ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ – ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ

ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΜΑΝΟΥΚΑΣ Δρ. Πολιτικός Μηχανικός

ΤΡΙΚΑΛΑ, ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2013

1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ........................................................................................3 1.1 Το στατικό πρόβλημα........................................................................................ 3 1.2 Προσομοίωμα φορέα ......................................................................................... 4 1.3 Εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση.................................................. 5 1.4 Το αντικείμενο του μαθήματος ......................................................................... 7 2. Ο ΕΠΙΠΕΔΟΣ ΔΙΣΚΟΣ....................................................................9 2.1 Ορισμός.............................................................................................................. 9 2.2 Η κίνηση του δίσκου στο επίπεδο ..................................................................... 9 2.3 Η στήριξη του δίσκου στο επίπεδο.................................................................. 10 2.4 Υπολογισμός αντιδράσεων δίσκου.................................................................. 11 3. ΤΑ ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ..............................................................14 3.1 Γενικά............................................................................................................... 14 3.2 Συμβατικά θετικές φορές των φορτίων διατομής .......................................... 14 3.3 Η μέθοδος των διαχωριστικών τομών ............................................................ 15 3.4 Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής ........................................................ 17 3.5 Οι διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας .............................................................. 19 3.6 Οι θεμελιώδεις ιδιότητες των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής .......... 20 4. ΑΠΛΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ..................................................22 4.1 Γενικά............................................................................................................... 22 4.2 Η αμφιέρειστη δοκός....................................................................................... 22 4.3 Ο απλός ευθύγραμμος πρόβολος ..................................................................... 23 4.4 Η αρχή της ομόλογης δοκού............................................................................ 24 4.5 Πορεία επίλυσης απλών ισοστατικών φορέων ............................................... 25 5. ΑΠΛΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ...................................................................29 5.1 Ορισμός και παραδοχές υπολογισμού δικτυωμάτων...................................... 29 5.2 Μόρφωση και στερεότητα απλών δικτυωμάτων ........................................... 31 5.3 Μέθοδοι υπολογισμού απλών δικτυωμάτων................................................... 32 6. ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ..........................................35 6.1 Τριαρθρωτοί φορείς ........................................................................................ 35 6.2 Αρθρωτές δοκοί (Gerber)................................................................................ 36 6.3 Σύνθετοι ισοστατικοί φορείς τυχαίας μορφής ................................................ 38 7. ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ............................39 8. ΕΥΡΕΣΗ ΒΑΘΜΟΥ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΑΟΡΙΣΤΙΑΣ............................41 9. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ..........................................................43 9.1 Το σκεπτικό της μεθόδου δυνάμεων ............................................................... 43 9.2 Βήμα προς βήμα διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου δυνάμεων .................. 45

2

10. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΡΟΠΩΝ ..........................................49 11. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ...........................................................................51

3

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Το στατικό πρόβλημα

Η Στατική είναι ο κλάδος της Μηχανικής που έχει ως αντικείμενο τον

προσδιορισμό της εντασιακής και παραμορφωσιακής κατάστασης μιας κατασκευής

(ενός φορέα), π.χ. ενός κτιρίου, μιας γέφυρας κτλ., υπό τα διάφορα φορτία που

αναμένεται να δεχθεί (φέρει) κατά τη διάρκεια ζωής της. Ειδικότερα, η Στατική

μελετά καταρχάς τη συμπεριφορά των φορέων των οποίων τα φορτία δεν είναι

συναρτήσεις του χρόνου (στατικά φορτία). Η συμπεριφορά των φορέων υπό φορτία

που μεταβάλλονται με το χρόνο (δυναμικά φορτία) αποτελεί αντικείμενο της

Δυναμικής. Χάριν απλότητας όμως, γίνεται αποδεκτό τα δυναμικά φορτία να

προσεγγίζονται από κατάλληλα στατικά φορτία. Έτσι, η επιστήμη της Στατικής

μπορεί να αντιμετωπίσει το σύνολο των φορτίων που ασκούνται στις συνήθεις

κατασκευές.

Η γνώση της Στατικής είναι απαραίτητη κατά τη μελέτη – σχεδιασμό

οποιασδήποτε κατασκευής, καθώς επιτρέπει στον μελετητή – σχεδιαστή να κάνει τη

λεγόμενη διαστασιολόγηση του φορέα, δηλαδή να καθορίσει τις διαστάσεις και τα

υλικά κατασκευής του.

Παρατήρηση 1: Παλαιότερα η εφαρμογή των μεθόδων της Στατικής «με το χέρι»

ήταν αναπόσπαστο μέρος της καθημερινής πράξης των μηχανικών – σχεδιαστών και

η σημασία της καλής γνώσης της προφανής. Σήμερα πλέον, η ανάλυση των

κατασκευών γίνεται πλήρως αυτοματοποιημένα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή.

Τίθεται επομένως το ερώτημα: ποια η σκοπιμότητα και η πρακτική αξία της

εκμάθησης από τους σπουδαστές της κλασικής Στατικής; Η απάντηση είναι ότι η

βαθιά γνώση της κλασικής Στατικής διατηρεί και σήμερα ακέραια τη σημασία της,

καθώς βοηθάει τον σπουδαστή και αυριανό μελετητή να κατανοήσει καλύτερα τη

μηχανική συμπεριφορά των φορέων (να αναπτύξει το λεγόμενο «στατικό

αισθητήριο»), πράγμα που θα του επιτρέψει να χειρίζεται με επάρκεια το σχετικό

λογισμικό και, κυρίως, να ελέγχει τα εξαγόμενα αποτελέσματα.

Στην πράξη όλοι οι στατικοί υπολογισμοί διεξάγονται όχι επί του πραγματικού

φορέα, αλλά επί ενός εξιδανικευμένου προσομοιώματος (μοντέλου) που θεωρείται ότι

αποδίδει ικανοποιητικά την πραγματική μηχανική συμπεριφορά του. Έτσι, τα

δεδομένα ενός στατικού προβλήματος είναι πάντα το προσομοίωμα ενός φορέα, ενώ

το ζητούμενο η εντασιακή και παραμορφωσιακή του κατάσταση, δηλαδή οι

4

εσωτερικές δυνάμεις και ροπές που τον καταπονούν (φορτία διατομής), οι

παραμορφώσεις και οι μετακινήσεις των κόμβων του.

1.2 Προσομοίωμα φορέα

Το προσομοίωμα ενός φορέα περιλαμβάνει καταρχάς εκείνα τα μέρη (δομικά

στοιχεία) του φορέα που θεωρείται ότι θα φέρουν το σύνολο των φορτίων. Τα δομικά

στοιχεία αυτά αποκαλούνται φέροντα, σε αντιδιαστολή με τα μη φέροντα δομικά

στοιχεία που θεωρείται ότι δεν συμβάλλουν στην παραλαβή φορτίων και

συμπεριλαμβάνονται στο προσομοίωμα μόνο σε ειδικές περιπτώσεις. Για παράδειγμα

σε ένα κτίριο οπλισμένου σκυροδέματος φέροντα δομικά στοιχεία θεωρούνται τα

υποστυλώματα, οι δοκοί, τα τοιχώματα, οι πλάκες και τα θεμέλια, ενώ μη φέροντα οι

τοιχοποιίες πλήρωσης (εκτός από ειδικές περιπτώσεις), οι επιστρώσεις των δαπέδων,

οι επενδύσεις τοίχων, κτλ.

Τα δομικά στοιχεία διακρίνονται στις εξής κατηγορίες:

Γραμμικά στοιχεία, δηλαδή στοιχεία που η μία τους διάσταση είναι πολύ

μεγαλύτερη από τις άλλες δύο. Για παράδειγμα, σε ένα κτίριο οπλισμένου

σκυροδέματος γραμμικά στοιχεία είναι οι δοκοί, τα υποστυλώματα και τα

τοιχώματα με μεγάλο λόγο ύψους προς μήκος διατομής.

Επιφανειακά στοιχεία, δηλαδή στοιχεία που η μία τους διάσταση είναι

πολύ μικρότερη από τις άλλες δύο. Για παράδειγμα, επιφανειακά στοιχεία

είναι οι πλάκες και τα τοιχώματα με μικρό λόγο ύψους προς μήκος διατομής.

Στοιχεία όγκου, δηλαδή στοιχεία στα οποία οι τρεις διαστάσεις είναι της

ίδιας τάξης μεγέθους. Τέτοια στοιχεία είναι σπάνια (π.χ. ογκώδη θεμέλια

ειδικών κατασκευών).

Πέραν όμως από τα δομικά στοιχεία του φορέα, θα πρέπει να προσομοιωθούν

κατάλληλα και τα φορτία τα οποία φέρει. Το μοντέλο π.χ. του ιδίου βάρους μιας

τοιχοποιίας μπορεί να είναι ένα ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο, ενώ το μοντέλο

του βάρους ενός αντικειμένου περιορισμένων διαστάσεων μπορεί να είναι μια

μοναχική δύναμη. Τα φορτία που επιβαρύνουν κάθε συνήθη κατασκευή, διακρίνονται

στις εξής κατηγορίες:

Μόνιμα φορτία. Είναι τα φορτία που είναι γνωστά ως προς το μέγεθος και

τη θέση τους και αναμένεται να παραμείνουν στην κατασκευή καθ’ όλη τη

διάρκεια ζωής της. Τέτοια φορτία σε ένα κτίριο είναι π.χ. το ίδιο βάρος των

5

φερόντων δομικών στοιχείων, το βάρος των τοιχοποιιών πλήρωσης, των

επιστρώσεων, κλπ.

Κινητά ή μεταβλητά φορτία. Είναι τα φορτία που είτε η θέση τους στην

κατασκευή δεν είναι σταθερή, είτε δεν θα παραμείνουν μόνιμα (πάντως όμως

για αρκετά μεγάλα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία θεωρείται ότι δεν

μεταβάλλονται σε συνάρτηση με το χρόνο). Το μέγεθός τους θεωρείται κατά

σύμβαση γνωστό (λαμβάνεται από κανονισμούς φορτίσεων). Τέτοια φορτία

σε ένα κτίριο είναι π.χ. τα έπιπλα, οι άνθρωποι, κτλ.

Τυχηματικά φορτία. Είναι φορτία με τυχαίο μέγεθος και τυχαία κατανομή

στο χώρο και το χρόνο. Τέτοια φορτία είναι π.χ. ο σεισμός, η πρόσκρουση

οχημάτων, οι εκρήξεις, κτλ. Δεδομένου ότι τα τυχηματικά φορτία είναι

εξαρτώμενα από το χρόνο, δηλαδή είναι δυναμικά φορτία, ο ακριβής

υπολογισμός της επίδρασής τους στις κατασκευές απαιτεί την εφαρμογή των

αρχών της Δυναμικής. Ωστόσο, όπως προαναφέρθηκε, χάρη σε ορισμένες

παραδοχές τα δυναμικά φορτία μπορούν να αντικατασταθούν από στατικά

και να αντιμετωπιστούν έτσι στο πλαίσιο της Στατικής.

Τέλος, το προσομοίωμα ενός φορέα περιλαμβάνει και το υπόβαθρο που αυτός

στηρίζεται. Στην απλούστερη - αλλά συνηθισμένη στην πράξη - περίπτωση, το

υπόβαθρο μπορεί να θεωρηθεί εντελώς απαραμόρφωτο και η σύνδεση του φορέα με

αυτό να προσομοιωθεί μέσω κατάλληλων μηχανισμών στήριξης. Εναλλακτικά, οι

στηρίξεις μπορεί να θεωρηθούν ενδόσιμες, πράγμα που υλοποιείται στο υπολογιστικό

προσομοίωμα με τη βοήθεια κατάλληλων ελατηρίων (γραμμικών ή και στροφικών).

Τέλος, σε ειδικές κατασκευές με μεγαλύτερες απαιτήσεις ακρίβειας, το υπόβαθρο

μπορεί να προσομοιωθεί με δισδιάστατα ή τρισδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία.

1.3 Εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση

Κάθε φορέας υπό την επίδραση μιας συγκεκριμένης φόρτισης εμφανίζει μια

αντίστοιχη εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση. Με τον όρο εντασιακή

κατάσταση νοείται το σύνολο των εξωτερικών (αντιδράσεις) και εσωτερικών

(φορτία διατομής) εντασιακών μεγεθών ενός φορέα. Αντιστοίχως, με τον όρο

παραμορφωσιακή κατάσταση νοείται το σύνολο των εξωτερικών (μετατοπίσεις

και στροφές κόμβων) και εσωτερικών (παραμορφώσεις) παραμορφωσιακών

μεγεθών. Η εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση ενός φορέα συνίσταται σε

6

επιμέρους καταστάσεις επιπόνησης που εν γένει συνυπάρχουν σε κάθε δομικό

στοιχείο. Οι καταστάσεις επιπόνησης είναι οι εξής τέσσερεις: διάταση, κάμψη,

διάτμηση, στρέψη. Σε κάθε κατάσταση επιπόνησης αντιστοιχεί ένα είδος φορτίου

διατομής και ένα εργικά ανταποκρινόμενο μέγεθος παραμόρφωσης, τα οποία

συνδέονται αναλογικά μεταξύ τους με συντελεστή αναλογίας μια ποσότητα που

ονομάζεται στιβαρότητα και εξαρτάται από το υλικό και το σχήμα της διατομής

κάθε δομικού στοιχείου. Στον πίνακα 1.1 συνοψίζονται οι καταστάσεις επιπόνησης,

με τα σχετιζόμενα μεγέθη (φορτία διατομής, παραμορφωσιακά μεγέθη,

στιβαρότητες). Με κάθε μέγεθος δίνονται οι μονάδες μέτρησής του και οι αντίστοιχοι

συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται συνήθως στην πράξη.

Πίνακας 1.1 Καταστάσεις επιπόνησης Κατάσταση επιπόνησης Φορτίο διατομής Μέγεθος

παραμόρφωσης Στιβαρότητα

Διάταση (εφελκυσμός ή

θλίψη)

Αξονική δύναμη (εφελκυστική ή

θλιπτική) N (kN)

Αξονική παραμόρφωση (επιμήκυνση ή επιβράχυνση)

ε (-)

Δυστένεια EA (kN)

Κάμψη Ροπή κάμψης M (kNm)

Καμπύλωση κ (m-1)

Δυσκαμψία EI (kNm2)

Διάτμηση Τέμνουσα δύναμη Q ή V (kN)

Γωνιακή παραμόρφωση

γ (-)

Δυστμησία GAs (kN)

Στρέψη Ροπή στρέψης MT (kNm)

Συστροφή θ (m-1)

Δυστρεψία GIT (kNm2)

Επεξήγηση συμβολισμών Ε: Μέτρο ελαστικότητας υλικού (kN/m2 = kPa) G: Μέτρο διάτμησης ή ολίσθησης υλικού (kN/m2 = kPa) Α: Εμβαδόν διατομής (m2) Ι: Ροπή αδράνειας διατομής (m4) As: Επιφάνεια διάτμησης διατομής (m2) IT: Στρεπτική ροπή αδράνειας διατομής (m4)

Παρατήρηση 1: Εν γένει τα φορτία διατομής που καταπονούν ένα δομικό στοιχείο

στο χώρο είναι έξι (και όχι τέσσερα), καθώς ροπές κάμψης και τέμνουσες δυνάμεις

υπάρχουν σε δύο άξονες. Το ίδιο ισχύει και για τα αντίστοιχα παραμορφωσιακά

μεγέθη.

Παρατήρηση 2: Οι στιβαρότητες εξαρτώνται από δύο παράγοντες, ο ένας εκ των

οποίων εκφράζει τη συμβολή του υλικού (Ε ή G) και ο άλλος τη συμβολή του

7

σχήματος της διατομής του δομικού στοιχείου (Α ή Ι ή As ή IT). Διευκρινίζεται ότι οι

στιβαρότητες του πίνακα αναφέρονται σε επίπεδο διατομής. Στην πραγματικότητα οι

στιβαρότητες ενός γραμμικού δομικού στοιχείου εξαρτώνται επιπλέον και από το

μήκος και τις συνθήκες στήριξής του.

Παρατήρηση 3: Πολλές φορές στην πράξη, ο όρος δυσκαμψία χρησιμοποιείται

λανθασμένα για να εκφράσει το σύνολο των στιβαροτήτων μιας διατομής. Επίσης,

μερικές φορές, αντί του όρου ‘’δυσκαμψία’’ χρησιμοποιείται ο όρος ‘’ακαμψία’’, που

στην κυριολεξία σημαίνει πρακτικώς άπειρη δυσκαμψία. Καλό είναι η χρήση των

παραπάνω όρων να γίνεται προσεκτικά, ώστε να αποφεύγονται παρερμηνείες.

1.4 Το αντικείμενο του μαθήματος

Όπως προκύπτει από την ανάπτυξη που προηγήθηκε, το αντικείμενο της Στατικής

είναι αρκετά ευρύ. Το μάθημα της Στατικής ΙΙ περιορίζεται στη μελέτη των

γραμμικών επίπεδων φορέων υπό την επίδραση εξωτερικών φορτίων (όχι

καταναγκασμών) στο πλαίσιο της Γραμμικής Στατικής.

Γραμμικός ονομάζεται ένας δομικός φορέας που αποτελείται αποκλειστικά

και μόνο από γραμμικά δομικά στοιχεία.

Επίπεδος ονομάζεται ένας δομικός φορέας του οποίου όλα τα δομικά

στοιχεία και όλα τα φορτία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Γραμμική Στατική ονομάζεται το υποσύνολο της Στατικής που για τη μελέτη

των φορέων δέχεται απλοποιητικά ότι οι σχέσεις που συνδέουν τα εντασιακά

και παραμορφωσιακά μεγέθη είναι γραμμικές.

Οι παραπάνω περιορισμοί απλοποιούν σε μεγάλο βαθμό την διαδικασία επίλυσης των

φορέων αφού, μεταξύ άλλων, επιφέρουν τις εξής συνέπειες:

Τα φορτία διατομής περιορίζονται σε τρία από έξι (ροπή κάμψης, τέμνουσα

και αξονική δύναμη).

Επιτρέπεται η χρήση της Αρχής της Επαλληλίας, σύμφωνα με την οποία η

ένταση ενός φορέα υπό πολλαπλά αίτια μπορεί να υπολογιστεί ανεξάρτητα

για κάθε αίτιο και κατόπιν να αθροιστούν τα αποτελέσματα.

Σε ότι αφορά ειδικότερα στη διδακτέα ύλη, το πρώτο μέρος του μαθήματος

περιλαμβάνει μια γενική επανάληψη των βασικών αρχών της Στατικής και των

μεθόδων προσδιορισμού της έντασης των απλών ισοστατικών συμπαγών φορέων. Για

λόγους πληρότητας και μόνο, στις ανά χείρας σημειώσεις γίνεται αναφορά επιπλέον

8

στα απλά δικτυώματα και στους σύνθετους ισοστατικούς φορείς. Τέλος, το δεύτερο

μέρος του μαθήματος είναι αφιερωμένο σε κάποιες από τις πιο γνωστές μεθόδους

επίλυσης υπερστατικών φορέων.

9

2. Ο ΕΠΙΠΕΔΟΣ ΔΙΣΚΟΣ 2.1 Ορισμός

Δίσκος είναι ένα σώμα, που υπό την παραδοχή ότι όλα τα επιμέρους δομικά του

στοιχεία είναι απαραμόρφωτα, είναι και αυτός στο σύνολό του απαραμόρφωτος.

Πρακτικά δίσκος θεωρείται οποιοδήποτε συνεχές τμήμα ενός φορέα που δεν

διακόπτεται από εσωτερικούς μηχανισμούς, π.χ. εσωτερικές αρθρώσεις. Όταν όλα τα

δομικά στοιχεία ενός δίσκου βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε αυτός καλείται

επίπεδος.

2.2 Η κίνηση του δίσκου στο επίπεδο

Έστω ένας επίπεδος δίσκος που αποτελείται από ένα γραμμικό δομικό στοιχείο (η

επιλογή της απλούστερης αυτής μορφής δίσκου δεν περιορίζει την γενικότητα των

συμπερασμάτων που θα εξαχθούν). Ο δίσκος (σχ. 2.1) μετακινείται στο επίπεδο από

την αρχική του θέση ΑΒ στην τελική Α΄Β΄΄. Η κίνηση αυτή μπορεί να αναλυθεί σε

τρεις επιμέρους μετακινήσεις ως εξής: καταρχάς ο δίσκος υφίσταται μια παράλληλη

μετατόπιση στη θέση Α΄Β΄ που περιλαμβάνει μια κατακόρυφη συνιστώσα uy και

μια οριζόντια ux. Στη συνέχεια υφίσταται μια περιστροφή φ γύρω από το σημείο Α΄.

Οι τρεις αυτές δυνατότητες μετακίνησης (ux, uy, φ) που διαθέτει ένας δίσκος στο

επίπεδο ονομάζονται ελευθερίες κίνησης ή βαθμοί ελευθερίας.

Σχήμα 2.1 Η κίνηση του δίσκου στο επίπεδο

10

2.3 Η στήριξη του δίσκου στο επίπεδο

Προκειμένου ένας επίπεδος δίσκος να στηριχθεί στερεά θα πρέπει να αρθούν οι

τρεις διαθέσιμες ελευθερίες κίνησης. Αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια των

δεσμικών ράβδων. Οι δεσμικές ράβδοι μπορεί να είναι είτε δρομικές είτε

στροφικές. Κάθε δρομική δεσμική ράβδος απαγορεύει τη μετατόπιση κατά τη

διεύθυνσή της και παράλληλα εισάγει μια αντίδραση-δύναμη κατά την ίδια

διεύθυνση. Κάθε στροφική δεσμική ράβδος απαγορεύει τη στροφή γύρω από το

σημείο τοποθέτησής της και παράλληλα εισάγει μια αντίδραση-ροπή.

Στην απλούστερη περίπτωση ένας δίσκος μπορεί να στηριχτεί μόνο με δρομικές

δεσμικές ράβδους (σχ. 2.2). Δεδομένου ότι οι ελευθερίες κίνησης του επίπεδου

δίσκου είναι τρεις, τόσος είναι και ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός δεσμικών

ράβδων ώστε η στήριξη να είναι στερεή. Ωστόσο, η ύπαρξη του ελάχιστου αριθμού

δεσμικών ράβδων δεν αρκεί για να εξασφαλίσει την στερεότητα στήριξης (αναγκαία

συνθήκη, αλλά όχι ικανή). Θα πρέπει επιπλέον οι δεσμικές ράβδοι να είναι και

κατάλληλα διατεταγμένες, ώστε να αποφεύγονται ασταθείς (χαλαρές) μορφές

στήριξης. Για παράδειγμα, όταν ο δίσκος στηρίζεται με δρομικές δεσμικές ράβδους,

τότε αυτές δεν πρέπει να είναι όλες παράλληλες, ούτε οι φορείς τους να τέμνονται

όλοι στο ίδιο σημείο.

(α) (β) (γ)

Σχήμα 2.2 Στήριξη δίσκου με δρομικές δεσμικές ράβδους (α) στερεή (β), (γ) χαλαρή

Στην πράξη οι φορείς στηρίζονται στο στερεό υπόβαθρο μέσω κατάλληλων

μηχανισμών-εφεδράνων που ονομάζονται στηρίξεις. Οι συνηθέστερες είναι οι εξής:

Κύλιση. Η κύλιση αντιστοιχεί σε στήριξη με μια δρομική δεσμική ράβδο.

Έτσι, απαγορεύει τη μετατόπιση κατά τη διεύθυνση της ράβδου και εισάγει

μια αντίδραση-δύναμη κατά την ίδια διεύθυνση.

Άρθρωση. Η άρθρωση αντιστοιχεί σε στήριξη με δύο δρομικές δεσμικές

ράβδους που τέμνονται σε ένα σημείο. Έτσι, απαγορεύει τη μετατόπιση του

σημείου προς οποιαδήποτε διεύθυνση και εισάγει δύο αντιδράσεις-δυνάμεις

κατά τους δύο άξονες του συστήματος συντεταγμένων.

11

Πάκτωση. Η πάκτωση αντιστοιχεί σε στήριξη με δύο δρομικές και μία

στροφική δεσμική ράβδο. Έτσι, απαγορεύει τη στροφή και τη μετατόπιση

του σημείου τοποθέτησής της προς οποιαδήποτε διεύθυνση, ενώ παράλληλα

εισάγει δύο αντιδράσεις-δυνάμεις κατά τους δύο άξονες του συστήματος

συντεταγμένων και μια αντίδραση-ροπή.

Στον πίνακα 2.1 δίνονται οι συνήθεις συμβολισμοί των τριών βασικών μηχανισμών

στήριξης.

Πίνακας 2.1 Συνήθεις συμβολισμοί μηχανισμών στήριξης Μηχανισμός Συμβολισμοί

Κύλιση

Άρθρωση

Πάκτωση

2.4 Υπολογισμός αντιδράσεων δίσκου

Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων ενός στερεά εδραζόμενου επίπεδου δίσκου

υπό οποιαδήποτε φορτία εφαρμόζεται η αρχή της αποδεσμεύσεως του Lagrange σε

συνδυασμό με τις συνθήκες ισορροπίας. Σύμφωνα με την αρχή της αποδεσμεύσεως

του Lagrange, αν καταλύσουμε τις στηρίξεις ενός ισορροπούντος φορέα και στις

θέσεις τους προσάγουμε τις αντίστοιχες αντιδράσεις, τότε η εντασιακή κατάσταση

του φορέα δεν μεταβάλλεται και αυτός εξακολουθεί να βρίσκεται σε ισορροπία.

Πρακτικά, για τον υπολογισμό των αντιδράσεων ενός επίπεδου δίσκου, σαν αυτόν

του σχήματος 2.3.α, ακολουθούνται τα εξής βήματα:

1. Καταλύονται οι στηρίξεις.

2. Στη θέση των στηρίξεων προσάγονται οι αντίστοιχες αντιδράσεις. Από τη

διαδικασία αυτή προκύπτει το λεγόμενο Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος

(ΔΕΣ) (σχ. 2.3.β).

12

3. Καταστρώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας, από τις οποίες προκύπτουν οι

άγνωστες αντιδράσεις. Ως γνωστόν, στο επίπεδο διατίθενται τρεις εξισώσεις

ισορροπίας και συγκεκριμένα οι δύο εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων:

0Fx και 0Fy (2.1)

και μια εξίσωση ισορροπίας ροπών ως προς ένα σημείο i του επιπέδου:

0M i (2.2)

(α) (β)

Σχήμα 2.3 Επίπεδος δίσκος (α) και Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος αυτού (β)

Παρατήρηση 1: Η φορά προσαγωγής των αντιδράσεων κατά το βήμα 2 μπορεί

καταρχάς να επιλέγεται τυχαία. Αν από τη διαδικασία της επίλυσης προκύψει θετική

τιμή για κάποια αντίδραση, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά συμπίπτει με την

αρχικά επιλεγείσα. Στην αντίθετη περίπτωση, αν δηλαδή προκύψει αρνητική τιμή για

κάποια αντίδραση, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά είναι αντίθετη με την αρχικά

επιλεγείσα. Στην πράξη πολλές φορές μπορεί να γίνει διαισθητικά μια προεκτίμηση

της πραγματικής φοράς των αντιδράσεων, ώστε να αποφευχθούν αρνητικές τιμές.

Παρατήρηση 2: Σε περίπτωση ύπαρξης λοξών φορτίων, κατά τη σχεδίαση του

Διαγράμματος Ελεύθερου Σώματος του φορέα θα πρέπει αυτά να αναλύονται σε δύο

συνιστώσες παράλληλες με τους δύο άξονες του συστήματος συντεταγμένων.

Παρατήρηση 3: Κατά την κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας, η οποία γίνεται

πάντα στο γενικό σύστημα συντεταγμένων Oxy, θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη

προσοχή στα πρόσημα των μεγεθών που υπεισέρχονται. Έτσι, όταν η (αρχικά

επιλεγείσα) φορά μιας αντίδρασης ή η (πραγματική) φορά ενός φορτίου ταυτίζονται

με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε τα μεγέθη εισάγονται στις

εξισώσεις ισορροπίας με θετικό πρόσημο. Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν η

(αρχικά επιλεγείσα) φορά μιας αντίδρασης ή η (πραγματική) φορά ενός φορτίου είναι

αντίθετες με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε τα μεγέθη

εισάγονται στις εξισώσεις ισορροπίας με αρνητικό πρόσημο. Το ίδιο ισχύει και για τις

ροπές (φορτία ή αντιδράσεις). Ως θετική φορά των ροπών λαμβάνεται η

13

αριστερόστροφη, για λόγους συμβατότητας με το δεξιόστροφο σύστημα αξόνων που

κατά κανόνα χρησιμοποιήται.

Παρατήρηση 4: Δεδομένου ότι οι διαθέσιμες εξισώσεις ισορροπίας στο επίπεδο

είναι τρεις, συνεπάγεται ότι ο μέγιστος αριθμός αντιδράσεων ενός δίσκου που μπορεί

να προσδιοριστεί με την παραπάνω διαδικασία είναι επίσης τρεις. Στην περίπτωση

αυτή η στήριξη του δίσκου ονομάζεται ισοστατική. Αν ο αριθμός των αντιδράσεων

είναι μεγαλύτερος, τότε οι εξισώσεις ισορροπίας δεν αρκούν για τον προσδιορισμό

τους και η στήριξη ονομάζεται υπερστατική.

Παρατήρηση 5: Η μία ή και οι δύο εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων μπορούν να

αντικατασταθούν από εξισώσεις ισορροπίας ροπών ως προς οποιαδήποτε σημεία του

επιπέδου (πλην του i). Σε κάθε περίπτωση όμως, αυτές οι επιπλέον εξισώσεις είναι

εξαρτημένες με τις προηγούμενες και ο μέγιστος αριθμός των αντιδράσεων που

μπορούν να προσδιοριστούν παραμένει τρεις.

Παρατήρηση 6: Στην πράξη θα πρέπει να γίνεται ‘’έξυπνη’’ επιλογή τόσο των

σημείων ως προς τα οποία καταστρώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας ροπών, όσο και

της σειράς κατάστρωσης των εξισώσεων. Για παράδειγμα, στο φορέα του σχήματος

2.3 μια ‘’έξυπνη’’ επιλογή είναι η εξίσωση ισορροπίας ροπών στο σημείο Α, καθώς

τα δύο από τα τρία άγνωστα μεγέθη (Αx και Ay) έχουν μηδενικές ροπές (αφού

διέρχονται από το Α). Ως εκ τούτου στην εξίσωση υπεισέρχεται μόνο ένα άγνωστο

μέγεθος (Βy) το οποίο μπορεί να υπολογιστεί άμεσα χωρίς την επίλυση συστήματος

εξισώσεων. Για τον ίδιο λόγο, η κατάστρωση της ισορροπίας ροπών ως προς το Α θα

πρέπει να προηγηθεί της κατάστρωσης της ισορροπίας δυνάμεων κατά τον άξονα y.

14

3. ΤΑ ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ 3.1 Γενικά

Οι δομικοί φορείς υπό την επίδραση των φορτίων τους εμφανίζουν εσωτερική

ένταση. Έστω για παράδειγμα η δοκός του σχήματος 3.1, από την οποία αποκόπτουμε

ένα τμήμα ΓΔ με μια κλειστή διαχωριστική τομή. Δεδομένου ότι ο φορέας ισορροπεί,

έπεται ότι και κάθε τμήμα του ισορροπεί. Όμως, τα φορτία που ασκούνται στο

αποκομμένο τμήμα είναι φανερό ότι δεν εξισορροπούνται μεταξύ τους, συνεπώς

προκειμένου να διατηρηθεί η ισορροπία αναπτύσσονται στις διατομές Γ και Δ

δυνάμεις και ροπές που αποκαλούνται εσωτερικά εντασιακά μεγέθη ή φορτία

διατομής. Γενικά, σε κάθε διατομή αναπτύσσεται μια ροπή που ονομάζεται ροπή

κάμψης Μ και μια δύναμη που μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες. Η συνιστώσα

που είναι παράλληλη με τον άξονα της δοκού καλείται ορθή ή αξονική δύναμη Ν,

ενώ η συνιστώσα που είναι κάθετη στον άξονα της δοκού καλείται τέμνουσα δύναμη

Q. Λόγω του 3ου νόμου του Νεύτωνα (δράση-αντίδραση) στις απέναντι όχθες των

τομών, δηλαδή στις διατομές Γ΄ και Δ ,́ θα ασκούνται ίσα κατ’ απόλυτη τιμή και

αντίθετα εντασιακά μεγέθη.

Παρατήρηση 1: Το παραπάνω σκεπτικό οφείλεται στον Euler και ουσιαστικά

συνιστά γενίκευση της αρχής της αποδεσμεύσεως του Lagrange.

Σχήμα 3.1 Ανάπτυξη εσωτερικών εντασιακών μεγεθών

3.2 Συμβατικά θετικές φορές των φορτίων διατομής

Για πρακτικούς λόγους θα πρέπει να οριστούν οι συμβατικά θετικές φορές των

φορτίων διατομής. Για το σκοπό αυτό εισάγεται η έννοια της ίνας αναφοράς. Ως ίνα

αναφοράς επιλέγεται μία ίνα κάθε δομικού στοιχείου (άνω ή κάτω για οριζόντια

στοιχεία, αριστερή ή δεξιά για κατακόρυφα). Στην πράξη έχει επικρατήσει σε

οριζόντια στοιχεία να επιλέγεται η κάτω ίνα, ενώ σε κατακόρυφα και κεκλιμένα

στοιχεία η επιλογή γίνεται έτσι ώστε να εξασφαλίζεται κατά το δυνατόν η συνέχεια

15

των ινών αναφοράς των δομικών στοιχείων του φορέα. Η ίνα αναφοράς συμβολίζεται

με μια διακεκομμένη γραμμή.

Οι θετικές φορές των φορτίων διατομής ορίζονται κατά σύμβαση ως εξής (σχ.

3.2):

Η αξονική δύναμη θεωρείται θετική όταν είναι εφελκυστική (δηλαδή όταν

‘’εξέρχεται’’ από τη διατομή).

Η τέμνουσα δύναμη θεωρείται θετική όταν στο δεξί άκρο ενός τμήματος

δομικού στοιχείου (αριστερή όχθη τομής) έχει φορά προς την ίνα αναφοράς

και στο αριστερό άκρο ενός τμήματος δομικού στοιχείου (δεξιά όχθη τομής)

έχει την αντίθετη φορά. Ένας εναλλακτικός και αρκετά πρακτικός τρόπος για

να καθοριστεί η θετική φορά των τεμνουσών δυνάμεων είναι και ο εξής: το

διάνυσμα (βέλος) που αναπαριστά μια θετική τέμνουσα δύναμη προκύπτει

από το διάνυσμα της θετικής αξονικής δύναμης αν αυτό στραφεί γύρω από

τη βάση του κατά 90ο δεξιόστροφα.

Η ροπή κάμψης θεωρείται θετική όταν εφελκύει την ίνα αναφοράς.

Σχήμα 3.2 Συμβατικά θετικές φορές φορτίων διατομής

3.3 Η μέθοδος των διαχωριστικών τομών

Για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής σε μια συγκεκριμένη θέση ενός φορέα

εφαρμόζεται η μέθοδος των διαχωριστικών τομών. Η μέθοδος βασίζεται στο

σκεπτικό που αναπτύχθηκε στην παράγραφο 3.1 και περιλαμβάνει τα εξής βήματα

(συνήθως προαπαιτείται ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης):

1. Γίνεται μία νοητή διαχωριστική τομή που τέμνει το φορέα στο σημείο όπου

ζητούνται τα φορτία διατομής. Έτσι, ο φορέας χωρίζεται σε δύο τμήματα.

2. Αποσπάται το ένα τμήμα του φορέα και σχεδιάζεται το Διάγραμμα

Ελεύθερου Σώματος, στο οποίο περιλαμβάνονται τα εξωτερικά φορτία και

οι αντιδράσεις που ασκούνται μόνο στο υπόψη τμήμα. Επιπλέον, στη

16

διατομή που τμήθηκε ο φορέας προσάγονται τα άγνωστα φορτία διατομής

με τη συμβατικά θετική τους φορά.

3. Καταστρώνονται οι τρείς εξισώσεις ισορροπίας του αποκομμένου

τμήματος. Δεδομένου ότι τα άγνωστα εντασιακά μεγέθη είναι τρία, οι

εξισώσεις ισορροπίας επαρκούν για τον προσδιορισμό τους.

Παρατήρηση 1: Κατά το βήμα 2 μπορεί να επιλεγεί οποιοδήποτε από τα δύο

τμήματα του φορέα. Κατά προτίμηση επιλέγεται το μικρότερο ή αυτό με τα λιγότερα

φορτία ή αντιδράσεις, ώστε να ελαχιστοποιείται ο όγκος των απαιτούμενων πράξεων.

Παρατήρηση 2: Τα άγνωστα εντασιακά μεγέθη πρέπει να προσάγονται στο

Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος του αποκομμένου τμήματος πάντοτε με τη

συμβατικά θετική τους φορά. Αν από τη διαδικασία της επίλυσης προκύψει θετική

τιμή για κάποιο μέγεθος, σημαίνει ότι η πραγματική του φορά συμπίπτει με τη

συμβατικά θετική. Στην αντίθετη περίπτωση, αν δηλαδή προκύψει αρνητική τιμή για

κάποιο μέγεθος, σημαίνει ότι η πραγματική του φορά είναι αντίθετη με τη συμβατικά

θετική. Όλα τα γνωστά μεγέθη, εξωτερικά φορτία ή αντιδράσεις, συνιστάται (χωρίς

να είναι δεσμευτικό) να προσάγονται με την πραγματική τους φορά και την απόλυτη

τιμή του μέτρου τους.

Παρατήρηση 3: Κατά την κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας, η οποία γίνεται

πάντα στο γενικό σύστημα συντεταγμένων Oxy, θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη

προσοχή στα πρόσημα των μεγεθών που υπεισέρχονται. Έτσι, όταν η φορά μιας

δύναμης (γνωστής ή άγνωστης) ταυτίζεται με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων

αναφοράς, τότε η δύναμη εισάγεται στις εξισώσεις ισορροπίας με θετικό πρόσημο.

Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν η φορά μιας δύναμης είναι αντίθετη με τη

θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε η δύναμη εισάγεται στις

εξισώσεις ισορροπίας με αρνητικό πρόσημο. Το ίδιο ισχύει και για τις ροπές (φορτία

ή αντιδράσεις ή ροπές κάμψης). Υπενθυμίζεται ότι η θετική φορά των ροπών είναι η

αριστερόστροφη. Προσοχή: Παρόλο που τα φορτία διατομής προσάγονται στο

Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος πάντα με τη συμβατικά θετική φορά τους, στις

εξισώσεις ισορροπίας μπορεί να εισάγονται είτε με θετικό είτε με αρνητικό πρόσημο,

ανάλογα αν η φορά αυτή συμπίπτει ή όχι με τη θετική φορά του γενικού συστήματος

συντεταγμένων.

Παρατήρηση 4: Σε αντίθεση με τη διαδικασία υπολογισμού αντιδράσεων (παρ. 2.4),

η αντικατάσταση των εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων από επιπλέον εξισώσεις

ισορροπίας ροπών δεν προσφέρει κανένα πλεονέκτημα και δεν συνηθίζεται στην

17

πράξη. Επίσης, για πρακτικούς λόγους, είναι σκόπιμο η εξίσωση ισορροπίας ροπών

να καταστρώνεται ως προς το σημείο που τμήθηκε ο φορέας (έτσι ώστε να

μηδενίζονται οι ροπές της αξονικής και της τέμνουσας δύναμης).

3.4 Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής

Στη Στατική κατά κανόνα ζητούμενο δεν είναι απλώς ο υπολογισμός των φορτίων

διατομής σε μεμονωμένα σημεία του εξεταζόμενου φορέα, αλλά σε όλη την έκτασή

του. Σε ένα γραμμικό δομικό στοιχείο ενός φορέα η τιμή των φορτίων διατομής υπό

συγκεκριμένη φόρτιση σε οποιοδήποτε σημείο είναι συνάρτηση της θέσης του, όπως

αυτή προσδιορίζεται με την τετμημένη του x επί του άξονα του δομικού στοιχείου με

αρχή ένα από τα δύο άκρα (συνήθως το αριστερό). Έτσι, είναι δυνατόν να

προσδιοριστούν συναρτήσεις των φορτίων διατομής Μ(x), Q(x), Ν(x) για κάθε

δομικό στοιχείο. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών, που

σχεδιάζονται σε σκαριφήματα του φορέα, αποτελούν τα διαγράμματα των φορτίων

διατομής. Στην πράξη τα διαγράμματα των φορτίων διατομής χαράσσονται

υπολογίζοντας με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών (παρ. 3.3) τις τιμές των

φορτίων διατομής σε ορισμένα μόνο χαρακτηριστικά σημεία (άκρα δομικών

στοιχείων, στηρίξεις, θέσεις μοναχικών φορτίων, θέσεις έναρξης ή πέρατος

κατανεμημένων φορτίων). Στη συνέχεια, μεταξύ των χαρακτηριστικών σημείων τα

διαγράμματα των φορτίων διατομής προσδιορίζονται με εκμετάλλευση των

θεμελιωδών ιδιοτήτων τους (παρ. 3.6), οι οποίες προκύπτουν ως συνέπεια των

διαφορικών εξισώσεων ισορροπίας (παρ. 3.5).

Για τη σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής τίθενται ορισμένοι

συμβατικοί κανόνες. Έτσι, έχει επικρατήσει καθολικά οι θετικές τιμές των ροπών

κάμψης να σχεδιάζονται προς την πλευρά της ίνας αναφοράς, ενώ οι αρνητικές τιμές

προς την αντίθετη πλευρά. Σε ότι αφορά στα διαγράμματα τεμνουσών και αξονικών

δυνάμεων, στις ανά χείρας σημειώσεις ακολουθείται ο αντίστροφος κανόνας, ο

οποίος άλλωστε υιοθετείται στα περισσότερα συγγράμματα Στατικής. Σε κάθε

διάγραμμα, σημειώνονται οι τιμές του φορτίου διατομής στα χαρακτηριστικά σημεία

και το πρόσημο κάθε περιοχής του διαγράμματος εντός παρενθέσεως. Στο σχήμα 3.3

δίνονται ως παράδειγμα τα διαγράμματα Μ, Q ενός απλού ισοστατικού φορέα

(αμφιπροέχουσας δοκού). Για τη συγκεκριμένη φόρτιση του σχήματος το διάγραμμα

Ν είναι μηδενικό.

18

Παρατήρηση 1: Στη συνήθη περίπτωση ενός δομικού στοιχείου που φέρει συνεχές

ομοιόμορφο φορτίο, όπως π.χ. τα δομικά στοιχεία AC και ΑΒ στη δοκό του σχήματος

3.3, το διάγραμμα ροπών κάμψης είναι παραβολικό. Για το σαφή καθορισμό του

απαιτείται και η αναγραφή των τιμών των ροπών σε μερικά επιπλέον ενδιάμεσα

σημεία και συγκεκριμένα στο μέσο κάθε δομικού στοιχείου και στο σημείο που

εμφανίζεται η μέγιστη τιμή της ροπής. Αναλυτικοί τύποι για τον υπολογισμό των

τιμών αυτών θα δοθούν στην παράγραφο 4.5. Επίσης, στην περίπτωση αυτή

χαράσσεται (με διακεκομμένη γραμμή) η κλείουσα, δηλαδή η ευθεία που ενώνει τις

τιμές στα δύο άκρα του δομικού στοιχείου.

Σχήμα 3.3 Διαγράμματα Μ, Q αμφιπροέχουσας δοκού

19

3.5 Οι διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας

Έστω ένα τμήμα AB ενός γραμμικού δομικού στοιχείου στοιχειώδους μήκους dx

(σχ. 3.4) που φέρει κατανεμημένα φορτία n(x) και q(x) παράλληλα και κάθετα στον

άξονά του αντίστοιχα. Στις δύο ακραίες διατομές ασκούνται επιπλέον και τα

εσωτερικά εντασιακά μεγέθη (Μ, Q, N στο αριστερό άκρο και Μ + dM, Q + dQ, N +

dN στο δεξί). Καταστρώνοντας τις τρεις εξισώσεις ισορροπίας, και θεωρώντας το

διαφορικό 2ης τάξης πρακτικά αμελητέο, προκύπτουν τα εξής:

ΣFx = 0 - N + N + dN + n(x) ∙ dx = 0 (x)ndxdN

(3.1)

ΣFy = 0 - Q + Q + dQ + q(x) ∙ dx = 0 (x)qdxdQ

(3.2)

ΣMB = 0 - Q ∙ dx - M + M + dM + q(x) ∙ 2

dx 2

= 0 QdxdM

(x)2

2

qdxdQ

dxMd

(3.3)

Οι παραπάνω εξισώσεις αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας του

στοιχειώδους δομικού στοιχείου. Από αυτές συνάγεται ότι η παράγωγος της

συνάρτησης της αξονικής δύναμης είναι ίση με το αντίθετο του παράλληλου στον

άξονα του στοιχείου φορτίου n(x), ενώ η παράγωγος της συνάρτησης της τέμνουσας

δύναμης είναι ίση με το αντίθετο του κάθετου στον άξονα του στοιχείου φορτίου q (x).

Επίσης, η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης της ροπής είναι ίση με την τέμνουσα

δύναμη και η δεύτερη παράγωγος ίση με το αντίθετο του q (x).

Παρατήρηση 1: Από τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας του στοιχειώδους δομικού

στοιχείου προκύπτει ότι οι παράγωγοι της ροπής κάμψης και της τέμνουσας δύναμης

συνδέονται μεταξύ τους και με το φορτίο q(x), ενώ η παράγωγος της αξονικής

δύναμης εξαρτάται μόνο από το n(x) και δεν συνδέεται με τα άλλα μεγέθη

(αποσύζευξη διάτασης από κάμψη - διάτμηση). Αυτό σημαίνει ότι η μεταβολή της

ροπής κάμψης και της τέμνουσας δύναμης κατά μήκος ενός δομικού στοιχείου

εξαρτάται μόνο από τα κάθετα στον άξονα του στοιχείου φορτία που τυχόν

υπάρχουν, ενώ αντίθετα η μεταβολή της αξονικής δύναμης επηρεάζεται μόνο από

τα φορτία που είναι παράλληλα στον άξονα του στοιχείου.

20

Σχήμα 3.4 Στοιχειώδες τμήμα γραμμικού δομικού στοιχείου

3.6 Οι θεμελιώδεις ιδιότητες των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής

Ως συνέπεια των διαφορικών εξισώσεων ισορροπίας προκύπτουν μια σειρά από

ιδιότητες που διευκολύνουν σημαντικά τη σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων

διατομής:

Αν σε ένα δομικό στοιχείο (ή σε τμήμα αυτού) ενεργεί κάθετα στον άξονά

του συνεχές φορτίο q(x), όπου q(x) μια πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού κ,

τότε οι συναρτήσεις της τέμνουσας δύναμης και της ροπής κάμψης θα είναι

επίσης πολυωνυμικές, με βαθμό κ + 1 και κ + 2 αντίστοιχα. Έτσι, σε

αφόρτιστα τμήματα (q = 0) η τέμνουσα δύναμη θα είναι σταθερή,

δηλαδή το διάγραμμά της θα είναι ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα

του δομικού στοιχείου και η ροπή κάμψης θα μεταβάλλεται γραμμικά,

δηλαδή το διάγραμμά της θα είναι ευθεία γραμμή με κλίση ως προς τον

άξονα του στοιχείου (στην οριακή περίπτωση που η τέμνουσα είναι

μηδενική, η ροπή κάμψης είναι σταθερή, ενδεχομένως και μηδενική). Σε

τμήματα με συνεχές ομοιόμορφο φορτίο (κ = 0) το διάγραμμα της

τέμνουσας δύναμης θα είναι ευθεία γραμμή με κλίση ως προς τον άξονα

του στοιχείου, ενώ το διάγραμμα της ροπής θα είναι παραβολή 2ου

βαθμού.

Αν σε ένα δομικό στοιχείο (ή σε τμήμα αυτού) ενεργεί παράλληλα στον

άξονά του συνεχές φορτίο n(x), όπου n(x) μια πολυωνυμική συνάρτηση

βαθμού κ, τότε η συνάρτηση της αξονικής δύναμης θα είναι επίσης

πολυωνυμική, με βαθμό κ + 1. Έτσι, σε αφόρτιστα τμήματα (n = 0) η

αξονική δύναμη θα είναι σταθερή (στην οριακή περίπτωση μηδενική),

δηλαδή το διάγραμμά της θα είναι ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα

του δομικού στοιχείου.

21

Σε σημεία μηδενισμού της φόρτισης q(x) η τέμνουσα δύναμη εμφανίζει

ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο), ενώ η ροπή κάμψης σημείο καμπής.

Σε σημεία μηδενισμού της φόρτισης n(x) η αξονική δύναμη εμφανίζει

ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο).

Σε σημεία μηδενισμού της τέμνουσας δύναμης η ροπή κάμψης εμφανίζει

ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο).

Σε σημεία εφαρμογής μοναχικών φορτίων-δυνάμεων κάθετων στον

άξονα του δομικού στοιχείου το διάγραμμα των τεμνουσών δυνάμεων

εμφανίζει άλμα κατ’ απόλυτη τιμή ίσο με το φορτίο, ενώ το διάγραμμα

των ροπών κάμψης εμφανίζει απότομη αλλαγή κλίσης (γόνατο). Το

διάγραμμα των αξονικών δυνάμεων δεν επηρεάζεται.

Σε σημεία εφαρμογής μοναχικών φορτίων-δυνάμεων παράλληλων στον

άξονα του δομικού στοιχείου το διάγραμμα των αξονικών δυνάμεων

εμφανίζει άλμα κατ’ απόλυτη τιμή ίσο με το φορτίο. Τα διαγράμματα

των τεμνουσών δυνάμεων και των ροπών κάμψης δεν επηρεάζονται.

Σε σημεία εφαρμογής μοναχικών φορτίων-ροπών το διάγραμμα των

ροπών κάμψης εμφανίζει άλμα κατ’ απόλυτη τιμή ίσο με το φορτίο. Τα

διαγράμματα των αξονικών και τεμνουσών δυνάμεων δεν επηρεάζονται.

22

4. ΑΠΛΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ 4.1 Γενικά

Απλοί καλούνται οι ισοστατικοί φορείς που αποτελούνται από έναν και μόνο

δίσκο. Χαρακτηριστικά παραδείγματα απλών ισοστατικών φορέων είναι η

αμφιέρειστη (σχ. 4.1.α), η μονοπροέχουσα (σχ 4.1.β) και η αμφιπροέχουσα δοκός (σχ.

4.1.γ), οι πρόβολοι (σχ. 4.1.δ, ε) και τα αμφιέρειστα πλαίσια (σχ. 4.1.στ, ζ).

Σχήμα 4.1 Χαρακτηριστικοί τύποι απλών ισοστατικών φορέων

4.2 Η αμφιέρειστη δοκός

Η αμφιέρειστη δοκός είναι ο απλός ισοστατικός φορέας που αποτελείται από ένα

ευθύγραμμο δομικό στοιχείο (συνήθως οριζόντιο) που στηρίζεται στο ένα άκρο του

με μια άρθρωση και στο άλλο με μια κύλιση. Στο σχήμα 4.2 δίνονται τα διαγράμματα

των φορτίων διατομής της Μ, Q, για ορισμένες χαρακτηριστικές περιπτώσεις

φόρτισης (συνεχές ομοιόμορφο φορτίο, μοναχικό κατακόρυφο φορτίο στο μέσο του

ανοίγματος, μοναχική ροπή στο μέσο του ανοίγματος, μοναχικές ροπές στα άκρα).

Για τις συγκεκριμένες φορτίσεις το διάγραμμα Ν είναι μηδενικό. Τα διαγράμματα

αυτά έχουν ιδιαίτερη σημασία, γιατί αποτελούν βάση για το σχεδιασμό διαγραμμάτων

και συνθετότερων φορέων.

23

Σχήμα 4.2 Διαγράμματα φορτίων διατομής αμφιέρειστης δοκού

4.3 Ο απλός ευθύγραμμος πρόβολος

Ο απλός ευθύγραμμος πρόβολος είναι ο απλός ισοστατικός φορέας που

αποτελείται από ένα ευθύγραμμο δομικό στοιχείο (συνήθως οριζόντιο) που

στηρίζεται στο ένα άκρο του με μια πάκτωση. Στο σχήμα 4.3 δίνονται τα

διαγράμματα των φορτίων διατομής του Μ, Q, για ορισμένες χαρακτηριστικές

περιπτώσεις φόρτισης (συνεχές ομοιόμορφο φορτίο, μοναχικό κατακόρυφο φορτίο

στο ελεύθερο άκρο, μοναχική ροπή στο ελεύθερο άκρο). Για τις συγκεκριμένες

φορτίσεις το διάγραμμα Ν είναι μηδενικό. Τα διαγράμματα αυτά έχουν ιδιαίτερη

σημασία, γιατί αποτελούν βάση για το σχεδιασμό διαγραμμάτων και συνθετότερων

φορέων.

24

Σχήμα 4.3 Διαγράμματα φορτίων διατομής προβόλου

4.4 Η αρχή της ομόλογης δοκού

Η αρχή της ομόλογης ή αλλιώς της υποκατάστατης αμφιέρειστης δοκού

βασίζεται στην αρχή της επαλληλίας, σύμφωνα με την οποία τα εντασιακά μεγέθη

ενός φορέα υπό πολλαπλά φορτία μπορούν να υπολογιστούν ξεχωριστά για κάθε

αίτιο (φορτίο ή συνδυασμό φορτίων) και κατόπιν να αθροιστούν. Έτσι, εφόσον είναι

γνωστές οι ροπές κάμψης ΜΑ και ΜΒ στα άκρα ενός δομικού στοιχείου ΑΒ που

ανήκει σε κάποιο φορέα, τότε το δομικό στοιχείο μπορεί να θεωρηθεί ως μια

αμφιέρειστη δοκός υπό δύο διαφορετικές φορτιστικές καταστάσεις:

Η πρώτη περιλαμβάνει όλα τα φορτία που υπάρχουν στο άνοιγμα του

δομικού στοιχείου (κατάσταση ‘0’).

Η δεύτερη περιλαμβάνει μοναχικά φορτία-ροπές ΜΑ και ΜΒ στα άκρα Α

και Β αντίστοιχα (κατάσταση ‘Δ’).

25

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η τιμή ενός φορτίου διατομής S (M, Q, N)

είναι ίση με το άθροισμα των τιμών που προκύπτουν από τις δύο παραπάνω

καταστάσεις, δηλαδή:

S = S0 + Δ S (4.1)

Δεδομένου ότι η εντασιακή κατάσταση της αμφιέρειστης δοκού για τα συνηθέστερα

στην πράξη φορτία είναι γνωστή (σχ. 4.2) η εφαρμογή του παραπάνω τύπου δεν

παρουσιάζει ιδιαίτερη δυσκολία.

Η αρχή της ομόλογης δοκού έχει ιδιαίτερα μεγάλη πρακτική σημασία για τον

υπολογισμό των τεμνουσών δυνάμεων των δομικών στοιχείων, όταν είναι ήδη

γνωστές οι ροπές κάμψης στα άκρα τους. Έτσι λοιπόν, αν είναι γνωστές οι ροπές ΜΑ

και ΜΒ στα άκρα ενός δομικού στοιχείου ΑΒ που έχει μήκος L και φέρει ένα συνεχές

ομοιόμορφο φορτίο q, οι τέμνουσες δυνάμεις στα άκρα του προκύπτουν από τις εξής

σχέσεις (βλ. σχ. 4.2):

QA = QA0 + Δ QAΒ = L

MM2

qL AB (4.2)

QB = QB0 + Δ QΑΒ = L

MM2

qL AB (4.3)

Ανάλογες σχέσεις ισχύουν και για άλλες περιπτώσεις φόρτισης.

4.5 Πορεία επίλυσης απλών ισοστατικών φορέων

Η επίλυση ενός απλού ισοστατικού φορέα ακολουθεί γενικά τα εξής βήματα:

1. Έλεγχος στερεότητας. Θα πρέπει να ελέγχεται αν ο φορέας στηρίζεται με

τρεις δεσμικές ράβδους και αν αυτές είναι κατάλληλα διατεταγμένες. Στο

πλαίσιο του μαθήματος εξετάζονται μόνο στερεοί φορείς, κατά συνέπεια το

βήμα αυτό μπορεί να παραλείπεται.

2. Σχεδίαση του Διαγράμματος Ελεύθερου Σώματος του φορέα και

υπολογισμός των αντιδράσεων, σύμφωνα με όσα αναπτύχθηκαν στην

παράγραφο 2.4.

3. Υπολογισμός των φορτίων διατομής σε χαρακτηριστικά σημεία με τη

μέθοδο των διαχωριστικών τομών, σύμφωνα με όσα αναπτύχθηκαν στην

παράγραφο 3.3.

4. Αν υπάρχουν δομικά στοιχεία που φέρουν συνεχές ομοιόμορφο φορτίο q,

θα πρέπει να υπολογιστούν οι τιμές των ροπών κάμψης σε επιπλέον

ενδιάμεσα σημεία και συγκεκριμένα στο μέσο κάθε δομικού στοιχείου (Μi)

26

και στο σημείο που εμφανίζεται η μέγιστη τιμή της ροπής (Mmax). Σε τυχόν

δομικό στοιχείο ΑΒ, οι τιμές αυτές δίνονται από τους παρακάτω τύπους:

Μi = 8

qL2

MM 2BA

(4.4)

Mmax = 2qQ

M2A

A (4.5)

Η θέση που εμφανίζεται η μέγιστη τιμή της ροπής έχει τετμημένη (με

αφετηρία το Α):

xMmax = q

QA (4.6)

5. Χάραξη των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής με εκμετάλλευση των

ιδιοτήτων τους, σύμφωνα με όσα αναπτύχθηκαν στις παραγράφους 3.4 και

3.6.

Παρατήρηση 1: Χαλαρές μορφές στήριξης με τρεις δεσμικές ράβδους που θα πρέπει

να ελέγχεται η αποφυγή τους είναι οι εξής:

Στήριξη με τρεις παράλληλες δρομικές δεσμικές ράβδους.

Στήριξη με τρεις συντρέχουσες στο ίδιο σημείο δρομικές δεσμικές ράβδους.

Στήριξη με δύο παράλληλες δρομικές δεσμικές ράβδους και μία στροφική.

Στήριξη με περισσότερες από μία στροφικές δεσμικές ράβδους.

Παρατήρηση 2: Υπενθυμίζεται ότι χαρακτηριστικά σημεία αποτελούν τα άκρα

δομικών στοιχείων, οι στηρίξεις, οι θέσεις έναρξης ή πέρατος κατανεμημένων

φορτίων και οι θέσεις πριν και μετά από μοναχικά φορτία (δυνάμεις ή ροπές). Ειδικά

στις τελευταίες, επειδή τα φορτία διατομής μεταβάλλονται απότομα (άλματα),

απαιτούνται γενικώς δύο τομές, αριστερά και δεξιά των υπόψη σημείων.

Παρατήρηση 3: Στην πράξη, αν γίνει σωστή εκμετάλλευση των ιδιοτήτων των

διαγραμμάτων των φορτίων διατομής, ο αριθμός των απαιτούμενων διαχωριστικών

τομών μπορεί να περιοριστεί. Για παράδειγμα, σε ένα αφόρτιστο δομικό στοιχείο με

μηδενική ροπή στο ένα άκρο του (είτε γιατί είναι ελεύθερο είτε γιατί στηρίζεται σε

άρθρωση ή κύλιση), απαιτείται να γίνει μόνο μία τομή στο απέναντι άκρο, καθώς η

αξονική και η τέμνουσα δύναμη παραμένουν σταθερές σε όλο το μήκος του

στοιχείου. Επίσης, μετά την απόκτηση κάποιας σχετικής εμπειρίας, είναι δυνατός ο

υπολογισμός των φορτίων διατομής κάνοντας τις διαχωριστικές τομές νοερά, χωρίς

27

δηλαδή να σχεδιάζεται το Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος του εξεταζόμενου

τμήματος του φορέα.

Παρατήρηση 4: Η ροπή κάμψης στο μέσο των δομικών στοιχείων που φέρουν

συνεχές ομοιόμορφο φορτίο μπορεί να υπολογιστεί και γραφικά (βλ. σχ. 3.3), αν από

το μέσο της κλείουσας φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα (κατά τη φορά του φορτίου) με

μήκος f = 8

qL2

. Το μήκος f ονομάζεται βέλος.

Παρατήρηση 5: Αν από τη σχέση υπολογισμού της τετμημένης xMmax κατά το βήμα

4, προκύψει αρνητική τιμή ή τιμή μεγαλύτερη από το μήκος του δομικού στοιχείου

που εξετάζεται, αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση της ροπής κάμψης δεν παρουσιάζει

ακρότατο.

Παρατήρηση 6: Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας υπολογισμού συνιστάται να

πραγματοποιούνται ισορροπιακοί έλεγχοι για την επαλήθευση των αποτελεσμάτων.

Για παράδειγμα, μετά τον υπολογισμό των αντιδράσεων είναι σκόπιμο να ελέγχεται

η συνθήκη μηδενισμού της συνισταμένης ροπής ως προς κάποιο σημείο του επιπέδου

(προφανώς αυτή η συνθήκη δεν θα πρέπει να έχει ήδη χρησιμοποιηθεί κατά τον

υπολογισμό).

Εναλλακτικά προς το βήμα 3, μπορεί να ακολουθηθεί η εξής διαδικασία:

3α) Υπολογισμός αρχικά μόνο των ροπών κάμψης στα χαρακτηριστικά σημεία

με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών. Ο αριθμός των απαιτούμενων τομών μπορεί

να περιοριστεί σημαντικά, δεδομένου ότι σε πολλά χαρακτηριστικά σημεία είναι

γνωστό εκ των προτέρων ότι η ροπή κάμψης ισούται με μηδέν. Τέτοια σημεία είναι

τα άκρα δομικών στοιχείων που είτε στηρίζονται σε αρθρώσεις ή κυλίσεις είτε είναι

ελεύθερα (αρκεί να μη φέρουν μοναχικό φορτίο-ροπή). Επιπλέον, μετά την απόκτηση

κάποιας εμπειρίας, οι τομές μπορούν να γίνονται «αυτόματα» (νοερά) ακολουθώντας

το παρακάτω σκεπτικό:

Ο φορέας τέμνεται στο σημείο όπου ζητείται η ροπή κάμψης και απομονώνεται

ένα από τα δύο τμήματά του (συνήθως το μικρότερο ή αυτό με τις λιγότερες

δυνάμεις).

Καταγράφονται οι ροπές των φορτίων και των αντιδράσεων που ασκούνται μόνο

στο υπόψη τμήμα ως προς το σημείο που ζητείται η ροπή κάμψης.

Το αλγεβρικό άθροισμα των παραπάνω ροπών ισούται με τη ζητούμενη ροπή

κάμψης. ΠΡΟΣΟΧΗ: ΣΕ ΑΥΤΗ ΤΗ ΦΑΣΗ, ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ

28

ΚΑΘΕ ΦΟΡΤΙΟΥ Ή ΑΝΤΙΔΡΑΣΗΣ ΔΕΝ ΚΑΘΟΡΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ

ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ (ΔΗΛΑΔΗ ΑΝ ΕΙΝΑΙ

ΑΡΙΣΤΕΡΟΣΤΡΟΦΗ Ή ΔΕΞΙΟΣΤΡΟΦΗ). ΚΑΘΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΑΝ

ΕΦΕΛΚΥΕΙ (+) Ή ΘΛΙΒΕΙ (-) ΤΗΝ ΙΝΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΠΟΥ ΖΗΤΕΙΤΑΙ Η ΡΟΠΗ ΚΑΜΨΗΣ.

Επισημαίνεται ότι σε σημεία τομής δύο δομικών στοιχείων (κόμβοι τύπου Γ) χωρίς

μοναχικό φορτίο-ροπή, οι ροπές εκατέρωθεν του κόμβου είναι ίσες, συνεπώς

απαιτείται ο υπολογισμός μόνο μίας από αυτές. Αντίθετα, σε σημεία τομής

περισσότερων των δύο δομικών στοιχείων (κόμβοι τύπου Τ, + κτλ.), θα πρέπει να

υπολογιστούν τόσες ροπές, όσα και τα δομικά στοιχεία που τέμνονται.

3β) Υπολογισμός των τεμνουσών δυνάμεων με βάση την αρχή της ομόλογης

δοκού.

3γ) Υπολογισμός των αξονικών δυνάμεων. Η όλη διαδικασία ξεκινάει από τα άκρα

του φορέα και απλοποιείται σε μεγάλο βαθμό αν ληφθούν υπόψη τα εξής:

Σε άκρα του φορέα που δεν ασκείται δύναμη (είτε φορτίο είτε αντίδραση)

παράλληλη με τον άξονα του δομικού στοιχείου που απολήγει στο υπόψη άκρο,

τότε η αξονική δύναμη στο σημείο αυτό ισούται με μηδέν.

Σε άκρα του φορέα που ασκείται δύναμη (είτε φορτίο είτε αντίδραση)

παράλληλη με τον άξονα του δομικού στοιχείου που απολήγει στο υπόψη άκρο,

τότε η αξονική δύναμη στο σημείο αυτό ισούται κατά απόλυτη τιμή με την

εφαρμοζόμενη δύναμη και το πρόσημό της είναι:

→ Θετικό, όταν η εφαρμοζόμενη δύναμη απομακρύνεται από το δομικό

στοιχείο (δηλ. το εφελκύει).

→ Αρνητικό, όταν η εφαρμοζόμενη δύναμη κατευθύνεται προς το δομικό

στοιχείο (δηλ. το συμπιέζει / το θλίβει).

Σύμφωνα με τις ιδιότητες των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής

(παράγραφος 3.6), σε δομικό στοιχείο χωρίς φορτία παράλληλα με τον άξονά

του, η αξονική δύναμη παραμένει σταθερή.

Αν σε κάποια χαρακτηριστικά σημεία δεν είναι δυνατόν να υπολογιστεί η αξονική

δύναμη με βάση τα παραπάνω, τότε σε αυτά εφαρμόζεται η γνωστή διαδικασία των

διαχωριστικών τομών που περιλαμβάνουν ένα τμήμα του φορέα ή ακόμη και ένα

μεμονωμένο κόμβο.

29

5. ΑΠΛΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ 5.1 Ορισμός και παραδοχές υπολογισμού δικτυωμάτων

Δικτύωμα είναι ένας δομικός φορέας αποτελούμενος από ευθύγραμμα δομικά

στοιχεία που ενώνονται αρθρωτά στους κόμβους (σχ. 5.1). Αν όλοι οι κόμβοι

ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, τότε το δικτύωμα καλείται επίπεδο, ενώ σε διαφορετική

περίπτωση καλείται χωρικό (χωροδικτύωμα). Η επίλυση των δικτυωμάτων βασίζεται

στις εξής παραδοχές:

Οι συνδέσεις στους κόμβους είναι ιδανικές αρθρώσεις (χωρίς τριβές).

Οι άξονες των δομικών στοιχείων είναι ευθύγραμμοι.

Οι άξονες όλων των δομικών στοιχείων που συμβάλλουν σε έναν κόμβο

τέμνονται στο ίδιο σημείο (κεντρική σύνδεση).

Όλα τα φορτία ασκούνται είτε πάνω στους κόμβους είτε παράλληλα στους

άξονες των δομικών στοιχείων (η τελευταία περίπτωση είναι σπάνια και

δεν θα εξεταστεί στις ανά χείρας σημειώσεις).

Συνεπεία των παραπάνω παραδοχών, τα δομικά στοιχεία των δικτυωμάτων

καταπονούνται μόνο σε ορθή ένταση, δηλαδή αναπτύσσουν μόνο θλιπτική ή

εφελκυστική αξονική δύναμη (όχι ροπές κάμψης ή τέμνουσες δυνάμεις) και ως εκ

τούτου ονομάζονται ράβδοι. Η αξονική δύναμη κάθε ράβδου ονομάζεται τάση και –

στη συνήθη περίπτωση απουσίας παράλληλων με τον άξονά της φορτίων – παραμένει

σταθερή σε όλο το μήκος της. Σύμφωνα με τους κανόνες προσήμανσης των φορτίων

διατομής (παρ. 3.2) η τάση είναι θετική όταν προκαλεί εφελκυσμό και αρνητική

όταν προκαλεί θλίψη.

Στα περισσότερα δικτυώματα μπορούμε να διακρίνουμε:

Τις ράβδους των δύο πελμάτων (άνω και κάτω) οι οποίες είναι οριζόντιες ή

σχεδόν οριζόντιες.

Τις ράβδους πλήρωσης μεταξύ των πελμάτων που είναι κατακόρυφες

(οπότε ονομάζονται ορθοστάτες) ή διαγώνιες.

Οι ράβδοι των δικτυωμάτων πολλές φορές συμβολίζονται με ένα γράμμα του

γερμανικού αλφαβήτου που δηλώνει το είδος της ράβδου (O για τις ράβδους του άνω

πέλματος, U για τις ράβδους του κάτω πέλματος, V για τις κατακόρυφες ράβδους

πλήρωσης και D για τις διαγώνιες ράβδους πλήρωσης) και ένα δείκτη-αύξοντα

αριθμό (σχ.5.1.α). Εναλλακτικά, συμβολίζονται με το γράμμα S και ένα δείκτη-

30

αύξοντα αριθμό ή δύο δείκτες που δηλώνουν τους κόμβους αρχής και πέρατος κάθε

ράβδου (σχ. 5.1.β).

Σχήμα 5.1 Παραδείγματα δικτυωμάτων

31

5.2 Μόρφωση και στερεότητα απλών δικτυωμάτων

Απλά ονομάζονται τα δικτυώματα που μορφώνονται με βασικό συστατικό

στοιχείο έναν τριγωνικό ραβδοδίσκο (δηλαδή ένα σχηματισμό τριών ράβδων που

τέμνονται ανά δύο) στον οποίο προσαρτούνται διαδοχικά ζεύγη μη συνευθειακών

ράβδων που τέμνονται σε έναν επιπλέον κόμβο (σχ. 5.1.α, β, γ). Για παράδειγμα το

απλό δικτύωμα του σχήματος 5.1.α μπορεί να θεωρηθεί ότι συντίθεται από τον

τριγωνικό ραβδοδίσκο 1-4-5 στον οποίο προσαρτούνται κατά σειρά τα ζεύγη ράβδων

U1-V2 (που τέμνονται στον κόμβο 2), D2-O2 (που τέμνονται στον κόμβο 6) και U2-V3

(που τέμνονται στον κόμβο 3). Δικτυώματα που μορφώνονται με οποιοδήποτε άλλο

τρόπο χαρακτηρίζονται μη απλά ή σύνθετα. Ένα σύνθετο δικτύωμα μπορεί να

προκύψει και με αρθρωτή σύνδεση δύο (σχ. 5.1.δ) ή περισσοτέρων απλών.

Ένα απλό δικτύωμα είναι στερεό και ισοστατικό όταν στηρίζεται με τρεις

κατάλληλα διατεταγμένες δρομικές δεσμικές ράβδους (για τις χαλαρές μορφές

στήριξης ισχύουν και εδώ όσα αναφέρθηκαν στις παραγράφους 2.3 και 4.5).

Γενικότερα ο Βαθμός Στατικής Αοριστίας των δικτυωμάτων Ν (δηλαδή ο αριθμός

των άγνωστων μεγεθών που δεν μπορούν να υπολογιστούν με τη χρήση των

εξισώσεων ισορροπίας και μόνο) προκύπτει από τον παρακάτω τύπο:

Ν = ρ + α – 2κ (5.1)

όπου ρ ο αριθμός των ράβδων, α ο αριθμός των αντιδράσεων και κ ο αριθμός των

κόμβων. Το άθροισμα ρ + α αντιπροσωπεύει τον αριθμό των άγνωστων εντασιακών

μεγεθών και το γινόμενο 2κ τον αριθμό των διατιθέμενων εξισώσεων ισορροπίας (σε

κάθε κόμβο μπορούν να καταστρωθούν μόνο δύο εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων,

καθώς η εξίσωση ισορροπίας ροπών, λόγω των παραδοχών που αναφέρθηκαν στην

παράγραφο 5.1, είναι ταυτότητα). Ανάλογα με την τιμή του Ν διακρίνονται οι εξής

περιπτώσεις:

Ν < 0 → το δικτύωμα είναι χαλαρό.

Ν = 0 → το δικτύωμα είναι στερεό και ισοστατικό.

Ν > 0 → το δικτύωμα είναι στερεό και Ν φορές υπερστατικό ή στατικά

αόριστο.

Παρατήρηση 1: Ο τύπος Ν = ρ + α – 2κ γενικά ισχύει για τον υπολογισμό του

Βαθμού Στατικής Αοριστίας και των σύνθετων δικτυωμάτων, θα πρέπει όμως να

εφαρμόζεται με ιδιαίτερη προσοχή, καθώς η συνθήκη Ν 0 αποτελεί μόνο αναγκαία

και όχι ικανή συνθήκη για να είναι ένα σύνθετο δικτύωμα στερεό.

32

5.3 Μέθοδοι υπολογισμού απλών δικτυωμάτων

Η επίλυση των ισοστατικών δικτυωμάτων γίνεται είτε με τη μέθοδο των κόμβων

είτε με τη μέθοδο των τομών Ritter είτε με συνδυασμό των δύο.

Σύμφωνα με την μέθοδο των κόμβων, σε κάθε κόμβο του δικτυώματος

καταστρώνονται οι δύο εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων. Έτσι σχηματίζεται ένα 2κ x

2κ σύστημα εξισώσεων από το οποίο προκύπτουν όλα τα ζητούμενα άγνωστα μεγέθη.

Η μέθοδος αυτή είναι και η πλέον κατάλληλη για προγραμματισμό στον ηλεκτρονικό

υπολογιστή.

Παρατήρηση 1: Κατά την ‘’χειρονακτική’’ επίλυση των δικτυωμάτων συνήθως

υπολογίζονται πρώτα οι τρεις αντιδράσεις με την ίδια διαδικασία που εφαρμόζεται

και για τους συμπαγείς φορείς (βλ. παρ. 2.4) και στη συνέχεια καταστρώνονται 2κ – 3

εξισώσεις ισορροπίας στους κόμβους. Οι υπόλοιπες τρεις εξισώσεις μπορούν να

χρησιμοποιηθούν για επαλήθευση των αποτελεσμάτων.

Παρατήρηση 2: Στην πράξη η επίλυση συστήματος εξισώσεων μπορεί στις

περισσότερες περιπτώσεις να αποφευχθεί, αν γίνει ‘’έξυπνη’’ επιλογή της σειράς

κατάστρωσης των εξισώσεων ισορροπίας στους κόμβους.

Παρατήρηση 3: Κατά την κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας κάθε κόμβου θα

πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στις φορές των δυνάμεων που υπεισέρχονται.

Για την αποφυγή λαθών συνιστάται η σχεδίαση στο Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος

κάθε κόμβου όλων των ήδη γνωστών δυνάμεων με την πραγματική τους φορά και την

απόλυτη τιμή του μέτρου τους, ενώ τα άγνωστα μεγέθη θα πρέπει πάντα να

σχεδιάζονται με τη συμβατικά θετική τους φορά. Υπενθυμίζεται ότι θετική

θεωρείται μια τάση ράβδου όταν είναι εφελκυστική. Αυτό σημαίνει ότι η συμβατικά

θετική της φορά είναι τέτοια που να εξέρχεται από τον κόμβο με κατεύθυνση προς

τη ράβδο. Για παράδειγμα στο σχήμα 5.2 φαίνεται το Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος

του κόμβου 1 του δικτυώματος τους σχήματος 5.1.α, όπου προϋποτίθεται ότι έχουν

υπολογιστεί οι αντιδράσεις της άρθρωσης 1x και 1y και η πραγματική τους φορά

είναι προς τα δεξιά και πάνω αντίστοιχα.

Σχήμα 5.2 Σχεδίαση Διαγράμματος Ελεύθερου Σώματος κόμβου

33

Η μέθοδος των τομών Ritter συνιστά μια διαδικασία εντελώς ανάλογη με τη

μέθοδο των διαχωριστικών τομών που εφαρμόζεται στους συμπαγείς φορείς.

Σύμφωνα με αυτή, αφού πρώτα έχουν υπολογιστεί κατά τα γνωστά οι αντιδράσεις,

πραγματοποιείται μία κλειστή διαχωριστική τομή που τέμνει τις ράβδους για τις

οποίες απαιτείται ο υπολογισμός των τάσεων. Στη συνέχεια καταστρώνονται

εξισώσεις ισορροπίας ροπών στο μισό φορέα ως προς κατάλληλα σημεία (σημεία

Ritter), τέτοια ώστε σε κάθε εξίσωση να υπεισέρχεται μόνο ένα άγνωστο μέγεθος. Για

παράδειγμα στο δικτύωμα του σχήματος 5.3.α για το οποίο ζητείται ο υπολογισμός

των τάσεων των ράβδων O, U, V και D ακολουθούνται τα εξής βήματα:

1. Υπολογίζονται κατά τα γνωστά οι αντιδράσεις.

2. Πραγματοποιείται μια κλειστή διαχωριστική τομή (τομή Ι) και αποσπάται

το αριστερό τμήμα του φορέα (σχ. 5.3.β).

3. Καταστρώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας ροπών ως προς τα σημεία 4, 13

και 12 από τις οποίες υπολογίζονται άμεσα (χωρίς την επίλυση συστήματος

εξισώσεων) οι τάσεις των ράβδων O, U και D. Εναλλακτικά, μπορεί να

χρησιμοποιηθεί και κάποια εξίσωση ισορροπίας δυνάμεων.

4. Πραγματοποιείται μια δεύτερη κλειστή διαχωριστική τομή (τομή ΙΙ) και

αποσπάται και πάλι το αριστερό τμήμα του φορέα (σχ. 5.3.γ).

5. Καταστρώνεται η εξίσωση ισορροπίας ροπών ως προς το σημείο 3 από την

οποία υπολογίζεται και η τάση της ράβδου V.

Ανεξάρτητα από τη μέθοδο που εφαρμόζεται, η επίλυση των δικτυωμάτων

διευκολύνεται σημαντικά από την προκαταρκτική αναγνώριση άτονων ράβδων,

δηλαδή ράβδων με μηδενική τάση. Μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις είναι οι

ακόλουθες:

Όταν σε έναν αφόρτιστο κόμβο συμβάλλουν μόνο δύο ράβδοι, τότε είναι και

οι δύο άτονες.

Όταν σε έναν αφόρτιστο κόμβο συμβάλλουν τρεις ράβδοι εκ των οποίων οι

δύο συνευθειακές, τότε η τρίτη ράβδος είναι άτονη.

Όταν σε έναν κόμβο που συμβάλλουν δύο ράβδοι ασκείται ένα φορτίο

παράλληλο με τη μία, τότε αυτή η ράβδος έχει τάση κατ’ απόλυτη τιμή ίση

με το φορτίο, ενώ η άλλη είναι άτονη.

Όταν σε έναν αφόρτιστο κόμβο συμβάλλουν δύο συνευθειακές ράβδοι, μία η

περισσότερες άτονες και μία ακόμη ράβδος, τότε η τελευταία είναι άτονη.

34

(α)

(β)

(γ)

Σχήμα 5.3 Μέθοδος των τομών Ritter

35

6. ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ 6.1 Τριαρθρωτοί φορείς

Τριαρθρωτός καλείται ο σύνθετος ισοστατικός φορέας που αποτελείται από δύο

δίσκους, ο καθένας εκ των οποίων στηρίζεται στο στερεό υπόβαθρο με μια άρθρωση,

ενώ συνδέονται και μεταξύ τους και με μια εσωτερική άρθρωση (σχ. 6.1). Η

εσωτερική άρθρωση είναι ένας μηχανισμός που απαγορεύει τη σχετική μετακίνηση

μεταξύ των συνδεόμενων δίσκων, αλλά επιτρέπει τη σχετική στροφή τους. Αυτό

σημαίνει ότι μεταβιβάζει τέμνουσες και αξονικές δυνάμεις, αλλά όχι ροπές (δηλαδή

στα σημεία εσωτερικών αρθρώσεων η ροπή κάμψης μηδενίζεται).

Σχήμα 6.1 Παραδείγματα τριαρθρωτών φορέων

Η πορεία επίλυσης των τριαρθρωτών φορέων ταυτίζεται σε γενικές γραμμές με

αυτή των απλών ισοστατικών φορέων (βλ. παρ. 4.5) με εξαίρεση τα βήματα 1 και 2,

δηλαδή τον έλεγχο στερεότητας και τον υπολογισμό των αντιδράσεων. Οι

τριαρθρωτοί φορείς είναι γενικά στερεοί, αρκεί οι τρεις αρθρώσεις (δύο στηρίξεις

και μια εσωτερική) να μην βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Σε ότι αφορά στον υπολογισμό των αντιδράσεων, αυτός διαφοροποιείται καθώς

στους τριαρθρωτούς φορείς οι αντιδράσεις είναι τέσσερεις και συνεπώς οι τρεις

εξισώσεις ισορροπίας δεν επαρκούν για τον προσδιορισμό τους. Η μία επιπλέον

εξίσωση που απαιτείται προκύπτει από την ιδιότητα της εσωτερικής άρθρωσης να

έχει μηδενική ροπή. Έτσι, πραγματοποιείται μια διαχωριστική τομή που τέμνει το

φορέα στην εσωτερική άρθρωση και καταστρώνεται στο μισό φορέα η εξίσωση

μηδενισμού των ροπών ως προς αυτή. Προσοχή: εδώ πρόκειται για μηδενισμό της

36

εσωτερικής ροπής κάμψης και όχι της συνισταμένης ροπής που είναι ούτως ή άλλως

μηδενική ως προς όλα τα σημεία του επιπέδου. Για αυτό άλλωστε η εξίσωση

καταστρώνεται στο ένα τμήμα (μισό) του φορέα και συνεπώς υπεισέρχονται μόνο τα

φορτία και οι αντιδράσεις που ασκούνται σε αυτό.

6.2 Αρθρωτές δοκοί (Gerber)

Οι αρθρωτές δοκοί ή δοκοί Gerber είναι ευθύγραμμοι φορείς που στηρίζονται

με κ δρομικές δεσμικές ράβδους, εκ των οποίων η μία παράλληλη με τον άξονά τους

και διαθέτουν κ-3 κατάλληλα διατεταγμένες εσωτερικές αρθρώσεις (σχ. 6.2).

Ειδικότερα, προκειμένου η αρθρωτή δοκός να είναι στερεή, στα μεσαία φατνώματα

(φάτνωμα = τμήμα μεταξύ δυο στηρίξεων) επιτρέπονται το πολύ δύο αρθρώσεις,

αλλά απαγορεύονται δύο διαδοχικά φατνώματα με δύο αρθρώσεις το καθένα. Στα

ακραία φατνώματα επιτρέπεται το πολύ μία άρθρωση, εκτός αν σε γειτονικό φάτνωμα

υπάρχουν δύο αρθρώσεις, οπότε δεν επιτρέπεται καμία. Πολλές φορές το ένα (σχ.

6.2.β) ή και τα δύο άκρα της αρθρωτής δοκού είναι πακτωμένα, οπότε αυξάνεται

ανάλογα και ο αριθμός των εσωτερικών αρθρώσεων.

Σχήμα 6.2 Παραδείγματα αρθρωτών δοκών

Οι αρθρωτές δοκοί καταρχάς είναι δυνατόν να επιλυθούν με βάση το σκεπτικό

που αναπτύχθηκε για τους τριαρθρωτούς φορείς. Στις αρθρωτές δοκούς ο αριθμός

των επιπλέον εξισώσεων που απαιτούνται για τον προσδιορισμό των αντιδράσεων

είναι ίσος με τον αριθμό των εσωτερικών αρθρώσεων. Έτσι, μπορούν να

υπολογιστούν καταρχάς όλες οι αντιδράσεις και στη συνέχεια να ακολουθήσει η

γνωστή διαδικασία των διαχωριστικών τομών κ.ο.κ.

37

Μια εναλλακτική διαδικασία επίλυσης των αρθρωτών δοκών με μεγάλη

διδακτική αξία περιλαμβάνει την ανάλυση της δοκού σε στηρίζοντα και

στηριζόμενα τμήματα. Η ανάλυση των αρθρωτών δοκών του σχήματος 6.2 δίνεται

στο σχήμα 6.3. Στηρίζον είναι κάθε τμήμα μιας δοκού που θα ήταν στερεό στην

περίπτωση που δεν υπήρχαν οι αρθρωτές συνδέσεις μεταξύ των τμημάτων. Για

παράδειγμα, στο σχήμα 6.3 στηρίζοντα είναι τα αριστερά τμήματα των δοκών α, β

και δ και το μεσαίο τμήμα της δοκού γ. Στηριζόμενα τμήματα είναι αυτά που δεν θα

μπορούσαν να στηριχτούν στερεά αν δεν υπήρχαν οι αρθρωτές συνδέσεις.

Ουσιαστικά λοιπόν, τα στηριζόμενα τμήματα εδράζονται στα στηρίζοντα μέσω των

εσωτερικών αρθρώσεων, όπως ακριβώς θα εδραζόταν στο στερεό υπόβαθρο μέσω

αρθρώσεων-στηρίξεων. Σημειώνεται ότι πολλές φορές ένα στηριζόμενο τμήμα (π.χ.

το μεσαίο τμήμα της δοκού δ του σχήματος 6.3), μπορεί ταυτόχρονα να στηρίζει και

ένα άλλο στηριζόμενο.

Σχήμα 6.3 Ανάλυση αρθρωτών δοκών σε στηρίζοντα και στηριζόμενα τμήματα

Κάθε τμήμα της δοκού στηριζόμενο ή στηρίζον μπορεί να επιλυθεί ανεξάρτητα

σαν απλός ισοστατικός φορέας. Η διαδικασία επίλυσης πρέπει να ξεκινά από τα

στηριζόμενα τμήματα και μάλιστα από αυτά που βρίσκονται στο ανώτερο επίπεδο

στήριξης. Για παράδειγμα στη δοκό του σχήματος 6.3.δ η διαδικασία θα πρέπει να

ξεκινήσει από το δεξιό τμήμα, να συνεχιστεί με το μεσαίο και να καταλήξει στο

στηρίζον αριστερό. Στη δοκό του σχήματος 6.3.γ η διαδικασία πρέπει να ξεκινήσει με

τα ακραία στηριζόμενα τμήματα (με οποιαδήποτε σειρά) και να τελειώσει με το

στηρίζον μεσαίο. Κατά την επίλυση κάθε στηριζόμενου τμήματος οι εσωτερικές

38

αρθρώσεις αντιμετωπίζονται σαν αρθρώσεις-στηρίξεις, συνεπώς στο Διάγραμμα

Ελεύθερου Σώματος υποκαθίστανται από δύο αντιδράσεις που υπολογίζονται κατά τα

γνωστά. Στη συνέχεια, οι αντιδράσεις αυτές μεταφέρονται με αντίθετη φορά (δράση-

αντίδραση) ως φορτία στα υποκείμενα τμήματα.

6.3 Σύνθετοι ισοστατικοί φορείς τυχαίας μορφής

Πέραν των τυποποιημένων μορφών σύνθετων ισοστατικών φορέων που

παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες παραγράφους, στην πράξη μπορεί να

εμφανιστούν φορείς τυχαίας μορφής (σχ. 6.4) που γενικώς μπορεί να περιλαμβάνουν

τουλάχιστον δύο δίσκους ή τουλάχιστον ένα δίσκο και μια ράβδο. Οι φορείς αυτοί

επιλύονται με μια από τις δύο μεθόδους που χρησιμοποιούνται και για την επίλυση

των αρθρωτών δοκών (βλ. παρ. 6.2) και συγκεκριμένα:

Είτε υπολογίζονται πρώτα όλες οι αντιδράσεις με τη βοήθεια των πρόσθετων

εξισώσεων μηδενισμού των ροπών κάμψης στις εσωτερικές αρθρώσεις και

ακολουθεί η διαδικασία των διαχωριστικών τομών κ.ο.κ.

Είτε γίνεται ανάλυση του φορέα σε στηριζόμενα και στηρίζοντα τμήματα

που επιλύονται ανεξάρτητα. Επισημαίνεται και πάλι ότι οι αντιδράσεις που

υπολογίζονται στις θέσεις των εσωτερικών αρθρώσεων κατά την επίλυση

των στηριζόμενων τμημάτων μεταφέρονται ως φορτία στα υποκείμενα

στηρίζοντα με αντίθετη φορά.

Για πρακτικούς και διδακτικούς λόγους, συνιστάται, όπου είναι εφικτό, η εφαρμογή

της δεύτερης μεθόδου.

Σχήμα 6.4 Παραδείγματα σύνθετων ισοστατικών φορέων τυχαίας μορφής

39

7. ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

Η μετακίνηση PA ,δ ενός σημείου Α ενός ισοστατικού φορέα λόγω μιας

φορτιστικής κατάστασης Ρ δίνεται από την εξίσωση:

jj

jPj,

k

1jj,1

n

1i iiP(x),(x),1PA AE

LSS

IEdxMiMi,δ

(7.1)

όπου:

n: ο αριθμός των δοκών του φορέα.

Μi(x),1: η συνάρτηση της ροπής στη δοκό i (i = 1…n) λόγω φόρτισης με μοναδιαίο

φορτίο στο σημείο Α.

Μi(x),P: η συνάρτηση της ροπής στη δοκό i (i = 1…n) λόγω της φορτιστικής

κατάστασης Ρ.

Ei: το μέτρο ελαστικότητας της δοκού i (i = 1…n).

Ii: η ροπή αδράνειας της διατομής της δοκού i (i = 1…n).

k: ο αριθμός των ράβδων του φορέα.

Sj,1: η αξονική δύναμη της ράβδου j (j = 1…k) λόγω φόρτισης με μοναδιαίο

φορτίο στο σημείο Α.

Sj, P: η αξονική δύναμη της ράβδου j (j = 1…k) λόγω της φορτιστικής

κατάστασης Ρ.

Lj: το μήκος της ράβδου j (j = 1…k).

Ej: το μέτρο ελαστικότητας της ράβδου j (j = 1…k).

Aj: το εμβαδό της διατομής της ράβδου j (j = 1…k).

Παρατήρηση 1: Η μετακίνηση PA ,δ μπορεί να αντιστοιχεί είτε σε μετατόπιση

κόμβου κατά οποιαδήποτε διεύθυνση είτε σε στροφή κόμβου. Στην πρώτη περίπτωση

επιβάλλεται στο σημείο Α μοναδιαία δύναμη με διεύθυνση ίδια με αυτή της

ζητούμενης μετατόπισης. Στη δεύτερη περίπτωση επιβάλλεται στο σημείο Α

μοναδιαία ροπή. Από αυτές τις φορτίσεις προκύπτουν οι Μi(x),1 και Sj,1.

Παρατήρηση 2: Αν η μετακίνηση PA ,δ (μετατόπιση ή στροφή) προκύψει θετική,

σημαίνει ότι έχει την ίδια φορά με το επιβαλλόμενο μοναδιαίο φορτίο (δύναμη ή

ροπή αντίστοιχα).

40

Παρατήρηση 3: Ο παραπάνω τύπος ισχύει με την παραδοχή ότι οι αξονικές και

διατμητικές παραμορφώσεις των δοκών είναι αμελητέες. Αντίθετα, οι αξονικές

παραμορφώσεις των ράβδων δεν μπορούν να αγνοηθούν.

Παρατήρηση 4: Οι φορείς γενικά μπορεί να υποστούν μετακινήσεις και από διάφορα

άλλα αίτια, πέραν των εξωτερικών φορτίων, όπως οι θερμοκρασιακές μεταβολές, οι

υποχωρήσεις στηρίξεων και οι διαφορές συναρμογής.

Παρατήρηση 5:Το ολοκλήρωμα του γινομένου δύο συναρτήσεων dxMM P(x),(x),1

υπολογίζεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα. Οι συνηθέστερες συναρτήσεις

ροπών που εμφανίζονται στην πράξη αντιστοιχούν σε μία ή σε επαλληλία

περισσότερων από τις περιπτώσεις που περιλαμβάνονται σε αυτόν.

Πίνακας 7.1 Ολοκλήρωμα γινομένου δύο συναρτήσεων

abL

2

1abL

2

1abL

2

1 (a1+a2)bL 0

2

1abL

2

1abL

3

1abL

6

1abL

6

1 (a1+2a2)bL -

6

1abL

6

1abL(1+α)

2

1abL

6

1abL

3

1abL

6

1 (2a1+a2)bL

6

1abL

6

1abL(1+β)

2

1a(b1+b2)L

6

1 a(b1+2b2)L

6

1 a(2b1+b2)L

6

1[b1(2a1+a2)+b2(a1+2a2)]L

6

1a(b1-b2)L

6

1a[b1(1+β)+b2(1+ α)]L

0 -

6

1abL

6

1abL

6

1(a1-a2) bL

3

1abL

6

1abL(1-2α)

2

1abL

6

1abL(1+γ)

6

1abL(1+δ)

6

1 b[a1(1+ δ)+ a2(1+ γ)]L

6

1abL(1-2γ)

γ6β

ab(2γ-γ2-α2)L, γ α

3

2afL

3

1afL

3

1afL

3

1 (a1+a2)fL 0

3

1afL(1+αβ)

41

8. ΕΥΡΕΣΗ ΒΑΘΜΟΥ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΑΟΡΙΣΤΙΑΣ Βαθμός Στατικής Αοριστίας ενός φορέα είναι ο αριθμός των άγνωστων

εντασιακών μεγεθών που δεν μπορούν να υπολογιστούν με τη χρήση των εξισώσεων

ισορροπίας και μόνο. Για την εύρεσή του έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι, μεταξύ

των οποίων η πλέον απλή και εύχρηστη στις περισσότερες περιπτώσεις είναι η

εφαρμογή κάποιου κριτηρίου απαρίθμησης. Τα κριτήρια αυτά, όπως άλλωστε

μαρτυρά και το όνομά τους, συνίστανται σε απαρίθμηση αφενός των άγνωστων

μεγεθών ΝΧ ενός φορέα και αφετέρου των διαθέσιμων εξισώσεων ισορροπίας ΝΕ. Η

διαφορά Ν = ΝΧ - ΝΕ είναι ο ζητούμενος Βαθμός Στατικής Αοριστίας. Προσοχή: η

συνθήκη Ν 0 δεν εξασφαλίζει τη στερεότητα του φορέα, η οποία πρέπει να

ελέγχεται με άλλες μεθόδους.

Ένα από τα πλέον γνωστά κριτήρια απαρίθμησης εκφράζεται από τη σχέση:

Ν = ΝΧ - ΝΕ = (α + ρ + μ + 3β) – (3δ + 2κ)

όπου:

α, ο αριθμός των αντιδράσεων στις στηρίξεις του φορέα.

ρ, ο αριθμός των ράβδων που τυχόν υπάρχουν.

μ, ο αριθμός των δεσμικών ράβδων που εισάγουν εσωτερικοί μηχανισμοί

(αρθρώσεις) που συνδέουν δίσκους.

β, ο αριθμός των κλειστών βρόχων που υπάρχουν εντός ενός ή περισσοτέρων

δίσκων του φορέα.

δ, ο αριθμός των δίσκων του φορέα.

κ, ο αριθμός των κόμβων του φορέα όπου συμβάλλουν τουλάχιστον δύο

ράβδοι, αλλά μόνο ράβδοι.

Σε ότι αφορά στον προσδιορισμό του μ, επισημαίνεται ότι μια απλή εσωτερική

άρθρωση που συνδέει δύο δίσκους, εισάγει δύο δεσμικές ράβδους. Γενικότερα, αν σε

μία εσωτερική άρθρωση συμβάλλουν n δίσκοι, ο αριθμός των δεσμικών ράβδων είναι

μ = 2(n – 1). Μερικά διευκρινιστικά παραδείγματα δίνονται στο σχήμα 8.1.

Σχήμα 8.1 Παραδείγματα υπολογισμού μ

42

Τέλος, σε ότι αφορά στον προσδιορισμό του β, σημειώνεται ότι πρέπει να

συνυπολογίζονται μόνο κλειστοί βρόχοι εντός δίσκων και όχι βρόχοι που

σχηματίζονται μεταξύ περισσοτέρων δίσκων ή ράβδων. Για παράδειγμα, στο φορέα

του σχήματος 8.2 δεν συνυπολογίζεται ο βρόχος ΗΙFE, καθώς σχηματίζεται μεταξύ

του ενός και μοναδικού δίσκου του φορέα και της ράβδου EF. Δηλαδή, στην

προκειμένη περίπτωση είναι β = 3.

Σχήμα 8.2 Παράδειγμα υπολογισμού β

43

9. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 9.1 Το σκεπτικό της μεθόδου δυνάμεων

Η μέθοδος δυνάμεων είναι η παλαιότερη από τις κλασικές μεθόδους υπολογισμού

υπερστατικών φορέων, δηλαδή φορέων για την επίλυση των οποίων δεν επαρκούν οι

εξισώσεις ισορροπίας. Το σκεπτικό της βασίζεται στις Αρχές της Αποδεσμεύσεως και

της Επαλληλίας.

Σύμφωνα με την Αρχή της Αποδεσμεύσεως κάποιες ή και όλες οι δεσμικές

ράβδοι (στηρίξεις – σύνδεσμοι) ενός φορέα επιτρέπεται να καταλυθούν, αρκεί στη

θέση τους να προσαχθούν οι αντίστοιχες αντιδράσεις (διαδικασία που εφαρμόζεται

στους ισοστατικούς φορείς για τον υπολογισμό αντιδράσεων). Έτσι, αν σε έναν

υπερστατικό φορέα καταλυθούν δεσμικές ράβδοι σε πλήθος ίσες με το βαθμό

στατικής του αοριστίας Ν, τότε προκύπτει ένας παράγωγος ισοστατικός φορέας που

ονομάζεται Ισοστατικό Κύριο Σύστημα (ΙΚΣ). Το ΙΚΣ είναι φορτισμένο με τα

εξωτερικά φορτία του υπερστατικού φορέα και επιπροσθέτως με τις άγνωστες

αντιδράσεις των καταλυθέντων συνδέσμων.

Παρατήρηση 1: Γενικά, για κάθε υπερστατικό φορέα υπάρχουν πολλά εναλλακτικά

ΙΚΣ και η τελική επιλογή εναπόκειται στην κρίση του μελετητή. Πάντοτε όμως, θα

πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή ώστε το ΙΚΣ να είναι στερεό (βλ. παράγραφο

2.3) και επιπλέον η επίλυσή του να είναι η απλούστερη δυνατή.

Παρατήρηση 2: Πολλές φορές, αντί για την κατάλυση Ν δεσμικών ράβδων,

καταλύονται λιγότερες με αποτέλεσμα να προκύπτει ένας υπερστατικός παράγωγος

φορέας που ονομάζεται Υπερστατικό Κύριο Σύστημα (ΥΚΣ). Η επιλογή αυτή έχει

πρακτική αξία όταν το ΥΚΣ ανήκει σε κάποια κατηγορία τυποποιημένων φορέων

(π.χ. αμφίπακτη δοκός, δίστυλο μονώροφο πλαίσιο κ.α.) για τους οποίους διατίθενται

έτοιμοι τύποι ή πίνακες που καθιστούν την επίλυσή τους απλή.

Παρατήρηση 3: Οι άγνωστες αντιδράσεις των καταλυθέντων συνδέσμων

συμβολίζονται κατά κανόνα με Χ1, Χ2, …Χi (i =1 ...N).

Παρατήρηση 4: Γενικά, αντί για την κατάλυση εξωτερικών δεσμικών ράβδων –

στηρίξεων, μπορούν να καταλυθούν και εσωτερικές, π.χ. να προστεθεί σε κάποιο

σημείο εσωτερική άρθρωση. Στην περίπτωση αυτή, στη θέση της καταλυθείσας

δεσμικής ράβδου θα πρέπει να προσαχθεί το αντίστοιχο φορτίο διατομής, π.χ. ροπή

κάμψης.

44

Σύμφωνα με την Αρχή της Επαλληλίας ένας φορέας υπό την επίδραση

πολλαπλών φορτίσεων μπορεί να επιλυθεί ανεξάρτητα για κάθε μία από αυτές και τα

τελικά εντασιακά και παραμορφωσιακά μεγέθη (φορτία διατομής, μετακινήσεις κτλ.)

να προκύψουν ως άθροισμα των επιμέρους. Έτσι, το ΙΚΣ μπορεί να επιλυθεί

ανεξάρτητα για την εξωτερική φόρτιση (κατάσταση 0) και για κάθε μια από τις

άγνωστες αντιδράσεις των καταλυθέντων συνδέσμων (καταστάσεις 1, 2, …, Ν).

Φυσικά, οι τελευταίες είναι σε πρώτη φάση άγνωστες. Για το λόγο αυτό, το ΙΚΣ

επιλύεται αρχικά για μοναδιαία φορτία (δυνάμεις ή ροπές) στις θέσεις των άγνωστων

αντιδράσεων. Η τιμή τυχόντος εντασιακού ή παραμορφωσιακού μεγέθους S για μια

κατάσταση i (i =1 ...N) ισούται προφανώς με την αντίστοιχη τιμή Si λόγω του

μοναδιαίου φορτίου πολλαπλασιασμένη με Χi. Η τελική τιμή τυχόντος μεγέθους S

προκύπτει ως άθροισμα όλων των επιμέρους καταστάσεων, δηλαδή:

S = S0 + X1S1 + X2S2 +…+ XiSi +…+ XΝSΝ (9.1)

Με βάση το παραπάνω σκεπτικό η μετακίνηση δi στη θέση ενός καταλυθέντος

συνδέσμου i είναι:

δi = δi0 + X1 δi1 + X2 δi2 +…+ Xi δii +…+ XΝ δiΝ (9.2)

Επειδή όμως στον πραγματικό φορέα οι μετακινήσεις στις θέσεις των καταλυθέντων

συνδέσμων είναι μηδενικές (δi = 0) έπεται ότι:

δi0 + X1 δi1 + X2 δi2 +…+ Xi δii +…+ XΝ δiΝ = 0 (9.3)

Για κάθε μετακίνηση δi σε θέση καταλυθέντος συνδέσμου, μπορεί να γραφεί μια

εξίσωση όπως η 9.3. Έτσι, προκύπτει ένα σύστημα Ν εξισώσεων που ονομάζονται

εξισώσεις συμβιβαστού (των παραμορφώσεων) με Ν άγνωστα μεγέθη τις αντιδράσεις

Χ1, Χ2, …Χi (i =1 ...N). Μετά την επίλυση του συστήματος και τον υπολογισμό των

Χ1, Χ2, …Χi (i =1 ...N) μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση 9.1 η τελική τιμή

οποιουδήποτε εντασιακού ή παραμορφωσιακού μεγέθους.

Παρατήρηση 5: Οι μετακινήσεις στις θέσεις των καταλυθέντων συνδέσμων δi0 λόγω

της εξωτερικής φόρτισης ονομάζονται συντελεστές φόρτισης, ενώ οι μετακινήσεις δi1,

δi2, …δiΝ λόγω των μοναδιαίων καταστάσεων ονομάζονται συντελεστές

ενδοσιμότητας.

Παρατήρηση 6: Οι συντελεστές φόρτισης και ενδοσιμότητας υπολογίζονται με βάση

όσα αναφέρθηκαν στο κεφάλαιο 7 περί μετακινήσεων ισοστατικών φορέων.

Υπενθυμίζεται ότι η σχέση 7.1 ισχύει με την παραδοχή ότι οι αξονικές και

διατμητικές παραμορφώσεις των δοκών είναι αμελητέες, δηλ. οι εξεταζόμενοι φορείς

είναι ατενείς και άτμητοι.

45

Παρατήρηση 7: Η εξίσωση 9.1 είναι γενική και μπορεί να εφαρμοστεί για όλα τα

ζητούμενα εντασιακά μεγέθη. Στην πράξη όμως, είναι πιο εύκολο να εφαρμόζεται

μόνο για τις ροπές κάμψης και τις αξονικές δυνάμεις ράβδων, για τις οποίες ο

υπολογισμός των τιμών τους για κάθε επιμέρους κατάσταση είναι ούτως ή άλλως

απαραίτητος προκειμένου να υπολογιστούν οι συντελεστές φόρτισης και

ενδοσιμότητας. Αντίθετα, για τον υπολογισμό των αξονικών και τεμνουσών

δυνάμεων των δοκών είναι προτιμότερο να εφαρμόζεται η εναλλακτική διαδικασία

που περιγράφηκε στην παράγραφο 4.5 (αρχή της ομόλογης δοκού, κτλ.).

9.2 Βήμα προς βήμα διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου δυνάμεων

Παρακάτω γίνεται βήμα προς βήμα παρουσίαση της διαδικασίας εφαρμογής της

μεθόδου δυνάμεων με τη βοήθεια και ενός απλού παραδείγματος (σχ. 9.1).

Σχήμα 9.1 Μονόπακτη δοκός

Βήμα 1: Εύρεση βαθμού στατικής αοριστίας

Ο βαθμός στατικής αοριστίας Ν υπολογίζεται σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στο

κεφάλαιο 8. Για παράδειγμα, η μονόπακτη δοκός του σχήματος 9.1 που αποτελείται

από ένα δίσκο και έχει τέσσερις αντιδράσεις στηρίξεων, έχει βαθμό στατικής

αοριστίας Ν = 4 - 3∙1 = 1.

Βήμα 2: Κατάλυση συνδέσμων – επιλογή ΙΚΣ

Καταλύονται Ν δεσμικές ράβδοι του φορέα ώστε να προκύψει ένα στερεό και

κατά το δυνατόν απλό ΙΚΣ. Στις θέσεις των καταλυθέντων συνδέσμων προσάγονται

οι αντίστοιχες άγνωστες αντιδράσεις Χ1, Χ2, …Χi (i =1 ...N). Έτσι, στη μονόπακτη

δοκό του σχήματος 9.1, θα πρέπει να καταλυθεί μία δεσμική ράβδος, για παράδειγμα

46

η κύλιση στο σημείο Β. Στη θέση της προσάγεται η αντίστοιχη κατακόρυφη

αντίδραση Χ1. Το ΙΚΣ που προκύπτει είναι ο πρόβολος που δίνεται στο σχήμα 9.2.

Σχήμα 9.2 ΙΚΣ μονόπακτης δοκού

Βήμα 3: Επίλυση του ΙΚΣ για την εξωτερική φόρτιση (κατάσταση 0)

Το ΙΚΣ επιλύεται κατά τα γνωστά για την εξωτερική φόρτιση και σχεδιάζεται το

διάγραμμα ροπών του Μ0. Σε περίπτωση ύπαρξης ράβδων θα πρέπει να υπολογιστεί

και η αξονική τους δύναμη. Για τον πρόβολο του σχήματος 9.2 το διάγραμμα ροπών

Μ0 λόγω του συνεχούς ομοιόμορφου φορτίου που φέρει μπορεί να υπολογιστεί από

το σχήμα 4.3 για q = 10 kN/m και L = 4 m (σχήμα 9.3).

Σχήμα 9.3 Διάγραμμα ροπών ΙΚΣ λόγω εξωτερικής φόρτισης

Βήμα 4: Επίλυση του ΙΚΣ για μοναδιαία φορτία στις θέσεις των καταλυθέντων

συνδέσμων (καταστάσεις 1, 2, …, Ν)

Το ΙΚΣ επιλύεται κατά τα γνωστά για μοναδιαία φορτία στις θέσεις των

καταλυθέντων συνδέσμων και σχεδιάζονται τα διαγράμματα ροπών Μ1, Μ2, … ΜΝ.

Σε περίπτωση ύπαρξης ράβδων θα πρέπει να υπολογιστεί και η αξονική τους δύναμη.

Προφανώς, όταν η αντίδραση στον καταλυθέντα σύνδεσμο είναι δύναμη εφαρμόζεται

μοναδιαία δύναμη, ενώ όταν η αντίδραση στον καταλυθέντα σύνδεσμο είναι ροπή

εφαρμόζεται μοναδιαία ροπή. Η φορά εφαρμογής κάθε μοναδιαίου φορτίου

ταυτίζεται με την επιλεγείσα φορά της αντίστοιχης άγνωστης αντίδρασης. Για τον

πρόβολο του σχήματος 9.2 το διάγραμμα ροπών Μ1 λόγω μοναδιαίας κατακόρυφης

47

δύναμης στον κόμβο Β με φορά προς τα πάνω (ίδια με τη φορά της Χ1) μπορεί να

υπολογιστεί από το σχήμα 4.3 για Ρ = -1 kN και L = 4 m (σχήμα 9.4).

Σχήμα 9.4 Διάγραμμα ροπών ΙΚΣ λόγω μοναδιαίας δύναμης στο Β

Βήμα 5: Υπολογισμός των συντελεστών φόρτισης και ενδοσιμότητας

Από την εξίσωση 7.1 και με τη βοήθεια του πίνακα 7.1 υπολογίζονται οι

συντελεστές φόρτισης δi0 και ενδοσιμότητας δi1, δi2, …δiΝ. Όλες οι απαραίτητες

επιλύσεις για βοηθητικά μοναδιαία φορτία είναι διαθέσιμες από το προηγούμενο

βήμα. Για τη δοκό του παραδείγματος έχουμε:

δ10 = mEI3204420

3144)80(

31

EI1

δ11 = m/kN3EI64444

31

EI1

Βήμα 6: Κατάστρωση και επίλυση του συστήματος των εξισώσεων συμβιβαστού

Καταγράφονται οι Ν εξισώσεις συμβιβαστού (βλέπε εξίσωση 9.3) που

προκύπτουν από τη συνθήκη μηδενισμού των μετακινήσεων στις θέσεις των

καταλυθέντων συνδέσμων. Από την επίλυση του ΝxN συστήματος των εξισώσεων

συμβιβαστού προκύπτουν οι άγνωστες τιμές των αντιδράσεων Χ1, Χ2, …Χi (i =1

...N). Προφανώς, σε μία φορά στατικά αόριστους φορείς καταγράφεται μόνο μία

εξίσωση συμβιβαστού, από την επίλυση της οποίας προκύπτει άμεσα η τιμή της

μοναδικής άγνωστης αντίδρασης. Για τη δοκό του παραδείγματος έχουμε:

δ10 + X1∙δ11 = 0 X1 = - δ10/ δ11 = 15 kN.

Βήμα 7: Υπολογισμός των εντασιακών μεγεθών

Τα εντασιακά μεγέθη του φορέα προκύπτουν από τη σχέση 9.1. Ωστόσο, όπως

ήδη προαναφέρθηκε, είναι πιο πρακτικό η σχέση 9.1 να εφαρμόζεται μόνο για τις

ροπές κάμψης και τις αξονικές δυνάμεις ράβδων. Στη συνέχεια, οι αξονικές και οι

τέμνουσες δυνάμεις των δοκών προκύπτουν από την εναλλακτική διαδικασία που

48

περιγράφηκε στην παράγραφο 4.5 (αρχή της ομόλογης δοκού, κτλ.). Έτσι, για τη

δοκό του παραδείγματος έχουμε:

ΜΑ = -80 + 15∙4 = -20 kNm, ΜΒ = 0 kNm (άκρο με κύλιση).

QΑ = 4

)20(02

410

= 20 + 5 = 25 kN.

QB = -4

)20(02

410

= -20 + 5 = -15 kN.

NΑ= NB = 0 kN, (απουσία φορτίων παράλληλων με τον άξονα της δοκού).

Βήμα 8: Σχεδιασμός διαγραμμάτων φορτίων διατομής

Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής σχεδιάζονται όπως ακριβώς και για τους

ισοστατικούς φορείς. Υπενθυμίζεται ότι εφόσον υπάρχουν ανοίγματα με συνεχή

φορτία, θα πρέπει να υπολογιστούν επιπλέον οι μέγιστες τιμές των ροπών κάμψης,

καθώς και οι τιμές των ροπών κάμψης στο μέσο των ανοιγμάτων αυτών (εξισώσεις

4.4, 4.5 και 4.6). Στο σχήμα 9.5 δίνονται τα διαγράμματα των φορτίων διατομής της

μονόπακτης δοκού του παραδείγματος.

Σχήμα 9.5 Διαγράμματα φορτίων διατομής μονόπακτης δοκού

49

10. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΡΟΠΩΝ Η μέθοδος των τριών ροπών ή μέθοδος Clapeyron είναι μια απλή και εύχρηστη

μέθοδος για τον υπολογισμό του διαγράμματος ροπών κάμψης συνεχών

υπερστατικών δοκών (χωρίς ενδιάμεσες αρθρώσεις), όπως αυτή του σχήματος 10.1.

Αν Α, Β και C είναι τρεις διαδοχικές στηρίξεις της συνεχούς δοκού και L1, E1, I1 και

L2, E2, I2 τα μήκη, τα μέτρα ελαστικότητας και οι ροπές αδράνειας των διατομών των

ανοιγμάτων ΑΒ και ΒC αντίστοιχα, τότε οι ροπές κάμψης των τριών στηρίξεων

συνδέονται με την παρακάτω εξίσωση:

dxMx)(LLIE

6dxMxLIE

6MIE

LM

IEL

IEL

2MIE

L(x)2

L

02

222(x)1

L

0111C

22

2B

22

2

11

1A

11

121

(10.1)

Στη συνήθη περίπτωση ίδιου υλικού και ίδιας διατομής στα δύο ανοίγματα η εξίσωση

10.1 απλοποιείται ως εξής:

dxMx)(LL6dxMx

L6MLMLL2ML (x)2

L

02

2(x)1

L

01C2B21A1

21

(10.2)

Οι συναρτήσεις Μ1(x) και Μ2(x) είναι οι συναρτήσεις μεταβολής της ροπής κάμψης

στα ανοίγματα ΑΒ και ΒC αντίστοιχα, αν αυτά θεωρηθούν αμφιέρειστες δοκοί με τα

ίδια φορτία που φέρουν και ως τμήματα της συνεχούς δοκού. Τα ολοκληρώματα

dxMx (x)1

L

0

1

και dxMx)(L (x)2

L

02

2

είναι ολοκληρώματα γινομένου δύο συναρτήσεων

και μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια του πίνακα 7.1. Επισημαίνεται ότι για

το πρώτο ολοκλήρωμα η συνάρτηση x είναι ευθεία με τιμή 0 στο αριστερό άκρο και

L1 στο δεξί (διάγραμμα τριγωνικής μορφής στον πίνακα 7.1). Για το δεύτερο

ολοκλήρωμα, η συνάρτηση L2 - x είναι ευθεία με τιμή L2 στο αριστερό άκρο και 0

στο δεξί (επίσης διάγραμμα τριγωνικής μορφής στον πίνακα 7.1).

Σχήμα 10.1 Συνεχής υπερστατική δοκός

Σε μια συνεχή δοκό οι ροπές των ακραίων στηρίξεων είναι γνωστές ή μπορούν να

προσδιοριστούν εύκολα. Η εξίσωση των τριών ροπών 10.1 ή 10.2 εφαρμόζεται τόσες

φορές όσες είναι οι ενδιάμεσες στηρίξεις (όσες και το πλήθος των διαδοχικών ζευγών

ανοιγμάτων). Από το σύστημα εξισώσεων που προκύπτει μπορούν να

προσδιοριστούν όλες οι άγνωστες ροπές κάμψης. Φυσικά, αν πρόκειται για δοκό

50

τριών στηρίξεων δεν απαιτείται επίλυση συστήματος και η ροπή της μεσαίας

στήριξης προκύπτει από μία μόνο εφαρμογή της εξίσωσης των τριών ροπών.

Παρατήρηση 1: Η εξίσωση των τριών ροπών (10.1 ή 10.2) ισχύει για τη συνήθη

περίπτωση ανυποχώρητων στηρίξεων. Αν υπάρχουν ενδόσιμες στηρίξεις, τότε η

εξίσωση των τριών ροπών πρέπει να τροποποιηθεί κατάλληλα ώστε να ληφθούν

υπόψη πιθανές υποχωρήσεις

Παρατήρηση 2: Μετά τον υπολογισμό των ροπών κάμψης, μπορούν να

υπολογιστούν (εφόσον απαιτείται) κατά τα γνωστά οι τέμνουσες και οι αξονικές

δυνάμεις των δομικών στοιχείων. Στη συνέχεια, από την ισορροπία των κόμβων των

στηρίξεων μπορούν να υπολογιστούν και οι αντιδράσεις.

Παρατήρηση 3: Σε περίπτωση που μια ακραία στήριξη της συνεχούς δοκού είναι

πάκτωση, η εξίσωση των τριών ροπών μπορεί να εφαρμοστεί αντικαθιστώντας την

πάκτωση με ένα επιπλέον άνοιγμα τυχαίου μήκους και άπειρης ροπής αδράνειας.

51

11. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Ι.Ε. Αβραμίδης, Στατική των Κατασκευών, Τόμος Ι: Θεμελιώδεις Αρχές και

Ισοστατικοί Φορείς, Εκδόσεις Σοφία, Θεσσαλονίκη 2009.

[2] Ι.Ε. Αβραμίδης και Κ.Ι. Μορφίδης, Στατική των Κατασκευών, Τόμος Ια:

Ισοστατικοί Φορείς – Σύνοψη Θεωρίας και Ασκήσεις, Εκδόσεις Σοφία, Θεσσαλονίκη

2008.

[3] Ι.Ε. Αβραμίδης, Στατική των Κατασκευών, Τόμος ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς και

Κλασικές Μέθοδοι Ανάλυσης, Εκδόσεις Σοφία, Θεσσαλονίκη 2007.

[4] Γ.Μ. Νιτσιώτας, Στατική των Γραμμικών Φορέων, Τόμος Ι: Κλασική Στατική,

Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 1995.

[5] Χ.Α. Βαλανίδης και Σ.Ε. Λυριντζάκης, Εφαρμοσμένη Στατική – Θεωρία και

Παραδείγματα, Εκδόσεις Γαρταγάνης, Θεσσαλονίκη 1983.