БАГТСАН БА БАГТААСАН

ОЛОН ӨНЦӨГТ

БАГТСАН ОЛОН ӨНЦӨГТ

Хэрэв гүдгэр олон өнцөгтийн орой бүхэн нэг тойрог дээр оршиж байвал түүнийг тойрогт багтсан олон өнцөгт гэнэ. Харин тойргийг нь олон өнцөгтийг багтаасан тойрог гэнэ.

А3

А2

А1

А4

А5

А6

А7

А8

БАГТААСАН ОЛОН ӨНЦӨГТ

Хэрэв гүдгэр олон өнцөгтийн тал бүр нэгэн тойрогт шүргэсэн байвал түүнийг тойргийг багтаасан олон өнцөгт гэнэ. Харин тойргийг нь олон өнцөгтөд багтсан тойрог гэнэ

Багтаасан олон өнцөгтийн аль ч талын шүргэлтийн цэгт татсан радиус нь уул талдаа перпендикуляр байна.

ЗӨВ ОЛОН ӨНЦӨГТӨД БАГТСАН, БАГТААСАН ТОЙРГИЙН РАДИУС ОЛОХ АРГА

а тал бүхий зөв n өнцөгтийг багтаасан ба багтсан тойргийн радиус харгалзан R , r байна.

Олон өнцөгтийн бүх өнцгүүдийн нийлбэр 180(n-2) тул зөв олон өнцөгтийн нэг өнцөг байна.

Гурвалжин AOB-н суурийг

=

A

BC

O

a/2

Зөв гурвалжин n=3 үед иймд

Зөв дөрвөн өнцөгт буюу квадрат n=4 үед иймд

Зөв зургаан өнцөгт

n=6 үед , ,

Зөв олон өнцөгтийг багтаасан тойргийн төвөөс түүний тал хүрэх зайг уул зөв олон өнцөгтийн анофем гэнэ.

ГУРВАЛЖИНГ БАГТААСАН ТОЙРОГ

Асуулт: Гурвалжинг багтаасан тойргийн төв хаана байх вэ?

Хариулт: Талуудын дундаж дээр босгосон перпендукляруудын

огтолцлын цэг нь багтаасан тойргийн төв болно.

Багтаасан тойргийн радиусыг R үсгээр тэмдэглэнэ

ТЕОРОМ 1(ТОЙРОГТ БАГТСАН ГУРВАЛЖНИЙ ХУВЬД)

BC хөвчинд тулсан өнцгүүд тэнцүү.

BAC=BKC

a b c гэсэн тал бүхий гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус нь R бол ABC -ны талбайг S= томъёогоор олно.

𝑎,𝑏,𝑐 талтай ∡BAC=

болох ABC ⊿-ны талбайг S= томъёогоор олно. S==

А

C

B

K

β

βR

ТЕОРОМ 2(ТОЙРОГТ БАГТСАН ТЭГШ ӨГЦӨГТ ГУРВАЛЖНИЙ ХУВЬД)

Тойргийн диаметр AC-д тулсан

нь 90 байна.Өөрөөр хэлбэл

диаметрт тулсан багтсан өнцөг нь

тэгш өнцөгт байна.

D=AC=2R

a, b гэсэн катет , с бүхий гипотенуз

бүхий тэгш өнцөгт гурвалжны

R= байна.

B

A CO

R

R R

ab

c

ГУРВАЛЖИНД БАГТСАН ТОЙРОГ

Асуулт: Багтсан тойргийн төв хаана байх вэ?

Хариулт: Багтсан тойргийн төв нь гурвалжны 3 оройгоос татсан биссекрисүүдийн огтлолцлын цэг байна.

. Багтсан тойргийн

радиусыг r үсгээр тэмдэглэнэ

ТЕОРОМ 3(ТОЙРГИЙГ БАГТААСАН ГУРВАЛЖНИЙ ХУВЬД)

(P= хагас периметр)

гурвалжны талбайг S=Pr гэсэн томъёгоор олно.SABC=SAOB+SAOC+SBOCSABC== S=Pr r=

O

B

CA

L

N

ТЕОРОМ 4(ТОЙРГИЙГ БАГТААСАН ТЭГШ ӨГЦӨГТ ГУРВАЛЖНИЙ ХУВЬД)

BL+LC=BC=c байна.BM=a-r BM=BLNC=b-r NC=LC байна.BL+LC=BC(a-r)+(b-r)=ca-r+b-r=c=r

A

B

C

L

M

N

Orr

r

ТОЙРГИЙГ БАГТААСАН ДӨРВӨН ӨНЦӨГТ

Чанар1: AD+BC=AB+DC байна.

MA=AN=тNB=BK=аKC=FC=лDF=MD=хAD+BC=AB+DCТ+а+л+х=т+а+л+хТалх=талх буюу AD+BC=AB+DCЭсрэг орших талуудын нийлбэр нь хоорондоо тэнцүү.

N

K

F

Mт

а

л

лх

х

B

C

A т а

ПТОЛЕМИЙН ТЕОРЕМAB*CD+BC*AD= AC*BD

ac+bd =d1 d2 гэдгийг батлая

ABD-с d2

2= a2 + d 2 - 2ad Cos гурвалжин BCD-с d2

2= b2+c2 -2bcCos(180-)

d22= b2+c2 +2bcCos болно

d22= a2 + d 2 - 2ad Cos(bc)

d22= b2+c2 +2bcCos (ad)

bcd22+ add2

2= a2bc+d2bc+b2ad+c2ad

d22(bc+ad)= ab(ac+bd)+ dc(bd+ac)

d22(bc+ad)=(ac+bd)(ab+dc)

(1) d1

2=d2+c2-2dc*Cos

d12= a2+b2-2ab*Cos(180-)

d12= a2+b2+2ab*Cos болно

d12(ab+cd)= d2ab+c2ab+a2cd+b2 cd

d12(ab+cd)= (ad+bc)(bd+ac)

( 2 ) 1 ба 2ийг гишүүнчлэн үржүүлье d2

2(bc+ad)* d12(ab+cd)=( ac+bd)(ab+dc)

(ac+bd)(ab+dc) d1

2* d22 = (ac+bd) 2

d1d2= ac+ bd гэж батлагдав.

d1

d2

A

B

C

D

180-

𝜑

a

c

b

d