Μιγαδικοί Λύσεις Μπάρλα - α

21

Θ Ε Μ Α Τ Α

με λύση

Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι

Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος

Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης

Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

(έκδοση 2004)

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α΄

Αναστασίου Χ. Μπάρλα

© Lntzs 2

μ1α προσφορά του blοg…

lisari.blogspot.com

http://lisari.blogspot.com/

© Lntzs 3

Θέμα 1

Αν μιγαδικός z με 4

11Re

z, τότε:

α. Αν 1)Im( z , να βρείτε το )Re(z .

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο.

γ. Να βρείτε τη μεγίστη τιμή του z .

δ. Αν 21, zz με 4

11Re

1Re

21

zz, να βρείτε τη μεγίστη τιμή του μέτρου 21 zz .

Λύση 1ου θέματος

Έστω 0 yixz με Ryx , , τότε 4

11Re

z 04 22 yxx (1)

α. Αν 1)Im( z 1y και 0142 xx 32x 32)Re( z

β. 04 22 yxx 444 22 yxx 222 2)2( yx . Επομένως ο γεωμετρικός τόπος

των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος κέντρου Κ(2,0) και ακτίνας ρ=2 εκτός

του σημείου Ο(0,0).

γ. Αν )(zM η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο και Α(4,0) το αντιδιαμετρικό του Ο(0,0),

τότε (ΟΜ)≤(ΟΑ)=2ρ z ≤4. Άρα η μεγίστη τιμή του z είναι: max z =4.

δ. Επειδή 4

11Re

1Re

21

zz οι εικόνες Μ( 1z ) και Ν( 2z ) ανήκουν στον γεωμ. τόπο, τότε

max 21 zz = max(ΜΝ)=2ρ=4.

Θέμα 2

Έστω ο μιγαδικός z και η συνάρτηση iziz

zzf

,

13

.

α. Να δείξετε ότι 12 izzzf .

β. Αν η εξίσωση ziazf )( με Ra , έχει ρίζα τον 2-3i, να βρείτε τα α και β.

γ. Αν 1z να δείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού zf στο μιγαδικό επίπεδο δεν είναι

εξωτερικό σημείο του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα ρ=3 .



izzf

,

3

.

© Lntzs 4

α. Είναι .1)())(( 222

2233

ziziziz

iz

iziziz

iz

izzf

β. ziazf )( ziaizz )(12 012 azz .

Επειδή η μια ρίζα της εξίσωσης είναι ο 1z = 2-3i, τότε η άλλη είναι ο 2z = 2+3i,

οπότε 1z + 2z =-α και 1z 2z =β-1 ή τελικά α=4 και β=14.

γ. Αρκεί να δείξω ότι: αν 1z τότε 3zf .

Είναι: 311111 22 zizzizzf .

Θέμα 3

α. Να προσδιορίσετε το σύνολο C των σημείων Μ του επιπέδου που είναι εικόνες των

μιγαδικών αριθμών yixz με Ryx , και ικανοποιούν την ισότητα 0)( zzazzi

, όπου R

β. Αν

2

3,

2

1A C , να προσδιορίσετε σημείο CB , τέτοιο ώστε η μεσοκάθετος του

ΑΒ να διέρχεται από το κέντρο του κύκλου K με εξίσωση 0,31 iz . Για ποια

τιμή του β, ο κύκλος εφάπτεται του C ;


α. yixz με Ryx , και 0)( zzazzi , R ayx 22 , R

Άρα C = RaayxyxM ,22/),( .

β.

2

3,

2

1A C α=2 C = 2C = 1/),( yxyxM .

K : 0,31 iz 0,)31( iz 222 )3()1( yx κύκλος

κέντρου Κ(-1,3) και ακτίνας ρ=β.

Έστω 2, CyxB BB , τέτοιο ώστε η μεσοκάθετος του ΑΒ να διέρχεται από το κέντρο του

κύκλου K τότε: 1 BB yx και (ΚΒ)=(ΚΑ) ή 1 BB yx και 2

5)3()1( 22 BB yx

2

5Bx και

2

7By . Άρα .

2

7,

2

5

B

Για να εφάπτεται ο κύκλος της 2C πρέπει: 2,CKd 2

2

11

131

© Lntzs 5

Θέμα 4

α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο C των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που

ικανοποιούν τις σχέσεις : 1 iz και 1)Im( z .

β. Να δείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται στο σύνολο C , τότε η εικόνα του

μιγαδικού

izizw

1

2

1κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα, που βρίσκεται στον άξονα yy' .


Γ

α. 1 iz 1)1( 22 yx , κύκλος κέντρου Κ(0,1) και ακτίνας ρ=1.

1)Im( z 1y , το άνω ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία Α Κ Β

1y . Συνεπώς οι μιγαδικοί αριθμοί z που ικανοποιούν τις

σχέσεις : 1 iz και 1)Im( z είναι το άνω ημικύκλιο ΑΓΒ.

Ο

β.

izizw

1

2

1 w

izizw

1

2

1 Iw

Έστω yixz με 1)1( 22 yx και 21 y iyiz

izw )1(1

2

1

με 21 y

110 y OKw , που βρίσκεται στον άξονα yy' .

Θέμα 5

Έστω iCz και iz

izw

1.

α. Αν η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι εξωτερικό σημείο του μοναδιαίου κύκλου να

δείξετε ότι 0)Im( z .

β. Αν η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο δεν είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου με

κέντρο Ο και ακτίνα ρ=2, να βρείτε που βρίσκεται η εικόνα του w .

γ. Αν Rw , να βρείτε που βρίσκεται η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο.


Έστω iCz και iz

izw

1, τότε

α. 0)Im(0)(1112

zizzwwww .

Αν η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι εξωτερικό σημείο του μοναδιαίου κύκλου να

δείξετε ότι 0)Im( z .

© Lntzs 6

β. iz

izw

1

iw

wiz

1

9

16)

3

5(:

9

16

3

501

3

5

3

542 22

22

yxCwiwiwwiwwzz

Η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου με κέντρο

Κ(0, 5/3) και ακτίνας ρ=4/3.

γ. Rw 110)1(20)Im(22

zzizwwz .Άρα η εικόνα του z στο

μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στον μοναδιαίο κύκλο.

Θέμα 6


izzf

,

3

.

α. Να δείξετε ότι 12 izzzf .

β. Αν Rzf , τότε να δείξετε ότι Iz ή 1)Im(2 z .

γ. Να λύσετε την εξίσωση: i

zzf .

δ. Αν οι εικόνες των μιγαδικών z, βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο, να δείξετε ότι οι εικόνες

των μιγαδικών zf στο μιγαδικό επίπεδο δεν είναι εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο

Ο και ακτίνα ρ=3 .



izzf

,

3

.

α. Είναι .1)())(( 222

2233

ziziziz

iz

iziziz

iz

izzf

β. Αν Rzf , τότε 0))((0 izzzzzfzf 0 zz ή izz

Iz ή 1)Im(2 z .

γ. i

zzf izizizz 0)(012 22

δ. Αρκεί να δείξω ότι: αν 1z τότε 3zf .

Είναι: 311111 22 zizzizzf .

Θέμα 7

Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν αντίστοιχα οι σχέσεις:

© Lntzs 7

1)( zzizz και i

iw

2

21)3( 7 .

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 1C των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο.

β. Να βρείτε τη γραμμή 2C στην οποία ανήκουν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο.

γ. Αν 11)( CzM και 22)( CzN , να βρείτε την ελαχίστη και μεγίστη τιμή του μέτρο 21 zz .


α. 1)( zzizz 2)1( 22 yx :1Cz 2)1( 22 yx

β. i

iw

2

21)3( 7

i

iw

2

213

7 13

7w 13 w :2Cw 1)3( 22 yx

γ. Αν ΑΒΓΔ είναι η διακεντρική ευθεία, τότε (ΒΓ) (ΜΝ) (ΑΔ)

Αλλά (ΑΔ)= 1210 , (ΒΓ) 1210 και (ΜΝ) = 21 zz

Οπότε: 1210 21 zz 1210 .

Η ελαχίστη λοιπόν τιμή του 21 zz είναι 1210 και η μεγίστη 1210 .

Θέμα 8

α. Να λύσετε την εξίσωση: 0122 zz , 2,0 .

β. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο.

γ. Αν 1z και 2z , είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε το 2,0 ώστε το μέτρο 21 zz

να παίρνει τη μεγίστη τιμή.


α. Η εξίσωση: 0122 zz , 2,0 έχει διακρίνουσα Δ=4συν2θ-1=-4ημ2θ<0

και ρίζες 1z =συνθ+iημθ, 2z =συνθ-iημθ

β. Επειδή 11 z και 12 z συμπεραίνουμε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης βρίσκονται

στον μοναδιαίο κύκλο.

γ. Η μεγίστη τιμή του 21 zz =2 (το μήκος της διαμέτρου) )Im(2 21 zz =2 |ημθ| =1

2

ή

2

3

Θέμα 9

Έστω 0Cz και 2

12

z

zzf

.

© Lntzs 8

α. Να λύσετε την εξίσωση: 21

zf (1)

β. Να δείξετε ότι: Rzf Rz ή 2

)Re( zz .

γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο για τους

οποίους ισχύει Rzf .

δ. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης (1) δεν είναι σημεία του C .


Για 0z έχουμε,

α. 21

zf izizz 1,11)1( 21

2

β. Rzf 0))(|)(|( 2 zzzzzzfzf 0 zz ή 0)(|| 2 zzz

Rz ή 2

)Re( zz .

γ. Rzf Rz ή 2

)Re( zz

0:)( 1 yCzM ή 4

1

2

1:)( 2

2

2

yxCzM , εκτός του Ο(0,0).

δ. Οι εικόνες των ριζών iziz 1,1 21 της εξίσωσης (1) προφανώς δεν είναι σημεία του

ανωτέρω γεωμ. τόπου.

Θέμα 10

Έστω 1z και 2z οι ρίζες της εξίσωσης Razz ,092 και Rzz 21,

α. Να βρείτε τα 1z , 2z .

β. Αν 21

2

2

1 z

z

z

z , να βρείτε το α.

γ. Για α=0 να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο, για

τον οποίον ισχύει 1021 zzzz .


Razz ,092 και Rzz 21,

α. | 1z || 2z |=| 1z 2z |=|9|=9 και | 1z |=| 2z | 321 zz

β. 21

2

2

1 z

z

z

z

02

22

21

21

2

21

21

2

2

2

1

azz

zzzz

zz

zz

© Lntzs 9

γ. 1z =3i και 2z =-3i

οπότε 1021 zzzz 1033 iziz 12516

22

yx

, έλλειψη με εστίες Ε(0,3),

Ε΄(0,-3), μεγάλο ημιάξονα α=5, μικρό ημιάξονα β=4 και εστιακή απόσταση 2γ=6.

Θέμα 11

Έστω 1z και 2z οι ρίζες της εξίσωσης Rzz ,02 και Rzz 21,

α. Να δείξετε ότι α>0.

β. Αν 11 z , τότε: Να βρείτε το α.

1. Να λύσετε την εξίσωση.

2. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο, για τον

οποίον ισχύει: 0|||| 5

2

5

1 zzzz .


α. Rzz 21, Δ<0 4α>1 α>0.

β. Αν 11 z , τότε: | 1z |=| 2z |=1 και | 1z 2z |=| 1z || 2z | |α| =1 α=1

1. 012 zz2

312,1

iz

.

2. 0|||| 5

2

5

1 zzzz |||| 21 zzzz . Ο γεωμετρικός τόπος C των εικόνων του z

στο μιγαδικό επίπεδο, είναι η μεσοκάθετος των εικόνων των ριζών 21, zz δηλαδή ο

άξονας των πραγματικών χ΄χ.

Θέμα 12

Για τους μιγαδικούς z και w ισχύει: z

iw

α. Αν ισχύει ww 1 (1) να δείξετε ότι: 1 iz

β. Αν ισχύει 2 iw (2) να δείξετε ότι: 21 z .

γ. Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους 1C και 2C των εικόνων Μ των μιγαδικών z, για τους

οποίους ισχύουν οι σχέσεις (1) και (2) αντίστοιχα.

δ. Αν 11)( CzM και 22)( CzN , να βρείτε την ελαχίστη και μεγίστη τιμή του μέτρου 21 zz

.

© Lntzs 10


Για τους μιγαδικούς z και w ισχύει: z

iw

α. ww 1 11

izizz

i

z

iz

β. Αν ισχύει 2 iw

zzzziiz

zii2122 21 zzzz

212)1)(1( zzz .

γ. )(zM 1C : 1)1( 22 yx , κύκλος κέντρου Κ(0,1) και ακτίνας ρ1=1

)(zM 2C : 2)1( 22 yx , κύκλος κέντρου Λ(-1,0) και ακτίνας ρ2= 2

δ. Επειδή ρ2-ρ1 <(ΚΛ)< ρ1+ ρ2 οι δύο κύκλοι τέμνονται, κατά συνέπεια η ελαχίστη τιμή του

μέτρου 21 zz =(ΜΝ) είναι μηδέν. Εξάλλου αν ΑΚΛΒ είναι η διακεντρική ευθεία αυτών τότε

21 zz =(ΜΝ)≤(ΑΒ)= ρ1+(ΚΛ) + ρ2=1+ 2 + 2 =2 2 +1 και κατά συνέπεια η μεγίστη τιμή

του μέτρου 21 zz =(ΜΝ) είναι 2 2 +1.

Θέμα 13

Έστω ο μιγαδικός z.

α. Να δείξετε ότι: iziz 122)1( .

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z , για τον οποίον ισχύει:

iziz 32)1( (1)

γ. Να βρείτε την ελαχίστη και μεγίστη τιμή του μέτρου του z που επαληθεύει την (1).

δ. Αν οι 1z και 2z επαληθεύουν την (1) να βρείτε τη μεγίστη τιμή του μέτρου 21 zz .


α. iziz 122)1( 22

122)1( iziz

)2(2422222 ziizzzzzziizzzzz η οποία προφανώς ισχύει.

β. iziz 32)1( iziz 312 12)2()2( 22 yx κύκλος κέντρου Κ(-2,2)

και ακτίνας ρ= 32 .

γ. Αν Μ είναι η εικόνα του z που επαληθεύει την (1) και ΑΟΚΒ η διακεντρική ευθεία τότε

(ΟΑ)≤(ΟΜ)≤(ΟΒ). Αλλά (ΟΜ)= z (ΟΑ)=(ΚΑ)-(ΟΚ)= 32 - 22 και (ΟΒ)= 32 + 22 , οπότε

© Lntzs 11

32 - 22 ≤ z ≤ 32 + 22 . Η μεγίστη λοιπόν τιμή του μέτρου του z που επαληθεύει την (1)

είναι 32 + 22 και η ελαχίστη 32 - 22 .

δ. Η μεγίστη τιμή του μέτρου 21 zz =2ρ= 34 .

Θέμα 14

Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν : 12 iziz και 11

1

w

i.

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 1C των εικόνων στο μιγαδικό επίπεδο του z.

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 2C των σημείων Ν(w) .

γ. Αν τα σημεία Μ1, Μ2 είναι κοινά των 1C , 2C και εικόνες των 1z και 2z , να δείξετε ότι:

42

2

2

1 zz


Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν : 12 iziz και 11

1

w

i.

α. 12 iziz 1)1()12(4)1( 222222 yxyxyx

β. 11

1

w

i wiw )1( 01 yx .

γ. αν τα σημεία (ΟΜ1)2 + (Μ2)2 = 4ρ2 (γιατί η ευθεία 01 yx διέρχεται από το κέντρο

Κ(0,-1) του κύκλου 2C ) 414 22

2

2

1 zz

Θέμα 15

Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν: 4612 ziz (1) και 17222 iwiw (2).

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(z) .

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν(w) .

γ. Να βρείτε την ελαχίστη τιμή του μέτρου wz .


α. 4612 ziz 04134 yx , ευθεία ε.

β. 17222 iwiw 25)3( 22 yx , κύκλος κέντρου Κ(0,-3) και ακτίνας ρ=5

γ. min wz = 5510),( Kd . 1)1( 22 yx

© Lntzs 12

Θέμα 16

α. Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων την παράσταση: 162 z .

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίον

ισχύει: 16

6

4

1

4

1

2

ziziz (1)

γ. Να βρείτε τον μιγαδικό z που επαληθεύει την (1) και έχει το ελάχιστο μέτρο .

δ. Αν η εικόνα του z ανήκει στον C και για τον μιγαδικό w ισχύει 1ww να βρείτε την

ελαχίστη τιμή του μέτρου wz .


α. 162 z = )4)(4()4( 22 iziziz .

β. 16

6

4

1

4

1

2

ziziz 644 iziz 1

79

22

xy

, με 3y , υπερβολή που τέμνει

τον άξονα των φανταστικών στο Κ(0,3).

γ. Ο μιγαδικός z που επαληθεύει την (1) και έχει το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός του οποίου η

εικόνα είναι το Κ, δηλαδή z =3i.

δ. Ισχύει 1ww 1w

wz ≥| z - w |≥3-1=2

Θέμα 17

Έστω οι μιγαδικοί 1z και 2z , με 221 zz

α. Να δείξετε ότι: 1

1

2

zz .

β. Να δείξετε ότι: 22 21212121 zzzzzzzz

γ. Να δείξετε ότι: 0202 21212121 zzzzzzzz

δ. Αν 22121 zzzz να βρείτε τους 1z και 2z .


α. Να δείξετε ότι: 21 z 22

1 z 1

1

2

zz .

β. Είναι: 221 zz

Το πρώτο μέλος γράφεται:

© Lntzs 13

22 21212121 zzzzzzzz = 2422

2121 zzzz 2112

21

22

zzzzzz

2112 2 zzzz

γ. 022121 zzzz 020202 212121212121 zzzzzzzzzzzz

δ. Αν 22121 zzzz τότε και 22121 zzzz . Λύνοντας το σύστημα των δύο αυτών

εξισώσεων προκύπτει α βρείτε τους 21 iz και 22 iz ή 21 iz και 22 iz .

Θέμα 18

Έστω ο μιγαδικός z με iz 2 και η συνάρτηση iz

zzf

2

4)(

2

.

α. Να βρείτε το )1(Im if .

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z , για τον οποίον ισχύει:

Rzf )(

γ. Να δείξετε ότι: izzf 2)(

δ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z , για τον οποίον ισχύει:

10)()5( izfizf .


α. Είναι: ii

iif 222

1

4)1()1(

2

. Επομένως 2)1(Im if .

β. Rzf )( Rz 42 Rz 2 0xy 0y ή 0x , οι δύο άξονες εκτός του σημείου

(0,2)

γ. Να δείξετε ότι: iz

izizzf

2

)2)(2()(

izzf 2)( .

δ. 10)()5( izfizf 103)3 iziz 12516

22

yx

, έλλειψη με εστίες Ε΄(ο,-3),

Ε(0,3) μεγάλο ημιάξονα α=5 και μικρό β=4.

Θέμα 19

Έστω 1z και 2z οι ρίζες της εξίσωσης Razz ,,02 με i

z2

1 .

α. Να βρείτε τους α, β και 2z .

β. Να βρείτε το N ώστε izz 1621

© Lntzs 14

γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z , για τον οποίον ισχύει:

162

2

2

1 zzzz (1)

δ. Αν για τον z ισχύει η (1) να βρείτε την μεγίστη και ελαχίστη τιμή του iz 44 .


α. ii

z 22

1 iz 22

4

0

21

21

zz

aazz

β. izz 1621 316))2(2(16)2()2( iiiii n

γ. 162

2

2

1 zzzz 41622 2222 yxiziz , κύκλος κέντρου

Ο(0,0) και ακτίνας ρ=2

δ. |44| iz iz 44 iz 44 |242| iz 44 242

224 iz 44 242 . Επομένως η μεγίστη τιμή του iz 44 είναι 242

και η ελαχίστη 224 .

Θέμα 20

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 1C των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

)Im(1 ziz .

β. Δίνεται η συνάρτηση 1)Im(,12

z

iz

zzf . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 2C των

εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: 1)( zf

γ. Να βρείτε τον μιγαδικό z για τον οποίον ισχύουν: )Im(1 ziz και 11 iz .


α. )Im(1 ziz yxyyx 41)1( 2222

Ο γεωμετρικός τόπος 1C των εικόνων των μιγαδικών z είναι παραβολή με εστία Ε(0,2) και

διευθετούσα 2y .

β. 1)Im(,12

z

iz

zzf .

© Lntzs 15

1)( zf 1 iz 1)1( 22 yx , 2C :κύκλος κέντρου Κ(0,1) και ακτίνας ρ=1

γ. Ο μιγαδικός z για τον οποίον ισχύουν )Im(1 ziz και 11 iz προκύπτει από

την λύση του συστήματος yx 42 και 1)1( 22 yx που είναι 0 yx , δηλ. 0z .

Θέμα 21

Έστω 0Cz και z

izzf

.

α. Αν Rzf )( , να δείξετε ότι Iz

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 1C των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

2)()( zfzf .

γ. Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στο γεωμετρικό τόπο 1C , να βρείτε την μεγίστη τιμή

του z και την ελαχίστη τιμή του 1)( zf .


Έστω 0Cz και z

izzf

.

α. Αν Rzf )( Izzzz

iz

z

izzfzf

0)()( .

β. 2)()( zfzf 2)1(||2||2 2222

2

yxzizz

iz,

Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος 1C των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει

5)()( zfzf είναι κύκλος με κέντρο Κ(0,-1) και ακτίνα 2 .

γ. Η μεγίστη τιμή του z είναι z max= (ΟΚ)+ρ = 1+ 2 .

z

zfizfzizfzz

izzf

1111

.

Επομένως η ελαχίστη τιμή του μέτρου 1)( zf είναι 123

1

21

111

max

min

zzf .

Documents

Μιγαδικοί Λύσεις Μπάρλα - α