615

АВС гурвалжны багтаасан тойргийн төв нь О. (∟А>90˚) AL биссектрисийн

үргэлжлэл нь багтаасан тойргийг F цэгт огтолно. OA радиус ВС талыг Е цэгээр

огтолно. АН нь уг гурвалжны өндөр ба АН=√��

; AF=2√3; ∠AEH=30˚ бол FOEL

дөрвөн өнцөгтийн талбай ба AEL гурвалжны талбайн харьцааг ол.

Бодолт:

CF ба FB нумууд тэнцүү CF=FB; CO=OB ⟹ CK=KB

FO ⊥ CB ⟹AH//FO ∠KEO=30˚ ⟹ ∠KOE=90˚-

30˚=60˚ ∠AOF=180˚-60˚=120˚ ⟹ ∠OAF=∠OFA =30°

∠HAE=60˚

sin 30° = ����

⟹ ��=

√��

�� ⟹ AE=√2 AL=LE=x

���� ��

= √���� ���

⟹ x=� �� ⟹

△AEL∾△AOF ⟹ �

� ��

= �√�√�

⟹ R=2 SAEL=��

∙ √2 ∙ ���

∙ sin 30= ��√�

=√��

SFOEL=SAOF-SAEL

SAOF=��AO∙AF∙ sin 30=√3 SFOEL=SAOF-SAEL= √3 − √�

�= �√�

� ⟹ ��� ��

����= 5 болно.

616

АВС гурвалжны багтаасан тойргийн төв нь О. (∠А > 90°) хамгийн урт нум буюу ВС

нумын дундаж цэг F. OA радиус ВС талыг Е цэгээр, AF хөвч нь P цэгээр огтолно.

АН нь уг гурвалжны өндөр ба �� = ��

; �� = √3; � = 2√3 бол OEРF дөрвөн

өнцөгтийн талбай ба APH гурвалжны талбайн харьцааг ол.

Бодолт

��� = 3 − ��

= ��; �� = √�

�

�� = � − √3 = 2√3 − √3 = √3 AE = EO ⟹ ∆�� � =

∆��� ⇒ �� = �√��

; � � = ���

�∆�� � = �√��

;�∆�� � = ��√��

����� = �∆�� � − �∆�� � = 9√3 �∆��� = ��

∙

�� ∙ �� = �√��

�� �������

= 24 болно.

617

ABC гурвалжны АС тал нь 3, ВАС өнцөг нь 30°, гурвалжинг багтаасан тойргийн

радиус 2 бол АВС гурвалжны талбай 3-аас бага болохыг батал.

Бодолт

AB диаметр нь байх тойргийн хөвч бол �� ≤ 4. �� < 4 гэдгийг баталья.

�� = 4 болог. Тэгвэл АВ эь диаметр, ∠С = 90°, АВС

гурвалжин тэгш өнцөгтэй байна.

�� = 2� sin ∆� (R багтаасан тойргийн радиус) учраас

�� = 2 байна.

Тийм бол ��� + ��� ≠ ����4 + 9 ≠ 16�. Иймээс

���< 4.

Эндээс �∆��� = ��

�� ∙ �� sin ∠� < ��

∙ 4 ∙ 3 ∙ ��

= 3

618

ABC гурвалжны АВ тал нь 4, САВ өнцөг нь 60°, гурвалжинг багтаасан тойргийн

радиус 2.2 бол С оройгоос АВ руу буулгасан өндөр ��√��

-аас бага болохыг батал.

Бодолт

CD нь ABC гурвалжны өндөр, R багтаасан тойргийн радиус байг. Тэгвэл

�� ≤ �� = 2� sin 2 ∙ 2,2 ∙ √��

= ��√��

байна.

�� < �� гэдгийг баталья. �� = �� = ��√��

гэж үзье.

Тэгвэл АВС гурвалжин тэгш өнцөгтэй байх ба

�� = 4, �� = 2 = ���

.

��� ≠ ��� + ��� учраас �� = ��√��

байх боломжгүй.

619

ABC гурвалжины AB тал нь 5, CAB өнцөг нь 30°, гурвалжинг багтаасан тойргийн

радиус 2√2 байна. ABC гурвалжины талбай 5√2-оос бага болохыг батал.

Бодолт

АС тал нь хамгийн урт хөвч буюу гурвалжны

диаметртэй тэнцүү гэж үзье. Тэгвэл гурвалжин тэгш

өнцөгтэй байх ба �� = 2� = 2 ∙ 2√2 = 4√2; �� = ���

=

2√2 байна. Эндээс �∆��� = �� ∙���

= �∙�√��

= 5√2 буюу 5√2-

той тэнцүү байна.

620

ABC гурвалжины AB тал нь 4, CAB өнцөг нь 30°, гурвалжинг багтаасан тойргийн

радиус 3 байна. С оройгоос АВ талд буулгасан өндөр 3-аас бага болохыг батал.

Бодолт

С оройгоос АВ талд буулгасан өндөр гурвалжин тэгш

өнцөгтэй үед хамгийн их утгатай буюу СВ-тэй тэнцүү

байна. Энэ үед �� = �� = 3 буюу 3-аас багагүй байна.

621

Тойрогт багтсан зөв гурвалжин өгөгдөв. Энэ тойргийн хөвч 2-той тэнцүү, түүний

төвөөс хөвч хүртэлх зай 3 бол зөв гурвалжны периметрийг ол.

Бодолт

A=P; О-тойргийн төв; R-радиус, PQ-дурын хөвч, F-энэ

хөвчийн дундаж. Тэгвэл OFP тэгш өнцөгт

гурвалжинд R2 =OP2=OF2+FP2=9+1=10 R=√10 гэж гарна.

Хэрэв а өгөгдсөн тойрогт багтсан зөв гурвалжны тал бол

а=2∙R∙ sin 60 ° = 2 ∙ √10 ∙ √��

=√30 иймээс P=3√30 болно.

622

Зөв зургаан өнцөгтийг багтаасан тойргийн хөвч 4-тэй тэнцүү. Тойргийн төвөөс хөвч

хүртэлх зай 5 бол зөв зургаан өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт

О-тойргийн төв, R - радиус, PQ - дурын хөвч, M -

энэ хөвчийн дундаж.

Tэгвэл OMP тэгш өнцөгт гурвалжнаас

r2 =OP2=OM2+MP2=25+4=29 r =√29 гэж гарна.

OC-г а-гаар тэмдэглэе. ОСD зав гурвалжин учир OC

= DC = a байна. НОС тэгш өнцөнт гурвалжин учир

��� = ��� + ��� тэнцэтгэлийг бичиж, �� = � =

√29; �� = �� нөхцлүүдийг орлуулж бодвол � =

�√��√�

;гэж олдоно. Ингэхээр �� = �√��√�

; болно.

Эндээс SABCDEF=��

∙ �� ∙ �� ∙ 6 = ��

∙ �√��√�

∙ √29 ∙ 6 = 58 ∙ √3 болно.

623

Тойрогт багтсан квадрат өгөгдөв. Энэ тойргийн дурын хөвч 2-той тэнцүү,тойргийн

төвөөс хөвч хүртэлх зай 3-тай тэнцүү бол квадратын талыг ол.

Бодолт

AB=BC=CD=DA=a AC-диаметр

О-тойргийн төв, R-радиус, PQ-дурын хөвч, F-энэ хөвчийн

дундаж. Тэгвэл OFP тэгш өнцөгт гурвалжинд

R2 = OP2 = OF2 + FP2 = 9 + 1 = 10 R =√10 гэж гарна.

АС=2√10 болно. Пифагорын теорем ашиглавал

AD2+DC2=AC2 a2+a2=40 a2=20 a=2 √5 гэж олдоно.

624

Зөв зургаан өнцөгтийг багтаасан тойргийн хөвч 3, төвөөс хөвч хүртэлх зай 0,5 бол

зургаан өнцөгтийн талаас тойргийн төв хүртэлх зайг ол.

Бодолт

О-тойргийн төв, R-радиус, PQ-дурын хөвч, M-энэ

хөвчийн дундаж. Тэгвэл OMP тэгш өнцөгт гурвалжинд

R2 = OP2 = OM2 + MP2 =0,25 + 2,25 = 2,5 R = √��

� гэж гарна.

АВО гурвалжнаас ОН-ийг олбол

ОН =�ОВ� − АВ�

�=√��

�

625

Тойрогт багтсан ABCD гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд Е цэгт огтлолцоно.

BD диагональ нь ABC өнцгийн биссектрис, BD нь 25, CD нь 15 болох эь мэдэгдэж

байгаа бол BE-г ол.

Бодолт

BD нь ABC өнцгийн биссектрис учир ∠ABD = ∠DBC. Өгөгдсөн нөхцлөөс DBC

гурвалжинг DEC гурвалжинтай төсөөтэйг тодорхойлж болно.

Тиймээс ����

= ����

;����

= ����

; �� = ��∙����

= �����

= 9

BE = 25 – 9 = 16

626

Тойрогт багтсан MNPQ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн МР диагональ нь NMQ өнцөгийн

биссектрис бөгөөд NQ диагональтай Т цэгт огтлолцоно. МТ = 5; TP = 4 бол NP-г

ол.

Бодолт

NPT ба NPM гурвалжинууд төсөөтэй. Эндээс ��� �

= � �� �

⇒ ���

= ���

; ��� = 36 ⇒ NP = 6

627

ABCD тэгш өнцөгтийн талбай 48 ба диагональ нь 10-тай тэнцүү.Тэгш өнцөгт

оршиж байгаа хавтгай дээр OB=OD=13 байхаар О цэгийг авсан. О цэг ба түүнээс

хамгийн хол орших тэгш өнцөгтийн орой хүртэлх зайг ол. Бодолт

Тэгш өнцөгтийн талуудыг х, у-ээр (x<y) тэмдэглэе. AB = CD = x; AD = BC = y.

Бодлогын нөхцөлөөс �х� + у� = 100х ∙ у = 48 байна.

Энэ системээс х=AB=CD=6 y=AD=BC=8 болно.

О ба С цэг BD шулууны 2 талд оршиж байгаа гэж үзье.

Тэгш өнцөгтийн диагоналиудын огтлолцолын цэгийг М

гэж тэмдэглэе. ∠DBC=α; ∠OBD=∠ODB=β гэж

тэмдэглэе. BCD, OMB тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас

sin � = ��

cos � = ��

sin � = ����

cos � = ���

;

∠СВО = � + �; cos�� + ��= cos � ∙ cos � − sin � ∙ sin � = ��

∙ ���

− ��

∙ ����

= − ���∙��

гэж

олдоно. Косинусын теором ёсоор OC2=BC2+BO2-2BC ∙BOcos( � + �) =64+169+2∙ 8 ∙

13 ∙ ���∙��

= ��∙���

эндээс OC= 7 ∙ � ���

O ба C цэгүүд BD шулууны нэг талд оршиж байгаа тохиолдолд мөн адилхан.

628

4√2 талтай квадрат өгөгдөв. Квадратын хавтгай дээр OB=10 ; OD=6 байхаар О

цэгийг сонгож авав. ОВ вектор ба О цэг ба түүнээс хамгийн хол орших квадратын

орой 2-оор үүсгэгдсэн вектор хоёрын хоорондох өнцөгийг ол.

Бодолт:

DB=√32 + 32=√64=8; ∠DBC=45° болно. ∠BOC=�; ∠OBD=� гэж тэмдэглэе.

cos � = ���������

�∙��∙� =������

�∙��∙�= �

�; sin � = �

� байна.

Эндээс ∠OBC=� + 45° cos�� + 45�=√���

байна.

OC2=116; OC=2√29

�����������

= �√���� �

→ sin � = ���√��

→� = arcsin ���√��

байна.

629

ABCD тэгш өнцөгтийн талбай 48, диагональ нь 10-тай тэнцүү. Уг тэгш өнцөгтийн

хавтгай дээр OB=OD=√61 байхаар О цэгийг авав. О цэгээс түүнтэй хамгийн ойр

орших тэгш өнцөгтийн орой хүртэлх зайг ол.

Бодолт

Тэгш өнцөгтийн талуудыг х, у-ээр (x<y) тэмдэглэе.

AB=CD=x бодлогын

нөхцөлөөс �х� + у� = 100х ∙ у = 48 байна. Энэ системээс

х=AB=CD=6; y=AD=BC=8 гэж олно.

О ба А цэг BD шулууны 1 талд оршиж байгаа гэж

үзье.

∠��� = �∠��� = ∠��� = � гэж тэмдэглэе.

DBC гурвалжнаас sin � = ��

cos � = ��; OBD

гурвалжнаас sin � = �√��

cos � = �√��

гэж олдоно. ∠��� = 90° − �� + �� байна.

sin�� + ��= ���∙√��

учир косинусын теорем ёсоор ��� = ��� + ��� − 2�� ∙ ��� ∙

cos�90 − �� + ���= 36 + 61 − 2 ∙ 6√61 ∙ sin�� + ��= 97 − 2 ∙ 6√61 ∙ ���√��

= ���

буюу

�� = � ���

болно.

630

8 талтай ABCD квадрат өгөв. ОВ=10√2 ; OD= 6√2 байхаар Оцэгийг квадратын

орших хавтгай дээр авав. ОВ вектор ба О цэг ба түүнд хамгийн ойр орших

квадратын орой хоёроос үүсэх вектор хоёрын хооронд үүсэх өнцөг ол.

Бодолт

DB=√64 + 64=√128=8√2 ∠АBD=45° болно. ∠AOB=�; ∠OBD=β ∠OBA= 45° − �

гэж тэмдэглэе.

cos � = �����������∙��√�∙�√�

= ����∙��∙��

= ��

∠OBA=45° − � cos�45° − ��= �√���

Эндээс OA2=40 ⇒

OA=2√10 ��

������°���= �

��� � ⇒ sin � = �

�√� ⇒ � = ���sin �

�√�

631

Тойрог багтаасан тэгш өнцөгт гурвалжны периметр нь 36-тай тэнцүү. Гипотенуз нь

шүргэлтийн цэгээр 2:3 харьцаатай хуваагдсан бол гурвалжны талуудыг ол.

Бодолт М,Н,К цэгүүд харгалзан АВ, ВС, АС талуудын тойрогтой шүргэлцсэн цэгүүд, О

багтсан тойргийн төв, r түүний радиус. ВМ=2х гэж

тэмдэглэе. Тэгвэл ВН=ВМ=2х, АК=АМ=3х болно.

Пифагорын теоремоор АВ2=АС2+ВС2 ⇒

(2х+r)2+(3x+r)2=25x2 энэ тэгшитгэлээс r=x болно.

Бодлогын нөхцөл ёсоор АВ+ВС+АС=5х+3х+4х=12х=36

⇒ х=3 ; BC=9; AC=12; AB= 15 гэж олдоно.

632

Тойргийг багтаасан тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд гипотенуз нь шүргэлтийн

цэгүүдээр 5 ба 12 –той тэнцүү хэсгүүдэд хуваагдана. Уг гурвалжны талбаыг ол.

Бодолт

М,Н,К харгалзан АВ, ВС, АС талуудын шүргэлтийн цэгүүд. Бодлогын нөхцөл ёсоор

АМ=АК=12 , МВ=ВН=5 , СКОН-квадрат учраас

СН=СК=r байна. Пифагорын теорем ёсоор АВ2=ВС2+СА2

⇒ (5+r)2+(12+r)2=172 гэж гарна. Энэ тэгшитгэлээс r=3 гэж

олдоно.

Эндээс гурвалжны талбай SABC=��∙��

= 60 гарна.

633

Периметр нь 30-тай тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжинд тойрог багтсан.Катетуудын

аль нэг ньшүргэлтийн цэгээр тэгш өнцөгийн оройгоос 2:3 харьцаатай хувагдсан

бол гурвалжны талуудыг ол. Бодолт

Тойргийн төвийг О-гоор, АВ, ВС, АС талуудтай шүргэлтийн цэгүүдийг харгалзан

М,Н, К-ээр тэмдэглэе. Тойргийн радиус r , СН=2х-ээр

тэмдэглэвэл ВН=ВМ=3х

СН=СК=2х болно. Бодлогын нөхцөл ёсоор

АК=АМ=�����х�

=15-5х гэж олдоно. Пифагорын

теоремоор АВ2=ВС2+СА2 → (3х+15-5х)2=(5х)2+(2х+15-

5х)2 → (30-2х)2=25х2+(30-3х)2 эмхэтгээд тэгшитгэлийг

бодвол х=1 байна. Эндээс талуудыг олбол СН=2 →

ВС=5 , АВ= 13 , СА=12 гэж олдоно.

634

Тэгш өнцөгт гурвалжинд тойрог багтсан. Катетуудын аль нэг нь шүргэлтийн цэгээр

тэгш өнцөгийн оройгоос 6 ба 10 тэнцүү хэрчмүүдэд хувагдсан бол гурвалжны

талбайг ол.

Бодолт

СН=СК=6, ВН=ВМ=10 АМ=АК=х гэж үзвэл

Пифагорын теорем ёсоор (х+10)2=162+(6+х)2

Тэгшитгэл зохиож бодвол х=24 байна.

SABC= ��∙���

= ��∙���

= 240

635

Радиус нь 13 тойрогт дианогалиуд нь харилцан перипендикуляр дөрвөн өнцөгт

багтаажээ. Нэг диагональ нь 18, тойргийн төвөөс диагоналиуд огтлолцох цэг

хүртэлх зай 4√6 бол дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт

BD = 18; BE = ED; BE = ED; AF = FC; BE = 9; OEB тэгш өнцөгт гурвалжинаас ЕО-г

олж болно.

Пифагорын теоремоор �� = √169 − 81 = √88; �� =

√�� � − ��� = √96 − 88 = √8 байна. AC-г олохын тулд

FC-г олно. �� = √169 − 8 = √161. Эндээс �� = 2 ∙ √161

�∆��� =12 ∙ �� ∙ �� =

12 ∙ 2√161 ∙ �9 + √8�= √161 ∙ �9 + √8�

ADC гурвалжины талбайг олохын тулд эхлээд KD

өндрийг ольё. �� = �� − �� = 9 − √8

�∆��� =12 ∙ 2√161 ∙ �9 − √8�= √161 ∙ �9 − √8�

����� = �∆��� + �∆��� = √161�9 + √8�+ √161�9 − √8�= 18√161 болно.

636

Радиус нь 6, О цэгт төвтэй тойрогт ABCD дөрвөн өнцөгт багтсан байна. Түүний

диагоналиуд харилцан перипендикуляр бөгөөд К цэгт огтлолцоно. AC ба BD-гийн

төв нь харгалзан E ба F цэгүүд байна. ОК хэрчим 5-тай, OEKF дөрвөн өнцөгтийн

талбай 12-той тэнцүү. ABCD дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт

ОВ = 6; OK = 5; ����� = 12; OEKF дөрвөн өнцөгтөөс EO = a, EK = b гэж авч үзвэл

��� + �� = 25� ∙ � = 12

гэсэн систем зохиож, a = 3, b = 4 гэж

олно. EK = 4 болно. �� = √36 − 9 = √27. АС-г ольё.

�� = √36 − 16 = √20 учир �� = 2√20 байна.

�∆��� =12 ∙ �� ∙ �� =

12 ∙ 2√20 ∙ �√27 + 4�= √20 ∙ �√27 + 4�

�∆��� =12

∙ �� ∙ �� =12

∙ 2√20 ∙ �√27 − 4�= √20 ∙ �√27 − 4�

����� = �∆��� + �∆��� = √20 ∙ �√27 + 4�+ √20 ∙ �√27 − 4�= 2√20 ∙ √27 = 12 ∙ √15

637

ABCD дөрвөн өнцөгтийн BD диагональ нь энэ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан

тойргийн диаметр нь байна. Хэрэв BD =2, AB= 1, ∠ABD : ∠DBC = 4 : 3 бол АС

диагоналийг ол.

Бодолт

R нь тойргийн радиус болог. 2R = BD = 2 учир �� = 2� sin ∆��� =

2 sin 105° = 2 sin�60° + 45°�=

2�sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°�= √��√��

байна.

638 ABCD дөрвөн өнцөгтийн AD тал нь энэ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойргийн

диаметр нь болно. Хэрэв AD = 6, BD = 3√3, ∠BAC : ∠CAD = 1 : 3 бол BC талыг

олно уу.

Бодолт

R – тойргийн радиус; AD = 2R = 6 ⇒ R = 3

BC = 2R ⋅ Sin∠BAC

ABD тэгш өнцөнт гурвалжингаас:

sin 4� = �√��

= √��

4� = 60° учир � = 15° буюу ∠BAC = 15° болно.

Иймээс �� = 2� ∙ sin 15° = 2� ∙ sin�45° − 30°�=

2 ∙ 3 ∙ �sin 45° ∙ cos 30° − sin 30° ∙ cos 45°�= 6 ∙

�√��

∙ √��

− ��

∙ √��

�= 6 ∙ �√��√���

= �∙�√��√���

;

639

ABCD дөрвөн өнцөгтийн AC диаметр нь энэ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойргийн

диаметр нь болно. Хэрэв AC = 4, СD = 2√2, ∠BAC : ∠CAD = 2 : 3 бол BD

диагоналийг олно уу.

Бодолт R – тойргийн радиус

AC = 2R = 4 учир R = 2

ADC тэгш өнцөгт гурвалжингаас

sin 3� = ����

= �√��

= √��

харьцааг бичиж болно. Эндээс

3� = 45°ба � = 15° гэж олдоно. � = 2� ∙ sin ∆�

томьёогоор �� = 2� ∙ sin ∆��� болох ба орлуулбал

�� = 2 ∙ 2 ∙ sin�30° + 45°�= 4 ∙ �sin 30° ∙ cos 45° + sin 45° ∙ cos 30°�= 4 ∙ ���

∙ √��

+ √��

∙

√��

�= 4 ∙ √��√��

= √2 + √6 гэж олдоно.

640

ABCD дөрвөн өнцөгтийн BC тал нь энэ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойргийн

диаметр нь болно. Хэрэв BC = 8, BD = 4√2, ∠DCA : ∠ACB = 2 : 1 бол AB талыг

олно уу.

Бодолт

�� = 2� = 8; � = 4

АВ талыг олохын тулд эхлээд ВСА өнцгийг ольё. DBC

тэгш өнцөгт гурвалжингаас sin 3� = ����

= �√��

= √��

харьцааг бичнэ. Эндээс 3� = 45° ба � = 15° болно.

� = 2� ∙ sin ∆��� томьёонд орлуулж бодвол

�� = 2� ∙ sin 15° байна.

�� = 2 ∙ 4 ∙ sin�45° − 30°�= 8 ∙ �sin 45° ∙ cos 30° − sin 30° ∙ cos 45°�= 8 ∙ �√��

∙ √��

− ��

∙

√��

�= 8 ∙ √��√��

= 2 ∙ �√6 − √2� гэж олдоно.

641

АВС гурвалжингийн А нь тэгш өнцөг, В нь 30° байв. Түүнд √3 радиустай тойрог

багтжээ. С оройгоос тойрог АВ катеттай шүргэлэх шүргэлтийн цэгээс хүртэлх зайг

ол. Бодолт

О-тойргийн төв, M, N нь АВ, АС

катетуудтай тойргийн шүргэлцсэн

цэг. AMON нь r талтай квадрат ⟹

∠OCN = ��∠ACB=30° гэж гарна.

ONC тэгш өнцөгт гурвалжнаас

�� = �� ∙ cos 30° = �√3 = 3 ⟹

�� = �� + �� = �+ 3 = √3 + 3

Пифагорийн теоремоор �� = √�� � + ��� = �3 + �√3 + 3��

= �15 + 6√3

642

а талтай ABCD квадратад CD талыг нь Е цэгээр шүргэдэг тойрог багтжээ. Тойрог

АЕ шулуунтай огтлолцдог цэгүүдийг холбосон хөвчийн уртыг ол.

Бодолт

РЕ-уртыг нь олох хөвч, М – тойрог АD-тэй шүргэж

буй цэг байг.

АЕ=√��� + ���=��� + ��

�=�√�

�

Шүргэгч огтлогчийн теорем ёсоор АМ2=АЕ∙ АР

а�

�=а√�

��а√�

�− РЕ�⟹ РЕ=�а

√� болно.

643

Адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 2. Хурц өнцгийн

оройгоос түүний эсрэг талд байх катетыг багтсан гурвалжин шүргэж байгаа цэг

хүртэлх зайг ол. Бодолт

AB, AC катетуудийн тойрогтой шүргэлцсэн цэгүүдийг харгалзан M, N гэж

тэмдэглэе.

AM = AN = 2; r = 2. Пифагорын теоремоор

��� + ��� = ��� буюу ��+ ��� + ��+ ��� = �2���

Эндээс 2 ∙ �2 + ��� − 4��; �2 + ��� = 2��

Тэгшитгэлийг бодож Typeequationhere.а-г олбол: � = 2 + 2 ∙ √2 байна. Дахин Пифагорын теорем

ашиглаж �4 + 2√2��

+ 4 = � �� Эндээс МС-г

олбол � � = 2�7 + 4√2 байна.

644

АВС тэгш өнцөгт гурвалжинд тойрог багтсан. А өнцөг нь 90 , АВ катет нь а урттай,

багтсан тойргийн радиус r , АС катетийн шүргэлтийн цэг D бол BD шулуунтай

тойрог огтлолцсон цэгүүдийг холбосон хөвчийн уртыг ол.

Бодолт О - багтсан тойргийн төв, F- АВ-гийн

шүргэлтийн цэг, D – DB тойрогтой

огтлолцсон цэг, олох хөвч DE=x

AFOD нь r талтай квадрат болно. Иймээс

AD=OF=r

BD= √��� + ��� =√�� + �� Шүргэгч

огтлогчийн теорем ёсоор BF2=BЕ∙ BD

√�� + ���√�� + �� − ��= �� − ��� ⟹ x= ���

√�����

645

Нэгж радиустай тойрогт багтсан ABCDE таван өнцөгтийн хувьд AB = √2;

∠ABE=45°; ∠EBD=30°; BC=CD гэж мэдэгдэж байгаа бол таван өнцөгтийн талбайг

ол.

Бодолт

АЕ = 2Rsin 45=2∙ √��

=√2 EAB тэгш өнцөгт

гурвалжин гэдгээс

∠А=90˚ ⟹ ВЕ тойргийн диаметр учир ВЕ = 2

∠BDE = 90°; BD = BE∙ cos 30°=√3 ; ∠DCB=120˚

CK нь DCB гурвалжны өндөр болог ⟹ СК=��

Иймээс SDCB=�� ∙ �� ∙ �� = 1 SBDE=�

� ∙ �� ∙ ��=√�

�

Иймд SABCDE= SABE+ SBDE+ SDCB=1+�√��

болно.

genden0611@yahoo.com