο

χρόνο από ότι το σηµείο x = 0 κατά χρονικό διάστηµα 1

5 0 1

10 2

dt s

u

−= = =

Έτσι η εξίσωση της πηγής του κύµατος είναι:

O•

S•

0x = ( )m

B••

Γ

5

17

[ ] [ ]1

1( ) 5 10 ( ) 5 10 5

2y A t t t tπ ηµ ω ηµ π ηµ π π = + = + = +

β)

Το κύµα ξεκινά από τη θέση x = 5m και διαδίδεται προς τα δεξιά για x ≥ 5m και προς τα

αριστερά για x ≤5m. Το σηµείο x = 0 ξεκινά ταλάντωση εξαιτίας της διάδοσης του

κύµατος από τα αριστερά, Την t=0 το σηµείο x = 0 ξεκινά ταλάντωση µε εξίσωση y =

5·ηµ10πt και σύµφωνα µε το σχολικό βιβλίο δεν θα υπάρχει αρχική φάση για το κύµα

προς τα αριστερά.

Από την εξίσωση του x = 0 που ξεκινά ταλάντωση την t =0, για το κύµα προς τ’αριστερά

η εξίσωση του κύµατος είναι:

5· 2 5 5· 2 5 52

x xy t t xαρ ηµ π ηµ π

λ = + = + ≤

(S.Ι.)

Ή αλλιώς από την εξίσωση της πηγής θα έχουµε:

Το κύµα για να φτάσει σε ένα σηµείο Γ αριστερά της πηγής στη θέση x, θα χρειαστεί

χρονικό διάστηµα 2

5 5

10

x xt

u

− −= =


[ ]

[ ] [ ]

2

5 15 ( ) 5 5 10 ( ) 5 5 10 ( ) 5

10 2 10

5 10 5 5 5 10 5 2 5 , 52

x xy t t t t

xy t x t x y t x

αρ

αρ αρ

ηµ ω π ηµ π π ηµ π π

ηµ π π π π ηµ π π ηµ π

− = − + = − + = − + +

= − + + = + ⇒ = + ≤

γ)

Έστω το τυχαίο σηµείο Β, δεξιά της πηγής στη θέση x.

Το κύµα για να φτάσει από την πηγή S στο σηµείο B, θα χρειαστεί χρονικό διάστηµα

3

5

10

d xt

u

−= =

[ ]

[ ] [ ]

3

5 15 ( ) 5 5 10 ( ) 5 5 10 ( ) 5

10 2 10

5 10 5 5 5 10 10 5 2 5 5 , 52

x xy t t t t

xy t x t x y t x

δ

δ δ

ηµ ω π ηµ π π ηµ π π

ηµ π π π π ηµ π π π ηµ π

− = − + = − + = + − +

= + − + = − + ⇒ = − + ≥

18

Παράδειγµα 7 Αν δίνεται το στιγµιότυπο µια χρονική στιγµή t διάφορη του µηδενός

Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται το στιγµιότυπο τη χρονική στιγµή 3

4

Tt΄ = (Τ η περίοδος)

αρµονικού κύµατος πλάτους Α, µήκους κύµατος λ και περιόδου Τ, που διαδίδεται στην

αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν του ηµιάξονα Οx.

Απάντηση

α. Προσδιορίστε το σηµείο Κ της ευθείας x’x που αρχίζει να ταλαντεύεται τη χρονική

στιγµή t=0.

β. Να γράψετε την εξίσωση του κύµατος και να παραστήσετε γραφικά την αποµάκρυνση

του σηµείου Μ µε 3

4M

xλ

= −

γ. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή 5

4

Tt′′ =

α.

Το κύµα από το σηµείο Κ που άρχισε να ταλαντώνεται τη στιγµή t = 0 έως τη στιγµή

3

4

Tt΄ = θα έχει διατρέξει απόσταση

3·

4

Td u=

3·

4

3

4

3

4 4

3

4 4

2

Td u

uTx x

x

x

x

λ λ

λ λ

λ

Κ Λ

Κ

Κ

Κ

= ⇒

− = ⇒

−− = ⇒

+ = ⇒

=

19

β.

Το σηµείο Κ έχει εξίσωση αποµάκρυνσης · ( )K

y A tηµ ω= . Ένα σηµείο που βρίσκεται

στη θέση x αριστερά του Κ θα καθυστερήσει την ταλάντωσή του κατά χρόνο

12

xd

tu u

λ−

= =


[ ]1

·

22 2( ) ( ) ( )

2 22 2 2 12 2 ( )

· 2

12

2

T u

x x

y A t t A t A tu u

xt t x t x

y A A Au

t xy A

λ

λ λπ

ηµ ω ηµ ω ηµ

λπ ππ π π

ηµ ηµ π ηµ πλ λ

ηµ πλ

=

− − = − = − = − Τ

− ⇒ = − + − = + − Τ Τ Τ Τ

⇒ = + − Τ

=

Ή αλλιώς

Το σηµείο 0 την 3

4

Tt = θα έχει φτάσει για πρώτη φορά στην θέση +Α

η εξίσωση του κύµατος είναι 0· 22

t xy A

T

ϕηµ π

λ π = + +

όπου για x = 0 η εξίσωση

αποµάκρυνσης είναι 0· 22

ty A

T

ϕηµ π

π = +

και αντικαθιστώντας στην εξίσωση για

3

4

Tt = και y =+A, παίρνουµε:

00 0

0

0

0

3 / 4 3 3· 2 1

2 2 2

32 / 2 (1)

23

2 / 2 0,1,2,....2

32 / 2 (2)

2

TA A

T

ή

ϕ π πηµ π ηµ ϕ ηµ ϕ

π

πϕ κπ π

πϕ κπ π κ

πϕ κπ π π

= + ⇒+Α = Α + ⇒ + =

+ = +

⇒ ⇒ + = + = + = + −

20

To σηµείο x=0 την 3

4

Tt = βρίσκεται στη θέση +Α για πρώτη φορά άρα για κ = 0 και η

(1) και η (2) δίνουν φ0 = - π rad

Για το σηµείο Μ 3 / 4 1 5 2 5

2 22 4 2

M

t t ty A

λ π πηµ π ηµ π ηµ

λ− = + − = Α − = Α − Τ Τ Τ

Το Μ ξεκίνησε ταλάντωση την στιγµή που 2 5 5

0 02 4

t Tt

π πϕΜ

= ⇒ − = ⇒ = Τ

γ.

Η εξίσωση του στιγµιότυπου προκύπτει από την εξίσωση του κύµατος για t = 5

4

Tt′′ =

5

4

51 1 5 142 2 22 2 4 2

32

4

Tt

T

t x x xA y A y

xy

ηµ π ηµ π ηµ πλ λ λ

ηµ πλ

= + − ⇒ = + − ⇒ = + − Τ Τ

⇒ = +

Το κύµα έχει διαδοθεί την χρονική στιγµή µέχρι τη θέση όπου

3 30 2 0

4 4

xx

λϕ π

λ = ⇒ + = ⇒ = −

Έτσι το στιγµιότυπο είναι:

21

Για την παραπάνω ανάλυση πολύτιµη ήταν η συµβολή του συναδέλφου Μαργαρίτη

Σδράλη καθώς επίσης οι συζητήσεις και τα ένθετα της ιστοσελίδας του κ. ∆ιονύση

Μάργαρη.

Χ. Αγριόδηµας

[email protected]

Documents

Κύμα με αρχική φάση