Булова и прекидачка алгебра

Булова и прекидачка Булова и прекидачка алгебраалгебра

Основни постулати и теоремеОсновни постулати и теоремеПрекидачка алгебраПрекидачка алгебраПрекидачке функције и изразиПрекидачке функције и изразиЕлементарна логичка колаЕлементарна логичка колаИзведена колаИзведена кола

Основни постулати и теоремеОсновни постулати и теореме Структура Структура ((BB, +, , +, , , ˉ)ˉ), где је, где је

– BB скуп елемената или константи алгебре, скуп елемената или константи алгебре,

– симболи симболи ++ ии бинарни оператори,бинарни оператори,

– а симбол а симбол ˉ̄ унарни оператор унарни оператор,,

назива се назива се Буловом алгебромБуловом алгебром ако су испуњени следећи ако су испуњени следећи постулати:постулати:

Основни постулати и теоремеОсновни постулати и теореме

.,, BbaBbaBba

1. Затвореност операција + и · на скупу B


.1100,1,0 aaaaaaBaB

2. Постојање неутралних елемената за операције + и ·


.,, abbaabbaBba

3. Комутативност операција + и ·


).)(()(

)(

,,,

cabacba

cabacba

Bcba

4. Дистрибутивност операције + у односу на · и обрнуто


.01, aaaaBaBa

5. Постојање инверзног елемента за операције + и ·


6. У скупу У скупу BB постоје најмање два постоје најмање два различита елемента.различита елемента.

Основни постулати и теоремеОсновни постулати и теореме Овај скуп постулата назива се Овај скуп постулата назива се

ХантингтоновимХантингтоновим..


T.1.T.1. Закон идемпотенције (неважења степеновања).Закон идемпотенције (неважења степеновања).aa,,bbBB, , a+a = a a+a = a aa aa = = aa..

ДоказДоказ.. Према аксиому 2

1)( aaaa)()( aaaa

aaa 0a

a

Према аксиому 5




0 aaaaaaaa )( aaa

1aa

Према аксиому 2Према аксиому 5




Основни постулати и теоремеОсновни постулати и теоремеT.2. T.2. У Буловој алгебри комплемент елемента У Буловој алгебри комплемент елемента а а је је

јединствен.јединствен.aa

Доказ. Доказ. Reductio ad absurdumReductio ad absurdum::

01, babaabBbПретпоставимоПретпоставимо

1bbbaab )( baabb

bab 0baaab )( baab

1abab

Како је ово супротно претпоставци, закључак је да претппоставка не може бити тачна!

Основни постулати и теоремеОсновни постулати и теоремеT.T.33.. Закон инволуције операције негације (закон Закон инволуције операције негације (закон

двојне негације)двојне негације)

0

1

aaaa

aaaa

., aaBa

Доказ. Доказ. Аксиом о инверзном елементу кажеАксиом о инверзном елементу каже

Ако уведемо ознаку ax онда важи

0

1

xaax

xaax

па је xa , тј. .aa

Основни постулати и теоремеОсновни постулати и теоремеT.T.44.. aaBB, , a+a+11 = = 11 a a 00 = = 0 0..

Доказ.Доказ.

1)1(1 aa)()1(1 aaaa

aaa 11

11a

000 aa

aaa 1

aaaa 00

)0(0 aaa

aaa 000 a


T.T.55. . ((Деморганова теорема) Деморганова теорема)

baab

babaBba

)2

)1,

Доказ.Доказ. 1) 1) Покажимо да важиПокажимо да важи

1 baba (i)

0)( baba (ii)


))(( bbaabababa

)1)(1( ab

111


bbaabababa )(

ab 00

00

0Како важи (i) и (ii) и уз аксиом о инверзном

елементу то важи и (1).

2) Пробајте сами!

Основни постулати и теоремеОсновни постулати и теоремеT.T.66. . ((Општа Деморганова теорема)Општа Деморганова теорема)

nni xxxxxxniBx 2121)1(,,1,

nn xxxxxx 2121)2(


ДД.1. .1. Ако је Ако је QQ Булов израз који садржи Булов израз који садржи променљиве, константе и операторе променљиве, константе и операторе +, +, и и ˉ̄, тада , тада се под се под дуалнимдуалним Буловим изразом подразумева израз Буловим изразом подразумева израз QQ** који се добија када се у изразу који се добија када се у изразу QQ операција + операција + замени операцијом замени операцијом и обрнуто, константе замене и обрнуто, константе замене својим комплементима а променљиве и операције својим комплементима а променљиве и операције комплементирања не мењају.комплементирања не мењају.


T.7. T.7. ((Принцип дуалности) Ако су два Булова Принцип дуалности) Ако су два Булова израза једнака, онда су једнаки и израза једнака, онда су једнаки и њихови дуални изрази и обрнуто.њихови дуални изрази и обрнуто.

T.T.88. . ((Генералисана Деморганова теорема) У Генералисана Деморганова теорема) У Буловој алгебри важи релацијаБуловој алгебри важи релација

),,,(),,,( 21*

21 nn xxxQxxxQ ),,,(),,,( 21*

21 nn xxxQxxxQ


ТТ..99.. (Закон апсорпције)(Закон апсорпције)

aa,,bbBB, , a+ab = a a+ab = a a a ((a+ba+b) =) = aa..

Доказ.Доказ. 1)1) abaaba 1 )1( ba

1aa

22)) Према принципу дуалности.Према принципу дуалности.


T.10. T.10. ((Закон сажимања)Закон сажимања)

ababa

abaabBba

))(()2(

)1(,

Доказ.Доказ. Директна примена аксиома о Директна примена аксиома о дистрибутивности и инверзном елементу.дистрибутивности и инверзном елементу.

Прекидачка алгебраПрекидачка алгебра Ако на скупу Ако на скупу BB={0,1} ={0,1} дефинишемодефинишемо оператореоператоре +, +,

ии ˉ̄ на следећи начин:на следећи начин:

++ 00 11 00 11 ˉ̄ 00 11

00 00 11 00 00 00 11 00

11 11 11 11 00 11

коришћењем перфектне индукције се може коришћењем перфектне индукције се може показати да скуп показати да скуп BB са овим операторима са овим операторима задовољава аксиоме Булове алгебре.задовољава аксиоме Булове алгебре.

Булова алгебра на скупу од два елемента се Булова алгебра на скупу од два елемента се назива назива прекидачка алгебрапрекидачка алгебра..

Прекидачке функције и изразиПрекидачке функције и изрази

Ако на скупу Ако на скупу BB={0,1}={0,1} дефинишемо дефинишемо пресликавањепресликавање

ff : : BBnn BB

онда се функција онда се функција ff назива назива прекидачком прекидачком функцијомфункцијом..


Скуп Скуп BBnn има укупно има укупно 22nn чланова који су чланова који су уређене уређене nn-торке облика-торке облика

((xx11, , xx22, …, , …, xxnn),), xxii BB

и који се називају и који се називају векторимавекторима, , слоговимаслоговима или или тачкаматачкама..


Област дефинисаности функције Област дефинисаности функције ff поклапа се са скупомпоклапа се са скупом BB, тј. скупом , тј. скупом вредности функције.вредности функције.

Понекад функција на неком слогу може бити Понекад функција на неком слогу може бити недефинисананедефинисана (у ознаци (у ознаци x x илиили * *) што треба ) што треба тумачити да на том слогу функција може тумачити да на том слогу функција може имати било вредност 0 било вредност 1.имати било вредност 0 било вредност 1.

Прекидачке функције и изразиПрекидачке функције и изрази Задавање прекидачке функције:Задавање прекидачке функције:

– аналитички,аналитички,– помоћу помоћу истинитоснихистинитосних ((комбинационихкомбинационих)) таблица таблица. .

x1 x2 ... xn f

0 0 ... 0 f(0, 0, ... , 0)

0 0 ... 1 f(0, 0, ... , 1)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1 1 1 1 f(1, 1, ... , 1)

f(x,y,z)=xy+zn променљивих

2n различитих

слогова Вредности функције на слоговима.

Колико различитих?


Истинитосне таблице могу бити дефинисане Истинитосне таблице могу бити дефинисане и помоћу:и помоћу:Скупова децималних индекса,Скупова децималних индекса,

Вектора истинитостиВектора истинитости,, и иБројног индекса функцијеБројног индекса функције..

Децимални индекс – декадни еквивалент бинарног слога

i xkn k

k

n

2

1

Скуповима децималних индекса f (1), f (0) i f (x) у

потпуности одређујемо комбинациону таблицу.

Kf = (f(0), f(1), ... , f(2n-1))

N f ifi

i

n

( )20

2 1

Функција у овом случају мора да буде потпуно

дефинисана


Ако функција не мења вредност када нека од Ако функција не мења вредност када нека од променљивих мења своју вредност, онда је то променљивих мења своју вредност, онда је то фиктивнафиктивна променљивом функције. променљивом функције.

Број функција које стварно зависе од Број функција које стварно зависе од nn променљивих дат је рекурентном формулом:променљивих дат је рекурентном формулом:

F nn

nF n

n

nF n

nF

F

n

( ) ( ) ( ) (0)

(0)

21

12

20

2

2 F nn

nF n

n

nF n

nF

F

n

( ) ( ) ( ) (0)

(0)

21

12

20

2

2


Колико има функција које зависе од једне Колико има функција које зависе од једне променљиве?променљиве?

А од две?А од две?

xxf )(

xxf )(

Идентичка функција

NE функција - комплемент


xyyx ),(I

yxyx ),(ILI

xx yy 00 00 00

00 11 11

11 00 11

11 11 00

11

11

00

11

NINI

11

11

11

00

NILINILI

11

00

00

00

Сума по модулу два, искључиво или, логичка

неједнакост.Импликација


Функције Функције I, ILI I, ILI и и NE NE имају исте особине имају исте особине као и операције као и операције ··, + и , + и ¯̄..


yxyxyxyxf ),(

xyyx

zyxzyx )()(

xzxyzyx )(

0 xx

1 xx

xx 1

xx 0


yxyxyxf ),(

xyyx

zyxzyx )()(

1 xx

xxx

xx 0

11x

10 x

xx 1


xyyxyx ),(NI yxyxyx ),NILI(

xxx 1 xx

10 x

xx 1

xxx 0 xx

xx 0

01x


Функција Функција дд је је импликантимпликант функције функције ff ( (дд ff) ) ако на ако на свим слоговима где свим слоговима где ff има вредност има вредност 00 и и дд има има вредност вредност 00, док на слоговима где , док на слоговима где ff има вредност има вредност 11 функција функција дд има вредност има вредност 11 или или 0.0.

На слоговима где На слоговима где дд има вредност има вредност 11 кажемо да кажемо да дд покривапокрива функцију функцију ff..

Функција Функција ff се може изразити дисјункцијом својих се може изразити дисјункцијом својих импликаната који заједно покривају све њене импликаната који заједно покривају све њене јединице.јединице.


Пример:Пример:

i x1 x2 x3 f

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 0

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1

дд

00

11

00

11

00

00

00

00

дд11

00

00

00

11

00

00

00

11

дд22

00

11

00

00

00

00

00

00

дд33

00

00

00

11

00

00

00

00

дд44

00

00

00

00

00

00

00

11

f = д + д1

f = д2 + д3 + д4

Прекидачке функције и изразиПрекидачке функције и изрази Под Под елементарним производомелементарним производом (конјункцијом) (конјункцијом)

подразумева се изразподразумева се израз

где су где су ii11, ... , , ... , iikk различите вредности из скупа различите вредности из скупа {1, {1,

2, ... , 2, ... , nn}} а а . Константа 1 може се . Константа 1 може се сматрати елементарним производом.сматрати елементарним производом.

~ ~ ~x x xi i ik1 2~ ~ ~x x xi i ik1 2

~ { , }x x x~ { , }x x x

Прекидачке функције и изразиПрекидачке функције и изрази ПростПрост производпроизвод је специјални случај је специјални случај

елементарног производа код кога се све елементарног производа код кога се све променљиве јављају без комплемента.променљиве јављају без комплемента.

Потпуни производПотпуни производ или или МИНТЕРММИНТЕРМ је је елементарни производ код кога се јављају све елементарни производ код кога се јављају све променљиве.променљиве.


Свака прекидачка функција изузев константе 0 Свака прекидачка функција изузев константе 0 може се на јединствен начин изразити у облику може се на јединствен начин изразити у облику суме по модулу 2 потпуних производа који суме по модулу 2 потпуних производа који одговарају слоговима на којима функција има одговарају слоговима на којима функција има вредност 1.вредност 1.

Овај облик назива се Овај облик назива се потпуна полиномна потпуна полиномна нормална форманормална форма (ППНФ) функције. (ППНФ) функције.

f x x P P Pn i i ik( , , )1 1 2

f x x P P Pn i i ik( , , )1 1 2


ПримерПример: Наћи ППНФ функције : Наћи ППНФ функције дате комбинационом таблицом.дате комбинационом таблицом.

ii xx yy zz ff00 00 00 00 1111 00 00 11 0022 00 11 00 0033 00 11 11 0044 11 00 00 1155 11 00 11 0066 11 11 00 1177 11 11 11 00

640),,( PPPzyxf

zyxzyxzyx

Прекидачке функције и изразиПрекидачке функције и изрази Свака прекидачка функција изузев константе 0 Свака прекидачка функција изузев константе 0

може се на јединствен начин изразити у обликуможе се на јединствен начин изразити у облику

Овај облик назива се развој Рида-Милера Овај облик назива се развој Рида-Милера ((канонички полиномканонички полином).).

}1,0{,

),,(

2112211

221101

inn

nnn

cxxxcxxc

xcxcxccxxf

n


ПримерПример: Наћи канонички полином : Наћи канонички полином функције дате комбинационом таблицом.функције дате комбинационом таблицом.

ii xx yy zz ff00 00 00 00 1111 00 00 11 0022 00 11 00 0033 00 11 11 0044 11 00 00 1155 11 00 11 0066 11 11 00 1177 11 11 11 00

zyxzyxzyxzyxf ),,(

)1()1)(1()1)(1)(1( zyxzyxzyx

xyzyzxyzy 1...

Проверити код куће!


Свака прекидачка функција изузев константе 0 Свака прекидачка функција изузев константе 0 може се на јединствен начин изразити у обликуможе се на јединствен начин изразити у облику

Ова форма назива се Ова форма назива се потпуна дисјунктивна потпуна дисјунктивна нормална форманормална форма функције (ПДНФ). функције (ПДНФ).

f x x P P Pn i i ik( , , )1 1 2

f x x P P Pn i i ik( , , )1 1 2


ПримерПример: Наћи ПДНФ функције дате : Наћи ПДНФ функције дате комбинационом таблицом.комбинационом таблицом.

ii xx yy zz ff00 00 00 00 1111 00 00 11 0022 00 11 00 0033 00 11 11 0044 11 00 00 1155 11 00 11 0066 11 11 00 1177 11 11 11 00

640),,( PPPzyxf

zyxzyxzyx


Аналогно импликанту можемо дефинисати Аналогно импликанту можемо дефинисати имплицентимплицент дд функције функције ff при чему на свим при чему на свим слоговима где слоговима где ff има вредност има вредност 11 и и дд има вредност има вредност 11, док на слоговима где , док на слоговима где ff има вредност има вредност 00 функција функција дд има вредност има вредност 00 или или 1.1. На слоговима На слоговима где где дд има вредност има вредност 00 кажемо да кажемо да дд покривапокрива функцију функцију ff..

Функција Функција ff се може изразити конјункцијом својих се може изразити конјункцијом својих имплицената који заједно покривају све њене имплицената који заједно покривају све њене нуле.нуле.

Прекидачке функције и изразиПрекидачке функције и изрази Под Под елементарном сумомелементарном сумом (дисјункцијом) (дисјункцијом)

подразумева се израз обликаподразумева се израз облика

. .

Константа 0 може се сматрати елементарном Константа 0 може се сматрати елементарном сумом.сумом.

Проста сумаПроста сума садржи променљиве без садржи променљиве без комплемента док се под комплемента док се под потпуномпотпуном сумом сумом или или МАКСТЕРМОММАКСТЕРМОМ подразумева елементарна сума подразумева елементарна сума у којој се појављују све променљиве.у којој се појављују све променљиве.

kiii xxx ~~~21

kiii xxx ~~~

21


Свака прекидачка функција, изузев константе 1, Свака прекидачка функција, изузев константе 1, може се изразити на јединствен начин у облику може се изразити на јединствен начин у облику конјункције потпуних сума које одговарају оним конјункције потпуних сума које одговарају оним слоговима на којима функција има вредост 0. слоговима на којима функција има вредост 0. Овај облик назива се Овај облик назива се потпуна конјуктивна потпуна конјуктивна нормална форманормална форма функције (ПКНФ). функције (ПКНФ).


ПримерПример: Наћи ПКНФ функције дате : Наћи ПКНФ функције дате комбинационом таблицом.комбинационом таблицом.

ii xx yy zz ff00 00 00 00 1111 00 00 11 0022 00 11 00 0033 00 11 11 0044 11 00 00 1155 11 00 11 0066 11 11 00 1177 11 11 11 00 75321),,( SSSSSzyxf

))()()()(( zyxzyxzyxzyxzyx

Класе прекидачких функцијаКласе прекидачких функција Свака прекидачка функција Свака прекидачка функција можеможе да да

припада некој од припада некој од 5 5 класа прекидачких класа прекидачких функцијафункција..

0)0,,0,0( f

1. Функције које задржавају нулу (К0).1. Функције које задржавају нулу (К0).

2. Функције које задржавају јединицу (К1).2. Функције које задржавају јединицу (К1).

1)1,,1,1( f

Класе прекидачких функцијаКласе прекидачких функција

nnn xcxccxxxf 11021 ),,,(

33. Линеарне прекидачке функције (. Линеарне прекидачке функције (LL).).

44. Самодуалне прекидачке функције (. Самодуалне прекидачке функције (SS).).

),,,(),,,( 2121 nn xxxfxxxf

5. Монолошке прекидачке функције (М).5. Монолошке прекидачке функције (М).

},,,1{, nibaBA ii

)()( BfAfBA

Класе прекидачких функцијаКласе прекидачких функција Скуп прекидачких функција је Скуп прекидачких функција је потпунпотпун ако ако

садржи бар једну функцију која не припада К0, садржи бар једну функцију која не припада К0, бар једну која не припада К1, бар једну која не бар једну која не припада К1, бар једну која не припада припада LL, бар једну која не припада , бар једну која не припада S S и бар и бар једну која не припада једну која не припада M.M.

Елементарна логичка колаЕлементарна логичка кола

Логичка колаЛогичка кола ((дatesдates)) су електронска кола која су електронска кола која представљају физичке целине а реализују представљају физичке целине а реализују елементарне прекидачке функције.елементарне прекидачке функције.

ЛогичкеЛогичке или или комбинационе мрежекомбинационе мреже су су електронска кола која реализују прекидачке електронска кола која реализују прекидачке функције или скупове прекидачких функција, а функције или скупове прекидачких функција, а састоје се од логичких кола.састоје се од логичких кола.

Елементарна логичка колаЕлементарна логичка кола И (И (ANDAND))

ИЛИ (ИЛИ (OROR))

НЕ (НЕ (NOTNOT))

БаферБафер

Елементарна логичка колаЕлементарна логичка кола

НИ (НИ (NANDNAND))

НИЛИ (НИЛИ (NORNOR))

Изведена логичка колаИзведена логичка кола

EEXXOORR коло коло

x

yz

xy

z

Изведена логичка колаИзведена логичка кола

EEXNXNOORR коло коло

x

yz

x

yz

Documents

Булова и прекидачка алгебра