Embed Size (px)
Citation preview
Лекц 7
1. • I төрлийн муруй шугаман интеграл
• II төрлийн муруй шугаман интеграл
• Муруй шугаман интегралын хэрэглээ
• Гриний томъёо
• I төрлийн муруй шугаман интегралын интегралчлах замын хэлбэрээс хамаарахгүй
байх нөхцөл
1
I төрлийн муруй шугаман интеграл
Oxy хавтгай дээр^
AB гэсэн төгсгөлөг, шулуусгагдах муруйн цэг бүр дээр z =
f(x, y) функц тодорхойлогдсон байг.n
∑
i=1
f(ξi, ηi)∆li (1)
(1)–г^
AB муруй дээрх интеграл нийлбэр гэнэ.
λ =maxi=1,n
∆li → 0
I төрлийн муруй шугаман интеграл гэж нэрлээд
limλ→0
n∑
i=1
f(ξi, ηi)∆li =
∫
^AB
f(x, y)dl (2)
гэж тэмдэглэнэ.∫
^AB
f(x, y, z)dl
2
^
AB нум нь Oxy хавтгай дээр x = ϕ(t), y = ψ(t), α ≤ t ≤ β гэсэн параметрт
тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол
dl =√
ϕ′2(t) + ψ′2(t)dt
∫
^AB
f(x, y)dl =
β∫
α
f [ϕ(t), ψ(t)]√
ϕ′2(t) + ψ′2(t)dt (3)
^
AB нум нь y = ϕ(x), a ≤ x ≤ b гэсэн ил хэлбэртэй өгөгдсөн бол x = t, y = ϕ(x),
a ≤ t ≤ b байдлаар бичиж (3) томъёо ёсоор
∫
^AB
f(x, y)dl =
b∫
a
f [x, ϕ(x)]√
1 + ϕ′2(x)dx (4)
хэлбэрт бичиж бодно.
3
^
AB нум нь огторгуйд x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β өгөгдсөн бол
∫
^AB
f(x, y, z)dl =
β∫
α
f [ϕ(t), ψ(t), χ(t)]√
ϕ′2(t) + ψ′2(t) + χ′2(t)dt (5)
4
Жишээ. f(x, y) = 3x + 4y функцээс l муруйгаар авсан I төрлийн муруй
шугаман интегралыг бод. l : ~AB, ~BC, ~CA.
A(1; 0)
B(0; 2)
C(4; 0)
x
y
0
Figure 1:
5
∫
l
(3x + 4y)dl =
∫
AB
(3x + 4y)dl +
∫
BC
(3x + 4y)dl +
∫
CA
(3x + 4y)dl =
=√
5 ·0
∫
1
(−5x + 8)dx +
√5
2·
4∫
0
(x + 8)dx + 3 ·1
∫
4
xdx =
=1
2· (29
√5 − 45).
6
Жишээ. f(x, y) = x2 + y2 функцээс^
AB: x2 + y2 = 9 муруйгаар авсан I
төрлийн муруй шугаман интегралыг бод.
^
AB: x = 3 cos t, y = 3 sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
∫
^AB
(x2 + y2)ds =
2π∫
0
9 ·√
x′2t + y
′2t dt = 9
2π∫
0
√
(−3 sin t)2 + (3 cos t)2dt =
= 9 · 32π
∫
0
dt = 54π
7
Жишээ: C нь x2 + y2 = ax тойрог бол
∫
C
√
x2 + y2dl МШИ–г бод.
f(x, y) =√
x2 + y2 нь Ox-ийн хувьд тэгш хэмтэй.
Иймд y ≥ 0 үед y =√ax− x2
dl =√
1 + y′2dx =a
2· dx√
ax− x2;
√
x2 + y2 =√ax.
∫
C
√
x2 + y2dl = 2 ·a
∫
0
a
2·
√ax√
ax− x2dx = 2a2
8
Жишээ: C : x = a(t− sin t), y = a(1 − cos t),
0 ≤ t ≤ 2π циклоидын нэг арк бол
∫
C
y2dl МШИ–г бод.
dl =√
x′2t + y′2t dt = a
√
(1 − cos t)2 + sin2 t =√
2 · a√
1 − cos tdt
болж (3) томъёо ёсоор
∫
C
y2dl =
2π∫
0
[a(1 − cos t)]2a√
2(1 − cos t)dt = 8a3
2π∫
0
sin5 5t
2dt =
256
15a3
болно.
9
Жишээ: Интегралчлах муруй нь C1, C2, C3 муруйн O(0, 0, 0) цэгээс A(1, 1, 1)
цэг хүртэлх нум бол f(x, y, z) = 8x+ 6xy+ 30z функцээс авсан I төрлийн муруй
шугаман интегралыг бод.
C1 : x = t, y = t, z = t, 0 ≤ t ≤ 1.
C2 : x = −1 +1
2· t, y = −1 +
1
2· t, z = −1 +
1
2· t, 2 ≤ t ≤ 4.
C1 : f(x, y, z) = 8x + 6xy + 30z = 8t + 6t2 + 30t = 6t2 + 38t,
ϕ(t) = ψ(t) = χ(t) = t, ϕ′(t) = ψ′(t) = χ′(t) = 1.
∫
C1
(8x + 6xy + 30z)dl =
1∫
0
(6t2 + 38t)√
12 + 12 + 12dt =√
3 · (2t3 + 19t2)|10 =
=√
3 · (1 + 19) = 20√
3.
10
C2 :
f(x, y, z) = 8x + 6xy + 30z = 8 ·(
−1 +t
2
)
+ 6 ·(
−1 +t
2
)2
+ 30 ·(
−1 +t
2
)
=
= 6
(
1 − t +t2
4
)
+ 38 ·(
−1 +t
2
)
=3
2t2 + 13t− 32
ϕ(t) = ψ(t) = χ(t) =
(
−1 +t
2
)
, eϕ′(t) = ψ′(t) = χ′(t) =1
2.
∫
C2
(8x + 6xy + 30z)dl =
4∫
2
(
3
2· t2 + 13 · t− 32
)
√
(
1
2
)2
+
(
1
2
)2
+
(
1
2
)2
dt =
=
√3
2·(
t3
2+
13
2· t2 − 32 · t)
)∣
∣
∣
∣
4
2
= 24√
3.
11
II төрлийн муруй шугаман интеграл
Хавтгай дээр P (x, y) цэг ямар нэг^
MN шугамын дагуу M цэгээс N цэгрүү F
хүчний үйлчлэлээр хөдөлж байг.
F хүчнийOx,Oy тэнхлэг дээрх проекцыг харгалзанX(x, y), Y (x, y) гэж тэмдэглэе.
^
MN шугамаа n хэсэгт хувааж,−→
MiMi+1 векторыг ∆Si-ээр тэмдэглээд P цэгийн
M цэгээс, N цэгт шилжихэд хийгдэх ажлыг бодож олъё.
F (Mi) = Fi,^
MiMi+1 нумын дагуух F хүчний ажлыг Ai гэж тэмдэглэвэл
Ai ≈ Fi · ∆Si
болно.
12
Mi ба Mi+1 цэгийн координатуудын өөрчлөлтийг ∆xi,∆yi гэвэл
∆Si = ∆xi ·~i + ∆yi ·~j
болно.
Иймд Fi хүч, ∆Si замын скаляр үржвэр нь
Fi · ∆Si = X(xi, yi) · ∆xi + Y (xi, yi) · ∆yiболж
^
MN шугамын дагуух F хүчний ажил нь ойролцоогоор
A ≈n
∑
i=1
[X(xi, yi)∆xi + Y (xi, yi)∆yi]
болно. Хэрэв энэ тэнцэтгэлийн баруун гар тал нь λ =maxi=1,n
|∆Si| → 0 үед
шугамын хуваалтаас хамаарахгүй төгсгөлөг, тодорхой хязгаартай байвал тэрхүү
хязгаарыг II төрлийн муруй шугаман интеграл гэж нэрлээд дараах хэлбэртэй
бичнэ.
A = limλ→0
n∑
i=1
[X(xi, yi)∆xi + Y (xi, yi)∆yi] =
∫
^MN
X(x, y)dx + Y (x, y)dy (6)
13
Үүний адилаар^
MN шугамын дагуу X(x, y, z), Y (x, y, z), Z(x, y, z) функцээс
авсан II төрлийн муруй шугаман интеграл нь дараах байдлаар тодорхойлогдоно.
limλ→0
n∑
i=1
[X(xi, yi, zi)∆xi + Y (xi, yi, zi)∆yi + Z(xi, yi, zi)∆zi] =
=
∫
^MN
X(x, y, z)dx + Y (x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz (7)
Чанар 1: II төрлийн муруй шугаман интеграл нь интегралын доорхи функц,
интегралчилж буй муруйн хэлбэр болон интегралчлах чиглэлээс хамаарна.∫
^MN
Xdx+ Y dy = −∫
^NM
Xdx+ Y dy
Чанар 2: Хэрэв^
MN муруйг ямар нэг K цэгээр хуваавал∫
^MN
Xdx+ Y dy =
∫
^MK
Xdx + Y dy +
∫
^KN
Xdx+ Y dy
байна.
14
∮
L
Xdx+ Y dy
x = ϕ(t), y = ψ(t) гэсэн параметрт тэгшитгэлээр өгөгдсөн байг.
Теорем
Хэрэв x = ϕ(t), y = ψ(t) функцүүд тасралтгүй бөгөөд тасралтгүй I эрэмбийн
ϕ′(t), ψ′(t) уламжлалуудтай, X [ϕ(t), ψ(t)] ба Y [ϕ(t), ψ(t)] давхар функцүүд
[α, β] завсарт тасралтгүй байвал
limλ→0
n∑
i=1
X(xi, yi)∆xi = A, limλ→0
n∑
i=1
Y (xi, yi)∆yi = B
хязгаарууд оршин байна.
15
A =
∫
L
Xdx =
∫
^MN
X(x, y)dx =
β∫
α
X [ϕ(t), ψ(t)]ϕ′(t)dt
B =
∫
L
Y dy =
∫
^MN
Y (x, y)dy =
β∫
α
Y [ϕ(t), ψ(t)]ψ′(t)dt
Эдгээрийн нийлбэрийг олбол:
∫
L
Xdx+ Y dy =
β∫
α
{X [ϕ(t), ψ(t)]ϕ′(t) + Y [ϕ(t), ψ(t)]ψ′(t)} dt (8)
болж II төрлийн муруй шугаман интегралыг тодорхой интегралд шилжүүлж
бодох томъёо гарна.
16
L муруй нь x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t) гэсэн параметрт тэгшитгэлээр өгөгдсөн
огторгуйн муруй бол∫
L
Xdx+ Y dy + Zdzx =
=
β∫
α
{X [ϕ(t), ψ(t), χ(t)]ϕ′(t) + Y [ϕ(t), ψ(t), χ(t)]ψ′(t) + Z[ϕ(t), ψ(t), χ(t)]χ′(t)} dt
(9)
17
Жишээ. Хэрэв L нь y = x3 муруйн M(−1;−1) цэгээс N(2; 8) цэг хүртэлх нум
бол
∫
L
xdx + x2ydy интегралыг бод.
y = x3 ⇒ dy = 3x2dx
∫
L
xdx + x2ydy =
2∫
−1
(x + x2 · x3 · 3x2)dx =777
8
18
Жишээ. L нь x+ y = 1, x+ z = 1 хавтгайн огтлолд үүсэх муруйн M(−2; 3; 3)
цэгээс N(1; 0; 0) цэг хүртэлх хэсэг бол
∫
L
(x2dx + y2dy + z2dz) интегралыг бод.
{
x + y = 1
x + z = 1=⇒ y = z, y = 1 − x⇒ dz = dy = −dx.
∫
L
(x2dx + y2dy + z2dz) =
1∫
−2
(−2 + 4x− x2)dx = −15.
19
Жишээ. Хэрэв L нь x2 + y2 = 9 тойргийн (3; 0) цэгээс (0; 3) цэг хүртэлх хэсэг
бол
∫
L
xydx + x2dy интегралыг бод.
x = 3 cos t, y = 3 sin t, 0 ≤ t ≤ π
2=⇒ dx = −3 sin tdt, dy = 3 cos tdt.
∫
L
xydx + x2dy =
π2
∫
0
(
9 cos t sin t · (−3) sin t + 9 cos2 t · 3 cos t)
dt = 9.
20
Муруй шугаман интегралын хэрэглээ
1. Хавтгай дүрсийн талбайг олох. Oxy хавтгай дээр L битүү муруйгаар
хүрээлэгдсэн зөв D муж өгөгдсөн байг. D мужийн Ox тэнхлэг дээрх проекц [a, b]
завсрыг дүүргэж, D муж нь доороосоо y = g(x), дээрээсээ y = h(x), (g(x) ≤h(x)) муруйнуудаар зааглагдсан байг.
Тодорхой интегралын геометр утга ёсоор D мужийн талбай нь
S =
b∫
a
h(x)dx−b
∫
a
g(x)dx
юм. Эхний интеграл нь y = h(x) тэгшитгэлтэй^
MPN, хоёрдугаар интеграл
нь y = g(x) тэгшитгэлтэй^
MQN муруйгаар авсан II төрлийн муруй шугаман
интеграл болно. Иймд II төрлийн муруй шугаман интегралын Чанар 1 ёсоор
21
b∫
a
g(x)dx =
∫
^
MQN
ydx = −∫
^
NQM
ydx,
b∫
a
h(x)dx =
∫
^
MPN
ydx = −∫
^
NPM
ydx болж
S = −∫
^
NPM
ydx−∫
^
MQN
ydx = −∮
L
ydx
гэж олдоно.
Хэрэв L муруйн хэсэг M1M хэрчим Oy тэнхлэгтэй параллель бол
S =
∫
M1M
ydx = 0
22
болно. Иймд ямар ч тохиолдолд
S =
∮
L
ydx (10)
байна. Үүнтэй адилаар
S =
∮
L
xdy (11)
болохыг хялбархан баталж болно.
Ийнхүү (10), (11) томъёоноос D мужийн талбай
S =1
2
∮
L
xdy − ydx (12)
томъёогоор олдоно.
23
Жишээ. x = a cos t, y = b sin t эллипсийн талбайг ол.
(12) томъёо ёсоор
S =1
2
∮
L
xdy − ydx =1
2
2π∫
0
[a cos t(b sin t) − b sin t(−a sin t)]dt = πab.
Санамж. Хэрэв D муж нь зөв муж биш боловч төгсгөлөг тооны зөв мужид
хуваагдаж байвал (12) томъёо мөн биелэнэ.
24
2. F Хүчний ажлыг олох. II төрлийн муруй шугаман интегралд өгүүлсэн
ёсоор огторгуйн L ≡^
MN шугамын дагуу
F = X(x, y, z)i + Y (x, y, z)j + Z(x, y, z)k
хүчний хийсэн ажил
A =
∫
^
MN
Xdx+ Y dy + Zdz (13)
болно.
25
Жишээ. m масстай цэг хүндийн хүчний үйлчлэлээрM(a1, b1, c1) цэгээсN(a2, b2, c2)
цэгт дурын замаар шилжин очиход хийгдэх ажлыг ол.
Хүндийн хүч F–ийн координатын тэнхлэгүүд дээрх проекц
X = 0, Y = 0, Z = −mg
болох учраас муруйн тэгшитгэлийн параметр t = z гэвэл
A = −∫
^
MN
mgdz = −mg∫
^
MN
dz = −mgc2
∫
c1
dz = mg(c1 − c2)
26
Гриний томъёо
D мужаар авсан хоёрлосон интеграл ба D мужийн хил L муруйгаар авсан
муруй шугаман интеграл хоёрын хоорондын холбоог тогтооё.
Oxy хавтгай дээр L муруйгаар зааглагдсан зөв муж D нь доороосоо y = g(x),
дээрээсээ y = h(x) (g(x) ≤ h(x), a ≤ x ≤ b) муруйнуудаар зааглагдсан байг.
D муж дээр X(x, y), Y (x, y) функцүүд тасралтгүй бөгөөд тасралтгүй тухайн
уламжлалуудтай байг.
Энэ үед
∫
Д
∫
∂X(x, y)
∂ydxdy интеграл оршин байна. Өгөгдсөнийг ашиглан сүүлийн
интегралыг бодвол:
∫
D
∫
∂X(x, y)
∂ydxdy =
b∫
a
dx
h(x)∫
g(x)
∂X
∂ydy =
b∫
a
[X(x, h(x)) −X(x, g(x))]dx (14)
27
∫
^
MPN
X(x, y)dx II төрлийн муруй шугаман интегралд^
MPN муруй нь x = x,
y = h(x), a ≤ x ≤ b параметрт тэгшитгэлтэй учраас
∫
^
MPN
X(x, y)dx =
b∫
a
X(x, h(x))dx (15)
болно. Мөн үүнтэй адилаар
∫
^
MQN
X(x, y)dx =
b∫
a
X(x, g(x))dx (16)
28
болох бөгөөд (15), (16) -ийг (14)-д тавибал:∫
D
∫
∂X
∂ydxdy =
∫
^MPN
X(x, y)dx−∫
^MQN
X(x, y)dx =
∫
^
MPN
X(x, y)dx+ (17)
+
∫
^
NQM
X(x, y)dx =
∮
L
Xdx (18)
Үүнтэй адилаар:∫
D
∫
∂Y
∂xdxdy = −
∮
L
Y dy (19)
болно. (17)–аас (19)–ийг хасвал∫
D
∫(
∂X
∂y− ∂Y
∂x
)
dxdy =
∮
L
Xdx + Y dy.
Энд интегралчлах чиглэлийг нь цагийн зүүний эсрэгээр соливол∫
D
∫(
∂Y
∂x− ∂X
∂y
)
dxdy =
∮
L
Xdx+ Y dy (20)
29
хэлбэртэй болох бөгөөд үүнийг МШИ-ыг бодох Гриний томъёо гэнэ.
ХэрэвD муж нь зөв муж биш боловч төгсгөлөг тооны зөв мужуудад хуваагдаж
байвал Грины томъёо мөн хүчинтэй байна.
30
I төрлийн муруй шугаман интегралын интегралчлах замын
хэлбэрээс хамаарахгүй байх нөхцөл
M, N цэгүүдийг холбоход үүссэн L муруйгаар авсан∫
L
X(x, y)dx + Y (x, y)dy (21)
интегралын, L муруйн хэлбэрээс хамаарахгүй байх нөхцлийг нь олъё. X(x, y),
Y (x, y) функцүүд M, N цэгүүдийг агуулсан D муж дээр тасралтгүй тухайн
уламжлалуудтай байг.
M, N цэгийг холбосон, D мужид бүхлээрээ орших дурын^
MPN,^
MQN
гэсэн хоёр муруй авъя. Хэрвээ (21) интеграл нь интегралчлах муруйн хэлбэрээс
хамаарахгүй бол∫
^MPN
Xdx+ Y dy =
∫
^MQN
Xdx+ Y dy
31
энэ тэгшитгэл II төрлийн МШИ-ын чанар ёсоор∫
^MPN
Xdx + Y dy +
∫
^NQM
Xdx+ Y dy = 0
болно. Өөрөөр хэлбэлM, N цэгүүдийг агуулсан дурын битүү муруй L–ийн хувьд
II төрлийн МШИ нь дараах нөхцлийг хангана.∮
L
X(x, y)dx + Y (x, y)dy = 0 (22)
Теорем.
ХэрвээD муж дээрX(x, y), Y (x, y) функцүүд болон∂X
∂y,∂Y
∂xтухайн уламжлалууд
нь тасралтгүй бол D муж дээрх дурын L битүү муруйгаар авсан II төрлийн
МШИ-ийн тэгтэй тэнцүү байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
∂X
∂y=∂Y
∂x(23)
тэнцэтгэл биелэх явдал юм.
32
D муж дээр дурын L битүү муруй авахад Гриний томъёо ёсоор∫ ∫
D′
(
∂Y
∂x− ∂X
∂y
)
dxdy =
∮
L
Xdx+ Y dy
болно. Энэ нь (23) томъёо ёсоор (22) тэнцэтгэл биелэнэ гэсэн үг.
Эндээс үзвэл (23) нөхцөл нь ямар нэг U (x, y) функцийн бүтэн дифференциал
байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл болно. Иймд
Xdx+ Y dy = dU (x, y) =⇒ X(x, y) =∂U
∂x, Y (x, y) =
∂U
∂y
Энэ үед дараах вектор функц нь U (x, y) функцийн градиент, U (x, y) функц нь
~F векторын потенциал болно.
~F = X ·~i + Y ·~j =∂U
∂x·~i +
∂U
∂y·~j
Теорем. Хэрвээ (23) нөхцөл биелж байвал M, N цэгүүдийг холбосон дурын
L муруйгаар авсан II төрлийн МШИ J =
∫
L
Xdx + Y dy нь U (x, y) функцийн
33
эдгээр цэгүүд дээрх утгуудын ялгавартай тэнцүү байна.
∫
^MN
Xdx+ Y dy =
N∫
M
dU (x, y) = U (N) − U (M)
34
