幾何學的一大寶藏-------- 黃金分割

張美玲老師製作 資料來源：數學奇觀 ( 李天華 許濟華 編著 )— 九章出版社

最美的矩形 100 多年前一位心理學家，做了一個有趣的實驗，他精心設計出許多個不同的矩形，然後邀請許多朋友來參觀，請他們選出自認最美的矩形。

你也來選選看。

第一組的矩形

甲 乙 丙

丁

,這 四 個 矩 形 看 上 去?哪 一 個 最 協 調 勻 稱

第二組的矩形甲

乙 丙

丁 ,這 四 個 矩 形 看 上 去?哪 一 個 最 協 調 勻 稱

第三組的矩形

甲 乙

丙丁

,這 四 個 矩 形 看 上 去 哪 一 個 最 協?調 勻 稱

第四組的矩形甲 乙

丙

美的奧秘結果 592 位來賓選出了四個矩形。

這四個矩形看上去協調、勻稱、舒適，確實能給人一種美的享受。

美的奧秘在哪裡？

心理學家動手量一量它們的邊長

588

13

13

21

21

34

0.618 發現他們的長和寬分別是 5,8; 8,13; 13,21;

21,34

這些邊長的比值出乎意料的接近 0.618 這是偶然的巧合嗎？

58

≒=0.625 813 0.615

1321

≒ 0.619 2134

≒ 0.618

維納斯女神西元 1863 年的愛琴海小島上，一尊令人讚嘆不已的雕像 -- 維納斯女神，從長眠的地底被挖出土，重新站在世人眼前，她是西元前一百多年希臘雕塑最盛時期的代表作，她的上半身和下半身的比率正是 0.618 。

畢氏學派的徽章古希臘的畢達哥拉斯學派應該已發現這個比率，在學派的代表徽章 - 正五角星形 ( 左圖 ) ，連接 AEBGF 就是正五邊形，其中 AC ： BC= 約 0.618 。

無所不在的 0.6180.618 這比率隱藏於古希臘的巴特能神殿、正五邊形、五角星、費布那西數列、股票價格的波動、生物的生長、美學、金字塔 、大自然 .... 之中無所不在。

黃金比率 西元 1509 年 Luca Pacioli( 1445~1517)寫了一本書 << De Divina Proportione >> ，首先稱它做「黃金比率」 (golden ratio) ， Luca Pacioli 是文藝復興時代畫家巨匠達文西的摯友，達文西的畫作就經常運用黃金比率 0.618

如「蒙納麗莎的微笑」和達文西自畫像。自此 在美學與建築上，寬長之比約為 0.618 的矩形被認為是最和諧， 最合乎美的造型。

植物與動物普通樹葉的寬與長之比，蝴蝶身長與雙翅展開後的長度之比也接近 0.618 。如果以牛馬虎的前肢為界作一垂直虛線，將軀體分為兩部分，其水平長度之比恰符合黃金比率。

環境溫度與人體體溫通常我們在環境溫度為 22℃～ 24℃ 時能有最舒適的感覺，身體的新陳代謝、生理節奏和機能可處在最佳狀態。而人體的正常體溫為 37℃ ，它和 0.618 的相乘積正好是 22℃

醫學理論醫學專家也觀察到，人在精神愉快時的腦電波頻率下限是 8赫茲，而上限是 12.9赫茲，上下限的比率接近於 0.618 ，如果我們在這時參加基本學力測驗，一定會有更好的表現。此外，我們正常血壓的舒張壓與收縮壓的比例關係 ;我們正常睡眠時間與活動時間的比例關係，都足以說明黃金比率扮演和諧美滿的角色是無所不在的。

「黃金比例」的歷史 「黃金比例」的歷史可以回溯到古希臘時代，當時的人們發現，如果把一條線段分成長短兩段，而且「全段長：長段長＝長段長：短段長」的話，這種分割方式叫做「黃金分割」，而分割出來的兩線段長的比，就叫做「黃金比例」。

如圖，我們把線段分割成長度分別為 x（長）和 y（短）兩段，依據黃金分割的定義， (x+y) ： x ＝ x ： y 。為了方便，我們把 y 當作１，那麼經過運算之後， x 大約等於 1.618 ，這就是古希臘人發現的「黃金比例」；有趣的是，如果把 x 當作１，那麼 y 大約等於 0.618！這真是太神奇了！事實上，這兩個數（ 1.618… 與 0.618…）互為倒數，也就是兩個數的乘積剛好等於１，很有趣吧！ ^_^

幾何學的寶藏歐洲 中世紀的物理學家、天文學家家科卜勒 (J.Kepler1571-1630)對黃金分割做了很高的評價，他說：「幾何學有兩大寶藏，一個是畢氏定理；另一個是黃金分割。前者是金礦，而後者是珍貴的鑽石礦」。

黃金矩形我們看的書、報、雜誌，其紙張的裁切寬與長之比就接近黃金比率。這樣的矩形讓人看起來舒服，被稱爲「黃金矩形」。圖畫紙如 8開、 16開、 32開等，都近似於黃金矩形。

特別的黃金矩形

金字塔與 0.618 古埃及的金字塔，形似方錐，大小雖有不同，但是金字塔底面的邊長與高的比率都接近於 0.618 。

More…..

埃費爾鐵塔 近代著名的法國巴黎埃費爾鐵塔，其第二層以下和第二層以上的高度比率是 0.618 。

多倫多電視塔目前世界最高的建築物是加拿大多倫多電視塔 ,高 553.33 公尺，其觀景樓以上和樓以下的長度之比率就是 0.618 。

結論 古希臘人將「黃金比例」廣泛運用在建築、美術、雕塑、音樂當中，而且隨著科學的發展，科學家發現，「黃金比例」其實普遍存在於自然界裡，像植物的葉片、花瓣，還有螺類的生長曲線等等，都找得到黃金比例的蹤跡喔！除此之外，我們人體本身就隱含了黃金比例！如果我們的身高與下半身長度（腳底到肚臍）的比值是 1.618 ，那就是最完美的身材唷！我們不妨拿起布尺，量量自己與家人吧！

問題與討論 1. 請舉出生活中有哪些比例接近 0.

618(至少列舉五種 ) 2. 數列 1,1,2,3,5,8,13,21,……. 有何規則性此數列第 10項為多少

3. 上述數列稱為費氏數列與黃金比例有何關係

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古埃及金字塔 埃及金字塔，大大小小約 70 多座。其中最大的是國王胡夫的陵墓，高一百四十六米半，底邊每邊各長兩百三十多米，佔地五萬六千多平方米，塔基成正方形。全塔大約用了兩百三十萬塊經過磨製的巨大石塊，平均每塊大約重兩噸半。

在四千多年前，條件極差的情況下，古埃及人就建造了這樣博大壯觀、勻稱優美、作工精細的巨型建築，堪稱世界建築史上的奇蹟。

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特別的黃金矩形

接近黃金比例的矩形分別為乙、丙、甲、丙