العشوائية المتغيراتاالحتمالية التوزيعات و

المعاينة توزيعات و

الرابع الفصل

سارة. أالسديري

متتالية مرات ثالث النقود قطعة رمي عند

هو : التجربة هذه في العينة فضاءS = { HHH , HHT , HTH , THH , TTT , THT , TTH , HTT }

هو : التجربة هذه في العينة فضاء

كان نقطة Hظهور = Xاذا كل فيهو : التجربة هذه في العينة فضاء

S = { HHH , HHT , HTH , THH , TTT , THT , TTH , HTT }

22 23 0 111

X{ الحقيقية األعداد مجموعة و العينة فضاء عناصر بين {0,1,2.3يربطX عشوائي متفير بـــ تسمى حقيقية دالة

العينة = فضاء عناصر 8 =2³عدد

العشوائية 4-1 Random Variableالمتغيرات •: العشوائي المتغير تعريف

العشوائي العينة ) ( Xالمتغير فضاء على يعرف حقيقية دالة حقيقي اقتران أن, Sهو أي. الحقيقية األعداد من جزئية مجموعة مداه و العينة فضاء تعريفه اقتران هو العشوائي المتغير

العينة • فضاء عناصر من عنصر لكل وحيدة حقيقية قيمة يعطي العشوائي Sالمتغيرالعشوائي • العينة Xالمتغير فضاء مجالة طبيق االعداد Sهو مجموعة المقابل ومجاله

R . R X: Sالحقيقية

هما نوعين منها نذكر العشوائية للمتغيرات أنواع عدة :هناكمتقطعة • أو منفصلة عشوائية Discrete Random متغيرات

Variables مستمرة • أو متصلة عشوائية Continuous Randomمتغيرات

Variables 4-2 المنفصلة االحتمالية التوزيعاتالمنفصل :• العشوائي المتغير تعريف

العشوائي المتغير له Xيكون الممكنة القيم مجموعة كانت إذا متقطع متغيرعشوائي) المدى)

X(S) . ,) ومنتهية ) للعد قابلة متقطعة مجموعة هيأوالد أربع من المكونة األسرة في الذكور األوالد Xعدد ، X:{x=0,1,2,3,4

المنفصل ) ( :• االحتمالي االقتران االحتمالي التوزيع تعريفمع عشوائي متغير يأخذها أن يمكن التي القيم جميع تعطي معادلة أو جدول كل هو

منها قيمة كل احتمالاالحتمالي ) ( :• االقتران التوزيع شروط

االحتماالت =• 1مجموع• P(x) >= 0

( :1مثال )متزنة نقود قطعة رميت العشوائي , 3اذا المتغير عرف الظهور = Xو Hعدد

للمتغير , الممكنة القيم أوجد العينة فضاء ارتبطت , Xأوجد التي الفضاء نقاط جميع احتمال اوجدالمتغير قيم من قيمة Xبكل

العينة( 1 فضاء نوجدS= {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}

للمتغير( 2 الممكنة القيم XنوجدX={0,1,2,3}

من( 3 قيمة بكل ارتبطت التي الفضاء نقاط جميع احتمال نوجدالمتغير Xقيم

P(X=0 )= 1/8P(X=1)= 3/8P(x=2)= 3/8P(x=3)= 1/8P(HHH)=1/8P(X<1)=1/8

القيمة 1 3P(Y=y) 6/8=3/

42/8=1/

4

العينة( 1 فضاء نوجدS= {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}

للمتغير( 2 الممكنة القيم YنوجدY={1,3}

الجدول : باستخدام

المعادلة( : 1مثال ) باستخدامP(x)= P(X=x)= 3 1

X 2( ( ( (3

مثال : متزنة نقود قطعة لرمي العينة فضاء أوجد , 3من للفرق= Yمرات المطلقة القيمة

عدد عدد Hبين Tو

التكراري المدرج باستخدام

P(X)

3/8

2/8

1/8

0 1 2 3

مثال نعرف , متتاليتين مرتين النرد حجر رمي على Xعند

الظاهرين الرقمين مجموع أنههو : التجربة هذه في العينة العينة =فضاء فضاء عناصر 36=6²عدد

6 5 4 3 2 1

(6,1) (5,1) (4,1) (3,1) (2,1) (1,1)

1

(6,2) (5,2) (4,2) (3,2) (2,2) (1,2)

2

(6,3) (5,3) (4,3) (3,3) (2,3) (1,3)

3

(6,4) (5,4) (4,4) (3,4) (2,4) (1,4)

4

(6,5) (5,5) (4,5) (3,5) (2,5) (1,5)

5

(6,6) (5,6) (4,6) (3,6) (2,6) (1,6)

6

X معرفعلى عشوائي {11,12,……….,2,3,4مداه , }Sمتغير

احتمال العددين X=4 ماهو مجموع يكون ان احتمال أي ؟4بالنقطة = X= 4 ({ النقاط ({1,3(, )2,2(, )3,1عند

P(X=4) = 3/36 =0.0833

( : 3مثال)االقتران P(x)= X/10 ; X= 1,2,3,4هل

ذلك ؟ , P(X)=0غير Y احتماليا Y توزيعا يمثل

p(X)= 1∑: 1الشرط ∑p(X)= ∑x/10=1/10+2/10+3/10+4/10 = 1

P(X)>=0 : 2الشرط القيم لهذه أنه القيم , x=1,2,3,4الواضح هذه p(x)=0لغير

الشرط يحقق إذن

الرياضي 4-3 Mathematical Expectationالتوقع الرياضي :• التوقع تعريف

كان االحتمالي Xاذا توزيعه كان و Y منفصًال عشوائيا توقعه P(X)متغيرا فإنيكون ) ) : وسطه الرياضي

أوالنسبي * التكرار الممكنة النتيجة =E(X)عدد

مثال : نقود قطع ثًالثة لرمي الرياضي مرات 10التوقع

النسبي التكرار بداللةالنسبيه 2/10,3/10,3/10,2/10التكرارات

الممكنه ) (0,1,2,3النتائج(0*2 + 1*3 + 2*3 + 3*2/ )10 = 1.5

: 133صفحة( 4مثال )

مثال كان اذا الحاسوب لجهاز االسبوع في االعطال عدد معدل أوجد

الجدول في كما االسبوعية لالعطال االحتمالي االقتران

P(X) X

0.60 0

0.20 1

0.10 2

0.07 3

0.03 4

المجموع

X P(X)

0.00

0.20

0.20

0.21

0.12

Xp(x)= 0.73∑

منفصل • عشوائي متغير القتران الرياضي التوقع :H(X)تعريف

E( H(X) )= ∑H(x) p(x)توزيع X االحتمالي حيث P(X) هو

X العشوائي للمتغير األصل نقطة H(X)= X k فيسمىE( H(X) ) =E(Xᵏ) العزم , K حول اذا و كان

مثال اصالح تكلفة كانت اذا السابق المثال جدول اعطال Xمن من

بالمعادلة تعطى توقع , Y=H(X)= X²+7Xالحاسوب هو ؟Yفما

P(X) X

0.60 00.20 10.10 20.07 30.03 4

المجموع

H(X)=X²+7X

08

183044

H(X) P(X)

0.001.601.802.101.32

(x)) (= p x6.82∑

الرياضي • التوقع خواص• E(a) =a•E(X±b) = E(X) ±b• E(aX) =a E(X)• E(aX±b) = aE(X) ±b

التوقعين = • مجموع عشوائي لمتغير اقترانين لمجموع الرياضي التوقع : أي لًالقتران الرياضين

E( f(X) +g(X) ) = E(f(X) ) + E (g(X) )

•A=0E(aX±b) = E(b) =b

•B=0E(aX±b )= a E(x)

التباين • :Varianceتعريف

العشوائي المتغير معدلة Xتباين :µالذي هو

توزيع P(X)حيث منفصل , Xهو التوزيع أن بفرض و االحتماليالمعياري االنحراف يعرف و

أن : أي للتباين الموجب التربيعي بالجذر

=)∑X-µ )p)X) 2

التباين • خواص•Var(a) =0• Var (X±b) = Var (X)

( 6مثال)تباين لجهاز Xأوجد االسبوع في االعطال المعياري االنحراف و

كما االسبوعية لالعطال االحتمالي االقتران كان اذا الحاسوبالجدول في

P(X) X

0.60 00.20 10.10 20.07 30.03 4

P(X) X

0.60 0

0.20 1

0.10 2

0.07 3

0.03 4

المجموع

X P(X)

0.00

0.20

0.20

0.21

0.12

X-µ

-0.073

0.27

1.27

2.27

3.27

X-µ²

0.5329

0.0729

1.6129

5.1529

0.1210.6929

( X-µ²)P)x)

0.31974

0.01458

0.16129

0.36070

0.32079

1.177

1.177))∑==X-µ)² )P)X)

=√ 1.177 = 1.08=√

التباين

االنحراف المعياري

نظرية •عشوائي متغير كان Xلكل وضعنا b,aاذا و ثابتين

Y= aX+b فإنتباين xحيثYتباين

=a 2

: 137صفحة( 7مثال )

: 138صفحة( 9مثال )

نظرية :•كان معدله Xإذا عشوائيا فإن µمتغيرا تباينه و

=E)x ) - µ 22

: 138صفحة( 8مثال )

جواب احتمالالطالبعلى

من اختياري سؤالخيارت ¼ اربع

طرح فقرات 7عند

صح

خطا

احتمال كان اذاطالبة حضور

و , ¼ للمحاضرةتابعتحضورها

محاضارات 5في

حاضرة

غائبة

احتمال كان اذارقم ظهور حضور

النرد 6 و, 1/6فيالنرد 5رميتمرات

يظهر

يظهر ال

جميع هذه

التجارب تحقق

لي الشروط

التالية

احد 1. هي محاولة كل نتيجةفشل أو نجاح إما ناتجين

عن 2. مستقلة محاولة كل نتيجةاخرى محاولة أي

محاولة 3. كل في النجاح احتمالثابت pثابت الفشل احتمال وq=P-1

المرات 4. من عدد التجربة تجريالمستقله nأي المحاوالت من

وفيه) , متعدد من 7اختارعلى االجابة جربت اذان فقرات

مرات ( سبع االختياري

هذه تسمىتجربة التجربة

الحدين ذات

كان • بيرنوللي n=1إذا تجربة تسمى فالتجربةوجود • احتمال نجد التوزيع هذا المحاوالت Xاليجاد في النجاحات نجد nمن أي

P(X)=P(X=x)

( : 12)مثالمتزنة نقود االقتران , 4رميتقطعة أوجدي مرات

لعدد .Hاالحتمالي فيها الظاهر

افترضنا محاوالت xإذا في نجاح عدد ذات xفإن nتمثل متغير يسمىلـ , االحتمالي التوزيع و حيث , xالحدين الحدين ذات توزيع =xيسمى

0,1,2,3……,

مثال النرد حجر رمي , 5عند ظهور عدم احتمال ما مرات

ظهور 6الوجه احتمال ما ؟ 6؟ مرتين

الحدين ذات تجربة اجراء نفترضأن , 5عند Xمرات. الحدين ذات متغير

النجاح = الفشل , = pاحتمال q=1-pاحتمال

من النجاح احتماالت ايجاد طريقة لتوضيح التالية الرموز نستخدمالمكرره التجربة

النجاح Pيمثل

الفشل qيمثل

احتمال أوجد مني طلب P(x=3)لونجاحات عدد أن يعني المحاوالت 3ما عدد 5من

P³q²=

P³q²=

P³q²=

P³q²=

P³q²=

P³q²=

P³q²=

P³q²=

P³q²=

P³q²=

إذن :

التوقع الرياضي

التباين

E(x) = µ = np

=E( [x- µ ]²)= npq

كان الحدين Xإذا ذات فإن : n, Pمتغير

مثال النرد حجر رمي , 5عند مراتظهور = Xمرات . 3عدد

تباين و معدل .Xأوجدي

عددالطالباتفي رقم 405قاعة

45 :12الساعه

على الكلمات عدداللوح

األخطاء عددفي المطبعية

صفحة

جميع التجار

ب السابق

ة تحقق الشرو

ط التالية

التي 1. النجاحات عدد معدلأو معينة زمنية فترة في تحدث

معلوم محددة منطقةفي 2. واحد نجاح حدوث احتمال

منطقة او قصيرة زمنية فترةتلك طول مع تتناسب صغيرة

المنطقة تلك مساحة او الفترةاكثر 3. أو نجاحين حدوث احتمال

او القصيرة الزمنية الفترة فيمهمل الصغيرة المنطقة

زمنية 4. فترات عدد اعتبرنا اذاالبعضفان بعضها عن منفصلةفترة أي في النجاحات حدوثالنجاحات حدوث عن مستقل

اخرى فترة أي في

السيارات عددفي تمر التي

فهد الملك طريقالسبت يوم

عدد النجاحاتفي فترة زمنية

أو معينةمنطقة محددة

هذه تسمىتجربة التجربةبواسون

النجاحات عدد ونمثل , xيعتبر بواسون عشوائي متغير بواسون تجربة فيباالقتران االحتمالي P( x: )اقترانه

بواسون عشوائي لمتغير االحتمالي عدد Xالتوزيع يمثل الذيهو : محددة منطقة أو معينة زمنية فترة في النجاحات

,e=2.7182

مثال اشارة عند السيارات حوادث عدد حدوث معدل كان إذا

أي . 3ضوءية حدوث عدم احتمال ما االسبوع فياحتمال ما ؟ معين اسبوع في االشارة تلك عند حادث

؟ معين أسبوع في أقل أو حادثين حدوث

اسبوع= Xافترض في الحوادث عددالحوادث = =3معدل

: حادث أي حدوث عدم احتمال

P(X=0)=

: يعني أقل أو حادثين حدوث احتمالP(x<=2)= p(X=0)+ p(X=1) + p(X=2)

[ = + + =1 +3 + 9/2 = ] 8.5 * = 0.423

التوقع الرياضي

التباين

E(X)=

=

كان االحتمالي Xإذا اقترانه و بواسون عشوائي متغيرفإن المعينة الزمنية الفترة في الحوادث عدد معدل حيث

و , • ما فترة في القيم جميع تأخذ التي العشوائية بعضالمتغيرات هناكمتصل متغير تسمى

تلك • عد يمكن ال فإنه محدده فنرة في القيم كل يأخذ المتصل المتغير كونتقريبي , تقاسبشكل لكنها القيم

عمر • في الطالب سنة 16طولمن الفتره اخذ افترضنا احد 170.2الى 150.5لو طول يكون ان احتمال فإنه

واحدة محددة قيمة صفر = 160.9الطالبالمنحنى تحت المساحة عن عبارة هنا االحتمال المحور F(X)ألان فوق و

معينتين نقطتين بين المحصورة a,bاالفقيمعينة = • قيمة ألي مساواته احتمال المتصل العشوائي المتغير صفات من

صفر

a bتعريف:•كان • وكان , Xاذا hمتصال hعشوائيا hمتغيراF(X) بحيث سالبة غير حقيقية دالة

تحته = المساحة التوزيع ” ” F(x)فان 1تكون أي االحتمالية الكثافة يسمىللمتغير المتصل .Xاالحتمالي

وقوع • احتمال قيميتن Xأما المنحى X=a, X=bبين تحت المساحة فيساويf(X) بين المحصورة و األفقي المحور فوق a,bوأو • الهندسية النظريات طريق عن المساحة نوجد االحتمال هذا اليجاد و

الخاصة . لبعضالدوال خاصة جداول باستعمال أو التكامل

المتصلة : 4-5 االحتمالية التوزيعات

المتصل • العشوائي للمتغير االحتمالي التوزيع منحنى على الحصول يمكنالفئات ذي النسبي التكراري التوزيع منحنى على الحصول بطريقة hعمليا

كان دالة Xإذا مستمرا عشوائيا متغيرا،فإن : هي االحتمالية Fx(X)كثافته

•fX(x) ≠ P(X=x) •P(X=x) = 0 , x ∀ ∈R•P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b)

=P(a < X < b)•fX(x) ≥ 0 , x ∀ ∈R

• تحتى الكلية المساحة1المنحنى =

الطبيعي 4-5-1 : The Normal Distributionالتوزيع• h تطبيقيا و hنظريا المتصلة االحتمالية التوزيعات أهم من يعتبربمعرفة , • hتماما تتعين وهي منحناه تحدد رياضية بمعادلة الطبيعي التوزيع يوصف

التباين ” ” ” ” و التوقع من كلرمزه •

المستقسم , • الخط حول متماثل الجرس شكل يشبه منحنى X=µلهعندما • الجهتين على الصفر يتقارب عندما-<∞ xو -< -∞ Xوتغيير • و µعند معها ينتقل التوزيع مركز فان يسارا او يمينا

المنحنى شكل اليتغيريكبر ” , • و صغرت كلما يقل المنحنى تباعد التوزيع تشتت

كبرت كلما

Z:N(µ, )=>Z:N)0,1)

الطبيعي :• خواصالتوزيعالوسط 1. على المقام العمود حول متماثل الطبيعي يشبه µالتوزيع شكله و

الجرس شكل.2 = = = : المنوال الوسيط المتوسط فإن الطبيعي µللتوزيعالطبيعي = 3. التوزيع منحنى تحت 1المساحةعندما 4. الصفر من الطبيعي التوزيع منحنى طرفا -< -∞ x->∞ ,Xيتقارباالنحرافات 5. من عدد أي ضمن الواقعة المساحة من معينة نسب هناك

يلي : كما الوسط عن المعياريةالمساحة = • الوسط عن واحد معياري انحراف ضمن المساحة

الفتره على - (µ+ , µ (الواقعةتساوي %86.26و

ونص • واحد معياري انحراف ضمن عن 1.5المساحة معياري انحرافالفترة = على الواقعة المساحة ( ( µ+1.5 , µ- 1.5الوسط

تساوي %86.64والوسط = • عن معياري انحراف معياري انحراف ضمن المساحة

الفترة على الواقعة المساحةµ+2 , µ-2) )

تساوي الكلية 95.44و المساحة من

المعياري 4-5-2 الطبيعي : Standard Normal Distributionالتوزيعالمعياري :• الطبيعي التوزيع تعريف

تباينه ) ( و صفر وسطه معدله الذي الطبيعي التوزيع رمزه 1هو والعشوائي المتغير كان أن Zفإذا يعني ذلك فإن المعياري الطبيعي للتوزيع يخضع

معدله Zتوزيع الذي الطبيعي التوزيع تباينه µ=0هو =1 ونظرية :•

للمتغيرالعشوائي االحتمالي التوزيع كان الطبيغي Xاذا التوزيع هوالمعدل العشوائي µذو المتغير توزيع فإن التباين و

Z = x-µ

المعياري الطبيعي التوزيع هومن” • قيمة قيم Xكل من قيمة بالطبع التحويل Zيقابلها حسب

قيم , وتسمى لقيم Zالسبق المقابلة المعيارية Xالقيم

الجدول = P(Z < z) = Φ(z) .1مالحظات• منمباشرة2. P(Z > z) = 1 − P(Z < z) = 1 − Φ(z)3. P(z1 < Z < z2) = P(Z < z2) − P(Z < z1)= Φ(z2) − Φ(z1)4. P(Z < 0 ) = P(Z > 0) = Φ(0) = 0.55. P(Z = z) = 0

Z:N(µ, )=>Z:N)0,1)

150صفحة( 16مثال )•151صفحة( 17مثال )•152صفحة( 18مثال )•153صفحة( 19مثال )•154صفحة( 20مثال )•155صفحة( 21مثال )•155صفحة( 22مثال )•

ايجاد • الجدول P(Z<z) طريقة قيمة 464,465صفحة 3من مقربة zبافتراضانعشريتين قيمتين a.bcالى

بعد ماهو كل الجدول , 3.4منقبل - صفر = 3.4او Y تقريبا هو

) P(6.5<Z<1)د)=P(Z<1) – p(Z<6.5)

=0.8413 – 0=0 .8413

فقرة اضافية

الطبيعي 4-7 التوزيع : Application on the Normal Distributionتطبيقات

Z:N(µ, )

Z = x-µ Z=

المتوسط= الوسطالمعدل= = التوقع

Z:N(µ, )

4-8: الطبيعي التوزيع غير متصلة توزيعات

:t t-Distributionتوزيع 4-8-1تعريف :•

العشوائي للمتغير االحتمالي الكثافة توزيع بالمعادلة tإذاكان معطى

توزيع يسمى التوزيع هذا :tفإن حيث Ʋ الحرية درجات

C على يعتمد ثابتة المنحنى =Ʋقيمة تحت المساحة 1ليجعل

توزيع • :tخصائصالجرس 1. شكل منحناه يشبهتقابل , 2. قيمة له المنوال t=0احاديعلى 3. المقام العمود حول t =0متماثلالجرس 4. شكله يشبهعندما 5. الصفر من طرفيه و -<tيتقارب ∞t >-∞.6 Y انخفاضا أكثر انه اال المعياري الطبيعي التوزيع شكل يشبه

منه التوزيع 7. منحنى الحرية tيعتمد درجات معلمة Ʋعلى

المنحنى شكل لتحديدالحرية 8. درجات زادت توزيع Ʋكلما التوزيع tيقترب من

المنحنى , ارتفاع يزداد الحالة هذه وفي المعياري الطبيعيعلى ينطبق النهاية وفي Y تشتتا أقل أي Yا مدبب أكثر ويصبح

. المعياري الطبيعي التوزيع منحنى

توزيع • تحت االحتماالت تحت tنحسب المساحات بحسابالحرية درجات معرفة مع التوزيع ذلك Ʋمنحنى

المساحات • لهذه خاصة جداول هناك

درجات tقيم الحرية

المساحة الواقعة

على اليسار

قيمة ” 0.90القيمة يسار المساحة االفقي الخط tعلىالحرية درجات االيسر 5و العمود في

قيمة t= 1.476فإن

قيمة ” 0.95القيمة • يسار المساحة االفقي الخط ”tعلىالحرية • درجات االيسر 7و العمود في

قيمة t= 1.895فإنأن يعني قيمة t =1.895مما الحرية tهي درجات التي 7ذييسارها المساحة 0.95يقع من

يسار الى المساحة درجات 3ذي tقيمة 4.541 اليجادƲحرية

القيمة 1. عن الجدول داخل افقيا من , t=4.541نبحث بدايةƲ=3

تقاطعها 2. التي قيمة عن للبحث عموديا اطلعالقيمة يسار الى المساحة 0.99 هي t=4.541هنا

t (α ;m ) = −t (1−α ;m ) فإن الصفر على المقام العمود T حولتوزيع منحنى تماثل بسبب

قيمة • عن قيمتها tنعبر معينة مساحة يسارها يكون التيتوزيع منحنى حرية tتحت درجات بالرمز :mذي

t [ ; m]من قريبة قيم أن نجد الجدول 1ومن

• Y جدا صغيرة تكون عندما 0.01 ,0.05أما

قيمة • يكون tأما التي نعبر يمينهاالجدولية معينة مساحةبالرمز : عنها

; m] (m)= t[1- t

كاي 4-8-2• Chi-Square Distribution: توزيعتعريف :•

•: كاي توزيع خصائص

يعطي الجدول النيمين طلب xقيم وهنا

يسار اعمل : اذن

0.01=1-0.99من القيمة اجيب و

مع بالتقاطع الجدولالحرية درجة

1-0.975=0.025

20.483

1-0.025=0.975

F : The F-Distributionتوزيع 4-8-3•

توزيع • :Fخصائص(V1,V2)

F(V1,V2) (V1,V2

)

(V1,V2

)

(V1,V2

)

=1 = 1 F[0.975;10,11] 3.53