Μονοτονία Συνάρτησης

ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Μονοτονία Συνάρτησης

Tζουβάλης Αθανάσιος

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 2

Τζουβάλης Αθανάσιος

Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης ............................................................................................................................................................. 3

Λυμένα παραδείγματα ................................................................................................................................................................ 4

Μέθοδος 1 (Εύρεση διαστημάτων μονοτονίας συνάρτησης) ................................................................................ 4

Μέθοδος 2 (Εύρεση παραμέτρων) ................................................................................................................................. 10

Μέθοδος 3 (Εύρεση προσήμου της f )...................................................................................................................... 13

Μέθοδος 4 (Εύρεση μονοτονίας της f μέσω του προσήμου της f ή βοηθητικής συνάρτησης)

....................................................................................................................................................................................................... 16

Μέθοδος 5 (Απόδειξη ή επίλυση ανισοτήτων) .......................................................................................................... 18

Μέθοδος 6 (Απόδειξη ανισοτήτων με βοηθητική συνάρτηση) ......................................................................... 23

Μέθοδος 7 (Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης) ................................................................................................... 24

Μέθοδος 8 (Εύρεση ύπαρξης ριζών εξίσωσης) ......................................................................................................... 27

Μέθοδος 9 (Εύρεση μονοτονίας από δοσμένες σχέση) .......................................................................................... 34

Ασκήσεις προς λύση ................................................................................................................................................................. 35



ΜΜ οο νν οο ττ οο νν ίί αα σσ υυ νν άά ρρ ττ ηη σσ ηη ςς

Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία χρησιμοποιούμε τα

συμπεράσματα της παρακάτω πρότασης: Πρόταση 1 Έστω συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα Δ.

Αν 0f x για κάθε εσωτερικό σημείο x τότε η συνάρτηση f είναι

γνησίως αύξουσα στο Δ.

Αν 0f x για κάθε εσωτερικό σημείο x τότε η συνάρτηση f είναι

γνησίως φθίνουσα στο Δ. Απόδειξη Για δύο οποιαδήποτε σημεία 1 2,x x , με 1 2x x , η συνάρτηση f ικανοποιεί τις

προϋποθέσεις του θεωρήματος της μέσης τιμής στο 1 2,x x . Επομένως υπάρχει

1 2,x x τέτοιο ώστε:

2 1 2 1f x f x f x x

Επειδή 0f και 2 1 0x x , έχουμε

2 1 1 20f x f x f x f x

που σημαίνει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Ανάλογα διαπιστώνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Παρατηρήσεις 1. Δεν ισχύει το αντίστροφο της πρότασης 1. συγκεκριμένα μια συνάρτηση f που

είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα

(φθίνουσα) στο Δ και χωρίς να ισχύει 0f x ( 0f x ) για κάθε εσωτερικό

σημείο x . Για παράδειγμα η συνάρτηση 3f x x που είναι παραγωγίσιμη

στο με 23f x x είναι γνησίως αύξουσα στο και δεν ισχύει 0f x για

κάθε x αφού είναι 0 0f .

2. Η πρόταση 1 δεν ισχύει πάντοτε για ένωση διαστημάτων. Για παράδειγμα η

συνάρτηση 1

f xx

είναι παραγωγίσιμη στο με 2

1f x

x , ισχύει 0f x

για κάθε x και όμως η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο

,0 0, .

3. Αν είναι 0f x (αντίστοιχα 0f x ) για κάθε , ,x και η f

είναι συνεχής στο β τότε η f είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα φθίνουσα) στο

διάστημα , .

4. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ τότε η f είναι «ένα-

ένα» στο Δ και επομένως ισχύουν:



Η εξίσωση 0f x έχει τα πολύ μια ρίζα στο Δ.

Αν , τότε: f f .

Αν , τότε: f f .

5. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και τότε :

Για κάθε x με x ισχύει f x f και για κάθε x με x

ισχύει f x f .

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ και τότε :

Για κάθε x με x ισχύει f x f και για κάθε x με x

ισχύει f x f .

6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ,

τότε το σύνολο των τιμών της f στο Δ είναι το διάστημα

lim , limx x

f f x f x

. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως

φθίνουσα στο διάστημα , τότε το σύνολο των τιμών της f στο Δ είναι

το διάστημα lim , limx x

f f x f x

.

ΛΛ υυ μμ έέ νν αα ππ αα ρρ αα δδ εε ίί γγ μμ αα ττ αα

ΜΜέέθθοοδδοοςς 11 ((ΕΕύύρρεεσσηη δδιιαασσττηημμάάττωωνν μμοοννοοττοοννίίααςς σσυυννάάρρττηησσηηςς))

Για να προσδιορίσουμε τα διαστήματα μονοτονίας μιας συνάρτησης f

κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f

Υπολογίζουμε την f

Βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της f και κατασκευάζοντας τον

πίνακα προσήμων της (χρησιμοποιώντας την πρότασης 1) βρίσκουμε την μονοτονίας της f

Παράδειγμα 1 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f όταν:

(α) ln

xf x

x

(β) 5 xf x x e

(γ) 3

x

xf x

e

Λύση



f

f

e 1 0

f

f

5 0

f

f

0 3

(α) Η συνάρτηση ln

xf x

x έχει πεδίο ορισμού το 0,1 1,A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει 2

ln 1

ln

xf x

x

. Με x A είναι :

2

ln 10 0 ln 1 0 ln 1 ln ln

ln

xf x x x x e x e

x

δεκτή.

2

ln 10 0 ln 1 0 ln 1 ln ln

ln

xf x x x x e x e

x

2

ln 10 0 ln 1 0 ln 1 ln ln 0,1 1,

ln

xf x x x x e x e

x

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα

διαστήματα 0,1 και 1,e και γνησίως

αύξουσα στο ,e .

(β) Η συνάρτηση 5 xf x x e έχει πεδίο ορισμού το A . Η f είναι παραγωγίσιμη

και για κάθε x A ισχύει 4 5xf x x e x . Με x A είναι:

40 5 0 0 ή 5xf x x e x x x

40 5 0 5,0 0,xf x x e x x

40 5 0 , 5xf x x e x x

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , 5

και γνησίως αύξουσα στο 5, (διότι

είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα

5,0 και 0, και συνεχής στο 0 0x ).

(γ) Η συνάρτηση 3

x

xf x

e έχει πεδίο ορισμού το A . Η f είναι παραγωγίσιμη

και για κάθε x A ισχύει 2 3

x

x xf x

e

. Με x A είναι:

2

230 0 3 0 0 ή 3

x

x xf x x x x x

e

2

230 0 3 0 ,0 0,3

x

x xf x x x x

e

2

230 0 3 0 3

x

x xf x x x x

e

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο ,3

(διότι είναι γνησίως αύξουσα στα



f

f

3

+ _

f

f

1 3

διαστήματα ,0 και 0,3 και συνεχής στο 0 0x ) και γνησίως φθίνουσα στο

3, .


(α) 3 213 9 2

3f x x x x

(β) 24 3f x x x

Λύση

(α) Η συνάρτηση 3 213 9 2

3f x x x x έχει πεδίο ορισμού το A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει 2 26 9 ( 3)f x x x x . Το πρόσημο της

f και η μονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα:

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( , )

(διότι είναι γνησίως αύξουσα στα

διαστήματα ,3 και [3, ) και συνεχής

στο 0 3x ).

(β) Η συνάρτηση 2 4 3f x x x έχει πεδίο ορισμού το ( ,1] [3, )A .

Η f είναι συνεχής στο A και δεν είναι παραγωγίσιμη στα σημεία 1 1x και 2 3x .

Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 ( ,1) (3, )A και για κάθε 1x A ισχύει

2

2

4 3

xf x

x x

. Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον

πίνακα:

Υποσημείωση: Δεν είναι απαραίτητο να εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο

άκρο 0 0x αφού για την μελέτη της μονοτονίας σε διάστημα [ , ]a b μας ενδιαφέρει η

συνέχεια της f στο [ , ]a b και το πρόσημο της f στο ( , )a b .

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ,1] και

γνησίως αύξουσα στο [3, ) .


(α) 1 x

f xx

, (0, )x

(β) 2( ) 1

xf x a

, 1a , [0,2 ]x



f

f

0 1 e

(γ) ( )x

ef x

x , [0, ) ( , ]

2 2x

Λύση

(α) Η συνάρτηση 1 x

f xx

έχει πεδίο ορισμού το (0, )A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A είναι

2

xf x

x

. Το πρόσημο της f και η

μονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα:

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ]2

και

γνησίως αύξουσα στο [ , )2

.

(β) Η συνάρτηση 2( ) 1xf x a έχει πεδίο ορισμού το [0,2 ] . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A είναι 22 ln 2xf x a a x . Το πρόσημο της

f και η μονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα:

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, ]2

,

3[ , ]

2

και γνησίως αύξουσα στο [ , ]

2

,

3[ ,2 ]

2

.

(γ) Η συνάρτηση ( )xe

f xx

έχει πεδίο ορισμού το [0, ) ( , ]2 2

A

. Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A

είναι 2

( )xe x xf x

x

. Το

πρόσημο της f και η μονοτονία

της f φαίνονται στον πίνακα:

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο

[0, )2

,

3( , ]

2 4

και γνησίως φθίνουσα στο

3[ , ]

4

.

f

f

0 π/2 π 3π/2 2π

_ + _ +

f

f

0 π

+ + _

3π/4 π/2



f

f

2 0 -1/2

_ _ + +


2

2

, 0

, 0

x

xx

f x e

x x x

Λύση

Η συνάρτηση

2

2

, 0

, 0

x

xx

f x e

x x x

έχει πεδίο ορισμού το A . Η συνάρτηση f

είναι παραγωγίσιμη στο 1 ( ,0)A και για κάθε 1x A ισχύει 2 1f x x . Η

συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 2 (0, )A και για κάθε 2x A ισχύει

(2 )

x

x xf x

e

.

Υποσημείωση: Όταν μελετάμε την μονοτονία μιας «κλαδωτής» συνάρτησης f δεν

είναι απαραίτητο να εξετάσουμε αν αυτή είναι παραγωγίσιμη στα σημεία εκείνα που εκατέρωθεν της η f αλλάζει τύπο. Εξετάζουμε τη συνέχεια στα σημεία αυτά.

Θα εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 0x .

2

0 0 0

0( ) (0)

lim lim lim 00

x

xx x x

x

f x f xe

x x e

2

0 0 0

( ) (0)lim lim lim ( 1) 1

0x x x

f x f x xx

x x

Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 0x ,

Είναι όμως συνεχής στο 0 0x αφού είναι

0 0

lim ( ) lim ( ) (0)x x

f x f x f

. Επομένως: 2 1, 0

(2 ), 0

x

x x

f x x xx

e

Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα:

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1

( , ]2

και γνησίως αύξουσα στο 1

[ ,2]2

(διότι είναι

γνησίως Παράδειγμα 5 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f όταν:

(α) 213 4 2

2

x xf x e e x



f

f

1 0

(β) ln( )

xf x x

(γ) ( ) ln( )f x x x

Λύση

(α) Η συνάρτηση 213 4 2

2

x xf x e e x έχει πεδίο ορισμού το A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει 2 3 4 ( 1)( 4)x x x xf x e e e e . Το

πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται

στον πίνακα: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ,0] και γνησίως

αύξουσα στο [0, ) .

(β) Η συνάρτηση ln( ) xf x x έχει πεδίο ορισμού το (0, )A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει

ln2 lnxx x

f xx



Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1]και γνησίως

αύξουσα στο [1, ) .

(γ) Η συνάρτηση ( ) ln( )f x x x έχει πεδίο ορισμού το (1, )A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει

2 1

2

xf x

x x x


μονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα: Η f

είναι γνησίως αύξουσα στο (1, ) .

Παράδειγμα 6 (α) Δίνεται η συνάρτηση :f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα

Δ και για κάθε x ισχύει 0f x . Επιπλέον, δεν υπάρχει διάστημα 1

τέτοιο ώστε να ισχύει 0f x για κάθε 1x . Να δείξετε ότι η συνάρτηση

f είναι γνησίως αύξουσα.

(β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης g x x x .

Λύση (α) Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Τότε

υπάρχουν 1 2,x x τέτοιο ώστε 1 2x x και 1 2f x f x (1). Για κάθε 0 1 2,x x x

έχουμε:

Η f είναι συνεχής στο 1 0,x x

f

f

0

_ +

f

f

1

+



Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 0,x x . Από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι

υπάρχει 1 1 0,x x τέτοιο ώστε 1 0 1 0 1f x f x x x f (2).

Επειδή 1 0 1 0 0x x x x και 1 0f από τη (2) έπεται ότι 1 0 0f x f x

δηλαδή 1 0f x f x (3).

Ομοίως η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής

στο διάστημα 0 2,x x και επομένως υπάρχει 2 0 2,x x τέτοιο ώστε

0 2 0 2 2f x f x x x f (4).

Επειδή 0 2 0 2 0x x x x και 2 0f από την (3) έπεται ότι 0 2 0f x f x

δηλαδή 0 2f x f x (5).

Από (1) και (3) και (5) έπεται ότι 1 0 2 1f x f x f x f x , δηλαδή

1 0 1f x f x f x , δηλαδή 0 1f x f x για κάθε 0 1 2,x x x .

Δείξαμε ότι για κάθε 0 1 2,x x x ισχύει 0 1f x f x που σημαίνει ότι η f είναι

σταθερή στο 1 1 2,x x . Επομένως ισχύει 0f x για κάθε 1x άτοπο αφού

δεν υπάρχει διάστημα 1 τέτοιο ώστε να ισχύει 0f x για κάθε 1x .

Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο .

(β) Η συνάρτηση g x x x έχει πεδίο ορισμού το . Η g είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει 1g x x . Είναι 0g x για κάθε

x A και δεν υπάρχει διάστημα 1 τέτοιο ώστε να ισχύει 0g x για κάθε

1x . Επομένως, σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα η g είναι γνησίως αύξουσα στο

.

Υποσημείωση: Δείξαμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ όταν

ισχύει 0f x για κάθε x και η συνάρτηση f x μηδενίζεται σε άπειρα σημεία

του Δ που όμως δεν «συγκροτούν» υποδιαστήματα του Δ, δηλαδή η f δεν είναι

σταθερή σε κανένα υποδιάστημα του Δ. Ομοίως όταν 0f x .

ΜΜέέθθοοδδοοςς 22 ((ΕΕύύρρεεσσηη ππααρρααμμέέττρρωωνν))

Όταν μας ζητείται ο προσδιορισμός παραμέτρων, ώστε μια συνάρτηση να έχει κάποιο συγκεκριμένο είδος μονοτονίας, κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε την f .

Βρίσκουμε το πρόσημο της f για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου.

Εξετάζουμε σε ποια περίπτωση ισχύει το ζητούμενο.



f

f

2x 1x

Με 0a

f

f

1x

Με 0a

2x

Παράδειγμα 7 Να προσδιορίσετε τις τιμές του a ώστε η συνάρτηση f με

3 212

2f x ax ax x να είναι γνησίως αύξουσα στο .

Λύση

Η συνάρτηση 3 212

2f x ax ax x έχει πεδίο ορισμού το A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει 23 1f x ax ax .

Αν 0a , τότε 1 0f x που σημαίνει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .

Αν 0a , το τριώνυμο έχει διακρίνουσα 2 12 12 . Διακρίνουμε τις

περιπτώσεις: (α) Δ>0, (β) Δ=0, (γ) Δ<0.

(α) Αν 0 12 0 ,0 12, τότε η εξίσωση 0f x έχει

δύο άνισες ρίζες τις 1 2x x . Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται

στους παρακάτω πίνακες:

Παρατηρούμε ότι με Δ>0 η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο .

(β) Αν 0 12 0 0 απορ. ή 12 . Με 12 η εξίσωση 0f x

έχει διπλή ρίζα τον αριθμό 0

1

6x . Το

πρόσημο της f και η μονοτονία της f

φαίνονται στον πίνακα: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (διότι

είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα 1

,6

και

1,

6

και συνεχής στο

0

1

6x ).

(γ) Αν 0 12 0 0,12 τότε η

εξίσωση 0f x είναι αδύνατη στο . Το


φαίνονται στον πίνακα:

Παρατηρούμε ότι με 0,12a η f είναι γνησίως

f

f

-1/6

+ +

f

f

+



f

f

2x 1x

αύξουσα στο . Επομένως με 0,12a η f είναι γνησίως αύξουσα στο

Παράδειγμα 8 Να προσδιορίσετε τις τιμές του a ώστε η συνάρτηση f με

3 25f x x ax ax να είναι γνησίως φθίνουσα στο .

Λύση

Η συνάρτηση 3 2 5f x x ax ax έχει πεδίο ορισμού το A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει 23 2f x x ax a .

Το τριώνυμο 23 2x ax a έχει διακρίνουσα 24 12 4 3 . Διακρίνουμε

τις περιπτώσεις: (α) Δ>0, (β) Δ=0, (γ) Δ<0.

(α) Αν 0 4 3 0 ,0 3, τότε η εξίσωση 0f x έχει

δύο ρίζες άνισες τις 1 2x x . Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται

στους πίνακες:

Παρατηρούμε ότι αν ,0 3, η f

δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο .

(β) Αν 0 4 3 0

0 ή 3

Με 0 είναι 23f x x . Το πρόσημο της f

και η μονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα:

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (διότι είναι

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,0 και

0, και συνεχής στο 0 0x ).

Με 3 είναι 23 6 3f x x x . Το


φαίνονται στον πίνακα: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (διότι είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

,1 και 1, και συνεχής στο 0 1x ).

(γ) 0 4 3 0 0,3 τότε η εξίσωση

0f x είναι αδύνατη στο . Το πρόσημο της f


Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο . Επομένως όταν 0,3 η f είναι γνησίως

φθίνουσα στο .

f

f

0

_ _

f

f

1

_ _

f

f

_



f

f

1 0

ΜΜέέθθοοδδοοςς 33 ((ΕΕύύρρεεσσηη ππρροοσσήήμμοουυ ττηηςς f ))

Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνάρτησης f όταν ,x αρκεί να

γνωρίζουμε την μονοτονία της και μία ρίζα της 0 ,x .

Αν f στο , τότε

0 0 0f

x x f x f x

0 0 0f

x x f x f x

Αν f στο , και 0x τότε 0f

x f x f

, δηλαδή η

συνάρτηση f είναι θετική στο ,

Αν f στο , και 0x τότε 0f

x f x f

, δηλαδή η

συνάρτηση f είναι αρνητική στο , .

Όμοια όταν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο , .

Παράδειγμα 9 Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω συναρτήσεων.

(α) ln 1f x x x x

(β) 1x

f x e x

(γ) 2

ln 12

xf x x x

Λύση

(α) Η συνάρτηση ln 1f x x x x έχει πεδίο ορισμού το 0,A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει lnf x x . Το πρόσημο της f και η


Για κάθε 0,1x ισχύει:

1 1 0f

x f x f f x

Για κάθε 1,x ισχύει:

1 1 0f

x f x f f x

(β) Η συνάρτηση 1xf x e x έχει πεδίο ορισμού

το A . Η f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε

x ισχύει 1xf x e . Το πρόσημο της f και η


f

f

0

+ _



Για κάθε ,0x ισχύει 0 0f

x f x f

Για κάθε 0,x ισχύει 0 0f

x f x f

Παράδειγμα 10 Δίνεται ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο και υπάρχει

τέτοιο ώστε 0f .

(α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο να δείξετε ότι 0f x για κάθε

,x και 0f x για κάθε ,x .

(β) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο να δείξετε ότι 0f x για κάθε

,x και 0f x για κάθε ,x .

Λύση

(α) Για κάθε ,x ισχύει 0f

x f x f f x

. Για κάθε ,x

ισχύει 0f

x f x f f x

.

(β) Για κάθε ,x ισχύει 0f

x f x f f x

. Για κάθε ,x

ισχύει 0f

x f x f f x

.

Σχόλιο: Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι αν η f είναι γνησίως μονότονη στο

διάστημα Δ και υπάρχει τέτοιο ώστε 0f τότε: το είναι μοναδική ρίζα

της εξίσωσης 0f x στο Δ και η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του + .

Παράδειγμα 11 Δίνεται ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο . Για την f

ισχύουν 0 1f , 2 3f και 0f x για κάθε x . Να δείξετε ότι

υπάρχει 0,3 τέτοιο ώστε 3f f .

Λύση 1ος Τρόπος

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0,2 και ισχύει 0 2 3 0f f . Από το

θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει 0,2 τέτοιο ώστε 0f . Θεωρούμε την

συνάρτηση 3h x x f x η οποία ορίζεται στο 0,3 . Για την h έχουμε:

Η h είναι συνεχής στο ,3 .

Η h είναι παραγωγίσιμη στο ,3 με 3h x x f x f x

3h h

Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ,3 0,3 τέτοιο ώστε:



0 3 0 3h f f f f

2ος Τρόπος

Θεωρούμε τη συνάρτηση 3g x x f x f x η οποία ορίζεται στο 0,3 . Για

τη g έχουμε:

Η g είναι συνεχής στο 0,3

0 3 0 0 3 0 1 0g f f f .

3 3g f . Επειδή για κάθε x ισχύει 0f x έπεται ότι η συνάρτηση f

είναι γνησίως αύξουσα στο . Άρα ισχύει 2 3 2 3 3 3 0f f f

δηλαδή 3 0f . Επομένως 0 3 0g g .

Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει 0,3 τέτοιος ώστε:

0 3 0 3g f f f f

Παράδειγμα 12

Δίνεται ότι η συνάρτηση : ,f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ότι

είναι 0f και 0f x για κάθε ,x . Να δείξετε ότι f f

Λύση

Επειδή 0f x για κάθε ,x έπεται ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως

φθίνουσα στο , .

Για κάθε ,x ισχύει 0f

x f f x f

δηλαδή 0f x

για κάθε ,x .

Επειδή η f είναι συνεχής στο , έπεται ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως

φθίνουσα στο , . Είναι f

f f

.


Δίνεται ότι η συνάρτηση : ,f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο

, και ότι 0f f και 0f x για κάθε ,x . Να δείξετε

ότι 0f x για κάθε ,x .

Λύση

Επειδή 0f x για κάθε ,x έπεται ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως

φθίνουσα στο , . Για την f ισχύουν:

Η f είναι συνεχής στο , .

Η f είναι παραγωγίσιμη στο ,

0f f



Από το θεώρημα του Rolle έπεται ότι υπάρχει ένα

τουλάχιστον , τέτοιο ώστε 0f . Το


στον παρακάτω πίνακα.

Για κάθε ,x ισχύει

0f

x f x f f x

.


x f x f f x

.

Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f


Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ,

και γνησίως φθίνουσα στο , . Επομένως:


x f x f f x

.


x f x f f x

Άρα είναι 0f x για κάθε ,x .

ΜΜέέθθοοδδοοςς 44 ((ΕΕύύρρεεσσηη μμοοννοοττοοννίίααςς ττηηςς f μμέέσσωω ττοουυ ππρροοσσήήμμοουυ ττηηςς f ήή

ββοοηηθθηηττιικκήήςς σσυυννάάρρττηησσηηςς))

Όταν είναι δύσκολη ή αδύνατη η εύρεση του προσήμου της f με τους

γνωστούς αλγεβρικούς τρόπους μελετούμε τη μονοτονία της και βρίσκουμε το πρόσημο της f . Από το πρόσημο της f βρίσκω την μονοτονία και ο

πρόσημο της f και τέλος από το πρόσημο της f βρίσκω την μονοτονία

της f .

Όταν είναι δύσκολη η αδύνατη η εύρεση του προσήμου μιας παράστασης με τους γνωστούς αλγεβρικούς τρόπους, θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση και μελετούμε τη μονοτονία της. Στη συνέχεια βρίσκουμε το πρόσημό της.


Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης 22 2 1

xf x e x x .

Λύση

Η συνάρτηση f x έχει πεδίο ορισμού το A . Η f είναι παραγωγίσιμη και για

κάθε x είναι 2 2 2xf x e x . Το πρόσημο της

f δεν βρίσκεται με αλγεβρικές μεθόδους. Άρα

βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης,

δηλαδή 2 2 2 1x xf x e e . Το πρόσημο της

f και η μονοτονία της f φαίνεται στο διπλανό

πίνακα.

f

f

_ _ ξ

f

f

_ +

ξ

f

f

+ -

0



h

h

0 1

f

f

1 0

01 0 0x xe e e x

Μία ρίζα της f είναι το 0 0x .

Πρόσημο της f :

0 0 0f

x f x f f x

0 0 0f

x f x f f x

Άρα η 0f x για κάθε x , οπότε η f x είναι γνησίως αύξουσα στο


Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης ln

1

x xf x

x

.

Λύση

Η συνάρτηση ln

1

x xf x

x

έχει πεδίο ορισμού το 0,1 1,A . Η f είναι


2

ln 1

1

x xf x

x

. Θα βρούμε το πρόσημο

της παράστασης ln 1x x με 0,1 1,x . Θεωρούμε τη συνάρτηση

ln 1h x x x με πεδίο ορισμού το 0, . Η h

είναι παραγωγίσιμη και για κάθε 0,x είναι

1 1

1x

h xx x

. Το πρόσημο της h και η

μονοτονία της h φαίνονται στον πίνακα:

Για κάθε 0,1x ισχύει: 1 1h

x h x h

.

Για κάθε 1,x ισχύει: 1 1h

x h x h

.

Επομένως για κάθε 0,1 1,x ισχύει

1 ln 1 0h x h x x .


φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Παράδειγμα 16

Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης ln 1

x ef x

x

.

Λύση

Η συνάρτηση ln 1

x ef x

x

έχει πεδίο ορισμού το 0, ,A e e . Η f είναι


2

ln 2

ln 1

x x x ef x

x x

. Για κάθε x A είναι



h

h

0 e

f

f

e 0

2

ln 1 0x x . Θα βρούμε το πρόσημο της παράστασης ln 2x x x e με

0, ,x e e .

Θεωρούμε τη συνάρτηση ln 2h x x x x e με 0,x . Η h είναι παραγωγίσιμη

και για κάθε 0,x είναι ln 1h x x . Το πρόσημο της h και η μονοτονία της

h φαίνονται στον πίνακα:

Για κάθε 0,x e ισχύει: h

x e h x h e

.

Για κάθε ,x e ισχύει: h

x e h x h e

.

Επομένως για κάθε 0, ,x e e ισχύει

ln 2 0h x h e x x x e . Άρα για κάθε

0, ,x e e είναι 0f x . Έτσι έχουμε τον

πίνακα:

Η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα 0,e

και ,e .

ΜΜέέθθοοδδοοςς 55 ((ΑΑππόόδδεειιξξηη ήή εεππίίλλυυσσηη ααννιισσοοττήήττωωνν))

Απόδειξη ανισώσεων

Για να αποδείξουμε ότι για κάθε x ισχύει η ανισότητα f x g x

εργαζόμαστε ως εξής: Θεωρούμε τη συνάρτηση h x f x g x με x A

όπου και κατόπιν βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας της h . Στην

συνέχεια βρίσκουμε το πρόσημο της h στο Δ. Επίλυση ανισώσεων Για να λύσουμε μία ανίσωση εργαζόμαστε ως εξής:

1. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος και θεωρούμε συνάρτηση.

2. Βρίσκουμε τη μονοτονία της και μία ρίζα της. 3. Με την βοήθεια της μονοτονίας λύνουμε την ανίσωση Παρατήρηση Στις δύο παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε επίσης να θεωρήσουμε ως

συνάρτηση την

1f x

h xg x

εάν η 0g x ή την ln lnh x f x g x

εάν , 0f x g x .

Παράδειγμα 17 Να δείξετε ότι ισχύει:

(α) 1x

e x για κάθε x .

(β) 22ln 1x x για κάθε 0,x .



f

f

π/2 π 0

Λύση

(α) Θεωρούμε τη συνάρτηση 1xf x e x με

πεδίο ορισμού το A . Η f είναι παραγωγίσιμη

και για κάθε x ισχύει 1xf x e . Το


στον πίνακα:

Για κάθε ,0x ισχύει: 0 0f

x f x f

Για κάθε 0,x ισχύει: 0 0f

x f x f

Επομένως για κάθε x ισχύει 0 1 0xf x f e x δηλαδή 1xe x για

κάθε x .

(β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 22ln 1f x x x με πεδίο ορισμού το

0,A . Η f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε 0,x ισχύει:

32

2 2x x

f x x xx x

Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον πίνακα:

Για κάθε 0,2

x

ισχύει 2 2

f

x f x f

Για κάθε ,2

x

ισχύει 2 2

f

x f x f

Επομένως για κάθε 0,x ισχύει:

22ln 1 1 02

f x f x x

.

Άρα για κάθε 0,x ισχύει 22ln 1 0x x δηλαδή 22ln 1x x .


Να δείξετε ότι για κάθε 0,x ισχύουν:

(α) 2

ln 12

xx x x .

(β) ln 1 lnx x x x Λύση

(α) Θα δείξουμε ότι για κάθε 0,x ισχύει 2

ln 12

xx x .

f

f

0

+ _



g

g

1 0

f

f

1 0

Θεωρούμε την συνάρτηση 2

ln 12

xf x x x με πεδίο ορισμού

0,A . Η f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει

21

11 1

xf x x

x x

.




2

0 0 ln 1 02

f xx f x f x x

δηλαδή 2

ln 12

xx x για κάθε 0,x .

Θα δείξουμε ότι για κάθε 0,x ισχύει ln 1x x . Θεωρούμε την συνάρτηση

ln 1g x x x με πεδίο ορισμού το

0,A . Η g είναι παραγωγίσιμη και για κάθε

x A ισχύει 1

11 1

xg x

x x

. Το πρόσημο

της g και η μονοτονία της g φαίνονται στον

διπλανό πίνακα.

Για κάθε 0,x ισχύει: 0 0 ln 1 0 ln 1g

x g x g x x x x

.

Επομένως δείξαμε ότι για κάθε 0,x ισχύει 2

ln 12

xx x x .

(β) Θα δείξουμε ότι για κάθε 0,x ισχύει ln 1x x . Θεωρούμε τη συνάρτηση

ln 1f x x x με πεδίο ορισμού το 0,A . Η

f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει

1 1

1x

f xx x



Για κάθε 0,1x ισχύει: 1 1f

x f x f

Για κάθε 1,x ισχύει: 1 1f

x f x f

Επομένως για κάθε 0,x ισχύει 1 ln 1 0 ln 1f x f x x x x

Θα δείξουμε ότι για κάθε 0,x ισχύει

1 lnx x x . Θεωρούμε τη συνάρτηση

ln 1g x x x x με πεδίο ορισμού το

f

f

0

+

g

g

0

_



0,A . Η f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει lng x x . Το

πρόσημο της g και η μονοτονία της g φαίνονται στον πίνακα:

Για κάθε 0,1x ισχύει: 1 1g

x g x g

Για κάθε 1,x ισχύει: 1 1g

x g x g

Επομένως για κάθε 0,x ισχύει:

1 ln 1 0 ln 1g x g x x x x x x .

Άρα για κάθε 0,x ισχύει ln 1 lnx x x x .


Να δείξετε ότι για κάθε 0,x ισχύει:

(α) 1 ln 1x

e x

(β) 2 2x

x e x

Λύση

(α) Θεωρούμε την συνάρτηση 1 ln 1xf x e x με πεδίο ορισμού 0,A . Η

f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει 1 11

1 1

xx e x

f x ex x

.

Επειδή 0x έπεται ότι και το 1 0x . Επομένως το πρόσημο της f εξαρτάται από

το πρόσημο της παράστασης 1 1xe x . Για αυτό θεωρούμε τη συνάρτηση

1 1xh x e x με πεδίο ορισμού 0,A . Η

h είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει

2xh x e x . Το πρόσημο της h και η

μονοτονία της h φαίνονται στον πίνακα:

Για κάθε 0,x ισχύει 0 0 1 1 0h

xx h x h e x

.

Επομένως για κάθε 0,x ισχύει

1 1 0xe x . Το πρόσημο της f και η



0 0 1 ln 1 0f

xx f x f e x

1 ln 1xe x .

h

h

0

+

f

f

0

+



(β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 2xf x e x x με πεδίο ορισμού το 0,A .

Η f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x A ισχύει 1 1xf x e x . Η f είναι

παραγωγίσιμη στο 0,A και για κάθε

0,x ισχύει xf x xe .

Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται


Για κάθε 0,x ισχύει: 0 0 1 1 0f

xx f x f e x

.

Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται



0 0 2 2 0f

xx f x f e x x

2 2xx e x .

Παράδειγμα 20 Να λυθούν οι ανισώσεις

(α) 2ln 1x x

(β) x x x 0,2

x

Λύση

(α) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 ln 1f x x x , για 0x .

21 2 1

2 0x

f x xx x

για κάθε 0x

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε 0x . Προφανής ρίζα της συνάρτησης είναι

η 1x . Άρα

0 1 1f x f x f x

(β) θεωρούμε τη συνάρτηση f x x x x με 0,2

x

0f x x x x x x x

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2

και 0x προφανής ρίζα της. Άρα:

0 0 0f x f x f x

f

f

_

0

f

f

0

_



ΜΜέέθθοοδδοοςς 66 ((ΑΑππόόδδεειιξξηη ααννιισσοοττήήττωωνν μμεε ββοοηηθθηηττιικκήή σσυυννάάρρττηησσηη))

Παράδειγμα 21 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει η σχέση

xf x x f x (1). Να δείξετε ότι για κάθε 0x είναι x

f xx

.

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση h x xf x x με πεδίο ορισμού το A . Η h είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x είναι h x xf x f x x και λόγω της (1)

είναι 0h x για κάθε x . Επομένως η h είναι γνησίως αύξουσα στο .

Για κάθε 0,x ισχύει

0 0 0h

x h x h xf x x

0x x

xf x x f xx

.

Για κάθε ,0x ισχύει

0 0 0h

x h x h xf x x

0x x

xf x x f xx

.

Παράδειγμα 22 Δίνεται ότι η συνάρτηση :f είναι παραγωγίσιμη και ότι για κάθε

x ισχύει f x f x . Αν 0 1f να δείξετε ότι για κάθε ,0x

ισχύει xf x e και για κάθε 0,x ισχύει x

f x e .

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση x

f xh x

e με πεδίο ορισμού το A . Η h είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x είναι

x

f x f xh x

e

. Παρατηρούμε ότι για

κάθε x ισχύει 0h x που σημαίνει ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα

στο . Επομένως έχουμε:

Για κάθε 0,x ισχύει

0 0 1h

x

x

f xx h x h f x e

e

.


0 0 1h

x

x

f xx h x h f x e

e

.



ΜΜέέθθοοδδοοςς 77 ((ΕΕύύρρεεσσηη σσυυννόόλλοουυ ττιιμμώώνν σσυυννάάρρττηησσηηςς))

Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης :f βρίσκουμε τα διαστήματα

μονοτονίας της. Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα 1 τότε ισχύουν τα εξής:

1 1f αν η f γνησίως

αύξουσα στο 1

1f αν η f γνησίως φθίνουσα στο

1

, ,f f ,f f

, lim , limx x

f x f x

lim , limx x

f x f x

, , limx

f f x

lim ,

x

f x f

, lim ,x

f x f

, limx

f f x

, lim ,x

f x f

, limx

f f x

, lim , limx x

f x f x

lim , limxx

f x f x

, , limx

f f x

lim ,x

f x f

, lim , limxx

f x f x

lim , limx x

f x f x

, lim , limx x

f x f x

lim , limx x

f x f x

Θυμίζουμε ότι αν 1 2 τότε 1 2f f f όπου τα 1f και

2f βρίσκονται όπως έχουμε αναφέρει στον παραπάνω πίνακα.

Παράδειγμα 23 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης όταν:

(α) 24 5f x x x

(β) x

xf x

e

(γ) lnf x x x

Λύση

(α) Η συνάρτηση 2 4 5f x x x έχει πεδίο ορισμού το A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x είναι

2 4f x x . Το πρόσημο της f και η μονοτονία

της f φαίνονται στον διπλανό πίνακα:

Αν 1 , 2 τότε

f

f

2

+ _



f

f

1 0

1 2 , lim 1,x

f f f x

Αν 2 2, τότε

2 2 , lim 1,x

f f f x

Είναι 1 2A .

Άρα 1 2 1, 1, 1,f A f f

(β) Η συνάρτηση x

xf x

e έχει πεδίο ορισμού το . Η f είναι παραγωγίσιμη

και για κάθε x ισχύει

2

1x x

xx

e xe xf x

ee

.


φαίνονται στον διπλανό πίνακα:

Αν 1 ,1 τότε 1

1lim , 1 ,

xf f x f

e

.

Αν 2 1, τότε 2

1lim , 1 0,

xf f x f

e

Είναι 1 2A .

Άρα 1 2

1 1 1, 0, ,f A f fe e e

(γ) Η συνάρτηση lnf x x x έχει πεδίο ορισμού το 0,A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε 0,x είναι 1 1

1x

f xx x

. Το πρόσημο της f

και η μονοτονία της f φαίνονται στον

παρακάτω πίνακα:

Αν 1 0,1 τότε

10

lim , 1 , 1x

f f x f

Αν 2 1, τότε 2 lim , 1 , 1x

f f x f

Είναι 1 2A .

Άρα 1 2 , 1 , 1 , 1f A f f

Παράδειγμα 24 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f όταν:

f

f

1 _ +



f

f

2π 0

f

f

9 0

(α) , 0,2f x x x x

(β) 2

11

2 3 1

xx

xf x

x x x

(γ) 2 , 0,9f x x x x

Λύση

(α) Η συνάρτηση f x x x έχει πεδίο ορισμού

το 0,2A . Η f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε

x A είναι 1f x x . Το πρόσημο της f και

η μονοτονία της f φαίνονται στον διπλανό πίνακα:

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι:

2 , 0 2 ,0f A f f

(β) Η συνάρτηση 2

11

2 3 1

xx

xf x

x x x

έχει πεδίο ορισμού το . Η f δεν

είναι συνεχής στο 0 1x αφού 1 1

lim lim1x x

xf x

x

. Επομένως η f δεν είναι

παραγωγίσιμη στο 0 1x . Η f είναι παραγωγίσιμη στο ,1 και για κάθε

,1x είναι

2

1

1f x

x

. Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1, και για κάθε

1,x είναι 2 2f x x .

Άρα 2

11

1

2 2 1

xf x x

x x

. Το πρόσημο της f και

η μονοτονία της f φαίνονται στον διπλανό πίνακα:

Αν 1 ,1 τότε 11

lim , lim , 1xx

f f x f x

.

Αν 2 1, τότε 21

lim , lim 2,xx

f f x f x

Είναι 1 2 1A . Άρα

1 2 1

,1 2, 2 ,1 2,

f A f f f

(γ) Η συνάρτηση 2f x x x έχει πεδίο ορισμού

το 0,9A . Η f είναι συνεχής στο Α και δεν είναι

παραγωγίσιμη στο 0 0x . Η f είναι παραγωγίσιμη

f

f

+ _

1



στο 0,9 και για κάθε 0,9x ισχύει 1

1f xx


μονοτονία της f φαίνονται στον διπλανό πίνακα. Το σύνολο τιμών της f είναι:

0 , 9 0,15f A f f

ΜΜέέθθοοδδοοςς 88 ((ΕΕύύρρεεσσηη ύύππααρρξξηηςς ρριιζζώώνν εεξξίίσσωωσσηηςς))

Ένας άλλος τρόπος για να διαπιστώσουμε αν η εξίσωση 0f x έχει ρίζα σε

ένα διάστημα Δ είναι η εύρεση του συνόλου τιμών f της f . Συγκεκριμένα:

Αν ο αριθμός 0 f τότε η εξίσωση 0f x είναι αδύνατη στο Δ.

Αν ο αριθμός 0 f τότε υπάρχει τέτοιο ώστε 0f , δηλαδή ο

είναι ρίζα της εξίσωσης 0f x . Αν επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη

στο Δ, ο αριθμός είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης 0f x στο Δ.

Θυμίζουμε ότι και με τα θεωρήματα Bolzano και Rolle διαπιστώνουμε αν μια εξίσωση έχει ρίζα σε ένα διάστημα Δ.

Επίλυση εξίσωσης της μορφής f x g x

Θεωρούμε τη συνάρτηση h x f x g x ή την

1f x

h xg x

εάν η

0g x ή την ln lnh x f x g x εάν , 0f x g x , με x A όπου

και κατόπιν βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας της h . Στην

συνέχεια βρίσκουμε το σύνολο τιμών της σε καθένα από τα υποδιαστήματα και διαπιστώνουμε εάν υπάρχει ρίζα.

Παράδειγμα 25 Αν η συνάρτηση :f είναι γνησίως μονότονη στο να δείξετε ότι η

εξίσωση 0f x έχει το πολύ μία ρίζα στο .

Λύση

Υποθέτουμε ότι η εξίσωση 0f x έχει στο δύο ρίζες, τις 1 2 .

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε 1 2 1 2 0 0f

f f

άτοπο.

Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο τότε 1 2 1 2 0 0f

f f

άτοπο.

Άρα η εξίσωση 0f x έχει το πολύ μία ρίζα στο .

Παράδειγμα 26 Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις

(α) 2ln 2x x x

(β) ln 1 1x

e x



f

f

-1/3 -1

Λύση

(α) Θεωρούμε την εξίσωση 2 ln 2f x x x x για 0x

21 2 1

2 1 0x x

f x xx x

για κάθε 0x

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, . Προφανής ρίζα της εξίσωσης είναι η

1x η οποία είναι μοναδική δίοτι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη.

(β) Θεωρούμε την εξίσωση ln 1 1xf x e x για 1x

1

01

xf x ex

για κάθε 1x

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 1, . Προφανής ρίζα της εξίσωσης είναι η

0x η οποία είναι μοναδική δίοτι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. Παράδειγμα 27

Να δείξετε ότι η εξίσωση ln 2 0x x έχει μοναδική ρίζα στο 0, .

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση ln 2f x x x με πεδίο

ορισμού το 0,A . Η f είναι παραγωγίσιμη

και για κάθε x A είναι 1 1

1x

f xx x

. Το


στον παρακάτω πίνακα: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι:

0

lim , lim ,xx

f A f x f x

.

Επειδή 0 f A έπεται ότι υπάρχει 0, τέτοιο ώστε 0f και επειδή

επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, , ο αριθμός είναι μοναδική ρίζα

της εξίσωσης 0f x .


Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 22 1 0x x x έχει μοναδική ρίζα στο .

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 22 1f x x x x με πεδίο ορισμού A . Η f είναι


23 4 1f x x x . Το πρόσημο της f και η

μονοτονία της f φαίνονται στον διπλανό πίνακα:

Αν 1 , 1 , 2

11,

3

και 3

1,

3

τότε:

f

f

0

+



f

f

2 0

1 lim , 1 , 1x

f f x f

. Επειδή ο 10 f έπεται ότι η εξίσωση

0f x είναι αδύνατη στο 1 , 1 .

2

1 31, 1 , 1

3 27f f f

. Επειδή ο 10 f έπεται ότι η εξίσωση

0f x είναι αδύνατη στο 2

11,

3

.

3

1 31, lim ,

3 27xf f f x

. Επειδή ο 30 f έπεται ότι υπάρχει

1,

3

τέτοιο ώστε 0f και επειδή επιπλέον η f είναι γνησίως

αύξουσα στο 3 έπεται ότι η εξίσωση 0f x έχει μοναδική ρίζα στο 3 τον

αριθμό .

Άρα η εξίσωση 3 22 1 0x x x έχει στο μοναδική ρίζα τον αριθμό .


Να βρείτε για ποιες τιμές του 8

03

η εξίσωση 3 22 6 3 0x x έχει:

(α) Τρεις ρίζες στο (β) Μοναδική ρίζα στο Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 22 6 3f x x x με πεδίο ορισμού το A . Η f είναι


26 12 6 2f x x x x x .


φαίνονται στον διπλανό πίνακα:

Αν 1 ,0 , 2 0,2 και 3 2, τότε:

1 lim , 0 ,3x

f f x f a

2 2 , 0 3 8,3f f f a a

3 2 , lim 3 8,x

f f f x a

(α) Αν 8

3 8 0 03

a a τότε ο αριθμός 0 ανήκει στα διαστήματα 1f , 2f ,

3f . Επομένως υπάρχουν 1 ,0 , 2 0,2 και 3 2, τέτοια ώστε

1 2 3 0f f f . Επομένως η εξίσωση 0f x που είναι 3ου βαθμού έχει

στο τρεις ρίζες άνισες 1 2 3 .



f

f

1 0

(β) Αν 8

3 8 03

a a τότε ο αριθμός 0 ανήκει μόνο στο διάστημα 1f που

σημαίνει ότι υπάρχει ,0 τέτοιο ώστε 0f και επειδή επιπλέον η f είναι

γνησίως αύξουσα στο 1 έπεται ότι ο είναι μοναδική ρίζα της 0f x στο 1 .

Επειδή ο αριθμός 2 30 f f έπεται ότι η εξίσωση είναι αδύνατη στο 0, .

Άρα όταν 8

3 η εξίσωση 0f x έχει στο μοναδική ρίζα.

Παράδειγμα 30 Να λύσετε τις εξισώσεις:

(α) 2lnx x x

(β) 1x x

e xe

(γ) x

ee x Λύση

(α) Η εξίσωση 2 lnx x x ορίζεται όταν 0x . Θεωρούμε τη συνάρτηση

2 lnf x x x x με πεδίο ορισμού το 0,A . Είναι 1 0f που σημαίνει ότι ο

αριθμός 1 είναι ρίζα της εξίσωσης 0f x . Η f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε

0,x είναι 21 2 1

2 1x x

f x xx x

. Το


στον παρακάτω πίνακα:

Για κάθε 0,1x ισχύει

1 1 0f

x f x f f x

. Επομένως η

εξίσωση 0f x είναι αδύνατη στο 0,1 .

Για κάθε 1,x ισχύει 1 1 0f

x f x f f x

. Επομένως η εξίσωση

0f x είναι αδύνατη στο 1, .

Άρα η εξίσωση 2 lnx x x έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό 1.

(β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 1x xf x e xe με πεδίο ορισμού το A . Είναι

0 0f που σημαίνει ότι ο αριθμός 0 είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης 0f x . Η

f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x είναι xf x xe . Το πρόσημο της f και

η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω

πίνακα:


0 1 0f

x f x f f x

. Επομένως η

εξίσωση 0f x είναι αδύνατη στο ,0 .

f

f

0

_ +



f

f

e 0

Για κάθε 0,x ισχύει 0 1 0f

x f x f f x


0f x είναι αδύνατη στο 0, .

Άρα η εξίσωση 1x xe xe έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό 0.

(γ) Για κάθε x ισχύει 0

x

ee . Επομένως η εξίσωση x

ee x είναι αδύνατη όταν

,0x . Θα εξετάσουμε αν η εξίσωση x

ee x έχει

ρίζες στο διάστημα 0, . Θεωρούμε τη συνάρτηση

x

ef x e x με πεδίο ορισμού το 0,A . Η f

είναι παραγωγίσιμη και για κάθε 0,x είναι

x

ee ef x

e

. Είναι 0f e που σημαίνει ότι ο e είναι προφανής ρίζα της

εξίσωσης 0f x . Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον

διπλανό πίνακα:

Για κάθε 0,x e ισχύει 0f

x e f x f e f x


0f x είναι αδύνατη στο 0,e .

Για κάθε ,x e ισχύει 0f

x e f x f e f x


0f x είναι αδύνατη στο ,e .

Άρα η εξίσωση 0f x έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό e .


Αν , να δείξετε ότι 5 5e e .

Λύση

Θεωρούμε την συνάρτηση 5 xf x x e με πεδίο ορισμού το A . Η f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x ισχύει 45 xf x x e . Παρατηρούμε ότι είναι

0f x για κάθε x δηλαδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και

επομένως η f είναι 1 1 . Άρα: 5 5e e f f .


(α) Να δείξετε ότι η εξίσωση 22

xx έχει τρεις ρίζες άνισες.

(β) Να λύσετε την εξίσωση 2 3 5x x x .

Λύση

(α) Είναι 2 2

22 1 1 02 2

x

x x

x xx



f

f

2/ ln 2 0

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

12x

xf x με πεδίο ορισμού το A . Η συνάρτηση f

είναι παραγωγίσιμη για κάθε x ισχύει 2 ln

2x

x xf x

.

Είναι 2 0f και 0f x . Επομένως η εξίσωση

0f x έχει προφανείς ρίζες τους αριθμούς 2 και

4. Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f

φαίνονται στο διπλανό πίνακα:

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2 / ln 2 . Επομένως η εξίσωση 0f x έχει

στο διάστημα 0,2 / ln 2 μοναδική ρίζα τον αριθμό 2.

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 2 / ln 2, . Επομένως η εξίσωση 0f x έχει

στο διάστημα 2 / ln 2, μοναδική ρίζα τον αριθμό 4.

Αν ,0 τότε 0 , lim 1,x

f f f x

. Επειδή ο 0 f έπεται

ότι υπάρχει ,0 τέτοιο ώστε 0f και επιπλέον η f είναι γνησίως

φθίνουσα στο ,0 έπεται ότι η εξίσωση 0f x έχει στο ,0 μοναδική

ρίζα τον αριθμό .

Επομένως η εξίσωση 0f x έχει στο τρεις ρίζες.

(β) Είναι 2 3

2 3 5 1 05 5

x x

x x x

. Θεωρούμε τη συνάρτηση

2 3

15 5

x x

f x

με πεδίο ορισμού A . Είναι 1 0f που σημαίνει ότι η

εξίσωση 0f x έχει προφανή ρίζα τη 0 1x . Η f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε

x ισχύει 2 2 3 3

ln ln 05 5 5 5

x x

f x

.

Επειδή είναι 0f x για κάθε x έπεται ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο

. Επομένως η εξίσωση 0f x έχει στο έχει μοναδική ρίζα την 0 1x .


(α) Να δείξετε ότι για κάθε 0,x ισχύει ln x x

(β) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2

1 2 lnx x x έχει το πολύ μια ρίζα στο 0,

Λύση

(α) Θεωρούμε τη συνάρτηση lnf x x x με πεδίο ορισμού το 0,A . Η f

είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x A είναι 1 1

1x

f xx x

. Το πρόσημο της f




f

f

1 0

Για κάθε 0,1x ισχύει:

1 1f

x f x f

.


1 1f

x f x f

.

Επομένως για κάθε 0,x ισχύει 1 ln 1 0f x f x x δηλαδή ln x x

για κάθε 0x .

(β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

1 2 lnf x x x x με πεδίο ορισμού το 0,A .

Η f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε 0,x είναι 2 ln 0f x x x που

σημαίνει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, . Υποθέτουμε ότι η εξίσωση

0f x έχει στο 0, δύο ρίζες, τις 1 2 1 2 0 0f

f f

άτοπο.

Επομένως η εξίσωση 0f x έχει στο 0, το πολύ μία ρίζα.


Δίνεται ότι η συνάρτηση 2 2x

f x x e x με 1 .

(α) Να δείξετε ότι 1f x για κάθε x .

(β) Να βρείτε τη μονοτονία της f .

(γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 0f x έχει μοναδική ρίζα στο .

Λύση (α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x ισχύει:

2 1x x xf x x e e e x

Θέλουμε να δείξουμε ότι για κάθε x ισχύει:

1 1 1 1 1 0x xf x e x e x (1)

Θεωρούμε τη συνάρτηση 1 1xh x e x με πεδίο

ορισμού το . Η h είναι παραγωγίσιμη και για κάθε

x ισχύει 1x x xh x e x e xe . Το πρόσημο

της h και η μονοτονία της h φαίνονται στον πίνακα.

Για κάθε ,0x ισχύει:

0 0 0h

x h x h h x

Για κάθε 0,x ισχύει: 0 0 0h

x h x h h x

Επομένως για κάθε x ισχύει 0 1 1 0xh x e x δηλαδή η (1).

(β) Επειδή 1 1 0 είναι 0f x για κάθε x που σημαίνει ότι η f

είναι γνησίως αύξουσα στο .

h

h

_ +

0



(γ) Είναι 0 0f και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο έπεται ότι η

εξίσωση 0f x έχει μοναδική ρίζα τη 0 0x .

Παράδειγμα 35 Δίνεται ότι η συνάρτηση :f είναι παραγωγίσιμη και η συνάρτηση f

είναι γνησίως μονότονη στο . Να δείξετε ότι οποιαδήποτε εφαπτομένη της

fC έχει με αυτή ένα μόνο κοινό σημείο.

Λύση

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο έπεται ότι σε κάθε σημείο ,M f της

fC ορίζεται εφαπτόμενη. Η εφαπτόμενη της fC στο σημείο ,M f έχει

εξίσωση:

y f f x y f x f

Για να έχει η fC με την ένα μόνο κοινό σημείο πρέπει η εξίσωση:

f x f x f

να έχει μόνο μία ρίζα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση h x f x f x f με πεδίο ορισμού το .

Είναι 0h , δηλαδή ο είναι ρίζα της εξίσωσης 0h x . Υποθέτουμε ότι η

εξίσωση 0h x έχει στο και άλλη μία ρίζα εκτός της , τη και π.χ . Για

την h έχουμε:

Η h είναι συνεχής στο ,

Η h είναι παραγωγίσιμη στο , με h x f x f

0h h

Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει , τέτοιο ώστε:

0h f f

άτοπο διότι η f είναι γνησίως μονότονη δηλαδή είναι 1 1 και αφού

f f . Επομένως η και η fC έχουν μόνο ένα κοινό σημείο.

ΜΜέέθθοοδδοοςς 99 ((ΕΕύύρρεεσσηη μμοοννοοττοοννίίααςς ααππόό δδοοσσμμέέννεεςς σσχχέέσσηη))

Παράδειγμα 36 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :f για την οποία ισχύει:

31

xf x f x e

(1) για κάθε x

(α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο .

(β) Να λύσετε την εξίσωση ln 1f x f x

Λύση (α) Από την (1) παραγωγίζοντας έχουμε ότι:



3 2

2

2

1 3

3 1 03 1

x x

xx

f x f x e f x f x f x e

ef x f x e f x

f x

Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα.

(β) Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι και 1 1 . Οπότε για κάθε 0x ισχύει:

ln 1 ln 1 ln 1 0f x f x x x x x (2)

Προφανής ρίζα της εξίσωσης (2) είναι η 0 1x

Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική. Θεωρούμε τη συνάρτηση ln 1g x x x για

0x .

Είναι 1

1 0g xx

για κάθε 0x . Η g είναι γνησίως αύξουσα στο 0, οπότε

και 1 1 άρα η 0 1x είναι μοναδική ρίζα της

ΑΑ σσ κκ ήή σσ εε ιι ςς ππ ρρ οο ςς λλ ύύ σσ ηη

Μέθοδος 1

111... Να μελετήσετε την μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων:

(α) 3 26 9 1f x x x x

(β) 2ln 1f x x

(γ) 2 7

4 4ln2 2

xf x x x

(δ) 2 lnf x x x

(ε) 2ln lnf x x x x x x

(ζ) 2

2 3f x

x x


(α) 2 , 0,2f x x x x

(β) 2ln 1f x x x

(γ) 1

xf x x e

(δ) 1

l xf x x e

(ε) 2

1 lnf x x x

(ζ) 2x xf x x e


(α) 2 5 6f x x x

(β) , 0,11

x

x

ef x x

e

(γ) 32 23f x x x

(δ) 2 , 0,f x x x x

(ε) ln

, 0ax

f x ax

(ζ) 4 22 5, 2,3f x x x x


(α) 1 2f x x

(β) 21f x x x

(γ) 2 3 1x xf x e e x

(δ) 2ln 3 2f x x x x

(ε) ln 1 2 1xf x e x

(ζ) 3 3 3f x x x x




(α) , 0,2x

x xf x x

e

(β) 3 1 xf x x e

(γ) , ,xf x e x

(δ) , 0,2f x x x x x


(α) 2 , 0,2

f x x x x

(β) , 0,f x x x x

(γ) 2 , 0,f x x x x

(δ) 2 2 3, ,f x x x x

(ε) 2

2 1xf x xe x

(ζ) 2

2 ln2

xf x x x x


(α) 2

2

6 30 4

10 16 4

x x xf x

x x

(β) 0

ln

0 0

xx

f x x x

x

(γ) 2

1

4 2 1

xe x e xf x

x x x

(δ) 2

1

0

0 0

xe xf x

x

(ε) 2

2

5 2

3 2

x xf x

x x x

(ζ) 2 1 2f x x x

Μέθοδος 2

888... Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση

2ln 2 2f x x x x να είναι

γνησίως φθίνουσα.


3 6 2f x x x x να είναι

(α) γνησίως φθίνουσα. (β) γνησίως αύξουσα.


2 2ln , 0f x x x να είναι

γνησίως αύξουσα.


2 2ln 1f x x x 0 να

είναι γνησίως φθίνουσα στο .

111222... Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η συνάρτηση

3 2 3 2008f x x x x είναι

γνησίως αύξουσα στο .

111333... Να δείξετε ότι η συνάρτηση

3 2

2 1 33 2

x xf x x

είναι γνησίως αύξουσα για κάθε .

Μέθοδος 3

111444... Δίνεται η συνάρτηση

3 2 1 1f x x x . Να

μελετήσετε της f ως προς την

μονοτονία, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.


f x x x x , 0,2

x

. Να

μελετήσετε την f ως προς την

μονοτονία, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.



111666... Να βρείτε το πρόσημο της

συνάρτησης lnf x x vx v ,

*v στο διάστημα 0, .


21ln 4

1f x x

x

.

(α) Να εξετάσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία, να βρείτε τις ρίζες και το προσημό της. (β) Να λύσετε την ανίσωση

241 xx e .

111888... Έστω μια συνάρτηση : ,f

με 0f f , η f είναι

συνεχής στο , και 0f x

για κάθε ,x . Να βρείτε το

πρόσημο της f .

111999... (α)Έστω μια συνάρτηση : ,f

με συνεχή πρώτη παράγωγο για την

οποία ισχύουν 0f f και

0f x για κάθε ,x . Να

δείξετε ότι 0f x για κάθε x

(β) Να δείξετε ότι 22 ln 1x x x για κάθε 1x .


για την οποία ισχύει f f

και 0f x για κάθε ,x .

Να αποδείξετε ότι 0f f .

222111... Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές

παραγωγίσιμη στο 0,2 με

0f x , για κάθε 0,2x και

1 0f . Να αποδείξετε ότι:

(α) 0 0 2f f

(β) 1f x f , για κάθε 0,2x

222222... Δίνεται συνάρτηση f , δύο φορές

παραγωγίσιμη στο , , με

0f f και 0f x ,

για κάθε ,x . Να αποδείξετε

ότι 0f x , για κάθε ,x .


με 0f f και 0f x

για κάθε ,x . Να δείξετε ότι:

(α) Υπάρχει μοναδικό ,

τέτοιο, ώστε 0f

(β) f στο , και f στο

,

(γ) 0f x για κάθε ,x .

Μέθοδος 4

222444... Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης

6 24 3 1,xf x e x x x x .

222555... Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση

36 6f x x x x .

222666... Να δείξετε ότι η συνάρτηση

x

f xx

είναι γνησίως αύξουσα

στο 0, .

222777... Να μελετηθεί η μονοτονία της

συνάρτησης 22 ln 1f x x x x .


συνάρτησης 22 lnf x x x x .


συνάρτησης ln

1

xf x

x

.




συνάρτησης ln 1x

f xx

.


συνάρτησης 2 ln

2

x xf x

x

.


συνάρτησης x

f xx

στο

, .

Μέθοδος 5

333333... Να λύσετε τις ανισώσεις:

(α) 5 47 48x x (β) 1 3xe x

(γ) 2 8ln 8 7x x x (δ) ln 1 1xx x e

333444... Να δείξετε ότι για κάθε x A ισχύει:

(α) 1,x xe xe A

(β) 2 1 2 ln , 1,x x x A

(γ) 1

ln , 0,x

x Ax

(δ) 2

ln 1 ln 2 , ,08 2

x x xe A

(ε) 1, 0,2

x x x A

(ζ) 3

, 0,6

xx x A

(η) 1

1x xx

για κάθε

0,2

x

(θ) x x για κάθε 0,2

x

(ι) 33 3x x x για κάθε

0,2

x

.

333555... Να δείξετε ότι για κάθε x A ισχύει:

(α) ,xe ex A

(β) , 0,x ee x A

(γ) ln , 0,e x x A

(δ) 2 2,x xe e x A

(ε) 1

, 0,1

xe Ax

(ζ) 1 ln 1 , 0,xe x A

333666... Να δείξετε ότι για κάθε 0,x

ισχύουν:

(α) 2

1 12

x xx e x

(β) 1 1 ln 1xe x x

333777... Δίνονται οι συναρτήσεις

ln 1f x x x και

2

ln 12

xg x x x .

(α) Να μελετήσετε τις ,f g ως προς

το πρόσημο. (β) Για κάθε 0x να δείξετε ότι:

22

ln 12

x xx x

.

333888... Δίνεται η συνάρτηση 1

1

xef x

x

.

(α) Να μελετήσετε την f ως προς

την μονοτονία. (β) Αν 1 να δείξετε ότι

1

1e



333999... Δίνεται η συνάρτηση 2

xf x

x

,

0,2x .

(α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την f .

(β) Αν , 0,2

με να

δείξετε ότι: 2

2


ln ln

ln2

x x xf x

x x

,

0x . (α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την f .

(β) Αν να δείξετε ότι:

ln ln ln2

.


1

2 ln1

xf x x

x

, 0x .


(β) Αν 1 να αποδείξετε ότι:

ln 2

.


ln 1

ln

xf x

x

, 2x .


(β) Να δείξετε ότι:

2ln 1 ln 1 lnx x x , 2x .


2 2

ln ln2

xf x x

x

, με 0

.


(β) Αν να δείξετε ότι: 2 2

ln2

.

444444... Αν 0 να δείξετε ότι:

ln ln2

444555... (α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση

ln

ln 1

xf x

x

είναι γνησίως

αύξουσα στο 0, .

(β) Αν 0 , να δείξετε ότι

ln ln

1 1

.

444666... Αν 02

, να δείξετε ότι:

2

.

444777... Αν ισχύει

e e , να

δείξετε ότι .

444888... Να δείξετε ότι για κάθε , με

0 ισχύει 1

1e

444999... Έστω :f μια παραγωγίσιμη

συνάρτηση με συνεχή παράγωγο, η οποία δεν μηδενίζεται στο . (α) Να αποδείξετε ότι η f είναι

γνησίως μονότονη στο (β) Να αποδείξετε ότι

f x f x f x

Μέθοδος 6

555000... Η συνάρτηση :f είναι

παραγωγίσιμη και για κάθε x



ισχύει 23f x x . Αν είναι

0 0f , να δείξετε ότι:

(α) 3f x x για κάθε ,0x

(β) 3f x x για κάθε 0,x

555111... Δίνεται συνάρτηση f ,

παραγωγίσιμη στο , για την

οποία ισχύει 22 xf x e , x . Αν

η γραφική παράσταση της f

διέρχεται από το σημείο 0,1M , να

αποδείξετε ότι:

(α) 2xf x e για κάθε 0x

(γ) 2xf x e για κάθε 0x

555222... Έστω ,f g δύο συναρτήσεις

παραγωγίσιμες στο για τις οποίες ισχύει ότι

2 1xg x f x x e για

κάθε x . Να δείξετε ότι:

0 0g x f f x g για κάθε

0x

555333... Έστω η συνάρτηση :f για

την οποία ισχύει xf x e x για

κάθε x . Αν 0 1f να δείξετε

ότι 2

2

xxf x e για κάθε 0x .

555444... Δίνεται συνάρτηση g

παραγωγίσιμη στο , για την

οποία ισχύει 45g x x , για κάθε

0x . Να υπολογίσετε το όριο

limx

g x

.

555555... Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :f , για την οποία ισχύει

f x x , για κάθε x . Να

αποδείξετε ότι 4 2 6f f .

555666... Δίνονται οι παραγωγίσιμες

συναρτήσεις , : ,f g , για

τις οποίες ισχύει ότι f x g x

για κάθε ,x και

f g . Να αποδείξετε ότι η

γραφική παράσταση της f

βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g στο διάστημα

, .

555777... Έστω μια συνάρτηση :f για

την οποία ισχύει 2f x f x για

κάθε x και 0 1f . Να δείξετε

ότι 2xf x e για κάθε 0x .

555888... Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές

παραγωγίσιμη στο , , 0 , με

0f x , για κάθε ,x ,

f και 2

f

. Να

αποδείξετε ότι f x x

, για κάθε

,x .

555999... Έστω μια συνεχής συνάρτηση

: 0,f η οποία είναι

παραγωγίσιμη στο 0, . Αν

0 1f , 1f x και 0f x

για κάθε 0x , να δείξετε ότι:

1 1x f x xf x για κάθε

0x .

666000... Η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο διάστημα 0,2

με συνεχή παράγωγο στο 0,2 . Αν

0 0f και υπάρχει 0 τέτοιο,

ώστε f x για κάθε 0,2x ,



να αποδείξετε ότι f x για

κάθε 1,2x .

666111... Η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο με 0 0f

και 0f x f x για κάθε x .

Να αποδείξετε ότι 0x f x για

κάθε 0x .


: 0,f για την οποία ισχύει

f x

f xx

για κάθε 0x . Να

δείξετε ότι 0f x για κάθε 0x .

666333... Αν xg x x g x για κάθε

x , να αποδείξετε ότι

x

g xx

( )

xg x

x

για κάθε

0x .

666444... Έστω μια συνάρτηση

: 0,f με 0f . Αν για

κάθε 0x ισχύει

2xf x f x x x να δείξετε

ότι f x x x για κάθε x .


: 0,2

f

με 0 1f . Αν

ισχύει

xf x x x e x f x

για κάθε 0,2

x

, να δείξετε ότι

αν xf x e x , για κάθε

0,2

x

.

666666... Δίνεται η συνάρτηση :f με

0f x για κάθε x . Να

αποδείξετε ότι τότε ισχύει:

f x f x f για

κάθε x .

666777... Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

: 1,f , για την οποία ισχύει

2 xx f x f x x e , για κάθε

1x και 1f e . Να αποδείξετε

ότι xf x x e , για κάθε 1x .

666888... Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις

, : 0,f g με 0 0 1f g ,

0g x και f x g x g x για

κάθε 0x . Να δείξετε ότι

1 lnf x g x για κάθε x .

666999... Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις

, : 1,f g για τις οποίες

ισχύει x f x xg x f x για

κάθε 1x και 1 1f g . Να

δείξετε ότι f x xg x για κάθε

1x .

777000... Δίνεται συνάρτηση f , δύο φορές

παραγωγίσιμη στο με 0f x

και 2

0f x f x f x , για

κάθε x . Να αποδείξετε ότι:

(α) Η συνάρτηση f

f


αύξουσα. (β) Για κάθε 1 2,x x ισχύει

1 21 2

2

x xf f x f x

Μέθοδος 7

777111... Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f όταν:



(α) 23 ln 1f x x x

(β) 2 1

4 1

x xf x

x x

(γ) 1

xf x xe

(δ)

1

xef x

x

777222... Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f όταν:

(α) 23 3 2 1x xf x

(β) 1 ln 2f x x x

(γ) ln 1

1

xf x

x

στο 0, 1e

(δ) 2

2

6 3

6 11

x xf x

x x

777333... Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:

(α) x x

x x

e ef x

e e

(β) ln 2008f x x x

(γ) 2 1

xf x

x

(δ) 4 4 6f x x x

777444... Δίνεται συνάρτηση f τρεις φορές

παραγωγίσιμη στο , με

0 , για την οποία ισχύει ότι

f f , 2f ,

f και 0f x για κάθε

,x . Να βρείτε το σύνολο

τιμών της συνάρτησης

g x f x x

Μέθοδος 8

777555... Να λύσετε τις εξισώσεις:

(α) 2ln 1 0x x

(β) 23 2 ln 5x x x

(γ) 1 2 0xe x (δ) ln 2 2x x

(ε) 3 2x x

(ζ) 22 2 2xe x x

777666... Να δείξετε ότι η εξίσωση

2 0x x x έχει στο 0,2

μοναδική ρίζα.

777777... Να δείξετε ότι η εξίσωση 2xxe

έχει στο διάστημα 0,1 μοναδική

ρίζα.

777888... Να δείξετε ότι η εξίσωση ln xx e έχει μοναδική ρίζα για κάθε

777999... Να δείξετε ότι η εξίσωση 33 2 0x x έχει στο


888000... Να δείξετε ότι η εξίσωση 2ln

0x

xx

έχει το πολύ μία ρίζα.

888111... Να δείξετε ότι η εξίσωση

1 3xx e x έχει στο 0,1



1

lnf x xx

με 2,x e e . Να

δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό

2,e e τέτοιο ώστε 3

2f .

888333... Να δείξετε ότι για κάθε 0,1

υπάρχει μοναδικό 2,1 τέτοιο

ώστε 1 .



888444... Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 3 0, 2x x έχει μια μόνο

ρίζα στο 1,1 .

888555... Να λύσετε την εξίσωση

2ln 1 6 0x x x .

888666... Να λύσετε τις εξισώσης

(α) 2

2

1ln

1e e

.

(β) 2 1 1 2 0x x xe e x

(γ) 2 2x

e e x

(δ) 1x x , 0,2

888777... Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μια μόνο ρίζα.

(α) 1 1 lnxe e x e

(β) 2 0xe x (γ) ln 3x x

(δ) 5 44 5 3 0x x

888888... Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 7 0xx έχει το πολύ μία ρίζα στο .

888999... Να δείξετε ότι η εξίσωση 10 10 0x x με 9, είναι

αδύνατη στο .

999000... Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

(α) 3 2 5 4x x x x

(β) 10 9 8 7x x x x

(γ) 2 3x xx

999111... Αν για κάθε , 0 ισχύει 3 3 ln ln να δείξετε ότι

.

999222... Αν για κάθε , ισχύει

3 3 3 3ln 1 ln 1 να

δείξετε ότι .

999333... Οι συναρτήσεις ,f g είναι

παραγωγίσιμες στο και για κάθε

x είναι 0f x και 0g x .

Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των ,f g έχουν το

πολύ ένα κοινό σημείο.

999444... Δίνεται η συνάρτηση 9 xf x x e

(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 1

(β) Να λύσετε την εξίσωση 9 1xx e

(γ) Να λύσετε την ανίσωση 9 1xx e e

999555... Έστω η συνάρτηση 3 1f x x x


τη μονοτονία. (β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

0f x έχει μοναδική ρίζα στο

0,1

(γ) Αν :g μια συνάρτηση για

την οποία ισχύει

3 2 3 1g x g x g x x x

για κάθε x με , , και 2 4 0 να αποδείξετε ότι η

εξίσωση 0g x έχει ακριβώς μια

πραγματική ρίζα στο 0,1 .

999666... Δίνεται η συνάρτηση xf x x e .


τη μονοτονία (β) Να λύσετε τις εξισώσεις

(1) 3 2 3x x xe e x x

(2) 2 1 1 2 0x x xe e x

(γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 1 2 2xe x




2 4

23 3

x

xf x

.


την μονοτονία (β) Να λύσετε την εξίσωση:

3 2 4 3 3 6x x x

999888... (α) Να μελετήσετε την μονοτονία της συνάρτησης

6 8

10 10

x x

f x

(β) Να λύσετε την εξίσωση

6 8 10x x x .


2 1 lnf x x x .

(α) Να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα. (β) Να λύσετε την εξίσωση:

ln 2

, 0,2

.

(γ) Να λύσετε την εξίσωση

17 3 2008f x f x f x f x

111000000... Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση

xf x x , 0 1 και να

βρείτε τις τιμές του που ικανοποιεί τη σχέση:

2 4 2 2 4 2

111000111... Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις , :f g με

0 0f g . Αν

2 2 2 2 xf x x x g x e για

κάθε x να αποδείξετε ότι:

(α) Οι ,f gC C έχουν ακριβώς ένα

κοινό σημείο.

(β) Οι ,f gC C έχουν κοινή

εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο.

111000222... Έστω η συνάρτηση

ln 2xf x e x x . Να δείξετε ότι

υπάρχει ένα μόνο σημείο M της fC

με τετμημένη 0,1 ώστε η

εφαπτομένη της fC σε αυτό να

είναι παράλληλη στον άξονα x x .

111000333... Αν η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο διάστημα 0,1

με 1 1e f x και 1f x για

κάθε 0,1x , να δείξετε ότι

υπάρχει ένας μόνο αριθμός

0 0,1x τέτοιος ώστε

0

0 0

xf x x e

111000444... Αν η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιμη στο 1,e με

0 1f x και 0f x για κάθε

1,x e , να δείξετε ότι υπάρχει ένας

μόνο αριθμός 1,x e τέτοιος ώστε

0 0 0 0lnf x x x x .

Μέθοδος 9

111000555... Έστω η συνάρτηση :f

παραγωγίσιμη στο με 0f x

για κάθε x αν ισχύει:

3 3 2ln 2 1f x f x x x x για

κάθε x τότε: (α) Να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα στο . (β) Να λύσετε την εξίσωση

2ln 1f x f x


η οποία είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη και ισχύει 0f x

για κάθε ,x . Να δείξετε ότι η



συνάρτηση f x f

g xx

είναι γνησίως αύξουσα στο , .

111000777... Δίνεται η συνάρτηση f

παραγωγίσιμη στο 0, με

0 0f . Αν 0f x για κάθε

0,x , να δείξετε ότι η

f x

g xx

, 0x είναι γνησίως

αύξουσα στο 0, .

111000888... Δίνεται συνάρτηση f , ορισμένη στο

, με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις

2f x f x και 0f x , για

κάθε x . (α) Να αποδείξετε ότι η f είναι

γνησίως μονότονη. (β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

0f x έχει μοναδική ρίζα.

(γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης

f xg x

f x

, στο

σημείο που τέμνει τον άξονα x x , σχηματίζει με αυτόν γωνία 45ο.

111000999... Δίνεται συνάρτηση f ,

παραγωγίσιμη στο , που ικανοποιεί τη σχέση

1

f xf x e x

για κάθε

x και 0 0f .

(α) Να εκφράσετε την f ως

συνάρτηση της f .

(β) Να αποδείξετε ότι

2

xf x x f x .

111111000... Έστω μια συνάρτηση :f για

την οποία ισχύει

1 1f x f x για κάθε x .

Αν η f είναι παραγωγίσιμη με

συνεχή παράγωγο και ισχύει

0f x για κάθε x , να λύσετε

την εξίσωση 0f x .

111111111... Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση

:f για την οποία ισχύει:

3 1 xf x f x e για κάθε

x .

(α) Να εξετάσετε την f ως προς

την μονοτονία. (β) Να λύσετε την ανίσωση

2 2f x f x

111111222... Αν δίνεται ότι οι συνεχείς

συναρτήσεις , : 0,1f g είναι

παραγωγίσιμες στο διάστημα 0,1

με 0 0 0f g και 0f x ,

0g x για κάθε 0,1x , να


(α) Αν η συνάρτηση f γνησίως

αύξουσα στο 0,1 να δείξετε ότι η

συνάρτηση f x

x είναι γνησίως

αύξουσα στο 0,1 .

(β) Αν η

f x

g x


φθίνουσα στο διάστημα 0,1 τότε

και η

f x

g x είναι γνησίως

φθίνουσα στο 0,1 .

111111333... Αν η συνάρτηση : 0,f

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και

ισχύει 0f f x f x για



κάθε 0x και 1 0f . Να


(α) Η f είναι γνησίως αύξουσα.

(β) 1 1f

(γ) f f x x για κάθε 0x

(δ) lnf x x , για 0x

Διάφορες εφαρμογές

111111444... Δίνεται συνάρτηση :f δύο

φορές παραγωγίσιμη για την οποία

ισχύει 0f x για κάθε x .

Να αποδείξετε ότι:

1 1 1f x f x f για

κάθε x .


:f για την οποία ισχύει

0f x για κάθε x , και

2

20lim 4

4 2x

xf x x

x

.

(α) Να βρείτε τις τιμές 0f και

0f

(β) Να μελετήσετε την f ως προς

την μονοτονία.


: 0,f για την οποία

ισχύει 1 3f και

2 lnxf x f x x x για κάθε

0x .

(α) Να βρείτε τον τύπο της f





ισχύει 1

ln 2 ln4

f και

22

x f x x f xf x e e

για

κάθε 0x .

(α) Να βρείτε τον τύπο της f





ισχύει 1 1f και 22 1xf x x

για κάθε 0x . (α) Να αποδείξετε ότι

2 lnf x x x για κάθε 1x

(β) Να λύσετε την εξίσωση

2 lnf x x x



ισχύει 0 0f και

2 1x f x x για κάθε

0x . (α) Να αποδείξετε ότι

2x f x x x για κάθε

0x

(β) Να βρείτε το 3

limx

f x

x



ισχύει 2 0f , 0 0f και

0f x για κάθε 0x .


την μονοτονία. (β) Να λύσετε τις ανισώσεις

(1) 2 1 0f x

(2) 5 2 1 0f x f x

(γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει

1,3 ώστε 24 3f



111222111... Δίνεται συνάρτηση : 0,f

δύο φορές παραγωγίσιμη για την

οποία ισχύει 1f x για κάθε

0x και 2

20lim 4

4 2x

xf x x

x

(α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο

της 0, 0A f .

(β) Να αποδείξετε ότι 2

2

xf x

για κάθε 0x (γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

3 5 12x f x x έχει μία

τουλάχιστον λύση στο 2,4 .


για την οποία ισχύει

και για

κάθε . (α) Να βρείτε τον τύπο της

(β) Να μελετήσετε την ως προς

τη μονοτονία (γ) Να αποδείξετε ότι (δ) Να λύσετε την ανίσωση

: 0,f

1 0f 2 1x f x xf x

0x

f

f

ee

2 3 5

5 2 3x x

x x

Documents

Μονοτονία Συνάρτησης