《幾何原本》的五大公設過任意兩點可連成一直線任意直線可向它的兩方延長以任意點為圓心，任意長度為半徑，可劃一圓凡直角皆相等若一直線與兩直線相交，且同旁的兩角之和小於兩直角，則兩直線向該旁延長必定相交

第五公設

a

b

a + b <180o

第五公設的另類陳述方式• 通過一直線 L 以外的一點 P ，只能畫

出一條與 L 平行的直線

L

P

• 三角形的內角之和是 180o

• 若一四邊形有一對對邊相等，且它們與第三邊構成的角為直角，則其餘的兩隻角也是直角

A B

C D

對第五公設的質疑• 不像前面四條公設一樣簡單，而是辭句

冗長，意義含混

• 其他公設都具有“有限”的特徵，只涉及直線的有限部分或有限範圍內的平面圖形

• 從 300BC 到 1800AD ，就有人企圖用一個更簡單的命題去推論它，但沒能成功

推證第五公設的兩種思路• 一種是用比較自明的敘述來取代平行公設

• 另一種是嘗試由歐幾里得的其餘公設推出平行公設

推證失敗的原因

• 所有證明都使用了和公設五等價的命題，即邏輯學上所謂的“循環論證”

• 例： Legendre(1752~1833) 所用的命題：「 過銳角的一條邊上任一點 M 作該邊的 垂線，必與另一邊相交。」

M

採用歸謬法的進路• 歐氏第 5 公設：『通過直線 AB以外的一

點 P ，只能作出一條與 AB 平行的直線。』

• 跟它矛盾的命題有兩種形式：(1) 過 P 點沒有 直線與 AB 平行(2) 過 P 點有 不只一條直線與 AB 平行

薩謝利 (Saccherri, 1667~1733)的四邊形定理

• 「若 ACAB ， BD AB ， AC=BD ，則 ACD= BDC ，且都是銳角。」

A B

C D

錯失良機• 薩謝利認為結論太不合“常理”了，主

觀地否定了自己推導出的結果

• 德國數學家蘭伯特 (Lambert, 1728~1777) 亦作出跟薩謝利類似的結果。他說：『人們不能限制邏輯上可能發展的各種不同的幾何之存在。』

斯維卡特 (Schweikart, 1780~1859)的宣言

• 他說：『應該承認有兩種幾何，一種是歐氏幾何，另一種是建立在三角形內角之和小於 180o 假設下的幾何。』

• 第二種幾何可稱為“星際幾何”

• 平行公設與歐氏其他公設無關

創立非歐幾何的英雄• 德國的數學王子高斯 (Gauss, 1777~1855)

• 匈牙利的鮑耶 (J. Bolyai, 1802~1860)

• 俄國的羅巴契夫斯基 (Lobatchevsky,1793~1856)

• 德國的黎曼 (Riemann, 1826~1866)

高斯 (Gauss,1777~1855)

羅巴契夫斯基 (Lobatchevsky,1793~1856)

鮑耶 (J. Bolyai, 1802~1860)

高斯的貢獻• 在 1792 年已知道：「若一四邊形的其中三隻角

是直角，而另一隻角不是直角時，其面積與 |360o - S| 成正比例，其中 S 是四邊形的內角和。

• 從 1817 年給友人的信上說：『物理需要歐氏幾何是不可證明的。』

• 但高斯並沒有發表其成果，因為怕有人嘲弄。他對非歐幾何的貢獻是 1816 年及 1822 年。

鮑耶的貢獻• 鮑耶是數學家 F.Bolyai 的兒子， 13 歲

已掌握了微積分， 15 歲時其數學造詣已跟父親不相上下

• 1823 年底 (23 歲 ) ，鮑耶對父親說：『在非歐幾何方面，我已經有美妙的發現，致使我驚訝不已。』

• 1826 年 (24 歲 ) ，他把《絕對空間的科學》這篇非歐幾何的開創性論文寄給他的老師，但遭丟失了

• 1832 年 (30 歲 ) ，他的論文發表在父親的著作《給勤學的年青人論數學原理》之附錄裡

羅巴契夫斯基的貢獻• 1792年生於下諾夫哥羅德 (高爾基城）

• 1808 年 (16 歲 )入喀山大學學習

• 1811 年 (19 歲 )獲博士學位並留校工作

• 1822年 (30 歲 )任教授，其後任物理數學系主任、圖書館館長及 喀山大學校長等職

• 從 1816年開始試作平行公設的證明， 推導到一系列前 後一貫的命題，但與

歐氏幾何不同的新幾何體系

• 他稱之為「虛幾何學」，後人則稱之為「羅氏幾何」或「雙曲幾何」

• 1826年在喀山大學發表自己的新學 說，但 沒有得到承認

• 以後陸續用俄文、法文、德文發表自己的工作。直到去世後，高斯對他的

學說予以肯定， 他的思想才被普遍接受

• 他 在無窮級數論、積分學和概率論等方面，也有出色的工作

• 著有《幾何學基礎》 (1829)及《平行線理論的幾何研究》 (1840)

羅氏幾何的兩大特徵• 通過直線 AB以外的一點 P ，有不只

一條直線與 AB 平行

• 三角形的內角和小於兩直角

黎曼的貢獻• 黎曼在 1854 年的論文《論幾何學的基本假設》，提出了另類的非歐幾何學，稱為「黎曼幾何」( 即「橢圓幾何」 )

• 在黎曼幾何的體系中，有以下特徵：(a) 直線不是無限而是有限且封閉的(b) 不存在平行線(c) 三角形內角和大於兩直角

黎曼 (Riemann, 1826~1866)

三種幾何體系的模型

歐氏幾何羅氏幾何 黎曼幾何

非歐幾何的世界• 1915 年愛因斯坦 (A. Einstein, 1879~19

55) 利用非歐幾何創立廣義相對論 (General Relativity)

• 人類生存的空間只是小範圍可被視為歐氏空間，大範圍以致整個宇宙則必須用非歐幾何來描述

幾何學分類• 幾何基礎、解析幾何、非歐幾何、射影幾何、畫法幾何

• 微分幾何 (包括：張量分析、微分流形、黎曼流形、大範圍微分幾何、複流形 )

• 拓樸學 (包括：點集拓樸、代數拓樸、解析拓樸、微分拓樸、微分流形、纖維叢 )

• 代數幾何 (包括：代數曲線、代數曲面、代數簇 )

拓樸學 (Topology)• 俗稱「橡皮幾何學」

• 源於歐拉的哥尼斯堡的七橋問題

• 主要分為點集拓樸 (Point Set Topology)及組合拓樸 (Combinatorial Topology)兩類

• 一般多研究高維的空間和流形

偉大的數學家歐拉 (Euler)

哥尼斯堡的七道橋

哥尼斯堡的七橋問題• 是否可以走過全部七道橋，而每一道橋

只准經過一次？

平面布線問題• 一個線路能否布於平面上而使它不自交叉？

多面體的歐拉公式• 對一簡單多面體而言，它的頂點數 (V)、

面數 (F) 及稜數 (E)滿足： V + F - E = 2

• ( 歐拉 -龐加萊定理 )

對閉曲面而言，它的歐拉 -龐加萊示性數滿足： = V + F - E = 2 - 2g ，其中 g代表該閉曲面的虧數 (genus)

四色問題 (Four Color Problem)• 在平面或球面上繪製世界或全國地圖，

使得相鄰的國家或地區塗上不同的顏色，問最少要使用多少種顏色？

• 1976 年 Wolfgang Haken 及 Kenneth Appel借助電腦證明了用四種顏色便可以了

• 若是環面的話，則最少要用 7 種顏色

密比烏斯帶 (Mobius Strip)

• 它是一個單側的曲面，且只有一個邊緣

分形幾何 (Fractal Geometry)

•分形是美籍法國數學家曼德布洛 (Mandelbrot) 在 70 年代中期所創造的一個新名詞，用來形容自然界的複雜形狀及無規則現象

•自八十年代以來，有關分形的研究已滲透到很多不同的領域之中，包括物理學、化學、數學、天文學、生物學及地球科學等

•分形在自然界中普遍存在，例如天上的雲、地上的河流、人的肺與支氣管、植物的葉脈、地球的山脈、土星的環等等都是分形，數不勝數 !

分形的特徵•它具有自我相似性 (self-similarity)

•它的維數 (dimension) 不是整數而是分數

海岸線的長度• 假設我們使用標度去量度一個海岸線的長度。直觀上，海岸線之長度 L() = ×N() ，其中 N() 表示從海岸線的一端到另一端總共測量的次數

• 當 0 時， L() 並不趨向一個固定值，而是隨著的減少而增長，這意味著海岸線的長度是不能精確測量出來的！

科赫曲線 (Koch Curve)•科赫曲線是瑞典數學家科赫 (Helge von

Koch) 於 1904 年提出的。

•按照 Mandelbrot 的說法，科赫曲線是海岸線粗略但極好的模型

怎樣構造科赫曲線呢？• (Step 1) 畫一長度為一單位之線段

• (Step 2) 把該線段分成三等分，去掉中間的一分，並以一邊長為 1/3 之等邊三角形的兩邊取代之

• (Step 3) 重複以上步驟，把每條線段再分成三等分，去掉中間的一分，並以一邊長為 1/9 之等邊三角形的兩邊取代之。如此類推，直至獲得一條無限長的曲線為止。

科赫曲線

康托集 (Cantor Set)• 康托集是德國數學家康托 (Cantor) 於 1883 年提出的

• 它的構造方法如下：(Step 1) 畫一長度為一單位之線段(Step 2) 把該線段分成三等分，去掉中間的 1/3 ，然後重複此步驟。

• 每次去掉之線段的頭尾兩點剩下來，所構成的無窮點集 C，便稱為康托集

其他有趣例子•義大利數學家皮亞諾 (Peano) 於 1890年所創造的皮亞諾曲線 (Peano Curve)

•西爾平斯基 (Sierpinski) 於 1915年所創造的西爾平斯基三角 (Sierpinski Triangle)