실시간에실시간에실시간에실시간에 의존하는의존하는의존하는의존하는 재료비선형재료비선형재료비선형재료비선형 문제문제문제문제 실시간실시간실시간실시간 의존의존의존의존 변형거동의변형거동의변형거동의변형거동의 특징특징특징특징 시간 시간 변형률

변형률 응력 응력

크리프거동 응력완화거동 응력- 변형률거동 물질은 각각 고유의 특징을 가지며, 변형특성, 즉 응력과 변형률의 관계도 예외가 아니다. 특히 온도나 응력이 상대적으로 높아졌을때의 비선형거동은, 각각의 물질에 따라 크게 달라진다. 지금까지 가장 폭넓게 각종 기계나 구조물의 재료로 이용되어져 온 것은, 철을 시작으로 하는 각종 금속재료이다. 이것들의 공통적인 특징을 나타내면 아래와 같다. - 저온에서 저응력조건에서는 선형 혹은 탄성적거동을 나타내는 범위가 있다. - 온도나 응력이 증가함과 동시에, 부하를 제거한 후에도 회복되지 않는 변형이 생긴다. 이것은 주로 전위의 운동에 의해 생기는 것이므로, 파단전에 수%로부터 파단후의 수십%의 인장을 나타낸다. 이러한 높은 연성이 공업재료로서의 금속의 최대장점이다.

- 비교적 저온에서는, 소성변형의 시간의존성이 적으며, 시간을 변수로 포함하지 않는 협의의 소성구성모델이 적용가능한 경우가 많지만, 일반적으론 비탄성변형특성은 부하속도에 의존한다. 게다가 절대온도에서 융점의 반 이상의 온도는 전위조직의 회복이나 입계미끌림이 활발하게 되고, 다음과 같은 현상이 현저하게 나타난다. - 크리프변형 - 응력완화 - 크리프변형과 응력완화의 혼재 - 응력변형률관계의 시간의존성 근년, 많은 기기나 장치가 이러한 현상을 무시할 수 없는 고온상태에서 운전하게 되었고, 효율의 개선 등을 이유로 보다 고온환경에서의 적용이 요구되고 있다. 이 때문에, 시간비의존해석으로는 충분하지 못하고, 위와 같은 현상이 발생하는 것을 고려한 설계나 수명평가를 수행하는 것이 필요하게 되었다. 이러한 배경을 이유로, 위와 같은 현상을 정확하게 고려할 수 있는 해석수법의 개발이 각 방면에서 활발하게 진행되고 있다.

선형점탄성모델: 점탄성모델은, 탄성변형률에 대하여, 점성변형률을 더한 모델이며, 고분자재료의 해석에 폭넓게 이용되고 있다. 선형점성모델은, 응력이 변형률속도에 비례하는 것으로 하고, 이것과 선형탄성모델을 직렬 혹은 병렬로 조합시킨 가장 간단한 모델이다. 선형탄성모델의 변형 특성은, 일축 응력상태에서, εσ E= 로 주어지는 데 반해, 선형점성모델에서는

εησ ɺ= 로 주어진다. 여기서 η 는 점성계수이며 (. ) 는 시간미분을 나타낸다. 이들 두 종류의 특성을 조합한 기본형으로서, Maxwell 모델, Voigt 모델(혹은 Kelvin-Voigt 모델)이라고 불리는 것들이 있다. Maxwell 모델은, 선형탄성체와 선형점성체가 직렬로 이어진 것이며, 양자는 응력을 공유한다. 응력과 변형률의 관계는 다음식으로 주어진다. η

σσε +=

E

ɺɺ

한편, Voigt 모델에서는, 두개의 요소는 병렬로 연결되어 있으며 양자는 변형률을 공유한다. 이때의 응력-변형률 관계는 아래와 같다. εηεσ ɺ+= E 이들 양자 모두 정성적으로는 크리프나 응력완화의 특징을 표현하고 있지만, 반드시 실제의 재료거동을 표현할 수 있다고 말하기는 어렵다. 이 때문에 이것들을 조합시킨 모델, 일반화 Maxwell모델이나 일반화 Voigt 모델이 사용되는 경우가 많다. 이러한 기본식을 이용하여 다축상태의 변형률 속도와 응력속도의 관계를 유도하는 것이 가능하고, 시간증분법에 의해 유한요소해석을 수행할 수 있다.

크리프이론: Const.

1차크리프 2차(정상)크리프 3차(가속)크리프파단

시간변형률

앞서 설명한 점탄성모델은, 점성적인 비탄성 변형거동을 정성적으로 표현하지만, 응력과 변형률간의 선형관계를 가정하고 있으며, 표현의 정도는 불충분하다. 이 때문에, 특히 금속재료에 대해서는, 그 거동을 보다 정확하게 표현할 수 있는 이론이 이용되는 것이 보통이다. 광의의 의미에서 크리프는, 시간의존형의 변형을 가리키는 말이지만, 협의의 의미로는, 금속재료가 갖는 특수한 성질인 아주 천천히 일어나는 시간의존변형을 가리키는 경우가 대부분이다. 금속재료는, 많은 경우 그림에 보이는 것과 같은 3 단계의 변현거동을 나타낸다. 1차크리프(또는 천이 크리프)에 있어서는, 전위조직의 발달등에 의해 변형속도가 서서히 저하하는 경화특성이 나타난다. 이어서 2차 크리프(정상 크리프)영역에서는, 경화와 회복이 동시에 존재하여 일정변형률속도로 변형이 진행한다. 마지막으로 3차크리프(가속 크리프)영역에서는, 변형률속도는 서서히 가속되고 파단에 이른다. 가속의 원인은 주로 크리프 cavity 등의 미소한 손상 및 단면적의 감소에 의한 진응력의 증대에 기인하는

것으로 여겨지고 있다. 각종 고온기기의 설계상의 필요에 따라, 시간비의존형의 소성이론의 뒤를 이어, 크리프이론이 발전하였다. 크리프 이론은, 통상 이하의 3가지 요소로 구성된다. 단축일정응력, 일정온도하의 크리프변형률의 변화를 나타내는 크리프 변형률식 다축응력상태에의 일반화 경화법칙의 일반화

크리프변형률 식: 크리프변형률식은, 일정온도, 응력하에서의 크리프변형률의 변화를 나타내는 것으로, 각종의 경험식이 제안되어 있다. 우선, 온도의 효과를 제외하고 생각하면 다음과 같은 것들이 이용된다. - 정상크리프의 표현 Norton 식: 크리프변형을 하는 구조의 정상적인 응력분포 및 변형률속도의 분포를 구하기 위해서는 , 정상 크리프변형률속도만을 고려하면 충분하다. 정상크리프를 표현하는 가장 대표적인 식은, 다음의 Norton법칙이다.

n

c Aσε =ɺ Sinh 식: 많은 금속재료의 고온 크리프변형에 대해서, Norton 법칙은 양호한 근사를 주지만 응력이 높아 지고, 단시간 인장강도에 가까워지면, Power법칙 관계가 성립하지 않는다. 이러한 조건을 포함해서 넓은 범위의 변형률속도에 대해 양호한 표현정도를 주는 함수로서,

Garofalo에 의해 제안된 다음식을 이용하는 것이 가능하다. ( ) n

c A ασε sinh=ɺ - 1차 크리프와 정상크리프의 표현 Norton-Bailey 식: Norton-Bailey 식은 Norton법칙을 일반화시킨 것으로 다음식으로 크리프변형률속도가 주어진다.

mn

c tAσε =ɺ 여기서 m은 음의 정수이며, 크리프변형률속도가 시간과 함께 감소하는 것을 나타낸다. 이것에 정상크리프변형률을 더해서, 1차-정상 크리프거동을 표현할 수 있다. Blackburn type: 고속증식로의 고온설계용에 개발된 식으로 다음과 같이 표현한다.

( ) tAeBntr

c σε +−= −1 여기서 우변 첫항은 1차 크리프를 나타내며, 일반적으로 B, r 은 응력에 의존하는 파라미터이다. 이 식에서는 넓은 범위의

- 1차, 가속 크리프의 표현 순수한 정상크리프상태는 존재하지 않는다는 전제로, 1차, 가속 크리프로 이루어지는 크리프변형거동전체를 표현하는 것으로서, 투영식이라고 불리는 이하의 식이 제안되어 있으며, 가속크리프까지 포함한 해석에 유용하다. ( ) ( )11 42

31−+−=

− tt

c eeθθ θθε 여기서 iθ 는 응력에 의존하는 재료정수이다. 또한 크리프변형은 온도에 강하게 의존하기 때문에, 이들 각 식에 있어서 각 정수는 일반적으로 온도의 함수형태로 되어야 할 필요가 있다. 다축응력상태로의 확장: 상기의 크리프변형률 식은, 단축인장응력상태의 크리프변형률의 축적을 표현하는 것이며, 일반적인 다축응력상태에 대해서 적용하기 위해서는 이들 식을 일반화한 법칙이 필요하다. 금속재료의 경우, 일반적인 다축응력상태에 대해서 확장할 경우, 이하에 정의되는 Mises의 상당량이 단축인장조건하에서의 응력이나 변형률속도 대신으로 사용되어진다.

c

ij

c

ijc εεε ɺɺɺ

3

2=

ijij ss2

3=σ

크리프 변형률속도의 각성분의 크기를 나타내는 식으로는 다음과 같은 식이 있다. c

ijc

ij

sε

σε ɺɺ

2

3= 이 식은, 크리프변형률속도의 각 성분이, 편차응력성분에 비례하는 것을 나타내며, Mises 형의 크리프, 포텐셜에 직교하는 방향으로 크리프변형률이 발생하는 것을 의미한다. 이것은 이동경화가 없는 경우의 소성이론을 본뜬 것이다. 경화법칙의 일반화: 대다수의 크리프모델에서는, 시간과 함께 크리프변형률속도가 변화하는 특징이 있다. 일정응력상태가 기본인 크리프변형률식을 응력변동의 문제에 적용하기 위해서는, 경화특성을 일반화할 필요가 있다. 가장 단순한 적용방법으로서는, 단순히 실시간을 도입하는 “시간경화법칙”이 있지만, 저응력에서 거의 크리프가 발생하지 않는 경우에도 그 후의 고응력에서의 변형이 경화하는 등, 물리적으로 명백하게 불합리하다고 보여지는 특성이 예측되는 이유로 근년에는 거의 이용되지 않고 있다. 이것에 대하여, 보다 폭넓게 이용되는 간단한 경화법칙으로서 “변형률경화”를 들 수 있다. 이 경화법칙에서는, 실시간이 아니고 누적상당크리프변형률이 실질적인 경화파라미터로 이용되어진다. 누적상당크리프변형률은 통상 상당크리프변형률속도의 적분량으로서 다음식으로 주어진다.

dtt

c

ij

c

ijc ∫ −=

0 3

2εεε ɺɺ (76) 구체적으로는, 누적상당크리프변형률과 부하응력을 크리프변형률식에 대입함으로써 얻어지는 시간을 “등가시간”으로서 구한 후, 실시간의 대용으로 이것을 이용하여 크리프변형률속도를 구한다. 이 방법을 이용하면, 응력의 방향이 변하지 않는 경우에는, 꽤 높은 정도의 결과를 얻는다. 유한요소법에 의한 취급: 이상의 비탄성구성방정식은, 어느것이라도 시간미분항을 포함하고 있지만, 수치해석상에는 동적해석과 마찬가지로 유한의 시간증분을 이용한 Time stepping(marching) approach에 의해 수행된다. 이 경우, 당연히 작은 시간증분을 이용하는 것이 정도의 향상을 가져다 줄 수 있지만, 계산시간의 면에서 어느정도의 증분크기에서 계산하는 것이 바람직하다. 1 스텝에 있어서 증분량을 ∆ 를 붙여 나타내면, 이상에서 설명한 어떠한 구성방정식을 이용하더라도 아래와 같이 선형탄성법칙을 만족해야 한다.

( )cteee DD ε∆ε∆ε∆σ∆ −==

표준적인 유한요소법의 정식화흐름을 따라 이산화하면 다음의 강성방정식을 얻는다. ( ) ∫∫ +=

ΩΩΩε∆∆∆Ω dDBfdBdDB

ceTeT (78) n 스텝까지의 해를 기지라고 보면, n+1스텝의 해를 구하는 문제가 된다. 크리프 변형률증분을 n스텝과 n+1스텝에서의 크리프변형률을 이용하여 다음과 같이 표현한다. ( ) c

n

c

n

ct

11 ++−= εθεθ∆ε∆ ɺɺ (79) 여기서 θ 는 0 부터 1사이의 시간적분파라미터이다. 0=θ 의 경우에는, 다음과 같이 되며, 크리프변형률증분을 열변형률 등과 마찬가지로 취급하는 것이 가능해 진다.

( ) ∫∫ +=ΩΩ

Ωε∆∆∆Ω dDBfdBdDBc

n

eTeTɺ (80) 식의 좌변의 강성행렬은, 일정 혹은 한번 그 역행렬을 계산해두면, d∆ 의 계산에서는 후진대입만 필요하게 되고, 따라서 계산시간면에서 상당한 장점을 갖는다. 이 때문에, 범용프로그램에서는 이 방법이 널리 이용되고 있다. 단 위 식을 이용하여 계산할 때는 t∆ 를 충분히 작게 해서, 계산정도를 향상시켜 해의 불안정성을 방지해야 할 필요가 있다. 예를 들면 다음식과 같은 기준을 설정하여 시간스텝에 대한 감도를 조절해야 한다.

c

n

c

nt εε∆2

1≤ɺ (81) 이상의 내용을 아래 그림을 이용하여 정리한다.

응력의 갱신

크리프변형률속도계산

강성방정식우변의 계산

절점변위증분

변형률증분

응력증분

크리프구성방정식식 (80) 식 (80)의 계산B 매트릭스식 (77)