走下神坛的 抽象代数

李尚志

北京航空航天大学

23/4/19

抽象代数课程教什么 ? 考什么 ?

• 微积分 , 线性代数有计算 , 抽象代数没有 ?

• 既然叫抽象 , 就是没有例子 ?

• 有证明。太难 , 课时不够 , 删去 !• 还剩什么？死记硬背！• 九阴真经 : 努尔七八 , 哈瓜儿 , 宁血契

卡 , 混花察察 , 学根许八涂 , 米尔米尔• 小学程度就可以背诵和考试 ! • 谁是山寨版 ?

23/4/19

抽象代数一定要从公理开始 ?

• 公理是什么 ? 许多不同东西的共同点 . • 公理化方法 : 描述性( 非构造性) 定义• 样板 : 几何( 欧几里德 ) -- 代数( 抽象代数 )

• 群 , 环 , 域的公理内容 : • 1. 对加、减、乘、除的封闭性• 2. 解释什么是加、减、乘、除• 加法：向量空间前4 条公理 = 交换群的运算• 乘法：结合律( 群的公理 ) 对加法的分配律( 环的公理 )• Prof.zhang 教学法 :• 通过有招学无招无招胜有招 :• 案例公理案例

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案例 1. 三阶幻方以一变多

• 旋转 轴对称

•

•共有多少个？•按 2 的位置分4 组 . 每组2 个 .2×4=8

正方形的对称群

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正多边形与正多面体

•正三角形的对称群•三角形数谜一变多• 2×3=6• S3

•正方体的旋转群• 3×8 个顶点 =24• 4×6 个面 =24

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公理化 : 群 , 子群 , 陪集分解

• 以正方体旋转群 G 为例 . • G按 6 个面 1,…,6 分组 , 第 i 组 Gi ={g|

g1=i}• g,a 在同一组 g1=a1 a-1g1=1a-1g∈ G1g∈aG1. Gi= aG1. • 由 a 可逆得 : h1≠h 2 ah1≠ah2

• |Gi |=|G1|, i=1,…,6. |G|=6|G1|. |G1| 整除 |G|.• 推广 : G 对除法封闭总可计算 a-1g • “同组” 等价性 =G1含 1, 对求逆 , 乘法封闭• 群G 分为子群 G1的陪集 aG1, |G1| 整除 |G|.

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案例 2. 复数的几何与矩阵模型 • i2 = -1 : 左转两番朝后方•平面向量 v(-1)v,后转 (180o)•记 viv为左转 (90o).则 i2 = -1.• 域同构 : 复数平面线性变换矩阵

• i 左转变换 i

• a+bi a1+bi

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案例 3. 平面旋转群 •旋转 :v(cos)v+(sin)(iv)• (cosisinn

cosnisinn 棣棣棣棣棣

Reicosisin 棣棣棣er-1R≌ 棣棣棣

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案例 4. 单位根群 棣棣棣棣 n 棣棣棣 xn =1 棣棣n nkkn…n-1 ,cos(nisin(n)

• n 阶循环群 〈 〉 ={…n-1}

• f:Z 〈 〉 , k k f(k+r) = f(k)f(r)

• Ker f = nZ

• Zn=Z/nZ ≌ 〈 〉

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案例 5. xn -1 的因式分解 棣棣棣棣 xn -1=(x-1)(x-)…(x-n-1)棣棣棣棣棣 以 x15 -1 为例 …14在乘法群中的阶 d|15• 同阶 d=1,3,5,15 复因子相乘得 d(x)1(x)=x-1. 3(x)=(x-1)/(x-1)=x+x+1. 5(x)=(x-1)/(x-1)=x+x+x+x+115(x)=(x-1)/(1(x)3(x)5(x))• 分圆多项式 d(x)

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有限域 : 5 最 PK 3 最

• 1 抽象代数最后一课• 2 最难• 3 最不应当考 •1 最有用 : 信息安全大显身手•2 最有味 : 抽象代数味道•3 最易懂 : 小学生可以懂 !•4 最先讲 : 可在第一课第一分钟 !•5 最应当考 : 首选第一题 !

23/4/19

案例 6. 三阶幻方全推导

•各行和 = (1+…+9)/3=15

• 中心 =(15×4 － 45)/(4 － 1)=5

•奇偶按角边 : 第一行和 = 第一列和 :

a1+a2+a3 ≡ a1+b1+c1a2 ≡ b1

•边 = 奇 : a1+a2+a3 ≡ 1 a2 ≡ 1

•边 = 奇 , 角 = 偶

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案例 7. 奇与偶的算术 --- 二元域

• 曾肯成问题 : 随机整数行列式等于奇数与偶数的概率 .

• 奇偶数加减乘公式 :•偶±偶 = 偶 , 偶±奇 = 奇 , 奇±奇 = 偶 ; 整×偶 = 偶 , 奇×奇 = 奇 .•用 0,1表示 : 0±0=0,0±1=1,1±1=0; a×0=0,1×1=1.•二元域 Z2={0,1}.注意 1+1=0,a-b=a+b.

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•D=ad-bc为奇数的概率•情况 1. ad=1,bc=0 a=d=1,• (b,c)=(0,0),(0,1),(1,0)•情况 2. ad=0,bc=1 b=c=1,• (a,d)=(0,0),(0,1),(1,0)•共 6 种可能 , 概率 =6/16=3/8•D 为偶数的概率 =1-3/8=5/8

Z2 上的 2 阶行列式

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• GL(2,2):

• Z2上 2 维空间 V 共 3 个非零向量• v1(1,0),v2(0,1),v3(1,1)• 任何两个线性无关• 每个置换都是可逆线性变换• 上述矩阵右乘分别得 (1),(23),(12), (123),(13),(132).

• GL(2,2) S≌ 3

Z2 上可逆矩阵群

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•数域上的线性代数定理 :•detA=1A 可逆行线性无关

•茅台换矿泉 : 也适合于二元域 Z2

•第 1 行 :A1≠ 0, 2n-1 个选择•第 2 行 :A2 ≠ A1, 2n-2 个选择•第 k+1行 :Ak+1 ≠ 1A1+…+kAk, 2n-2k个选择• 共有 (2n-1)(2n-22)…(2n-2n-1) 个• 概率 =(1-1/2n)(1-1/2n-1)…(1-1/2)

Z2 上 n 阶行列式

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案例分析：“假零”性质 • a±b,ab 的奇偶性只与 a,b 奇偶性有关 :• a±b =(r+偶 )±(s+偶 ) (结合 , 交换）

=(r± s)+ ( 偶±偶 )= (r± s)+ 偶• ab =(r+偶 )(s+偶 ) （分配 ) =rs+(r×偶 + 偶 ×s+偶×偶 )=rs+偶• “ 假零”性质 : O1.偶±偶 = 偶 O2.整×偶 = 偶• 真零性质 : 0±0=0,数×0=0

•只考虑奇偶性 : 可以将偶数当作 0.

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公理化：环 , 理想 , 商环 • 环 D ：对加、减、乘封闭• 加、减、乘的合法性条件：• 加法 : 结合律 , 交换律 , 零 , 负元• 减法 :a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. • 乘法 : 结合律 , 对加法的分配律 • 理想 :D 的子集 , 满足“假零”性质

O1,O2• 记 a-b∈ 为 a≡b (mod ), 可按等式计算• 商环 : D/= 同余类集合 { [a]=a+ • 定义加 , 减 , 乘 :[a]±[b]=[a±b], [a][b]=[ab].

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案例 8. Zn -- 单表密码• Zn =Z/nZ={r+nZ| r=0,1,…,n-1}.• 加法密码 : Z26: f(x) = x+b. • 仿射密码 : f(x)=ax+b, a 可逆 . • 可逆元与反函数 . 例 :• y=3x+5, 9×3=27=1, 9=3-1,x=9(y-5). • 可逆条件 : (a,n)=1, 存在 au+nq=1,

au=1, u=a-1. y=ax+b x=a-1(y-b) • Zn中可逆元组成乘法群 Zn*

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案例 9.p 元域 Zp 上可逆阵

• 素数 p: Zp* = Zp \{0}. Zp 是域 .

• Zp 上的 n 阶可逆方阵个数• |GL(n,p)|=(pn-1)…(pn-pk)…(pn-pn-1)

• 随机整数 n 阶行列式模 p余 r 概率• r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2

• r≠0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA.• 案例分析正规子群 , 同态基本定理

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案例 10. 极限与微分• 博士生 2010 考题 .

• 在一点 a 连续的全体实函数构成环 C

• O(x)( 无穷小 )与 o(x)=O(x)x 都是 C 的理想 .

• limxcf(x)=A f(x) ≡A (mod O(x))

• f(x) ≡f(a)+f’(a)x (mod o(x))

• 和差积商极限 : f(x)≡A, g(x)≡B 加减乘除• 幂的导数 : (x+x)n≡xn+nxn-1x (xn)’=nxn-1

• 积的导数 : f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))x

• 商的导数 :

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案例 11. 分数化小数 -- 循环节长度

• 数学聊斋 : 商家打折 : 1428元 ?

• a=1/7=0.142857…

• 循环节 D=106a-a= 142857=(106-1)/7.

• q/p=a 的循环节 D=(10d-1)q/p= 整数 .

• 最小的 d 使 10dq≡q(mod p)

• 当 p 是素数 (≠ 2,5), 10d≡1(mod p)

• D 是 10 在乘法群 Zp* 中的阶 , 整除 p-1

• 混循环 : (10d-1)10kq≡0(mod p).

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案例分析乘法群元素的阶• 例 :q/7. 10k (k=1,2,…)模 7余 3,2,6,4,5,1 ， d=6.• 循环节 D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857…

• 对 k=1,2,…,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7 。• 将 D前 k 位移到末尾 , 得到 D的 rk(=3,2,6,4,5) 倍。• 推广： 1/a 的循环节轮换排列都得到 D的 rk倍。• 仅当 d=n-1 时得到所有各倍循环群的生成元• 另例 :1/17=0.0588235294117647…。 1/19=• 更多性质： 142+857=999， 14+28+57=99 。

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案例 12. 复数的代数模型—域扩张

23/4/19

案例 12. 复数的代数模型—域扩张• 环同态基本定理• 已经找到矩阵 J 满足 J2+I=0 。• 环同态 :R[x]R[J], f(x)f(J). Ker = -1(0) = (x2+1).• 每个 aI+bJ[a+bx]={a+bx+q(x)(x2+1)|q(x)∈R[x]}• 商环 C = R[x]/ x2+1) ={[a+bx]|a,b∈R}• [0]=[x2+1]=[x]2+[1] [x]2 = -[1] 。• a+bx≠0 与 x2+1 互素 ,在 C 中可逆 .C 是域 .• 记 [1]=1,[x]=i, 则 i2 = -1. C={a1+bi | a,b∈R} = 复数域。• 直接为 x2+1 造根 : 不需先猜 J2+I=0 。• 在 R[x] 中强制规定“假零集合” =[0]= [x2+1].• 则 = (x2+1)由 x2+1 的所有倍式组成 . C=R[x]/

(x2+1)• 线性变换 : [a+bx][x][a+bx] 在基 {[1],[x]}下的矩阵

满足条件 J2 = -I.

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推广 . 域的代数扩张• 无中生有 : 为域 F 上多项式 f(x) 造根。• 强制规定 [f(x)]=[0]: 在 F[x] 中生成理想 (f(x)). • 同余类环 E=F[x]/(f(x))中 [f(x)]=[0], [x] 是根 . • f(x) 在 F[x] 中不可约 : E 是 F 的代数扩域 .• 设 d=deg f(x), 则 E 是 F 上 d 维空间 ,[E:F]=d.• 造矩阵根 : F 上线性变换 [g(x)][x][g(x)] 在基 [1],[x],

…, [x]d-1 下的矩阵 J是 f(x) 的根。• f(x) 可约 : 不可约因子 h(x) 在扩域 E=R[x]/(h(x)) 中

有根 , 也是 f(x) 的根。• 同构 : h(x) 在扩域 M/F 中有根 w,则 :EM,

g(x)g(w) 为域同构 . • 自同构：∈ Gal(E/F) g(w)g(u), w与 u为 h(x)

的任意两个根。

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案例 13.m 序列—有限域的扩张

• Z2 上线性移位寄存器序列 u1,u2,…,um,…• 满足条件 uk+n=c1uk+n-1+…+cnuk .• m 序列 : 选 c1,c2,…,cn达到最大周期 N=2n-1.• (uk+1,…,uk+n) = (uk,…,uk+n-1)A

• 状态转移矩阵 A =

• A 的最小多项式 m(x) = xn-c1xn-1-…-cn-1x-cn.• (uk+1,…,uk+n)=(u1,…,un)Ak 取遍非零状态 . • 如果 B=f(A)= a1An-1+…+an-1A+anI 不可逆，

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• 如果 B=f(A)= a1An-1+…+an-1A+anI 不可逆 , 则有 Uk+1=

(uk+1,…,uk+n) ≠0使 Uk+1B=0

• 0=Uk+1BAm=Uk+1AmB=Uk+1+mB, 对所有 m.

• Uk+1+m包括 Z2上所有的非零 n 维行向量 .

• 这迫使 B = 0. 说明 Z2[A] 中非零元都可逆。• Z2[x]/(m(x)) ≌Z2[A] 是域 , 包含元素 2n个。• 反过来 ,找 2n元有限域 ,其乘法群的生成元的最小多项式m(x)=xn-b1xn-1-…-bn-1x-bn.

• 取 (c1,c2,…,cn)=(b1,b2,…,bn)即得 m序列。• 案例分析 : (1) q 元有限域存在 q 是素数幂 pn 。• (2) 有限域的乘法群是循环群。

更多案例

• 数学聊斋 : 指路为马之幼儿版 --- 构造纠错码 --- 二元域上的线性方程组

• 正 17 边形作图 ---Galois 理论• 实数域的代数扩张 --- 代数基本定理• 2次、 3次、 4次方程的求根公式• n次方程的求根公式。

教学录象 1. http://jpk.buaa.edu.cn 教育部 2006 线性代数 2.http://smss.buaa.edu.cn

精品课程 高等数学教学录像 数学大观教学录像 1-9(共 9 小时 ) 3. http://www.youku.com 李尚志 : 教育人生, 线性代数 , 教学成果奖申请视频材料

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李尚志 北航数学与系统科学学院 http://smss.buaa.edu.cn 教师博客 回忆录 : 比梦更美好 , 名师培养了我 , 数学家的文学故事 数学文学 : 数学聊斋 , 数学诗选

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