Интегралын хэрэглээ,

өргөтгөсөн интеграл

Лекц-5

Дэд сэдвүүдТодорхой интегралын геометр утгаТодорхой интегралыг ашиглан муруй

шугаман трапецийн талбай олохЭргэлтийн биеийн эзэлхүүн олохЭргэлтийн биеийн гадаргуун талбай

олохМуруй нумын уртыг олохӨргөтгөсөн интеграл

y=f(x) функц [a,b] хэрчим дээр тасралтгүй, f(x)>0 функц байг. Дээрээсээ y=f(x) функцийн график доороосоо ОХ тэнхлэг баруун ба зүүн талаасаа x=а ба x=b шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийг муруй шугаман трапец гэнэ.

n

iii

a

b

xfdxxfI1

0)(lim)(

Тэгш өнцөгт координатын системд дүрсийн талбай олох

Тэгш өнцөгт координатын системд дүрсийн талбай олох

Муруй шугаман трапец f(x)<0 a<x<b бол түүний талбайг

b

a

b

a

dxxfdxxfS )()(

Муруй шугаман трапец бол түүний талбайг

bxaxfxg ,0)( ,0)( 21

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfxg

dxxfdxxgdxxfdxxgS

)]()([

)()()()(

21

2121

b

a

dxxfxfS )]()([ 21

жишээ дараах дүрсээр хүрээлэгдсэн дүрсийн

талбайг ол

Туйлын координатын систем дэх дүрсийн талбай

Хавтгай дээр туйлын координат систем нь туйл гэж нэрлэгдэх О цэг авч, туйлын тэнхлэг гэж нэрлэгдэх цацраг авна. Хавтгай дээрх цэг бүхэн М коодинатаар тодорхойлогдоно. Үүнд

дүрсийн талбайг олохын тулд дэд хэсгүүдэд хуваавал

жишээ

хоёр функцээр хашигдсан дүрсийн талбай олох

Эргэлтийн биеийн гадаргуун талбай олох

[a,b] хэрчимд тасралтгүй дифференциалчлагдах f(x) функц өшөдсөн бол түүнийг Ох тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүсэх гадаргуун талбайг интеграл ашиглан дараах томъёогоор олно.

Хэрэв бие ОУ тэнхлэгийг тойрон эргэсэх бол

Хэрэв y=f(x) функц параметрт хэлбэрээр өгөгдсөн бол

Хэрэв туйлын координатын системд өгөгдсөн бол

dy

yxfd

c

(y)'1(y)2Q

(y)x )(

2

dt

tfyxf

b

a

22 (t)'(t)'(t)2Q

(t)'

(t)')(' b][a, t(t)y (t) x)(

d

yx

22 )(')('sin)(2Q

sin)( cos)( )(

Биеийн эзэлхүүн олох

Т биеийг ОХ тэнхлэгт перпендикуляраар огтлоход үүсэх огтлолын талбайг S=S(x) гэе.

бол түүний эзэлхүүн нь

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүн[a,b] хэрчимд тасралтгүй y=f(x) функц

өгөгджээ. Энэ биеийг ОХ тэнхлэгт перпендикуляраар огтолбол f(x) радиустай дугуй үүснэ.

Дугуйн талбай нь

Үүнийг ашиглан эзэлхүүнийг олбол

жишээ

муруй ОХ тэнхлэгийг тойрон эргэсэн бол үүсэх биеийн эзэлхүүнийг ол.

Гөлгөр муруй, Нумын урт

[a,b] хэрчимд тасралтгүйӨгөдсөн бол эдгээр тасралтгүй муруйг тодорхойлно. Эдгээр функц нэгэн зэрэг тэгээс

ялгаатай тасралтгүй уламжлалттай байвал түүнийг гөлгөр муруй гэнэ. Г тэмдэглэнэ. Нумын уртыг хэсгүүдэд хуваавал

Хуваалтын алхмын хамгийн уртыг

)(

)(

)(

tz

ty

tx

n

ikk AAГ

11

itmax

Хэрэв хуваатын алхамын урт 0-рүү Г-ийн хязгаар төгсгөлөг оршин байвал түүнийг гөлгөр муруйн нумын урт гэнэ.

dttttГb

a 222 )]('[)]('[)]('[

Өргөтгөсөн интегралТодорхойлолт: (1) интегралын

f(x) функцийн 1-р төрлийн өргөтгөсөн интеграл гэнэ.

(2)хэрэв (1) интеграл нийлэх байвал (2)

интегралыг нийлэх өргөтгөсөн интеграл гэнэ. Хэрэв (1) интеграл нь төгсгөлгүй эсвэл үл орших бол (2) өргөтгөсөн интегралыг сарних интеграл гэнэ.

b

ab

dxxf )(lim

b

ab

a

dxxfdxxf )(lim)(

Өргөтгөсөн интегралыг бодох арга

3 ,4 интегралууд нь төгсгөлөг байхад нийлнэ.

(4) )(lim)( )()(lim

)(lim)(lim)(

(3) )()(lim)(lim)(lim)(

AFbFAFbF

xFdxxfdxxf

aFbFxFdxxfdxxf

AA

b

AA

b

A

b

b

b

ab

b

ab

a

)(lim )(lim AFbFAb

Жишээ нь:

2lim]0[lim

][lim1

1lim

1

10

02

02

arctgarctgBarctgarctgB

arctgxdxx

dxx

BB

B

B

B

B

Өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг тогтоох

интеграл нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь дурын >0 авахад B>0 тоо олдоод B’>B , B”>B байх B’ ба B”н хувьд

Тэнцэл биелэх явдал юм.

"

'

)(B

B

dxxf

Теорем:( жиших шинж) [a,[ завсарт

тодорхойлогдсон [a,b] хэрчимд

интегралчлагдах сөрөг биш f(x)ба (x)

функцүүд хa0, 0 f(x)(x) байвал

нийлэх интеграл байвал

нийлэх ба харин сарних

интеграл байвал сарних

байна.

a

dxxf )(

a

dxx)(

a

dxxf )(

a

dxx)(

Теорем:( жиших шинж) [a,[ завсарт

тодорхойлогдсон эерэг f(x)ба (x) функцүүд нь

ямарч төгсгөлөг [a,b[ дээр интегралчлагддаг

байг. Тэгвэл төгсгөлөг хязгаар

Оршин байвал

Интеграл нэгэн зэрэг нийлэх буюу эсвэл сарних

байна.

0)(

)(lim

Lx

xfx

a

dxxf )(

a

dxx)(

Жишээ нь:

нийлнэ. 132)(

)(

32

22

2

2

x

dx

xx

dxx

x

dxxf

xx

dx

22)()(

)1()1(lim)1(lim

2)1(

)1(lim

2)1(32 222

arctgarctg

AarctgBarctgxarctg

x

xd

x

dx

xx

dx

AB

AB

B

AAB

Өргөтгөсөн интегралын нөхцөлт ба абсолют нийлэлтТодорхойлолт:

нийлж байвал өргөтгөсөн

интеграл ийг абсолют нийлэлт

гэнэ.

Харин сарниж байвал

нийлж байвал түүнийг нөхцөлт нийлэлт

гэнэ.

a

dxxf )(

a

dxxf )(

a

dxxf )(

a

dxxf )(

2-р төрлийн өргөтгөсөн интеграл

Тодорхойлолт: хэрэв хязгаар

төгсгөлөг оршин байвал түүнийг

зааглагдаагүй функц f(x)ийн өргтгөсөн

интеграл буюу 2-р төрлийн өргтгөсөн

интеграл гэнэ.

b

a

dxxf )(lim0

b

a

b

ab

dxxfdxxf )(lim)(lim0

b

a

b

ab

dxxfdxxf

болцэгонцгойньax

)(lim)(lim

0