机械基础机械基础

项目四零件基本变形和强度分析

1. 足够的强度

　所谓强度是指零件抵抗破坏的能力。零件能够承受载荷而不破坏，就认为其满足了强度要求。

为了保证机器在载荷作用下正常工作，要求每个零件均有足够的承受载荷的能力，简称为承载能力。 3 个基本要求。

断裂

2. 足够的刚度

在某些情况下，零件受到载荷后虽不会断裂，但如果变形超过一定限度，也会影响零件的正常工作。所谓刚度就是指零件抵抗变形的能力。如果零件的变形被限制在允许的范围之内，就认为其满足刚度要求。

2. 足够的稳定性

所谓稳定性是指零件保持其原有平衡形式（状态）的能力。足够的稳定性可以保证在规定的使用条件下不致失稳而被破坏。

表 4-1 　主要变形形式

4.1.1 　拉伸与压缩的概念

图　 4-1 吊车

图　 4-2 螺栓连接

等截面直杆—统称为杆件

工件 1

工件 2

螺杆（杆件）

垫圈

螺母

图　 4-3 杆件受拉或受压

1) 截开

沿欲求内力的截面，假想地把杆件分成两部分。

4.1.2 　截面法

杆件内部由于外力作用而产生的相互作用力称为内力。

2) 代替

取其中一部分为研究对象，弃去另一部分，将弃去部分对研究对象的作用以截面上的内力 ( 力或力偶 ) 来代替，画出其受力图。

3) 平衡

列出研究对象的平衡方程，确定未知内力的大小和方向。轴向力的方向杆受拉，规定轴力为正；杆受压，轴力为负。

0F ix

如图所示（液压缸的）活塞杆， 已知外力： F1 =9.2kN ， F2 =3.8kN ， F3 =5.4kN 。

试求活塞杆横截面 1-1 和 2-2 上的轴力。

解：计算截面 1-1 的轴力。沿截面 1-1 假想地将杆分成两段，取左段作为研究对象，画出受力图 ( 图 4-4b) 。 用 FN1 表示右段对左段的作用， FN1 与 F1 必等值、反向、共线。 取向右为 x轴的正方向，列出 1-1 面左段的力平衡方程。 　 FN1=F1=9.2kN ( 指向朝向截面，故为压力 )

同理　 FN2=F3=3.8-9.2kN=-5.4kN

图　 4-4

0F ix

0F ix

4.1.3 　横截面上的正应力

图　 4-5

横截面上正应力 σ 的计算公式： σ=FN/A

横截面面积为 A ，轴力为 FN 。

横截面面积一定时，外力越大，横截面上的正应力就越大。

外力一定时，横截面面积越小，正应力就越大。外力相同时，有粗、细杆

受力，细杆易断裂。

4.1.4 　拉压变形和虎克定律

如伸长曲线图 O-A 段所示，杆的变形 ( 取正值 )ΔL 与轴力 FN 及杆长 L 成正比，与杆的横截面积 A 成反比。比例系数： E- 弹性模量

ΔL= FN· L/EA

胡克定律

图　 4-6

如图所示， AB 段和 BC 段的截面面积 AAB=ABC=500mm2 ， C

D 段的截面面积 ACD=200mm. 已知 E=200GPa 。

试求： 1. 各段截面上的内力和正应力。 2. 杆的总变形。

解： 1. 求 A 端支座反力，如图 b 。 － FA+F1-F2 = 0 得 FA= 20kN

2. 用截面法求各段杆截面的内力。 AB 段： FN1= FA= 20kN ( 拉力 )

BC 段与 CD 段： FN2=FA － F1 = － 10kN

3. 计算各段正应力。 AB 段： σAB=FN1/AAB=20×103/500 = 40MP

BC 段： σBC=FN2/ABC= － 10×103/500 = － 20MP

CD 段： σCD=FN2/ACD= － 10×103/200 = － 50MP

4. 计算杆的总变形。 ΔLAD= ΔLBC+ ΔLCD+ ΔLAB

= FN1LAB/EAAB+FN2LBC/EABC+FN3LCD/EACD

=-0.015mm （负值杆件缩短的）

4.1.5 　强度校核

为了保证拉（压）杆不致因强度不够而失去正常工作的能力，必须使其最大正应力（工作应力）不超过材料在拉伸（压缩）时的许用应力。 强度条件： σ=FN/A≤ ［ σ ］

利用强度条件可以解决工程中 3 类强度问题。

1. 强度校核

强度校核就是验算杆件的强度是否足够。当已知杆件的截面面积 A 、材料的许用应力及所受的载荷，即可用强度条件判可用强度条件判断杆件能否安全工作断杆件能否安全工作。

σ=FN/A≤ ［ σ ］

可在金属材料手册中查到 材料的许用应力

2. 选择截面尺寸

图　 4-7

已知： 1. 杆件所受载荷 FN

2. 所用材料

求：所需横截面积？

解：由 得 A ≥ FN / ［ σ ］

σ=FN/A≤ ［ σ ］

确定所需横截面积？

［ σ ］

A

3. 确定许可载荷

图　 4-7

已知： 1. 横截面积

2. 所用材料

求：杆件所受载荷？ FN

解：由 得 FN ≤ ［ σ ］ A

σ=FN/A≤ ［ σ ］

［ σ ］

A 确定杆件所受载荷 ？

已知： b=25mm ， h=50mm, ［ σ ］ =50MPa铁水包 8kN ，铁水 30kN 。

试校核该吊杆的强度。

解： 1. 因为总载荷由两根吊杆来承担，故每根吊杆的轴力 FN=G/2=(30+8)/2kN=19kN

2.吊杆横截面上的正应力 σ=FN/A=19×103/(25×25)MPa=15.2MPa

由于 σ＜［ σ ］，故吊杆的强度足够。

15.2MP 50MP

4.2.1 　剪切的受力特点和变形特点

4.24.2 　剪切　剪切

图　 4-8

作用在零件两侧面上的外力的合力大小相等、方向相反，作用线平行且相距很近；

变性特点：介于两作用力之间的各截面，有沿作用力方向发生相对错动的趋势。

剪切面

外力的合力外力的合力

图　 4-9

图　 4-10

图　 4-11

4.2.2 　剪力和切应力

图　 4-12

铆钉受剪切作用，由于外力 F垂直于铆钉轴线，在剪切面 m-n

上必存在大小等于 F ，而方向与其相反的内力 FQ ，称剪力。

剪切应力 τ=FQ/A 。

4.2.3 　剪切强度计算

为了保证受剪切作用的连接件不被剪断，应使受剪面上的切应力不超过连接件材料的许用应力 ,由此得剪切强度条件

τ= FQ/A ≤ ［ τ ］

可以解决三类强度问题

已知：螺栓杆直径 d=16mm ，许用切应力［ τ ］ =600MP 。 求：螺栓所能承受的许可载荷 F 。

图　 4-10

解：由 τ= FQ/A ≤ ［ τ ］ 得 FQ ≤ ［ τ ］ ×A （其中面积 A=πd2 /4=200mm2 ） F= FQ ≤ ［ τ ］ ×A = 60 ×200 = 12 kN

4.3.1 　扭转的概念和外力偶矩的计算

图　 4-13

如图所示，机械中轴承受扭转作用。受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、 方向相反的力偶。变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。外力偶距： M = 9550P/n(kN)

图　 4-14

外力功率

轴转速

1. 扭矩圆周内部由于外力偶作用而产生的内力称为扭矩。1) 截开。用截面把圆轴分成两部分。2) 代替。取其中一部分为研究对象，弃去部分对研究对象的作用以截面上的扭矩代替。3) 平衡。列出平衡方程式，求内力扭矩的大小和方向。

4.3.1 　扭转和扭转图

图　 4-15

已知：轴的转速 n=300r/min ，输入功率 PA=50kW ， 输出功率 PB=30kW, PC=20kW

求：轴截面 1-1 和 2-2 处的内力

图　 4-15

解： 1. 计算外力偶矩 MA=1592N·m, MB=995N·m, MC=637N·

m 。 2. 计算各段轴的扭矩 1-1 由 T1-MA=0 得 T1=MA=1592N·m

2-2 由 T2+MB-MA=0 得 T2=MA-MB=637N·m

2.扭矩图

图　 4-16

从截面方向向里看，逆时针为正，顺时针为负。

图　 4-15

扭矩为正在上方，为负在下方。

4.3.3 　圆轴扭转时横截面上的应力及分布规律

图　 4-17

边缘处剪应力最大。 τmax = T/ Wn

抗扭截面系数在手册上查

扭矩剪应力

圆形轴 Wn=02D3

4.3.4 　圆轴扭转的强度计算

为保证圆轴正常工作，应使危险截面上最大工作 τmax 切应力

不超过材料的许用切应力［ τ］。

τmax=Tmax/ Wn≤ ［ τ ］

已知：电机拖动功率 P = 6kW ，电机转速 n = 955 r/min ，轴直径 d = 30 mm ，材料的许用切应力［ τ ］ = 40 MPa 。 试校核轴的强度。

图　 4-18

解：取轴 1 为研究对象， T=M=9550×P/n=9550×6/955=60N·m

由 τmax=Tmax/ Wn≤ ［ τ ］ 得 τmax= Tmax/ Wn=60/ （ 0.1×0.33 ） =22.2 MPa

22.2 MPa＜ 40 MPa= ［ τ ］ 所以 1 轴安全。

4.4.1 　弯曲的概念

图　 4-19

4.44.4 　直梁的弯曲　直梁的弯曲

凡是以弯曲变形为主的杆件统称为梁。梁是机器设备和结构中最常见的零件。如图所示。

桥式起重机横梁在载荷和自重的作用下将会弯曲。

车刀在切屑力 FC 作用下会弯曲。

图　 4-20

4.4.2 　剪力和弯矩

计算方法：1) 将梁作为隔离体从约束中分离出来，画出其受力图，求出约 束反力。2) 求出各力对控制点的力矩之和，即为该点的弯矩。

梁弯曲时受剪力 FQ 和弯矩 MW 两个分量，当梁的长度相对于

横截面尺寸较大时，剪力可略去。

( 省略计算固定点的约束力 )

已知：长度 L ，自由端受力 F 。求：点 D 的弯矩及最大弯矩。 解： 1) 画手柄 AB 的计算简图 , 手柄的 B 端简化为固定端。固定端有约束反力，根据静力学平衡方程算出。 ΣMC(Fi)=0 2) 计算截面 1-1( 距 A 端为 x 处 ) 的弯矩。 MW=-FX3) 计算手柄中点 D( 即 x=L/2) 处的弯矩。4) 当 x=L ，固定端 B 处，弯矩达到最大值， MWmax=FL

图　 4-21

ΣMC(Fi)=0

MW+Fx=0 MW=-FX

X=L/2 MW=-FL/2

X=L MW=-FL

取截面形心 C 为矩心

4.4.5 　梁的弯曲强度计算

已知：齿轮 C 的径向力 F1=3kN ，齿轮 D 的径向力 F2=6kN ，跨度 L=450mm, 材料的许用应力［ σ ］ =100MPa 。试确定轴的直径。

图　 4-23

解：1) 绘制轴的简图（将齿轮轴简化成受二集中力作用的简支梁 AB）。2) 计算梁的支座反力。3) 绘弯矩图（设 A 点为坐标原点）。4) 根据强度条件确定轴的直径。

ΣFiy=0

FA+FB-F1-F2=0

ΣMA(Fi)=0

FBL-F2×2L/3-F1×L/3 =0

得： FB=5kN

FA=4kN

图　 4-23

A 截面： X=0 ， MA=0

C 截面： X=L/3 ， MC=6×105 N·mm

D 截面： X=2L/3 ， MD=7.5×105 N·mm

B 截面： X=L ， MB=0

4) 根据强度条件确定轴的直径。 （设轴的直径为 d ，抗弯截面系数 WZ≈0.1d3 ）

图　 4-23

1. 弯曲正应力计算公式： σmax=MW/WZ

MW — 截面上的弯矩

WZ — 梁的抗弯截面系数

2. 圆形梁 WZ =0.1D3

3. 强度计算 σmax=MW/WZ≤ ［ σ ］

由 σmax=MW/WZ≤ ［ σ ］

得 0.1d3≥ MWmax / ［ σ ］

d ≥42mm