Embed Size (px)
Citation preview
Тема 2§1 Численное дифференцирование
Пусть дана
заданы значения
Необходимо вычислить и, в частности,
Найдем и положим
Примеры. n=1
ik
nik xLxf
nabhaxniihxxx iih /,;,...,0,: 00
_
xf k
ii fxf
xL kn
ik xf
;01
01
01
1
10
01 xx
ff
xx
f
xx
fxL
01
01
10
101 xx
xxf
xx
xxfxL
n=2:
-h -2h h -h 2h h
1202
102
2101
201
2010
2102 xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxf
xxxx
xxxxfxL
20
221
220
122
121
022
02 2222 h
xxf
h
xxf
h
xxf
h
xxf
h
xxf
h
xxfxL
22212020 2
2
22
2
h
hf
h
hf
h
hf
h
hf
21002 432
1fff
hxL
20
221
220
122
121
022
02 2222 h
xxf
h
xxf
h
xxf
h
xxf
h
xxf
h
xxfxL
2221212012 22 h
hf
h
hf
h
hf
h
hfxL
h
ffff
hxL
22
1 022012
2222212022 2
2
2
2
2 h
hf
h
hf
h
hf
h
hfxL
21022 342
1fff
hxL
§2 Оценка погрешности формул численного дифференцирования
xxxxxfxLxfxR nnnn 110 ,...,,,
xLxfxR kn
knk
xxxxxfC mkn
mn
k
m
mk
1100
,...,,,
:1j
x
xxxfxxxf nn
,...,,,...,,lim 00
0
nxxxf ,...,, 0
nn xxxxfxxxxf ,...,,,,...,,,lim 000
:2j nxxxf ,...,, 0
x
xxxfxxxf nn
,...,,,...,,lim 00
0
x
xxxxfxxxxf nn
,...,,,,...,,,lim 00
0
nxxxxf ,...,,, 0
nxxxxxf ,...,,,,2 0
Предположение индукции
m
(m-1) пара
m m
nnm xxxxxfmxxxf ,...,,,...,,!1,...,, 001
:mj nm xxxf ,...,, 0
nm
nm xxxfxxxf ,...,,,...,,
lim 01
01
0
x
xxxxfxxxxfm nn
,...,,,...,,...,,,...,lim!1 00
0
nn xxxxxfxxxxxf ,...,,,...,,...,...,,,,..., 00
итого m пар – разностей, тогда получаем:
m+1
m+1частные случаи k=1:
xRnk
nnm xxxxxfmxxxf ,...,,,...,,!,...,, 00
xxxxxxfmk
k mknn
k
m
1100
,...,,,,...,!
!
bax
xn
fx
n
fxR n
n
n
n
n
,,,
,!2!1
21
12
2
11
1
1
если тогда
k=2
если
bax
xn
fx
n
fx
n
fxR n
n
n
n
n
n
n
,,,,
,!3!2
2!1
321
13
3
12
2
11
1
2
,,...,0, nixx i
;,,,
!1 111
1
1 baxxn
fxR iin
n
in
,,...,0, nixx i
bax
xn
fx
n
fxR
i
in
n
in
n
in
,,,
,!2
2!1
21
12
2
11
1
2
§ 3 О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования
• определение1.Задача называется корректной(или корректно поставленной), если:1. решение задачи существует и единственно при любом наборе
данных из некоторого класса,2. решение устойчиво по входным данным.• определение 2.Решение задачи называется устойчивым, если оно непрерывно зависит от входных данных, причем эта зависимость равномерна по h: - входные данные, приближенная формула -
yFyFyy
иhhдлячтотакиеhдля
hh~,~
,,,,,0 00
yFhy
Пример
Пусть следовательно
;01
01
0110 h
ff
xx
xfxfxLxf
;,,;22 1111 baxh
fx
fxR n
;,;211 baxhM
xR
;,, baxMxf
Exfxf 101100 ,max,,
;2
, 201
2 h
Er
hr
;hgh
Eh
MrRR
2
2211
,2
2 2h
EMhg 0 hg ,0
2
2 2
h
EM
,02
42
2
h
EMh,2
40 M
E
M
Eh
0
00
2
2 h
EMhhg
E
ME
M
EM
2
22
2 ,2 ME
h
R
2/Mh
2/2 hE
0h
hg
0
EM2
если погрешность округления
имеет тот же порядок, что и погрешность аппроксимации
тогда
с другой стороны, если величина Е задана, тогда должны быть ограничения на h
;211
MhR
;2
2 h
Er
;2
2 Mh
h
E ;
4
2MhE ;2hΟE
,20 M
Ehh
продолжение примера
;, 01
10 h
xfxfyyFh
;0xfF
1010~,~y, yyFyF hh
;, 1100 xfyxfy
h
;~, 1100 xfyxfy
1100~ yyyyyy
1010 ,y, yyFyF hh
§ 4 Метод Рунге Для задачи
построили приближенные формулы
в частности, был рассмотрен пример
Остаточный член (погрешность) последней формулы
Последнее представление погрешности очевидным образом вытекает из рассуждений:
xfF
hF
h
xfxfxFh
01
h
fxR
211
Отсюда следует, что, например,
...
!32200
001
h
xfh
xfxf
h
xfxf
...!32
301
0201
001001
xx
xfxx
xfxxxfxfxf
В общем виде погрешность можно представить,
где не зависит от h.
Главный член погрешности
1 pp hΟhxψxR xψ
если выбрать шаг где r – целое
вычтем второе равенство из первого
главный член погрешности, который можно вычислить
rh
1 pprhrh rhΟrhxψRFF
1 pphh hΟhxRFF
11 ppprhh hΟrhxFF
11
p
prhhp hΟ
r
FFhx
приводим к общему знаменателю
новая формула численного дифференцирования
11
p
prhh
h hΟr
FFFF
11
p
prhh
h hΟr
FFFF
11
pp
rhhp
hΟr
FFrF
Пример
Задание №7: доказать, что для (*) и (**) в общей формуле погрешности р = 2
F
h
xfxfxf
303
5.1
hF
h
xfxfxf 125.1
hF3
0x1x
23x
3x2x
2p
3r
3031232
32
3
99
8
1
13
3hΟ
h
ff
h
ffhΟ
FFF hh
33210 272724
1hΟffff
hF
§ 5 Другие постановки задач интерполирования и приближения функций
Тригонометрическая интерполяция. Если f(x) периодическая функция с периодом l , то естественно строить приближения с помощью функций
Т. о. тригонометрическая интерполяция состоит в замене f(x) тригонометрическим многочленом:
nkl
kxb
l
kxax kkk ,...,1,0,sincos)(
Пример 1:Пример 1:
,)sincos()(1
00
n
kkk
n
kkn l
kxb
l
kxaaxxT
коэффициенты которого отыскиваются из системы уравнений (условия интерполяции):
,12,...,1),()( njxfxT jjn
где
lxxxxx nn 0121210 ,...
Приближение рациональными функциями. Пусть f(х) задана в узлах
nxxx ...10
требуется построить функцию
,...
...)(
011
1
011
1
bxbxbx
axaxaxax
ll
l
kk
kk
kl
njxfx jjkl ,...,1,0),()(
l, k – заданы, для которой выполнены условия интерполяции:
Пример 2:Пример 2:
Дробно-линейная интерполяция (Частный случай примера 2). Если значения f(x) заданы в тогда построим функцию ( l =k=1)
000
jj
k
i
ijij
ij
k
ii xfxbfxa
,,, 11 iii xxx
0
01)(bx
axax
Пример 3:Пример 3:
.,...,,,,...,, 11010 bbbааa к
Последние равенства являются системой из (n+1) уравнения с (k+ l +1) неизвестными
Если потребовать, чтобы n+1=k+ l , тогда имеем систему:
где j=0,1,…,k+l
Паде-аппроксимантом функции является дробь
разложение в степенной ряд этой функциии совпадает со степенным рядом f(x) с точностью до коэффициента при x L+M.
ПримерПаде-аппроксимация наиболее эффективна для функций, имеющих полюса на комплексной плоскости в окрестностях точки разложения. Функция
Поэтому она неэффективно аппроксимируется степенным рядом (до шестой степени включительно), но хорошо аппроксимируется по Паде со степенями числителя и знаменателя равными 4 и 2.
оба графика были построены на основе одной и той же информации - значения функции и шести производных. При этом Паде-аппроксимация почти совпадает с графиком функции,а степенной ряд заметно отклоняется за пределами узкой области
