Решим задачу о вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции , отрезками прямых

, и осью Ox.Такую фигуру называют криволинейной трапецией

xfy ax bx

a b1ix ix

Разобьем отрезок ba, на n частей точками bxxxxxxa nii ,...,,,...,,, 1210 . При этом криволинейная трапеция разобьется на n элементарных криволинейных трапеций. Заменим каждую такую криволинейную трапецию прямоугольником с основанием 1 iii xxx , где ni ,..,2,1 и

высотой ixfh , где ix -произвольно

выбранная внутри отрезка ii xx ,1 точка.

Площадь прямоугольника будет

равна iii xxfS , а площадь

всей криволинейной фигуры приблизительно будет равна сумме площадей всех прямоугольников:

n

i

n

iiii xxfSS

1 1.

Определение.

Выражение

n

iii xxf

1, где

1 iii xxx , называется

интегральной суммой функции xf

на отрезке ba, .

Определение.

Если существует конечный

n

iii

xxxf

i 10maxlim , не

зависящий ни от способа разбиения отрезка

ba, на части, ни от выбора точек iii xxx ,1 ,

то этот предел называется определенным интегралом функции xf на отрезке ba, и

обозначается b

adxxf .

Замечание. С геометрической точки зрения

при 0xf b

adxxf равен

площади криволинейной трапеции

Теорема. Если функция xf непрерывна на

отрезке ba, , то ii

n

ixxxf

i

10max

lim

существует и конечен, т.е.

существует и конечен b

adxxf .

1. a

adxxf 0 ;

2. b

aabdx ;

3. b

a

a

bdxxfdxxf ;

4. b

a

b

a

b

adxxfdxxfdxxfxf 2121 ;

5. b

a

b

adxxfKdxxKf ;

6. b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf ;

7. b

adxxf 0 , если 0xf .

Если функция непрерывна на то существует такая точка

что

],,[ ba).)(()( abfdxxf

b

a

)(xfy

a b

],,[ ba

Теорема. Пусть xF - первообразная функции xf .

Тогда b

aaFbFdxxf .

Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница, из которой следует, что для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции.

Вычислить .dxex

3

0

3

03

13

3

13

0

3

13

0

3

13

0

3 33 eeedxedxexx

x

e

e

ee

1

311

313 1

Теорема (Замена переменной в определенном интеграле). Пусть xf непрерывна на ba, , а

функция tx непрерывна вместе

со своей производной t на

отрезке , , причем a ,

b . Тогда

dtttfdxxfb

a

.

2

1

23

0

2

2

21

2,3

1,0

2,1

1

1

1tdt

t

t

tx

tx

tdtdxtx

tx

tx

x

xdx

1

3

12

3

82

321212

2

1

2

1

2

1

322 t

tdttdtt

3

8

3

421

3

721

3

12

3

82

Теорема (Интегрирование по частям в определенном интеграле). Если функции xuu , xvv и их

производные xu и

xv непрерывны на отрезке ba, , то

b

a

b

a

b

avduvuudv .

eee

x

dxxxx

xvdxdvx

dxduxu

xdx1

11

ln,

,lnln

111lnlnln1

11

eexeedxxxeee

Замечание.

dxxfa

не является определенным интегралом.

Считается по определению, что

a

b

abdxxfdxxf lim . Если этот предел

конечен, то

adxxf , называемый

несобственным, сходится. Если же этот предел не является конечным, то интеграл расходится.

. Вычислить несобственный интеграл

(или установить его расходимость).

Этот несобственный интеграл расходится.

02 4x

xdx

22

2 2 00 0

2

1 ( 4) 1lim lim ln( 4)

4 2 4 2

1lim (ln( 4) ln 4)

2

bb

b b

b

xdx d xx

x x

b

Несобственный интеграл

20 4

dx

x

1 1lim ( )

2 2 2 2 2 4b

barctg arctg

Площадь такой фигуры, называемой криволинейной трапецией, вычисляют по

формуле b

adxxfS .

Площадь фигуры в декартовых координатах.

0

xfy

a bx

y

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций xfy 1 , xfy 2 , xfxf 21 и двумя прямыми

ax и bx определяется по формуле b

adxxfxfS 12

В случае параметрического задания кривой, площадь фигуры, ограниченной прямыми , осью Ох и кривой вычисляют по формуле где пределы интегрирования

определяют из

уравнений .

,)()(2

1

t

t

dtttS

)(),( 21 tbta

.

bxax ,),( ),( tytx

Площадь полярного сектора вычисляют по формуле

drS )(2

1 2.

α β

)(rr

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

322 xxy12 xy

Получим

dxxxxS1

2

22 132

1

2

2 422 dxxx

1

2

23

223

2 xxx

6

3

82

2

1

3

124

2

4

3

82

2

1

3

12

92

92

2

1832

1

2

2 22 dxxx

Найти площадь эллипса . Параметрические уравнения эллипса

12

2

2

2

b

y

a

x

.sin,cos tbytax

у

a

b

о

.2

2)2sin2

1(4

2

1

2

2cos14sin4

)sin(sin4

2/0

2/

0

2/

0

2

0

2/

ababttab

dtt

abtdtab

dttatbS

х

Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

и лежащей вне круга радиуса :

2cos22 ar

6/

0

226/

0

26/

0

2 )4

12sin

4

1(

22

12cos

2

1

aada

da

2

ar

)3

3(8

)62

3(

4)

63(sin

4

1 222

aa

a

)3

3(2

2

aS

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то длина ее дуги

, где –значения параметра,

соответствующие концам дуги .

tx ty

dtttl

t

t 2

1

22

21 t,t

Если кривая задана уравнением ,

то , где a, b–абсциссы начала и конца дуги .

Если кривая задана уравнением , то ,

где c, d–ординаты начала и конца дуги

xfy dxxfl

b

a 21

ygx dyygld

c 21

ba

dc

Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то

, где –значения полярного угла,

соответствующие концам дуги .

dl 22

,

Вычислить длину дуги кривой от точки до . , тогда

3xy 00,O 84,B

21

23

2

3xxy

dxxl4

04

91

4

0

4 9 91 1

9 4 4xd x

32 4

0

4 2 9 81 10 10 1

9 3 4 27x

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле .

xfy bxa

bx,ax

b

a

x dxxfπV 2

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле

.

ygx dyc dy,cy

d

c

y dyygV 2

Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями и

Рис. 14

А

0

1

1

y

2xy

xy

xy 2xy

Тогда 1

0

221

0

2dxxdxxVx

1 14

0 0

xdx x dx 1

0

51

0

2

52

xx

10

3

52