2010 届高考数学复习强化双基系列课件

26 《平面向量的坐标表示与运算》

要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析

平面向量的坐标表示

要点要点 ·· 疑点疑点 ·· 考点考点

1. 平面向量的坐标表示 (1)a ＝ (x ， y) 叫向量的坐标表示，其中 x 叫 a 在 x 轴上的坐标， y叫 a在 y轴上的坐标 . (2) 设 a＝ (x1 ， y1) ， b＝ (x2 ， y2) ， λ R. ∈则 a+b＝ (x1+x2 ， y1+y2) ，a-b＝ (x1-x2 ， y1-y2) ，λa＝ (λx1 ， λy1) (3)a∥b(b≠0) 的充要条件是 x1y2-x2y1 ＝ 0

2. 线段的定比分点 (1) 定义：设 P1 、 P2 是直线 l 上的两点，点 P 是 l 上不同于 P1 、 P2 的任一点，则存在一个实数 λ ，使 P1P ＝ λPP2 ，λ 叫点 P 分有向线段 P1P2 所成的比，点 P 叫定比分点 . (2) 公式：设 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) ， P1P ＝ λPP2 ，则

λ1

λyyy

λ1

λxxx 2121

，

当 λ ＝ 1 时， 为中点坐标公式 . 2

yyy

2

xxx 2121

，

返回

3. 平移 设原坐标 P(x， y)按向量 a(h， k)平移后得到新坐标

则

y，xP

kyy

hxx

1. 设 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) 是不同的两点，点 P(x ， y)的坐

标由公式 确定 . 当 λ R∈ 且 λ≠-1

时有 ( ) (A)P 表示直线 AB 上的所有点 (B)P 表示直线 AB 上除去 A 的所有点 (C)P 表示直线 AB 上除去 B 的所有点 (D)P 表示直线 AB 上除去 A 、 B 的所有点

λ1

λyyy

λ1

λxxx 2121

，

课 前 热 身

C

2.若对 n个向量 a1、 a2 …、 、 an，存在 n个不全为零的实数 k1、 k2 …、 、 kn，使得 k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量 a1、 a2 …、 、 an “ ”为 线性相关 ，依此规定，能使 a1=

(1,0)， a2=(1,-1)， a3=(2,2)“ ”线性相关 的实数 k1、 k2、 k3 依次可取的值是 ___________(写出一组数值即可，不必

考虑所有情况 )

-4 ， 2 ，1

3. 三点 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) 、 C(x3 ， y3) 共线的充要条件是 ( )(A)x1y2-x2y1 ＝ 0

(B)(x2-x1)(x3-x1) ＝ (y2-y1)(y3-y1)

(C)(x2-x1)(y3-y1) ＝ (x3-x1)(y2-y1)

(D)x1y3-x3y1＝ 0

C

返回

B4. 若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则 c 等于 ( )

baA2

3

2

1. baB

2

3

2

1. baC

2

1

2

3. baD

2

1

2

3.

5. 函数 y=x2 的图象按向量 a=(2,1) 平移后得到的图象的函数表达式为 ( ) (A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1

C

能力能力 ·· 思维思维 ·· 方法方法

【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底， i ＝(1 ， 0) ， j ＝ (0 ， 1) 分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用 i 、 j 表示向量时， xi+yj 中的 x 、 y是惟一的，即为向量的 ( 直角 ) 坐标 . 两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等 .

1. 设 x 、 y 为实数，分别按下列条件，用 xa+yb 的形式表示 c. (1) 若给定 a ＝ (1 ， 0) ， b ＝ (0 ， 1) ， c ＝ (-3 ， -5) ； (2) 若给定 a ＝ (5 ， 2) ， b ＝ (-4 ， 3) ， c ＝ (-3 ， -5).

【解题回顾】设 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ，若 b≠0 ，则 a b∥ 的充要条件是存在实数 λ ，使得 a ＝ λb. 用坐标形式来表示就是 a b∥ <=>x1y2-x2y1 ＝ 0. 而 x1/x2 ＝ y1/y2 是a b∥ 的充分不必要条件 .

2. 已 知 在 梯 形 ABCD 中 ， AB CD∥ ， A(1 ， 1) ， B(3 ， -2) ， C(-3 ， -7) ，若 AD (BC-2AB)∥ ，求 D 点坐标 .

3. 已知三点 A(1 ， 2) 、 B(4 ， 1) 、 C(3 ， 4) ，在线段AB 上取一点 P ，过 P 作直线与 BC 平行交 AC 于 Q ，△APQ 与梯形 PQCB 的面积之比是 4 5∶ ，求点 P 的坐标 .

【解题回顾】一般地，函数 y ＝ f(ωx) 的图象按 a ＝ (h ，k) 平移后所得图象的解析式为 y-k ＝ f[ω(x-h)] ，即 y ＝ f[ω(x-h)]+k.

返回

4.若函数 y＝ log2(2x-4)+1的图象按 a平移后图象的解析式为 y＝ log22x，求 a.

延伸延伸 ·· 拓展拓展

返回

【解题回顾】本题 (2) 是一道开放题，求解开放题的一般途径是假定命题成立 . 解出存在的值 ( 如无解，则不存在 ) ，再验证求出的解，如不矛盾，则存在 .

5. 已知点 O(0 ， 0) ， A(1 ， 2) ， B(4 ， 5) 及 OP ＝ OA+tAB ，试问： (1)t 为何值时， P 在 x 轴上 ? 在 y 轴上 ?P 在第二象限 ? (2) 四边形 OABP 能否成为平行四边形 ? 若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由 .

1. 利用定比分点解题时，一定要先把定比 λ 先明确， λ 的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错 .

误解分析误解分析

2. 利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之间关系 .

返回

1. 平面向量的坐标表示

注： (1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

2. 平面向量的坐标运算

（ 1 ）若 ，则 2211 ,,, yxbyxa 2121 , yyxxba

(2)    若 ，则 2211 ,,, yxByxA 1212 , yyxxAB

（ 4 ）若 ， 则

0,,,, 2211 byxbyxa

0// 1221 yxyxba

(5)  若 ，则 若 ，则

2211 ,,, yxbyxa ba

2121 yyxxba 02121 yyxx

（ 3 ） 若 =(x,y) ，则 =( x, y) a a

例 1 、平面内给定三个向量

（ 1 ）求满足 的实数 m,n ；

（ 2 ）若 ，求实数 k

1,4,2,1,2,3 cba

cnbma abcka 2//

bacd // 5 cd

d

（ 3 ）若满足 ，且

求

,1,,2,1 xba ba 2

ba 2练习：已知 且 与 平行 ，求 x

例 2 ：已知向量 满足 ，则 （　　　　）

A ． 1 　　 B 。　　 C 。　　　 D 。

ba, 2,2,1 baba

2 5 6

ba

OBOAOC R ,

例 3 、平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) ， B(-1,3) ，若点 C 满足 ， 其中

且 ，则点 C 的轨迹方程为（）1

511. 22 yxA

01123. yxB

0 2. y x C0 5 2 . y x D

ABC例 4 、已知 中， A(2,-1) ， B(3,2) ， C(-3,1),BC 边上的高为 AD ，求 。 AD

练习：已知 A(4,0) ， B(4,4) ， C(2,6) ，求 AC 和 OB 的交点 P 的坐标

),( yxu )2,( xyyv )(ufv

例 5 ：已知向量 与 的对应关系用 表示

1. 证明：对于任意向量 及常数 m ， n 恒有 ba,

)()()( bnfamfbnamf 成立

)0,1(),1,1( ba )(af )(bf

),()( qpcf c

2.  设 ，求向量 及 的坐标； 3. 并求使 （ p ， q 为常数）的向量 的坐标。

小结1 、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的 积的坐标运算法则进行运算。2 、两个向量平行的坐标表示。3 、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。