Компьютерные Компьютерные технологии в науке и технологии в науке и

практикепрактике

1

Кийкова Елена Валерьевна

Ст. преподаватель кафедры ИСПИВГУЭСВладивосток

Технологии применения табличного процессора для решения экономических задач с использованием аналитических,

табличных и графических моделей

Технологии решения систем нелинейных уравнений

Применение технологии исследования функций для

решения экономических задач

Численное вычисление определенных интегралов

П. Мельников 3

1.4 Технологии решения систем 1.4 Технологии решения систем нелинейных уравненийнелинейных уравнений

1.4.1 Графическое решение систем уравнений  

Системы уравнений с двумя неизвестными могут быть приближенно решены графически. Решением такой системы является точка пересечения кривых на графике. Для решения системы необходимо выполнить следующие действия:

• Представить уравнения системы в виде функций.• Табулировать полученные функции в области вероятного

существования решения • Построить график. • Найти точку пересечения, навести указатель мыши на

точку пересечения и щелкнуть левой кнопкой, после чего появится надпись с указанием искомых координат.

04/19/23

Пример: Найти графически приближенное решение системы

в диапазоне значений х [0,2; 3] с шагом 0,2.

Решение: Подведём курсор к узловой точке, расположенной ближе других к точке пересечения графиков (0,6; -0,2).

1.4.2 Уточнение решения систем нелинейных уравнений

Уточнение решения нелинейных уравнений выполняются после их приближённого решения (графическое решение). Полученные приближённые решения уточняются с использованием итерационных методов. В качестве критерия точности используется величина .

Пример: Требуется решить систему нелинейных уравнений

с точностью ||<0,001.

Решение: Графическим методом найдено решение (0,6; -0,2).

Подставим полученное решение в уравнения:

LnX-Y=Ln(0.6)+0.2=0,31 – решение не удовлетворяет заданной точности

1-2Х-Y=1-2*0.6+0.2=0 – решение удовлетворяет заданной точности

Используя технологию решения систем нелинейных уравнений найдём решение с заданной точностью.

П. Мельников 6

Технология решения систем нелинейных уравненийТехнология решения систем нелинейных уравнений

Приближенно с заданной относительной погрешностью систему нелинейных уравнений можно решить, используя инструмент Поиск решения. Для решения системы уравнений нужно выполнить операции:1. Выделить рабочие ячейки для неизвестных переменных и ввести в них какие - либо числовые значения переменных из предполагаемой области их определения.2. В рабочих ячейках записать формулы каждой из функций, составляющих систему в терминах табличного процессора.3. Включить инструмент Поиск решения. В поле Установить целевую ячейку указать адресную ссылку на ячейку, в которой записана формула одной из функций системы. Установить переключатель Значению и в соответствующем поле ввести числовое значение ноль. В поле Изменяя ячейки указать адресную ссылку на диапазон ячеек, которые определены для вычисления неизвестных переменных. На вычисляемые значения в других ячейках, содержащих формулы оставшихся функций, наложить ограничения на равенство нулю. Выполнить решение.

04/19/23

Значение (0,6; -0,2) будем использовать в качестве начальных приближений. В ячейки А5 и В5 введём формулы для вычисления функций.

Используя Поиск решения, выполним несколько последовательных циклов итерационного решения каждого из уравнений до тех пор, пока не будет обеспечена заданная точность. Точное решение х=0,6875, y=-0,3750

1) $В$5

2) $A$5

8

1.5.1 Кривые спроса и предложения, точка равновесияИзвестно, что чем ниже цена (p), тем больше спрос (D) при

постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость спроса от цены имеет вид ниспадающей линии, чаще всего приближающейся к прямой: D= -ap + c.

В свою очередь, предложение растет с увеличением цены на товар и выражается зависимостью S=bp+d. Для экономики представляет интерес условие равновесия спроса и предложения. Если зависимость спроса от цены определяется функцией D=f(p), а зависимость предложения от цены – S =Q(p), то условие равновесия определяется уравнением: f(p)= Q(p) и соответствует точке пересечения кривых D и S. Цена Р0, при которой выполняется это условие, называется равновесной.

Таким образом, задача нахождения равновесной цены сводится к решению системы двух уравнений. Решение может быть получено графически.

1.5. Применение технологии исследования функций для решения экономических задач

П. Мельников 9

Пример решения системы нелинейных уравненийПример решения системы нелинейных уравнений

Зависимость спроса Y на некоторый товар от цены Х выражается уравнением f1(x)= 2/x-y+2, а зависимость предложения от цены – уравнением f2(x)= x2-y+1. Требуется решить систему уравнений: 2/x - y +2 = 0                                                                   x2 - y + 1 = 0Найти точку равновесия в диапазоне х[0,2; 3] с точностью 0,001.Решение.1. Полагаем, что результат решения будет вычисляться в ячейках В4 и С4. Введем в эти ячейки какие-либо числовые значения из области определения, например значение 1.2. В ячейки B6 и B7 введем формулы уравнений системы.3. Включим инструмент Поиск решения и настроим параметры модели, как показано на рисунке.4. Выполним решение.

04/19/23

П. Мельников 10

Решение

04/19/23

Значение цены составляет 1,521, а спрос и предложение находятся в равновесии и выражаются величиной 3,315

П. Мельников 11

1.5.2.Вычисление производной функции одной переменной1.5.2.Вычисление производной функции одной переменной Численными приближенными методами производная функции в

заданной точке может быть вычислена с использованием формулы конечных разностей. Выражение для вычисления производной функции одного переменного, записанное в конечных разностях, имеет вид:

При достаточно малых  приращениях х, можно с приемлемой точностью получить величину производной Для вычисления производной в MS Excel будем использовать приведенную зависимость. Рассмотрим методику вычисления производной на примере.

Пример: Требуется найти производную функции Y= 2x3 + x2 в точке x= 3.

Решение:

04/19/23

П. Мельников 12

1.5.2.1 Вычисление предельных экономических показателей1.5.2.1 Вычисление предельных экономических показателей Известно, что себестоимость продукции зависит от

производимого объема C=f(Q). Предельная себестоимость характеризует

себестоимость (дельта С) прироста продукции (дельта Q): 

Пример: Зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции в денежных единицах выражается формулой C=20Q – 0,05Q3. Требуется определить предельные издержки производства при объеме выпускаемой продукции 10 ден.ед

Решение:

 

04/19/23

П. Мельников 13

1.5.3 Вычисление эластичности экономических показателей1.5.3 Вычисление эластичности экономических показателей В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности

спроса. Под эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении цены товара на один процент.

Пример: Спрос на товар определяется формулой D(P)=100-3P. Требуется определить эластичность спроса при цене на товар Р= 20 ден. ед.

Решение:

)(

)()(

1

PD

PDPDE

04/19/23

П. Мельников 14

1.6 Численное вычисление определенных интегралов1.6 Численное вычисление определенных интегралов   Для численного вычисления определенного интеграла существует несколько

методов. Наиболее простым является метод трапеций. Для вычисления определенного интеграла по методу трапеций используется формула:

Технология вычисления определенного интеграла в электронной таблице основана на построении табличных значений подинтегрального выражения для каждого шага интегрирования. Используя его можно получить лишь приближенное значение интеграла

04/19/23

П. Мельников 15

Пример:Пример: Требуется вычислить определенный интеграл Требуется вычислить определенный интеграл

Решение:Решение:

Рассмотренный метод может давать существенные погрешности вычисления, зависящие от величины шага и вида подинтегральной функции. Для более точного вычисления следует использовать технологии, позволяющие уменьшить шаг интегрирования.

04/19/23

Результат интегрирования

1.6.1 Технология приближённого вычисления

П. Мельников 16

1.6.2 Точные методы вычисления определенного интеграла1.6.2 Точные методы вычисления определенного интеграла

Можно предложить две технологии вычисления определенного интеграла с малой относительной погрешностью.Первая основана на использовании аппарата циклических ссылок и итераций табличного процессора, вторая – на основе использования созданного приложения Visual Basic For Application.

Применение этих технологий позволяет задавать достаточно малый шаг интегрирования, что увеличивает точность вычислений.

Для решения задачи с помощью циклических ссылок нужно выполнить операции:— определить, на сколько интервалов нужно разбить диапазон интегрирования, чтобы получить требуемую точность, и задать их количество в виде числа итераций. Положим, для решения нашей задачидостаточно 10 000 интервалов;— выполнить команду меню Сервис/Параметры, в закладке Вычисления в диалоговом окне Параметры и в поле Предельное число итераций ввести число 10 000. Если установлен флажок Итерации, товыключить его. Закрыть диалоговое окно Параметры;—в ячейки рабочего листа ввести исходные данные и формулыдля вычислений.

04/19/23

П. Мельников 17

После ввода исходных данных и формул вновь выполним команду Сервис/Параметры, откроем закладку Вычисления и установим флажок Итерации. Щелкнем на кнопке ОК. После завершения вычислений вновь откроем диалоговое окно Параметры и выключим флажок Предельное число итераций.

04/19/23

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ