第四章 圓錐曲線

‧4-1 拋物線

‧4-2 橢　圓

‧4-3 雙曲線

總目錄

4-1 　拋物線‧圓錐截痕

‧拋物線的定義

‧拋物線的相關名詞

‧拋物線的標準式

‧拋物線標準式的平移

‧拋物線的一般式目　錄

圓錐截痕：圓

節目錄下一頁上一頁

若平面 E 垂直 L ，則 E 與 K 的截痕是一個圓。

圓錐截痕：橢圓若平面 E 與 L 不垂直，且 E 與 不平行，且與 K 僅交於上部或下部，則 E 與 K 的截痕是一個橢圓。

'L

節目錄下一頁上一頁

圓錐截痕：拋物線若平面 E 與 平行，則 E 與 K 的截痕是一個拋物線。

L

節目錄下一頁上一頁

圓錐截痕：雙曲線若平面 E 與直圓錐面 K 的上下兩部分都相交，則 E 與 K 的截痕是一個雙曲線。

節目錄下一頁上一頁

拋物線的定義在平面上，與一定直線 L 和線外一定點 F等距的所有點所成的圖形稱為拋物線。

節目錄下一頁上一頁

拋物線的相關名詞

節目錄下一頁上一頁

拋物線的標準式 (一 )設拋物線： y2 ＝ 4cx若 c ＞ 0 ， 則拋物線開口向右。若 c ＜ 0 ， 則拋物線開口向左。

節目錄下一頁上一頁

拋物線的標準式 (二 )設拋物線： x2 ＝ 4cy若 c ＞ 0 ， 則拋物線開口向上。若 c ＜ 0 ， 則拋物線開口向下。

節目錄下一頁上一頁

拋物線標準式的平移(一 )頂點為原點的拋物線 y2 = 4cx ，平移

至頂點為 (h,k) 的拋物線方程式為( y － k )2 = 4c ( x － h )

節目錄下一頁上一頁

拋物線標準式的平移(二 )頂點為原點的拋物線 x2 = 4cy ，平

移至頂點為 (h,k) 的拋物線方程式為( x－ h )2 = 4c ( y－ k )

節目錄下一頁上一頁

拋物線的一般式凡是拋物線必可表為二元二次方程式

x = ay2 +by +c 或 y = ax2 +bx +c (a≠0)

的形式，此二式稱為拋物線的一般式。

節目錄下一頁上一頁

4-2 　橢圓‧橢圓的定義

‧橢圓的標準式

‧橢圓標準式的平移

‧橢圓的一般式‧橢圓的參數式

目　錄

橢圓的定義設 F 與　 為平面上相異二點， a 為一正數，且 < 2a 。在平面上到兩定點 F 、　的距離和為定值 2a 的所有點所成的圖形稱為橢圓。若 P 為橢圓上任一點，則 　 。

'FF

'F

'F

' 2PF PF a

節目錄下一頁上一頁

橢圓的標準式 (一 )橢圓標準式為　　　　 的圖形

22

2 2 1yx

a b

節目錄下一頁上一頁

橢圓的標準式 (二 )橢圓標準式為　　　　 的圖形

22

2 2 1yx

b a

節目錄下一頁上一頁

橢圓標準式的平移 (一 )中心為原點的橢圓

，平移至中心為 (h,k) ，且長軸平行於 x軸的橢圓方程式為

22

2 2 1yx

a b

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y ka b

節目錄下一頁上一頁

橢圓標準式的平移 (二 )中心為原點的橢圓

，平移至中心為 (h,k) ，且長軸平行於 y軸的橢圓方程式為

22

2 2 1yx

b a

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y kb a

節目錄下一頁上一頁

橢圓的一般式 凡是橢圓可表為二元二次方程式

Ax2 +Cy2+Dx+Ey+F=0

的形式，其中 A 、 C 同號，此式稱為

橢圓的一般式。節目錄下一頁上一頁

橢圓的參數式(1) 橢圓　　　　 的參數式為

(2) 橢圓　　　　 的參數式為

22

2 2 1yx

a b

22

2 2 1yx

b a

cos0 2

sin

x a

y b

cos0 2

sin

x b

y a

節目錄下一頁上一頁

4-3 　雙曲線

‧雙曲線的定義

‧雙曲線的標準式

‧雙曲線標準式的平移

‧雙曲線的一般式‧雙曲線的漸近線

目　錄

節目錄下一頁上一頁

雙曲線的定義設 　 為平面上相異二點， a 為一正數，且　 。在平面上，到兩定點 　 的距離差為定值 2a 的所有點所成的圖形稱為雙曲線。若 P 為雙曲線上任一點，則

, 'F F, 'F F

' 2FF a

' 2PF PF a

雙曲線的標準式 (一 )雙曲線標準式為　　　　 的圖形

22

2 2 1yx

a b

節目錄下一頁上一頁

雙曲線的標準式 (二 )雙曲線標準式為　　　　 的圖形

2 2

2 2 1y xa b

節目錄下一頁上一頁

雙曲線標準式的平移(一 )

將中心為原點的雙曲線 ，

平移至中心為 (h,k) ，且貫軸平行於 x 軸的雙曲線方程式

2 2

2 21

x y

a b

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

節目錄下一頁上一頁

雙曲線標準式的平移(二 )

將中心為原點的雙曲線 ，

平移至中心為 (h,k) ，且貫軸平行於 y 軸的雙曲線方程式

2 2

2 21

y x

a b

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

節目錄下一頁上一頁

雙曲線的一般式 凡是雙曲線可表為二元二次方程式

Ax2 +Cy2+Dx+Ey+F=0

的形式，其中 A 、 C 異號，此式稱為

雙曲線的一般式。節目錄下一頁上一頁

雙曲線的漸近線令雙曲線　　　　　 的常數項為 0 ，

雙曲線的漸近線為 與

2 2

2 21

x y

a b

0x y

a b 0

x y

a b

節目錄上一頁